高考文科数学复习 专题09 三角函数(教师版)

专题09三角恒等变换与求值考纲解读明方向分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题. 分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II】已知，，则__________．【答案】点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 2．【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.3．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标II，理14】函数（）的最大值是。

α是第二象限角，因此23．（2013后得到函数5A．47 [,] 34B．12[,]43C．47[,]34D．13[,]34f(x-1)=f(|x-1|)|x-1|=t；f(t)≤，得到1/3≤；代入x解得选天津文)将函数f(x)=sin xω（其中）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点），则ω的最小值是35.（2014江苏）函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为π。

36.（2014江苏）已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是6π．37、(2017年新课标Ⅱ文)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为.【解析】f (x )＝2cos x ＋sin x ≤＝,∴f (x )的最大值为.38、（2017?新课标Ⅰ理）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x+），则下面结论正确的是（ D ）A 、把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B 、把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2C 、把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D 、把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 239、(2017年新课标Ⅱ卷理)函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．【答案】1【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，函数取得最大值1. 40．（2014大纲）若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是.【简解】()f x '=cosx(a-4sinx)≤0在x ∈(,)62ππ恒成立；a ≤4sinx 。

人教A 版 高三文科数学 三角函数专题复习1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：（1）a 终边与q 终边相同终边相同((a 的终边在q 终边所在射线上终边所在射线上))Û2()k k a q p =+ÎZ ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等一定相同，终边相同的角不一定相等. .例如1、与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是的终边相同，且绝对值最小的角的度数是 ，合，合 弧度。

弧度。

（答：25- ；536p -） （2）a 终边与q 终边共线终边共线((a 的终边在q 终边所在直线上终边所在直线上) ) Û()k k a q p =+ÎZ . （3）a 终边与q 终边关于x 轴对称Û2()k k a q p =-+ÎZ . （4）a 终边与q 终边关于y 轴对称Û2()k k a p q p =-+ÎZ . （5）a 终边与q 终边关于原点对称Û2()k k a p q p =++ÎZ .（6）a 终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z a p =Î；a 终边在y 轴上的角可表示为：,2k kZ pa p =+Î；a 终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z p a =Î. 例如2、a 的终边与6p的终边关于直线x y =对称，则a ＝____________。

