2013年高考湖南文科数学试题及答案(word解析版)
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1 2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）【2013年湖南，文1，5分】复数i1iz（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【答案】B
【解析】i1ii11iz，故选B．
（2）【2013年湖南，文2，5分】“12x”是“2x”成立的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵“12x”能推出“2x”成立，但“2x”不能推出“12x”成立，故选A．
（3）【2013年湖南，文3，5分】某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n（ ）
（A）9 （B）10 （C）12 （D）13
【答案】D
【解析】抽样比为316020，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴13n，故选D．
（4）【2013年湖南，文4，5分】已知fx是奇函数，gx是偶函数，且112fg，114fg，则1g 等于（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
【答案】B
【解析】∵fx是奇函数，gx是偶函数，∴2(11)fg，即112fg ①
14)1(fg，即114fg ② 由①+②得13g，故选B．
（5）【2013年湖南，文5】在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为,ab．若2sin3aBb，则角A等于（ ）
（A）3 （B）4 （C）6 （D）12
【答案】A
【解析】∵2sin3aBb，∴2sinin3sinAsBB．∵sin0B，∴sin32A．∵π0,2A，∴π3A，故选A．
（6）【2013年湖南，文6，5分】函数()lnfxx的图像与函数2()44gxxx的图像的交点个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】C
【解析】利用图象知，有两个交点，故选C．
（7）【2013年湖南，文7，5分】已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）
（A）32 （B）1 （C）212 （D）2
【答案】D
【解析】如图所示，正方体1111ABCDABCD的俯视图为ABCD，侧视图为11BBDD，此时满足其面积为2，故该正方体的正视图应为11AACC．又因2AC，故其面积为2，故选D．
（8）【2013年湖南，文8，5分】已知a,b是单位向量，0ab=．若向量c满足1cab，则|c|的最
大值为（ ）
（A）21 （B）2 （C）21 （D）22
【答案】C
【解析】可利用特殊值法求解．可令10()a,，01()b,，()cxy，．由||1cab，得2 22111xy，
∴22()(11)1xy．c即为22xy，可看成M上的点到原点的距离，∴121maxcOM，
故选C．
（9）【2013年湖南，文9，5分】已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB（ ）
（A）12 （B）14 （C）32 （D）74
【答案】D
【解析】如图，设2ABx，2ADy．由于AB为最大边的概率是12，则P在EF上运动满足条
件，且12DECFx，即ABEB或ABFA．∴223222xyx，即2224494xyx，
即22744xy，∴22716yx．∴74yx．又∵2724ADyyABxx，故选D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．
（10）【2013年湖南，文10，5分】已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}UAB，则U()ABð ．
【答案】{6}8,
【解析】{}68UA,ð，∴6826868(){}{}{}UAB,,,,ð．
（11）【2013年湖南，文11，5分】在平面直角坐标系xOy中，若直线121:xslys（s为参数）和直线2:21xatlyt（t 为参数）平行，则常数a的值为 ．
【答案】4
【解析】1l的普通方程为：21xy，2l的普通方程为：12xay，即22aaxy，∴4a．
（12）【2013年湖南，文12，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入1a，2b，则输出
的a的值为 ．
【答案】9
【解析】输入12ab，，不满足a>8，故3a；3a不满足8a，故5a；5a不满足8a，
故7a；7a不满足8a，故9a，满足8a，终止循环．输出9a．
（13）【2013年湖南，文13，5分】若变量,xy满足约束条件280403xyxy，则xy的最大值为 ．
【答案】6
【解析】画出可行域，令zxy，易知z在2(4)A,处取得最大值6．
（14）【2013年湖南，文14，5分】设12FF，是双曲线C，22221xyab (0a，0b)的两个焦点．若
在C上存在一点P，使12PFPF，且1230PFF，则C的离心率为
．
【答案】31
【解析】如图所示，∵12PFPF，1230PFF，可得2PFc．由双曲线定义知，12PFac，
由2221212FFPFPF得222)4(2cacc，即222440caca，即2220ee，
∴2232e，∴13e．
（15）【2013年湖南，文15，5分】对于12100,,,Eaaa的子集12,,,kiiiXaaa，定义X的“特征数列”为
12100,,,xxx，其中 121kiiixxa，其余项均为0，例如子集23,aa的“特征数列”为0，1，1，0，3 0，…，0 ．（1）子集135,,aaa的“特征数列”的前三项和等于 ；（2）若E的子集P的“特征数列”
12100,,,ppp满足11p，11iipp，199i；E的子集Q的“特征数列”12100,,,qqq满足11q，121jjjqqq，198j，则PQ的元素个数为 ．
【答案】（1）2；（2）17
【解析】（1）135,,aaa的特征数列为1，0，1，0，1，0，…，0，∴前3项和为2．
（2）根据题意知，P的特征数列为1，0，1，0，1，0，…，则13599{}Paaaa，，，，有50个元素，Q
的特征数列为1，0，0，1，0，0，1，…，则14710100{}Qaaaaa，，，，，有34个元素，
∴171397{}PQaaaa，，，，，共有9711176个．
三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（16）【2013年湖南，文16，12分】已知函数()coscos()3fxxx．
（1）求2()3f的值；
（2）求使 1()4fx成立的x的取值集合．
解：（1）2π2ππcoscos333f=ππcoscos33=21124．
（2）21313coscosπ13coscocossissinncos1cos2sin22422243xxfxxxxxxxxx
1π1cos2234x．14fx等价于1π11cos22344x，即πcos2<03x．
于是3π222223kxkk，Z．解得11π12512kxkk，Z．
故使14fx成立的x的取值集合为5π11π|ππ,1212xkxkkZ．
（17）【2013年湖南，文17，12分】如图，在直棱柱111ABCABC中，90BAC，2ABAC，13AA，D是BC的中点，点E在菱1BB上运动．
（1）证明：1ADCE；
（2）当异面直线1ACCE，所成的角为60时，求三棱柱121CABE的体积．
解：（1）证明：因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC．①又在直三棱柱111ABCABC
中，1BB平面ABC，而AD平面ABC，所以1ADBB．②
由①，②得AD平面11BBCC．由点E在棱1BB上运动，得1CE平面11BBCC，所以1ADCE．
（2）因为11//ACAC，所以11ACE是异面直线AC，1CE所成的角，由题设，1160ACE，
因为11190BACBAC，所以1111ACAB，又111AAAC，从而11AC平面11AABB，于是111ACAE．
故11122cos60CACE，又211121112BCACAB，所以1122112CEBBCE，
从而111111111122223323ABECABEVCSA三棱锥．
（18）【2013年湖南，文18，12分】某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
514845424Y频数；
（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．
