2014年高考数学试题湖南卷(理科)及答案详解word版

1 2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

数学(理工农医类)

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时间120分钟,满分150分.

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.满足(ziiiz为虚数单位)的复数z( )

A．1122i B．1122i C．1122i D．1122i

2.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,ppp则( )

A．123ppp B．231ppp C．132ppp D．123ppp

3.已知(),()fxgx分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且32()()1fxgxxx,则(1)(1)fg( )

A．－3 B．－1 C．1 D．3

4.51(2)2xy的展开式中23xy的系数是( )

A．－20 B．－5 C．5 D．20

2 5.已知命题:p若xy,则xy,命题:q若xy,则22xy.在命题:①pq②pq

③()pq④()pq中,真命题是( )

A．①③ B．①④

C．②③ D．②④

6.执行如图右所示的程序框图,如果输入的[2,2]t,则输出的S属于( )

A. [6,2] B．[5,1]

C．[4,5] D．[3,6]

7.一块石材表示的几何体的三视图如图右所示,将该石材切削、

打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )

A．1 B．2

C．3 D．4

8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两

年生产总值的年平均增长率为( )

A．2pq B．(1)(1)12pq C．pq D． (1)(1)1pq

9.已知函数()sin(),fxx且230()0fxdx,则函数()fx的图象的一条对称轴是( ) 输出S 是 否 t<0? t=2t2+1

S=t-3

结束 开始

输入t

6

正视图

12 8

侧视图

俯视图 3 A．56x B．712x C．3x D．6x

10.已知函数21()(0)2xfxxex与2()ln()gxxxa的图象上存在关于y轴对称

的点,则a的取值范围是( )

A．1(,)e B．(,)e C．1(,)ee D．1(,)ee

二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.

(一)选做题(请考生在第11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)

11.在平面直角坐标系中,倾斜角为4的直线l与曲线2cos,:(1sinxCy为参数)交于

AB、两点,且||2AB,以坐标原点O为极点,

x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则

直线l 的极坐标方程是 .

12.如图右,已知,ABBC是O的两条弦,,3,22AOBCABBC,

则O的半径等于

.

13.若关于x的不等式|2|3ax的解集为51{|}33xx,则a

.

(二)必做题(14-16题) A B

D

C O 4 14.若变量,xy满足约束条件,4,yxxyyk,且2zxy的最小值为－6,

则k .

15.如图右,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为,()abab,

原点O为AD的中点,抛物线22(0)ypxp经过,CF两点,

则ba

.

16.在平面直角坐标系中,O为原点,(1,0),(0,3),(3,0)ABC,动点D满足||1CD,则

||OAOBOD的最大值是 .

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.

(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率; y

4

y=k y=x

y=-2x+z 4

A x O

B C y

O A

C D E

B F G

x x y

A C

D

E B

D

O 1

3 5 (Ⅱ)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获

利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.

18.(本小题满分12分)

如图右,在平面四边形ABCD中,1,2,7ADCDAC.

(Ⅰ)求cosCAD的值;

(Ⅱ)若721cos,sin146BADCBA求BC的长.

19.(本小题满分12分)

如图,四棱柱1111ABCDABCD的所有棱长都相等,

11111,,ACBDOACBDO四边形11ACCA和四边形

11BDDB均为矩形.

(Ⅰ)证明:1OO底面ABCD;

(Ⅱ)若60CBA,求二面角11COBD的余弦值.

A1

B1 C1 D1 O1

A

C D

B O 6 20.(本小题满分13分)

已知数列{}na满足*111,||,.nnnaaapnN

(Ⅰ)若{}na是递增数列,且123,2,3aaa成等差数列,求p的值;

(Ⅱ)若12p,且21{}na是递增数列,2{}na是递减数列,求数列{}na的通项公式.

21.(本小题满分13分)

如图右,O为坐标原点,椭圆22122:1(0)xyCabab

的左、右焦点分别为12,FF,离心率为1e;

双曲线22222:xyCab1的左、右焦点分别为34,FF,

离心率为2e.已知123,2ee

且24||31.FF

(Ⅰ)求12,CC的方程;

(Ⅱ)过1F作1C的不垂直于y轴的弦,ABM为

AB 的中点.当直线OM与2C交于,PQ两点时,

求四边形APBQ面积的最小值.

O F3 A

x y

F2

B F1 F4 M

Q P 7 22.(本小题满分13分)

已知常数0a,函数2()ln(1).2xfxaxx

(Ⅰ)讨论()fx在区间(0,)上的单调性;

(Ⅱ)若()fx存在两个极值点12,,xx且12()()0,fxfx求a的取值范围.

参考答案

一.选择题

1【解】选B.由(1)1111(1)(1)222ziiiiiiziziii,即选B.

2【解】选D. 根据随机抽样的原理可得简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123ppp,故选D.

3【解】选C.由函数奇偶性,联想转

化:32(1)(1)(1)(1)(1)(1)11fgfg.

4【解】选A.二项式51(2)2xy的通项为5151()2,,2rrrrTCxyrrN,

令3r时,33223451()2202TCxyxy,故选A.

5【解】选C.显然p真q假,所以可知复合命题①、③正确,选C.

6【解】选D. 由程序框图可知

①当2,0t时,运行程序如下,2211,9,32,6ttSt;

②当0,2t时,则33,1St;

综上①②可知,2,63,13,6S故选D.

7【解】选B.由三视图可得该几何体为三棱柱(倒置:长为12、 输出S 是 否 t<0? t=2t2+1

S=t-3

结束 开始

输入t

6

正视图

12 8

侧视图 8 宽为6的矩形侧面与地面接触).易知不存在球与该三棱

柱的上、下底面及三个侧面同时相切,故最大的球是与其

三个侧面同时相切,所以最大球的半径为上(下)底面直角

三角形内切圆的半径r,则681022r,故选B.

8【解】选D.设两年的年平均增长率为x,

则有2111xpq111xpq,故选D.

9【解】选A.由230()0fxdx得,23cos()00x,即2coscos()03,

可化为33cossin022,即tan3,可得,3kkZ,

也所以()sin()sin()3fxxx,经检验可知A选项符合.

10【解】选B.依题意在曲线()gx取一点(,())(0)xgxx,则在曲线()fx上存在一点(,())xfx与之对应(关于y轴对称),所以()()fxgx在0x上有解,

即221ln()2xxexxa,也即1ln()2xxae在0x上

有解,由于121ln(),2xyxaye分别为(0,)上增函数、

减函数,于是结合图象易知,方程1ln()2xxae在0x上

有解的充要条件为01ln2ae,即ae,选B.

二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.

11【解】填(cossin).依题意曲线C的普通方程为22211xy,

设直线l的方程为yxb,因为弦长2AB,所以圆心2,1到直线l的距离0d, x y

O 12xyeln()yxe0.50.5eA B

C O