专题09 函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性等）【重温课标】1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．2．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．3．结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．【解读考情】1．函数的单调性与最值在高考中常以选择、填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性，因此本部分内容在高考中占有十分重要的地位．2．函数的奇偶性常与函数的单调性、对称性、最值等结合考查，综合考查知识的灵活应用能力，是高考考查的热点．3．函数的奇偶性，以选择、填空题居多，且是高考考查的热点．【知识点归纳】一、增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有：(1) f (x )在区间D 上是增函数⇔ f (x 1)＜f (x 2)；(2) f (x )在区间D 上是减函数⇔ f (x 1)＞f (x 2)．【温馨提示】(1) 单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．(2) 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．(3) 两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，g (x )f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． 二、单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．三、函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：条件 (1) 对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2) 存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1) 对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；(2) 存在x 0∈I ，使得 f (x 0)＝M 结论 M 为最大值M 为最小值四、判断或证明函数单调性的方法(1) （图象法）根据图象判断：函数的单调性在几何上表现为在某区间上函数图象从左到右是一致上升还是一致下降，因此可以根据图象的特点来判断．如：根据右图，指出函数y ＝f (x )的单调增区间与减区间．从图上可以看出函数y ＝f (x )在区间(－∞，－5]和(12，＋∞)内递增，在区间(－5，12]内递减． (2) （定义法）根据定义来判断或证明：这是最基本的方法，其步骤如下：第一步：取值，即设x 1，x 2是该区间内的任意两点，且x 1＜x 2．第二步：变形，变形有两种途径．一般采用作差法，即f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形；如果是指数型一般采用作商比较法．第三步：定号，确定差f (x 1)－f (x 2)的符号，当符号不确定时，可以进行分区间讨论．如果是作商比较，则需比较变形结果与1的大小关系．第四步：判断，根据定义作出结论．(3) （导数法）用导函数方法去判断函数单调性．这种方法我们将在（高二）学习．(4) （结论法）判断函数单调性的常用结论① 在两个函数的公共定义域内，两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；② 奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；③ 互为反函数的两个函数有相同的单调性；④ 如果f (x )在区间D 上是增(减)函数，那么f (x )在D 的任一子区间上也是增(减)函数； ⑤ 如果y ＝f (u )和u ＝g (x )单调性相同，那么y ＝f [g (x )]是增函数；如果y ＝f (u )和u ＝g (x )单调性相反，那么y ＝f [g (x )]是减函数．简称为：同增异减．注：在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的单调性，因此掌握并熟记一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大简化我们的判断过程．五、函数单调性的应用单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有很重要的作用，具体体现在：(1) 利用单调性比较大小利用函数的增减性，可以把比较函数值的大小问题转化为自变量的大小比较问题． 如：已知函数y ＝0.8x 在R 上是减函数，因为－3.2＜－0.2，则0.8－3.2＞0.8－0.2．(2) 确定函数的值域或求函数的最值．如：函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增．则可以判定它的值域为[f (a )，f (b )]，若在[a ，b ]上递减，则函数值域为[f (b )，f (a )]且当f (x )在[a ，b ]上递增时，f (a )与f (b )分别为[a ，b ]上的最小值与最大值，当f (x )在[a ，b ]上递减时，f (a )与f (b )分别为[a ，b ]上的最大值与最小值．函数最值存在的两条定论：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．*常用结论：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么：(1)f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0 ⇔ f (x 1)－f (x 2)(x 1－x 2)＞0 ⇔ f (x )在[a ，b ]上是增函数； (2) f (x 1)－f (x 2)x 1－x 20 ⇔ f (x 1)－f (x 2)(x 1－x 2)＜0 ⇔ f (x )在[a ，b ]上是减函数． 【例题示范】例1．(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A .(－∞，－2)B .(－∞，1)C .(1，＋∞)D .(4，＋∞)【解析】由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间.因为函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，所以函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞).故选D .例2．(2020·海南卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2－4x －5)在(a ，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．[2，＋∞)D ．[5，＋∞)【解析】令t ＝x 2－4x －5，由t ＞0，得x ＜－1或x ＞5，又f (x )＝log 2t 在定义域内单调递增，且t ＝x 2－4x －5在(5，＋∞)也单调递增，由复合函数的性质得a ≥5，故选D ．例3．已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b＞0成立． (1) 判断f (x )在[－1，1]上的单调性，并证明它；(2) 若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1) 任取x 1，x 2∈[－1，1]，且x 1＜x 2，则－x 2∈[－1，1]，因为f (x )为奇函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)， 由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 所以f (x )在[－1，1]上单调递增．(2) 因为f (1)＝1，f (x )在[－1，1]上单调递增．所以在[－1，1]上，f (x )≤1．问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1，1]成立．下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2ma ＋m 2≥0．①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，自然对a ∈[－1，1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1，1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1) ≥0，所以m ≤－2，或m ≥2．所以m 的取值范围是m ＝0或|m |≥2．【分段函数的单调性问题的解决策略】(1) 抓住对变量所在区间的讨论；(2) 保证各段上同增(减)时，要注意上、下段端点值间的大小关系；(3) 弄清最终结果取并集还是交集．例4．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x （x ＞1）(4－a 2)x ＋2（x ≤1）是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4，8)C ．(4，8)D ．(1，8)【解析】函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞14－a 2＞0a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4，8)．选B ．例5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎦⎤－∞，138C ．(－∞，2]D ．⎣⎡⎭⎫138，2 【解析】由题意可知，函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＜0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138．选B ． 六、奇(偶)函数的定义及图象特征奇偶性定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称 奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数 关于原点对称【温馨提示】(1) 所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．函数的定义域关于原点对称是函数成为奇(偶)函数的必要条件．例如，y ＝x 2当定义域为区间(－∞，＋∞)时是偶函数，但当定义域为区间[－1，2]时却不具有奇偶性．(2) f (0)＝0是f (x )为奇函数的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝1xf (0)无意义；又如f (x )＝2x －1满足f (0)＝0，但不是奇函数．但奇函数f (x )在x ＝0处有意义，必有f (0)＝0．(3) 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．(4) 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．例如：y ＝f (x )的定义域关于原点对称，则g (x )＝()()2f x f x +-为偶函数，h (x )＝()()2f x f x --为奇函数，且f (x )＝g (x )＋h (x )． (5) 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6) 既奇又偶的函数有无穷多个(如f (x )＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．(7) 奇函数在定义域内满足()()f x f x =--，该式常用来求函数解析；偶函数在定义域内满足()()f x f x =-，该式也常用来求函数解析．【常用结论】①函数奇偶性满足下列性质：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②奇函数与奇函数复合还是奇函数，奇函数与偶函数复合是偶函数，偶函数与偶函数复合还是偶函数．【温馨提示】（这点非常注重要）f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x|)，该式把偶函数的负变量转化为正变量研究．【例题示范】例．y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数且在[0，＋∞)上递增，不等式f (x x ＋1)＜f (－12)的解集为________．【解析】因为y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数且在[0，＋∞)上递增，所以f (x x ＋1)＜f (－12)等价为f (|x x ＋1|)＜f (|－12|)＝f (12)，所以|x x ＋1|＜12，即2|x |＜|x ＋1|，平方得4x 2＜x 2＋2x ＋1，所以3x 2－2x －1＜0，解得－13＜x ＜1，即不等式的解集为(－13，1)． 七、函数奇偶性的判断与证明(1) 根据图象的对称性判断：奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数图象关于y 轴成轴对称图形．反之，逆命题也都为真．(2) 根据定义判断或证明：其步骤为：第一步：考查定义域是否关于原点对称．若定义域不关于原点对称，则可断言函数y ＝f (x )不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，则进行下面步骤．第二步：判断f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )是否成立．既可采用定义直接推理，也可以利用转化的方法，先判断f (x )＋f (－x )＝0或f (x )－f (－x )＝0，究竟采用何种途径要具体问题具体分析．第三步：作出结论．若f (－x )＝f (x )则f (x )为偶函数，若f (－x )＝－f (x )则为奇函数，若f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数；若f (－x )≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，则f (x )为非奇非偶函数．(3) 根据规律判断（详见前面的常用结论）：判断一个函数既不是奇函数也不是偶函数，取特殊值举反例即可！！．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(4) 函数奇偶性的变形应用：对于高考中出现的要求证明函数奇偶性的试题，一般应该运用定义去证明，要注意灵活运用定义：当直接推证f (－x )＝f (x )，或f (－x )＝－f (x )遇到困难时，可以考虑证明等式f (－x )－f (x )＝0，或f (－x )＋f (x )＝0恒成立，或者证明f (－x )f (x )＝±1（f (x )≠0）恒成立，前一个技巧常用于含对数运算的函数，后一技巧常用于含指数运算的函数．【温馨提示】判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断，对于分段函数，应分情况判断．【常见的奇偶函数】(1) 奇函数：()ny x n =为奇数， y kx =，k y x =，tan y x =，sin y x =，x x y a a -=-，11x x a y a -=+，11x x a y a +=-， x xx x a a y a a ---=+，x xx x a a y a a --+=-，log )a y mx =，log )a y x =，log x nx n a y +-=，log x n x n a y -+=．(2) 偶函数：()y a a =为常数，n y ax =(n 为偶数)，||y k x =，cos y x =，+x x y a a -=，(||)y f x =；如果()y f x =为奇函数，那么()y f x =一定为偶函数．七、周期性与对称性1．周期函数：T 为函数f (x )的一个周期，则需满足的条件：(1) T ≠0；(2) f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意x 都成立．2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．【温馨提示(1) 定义应对定义域中的每一个x 值来说，若个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )不能说T 是f (x )的周期．(2) 在等式f (x ＋T )＝f (x )中，应强调加在自变量x 本身的常数才是周期，如f (x 2T )＝f (x 2，T 不是周期，而应写成f (x 2＋T )＝f [12(x ＋2T )]＝f (x 2)，2T 才是f (x )的周期． (3) 若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．【必记结论】周期性常用的结论：对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1) 设a 为非零常数，若对于f (x )定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：则函数y＝f (x )是周期函数，T ＝2|a |是它的一个周期．①f (x ＋a )＝－f (x )；②f (x ＋a )＝1f (x )；③f (x ＋a )＝－1f (x )；④f (x ＋a )＝k f (x )（k ≠0）； ⑤f (x ＋a )＝f (x －a )；⑥(x ＋a )＝f (x )＋1f (x )－1，⑦f (x ＋a )＝1－f (x )1＋f (x )． (2) 若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝|a －b |．(3) 若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a ＜b )，则y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数；(4) f (x )的图象既关于直线x ＝a 对称（即函数f (x )满足f (2a －x )＝f (x )）又关于直线x ＝b 对称（即函数f (x )满足f (2b －x )＝f (x )），则函数f (x )的周期T ＝2|a －b |(a ≠b )．（规律：和定对称 ，差定周期）(5) 设a 为非零常数，若对于f (x )定义域内的任意x ，① f (x )为奇函数且其图象关于直线x ＝a 对称，则T ＝4|a |；② f (x )为奇函数且其图象对称中心为（a ，0），则T ＝2|a |；③ f (x )为偶函数且关于直线x ＝a 对称，则T ＝2|a |；④ f (x )为偶函数其图象对称中心为（a ，0）则T ＝4|a |．【识记规律】① 奇偶函数如果另外具有中心对称性或者轴对称性，则一定具有周期性，且周期是相邻对称中心之间距离的2倍，是相邻对称轴之间距离的2倍，是相邻对称轴与对称中心之间距离的4倍．② 如果一个函数图象既有中心对称性，又有轴对称性，则该函数一定具有周期性，且周期是相邻对称轴与对称中心之间距离的4倍．③ 如果一个函数图象有多个中心对称或对称轴，则一定具有周期性，且周期是相邻对称中心（对称轴）之间距离的2倍．轴对称性常用的结论(6) 若f (a －x )＝f (b ＋x )，那么函数f (x )图象的对称轴为x ＝a+b 2； (7) y ＝f (x )符合f (2a －x )＝f (x )等价于其图象的对称轴为x ＝a ，等价于f (a －x )＝f (a ＋x )；中心对称性常用的结论(8) 设a ，b ，c 为常数，若对于f (x )定义域内的任意x ，① 当f (a ＋x )+f (b －x )＝2c ，则y ＝f (x )的图象的对称中心为（a+b 2，c ）； ② 当f (2a －x )+f (x )＝2c ，则y ＝f (x )的图象的对称中心为（a ，c ）．其他结论若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称；若函数f (x )既是周期函数，则其导函数y ＝f ′(x )是周期函数；若函数f (x )是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )是偶函数；若函数f (x )是偶函数，则其导函数y ＝f ′(x )是奇函数；若函数g (x )是奇函数，f (x )＝g (x )+k ，则f (a )＋ f (－a )＝2k ﹒【例题示范】例1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的解析式为________．【解析】设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ．又y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x (x ＜0)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0. 例2．已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)＞f (2a )，则实数a 的取值范围是_______．【解析】当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1所以函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x )在R 上是增函数．由f (3－a 2)＞f (2a )得3－a 2＞2a ．解得－3＜a ＜1．例3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50【解析】因为f (x ＋2)＝f [1＋(1＋x )]＝f [1－(1＋x )]＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．又f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，f (1)＝2，f (2)＝f (1＋1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，而50＝4×12＋2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2.例4．(多选)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称B ．f (4)＝0C ．f (x ＋8)＝f (x )D ．若f (－5)＝－1，则f (2019)＝－1【解析】根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则有f (－x )＝f (4＋x )，则有f (x ＋4)＝－f (x )，即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A ，函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；对于B ，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称则f (4)＝0，B 正确；对于C ，函数f (x )是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x )，C 正确；对于D ，若f (－5)＝－1，则f (2019)＝f (－5＋2024)＝f (－5)＝－1，D 正确．故选BCD ．例5．(多选)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－x )C ．y ＝xf (x )D ．y ＝f (x )＋x【解析】由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证，对于A ，f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；对于B ，f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数；对于C ，－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数；对于D ，f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．可知BD 正确，故选BD.例6．(2019·新课标Ⅱ卷)已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-．若(ln 2)8f =，则a =__________．【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即 3a =-．。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

