2019年高考数学二轮复习 组合增分练2 客观题综合练B 理.doc

组合增分练2 客观题综合练B一、选择题1.设集合M={x|x=2k+1,k ∈Z },N={x|x=k+2,k ∈Z },则( ) A .M ⊆N B .M=N C .N ⊆M D .M ∩N=⌀ 答案 A解析 ∵集合M={x|x=2k+1,k ∈Z }={奇数},N={x|x=k+2,k ∈Z }={整数},∴M ⊆N.故选A . 2.复数z 满足(1+i)z=i +2,则z 的虚部为( ) A .32B .12C .-12D .-12i答案 C解析 ∵(1+i)z=i +2,∴(1-i)(1+i)z=(i +2)(1-i),∴2z=3-i,∴z=32−12i .则z 的虚部为-12,故选C .3.(宁夏银川一中二模,理3)若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x 2+y 2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则1a+1b的最小值是( ) A .12B .-12C .-2D .4答案 D解析 圆x 2+y 2+2x-4y+1=0,即(x+1)2+(y-2)2=4,表示以(-1,2)为圆心、半径等于2的圆.再根据弦长为4,可得2ax-by+2=0(a>0,b>0)经过圆心,故有-2a-2b+2=0,求得a+b=1,则1a+1b=a+b a +a+b b =2+b a +ab≥4,当且仅当a=b=12时,取等号,故1a +1b的最小值为4,故选D .4.(宁夏银川一中二模,理4)若随机变量X~N (μ,σ2)(σ>0),则有如下结论:P (|X-μ|<σ)=0.682 6,P (|X-μ|<2σ)=0.954 4,P (|X-μ|<3σ)=0.997 4.高三(1)班有40名同学,一次数学考试的成绩服从正态分布,平均分为120,方差为100,理论上在130分以上人数约为( ) A .19 B .12 C .6 D .5 答案 C解析 μ=120,σ=√100=10,∴P=0.682 6,∴P (R>130)=12[1-P ]=12×0.317 4=0.158 7, ∴130分以上的人数约为40×0.158 7≈6.故选C .5.执行如图所示的程序框图,则输出的S 等于 ( )A.12 B.35 C .56D .67答案 C解析 模拟执行程序,可得S=600,i=1,执行循环体,S=600,i=2,不满足条件S<1,执行循环体,S=300,i=3, 不满足条件S<1,执行循环体,S=100,i=4, 不满足条件S<1,执行循环体,S=25,i=5, 不满足条件S<1,执行循环体,S=5,i=6,不满足条件S<1,执行循环体,S=56,i=7,满足条件S<1,退出循环,输出S 的值为56.故选C .6.(宁夏银川一中二模,理6)某校校庆期间,大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作,根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加,则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为( ) A .12B .13C .16D .14答案 C解析 从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作,根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加,且列队服务,基本事件总数n=(C 21C 53+C 22C 52)A 44=720,甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数m=C 22C 52A 22A 32=120,故甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率p=mn =120720=16.故选C .7.(宁夏银川一中二模,理7)在自然界中存在着大量的周期函数,比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为y 1=3√2sin(100πt ),y 2=3sin (100πt -π4),则这两个声波合成后(即y=y 1+y 2)的声波的振幅为( ) A .6√2 B .3+3√2C .3√2D .3√5答案 D解析 ∵y 1=3√2sin(100πt ),y 2=3sin (100πt -π4),∴y=y 1+y 2=3√2sin(100πt )+3sin (100πt -π4)=9√22sin(100πt )-3√22cos(100πt ) =3√5sin(100πt-θ)(tanθ=13),则函数的振幅为3√5,故选D .8.(宁夏银川一中二模,理8)今年“五一”期间,某公园举行免费游园活动,免费开放一天,早晨6时30分有2人进入公园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来…按照这种规律进行下去,到上午11时公园内的人数是( ) A .212-57 B .211-47 C .210-38 D .29-30 答案 B解析 设每个30分钟进去的人数构成数列{a n },则a 1=2=2-0,a 2=4-1,a 3=8-2,a 4=16-3,a 5=32-4,…,所以a n =2n -(n-1),设数列{a n }的前n 项和为S n ,依题意,S 10=(2-0)+(22-1)+(23-2)+…+(210-9)=(2+22+23+…+210)-(1+2+…+9)=211-47,故选B .9.如图,网格纸的小正方形的边长为1,粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )A.5B.7C.2+√3D.3+√3答案 B解析 根据几何体的三视图,得该几何体是上部为三棱柱,下部为长方体的组合体,且三棱柱的底面为底边长是1,底边上的高是1的三角形,三棱柱的高是3,长方体的底面是边长为1的正方形,高是2,所以该几何体的体积为V=V 三棱柱+V 长方体=12×1×1×3+1×1×2=72.故选B . 10.已知向量a ,b 的夹角为120°,且|a |=1,|b |=2,则向量a+b 在向量a 方向上的投影是( ) A.0B.2C.-1D.1答案 A解析 向量a ,b 的夹角为θ=120°,且|a |=1,|b |=2,∴(a+b )·a=a 2+a ·b =12+1×2×cos 120°=0,∴向量a+b 在向量a 方向上的投影是|a+b|cos <a+b ,a >=|a+b |×(a+b )·a|a+b |×|a |=(a+b )·a|a |=0.故选A . 11.函数y=3x cos3x9x -1的图象大致为( )答案 D解析 函数y=3x cos3x9x -1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f (-x )=3-x cos (-3x )9-x -1=-3x cos3x 9x -1=-f (x ),故函数为奇函数,图象关于原点对称,故A 错误.由分子中cos 3x 的符号呈周期性变化,故函数的符号也呈周期性变化,故C 错误; 当x ∈(0,π6)时,f (x )>0,故B 错误,故选D .12.对于函数y=f (x ),若存在区间[a ,b ],当x ∈[a ,b ]时的值域为[ka ,kb ](k>0),则称y=f (x )为k 倍值函数.若f (x )=ln x+x 是k 倍值函数,则实数k 的取值范围是( ) 〚导学号16804236〛 A.(0,1+1e )B.(1,1+1e )C .(1,1+e)D .(1,1+e 2) 答案 B解析 ∵f (x )=ln x+x ,定义域为{x|x>0},f (x )在定义域内为单调增函数,因此有f (a )=ka ,f (b )=kb ,即ln a+a=ka ,ln b+b=kb , 即a ,b 为方程ln x+x=kx 的两个不同根.∴k=1+lnx x ,令k=1+lnxx =g (x ),再令g'(x )=1-lnxx 2=0, 可得极大值点x=e,故g (x )的极大值为g (e)=1+1e, 当x 趋于0时,g (x )趋于-∞,当x 趋于+∞时,g (x )趋于1,因此当1<k<1+1e 时,直线y=k 与曲线y=g (x )的图象有两个交点,方程k=1+lnxx有两个解.故所求的k 的取值范围为(1,1+1e ),故选B .二、填空题13.(ax+√x )5的展开式中x 3项的系数为20,则实数a= . 答案 4解析 展开式的通项为T r+1=C 5r (ax )5-r (√x )r =a 5-r ·C 5r x 5-r2,令5-r2=3得r=4,∴a ·C 54=20,解得a=4.故答案为4.14.由直线y=-x+52和曲线y=1x围成的封闭图形的面积为 . 答案 15-2ln 2解析 联立曲线和直线方程可得交点坐标为(12,2),(2,12),所围成的封闭图形的面积为S=∫ 212(-x +52-1x )d x=(-12x 2+52x -lnx)|122=158-2ln 2.故答案为158-2ln 2.15.若变量x ,y 满足约束条件{y ≤x ,x +y ≤1,y ≥-1,且z=2x+y 的最大值和最小值分别为M 和m ,则M-m= . 〚导学号16804237〛 答案 6解析 作出不等式组对应的平面区域如图,由z=2x+y ,得y=-2x+z ,平移直线y=-2x+z ,当y=-2x+z 经过点A 时,y=-2x+z 在y 轴的截距最小,经过点B 时,在y 轴的截距最大,由{y =-1,y =x ,解得A (-1,-1),由{y =-1,x +y =1,解得B (2,-1), 所以z min =m=-2-1=-3,z max =M=2×2-1=3,从而M-m=6.16.设双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,过点F 与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ,B两点,与双曲线的其中一个交点为P ,设坐标原点为O ,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R ),且mn=29,则该双曲线的离心率为 . 〚导学号16804238〛答案 3√24解析 由题意可知A (c ,bc a ),B (c ,-bc a ),代入OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =((m +n )c ,(m -n )bc a ),得点P ((m +n )c ,(m -n )bc a ),代入双曲线方程x 2a 2−y 2b2=1,整理可得4e 2mn=1,因为mn=29,所以可得e=3√24.故答案为3√24.。

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A 的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q 分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+,由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A,B,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列的前3项和,而,即S n=故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析 (举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析 (1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则所以=2.故答案为2.10.-40解析 (2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.12.2解析∵4ρcos+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA==1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC ⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解 (1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1, ∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n==1+设c n=,且前n项和为T n,则T n=+…+, ①T n=+…+, ②①-②,得T n=1++…+=2-故T n=4-,S n=n+4-17.解法一 (1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解 (1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1, ①直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-, 直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2), ②①②联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+,故=, ③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=>0,当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+l n,即<ln,得<ln由于n∈N*,则<ln<e.。

