2015年湖南高考文科数学试题及答案word版

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文科）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知21jz=1+i（i为虚数单位），则复数z=

2.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图1所示

若将运动员按成绩由好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是

A.3 B.4 C.5 D.6

3.设xR，则”x>1”是”3x>1”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.若变量x,y满足约束条件错误!未找到引用源。则z=2x-y的最小值为

A.-1 B.0 C.1 D.2

5.执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3,则输出的S=

A. 错误!未找到引用源。 B. 错误!未找到引用源。 C. 错误!未找到引用源。 D. 错误!未找到引用源。

6.若双曲线22221xyab的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为

A.73 B.54 C.43 D.53

7.若实数a,b满足12abab，则ab的最小值为

A.2 B.2 C.22 D.4

8.设函数()ln(1)ln(1)fxxx，则()fx是

A.奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数

C.偶函数，且在（0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数

9.已知点A，B，C在圆221y上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2,0），则||PAPBPC的最大值为

A.6 B.7 C.8 D.9

10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（材料的利用率= 新工件的体积/原工件的体积）

A.89 B.827 C.32421 D.3821

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.已知集合U={1,2,3,4}，A={1，3}，B={1,3,4}，则A（CB）=________

12.在直角坐标系xOyz中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=3sin，则曲线C的直角坐标方程为______

13.若直线3x-4y+5=0与圆x²+y²=r²（r>0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则r=___________.

14.若函数f（x）=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是___________

15.已知w>0，在函数y=2sin mx余y=2 cos wx 的图像的交点，距离最短的两个交点的距离为23，则w=________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是：从袋有2个红球A1 、A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1 、a2和2个白球b1、b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。

（I）用球的标号列出所有可能的摸出结果

（II）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。

17. （本小题满分12分）

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b tanA.

（Ⅰ）证明：sinB=cosA

（Ⅱ）若sinC—sinAcosB=43，且B为钝角，求A，B，C.

18.（本小题满分12分）

如图4，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点.

（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1

（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F—AEC的体积.

19（本小题满分13分）

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn- Sn+1, n错误!未找到引用源。.

（Ⅰ） 证明：an+2=3 an

（Ⅱ） 求Sn

20.（本小题满分13分）

已知抛物线C1 ：X2=4y的焦点F也会椭圆 C1：22ya+22Xb=1（a>b>0）的一个焦点。C1 与C2的公共弦的长为26.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C1相交于C，D两点，且BD与AC同向。

（1） 求C2的方程；

（2） 若︱AC︱=︱BD︱，求直线l的斜率。

21.（本小题满分13分）

已知a>0，函数f(x)=a错误!未找到引用源。 (x错误!未找到引用源。[0，+错误!未找到引用源。））。记xe为f(x)的从小到大的第n（n错误!未找到引用源。）个极值点。

（Ⅰ）证明：数列{f(xn)}是等比数列；

（Ⅱ）若对一切n错误!未找到引用源。，xn错误!未找到引用源。| f(xn)|恒成立，求a的取值范围。

2015年湖南省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ）

A． 1+i B． 1﹣i C． ﹣1+i D． ﹣1﹣i

考点： 复数代数形式的乘除运算．

专题： 数系的扩充和复数．

分析： 由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．

解答：

解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，

故选：D．

点评： 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．

2．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系数抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（ ）

A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

考点： 茎叶图．

专题： 概率与统计．

分析： 对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．

解答： 解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，

所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；

故选B．

点评： 本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例．

3．（5分）（2015•湖南）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题： 简易逻辑．

分析： 利用充要条件的判断方法判断选项即可．

解答： 解：因为x∈R，“x＞1“⇔“x3＞1”，

所以“x＞1“是“x3＞1”的充要条件．

故选：C．

点评： 本题考查充要条件的判断，基本知识的考查．

4．（5分）（2015•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（ ）

A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．

解答：

解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，最优解为A，

联立，解得A（0，1）．

∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．

故选：A．

点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

5．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（ ）

A． B． C． D．

考点： 程序框图．

分析： 列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．

解答： 解：判断前i=1，n=3，s=0，

第1次循环，S=，i=2，

第2次循环，S=，i=3，

第3次循环，S=，i=4，

此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===

故选：B

点评： 本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力

6．（5分）（2015•湖南）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．