名师总结精品知识点三角函数知识点（一）基本初等函数Ⅱ（三角函数）1. 角度制与弧度制的互化：3600 2 , 1800,1 rad ＝≈57.30 °=57 °18ˊ； 1 °＝≈0.01745 （rad）2.任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边上一点p（x,y ）, r=x 2y 2(1) 正弦 sin =余弦 cos =正切 tan=(2)各象限的符号：y yycossin O x x2O+Osin cos tan3.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：（2）商数关系：4.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限，，5.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质函y sin xy cosxy tan x性 质数图象定义域RRx x k, k2值域1,11,1R当 x2kk当 x2k k时，2时， y max 1 ；ymax1；最值既无最大值也无最小值当 x2kk当 x 2kk时，2ymin1 ．时， y min1．周期性 22奇偶性奇函数偶函数 奇函数在 2k, 2k 22在 2k,2 k k 上k上是增函数；是增函数；在 k2, k 单调性2在 2k, 2k 3在 2k,2 kkk上是增函数．22上是减函数．k 上是减函数．对称中心对称中心对称中心k,0 kk 对称性k,0 k2,0 k对称轴2对称轴 x k k无对称轴x kk26.三角函数的伸缩变化，先平移后伸缩y s ix 的n图象向左 (>0) 或向右 ( 0)平移个单位长度得的图象得的图象横坐标伸长(0< <1) 或缩短 (>1)1到原来的( 纵坐标不变)纵坐标伸长 ( A 1) 或缩短 (0<A<1)为原来的 A倍( 横坐标不变 )得的图象得的图象。

先伸缩后平移向上 ( k 0) 或向下 (k 0)平移 k 个单位长度y sin x 的图象纵坐标伸长 ( A 1)或缩短 (0 A 1)为原来的 A倍( 横坐标不变 )横坐标伸长 (01) 或缩短 ( 1)得的图象得的图象到原来的1(纵坐标不变 )向左 ( 0)或向右 ( 0)平移个单位向上 (k 0) 或向下 ( k0)得的图象平移 k 个单位长度得的图象。

三角函数知识点1．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π=1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180π≈0.01745（rad ） 2.弧长及扇形面积公式弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .21α----是圆心角且为弧度制。

r-----是扇形半径3.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α=r y 余弦cos α=r x 正切tan α=xy (2)各象限的符号：sin α cos α tan α4、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。

（2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2ππα） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．xy+O— —+x yO — ++— +y O— ++ —()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．注意：引入辅助角。