第2讲　数列求和及综合应用高考定位　1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列的前n 项和.{a n2n ＋1}解　(1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，②①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝，22n －1又n ＝1时，a 1＝2适合上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝.22n －1(2)记的前n 项和为S n ，{a n2n ＋1}由(1)知＝＝－，a n 2n ＋12（2n －1）（2n ＋1）12n －112n ＋1则S n ＝＋＋…＋(1－13)(13－15)(12n －1－12n ＋1)＝1－＝.12n ＋12n 2n ＋12.(2017·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列{b na n}的前n 项和T n .解　(1)设{a n }的公比为q ，由题意知{a 1（1＋q ）＝6，aq ＝a 1q 2，)又a n >0，解得所以a n ＝2n .{a 1＝2，q ＝2，)(2)由题意知：S 2n ＋1＝＝(2n ＋1)b n ＋1，（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝，则c n ＝，b n a n 2n ＋12n 因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝＋＋＋…＋＋，325227232n －12n －12n ＋12n 又T n ＝＋＋＋…＋＋，123225237242n －12n 2n ＋12n ＋1两式相减得T n ＝＋－，1232(12＋122＋…＋12n －1)2n ＋12n ＋1所以T n ＝5－.2n ＋52n 考 点 整 合1.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系，a n ＝{S 1 （n ＝1），S n－S n －1 （n ≥2）.)(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误.2.数列求和(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{a n }是各项均不为{ca n an ＋1}零的等差数列，c 为常数)的数列.温馨提醒　裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.3.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.热点一　a n 与S n 的关系问题【例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝.b n ＋1T n T n ＋1(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值.解　(1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *，所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1，两式相减，得a n ＋1＝－a n ，14又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－，14所以数列{a n }是公比、首项均为－的等比数列.14所以数列{a n }的通项公式a n ＝.(－14)n(2)b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1，数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2，c n ＝＝＝－，b n ＋1T n T n ＋12n ＋1n 2（n ＋1）21n 21（n ＋1）2所以A n ＝1－.1（n ＋1）2因此{A n }是单调递增数列，∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－＝；A n 没有最大值.1434探究提高　1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .2.形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列.【训练1】 (2018·安徽江南名校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足2(S n ＋1)＝(n ＋3)a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <3.1a n a n ＋1(1)解　2(S n ＋1)＝(n ＋3)a n ，①当n ≥2时，2(S n －1＋1)＝(n ＋2)a n －1，②①－②得，(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1，所以＝(n ≥2)，又∵＝，a n n ＋2a n －1n ＋1a 11＋213故是首项为的常数列.{a n n ＋2}13所以a n ＝(n ＋2).13(2)证明　由(1)知，b n ＝＝＝9.1a n a n ＋19（n ＋2）（n ＋3）(1n ＋2－1n ＋3)∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝9[(13－14)＋(14－15)＋…＋(1n ＋2－1n ＋3)]＝9＝3－<3.(13－1n ＋3)9n ＋3热点二　数列的求和考法1　分组转化求和【例2－1】 (2018·合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解　(1)∵{a n }为等差数列，∴解得{S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，){a 1＝3，d ＝2.)因此{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ＝22n ＋1＋(－1)n ·(2n ＋1)＝2×4n ＋(－1)n ·(2n ＋1)，∴T n＝2×(41＋42＋…＋4n )＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n (2n ＋1)]＝＋G n .8（4n －1）3当n 为偶数时，G n ＝2×＝n ，n2∴T n ＝＋n ；8（4n －1）3当n 为奇数时，G n ＝2×－(2n ＋1)＝－n －2，n －12∴T n ＝－n －2，8（4n －1）3∴T n ＝{8（4n －1）3＋n （n 为偶数），8（4n －1）3－n －2 （n 为奇数）.)探究提高　1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.考法2　裂项相消法求和【例2－2】 (2018·郑州调研)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2＋5n .(1)求证：数列{3a n }为等比数列；(2)设b n ＝2S n －3n ，求数列的前n 项和T n .{na n bn }(1)证明　∵S n ＝2n 2＋5n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n ＋3.又当n ＝1时，a 1＝S 1＝7也满足a n ＝4n ＋3.故a n ＝4n ＋3(n ∈N *).由a n ＋1－a n ＝4，得＝3a n ＋1－a n ＝34＝81.3an ＋13an ∴数列{3a n }是公比为81的等比数列.(2)解　∵b n ＝4n 2＋7n ，∴＝＝，n a n b n 1（4n ＋3）（4n ＋7）14(14n ＋3－14n ＋7)∴T n ＝14(17－111＋111－115＋…＋14n ＋3－14n ＋7)＝＝.14(17－14n ＋7)n7（4n ＋7）探究提高　1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【训练2】 (2018·成都二诊)设正项等比数列{a n }，a 4＝81，且a 2，a 3的等差中项为(a 1＋a 2).32(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 3a 2n －1，数列{b n }的前n 项和为S n ，数列{c n }满足c n ＝，T n 为14S n －1数列{c n }的前n 项和，若T n <λn 恒成立，求λ的取值范围.解　(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得解得{a 4＝a 1q 3＝81，a 1q ＋a 1q 2＝3（a 1＋a 1q ），){a 1＝3，q ＝3.)所以a n ＝a 1q n －1＝3n .(2)由(1)得b n ＝log 332n －1＝2n －1，S n ＝＝＝n 2n （b 1＋b n ）2n [1＋（2n －1）]2∴c n ＝＝，14n 2－112(12n －1－12n ＋1)∴T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝.n 2n ＋1若T n ＝<λn 恒成立，则λ>(n ∈N *)恒成立，n 2n ＋112n ＋1则λ>，所以λ>.(12n ＋1)max 13考法3　错位相减求和【例2－3】 (2018·潍坊一模)公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝10，且a 1，a 3，a 9成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列的前n 项和T n .{a n3n }解　(1)设{a n }的公差为d ，由题设得∴{4a 1＋6d ＝10，a ＝a 1·a 9，){4a 1＋6d ＝10，（a 1＋2d ）2＝a 1（a 1＋8d ）.)解之得a 1＝1，且d ＝1.因此a n ＝n .(2)令c n ＝，则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn3n ＝＋＋＋…＋＋，①13232333n －13n －1n3n T n ＝＋＋…＋＋，②13132233n －13n n3n ＋1①－②得：T n ＝－23(13＋132＋…＋13n )n 3n ＋1＝－＝－－，13(1－13n )1－13n3n ＋11212×3n n 3n ＋1∴T n ＝－.342n ＋34×3n探究提高　1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解.2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【训练3】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝，求数列{c n }的前n 项和T n .（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n 解　(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式.所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d ，由即{a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，){11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，)可解得所以b n ＝3n ＋1.{b 1＝4，d ＝3.)(2)由(1)知c n ＝＝3(n ＋1)·2n ＋1.，（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2].两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×＝－3n ·2n ＋2.[4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）×2n ＋2]所以T n ＝3n ·2n ＋2.热点三　与数列相关的综合问题【例3】 设f (x )＝x 2＋2x ，f ′(x )是y ＝f (x )的导函数，若数列{a n }满足a n ＋1＝f ′(a n )，12且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值.解　(1)由f (x )＝x 2＋2x ，得f ′(x )＝x ＋2.12∵a n ＋1＝f ′(a n )，且a 1＝1.∴a n ＋1＝a n ＋2则a n ＋1－a n ＝2，因此数列{a n }是公差为2，首项为1的等差数列.∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝＝n 2，n （1＋2n －1）2等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，∴q ＝3.∴b n ＝3n －1.∴数列{b n }的前n 项和T n ＝＝＝.1－3n 1－33n －13－13n －12T n ≤S n 可化为≤n 2.3n －12又n ∈N *，∴n ＝1，或n ＝2故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1和2.探究提高　1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【训练4】 (2018·长沙雅礼中学质检)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<成立的n 的最小值.{1a n }11 000解　(1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2).从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n .(2)由(1)可得＝，1a n 12n所以T n ＝＋＋…＋＝＝1－.1212212n 12[1－(12)n ]1－1212n 由|T n －1|<，得<，11 000|1－12n －1|11 000即2n >1 000，又∵n ∈N *，因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n ≥10，于是，使|T n －1|<成立的n 的最小值为10.11 0001.错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }乘以等比数列{b n }对应项得到的数列{a n ·b n }求和.(2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比.②把两个和的形式错位相减.③整理结果形式.2.裂项求和的常见技巧(1)＝－.