2022-2023学年北京市东城区高二上学期期末考试数学试题(解析版)

第 1 页 共 16 页2022-2023学年北京市东城区高二上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知向量，，且，那么实数的值为（ ） 

8,2,1a



4,1,bk

//ab



k

A

． B

． C． D． 1

21

222

【答案】B

【分析】根据平行关系可知，由向量坐标运算可构造方程求得结果.

ba



【详解】，，，解得：

. //ab





baR48

12

k















1

2k

故选：B.

2．已知直线的倾斜角为（ ）度 30xy

A．45 B．135 C．60 D．90

【答案】A

【分析】根据给定的直线方程，求出其斜率，再求出倾斜角作答.

【详解】直线的斜率为1，所以直线的倾斜角为45度. 30xy30xy

故选：A

3．抛物线的准线方程是（ ） 22yxA． B． C． D． 1

2y1y1

2x1x

【答案】C

【分析】根据抛物线方程可直接求得结果.

【详解】由抛物线方程可知其准线方程为：. 21

42x



故选：C.

4．2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”

（英文为：“Together for a Shared Future”），这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人

民的美好期待.“一起向未来”的英文表达是：“Together for a Shared Future”，其字母出现频数统计如

下表：

字母 t o g e h r f a s d u 第 2 页 共 16 页

频数 3 2 1 4 2 4 2 2 1 1 2

合计频数为24，那么字母

“”出现的频率是（ ）A． B． C． D． e1

81

61121

4

【答案】B

【分析】用字母“”出现的频数除以总数就是所求频率. e

【详解】由图中表格可知，字母“”出现的频数为4，合计总频数为24，所以字母“”出现的频率为ee

. 41

246

故选：B

5．设为数列的前项和，已知，，那么（ ）

nS

nan

13a

12n

nnSS



3a

A． B． C． D． 4579

【答案】A

【分析】由可直接求得结果.

332aSS

【详解】由得：，.

12n

nnSS



12n

nnSS

2

33224aSS

故选：A.

6．已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角

1111ABCDABCD

1ABAD

12AA

1AC

11AADD

的正弦值为（ ）

A． B．

C． D

． 6

635

63

36

3

【答案】A

【分析】由长方体性质易知为与面所成的角，进而求其正弦值即可.

1CAD

1AC

11AADD

【详解】根据长方体性质知：面， CD

11AADD

故为与面所成的角，

1CAD

1AC

11AADD第 3 页 共 16 页

， 222

112,11126AAABADCA

所以.

1

16

sin6ACADCD

C

故选：A

7．如图，点是正方形两条对角线的交点.从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么OABCD

这两个点关于点对称的概率为（ ） O

A

． B

． C

． D

． 1

51

41

31

2

【答案】C

【分析】先求出事件的基本总数，再求出满足条件的基本事件数，利用古典概型计算即可.

【详解】从四个顶点选两个的情况数为：， 2

4C6

选的两个点关于中心对称的情况有：与两种， O,AC,BD

所以所求概率为：， 21

63P

故选：C.

8．圆心为，半径的圆的标准方程为（ ） ()

1,2-3r

A． B． 22

129xy22

129xy

C． D． 22

123xy22

123xy

【答案】B

【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果.

【详解】根据题意，圆心为，半径 ()

1,2-3r第 4 页 共 16 页圆的标准方程为； 22

129xy

故选：B．

9．已知正四棱锥的高为4，棱的长为2，点为侧棱上一动点，那么面PABCD

ABHPC

HBD△

积的最小值为（ ）

A． B

． C

． D

． 23

22342

3

【答案】D 【分析】根据正四棱锥的性质得到平面，，然后根据，，得POABCDOHBD4PO2OC

到的范围，最后根据三角形面积公式求面积的最小值即可. OH

【详解】

取中点，连接、、， BDOOHPOOC

因为四棱锥为正四棱锥，所以平面，， PABCDPOABCDDHBH

因为为中点，所以， OBDOHBD

因为平面，所以， OCABCDPOOC

因为，，所以，， 2AB4PO22BD2OC

在直角三角形中，当时，最小，为，当点和点重合时，最POCOHPCOH

2424

3

42



HPOH

大，最大为4，所以， 4

,4

3OH







，所以当

时，

的面积最小，为. 1

222

2HBDSOHOH

4

3OH

HBD△42

3第 5 页 共 16 页故选：D.

10．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为，第二次得到的点数记为，那么xy

事件“”的概率为（ ） 216xy



A

． B

． C

． D

． 1

95

361

61

3

【答案】C

【分析】由已知先列举出事件总数，然后解出不等式，找出满足条件的事件数，结合古典概率计算

即可.

【详解】由题意第一次得到的点数记为，第二次得到的点数记为， xy

记为，则它的所有可能情况为： 

,xy



1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,

2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,



3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,

4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,



5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,

6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6

共36种，

由，即，由在单调递增， 216xy

422xy

2xyR

所以，所以满足条件的有： 4xy

,xy

共6种， 

1,1,1,2,1,3,

2,1,2,2,

3,1

所以事件

“

”的概率为：， 216xy

61

366P

故选：C.

11．地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避

险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一

次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一

支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台站和站相AB

距.根据它们收到的信息，可知震中到站与震中到站的距离之差为.据此可以判断，震10km

BA6km

中到地震台站的距离至少为（ ） B

A． B． C． D． 8km6km4km2km

【答案】A

【分析】设震中为，根据双曲线的定义以及可求出结果. P||||||10PAPBAB

【详解】设震中为，依题意有，所以点的轨迹是以为焦点的双曲P||||6PBPA||10AB

P,AB第 6 页 共 16 页线靠近的一支， A

因为，当且仅当三点共线时，取等号， ||||||10PAPBAB,,APB

所以,所以， ||6||10PBPB||8PB

所以震中到地震台站的距离至少为. B8km

故选：A

12．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数

，都有，则称数列是有界的.

na

Mn

naM

na

若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是M

na

nan

nS

（ ）

A．若，则数列是无界的 B．若，则数列是有界的 1

na

n

nasin

nann

na

C．若，则数列是有界的 D．若

，则数列是有界的 

1n

na

nS

21

2

na

n

nS

【答案】C

【分析】根据

可知A错误；由

可知不存在最大值，即数列无界；分别在1

nasin

nann

na

na

为偶数和为奇数的情况下得到，由此可确定，知C正确；采用放缩法可求得nn

nS1

nS

，由可知D错误

. 2

22

21nSn

n







21

,

213n

n











【详解】对于A，恒成立，存在正数

，使得恒成立， 11

1

na

nn

1M

naM

数列是有界的，A错误； 

na

对于B，， sinsin

nannnn

，，即随着的增大，不存在正数，使得恒成立， sin1n

nann

M

naM

数列是无界的，B错误； 

na对于C，当为偶数时，；当为奇数时，； n0

nSn1

nS

，存在正数，使得恒成立， 1

nS1MnSM

数列是有界的，C正确； 

nS

对于D，，

2214411

4

421212121nnnnnn









22211111111

21241

233352121nSnn

nnn