asin θ＋bcos θ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab确定。

高三数学一轮总复习第五章三角函数（文）（教师用书）高考导航知识网络5.1 任意角的三角函数的概念典例精析题型一 象限角与终边相同的角【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、2α的终边所在的象限.【解析】因为α是第二象限角，所以k •360°＋90°＜α＜k •360°＋180°(k∈Z).因为2k •360°＋180°＜2α＜2k •360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y 轴的负半轴上.因为k •180°＋45°＜α2＜k •180°＋90°(k∈Z)，当k ＝2n(n ∈Z)时，n •360°＋45°＜α2＜n •360°＋90°，当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，n •360°＋225°＜α2＜n •360°＋270°.所以α2是第一或第三象限角.【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定α2所在象限.如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则α12、α22、α32、α42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了.【变式训练1】若角2α的终边在x 轴上方，那么角α是( ) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角 【解析】由题意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k ∈Z ， 得kπ＜α＜kπ＋π2，k ∈Z.当k 是奇数时，α是第三象限角.当k 是偶数时，α是第一象限角.故选C. 题型二 弧长公式，面积公式的应用【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.【解析】(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， 因为α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，所以l ＝10π3cm ，S 弓＝S 扇－SΔ＝12×10×10π3－12×102×sin 60°＝50(π3－32) cm2.(2)因为C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR，所以R ＝C2＋α， S 扇＝12αR2＝12α(C 2＋α)2＝C22•αα2＋4α＋4＝C22•1α＋4α＋4≤C216， 当且仅当α＝4α时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为C216.【点拨】用弧长公式l ＝ |α| R 与扇形面积公式S ＝12lR ＝12R2|α|时，α的单位必须是弧度.【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S ，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C 有最小值？并求出最小值.【解析】因为S ＝12Rl ，所以Rl ＝2S ，所以周长C ＝l ＋2R≥22Rl ＝24S ＝4S ， 当且仅当l ＝2R 时，C ＝4S ，所以当α＝lR＝2时，周长C 有最小值4S.题型三 三角函数的定义，三角函数线的应用【例3】(1)已知角α的终边与函数y ＝2x 的图象重合，求sin α；(2)求满足si n x≤32的角x 的集合.【解析】(1)由⎩⎨⎧=+=1222y x x y ⇒交点为(－55，－255)或(55，255)， 所以sin α＝±255.(2)①找终边：在y 轴正半轴上找出点(0，32)，过该点作平行于x 轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，则为角x 的终边，并写出对应的角. ②画区域：画出角x 的终边所在位置的阴影部分.③写集合：所求角x 的集合是{x|2kπ－4π3≤x≤2kπ＋π3，k ∈Z}.【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观. 【变式训练3】函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为 .【解析】⇒2k π＜x ≤2k π＋π3，k ∈Z.所以函数的定义域为{x|2kπ＜x≤2kπ＋π3，k ∈Z}.总结提高1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k ·360°＋π3的错误书写.3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.5.2 同角三角函数的关系、诱导公式典例精析题型一 三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限. 【变式训练1】已知f(x)＝1－x ，θ∈(3π4，π)，则f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝ .【解析】f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝1－sin 2θ＋1＋sin 2θ＝(sin θ－c os θ)2＋(sin θ＋cos θ)2＝|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|.因为θ∈(3π4，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.所以|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ. 题型二 三角函数式的求值问题【例2】已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2). (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求 θ的值.【解析】(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.【变式训练2】已知tan α＝12，则2sin αcos α＋cos2α等于( )A.45B.85C.65D.2【解析】原式＝2sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan α＋11＋tan2α＝85.故选B.题型三 三角函数式的简单应用问题【例3】已知－π2＜x ＜0且sin x ＋cos x ＝15，求：(1)sin x －cos x 的值；(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)的值.【解析】(1)由已知得2sin xcos x ＝－2425，且sin x ＜0＜cos x ，所以sin x －cos x ＝－(sin x －cos x)2＝－1－2sin xcos x ＝－1＋2425＝－75. (2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)＝cos3x －sin3x ＝(cos x －sin x)(cos2x ＋cos xsin x ＋sin2x)＝75×(1－1225)＝91125. 【点拨】求形如sin x±cos x 的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x±cos x 取值符号.【变式训练3】化简1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.【解析】原式＝1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α]1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)]＝2sin2αcos2α1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α]＝23.总结提高1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的.2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.5.3 两角和与差、二倍角的三角函数典例精析题型一 三角函数式的化简【例1】化简θθθθθ cos 22)2cos 2 )(sin cos sin 1(+-++(0＜θ＜π).【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以原式＝2cos 2)2cos 2 )(sin 2 cos 22 cos 2 sin 2(22θθθθθθ-+＝2cos 2)2cos 2 (sin 2 sin 222θθθθ-＝－cos θ.【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin2θ2－cos2θ2＝－cos θ.【变式训练1】化简2cos4x －2cos2x ＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).【解析】原式＝12(2cos2x －1)22tan(π4－x)cos2(π4－x)＝cos22x 4cos(π4－x)sin(π4－x)＝cos22x 2sin(π2－2x)＝12cos2x.题型二 三角函数式的求值 【例2】已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos 2x2cos(π4＋x)sin x的值.【解析】(1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x2＝2，所以tan x ＝2tan 12tan 22xx-＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos2x －sin2x 2(22cos x －22sin x)sin x＝(cos x －sin x)(cos x ＋sin x)(cos x －sin x)sin x ＝cos x ＋sin x sin x ＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14.【变式训练2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝ .【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3c os 25°cos 25°＝ 3.题型三 已知三角函数值求解【例3】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.【解析】因为tan 2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan2(α－β)＝43，所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2(α－β)＋tan β1－tan 2(α－β)tan β＝1，又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝13，因为α∈(0，π)，所以0＜α＜π4，又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4. 【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小. 【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin(α＋β)＝2sin α，则α与β的大小关系是( ) A .α＝β B.α＜βC.α＞βD.以上都有可能【解析】方法一：因为2sin α＝sin(α＋β)≤1，所以sin α≤12，又α是锐角，所以α≤30°.又当α＝30°，β＝60°时符合题意，故选B.方法二：因为2sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β， 所以sin α＜sin β.又因为α、β是锐角，所以α＜β，故选B. 总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具. (1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题； (2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；(3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.5.4 三角恒等变换典例精析题型一 三角函数的求值【例1】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值.【解析】由4tan α2＝1－tan2α2，得tan α＝2tan 12tan 22αα-＝12.由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1. 又因为α、β∈(0，π4)，所以α＋β＝π4.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.【变式训练1】如果tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( )A.1318B.1322C.723D.318【解析】因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝723.故选C.题型二 等式的证明【例2】求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2co s(α＋β).【证明】证法一： 右边＝sin [(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α＝sin [(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α＝左边.证法二：sin(2α＋β)sin α－sin βsin α＝sin(2α＋β)－sin βsin α＝2cos(α＋β)sin αsin α＝2cos(α＋β)，所以sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.【点拨】证法一将2α＋β写成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.