(2)＝.1n （n ＋1）1n 1n ＋11n （n ＋k ）1k (1n －1n ＋k)(3)＝.1n 2－112(1n －1－1n ＋1)(4)＝.14n 2－112(12n －1－12n ＋1)3.数列与不等式综合问题(1)如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用；(2)如果是解不等式，注意因式分解的应用.一、选择题1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＝a 5.令b n ＝(－1)n －1a n ，则数列{b n }的前2n 项和T 2n 为( )A.－nB.－2nC.nD.2n解析　设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝a 5得3a 2＝a 5，∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b n ＝(－1)n －1(2n －1)，∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1)＝－2n .答案　B2.(2018·衡水中学月考)数列a n ＝，其前n 项之和为，则在平面直角坐1n （n ＋1）910标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A.－10B.－9C.10D.9解析　由于a n ＝＝－.1n （n ＋1）1n 1n ＋1∴S n ＝＋＋…＋(1－12)(12－13)(1n －1n ＋1)＝1－.因此1－＝，所以n ＝9.1n ＋11n ＋1910所以直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，所以在y 轴上的截距为－9.答案　B3.已知T n 为数列的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小{2n ＋12n }值为( )A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023解析　因为＝1＋，所以T n ＝n ＋1－，2n ＋12n 12n 12n 则T 10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－，12101210又m >T 10＋1 013，所以整数m 的最小值为1 024.答案　C4.已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )A.9B.15C.18D.30解析　∵a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，∴数列{a n }是公差为2，首项为－5的等差数列.∴a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7.数列{a n }的前n 项和S n ＝＝n 2－6n .n （－5＋2n －7）2令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥.72∴n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n .则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.答案　C5.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.2B.2nC.2n ＋1－2D.2n －1－2解析　因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n －2＋2＝2n ，所以S n ＝＝2n ＋2－2n 1－22－2n ＋11－21－2.答案　C二、填空题6.(2018·昆明诊断)数列{a n }满足a n ＝，则＋＋…＋等于________.n （n ＋1）21a 11a 21a 2 018解析　a n ＝，则＝＝2n （n ＋1）21a n 2n （n ＋1）(1n －1n ＋1)∴＋＋…＋1a 11a 21a 2 018＝2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(12 018－12 019)]＝2＝.(1－12 019)4 0362 019答案　4 0362 0197.记S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且a n ＋1＝2，则S 2 018＝________.S n解析　由题意得4S n ＝(a n ＋1)2，①当n ＝1时，4a 1＝(a 1＋1)2，a 1＝1，当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2，②①－②得a －a －2(a n ＋a n －1)＝0，2n 2n －1所以(a n －a n －1－2)(a n ＋a n －1)＝0，又a n >0，所以a n －a n －1＝2，则{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列.所以a n ＝2n －1，S 2 018＝＝2 0182.2 018（1＋2×2 018－1）2答案　2 01828.(2018·贵阳质检)已知[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.在数列{a n }中，a n ＝[lg n ]，n ∈N ＋，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝________.解析　当1≤n ≤9时，a n ＝[lg n ]＝0.当10≤n ≤99时，a n ＝[lg n ]＝1.当100≤n ≤999时，a n ＝[lg n ]＝2.当1 000≤n ≤2 018时，a n ＝[lg n ]＝3.故S 2 018＝9×0＋90×1＋900×2＋1 019×3＝4 947.答案　4 947三、解答题9.(2018·济南模拟)记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝，求数列{b n }的前n 项和T n .1a n a n ＋1解　(1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n －[2(n －1)2＋(n －1)]＝4n －1.又a 1＝3满足上式.所以a n ＝4n －1(n ∈N *).(2)b n ＝＝＝.1a n a n ＋11（4n －1）（4n ＋3）14(14n －1－14n ＋3)所以T n ＝14[(13－17)＋(17－110)＋…＋(14n －1－14n ＋3)]＝＝.14(13－14n ＋3)n 12n ＋910.(2018·南昌调研)已知数列{－n }是等比数列，且a 1＝9，a 2＝36.a n (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n －n 2}的前n 项和S n .解　(1)设等比数列{－n }的公比为q ，a n 则q ＝＝＝2.a 2－2a 1－16－23－1－n ＝(3－1)×2n －1，故a n ＝(n ＋2n )2.a n (2)由(1)知a n －n 2＝n ·2n ＋1＋4n .记T n ＝22＋2·23＋…＋n ·2n ＋1，则2T n ＝23＋2·24＋…＋(n －1)·2n ＋1＋n ·2n ＋2，两式作差，得－T n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－n ·2n ＋2＝2n ＋2－4－n ·2n ＋2＝(1－n )·2n ＋2－4，∴T n ＝(n －1)·2n ＋2＋4，故S n ＝T n ＋＝(n －1)·2n ＋2＋.4－4n ＋11－44n ＋1＋8311.若数列{a n }是公差为2的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝，数列{c n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)n λ<T n ＋a n ＋1b n ＋1n 2n －1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.解　(1)∵数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.∴n ＝1时，a 1＋1＝2，解得a 1＝1.又数列{a n }是公差为2的等差数列，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.∴2nb n ＝nb n ＋1，化为2b n ＝b n ＋1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.∴b n ＝2n －1.(2)由数列{c n }满足c n ＝＝＝，a n ＋1b n ＋12n 2n n 2n －1数列{c n }的前n 项和为T n ＝1＋＋＋…＋，22322n 2n －1∴T n ＝＋＋…＋＋，1212222n －12n －1n 2n 两式作差，得∴T n ＝1＋＋＋…＋－＝－121212212n －1n 2n 1－12n 1－12n 2n＝2－，∴T n ＝4－.n ＋22n n ＋22n －1不等式(－1)n λ<T n ＋，化为(－1)n λ<4－，n2n －122n －1n ＝2k (k ∈N *)时，λ<4－，取n ＝2，∴λ<3.22n －1n ＝2k －1(k ∈N *)时，－λ<4－，取n ＝1，∴λ>－2.22n －1综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).。

第2讲 综合大题部分1．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 解析：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝(12×1×2＋12×3×2)sin 60° ＝2 3.2．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f (π4)＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f (α4)＝－25，α∈(π2，π)，求sin(α＋π3)的值．解析：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )， 由f (π4)＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f (α4)＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈(π2，π)，从而cos α＝－35，所以sin(α＋π3)＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.3．(2018·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ； (2)求AC 边上的高．解析：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32. 由题设知π2<B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.4．(2018·唐山统考)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AD 是BC 边上的中线，记∠CAD ＝α，∠BAD ＝β.(1)求sin α∶sin β； (2)若tan α＝sin ∠BAC ，求BC . 解析：(1)∵AD 为BC 边上的中线， ∴S △ACD ＝S △ABD ，∴12AC ·AD sin α＝12AB ·AD sin β， ∴sin α∶sin β＝AB ∶AC ＝2∶1. (2)∵tan α＝sin ∠BAC ＝sin(α＋β)， ∴sin α＝sin(α＋β)cos α， ∴2sin β＝sin(α＋β)cos α，∴2sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)＝2cos(α＋β)tan α，又tan α＝sin∠BAC＝sin(α＋β)≠0，∴cos(α＋β)＝cos∠BAC＝1 2，在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝3，∴BC＝ 3.。

