2019高考数学大二轮复习专题8解析几何第2讲综合大题部分增分强化练文
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1 / 4 第2讲
综合大题部分
1．已知在平面直角坐标系中，动点P(x，y)(x≥0)到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若过点M(2,0)的直线与轨迹C相交于A，B两点，设点Q在直线x＋y－1＝0上，且满足OA→＋OB→＝tOQ→(O为坐标原点)，求实数t的最小值．
解析：(1)因为点P(x，y)(x≥0)到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以|PN|－1＝|x|，将点P坐标代入，并整理得y2＝4x.
故点P的轨迹C的方程是y2＝4x.
(2)由题意知直线AB的斜率存在且与抛物线y2＝4x有两个交点，设直线AB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x，y)，由 y＝kx－2，y2＝4x，
得k2x2－4(k2＋1)x＋4k2＝0(k≠0)．
Δ＝16(2k2＋1)>0恒成立，
所以x1＋x2＝4k2＋1k2，x1·x2＝4，
因为OA→＋OB→＝tOQ→，
所以(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，
即x＝x1＋x2t＝4k2＋1k2t，y＝y1＋y2t
＝kx1－2＋kx2－2t＝kx1＋x2－4kt＝4tk，
又点Q在x＋y－1＝0上，所以4k2＋1k2t＋4tk－1＝0.
所以t＝4(1k2＋1k＋1)＝4(1k＋12)2＋3≥3.
故实数t的最小值为3.
2．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为12.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过右焦点F作一条不与坐标轴平行的直线l，若l交椭圆C于A、B两点，点A关于原点O的对称点为D，求△ABD的面积的取值范围． 文档供参考，可复制、编辑，期待您的好评与关注！
2 / 4 解析：(1)∵椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为12，∴2a＝4，e＝ca＝12，又a2－b2＝c2，
∴a＝2，b＝3，
则椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.
(2)∵D是点A关于原点的对称点，∴原点O是线段AD的中点，
则S△ABD＝2S△ABO＝2×12×|AB|×dO＝|AB|×dO(dO为点O到直线l的距离)，
由直线l过右焦点F，且不与坐标轴平行，可设直线l：x＝my＋1，m≠0，
联立方程得 x＝my＋1，3x2＋4y2＝12，
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，
得|AB|＝1＋m2|y1－y2|
＝1＋m2y1＋y22－4y1y2＝12m2＋13m2＋4.
又dO＝1m2＋1，
则S△ABD＝12m2＋13m2＋4×1m2＋1＝12m2＋13m2＋4＝12m2＋13m2＋1＋1
＝123m2＋1＋1m2＋1，
令t＝m2＋1∈(1，＋∞)，
则y＝3t＋1t在(1，＋∞)上单调递增，
则3t＋1t∈(4，＋∞)，
则S△ABD＝123m2＋1＋1m2＋1∈(0,3)，
即△ABD的面积的取值范围为(0,3)．
3．(2018·高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上文档供参考，可复制、编辑，期待您的好评与关注！
3 / 4 存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
解析：(1)证明：设P(x0，y0)，A(14y21，y1)，B(14y22，y2)．
因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程(y＋y02)2＝4·14y2＋x02
即y2－2y0y＋8x0－y20＝0的两个不同的实根．
所以y1＋y2＝2y0，
因此，PM垂直于y轴．
(2)由(1)可知 y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0－y20，
所以|PM|＝18(y21＋y22)－x0＝34y20－3x0，
|y1－y2|＝22y20－4x0.
因此，△PAB的面积S△PAB＝12|PM|·|y1－y2|＝324(y20－4x0)32.
因为x20＋y204＝1(x0<0)，所以y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]，
因此，△PAB面积的取值范围是[62，15104]．
4．(2018·高考天津卷)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的离心率为53，|AB|＝13. 文档供参考，可复制、编辑，期待您的好评与关注！
4 / 4 (1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
解析：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有c2a2＝59，
又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.
由|AB|＝a2＋b2＝13，从而a＝3，b＝2.
所以，椭圆的方程为x29＋y24＝1.
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，
由题意知，x2>x1>0，点Q的坐标为(－x1，－y1)．
由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.
易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，由方程组 2x＋3y＝6，y＝kx，消去y，可得x2＝63k＋2.由方程组 x29＋y24＝1，y＝kx，消去y，可得x1＝69k2＋4.由x2＝5x1，可得9k2＋4＝5(3k＋2)，两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－89，或k＝－12.当k＝－89时，x2＝－9<0，不合题意，舍去；当k＝－12时，x2＝12，x1＝125，符合题意．
所以，k的值为－12.