【变式训练2】已知5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0.【证明】因为5sin α＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]， 所以5sin(α－β)cos β＋5cos(α－β)sin β＝3sin(α－β)cos β－3cos(α－β)sin β，所以2sin(α－β)cos β＋8cos(α－β)sin β＝0. 即tan(α－β)＋4tan β＝0. 题型三 三角恒等变换的应用【例3】已知△ABC 是非直角三角形.(1)求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan Atan Btan C ； (2)若A ＞B 且tan A ＝－2tan B ，求证：tan C ＝sin 2B3－cos 2B ；(3)在(2)的条件下，求tan C 的最大值. 【解析】(1)因为C ＝π－(A ＋B)， 所以tan C ＝－tan(A ＋B)＝－(tan A ＋tan B)1－tan Atan B，所以tan C －tan Atan Btan C ＝－tan A －tan B ， 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan Atan Btan C.(2)由(1)知tan C ＝－(tan A ＋tan B)1－tan Atan B ＝tan B 1＋2tan2B ＝sin Bcos B cos2B ＋2sin2B＝)2cos 2(22 sin B B-•＝sin 2B 2(2－1＋cos 2B 2)＝sin 2B 3－cos 2B .(3)由(2)知tan C ＝tan B 1＋2tan2B ＝12tan B ＋1tan B≤122＝24，当且仅当2tan B ＝1tan B ，即tan B ＝22时，等号成立.所以tan C 的最大值为24. 【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.【变式训练3】在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan Btan C ＝3，3tan A ＋3tan B ＋1＝tan Atan B ，试判断△ABC 的形状.【解析】由已知得tan B ＋tan C ＝3(1－tan Btan C)， 3(tan A ＋tan B)＝－(1－tan Atan B)， 即tan B ＋tan C 1－tan Btan C ＝3，tan A ＋tan B 1－tan Atan B ＝－33.所以tan(B ＋C)＝3，tan(A ＋B)＝－33. 因为0＜B ＋C ＜π，0＜A ＋B ＜π，所以B ＋C ＝π3，A ＋B ＝5π6.又A ＋B ＋C ＝π，故A ＝2π3，B ＝C ＝π6.所以△ABC 是顶角为2π3的等腰三角形.总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.5.5 三角函数的图象和性质典例精析题型一 三角函数的周期性与奇偶性【例1】已知函数f(x)＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)令g(x)＝f(x ＋π3)，判断g(x)的奇偶性.【解析】(1)f(x)＝2sin x 4cos x 4＋3cos x 2＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin(x 2＋π3)，所以f(x)的最小正周期T ＝2π12＝4π. (2)g(x)＝f(x ＋π3)＝2sin[12(x ＋π3)＋π3]＝2sin(x 2＋π2)＝2cos x2.所以g(x)为偶函数.【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.【变式训练1】函数y ＝sin2x ＋sin xcos x 的最小正周期T 等于( ) A.2πB.πC.π2D.π3【解析】y ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝22(22sin 2x －22cos 2x)＋12＝22sin(2x －π4)＋12，所以T ＝2π2＝π.故选B. 题型二 求函数的值域【例2】求下列函数的值域： (1)f(x)＝sin 2xsin x1－cos x ；(2)f(x)＝2cos(π3＋x)＋2cos x.【解析】(1)f(x)＝2sin xcos xsin x 1－cos x ＝2cos x(1－cos2x)1－cos x ＝2cos2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，当cos x ＝1时，f(x)max ＝4，但cos x≠1，所以f(x)＜4， 当cos x ＝－12时，f(x)min ＝－12，所以函数的值域为[－12，4).(2)f(x)＝2(cos π3cos x －sin π3sin x)＋2cos x＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)， 所以函数的值域为[－23，23].【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.【变式训练2】求y ＝sin x ＋cos x ＋sin xcos x 的值域.【解析】令t ＝sin x ＋cos x ，则有t2＝1＋2sin xcos x ，即sin xcos x ＝t2－12.所以y ＝f(t)＝t ＋t2－12＝12(t ＋1)2－1.又t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，所以－2≤t≤ 2.故y ＝f(t)＝12(t ＋1)2－1(－2≤t≤2)，从而f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋12.所以函数的值域为[－1，2＋12].题型三 三角函数的单调性【例3】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示.(1)求ω，φ的值；(2)设g(x)＝f(x)f(x －π4)，求函数g(x)的单调递增区间.【解析】(1)由图可知，T ＝4(π2－π4)＝π，ω＝2πT＝2.又由f(π2)＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sin φ＝－1.因为|φ|＜π，所以φ＝－π2. (2)f(x)＝sin(2x －π2)＝－cos 2x.所以g(x)＝(－cos 2x)[－cos(2x －π2)]＝cos 2xsin 2x ＝12sin 4x.所以当2kπ－π2≤4x≤2kπ＋π2，即kπ2－π8≤x≤kπ2＋π8(k ∈Z)时g(x)单调递增.故函数g(x)的单调增区间为[kπ2－π8，kπ2＋π8](k ∈Z).【点拨】观察图象，获得T 的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法. 【变式训练3】使函数y ＝sin(π6－2x)(x ∈[0，π])为增函数的区间是( )A.[0，π3]B.[π12，7π12]C.[π3，5π6]D.[5π6，π]【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.总结提高1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.5.6 函数y ＝Asin(ωx ＋ )的图象和性质典例精析题型一 “五点法”作函数图象【例1】设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到.【解析】(1)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2(12sin ωx ＋32cos ωx)＝2sin(ωx＋π3)，又因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x ＋π3)，所以函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的振幅为2，初相为π3.(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.(3)把y ＝sin x 图象上的所有点向左平移π3个单位，得到y ＝sin(x ＋π3)的图象，再把y ＝sin(x ＋π3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x ＋π3)的图象，然后把y ＝sin(2x ＋π3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象.【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y ＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π求出相应的x 值及相应的y 值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.【变式训练1】函数的图象如图所示，则( ) A.k ＝12，ω＝12，φ＝π6B.k ＝12，ω＝12，φ＝π3C.k ＝12，ω＝2，φ＝π6D.k ＝－2，ω＝12，φ＝π3【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k ＝12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T ＝4×(8π3－5π3)＝4π，故ω＝12.将点(5π3，0)代入解析式y ＝2sin(12x ＋φ)，得12×5π3＋φ＝kπ，k ∈Z ，所以φ＝kπ－5π6，k ∈Z.结合各选项可知，选项A 正确.题型二 三角函数的单调性与值域【例2】已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sin ωxsin(ωx＋π2)＋2cos2ωx，x ∈R(ω＞0)在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω的值；(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间. 【解析】(1)f(x)＝32sin 2ωx＋12cos 2ωx＋32＝sin(2ωx＋π6)＋32. 令2ωx＋π6＝π2，将x ＝π6代入可得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x ＋π6)＋32，经过题设的变化得到函数g(x)＝sin(12x －π6)＋32， 当x ＝4kπ＋43π，k ∈Z 时，函数g(x)取得最大值52.令2kπ＋π2≤12x －π6≤2kπ＋32π，即[4kπ＋4π3，4kπ＋103π](k∈Z)为函数的单调递减区间.【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.【变式训练2】若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是( ) A.π4B.π3C.π2D.3π4【解析】将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到y ＝2sin[3(x －π4)＋φ]＝2sin(3x －3π4＋φ)的图象.因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，故有π4＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－π4(k ∈Z).当k ＝0时，|φ|取得最小值π4，故选A. 题型三 三角函数的综合应用【例3】已知函数y ＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2). (1)求φ的值；(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008).【解析】(1)y ＝Asin2(ωx＋φ)＝A 2－A2cos(2ωx＋2φ)，因为y ＝f(x)的最大值为2，又A ＞0， 所以A 2＋A2＝2，所以A ＝2，又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0， 所以12×2π2ω＝2，所以ω＝π4.所以f(x)＝22－22cos(π2x ＋2φ)＝1－cos(π2x ＋2φ)，因为y ＝f(x)过点(1,2)，所以cos(π2＋2φ)＝－1.所以π2＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，解得φ＝kπ＋π4(k ∈Z)，又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π4.(2)方法一：因为φ＝π4，所以y ＝1－cos(π2x ＋π2)＝1＋sin π2x ，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，又因为y ＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502.所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.方法二：因为f(x)＝2sin2(π4x ＋φ)， 所以f(1)＋f(3)＝2sin2(π4＋φ)＋2sin2(3π4＋φ)＝2，f(2)＋f(4)＝2sin2(π2＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，又因为y ＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502.所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.【点拨】函数y ＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ，可得x ＝kπ－φω，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.【变式训练3】已知函数f(x)＝Acos2ωx＋2(A ＞0，ω＞0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝ .【解析】f(x)＝Acos2ωx＋2＝A×1＋cos 2ωx 2＋2＝Acos 2ωx 2＋A2＋2，则由题意知A ＋2＝6，2π2ω＝8，所以A ＝4，ω＝π8，所以f(x)＝2cos π4x ＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…观察周期性规律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38. 