重点增分专题十二 计数原理、概率、随机变量及其分布列[全国卷3年考情分析](1)概率、随机变量及其分布是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题(或填空题)和一道解答题．(2)选择题或填空题常出现在第4～10题或第13～15题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般．考点一 二项式定理 保分考点·练后讲评 [大稳定——常规角度考双基]1.[求特定项的系数](2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．80解析：选C ⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ， 令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40.2.[求特定项系数](2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．35解析：选C (1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30.3.[有关系数和问题]在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为( )A ．50B ．70C ．90D ．120解析：选C 令x ＝1，则⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝4n ，所以⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以4n 2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝⎛⎭⎫3x r＝C r 53r x 5－32r ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90，故选C. 4.[求参数值]若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a 等于( ) A ．2 B.34 C ．1D.24解析：选C 二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式的通项T r ＋1＝C r 727－r x 7－r a r x －r ＝27－r C r 7a r x 7－2r， 令7－2r ＝－3，得r ＝5，所以T 6＝4C 57a 5＝84，解得a ＝1.5.[二项式系数或各项系数的最值]在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28解析：选B 因为只有第5项的二项式系数C 4n 最大，所以n2＝4，即n ＝8. ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x 28－r ⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝(－1)r C r 828－r x 8－43r ， 令8－43r ＝0，解得r ＝6，故常数项为T 7＝(－1)6C 6822＝7.故选B.6.[求多项式的特定项系数](x 2＋x ＋y )4的展开式中，x 3y 2的系数是________． 解析：法一：(x 2＋x ＋y )4＝[(x 2＋x )＋y ]4，其展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 4(x 2＋x )4－r y r， 因为要求x 3y 2的系数，所以r ＝2，所以T 3＝C 24(x 2＋x )4－2y 2＝6(x 2＋x )2y 2. 因为(x 2＋x )2的展开式中x 3的系数为2，所以x 3y 2的系数是6×2＝12. 法二：(x 2＋x ＋y )4表示4个因式x 2＋x ＋y 的乘积，在这4个因式中，有2个因式选y ，其余的2个因式中有一个选x ，剩下的一个选x 2，即可得到含x 3y 2的项，故x 3y 2的系数是C 24·C 12·C 11＝12.答案：12 [解题方略]1．求二项式与代数式积的展开式特定项系数问题的关键一是将二项式看作一个整体，利用分配律整理所给式子；二是利用二项展开式的通项公式，求特定项，特定项的系数即为所要求的系数．2．求(x ＋y ＋z )n 的展开式的特定项的系数问题的技巧若三项能用完全平方公式，那当然比较简单，若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数；把(x ＋y ＋z )n 看作n 个因式x ＋y ＋z 的乘积，再利用组合数公式求解．3．二项式系数最大项的确定方法若n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大；若n 是奇数，则中间两项第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数，最大．[小创新——变换角度考迁移]1.[二项式定理与函数的交汇]在(1＋x )6(2＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (4,0)＋f (3,1)＋f (2,2)＋f (1,3)＋f (0,4)＝( )A ．1 240B ．1 289C ．600D ．880解析：选B (1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，(2＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 424－n ，则f (m ，n )＝C m 6·C n 4·24－n，从而f (4,0)＋f (3,1)＋f (2,2)＋f (1,3)＋f (0,4)＝C 46·C 04·24＋C 36·C 14·23＋C 26·C 24·22＋C 16·C 34·21＋C 06·C 44·20＝1 289. 2.[二项式定理与三角函数的交汇]已知(1＋ax ＋by )5(a ，b 为常数，a ∈N *，b ∈N *)的展开式中不含字母x 的项的系数和为243，则函数f (x )＝2sin 2x ＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为______．解析：令x ＝0，y ＝1，得(1＋b )5＝243，解得b ＝2.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，则sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[1，2]，所以f (x )＝2sin 2x ＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin 2x ＋2sin x ＋cos x ＝4sin x ·cos x ＋2sin x ＋cos x＝2(sin x ＋cos x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以2≤f (x )≤2 2.故f (x )的最小值为2. 答案：2考点二 古典概型、几何概型及条件概率 保分考点练后讲评1.[古典概型](2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A.112 B.114C.115D.118解析：选C 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为345＝115.故选C.2.[几何概型](2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3解析：选A 法一：∵S △ABC ＝12AB ·AC ，以AB 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫AB 22＝π8AB 2，以AC 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫AC 22＝π8AC 2，以BC 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫BC 22＝π8BC 2， ∴S Ⅰ＝12AB ·AC ，S Ⅲ＝π8BC 2－12AB ·AC ，S Ⅱ＝⎝⎛⎭⎫π8AB 2＋π8AC 2－⎝⎛⎭⎫π8BC 2－12AB ·AC ＝12AB ·AC .∴S Ⅰ＝S Ⅱ.由几何概型概率公式得p 1＝S ⅠS 总，p 2＝S ⅡS 总，∴p 1＝p 2.故选A.法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形， AB ＝AC ＝2，则BC ＝22， 所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积， 为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×(2)22－2＝2， 区域Ⅲ的面积S 3＝π×(2)22－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式， 得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A.3.[条件概率]一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个．如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________．解析：设“第1次摸出红球”为事件A ，“第2次摸出红球”为事件B ，则“第1次和第2次都摸出红球”为事件AB ，所求事件为B |A .事件A 发生的概率为P (A )＝46＝23，事件AB 发生的概率为P (AB )＝46×35＝25.由条件概率的计算公式可得，所求事件的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.答案：35[解题方略]1．求解几何概型的步骤2．条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A ).这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ).考点三 随机变量的分布列、均值与方差 增分考点广度拓展题型一 超几何分布及其均值与方差[例1] 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望E (X )．[解] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13C 27＋C 03C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k 4C 3－k 6C 310(k ＝0,1,2,3)．所以P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝130.所以随机变量X 的分布列为：故随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.[解题方略]1．超几何分布的应用条件及实质(1)条件：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X 的概率分布．(2)实质：古典概型问题． 2．超几何分布的均值与方差对于实际问题中的随机变量X ，如果能够断定它服从超几何分布H (N ，M ，n )，则其概率可直接利用公式P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N(k ＝0,1，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *)．题型二 相互独立事件的概率及均值与方差[例2] (2019届高三·益阳、湘潭调研)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解] (1)记“甲出线”为事件A ，“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D ，则P (D )＝1－P (ABC )＝1－13×14×25＝2930.(2)由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3， 则P (ξ＝0)＝P (A BC )＝13×14×25＝130；P (ξ＝1)＝P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝23×14×25＋13×34×25＋13×14×35＝1360；P (ξ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝23×34×25＋23×14×35＋13×34×35＝920；P (ξ＝3)＝P (ABC )＝23×34×35＝310.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×130＋1×1360＋2×920＋3×310＝12160.[解题方略] 求相互独立事件的概率的两种方法题型三 二项分布及其均值与方差[例3] 雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A ，B ，C 三个城市进行治霾落实情况抽查．(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X ，求X 的分布列．[解] (1)随机选取，共有34＝81种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有C 13(C 14A 22＋C 24)＝42种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率P ＝4281＝1427.(2)设事件A ：“一个城市需复检”， 则P (A )＝1－⎝⎛⎭⎫124＝1516， X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 03·⎝⎛⎭⎫1163＝14 096， P (X ＝1)＝C 13·⎝⎛⎭⎫1162·1516＝454 096， P (X ＝2)＝C 23·116·⎝⎛⎭⎫15162＝6754 096， P (X ＝3)＝C 33·⎝⎛⎭⎫15163＝3 3754 096. 所以X 的分布列为[解题方略] 破解有关二项分布的“四关”考点四 利用均值与方差破解决策性问题 增分考点讲练冲关[典例] (2018·洛阳第一次统考)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率．(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望E (X )；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．[解] (1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ， 则P (M )＝C 325C 350＝23196.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a ， 当a ＝38时，X ＝38×6＝228， 当a ＝39时，X ＝39×6＝234， 当a ＝40时，X ＝40×6＝240， 当a ＝41时，X ＝40×6＋1×7＝247， 当a ＝42时，X ＝40×6＋2×7＝254.所以X 的所有可能取值为228,234,240,247,254.故X 的分布列为所以E (X )＝228×110＋234×15＋240×15＋247×25＋254×110＝241.8. ②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为 38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7， 所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7＝238.8元． 由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元． 