弹性力学第四章应力应变PPT

弹性力学中的应力与应变关系

弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在外力的作用下产生的形变与应力的关系。在弹性力学理论中，应力与应变关系是最为核心的概念之一。本文将探讨弹性力学中的应力与应变关系的基本原理，并从不同角度对其进行分析。

一、基本概念

在弹性力学中，应力是描述物体内部单位面积受力情况的物理量。它可以分为正应力和剪应力。正应力表示物体在垂直于某一平面上的受力情况，剪应力表示物体在平行于某一平面上的受力情况。应力的大小一般采用希腊字母σ表示。

应变是描述物体形变情况的物理量。它可以分为线性应变和体积应变。线性应变表示物体中某一方向上的长度相对变化，体积应变表示物体在各个方向上的体积变化。应变的大小可以用希腊字母ε表示。

二、胡克定律

胡克定律是描述弹性体材料中应力与应变关系最基本的定律。其数学表达式为σ = Eε，即应力等于弹性模量与应变之积。其中，弹性模量E是描述物体对应变的抵抗能力的物理量。根据胡克定律，应力与应变之间的关系是线性的，即若应变增大，则应力也会相应增大。

胡克定律适用范围有限，对于非线性应力-应变关系的材料，需要采用其他力学模型进行描述。例如，当外力作用超出一定范围时，弹性体会发生塑性变形，此时应力和应变之间的关系就无法再用胡克定律来描述。

三、材料力学模型

由于胡克定律的局限性，研究者们提出了各种各样的材料力学模型来描述应力与应变之间的关系。其中，最常用的有线性弹性模型、非线性弹性模型和本构模型。 线性弹性模型是胡克定律的拓展，它适用于应力与应变关系呈线性关系的情况。在这种模型中，应力与应变之间的关系是单一的、唯一的。当外力作用停止后，物体能够完全恢复到初始状态。

非线性弹性模型适用于应力与应变关系不再呈线性关系的情况。它可以更好地描述材料的实际变形情况。在这种模型中，应力与应变之间的关系可以是非线性的、曲线状的。

本构模型是一种综合考虑多种因素的力学模型，它可以更全面地描述材料的应力与应变关系。常见的本构模型有胡克-简氏模型、麦克斯韦模型等。这些模型通过引入多个参数，可以更准确地描述材料的变形特性。

11111

Word文档 ............. 第四章 平面问题的极坐标解答

典型例题讲解

例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q。如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。

例4-1图

【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角

2max2min22xyxyx

其中0,,xyxq得

maxmin,qq。

最大正应力 所在截面的方位角为

max0max0tan104yqq qqqqy'yρφx'xDABCα0qqqq11111

Word文档 ............. 若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成

方向截取矩形ABCD，则在其边界上便承受集度为q的拉力和压力，如图所示。这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。

（2）取极坐标系如图。由

2222442222cos2(1)(13),cos2(13),(4-18)sin2(1)(13).ρφρφrrσqφρρrσqφρrrτqφρρ

得矩形薄板ABCD内的应力分量为

2222442222cos2(1)(13)cos2(13)sin2(1)(13)ρφρφaaσqφaρρaσqφbρaaτqφcρρ

其中 为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b），在 处得到

44cos2(13)4cos2,φaσqφa

当 ， 时，孔边最小正应力为 ，

当

时，孔边最大正应力为 。

分析：矩形板ABCD边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。

习题全解

4 应力应变关系

4.1弹性变形时应力和应变的关系

当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke

定律，即

1

()

1

()

1

()

111

222xxyz

yyxz

zzxy

xyxyyzyzzxzxE

E

E

GGG

































，， （4.1）

式中，

E为拉压弹性模量，

G为剪切模量，为泊松比，对于各向同性材料，三个常

数之间满足





21E

G



关系。

由上式可得

11212

()()

33mxyzxyzm

EE



 （4.2）

于是

11

()'

2xmxmx

EG





或

1112

''

22xmxxm

GGE





类似地可以得到

1112

''

22ymyym

GGE





1112

''

22zmzzm

GGE





于是，方程（4.1）可写成如下形式

121

2'

00

'00

00

'xxyxzxxyxz

m

v

yxyyzyxyyzmGE

m

zxzyzzxzyz





























即

'112

2ijijmijijm

GE







（4.3） 显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。前者与球应力分量成正

比，即

12

mm

E





（4.4）

后者与偏差应力分量成正比，即

''

1

2

''

1

2

''

1

2

111

222xxmxG

yymyG

zzmzG

xyxyyzyzzxzxGGG

























，，

或简写为

2

ijijG



（4.5）

此即为广义Hooke定律。

4.2塑性变形时应力和应变的关系

弹性力学是以应力与应变成线性关系的广义Hooke定律为其基础的；而在塑性

力学的范围内，一般来说，应力与应变间的关系是非线性的，同时这种非线性的特征，

第四章应力应变关系

静力平衡和几何变形

通过具体物体的材料性质相联系

材料的应力应变的内在联系

材料固有特性，因此称为物理方程

或者本构关系目录

§4.1广义胡克定理

§4.2拉梅常量与工程弹性常数

§4.3弹性体的应变能函数•应力应变关系属于材料性能

•称为物理方程或者本构方程

•单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过

实验确定

•复杂应力状态难以通过实验确定§4.1广义胡克定义•广义胡克定理——材料应力应变一般关系

xzyzxyzyxxzxzyzxyzyxyzxzyzxyzyxxyxzyzxyzyxzxzyzxyzyxyxzyzxyzyxx

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC



666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211



•工程材料，应力应变关系受到一定的限制

•一般金属材料为各向同性材料

•复合材料

在工程中的应用日益广泛§4.1 胡克定理2弹性体变形过程的功与能

•能量守恒是一个物理学重要原理

•利用能量原理可以使得问题分析简化

•能量原理的推导是多样的，本节使用热力

学原理推导。

外力作用——弹性体变形——变形过程外力作功——

弹性体内的能量也发生变化§4.1 胡克定理3根据热力学概念

绝热过程

格林公式等温过程

弹性体的应变能函数表达式

内能等于应变能§4.1 胡克定理4

xzxzyzyzxyxyzzyyxxUUUUUU000000,,,,,

)(210xzxzyzyzxyxyzzyyxxU工程材料

•各向同性材料

•各向异性材料——金属材料完全各向异性弹性对称面