总结提高1.用“五点法”作y ＝Asin(ωx＋φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx＋φ的取值，以便列表时能使x 在给定的区间内取值.2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x 本身而言的，无论沿x 轴平移还是伸缩，变化的总是x.3.在解决y ＝Asin(ωx＋φ)的有关性质时，应将ωx＋φ视为一个整体x 后再与基本函数 y ＝sin x 的性质对应求解.5.7 正弦定理和余弦定理典例精析题型一 利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，cos C ＝34.(1)求sin A 的值；(2)求•的值. 【解析】(1)由cos C ＝34得sin C ＝74.所以sin A ＝BC sin CAB＝1×742＝148. (2)由(1)知，cos A ＝528.所以cos B ＝－cos(A ＋C)＝－cos Acos C ＋sin Asin C ＝－15232＋7232＝－24.所以BC ·CA ＝BC ·(CB ＋BA )＝BC •CB ＋BC •BA ＝－1＋1×2×cos B＝－1－12＝－32.【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识. 【变式训练1】在△ABC 中，已知a 、b 、c 为它的三边，且三角形的面积为a2＋b2－c24，则∠C ＝ .【解析】S ＝a2＋b2－c24＝12absin C.所以sin C ＝a2＋b2－c22ab ＝cos C.所以tan C ＝1，又∠C ∈(0，π)，所以∠C ＝π4. 题型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设△ABC 是锐角三角形，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边长，并且sin2A ＝sin(π3＋B)sin(π3－B)＋sin2B.(1)求角A 的值；(2)若AB •AC ＝12，a ＝27，求b ，c(其中b ＜c). 【解析】(1)因为sin2A ＝(32cos B ＋12sin B)(32cos B －12sin B)＋sin2B ＝34cos2B －14sin2B ＋sin2B ＝34，所以sin A ＝±32.又A 为锐角，所以A ＝π3.(2)由AB •AC ＝12可得cbcos A ＝12.① 由(1)知A ＝π3，所以cb ＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A ，将a ＝27及①代入得c2＋b2＝52.③ ③＋②×2，得(c ＋b)2＝100，所以c ＋b ＝10.因此，c ，b 是一元二次方程t2－10t ＋24＝0的两个根. 又b ＜c ，所以b ＝4，c ＝6.【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.【变式训练2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足(2a －c)cos B ＝ bcos C.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积. 【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理得 a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ， 代入(2a －c)cos B ＝bcos C ，整理得2sin Acos B ＝sin Bcos C ＋sin C •cos B ， 即2sin Acos B ＝sin(B ＋C)＝sin A ， 在△ABC 中，sin A ＞0,2cos B ＝1，因为∠B 是三角形的内角，所以B ＝60°.(2)在△ABC 中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac •cos B ＝(a ＋c)2－2ac －2ac •cos B ，将b ＝7，a ＋c ＝4代入整理，得ac ＝3. 故S △ABC ＝12acsin B ＝32sin 60°＝334.题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】(2010陕西)如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点.现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D 点需要多长时间？【解析】由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，所以∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，所以DB ＝ADB DAB AB ∠∠•sin sin ＝︒︒+•105 sin 45 sin )33(5＝︒︒+︒︒︒+•60 sin 45 cos 60 cos 45 sin 45 sin )33(5＝53(3＋1)3＋12＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里， 在△DBC 中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD •BC •cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，所以CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时).所以，救援船到达D 点需要1小时.【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是： (1)根据题意，抽象地构造出三角形；(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系；(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解；(4)给出结论.【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件 时，该船没有触礁危险.【解析】由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin(90°－α)＝m sin(α－β)，解得BM ＝mcos αsin(α－β)，要使船没有触礁危险需要BM sin(90°－β)＝mcos αcos βsin(α－β)＞n.所以α与β的关系满足mcos αcos β＞nsin(α－β)时，船没有触礁危险.总结提高1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角A ＞B 与sin A ＞sin B 是一种等价关系.2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解.3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解.5.8 三角函数的综合应用典例精析题型一 利用三角函数的性质解应用题【例1】如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是一半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在上，相邻两边CQ 、CR 分别落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值.【解析】如图，连接AP ，过P 作PM ⊥AB 于M.设∠PAM ＝α，0≤α≤π2， 则PM ＝90sin α，AM ＝90cos α，所以PQ ＝100－90cos α，PR ＝100－90sin α，于是S 四边形PQCR ＝PQ ·PR＝(100－90cos α)(100－90sin α)＝8 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000.设t ＝sin α＋cos α，则1≤t≤2，sin αcos α＝t2－12. S 四边形PQCR ＝8 100·t2－12－9 000t ＋10 000 ＝4 050(t －109)2＋950 (1≤t≤2). 当t ＝2时，(S 四边形PQCR)max ＝14 050－9 000 2 m2；当t ＝109时，(S 四边形PQCR)min ＝950 m2. 【点拨】同时含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函数求最值时，可设sin θ±cos θ＝t ，把sin θcos θ用t 表示，从而把问题转化成关于t 的二次函数的最值问题.注意t 的取值范围.【变式训练1】若0＜x ＜π2，则4x 与sin 3x 的大小关系是( ) A.4x ＞sin 3x B.4x ＜sin 3xC.4x≥sin 3xD.与x 的值有关【解析】令f(x)＝4x －sin 3x ，则f′(x)＝4－3cos 3x.因为f′(x)＝4－3cos 3x ＞0，所以f(x)为增函数.又0＜x ＜π2，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x －sin 3x ＞0.所以4x ＞sin 3x.故选A.题型二 函数y ＝Asin(ωx＋φ)模型的应用【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f(t).下表是某日各时的浪花高度数据.经长期观测，y ＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y ＝Acos ωt＋b.(1)根据以上数据，求出函数y ＝Acos ωt＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【解析】(1)由表中数据知，周期T ＝12，所以ω＝2πT ＝2π12＝π6. 由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5，由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以A ＝0.5，b ＝1，所以振幅为12.所以y ＝12cos π6t ＋1. (2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放，所以12cos π6t ＋1＞1，所以cos π6t ＞0， 所以2kπ－π2＜π6t ＜2kπ＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3.① 因为0≤t≤24，故可令①中k 分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t ＜15或21＜t≤24.故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.【点拨】用y ＝Asin(ωx＋φ)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式.【变式训练2】如图，一个半径为10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d m(P 在水面下则d 为负数)，则d(m)与时间t(s)之间满足关系式：d ＝Asin(ωt＋φ)＋k(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，且当点P 从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①A ＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k ＝5.其中正确结论的序号是 . 【解析】①②④.题型三 正、余弦定理的应用【例3】为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和A 、B 之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算M 、N 间距离的步骤.【解析】(1)如图所示：①测AB 间的距离a ；②测俯角∠MAB ＝φ，∠NAB ＝θ，∠MBA ＝β，∠NBA ＝γ.(2)在△ABM 中 ，∠AMB ＝π－φ－β，由正弦定理得BM ＝A Bsin φsin ∠AMB ＝asin φsin(φ＋β)， 同理在△BAN 中，BN ＝ABsin θsin ∠ANB ＝asin θsin(θ＋γ)， 所以在△BMN 中，由余弦定理得MN ＝MBN BN BM BN BM ∠-+•cos 222＝a2sin2φsin2(φ＋β)＋a2sin2θsin2(θ＋γ)－2a2sin θsin φcos (γ－β)sin(φ＋β)sin(θ＋γ). 【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是 海里/小时.【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB ＝10，∠OCB ＝60°，∠OCA ＝75°.我们只需计算出OC 的长，即可得出船速.在直角三角形OCA 和OCB 中，显然有OB OC＝tan ∠OCB ＝tan 60°且OA OC＝tan ∠OCA ＝tan 75°， 因此易得AB ＝OA －OB ＝OC(tan 75°－tan 60°)，即有OC ＝AB tan 75°－tan 60°＝10tan 75°－tan 60°＝10tan(30°＋45°)－tan 60°＝10tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°－ta n 60°＝1013＋11－13－3＝5.由此可得船的速度为5海里÷0.5小时＝10海里/小时.总结提高1.解三角形的应用题时应注意：(1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等；(2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解；(3)方程思想在解题中的运用.2.解三角函数的综合题时应注意：(1)与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；(2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asi n(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsin x＋c；(3)换元方法在解题中的运用.。