因为238.8<241.8，所以推荐小王去乙公司应聘． [解题方略] 利用均值与方差进行决策的思路方法利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量X 的均值的意义在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关．[多练强化]为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：(1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20,60.P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的均值E (X )＝20×12＋60×12＝40元．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找均值为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的均值E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的均值E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.考点五 正态分布及其应用 增分考点·讲练冲关 [典例] (2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x ＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116(x i －x )2＝116⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝116x 2i－16x 2≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.[解] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望为EX ＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.[解题方略] 利用正态曲线的对称性求概率的策略(1)解题的关键是利用对称轴x ＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断．(2)对于正态分布N (μ，σ2)，由x ＝μ是正态曲线的对称轴知： ①对任意的a ，有P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )； ②P (X <x 0)＝1－P (X ≥x 0)； ③P (a <X <b )＝P (X <b )－P (X ≤a )．(3)对于特殊区间求概率一定要掌握服从N (μ，σ2)的随机变量X 在三个特殊区间的取值概率，将所求问题向P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)转化，然后利用特定值求出相应概率．同时，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这些特殊性质．[多练强化](2018·聊城期末)已知某厂生产的电子产品的使用寿命X (单位：小时)服从正态分布N (1 000，σ2)，且P (X <800)＝0.1，P (X ≥1 300)＝0.02.(1)现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在[1 200，1 300)的概率；(2)现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在[800,1 200)的件数为Y ，求Y 的分布列和数学期望E (Y )．解：(1)因为X ～N (1 000, σ2)，P (X <800)＝0.1，P (X ≥1 300)＝0.02，所以P (1 200≤X <1 300)＋P (X ≥1 300)＝P (X ≥1 200)＝P (X <800)＝0.1.所以P (1 200≤X <1 300)＝0.1－0.02＝0.08， 即其使用寿命在[1 200,1 300)的概率为0.08.(2)因为P (800≤X <1 200)＝1－2P (X <800)＝1－2×0.1＝0.8＝45，所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，45. 所以P (Y ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－453＝1125， P (Y ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫45⎝⎛⎭⎫1－452＝12125， P (Y ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫1－45＝48125， P (Y ＝3)＝⎝⎛⎭⎫453＝64125， 所以Y 的分布列为所以E (Y )＝0×1125＋1×12125＋2×48125＋3×64125＝125.⎝⎛⎭⎫或E (Y )＝np ＝3×45＝125数据分析——随机变量及其分布列与期望问题的求解[典例] 某网络广告公司计划从甲、乙两个网站中选择一个网站拓展公司的广告业务，为此该公司随机抽取了甲、乙两个网站某月中10天的日访问量(单位：万次)，整理后得到如图所示的茎叶图．(1)请说明该公司应该选择哪个网站；(2)根据双方规定，该公司将根据所选网站的日访问量进行付费，付费标准如下：考虑到资金有限，若要使该公司每个月(按30天计)付的费用最少，则该公司应该选择哪个网站？[解] (1)根据题中的茎叶图得，x甲＝110×(15＋24＋28＋25＋30＋36＋30＋35＋32＋45)＝30，s2甲＝110[(15－30)2＋(24－30)2＋(28－30)2＋(25－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(30－30)2＋(35－30)2＋(32－30)2＋(45－30)2]＝58.x乙＝110×(18＋25＋22＋24＋32＋38＋30＋36＋35＋40)＝30，s2乙＝110[(18－30)2＋(25－30)2＋(22－30)2＋(24－30)2＋(32－30)2＋(38－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(35－30)2＋(40－30)2]＝49.8.因为x甲＝x乙，s2甲>s2乙，所以该公司应选择乙网站．(2)设选择甲网站每日需付的费用为随机变量X，选择乙网站每日需付的费用为随机变量Y，则随机变量X的分布列为其数学期望E(X)＝500×故该公司若选择甲网站，则每个月需付的费用为720×30＝21 600(元)．随机变量Y的分布列为其数学期望E(Y)＝500×每个月需付的费用为730×30＝21 900(元)．因此应选择甲网站．[素养通路]数据分析是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养．数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论．本题先分析茎叶图中的数据，分别求出甲、乙的平均数、方差，然后做出最佳选择，再通过分布列、数学期望的计算后的“数据分析”，对实际问题做出合理的判断．考查了数据分析这一核心素养．[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312解析：选A 3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.2．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29 B.13C.49D.59解析：选A 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A 44＝4×3×2×1＝24种，∴P (A |B )＝24108＝29. 3．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3解析：选B 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X 服从二项分布，即X ～B (10，p )，所以DX ＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.4或0.6. 又因为P (X ＝4)<P (X ＝6)，所以C 410p 4(1－p )6<C 610p 6(1－p )4，所以p >0.5，所以p ＝0.6.4．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40解析：选D 令x ＝1，可得a ＋1＝2，a ＝1，⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中1x 项的系数为(－1)3C 3522，x 项的系数为C 2523，∴⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为(－1)3C 3522＋C 2523＝40.故选D.5．(x 2＋2x ＋3y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．60 B ．180 C ．520D ．540 解析：选D (x 2＋2x ＋3y )5可看作5个(x 2＋2x ＋3y )相乘，从中选2个y ，有C 25种选法；再从剩余的三个括号里边选出2个x 2，最后一个括号选出x ，有C 23·C 11种选法，所以x 5y 2的系数为32C 25·C 23·2·C 11＝540. 6．在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤4}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤x 2的概率为( )A.12 B.13C.23D.34解析：选B 不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤4表示的平面区域如图中长方形OABC ，其面积为2×4＝8，不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤4，y ≤x2表示的平面区域如图中阴影部分所示，其面积为⎠⎛02x 2d x ＝13x 320＝83，因此所求的概率P ＝838＝13.二、填空题7．在(x 2－4)5的展开式中，含x 6的项为________．解析：因为(x 2－4)5的展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r (－4)r ＝(－4)r C r 5x10－2r，令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以含x 6的项为T 3＝(－4)2C 25x 6＝160x 6.答案：160x 68．已知在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O-ABCD 的体积不小于23的概率为________．解析：当四棱锥O-ABCD 的体积为23时，设O 到平面ABCD 的距离为h ，则有13×22×h ＝23，解得h ＝12.如图所示，在四棱锥P-ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝2，所以PH PA ＝34，又四棱锥P-ABCD 与四棱锥P-EFGH 相似，所以四棱锥O-ABCD 的体积不小于23的概率为P ＝V 四棱锥P-EFGH V 四棱锥P-ABCD＝⎝⎛⎭⎫PH PA 3＝⎝⎛⎭⎫343＝2764. 答案：27649．在一投掷竹圈套小玩具的游戏中，竹圈套住小玩具的全部记2分，竹圈只套在小玩具一部分上记1分，小玩具全部在竹圈外记0分．某人投掷100个竹圈，有50个竹圈套住小玩具的全部，25个竹圈只套在小玩具一部分上，其余小玩具全部在竹圈外，以频率估计概率，则该人两次投掷后得分ξ的数学期望是________．解析：将“竹圈套住小玩具的全部”，“竹圈只套在小玩具一部分上”，“小玩具全部在竹圈外”分别记为事件A ，B ，C ，则P(A)＝50100＝12，P(B)＝P(C)＝25100＝14.某人两次投掷后得分ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝14×14＝116，P(ξ＝1)＝2×14×14＝18，P(ξ＝2)＝14×14＋2×12×14＝516，P(ξ＝3)＝2×14×12＝14，P(ξ＝4)＝12×12＝14.故ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×116＋1×18＋2×516＋3×14＋4×14＝52. 答案：52三、解答题10．(2019届高三·贵阳摸底考试)某高校学生社团为了解“大数据时代”下毕业生对就业情况的满意度，对20名毕业生进行问卷计分调查(满分100分)，得到如图所示的茎叶图，(1)计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男、女生打分的分散程度；(2)从打分在80分以上的毕业生中随机抽取3人，求被抽到的女生人数X 的分布列和数学期望．解：(1)男生打分的平均分为110×(55＋53＋62＋65＋71＋70＋73＋74＋86＋81)＝69. 由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散． (2)∵打分在80分以上的毕业生有3女2男， ∴X 的可能取值为1,2,3，P (X ＝1)＝C 13C 22C 35＝310，P (X ＝2)＝C 23C 12C 35＝35，P (X ＝3)＝C 33C 02C 35＝110，∴X 的分布列为E (X)＝1×310＋2×35＋3×110＝95. 11．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取300位同学进行调查，结果如下：(1)求x ，y ，z 的值；(2)以这300人的样本数据估计该市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生(数量很大)中随机抽取3人，记X 表示抽到的是微信群个数超过15的人数，求X 的分布列、数学期望和方差．