三角函数、诱导公式及解三角形【基础知识】 一、1象限角2弧长公式：=l ，扇形面积公式：=s ，3任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么=αsin ，=αcos ，=αtan ， (0)y ≠。

4同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： （2）商数关系： . 5三角函数诱导公式（2k πα+）的本质是：奇变偶不变，符号看象限.二、1．两角和与差βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±;βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。

2．二倍角 αααcos sin 22sin =；22tan tan 21tan ααα=-；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 3．降幂公式 ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=4．辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+sin cos ϕϕ==其中5.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 6.余弦定理：222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧⎪=+-+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩7．三角形面积公式：C ab ah S ABC sin 2121==∆ 三、1．三角函数:角α终边上任一点P ),(y x ,设||OP r = 则：sin ,cos ,tan y x yαααr r x===2．sin()y A ωx φ=+ 对称轴：令2x k +=+πωϕπ，得2πk πφx ω-+=对称中心：))(0,(Z k k ∈-ωϕπ；3.周期:①函数sin()y A x =+ωϕ及cos()y A x =+ωϕ的周期2πT ω=②函数()φω+=x A y tan 的周期πT ω=.4．同角三角函数的基本关系：22sin sin cos 1;tan cos xx x x x +==【基础训练】一、选择题：6. （川06） 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（ ）A⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin πx y B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y C⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34cos πx y D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62cos πx y 4．（川08）()=+x x x 2cos cot tan （ ） A x tanB x sinC x cosD x cot7．（川08）ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边边长分别是a 、b 、c ，若ba 25=，B A 2= ，则=B cos （ ）A 35B 45C 55D 655．（川08延）已知21tan =α，则=-+ααααsin cos sin cos （ ）A 2B 2-C 3D 3-4. （川09）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin )(πx x f （R x ∈），下面结论错误的是（ ） A. 函数)(x f 的最小正周期为π2 B. 函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是增函数C. 函数)(x f 的图像关于直线0=x 对称D. 函数)(x f 是奇函数7．（川10）将函数x y sin =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102sin πx y B⎪⎭⎫ ⎝⎛-=52sin πx yC⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021sin πx y D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2021sin πx y 8．（川11）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，则A 的取值范围是（ ）A ⎥⎦⎤ ⎝⎛6,0πB ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,6C ⎥⎦⎤ ⎝⎛3,0πD ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,36．(2013四川)函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，π3-B ．2，π6-C ．4，π6-D ．4，π3二、填空题：1、（2011·江西）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,P y 是角θ终边上一点，且552sin -=θ，则y =_____. 14．（川08延）函数x x x f 2cos sin 3)(-=的最大值是____________. 14．(2013四川)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________． 4、(2013·江苏高考)函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为.【提高训练】18.（川06）已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量()3,1-=，()A A sin ,cos =，且1=⋅⑴求角A⑵若3sin cos 2sin 122-=-+B B B，求B tan18．（川07）已知71cos =α，1413)cos(=-βα，且20παβ<<<， ⑴求α2tan 的值 ⑵求β17．（川08）求函数x x x x y 42cos 4cos 4cos sin 47-+-=的最大值与最小值17．（川08延）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c ，已知2222b c a =+⑴若4π=B ，且A 为钝角，求内角A 与C 的大小⑵求B sin 的最大值17．（川09）在ABC ∆中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且55sin =A ，1010sin =B ⑴求B A +的值；⑵若12-=-b a ，求a 、b 、c 的值。

新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座第4讲 三角函数（一）任意角的三角函数及诱导公式一．课标要求： 1．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切）。

二．命题走向从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。

三．要点精讲1．任意角的概念注意：我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。

如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角、象限角与轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π，65π]。

轴线角：终边落在坐标轴上的角。

3．弧度制角α的弧度数的绝对值是：rl =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。

角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=。

弧度与角度互换公式：1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝180π≈0.01745（rad ）。

弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==。

高三文科数学专题复习--三角函数、解三角形-(教师版)高三文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·福建，6)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.125 B.－125 C.512D.－5121.解析∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D. 答案D2.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝()A.45 B.35 C.－35D.－452.解析记P(－4，3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝（－4）2＋32＝5，故cos α＝xr＝－45＝－45，故选D.3.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则( )A.sin α＞0B.cos α＞0C.sin 2α＞0D.cos 2α＞03.解析 由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. 答案 C4.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝________. 4.解析 由题意，得cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案 －43 5.(2016·四川，11)sin 750°＝________.5.解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，(k ∈Z)， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12. 答案 126.(2015·四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．6.解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin α·cos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1， ∴原式＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－1. 答案 －1 B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·济南一中高三期中)若点(4，a )在12y x =图象上，则tan a6π的值为( ) A.0 B.33 C.1D. 31.解析 ∵a ＝412＝2， ∴tan a6π＝ 3. 答案 D2.(2016·贵州4月适应性考试)若sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎫π－2α＝( )A.2425B.1225C.－1225D.－24252.解析 由sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝－35得cos α＝－35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π， 则sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425. 答案 D3.(2016·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P (2，－1)，则sin α－cos αsin α＋cos α＝( )A.3B.13C.－13D.－33.解析 因为角α终边经过点P (2，－1)，所以tan α＝－12，sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝－12－1－12＋1＝－3，故选D.4.(2015·乐山市调研)若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )A.－33B.33 C.－ 3D. 34.解析 －10π3＝－4π＋2π3，所以－10π3与2π3的终边相同，所以tan 2π3＝－3＝－y ，则y ＝ 3. 答案 D5.(2015·石家庄一模)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( )A.－1－k 2B.1－k 2C.－kD.±1－k 25.解析 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以sin α>0，则sin ⎝⎛⎭⎫π＋α＝－sinα＝－1－cos 2 α＝－1－k 2，故选A. 答案 A6.(2015·洛阳市统考)已知△ABC 为锐角三角形,且A 为最小角,则点P (sin A -cos B ,3cos A -1)位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.解析 由题意得，A ＋B ＞π2即A ＞π2－B ，且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π3，π2－B ＞0，故sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－B ＝cos B ，即sin A －cos B ＞0， 3cos A－1＞3×12－1＝12， 故点P 在第一象限. 答案 A7.(2016·山东日照第一次模拟)已知角α为第二象限角，cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝45，则cos α＝________.7.解析 sin α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝45， 又α为第二象限角， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－35. 答案 －358.(2015·湖南长沙一模)在平面直角坐标系xOy 中，将点A (3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB 的倾斜角为α，则tan 2α的值为________.8.解析 设点A (3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，由三角函数的定义可知：sin θ＝12，cos θ＝32，则θ＝2k π＋π6(k ∈Z)， 则A (2cos θ，2sin θ)，设B (x ，y )，由已知得x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2k π＋2π3＝－1，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π＋23π＝3， 所以B (－1，3)，且tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝ 3. 答案 (－1，3)3专题二 三角函数的图象与性质 A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π31.解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，故选D. 答案 D2.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π32.解析 由题图可知，T ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，故选A. 答案 A3.(2016·四川，4)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度 B .向右平行移动π3个单位长度C.向上平行移动π3个单位长度 D .向下平行移动π3个单位长度3.解析 由y ＝sin x 得到y ＝sin(x ±a )的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A4．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z4.解析 由图象知T 2＝54－14＝1， ∴T ＝2.由选项知D 正确． 答案 D5.(2015·山东，4)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位5.解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π12， ∴要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x的图象向右平移π12个单位． 答案 B6.(2014·天津，8)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C.π D.2π6.解析 由题意得函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)， 又曲线y＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3， 即2π3ω＝π3，解得ω＝2，所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω＝π. 答案 C7.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B.π C.2πD.4π7.解析由余弦函数的复合函数周期公式得T＝2π2＝π. 答案B8.(2014·四川，3)为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点()A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度8.解析由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案A9.(2014·浙江，4)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝2cos 3x的图象()A.向右平移π12个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π12个单位 D.向左平移π4个单位9.解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －π4的图象．答案 A 10.(2014·安徽，7)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π410.解析 方法一 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4－2φ，由该函数为偶函数可知2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ， 所以φ的最小正值为3π8.方法二 f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π，k ∈Z ， 所以φ的最小正值为3π8. 答案 C11.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③11.解析 ①y ＝cos|2x |，最小正周期为π；②y ＝|cos x |，最小正周期为π；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，最小正周期为π；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4，最小正周期为π2，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案 A12.(2014·福建，7)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( ) A.y ＝f (x )是奇函数 B.y ＝f (x )的周期为πC.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D.y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0对称12.解析 函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2＝cos x 的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，排除A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x ＝π2对称，排除C ；故选D. 答案 D13.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.13.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3，由y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到. 答案 π314.(2015·天津，11)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数 y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 14.解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π4， 由－π2＋2k π≤ωx ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤ωx ≤π4＋2k π， 由题意f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k ＝0，ω≥π2，又函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称， 所以sin(ω2＋π4)＝1，ω2＋π4＝π2， 所以ω＝π2. 答案 π215.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．15.解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5， ∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 816.(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.16.解析 由⎩⎨⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx ，知sin ωx ＝cos ωx ， 即sin ωx －cos ωx ＝0， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π4＝0，∴ωx ＝π4＋k π，x ＝1ω⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋k π(k ∈Z)， ∴两函数交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋k π，2(k ＝0，2，4，…)， 或⎝⎛⎭⎪⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋k π，－2(k ＝…，－3，－1，1，3，…) ∴最短距离为（22）2＋π2ω2＝23，∴π2ω2＝4， ∴ω＝π2. 答案 π217.(2014·重庆，13)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝________.17.解析 把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π6的图象， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案 2218.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π22π xπ3 5π6A sin(ωx ＋φ)0 5－5(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．18.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π61312π A sin(ωx ＋φ)5－5 0且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎪⎪2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z. 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z.即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π12，0.19.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．19.解 (1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24， 所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8. 故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.20.(2014·四川，17)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sinα的值．20.解 (1)由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z.(2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)， 所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52.21.(2014·福建，18)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．21.解 f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.22.(2014·北京，16)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．22.解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5π6，0. 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3 B.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6C.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π3 D.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π6 1.解析 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，则有g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6. 答案 B2.(2016·山西四校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋φ－π2⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示， 则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π－π6，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π－π3，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z2.解析 依题意得T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12－π3＝π，ω＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫φ＋π6＝1，又|φ|<π2，因此φ＝－π6，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －2π3.当f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3取得最小值时，2x －π3＝2k π－π，k ∈Z ，即x ＝k π－π3，k ∈Z ， 答案 B3.(2015·石家庄模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C.0 D.－π43.解析 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位， 得g (x )＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，又g (x )的函数图象关于y 轴对称，所以g (x )为偶函数， 所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π4(k ∈Z)， 当k ＝0时，φ＝π4，故选B. 答案 B4.(2015·黄冈模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π4－x 是( )A.奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D.偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，0对称4.解析 当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －3π4(A ＞0)， 所以y ＝f (3π4－x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π4－x ＋3π4＝－A cos x ，所以函数为偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，0对称，选D. 答案 D 5.(2015·河南焦作市统考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( ) A.关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，0对称 B.关于直线x ＝5π12对称 C.关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π12，0对称 D.关于直线x ＝π12对称5.解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6， π＋2k π≤2x ＋π6≤2π＋2k π，k ∈Z ，即5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z)6.(2015·怀化市监测)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x 的单调增区间为________.6.解析 由于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π， 故2πω＝π，ω＝2.把其图象向右平移π12个单位后得到函数的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π12＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋φ，为奇函数， ∴－π6＋φ＝k π，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∴φ＝π6，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6.令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2－π12，k ∈Z ， 故函数的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z).故点⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π12，0是函数的一个对称中心. 答案 C 7.(2015·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝32sin ωx ＋32cosωx (ω＞0)的周期为4. (1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，P ，Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小.7.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin ωx cos π3＋cos ωx sin π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π3.∵T ＝4，ω＞0，∴ω＝2π4＝π2. ∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2x ＋π3.(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )＝3sin π2x . ∵P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点， ∴P (1，3)，Q (3，－3).∴OP ＝2，PQ ＝4，OQ ＝12， ∴cos ∠OQP ＝OQ 2＋PQ 2－OP 22OQ ·QP ＝32.∵∠OQP 是△OPQ 的一个内角， ∴∠OQP ＝π6.专题三 三角恒等变换A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.451.解析 tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45. 答案 D 2.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.72.解析 因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 B 3.(2015·重庆，6)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.563.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝12－131＋12×13＝17. 答案 A 4.(2016·浙江，11)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.4.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，∴A ＝2，b ＝1. 答案 2 15.(2016·山东，17)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6的值.5.解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos2x ＋3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k∈Z).所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)⎝⎛⎭⎪⎪⎫或⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－π12，k π＋5π12（k ∈Z ）.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3＋3－1的图象.再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.6.(2016·北京，16)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值； (2)求f (x )的单调递增区间.6.解 (1)f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π4 由ω＞0，f (x )最小正周期为π得2π2ω＝π， 解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4，令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z).7.(2015·广东，16)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．7.解 (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 8.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2π3上的最小值．8.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3－ 3.所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3时，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－ 3.9.(2015·福建，21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x 2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象， 且函数g (x )的最大值为2. ①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.9.(1)解 因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x 2＝53sin x ＋5cos x ＋5＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＋5， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)证明 ①将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图象，再向下平移a(a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象． 又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45. 由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45.由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45. 因为y ＝sin x 的周期为2π， 所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z)时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞45.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.10.(2014·广东，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值； (2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θ.10.解 (1)∵f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12＝322， ∴A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12＋π3＝322⇒A sin 3π4＝322⇒A ＝3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3， ∵f (θ)－f (－θ)＝3， ∴3sin(θ＋π3)－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－θ＋π3＝3， 展开得3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝3， 化简得sin θ＝33.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴cos θ＝63. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θ＝3sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.11.(2014·浙江,18)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知4sin 2A －B 2＋4sin A sin ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小； (2)已知b ＝4,△ABC 的面积为6,求边长c 的值．11.解 (1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22. 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)因为S △ABC ＝12ab sin C ， 由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝32，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·江西九校联考)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－α等于( )A.7B.17C.－17 D.－71.解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π，3π2，cos α＝－45， ∴sin α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝34， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝17. 答案 B2.(2016·洛阳统考)若α∈[0，2π)，则满足1＋sin 2α＝sin α＋cos α的α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2B.⎣⎡⎦⎤0，πC.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，3π4D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，3π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫7π4，2π 2.解析 由1＋sin 2α＝sin α＋cos α得sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4≥0，又因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，3π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫7π4，2π，故选D. 答案 D3.(2016·河南六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A.a <c <b B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b3.解析 利用三角公式化简得a ＝12cos 2°－32sin 2°＝cos(60°＋2°)＝cos 62°＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 2 25°＝sin 25°.因为sin 25°<sin 28°<tan 28°， 所以c <a <b ，故选D. 答案 D4.(2015·大庆市质检二)已知sin α＝54，则sin 2α－cos 2α的值为( )A.－18B.－38C.18D.384.解析 sin 2α－cos 2α＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝－38. 答案 B5.(2015·烟台模拟)已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β等于( )A.－6365B.－3365C.3365D.63655.解析 ∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－513＜0，cos α＝35，∴π2＜α＋β＜π， ∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45. 又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365. 答案 C6.(2015·河北唐山模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( )A.43B.－43C.43或0 D.－43或0 6.解析 因为2sin 2α＝1＋cos 2α，所以2sin 2α＝2cos 2 α， 所以2cos α·(2sin α－cos α)＝0，解得cos α＝0或tan α＝12.若cos α＝0，则α＝k π＋π2，k ∈Z ， 2α＝2k π＋π，k ∈Z ，所以tan 2α＝0；若tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝43. 综上所述，故选C. 答案 C7.(2015·巴蜀中学一模)已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝12，则tan β＝________.7.解析∵sin αcos α1－cos 2α＝sin αcos α2sin2α＝cos α2sin α＝12，∴tan α＝1.∵tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝12，∴tan β＝13. 答案138.(2015·河南洛阳统考)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cosβ，sin β)，|a－b|＝413 13.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，求sin α的值.8.解(1)∵a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，∴|a－b|2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝513.(2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，∴cos β＝35且0＜α－β＜π.又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β＝1213×35＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝1665.专题四 解三角形A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A.2B.3C.2D.31.解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫b ＝－13舍去，故选D.答案 D2.(2016·山东，8)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6 2.解析 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )，又∵a 2＝2b 2(1－sin A )，∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，故选C.答案 C3.(2015·广东,5)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a ＝2,c ＝23,cos A ＝32,且b <c ,则b ＝( )A.3B.22C.2D. 33.解析 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2. 答案 C4.(2014·四川，8)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A．240(3－1)m B．180(2－1)m C．120(3－1)m D．30(3＋1)m4.解析∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C. 答案C5.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝45，cos C＝513，a＝1，则b＝________.5.解析在△ABC中由cos A＝45，cos C＝513，可得sin A＝35，。

第12讲 三角函数1--三角变换（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）1、两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m 。

2、二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

3、半角公式2cos 12sinαα-±= 2cos 12cos αα+±=αααcos 1cos 12tan +-±= （αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=） 4、三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=. αα2cos 1sin 22-= αα2cos 1cos 22+=（2）辅助角公式()22sin cos sin a x b x a b x ϕ+=++，2222sin cos a ba bϕϕ==++其中积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin 和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 5、三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。