解：(1)由已知得0＋90＋90＋x ＋15＝300， 解得x ＝105，所以y ＝105300＝0.35，z ＝15300＝0.05.(2)依题意可知，微信群个数超过15的概率为P ＝105＋15300＝25.X 的所有可能取值为0,1,2,3.依题意得，X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25. 所以P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫25k ⎝⎛⎭⎫353－k (k ＝0,1,2,3)． 所以X 的分布列为所以E (X )＝3×25＝65，D (X )＝3×25×⎝⎛⎭⎫1－25＝1825.12．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望． (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是所以X 的数学期望E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ， “恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1， “恰好取出2件一等品”为事件A 2， “恰好取出3件一等品”为事件A 3，由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120. B 组——大题专攻补短练1．(2019届高三·阜阳质检)从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率； (2)假设该市高一学生的体重X 服从正态分布N (57，σ2)．①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于54～57 kg 之间的概率；②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57 kg 之间的人数为Y ，利用(1)的结论，求Y 的分布列及E (Y )．解：(1)这400名学生中，体重超过60 kg 的频率为(0.04＋0.01)×5＝14，由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率为14.(2)①∵X ～N (57，σ2)， 由(1)知P (X >60)＝14，∴P (X <54)＝14，∴P (54<X <60)＝1－2×14＝12，∴P (54<X <57)＝12×12＝14，即高一某个学生体重介于54～57 kg 之间的概率是14.②∵该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复试验，其中体重介于54～57 kg 之间的人数Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，P (Y ＝i )＝C i 3⎝⎛⎭⎫14i ⎝⎛⎭⎫343－i ，i ＝0,1,2,3. ∴Y 的分布列为E (Y )＝3×14＝34.2．(2018·长春质检)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示．(1)现按分层抽样的方法，从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X 表示质量在[300,350)内的芒果个数，求X 的分布列及数学期望E (X )；(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出如下两种收购方案：A ：所有芒果以10元/千克收购；B ：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购． 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？解：(1)由频率分布直方图可得，随机抽取的9个芒果中，质量在[250,300)和[300,350)内的分别有6个和3个．则X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 36C 39＝2084，P (X ＝1)＝C 26C 13C 39＝4584，P (X ＝2)＝C 16C 23C 39＝1884，P (X ＝3)＝C 33C 39＝184.所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×2084＋1×4584＋2×1884＋3×184＝1.(2)设选择方案A 可获利y 1元，则y 1＝(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003＋275×0.008＋325×0.004＋ 375×0.001)×50×10 000×10×0.001＝25 750.设选择方案B ，从质量低于250克的芒果中获利y 2元；从质量高于或等于250克的芒。

专题对点练25 7.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为( ) A .√30 B .5√32 C .4√2 D .3√32.圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ) A .-43B .-34C .√3D .23.圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是( ) A .18 B .6√2 C .5√2 D .4√24.已知直线l :mx+y-1=0(m ∈R )是圆C :x 2+y 2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A (-2,m )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB|为( ) A .4 B .2√5 C .4√2 D .35.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为( ) A .114 B .5√54 C .4120 D .56.已知点P (x ,y )是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA ,PB 是圆C :x 2+y 2-2y=0的两条切线,A ,B 为切点,若四边形PACB 面积的最小值是2,则k 的值是( ) A .√2B .√212C .2D .2√27.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C :x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)的离心率为√2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 ( ) A .√2 B .2 C .3√22D .2√2 8.已知双曲线x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( )A .x 24−x 212=1 B .x 212−x 24=1C .x 23-y 2=1 D .x 2-x 23=19.已知离心率为√52的双曲线C :x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 是双曲线C 的一条渐近线上的点,且OM ⊥MF 2,O 为坐标原点,若x △xxx 2=16,则双曲线C 的实轴长是( ) A .32 B .16 C .8 D .4 二、填空题(共3小题,满分15分)10.设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,已知点C 在l 上,以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ,若∠FAC=120°,则圆的方程为 . 11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)的右焦点F (c ,0)到一条渐近线的距离为√32c ,则其离心率的值为 . 12.(2018浙江,17)已知点P (0,1),椭圆x 24+y 2=m (m>1)上两点A ,B 满足xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则当m=时,点B 横坐标的绝对值最大.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分) 13.已知在三角形ABC 中,B (-1,0),C (1,0),且|AB|+|AC|=4. (1)求动点A 的轨迹M 的方程;(2)P 为轨迹M 上动点,△PBC 的外接圆为☉O 1(O 1为圆心),当P 在M 上运动时,求点O 1到x 轴的距离的最小值.14.已知点A(0,-2),椭圆E:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的离心率为√32,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为2√33,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.15.已知椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为x22.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=32c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM 与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.专题对点练25答案1.A 解析 圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=√10, 圆心到直线x-3y+3=0的距离d=√10=√10,故弦|AB|=2√10-2510=√30,故选A . 2.A 解析 由x 2+y 2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1, 所以=1,解得a=-43,故选A . 3.B 解析 由x 2+y 2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圆半径r=3√2.圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是d+r ,d-r ,其两者之差即为圆的直径, 故圆的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是6√2,故选B .4.A 解析 由x 2+y 2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C (2,-1),r=2. 由题意可得,直线l :mx+y-1=0经过圆C 的圆心(2,-1), 则2m-1-1=0,∴m=1,故点A (-2,1). ∵|AC|=√20,|CB|=r=2, ∴切线的长|AB|=√20-4=4.5.C 解析 圆的内接四边形对角互补,因为x 轴与y 轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直. 所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x+ky-3=0与坐标轴的交点为(0,-32),(3,0),两直线的交点纵坐标为-25,所以四边形的面积为12×3×32−12×1×25=4120,故选C .6.C 解析 ∵圆的方程为x 2+(y-1)2=1,∴圆心C (0,1),半径r=1. 根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P 的距离最小时,即距离为圆心到直线l 的距离最小时,切线长PA ,PB 最小.切线长为2, ∴|PA|=|PB|=2,∴圆心到直线l 的距离为d=√5.直线方程为y+4=kx , 即kx-y-4=0,∴√5=√,解得k=±2,∵k>0,∴所求直线的斜率为2.故选C .7.D 解析 ∵双曲线C 的离心率为√2,∴e=xx =√2,即c=√2a ,∴a=b.∴其渐近线方程为y=±x ,故(4,0)到C 的渐近线的距离d=2=2√2.8.D 解析 ∵双曲线x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F (c ,0),点A 在双曲线的渐近线上,且△OAF 是边长为2的等边三角形,不妨设点A 在渐近线y=xxx 上,∴{x =2,x x =tan60°,x 2+x 2=x 2,解得{x =1,x =√3.∴双曲线的方程为x 2-x 23=1.故选D .9.B 解析 设F 2(c ,0),双曲线C 一条渐近线方程为y=x x x ,可得|F 2M|=√=b.∵OM ⊥MF 2,∴|OM|=√x 2-x 2=a ,由x △xxx 2=16,可得12ab=16,即ab=32,又a 2+b 2=c 2,且xx =√52, 解得a=8,即有双曲线的实轴长为16.故选B .10.(x+1)2+(y-√3)2=1 解析 ∵抛物线y 2=4x 的焦点F (1,0),准线l 的方程为x=-1,由题意可设圆C 的方程为(x+1)2+(y-b )2=1(b>0),则C (-1,b ),A (0,b ). ∵∠FAC=120°,∴k AF =tan 120°=-√3,直线AF 的方程为y=-√3x+√3. ∵点A 在直线AF 上,∴b=√3.则圆的方程为(x+1)2+(y-√3)2=1.11.2 解析 因为双曲线的右焦点F (c ,0)到渐近线y=±x x x 的距离为=xxx=b ,所以b=√32c.因为a 2=c 2-b 2=c 2-34c 2=14c 2, 所以a=12c ,e=2.12.5 解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).∵P (0,1),∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 1,1-y 1),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2-1).∵xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{-x 1=2x 2,1-x 1=2(x 2-1),即{x 1=-2x 2,x 1=3-2x 2.又x 124+x 12=m ,∴(-2x 2)24+(3-2y 2)2=m ,即4x 224+4x 22-12y 2+9=m.又x 224+x 22=m ,∴4m-12y 2+9=m ,即12y 2=3m+9,4y 2=m+3.∴x 224+(x +34)2=m ,即x 22+x 2+6x +94=4m ,即x 22=-x 24+52m-94.∴当m=5时,x 22的最大值为4,即点B 横坐标的绝对值最大.13.解 (1)根据题意知,动点A 满足椭圆的定义,设椭圆的方程x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0且y ≠0),所以,有|F 1F 2|=|BC|=2c=2,|AF 1|+|AF 2|=|AB|+|AC|=2a=4,且a 2=b 2+c 2,解得a=2,b=√3, 所以,动点A 的轨迹M 满足的方程为x 24+x 23=1(y ≠0).(2)设P (x 0,y 0),不妨设0<y 0≤√3, 线段PB 的垂直平分线方程为y-x 02=-x 0+1x 0(x -x 0-12), 线段BC 的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得y=(-x 0+1x 0)·(-x 0-12)+x 02=x 02-12x 0+x 02. 因为x 024+x 023=1,所以y=32x 0−x 06,所以☉O 1的圆心O 1到x 轴的距离d=|32x 0-x 06|.又知y=32x 0−x 06在(0,√3)内是单调递减函数,所以当y 0=√3时,y min =√33,所以d min =√33.14.解 (1)设F (c ,0),由条件知2x=2√33,得c=√3.又x x =√32,所以a=2,b 2=a 2-c 2=1. 故E 的方程为x 24+y 2=1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意,故设l :y=kx-2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2). 将y=kx-2代入x 24+y 2=1,得(1+4k 2)x 2-16kx+12=0.当Δ=16(4k 2-3)>0,即k 2>34时,x 1,2=8x ±2√4x 2-34x 2+1.从而|PQ|=√x 2+1|x 1-x 2|=4√x 2+1·√4x 2-34x 2+1.又点O 到直线PQ 的距离d=√,所以△OPQ 的面积S △OPQ =12d ·|PQ|=4√4x 2-34x 2+1.设√4x 2-3=t ,则t>0,S △OPQ =4xx 2+4=4x +4x .因为t+4x ≥4,当且仅当t=2,即k=±√72时,等号成立,且满足Δ>0, 所以,当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为y=√72x-2或y=-√72x-2. 15.解 (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c+a )c=x 22.又由b 2=a 2-c 2,可得2c 2+ac-a 2=0,即2e 2+e-1=0. 又因为0<e<1,解得e=12.所以,椭圆的离心率为12.(2)①依题意,设直线FP 的方程为x=my-c (m>0),则直线FP 的斜率为1x .由(1)知a=2c ,可得直线AE 的方程为x 2x +xx =1,即x+2y-2c=0, 与直线FP 的方程联立,可解得x=(2x -2)xx +2,y=3x x +2,即点Q 的坐标为((2x -2)xx +2,3xx +2).由已知|FQ|=32c ,有[(2x -2)xx +2+x ]2+(3xx +2)2=(3x 2)2,整理得3m 2-4m=0,所以m=43,即直线FP 的斜率为34.②由a=2c ,可得b=√3c ,故椭圆方程可以表示为x 24x 2+x 23x 2=1. 由①得直线FP 的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立{3x -4x +3x =0,x 24x 2+x 23x 2=1,消去y ,整理得7x 2+6cx-13c 2=0, 解得x=-13x 7(舍去)或x=c.因此可得点P (x ,3x 2),进而可得|FP|=√(x +x )2+(3x 2)2=5x 2, 所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5x 2−3x2=c.由已知,线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离,故直线PM 和QN 都垂直于直线FP. 因为QN ⊥FP ,所以|QN|=|FQ|·tan ∠QFN=3x 2×34=9x8,所以△FQN 的面积为12|FQ||QN|=27x 232,同理△FPM 的面积等于75x 232,由四边形PQNM 的面积为3c ,得75x 232−27x 232=3c ,整理得c 2=2c ,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为x 216+x 212=1.。

组合增分练9 解答题型综合练B1.等比数列{a n}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列的前n项和.2.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=4,将△ABD沿BD折到△A'BD的位置,使平面A'BD ⊥平面CBD.(1)求证:CD⊥A'B;(2)试在线段A'C上确定一点P,使得三棱锥P-BDC的体积为.3.具体规则如下表:例如,某顾客购买了300元的化妆品,她实际只需付:200×0.9+100×0.8=260(元).为了解顾客的消费情况,(1)写出顾客实际消费金额y与她购买商品金额x之间的函数关系式(只写结果);(2)估算顾客实际消费金额y不超过180的概率;(3)估算顾客实际消费金额y超过420的概率.4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,离心率为,P为C上动点,且满足=λ(λ>0),||=||,△QF1F2面积的最大值为4.(1)求点Q的轨迹E的方程和椭圆C的方程;(2)直线y=kx+m(m>0)与椭圆C相切且与曲线E交于M,N两点,求|MN|的取值范围.5.设f(x)=x3+mx2+nx.(1)如果g(x)=f'(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求f(x)的解析式;(2)如果m+n<10(m,n∈N*),f(x)的单调递减区间的长度是正整数,试求m和n的值.(注:区间(a,b)的长度为b-a)6.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为-(t为参数,α为直线的倾斜角).以平面直角坐标系O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位,建立极坐标系.圆的极坐标方程为ρ=2cos θ,设直线与圆交于A,B两点.(1)求圆C的直角坐标方程与α的取值范围;(2)若点P的坐标为(-1,0),求的取值范围.7.(1)已知函数f(x)=|2x-3|-2|x|,若关于x的不等式f(x)≤|a+2|+2a恒成立,求实数a的取值范围;(2)已知正数x,y,z满足2x+y+z=1,求的最小值.组合增分练9答案1.解 (1)设数列{a n}的公比为q.由=9a2a6得=9,所以q2=.由条件可知q>0,则q=.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=.故数列{a n}的通项公式为a n=.(2)b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=-(1+2+…+n)=- ).=-2-,故=-)+…+=-2--+…+-=-.所以数列的前n项和为-.2.(1)证明在等腰梯形ABCD中,过点A作AE⊥BC于E,过点D作DF⊥BC于F(图略),则AE∥DF,∴EF=AD=2.又在等腰梯形ABCD中,Rt△ABE≌Rt△DCF,且BC=4,∴BE=FC=1,∴cos C=.在△BCD中,BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos C=42+22-2×4×2×=12,∴BD2+CD2=BC2,∴CD⊥BD.∵平面A'BD⊥平面CBD,平面A'BD∩平面CBD=BD,∴CD⊥平面A'BD,∴CD⊥A'B.(2)解由(1)知V A'-BCD=·S△BCD·h=×2×2×1=,设=λ,则V P-BCD=λV A'-BCD,即=λ·,解得λ=,∴点P在线段A'C靠近A'的三等分点处.3.解 (1)y=(2)令y≤ 解得x≤∴顾客实际消费金额y不超过180的概率为=0.1.(3)令y>420,解得x>500,∴顾客实际消费金额y超过420的概率为=0.5.4.解 (1)由椭圆定义得:|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a,所以点Q的轨迹是以F2为圆心,2a为半径的圆.当QF2⊥F1F2时,△QF1F2面积最大,所以·2c·2a=4,得ac=2.又,可得a=2,c=1.所以点Q的轨迹E的方程为x2+(y+1)2=16,椭圆C的方程为=1.(2)由得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,Δ=36k2m2-4(3k2+4)(3m2-12)=0.化简,得3k2-m2+4=0,所以k2=-≥ 又m>0,得m≥ .设圆心F2(0,-1)到直线MN的距离为d,则.d= )--由m≥ 得3<3+-≤ 即3<d2≤ .所以弦长|MN|=2-∈[2,2),即|MN|的取值范围为[2,2).5.解 (1)由题得g(x)=x2+2(m-1)x+(n-3)=(x+m-1)2+(n-3)-(m-1)2, 已知g(x)在x=-2处取得最小值-5,所以-- )-- )-即m=3,n=2,即得所要求的解析式为f(x)=x3+3x2+2x.(2)因为f'(x)=x2+2mx+n,且f(x)的单调递减区间的长度为正整数,故f'(x)=0一定有两个不同的根, 从而Δ=4m2-4n>0,即m2>n.不妨设为x1,x2,则|x2-x1|=2-为正整数.故m≥ 时才可能有符合条件的m,n;当m=2时,只有n=3符合要求;当m=3时,只有n=5符合要求;当m≥ 时,没有符合要求的n.综上所述,只有m=2,n=3或m=3,n=5满足上述要求.6.解 (1)∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.把-代入x2+y2-2x=0,得t2-4t cos α+3=0,又直线l与圆C交于A,B两点,∴Δ=16cos2α-12>0,解得cos α>或cos α<-.又由α∈[0,π),故α的取值范围为α∈.(2)设方程t2-4t cos α+3=0的两个实数根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义可知.又由<|cos α|≤∴,∴的取值范围为.7.解 (1)因为f(x)=|2x-3|-|2x|≤|(2x-3)-2x|=3,若关于x的不等式f(x)≤|a+2|+2a恒成立,则 ≤|a+2|+2a,得a≥.(2)由柯西不等式得[(x+2y+z)+(z+3x)]≥+1)2=2+.当且仅当时取最小值2+.。

专题4 三角函数、解三角形第2讲 综合大题部分1．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 解析：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝(12×1×2＋12×3×2)sin 60° ＝2 3.2．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f (π4)＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值；(2)若f (α4)＝－25，α∈(π2，π)，求sin(α＋π3)的值．解析：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2， 所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )， 由f (π4)＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f (α4)＝－12sin α＝－25，即sin α＝45， 又α∈(π2，π)，从而cos α＝－35，所以sin(α＋π3)＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.3．(2018·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. (1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解析：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2<B <π， 所以0<∠A <π2. 所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.4．(2018·唐山统考)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AD 是BC 边上的中线，记∠CAD ＝α，∠BAD ＝β. (1)求sin α∶sin β；(2)若tan α＝sin ∠BAC ，求BC . 解析：(1)∵AD 为BC 边上的中线， ∴S △ACD ＝S △ABD ，∴12AC ·AD sin α＝12AB ·AD sin β，∴sin α∶sin β＝AB∶AC＝2∶1. (2)∵tan α＝sin∠BAC＝sin(α＋β)，∴sin α＝sin(α＋β)cos α，∴2sin β＝sin(α＋β)cos α，∴2sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)＝2cos(α＋β)tan α，又tan α＝sin∠BAC＝sin(α＋β)≠0，∴cos(α＋β)＝cos∠BAC＝1 2，在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝3，∴BC＝ 3.。

专题对点练15 4.1~4.2组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.112.《九章算术》是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问金箠重几何?”其意思为:今有金杖(粗细均匀变化)长5尺,截得本端1尺,重4斤,截得末端1尺,重2斤,则金杖重()A.18斤B.15斤C.13斤D.20斤3.已知等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.-4.公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n.若a4是a3与a7的等比中项,S8=16,则S10等于()A.18B.24C.30D.605.等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.-C.D.-6.(2018广东深圳耀华模拟)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n-2n,则a17=()A.-15×216B.15×217C.-16×216D.16×2177.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.68.在等比数列{a n}中,各项均为正数,S n是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=()A.9B.15C.18D.309.在递减等差数列{a n}中,a1a3=-4.若a1=13,则数列的前n项和的最大值为()A.B.C.D.二、填空题(共3小题,满分15分)10.已知等比数列{a n},a2a4=a5,a4=8,则{a n}的前4项和S4= .11.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,则a8的值为.12.(2018湖北重点高中协作体模拟)定义“等积数列”,在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做该数列的公积.已知数列{a n}是等积数列且a1=2,公积为10,则这个数列前21项和S21的值为.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.已知数列{a n}的前n项和为S n,且对任意正整数n,都有3a n=2S n+3成立.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和T n.14.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n+n=2a n(n∈N*).(1)证明:数列{a n+1}为等比数列,并求数列{a n}的通项公式;>2 010的n的最小值.(2)若b n=(2n+1)a n+2n+1,数列{b n}的前n项和为T n,求满足不等式--15.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1=1,2S n=(n+1)a n.在数列{b n}中,b n=.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)求数列的前n项和T n.专题对点练15答案1.A解析由a1+a3+a5=3,得3a3=3,解得a3=1.故S5==5a3=5.2.B解析由题意可知,在等差数列{a n}中,a1=4,a5=2,则S5==15,故金杖重15斤.3.A解析∵a2,a4,a8成等比数列,∴ =a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.∴S n=na1+-d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.4.C解析设等差数列{a n}的公差为d≠0.由题意,得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),即2a1+3d=0.①∵S8=16,∴8a1+×d=16, ②联立①②解得a1=-,d=1.则S10=10×-×1=30.5.C解析设数列{a n}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.∵当q≠1时,S3=--=a1q+10a1,∴--=q+10,整理得q2=9.∵a5=a1q4=9,即81a1=9,∴a1=.6.A解析由题意可得,即=-,据此可得,数列是首项为,公差为-的等差数列,故+(17-1)×-=-,∴a17=-15×216.故选A.7.C解析∵S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,∴a m=S m-S m-1=0-(-2)=2,a m+1=S m+1-S m=3-0=3.∴d=a m+1-a m=3-2=1.∵S m=ma1+-×1=0,∴a1=--.又=a1+m×1=3,∴--+m=3.∴m=5.故选C.8.D解析设等比数列{a n}的公比为q>0,∵2S3=8a1+3a2,∴2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即2a1q2=6a1+a1q,即2q2-q-6=0,解得q=2.又a4=16,可得a1×23=16,解得a1=2.则S4=--=30.9.D解析设公差为d,则d<0.由题意,得13(13+2d)=(13+d)2-4,解得d=-2或d=2(舍去),∴a n=a1+(n-1)d=15-2n.当a n=15-2n≥ 时,即n≤ .5;当a n+1=13-2n≤ 时,即n≥ .5.∴当n≤ 时,a n>0.∴--=---,∴数列的前n项和为----+…+------,∴当n=6时,数列的前n项和最大,最大值为-,故选D. 10.15解析设等比数列{a n}的公比为q,∵a2a4=a1q a4=a1a5=a5,∴a1=1.又a4=8,∴q3=8,∴q=2.故S4=--=15.11.2解析∵等比数列{a n}的前n项和为S n,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,∴------解得a1q=8,q3=-,∴a8=a1q7=(a1q)(q3)2=8×=2.12.72解析由数列{a n}是等积数列,且a1=2,公积为10,根据等积数列的定义,得a2=5,a3=2,由此可以知道数列{a n}的所有奇数项为2,所有偶数项为5.故这个数列前21项和S21=7×10+2=72.13.解 (1)在3a n=2S n+3中,令n=1,得a1=3.当n≥ 时,3a n=2S n+3, ①3a n-1=2S n-1+3, ②①-②得a n=3a n-1,∴数列{a n}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴a n=3n.(2)由(1)得b n=log3a n=n,数列{b n}的前n项和T n=1+2+3+…+n=.14.(1)证明当n=1时,2a1=a1+1,∴a1=1.∵2a n=S n+n,n∈N*,∴2a n-1=S n-1+n-1,n≥两式相减,得a n=2a n-1+1,n≥ 即a n+1=2(a n-1+1),n≥∴数列{a n+1}为以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n+1=2n,∴a n=2n-1,n∈N*.(2)解b n=(2n+1)a n+2n+1=(2n+1)2n,∴T n=3×2+5×22+…+(2n+1)2n,∴2T n=3×22+5×23+…+(2n+1)2n+1,两式相减可得-T n=3×2+2×22+2×23+…+22n-(2n+1)2n+1,∴T n=(2n-1)2n+1+2,∴-->2 010 可化为2n+1>2 010.∵210=1 024,211=2 048,∴满足不等式-->2 010的n的最小值为10.15.解 (1)当n≥ 时,由2S n=(n+1)a n,得2S n-1=na n-1,两式相减得2a n=(n+1)a n-na n-1,整理得--.由a n=---…---…1=n(n≥ .又当n=1时,a1=1,∴a n=n(n∈N*).由b n==2n+1,∴{b n}的通项公式为b n=2n+1.(2)由(1)得.∴T n=--+…+-=1-+…+=1-.故数列的前n项和T n=.。

2019届高考数学二轮复习特色专项训练小题强化练(一) 综合提能练(1)1．设集合P ＝{x ||x －1|<1}，Q ＝{x |－1<x <2}，则P ∩Q ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，12 B ．(－1，2) C ．(1，2)D ．(0，2)2．若复数z 满足(1＋i)z ＝1－2i 3，则|z |＝( ) A.102 B ．32C ．22D ．123．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(3，4)，c ＝(k ，2)．若(3a －b )∥c ，则实数k 的值为( ) A ．－8 B ．－6 C ．－1D ．64．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，a 5＝10，则a 16＝( ) A ．－32 B ．12 C ．16D ．325．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A ．若m ⊂α，则m ⊥βB ．若m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nC ．若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥αD ．若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，现将函数f (x )图象上的所有点向右平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4C ．g (x )＝2cos 2xD ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 7．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，若该“阳马”的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )A.863πB ．86πC ．6πD ．24π8．已知函数f (x ＋2)(x ∈R )为奇函数，且函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x2 018，则f (2 018)＝( )A ．2 018B ．12 018C ．11 009D ．09．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是( )A ．n ≤7?B ．n >7?C ．n ≤6?D ．n >6?10．如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1>AB ＝AD ，设直线A 1B 与直线AD 1，B 1D 1所成的角分别为α，β，则( )A ．60°<α<90°，60°<β<90°B ．60°<α<90°，0°<β<60°C ．0°<α<60°，60°<β<90°D ．0°<α<60°，0°<β<60°11．如图，等腰梯形ABCD 的高为1，DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为两腰上的点，且AF →·BE →＝－8，则CE →·DF →的值为( )A ．－10B ．－8C ．－6D ．－412．已知点P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上的任意一点，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点．若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当AP →＝12PB →时，△AOB 的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为( )A.329 B ．169C ．89D ．4913．已知a ＝213，b ＝⎝⎛⎭⎫1223，则log 2(ab )＝________．14．如图是调查某学校高三年级男、女学生是否喜欢篮球运动得到的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率．已知该年级男生、女生各500名(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢篮球运动的学生中按分层抽样的方法抽取32人，则抽取的男生人数为________．15．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF ⊥x 轴．若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则实数p 的值为________．16．已知数列{a n }共16项，且a 1＝1，a 8＝4.记关于x 的函数f n (x )＝13x 3－a n x 2＋(a 2n －1)x ，n ∈N *.若x ＝a n ＋1(1≤n ≤15)是函数f n (x )的极值点，且曲线y ＝f 8(x )在点(a 16，f 8(a 16))处的切线的斜率为15，则满足条件的数列{a n }的个数为________．参考答案与解析小题强化练小题强化练(一) 综合提能练(1)1．解析：选D.由题意知P ＝{x ||x －1|<1}＝{x |－1<x －1<1}＝{x |0<x <2}，Q ＝{x |－1<x <2}，所以P ∩Q ＝{x |0<x <2}．故选D.2．解析：选A.z ＝1－2i 31＋i ＝1＋2i 1＋i ＝（1＋2i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋i 2，所以|z |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122＝94＋14＝102.故选A. 3．解析：选B.由题可知3a －b ＝(6，3)－(3，4)＝(3，－1)，c ＝(k ，2)，因为(3a －b )∥c ，所以－k ＝2×3，k ＝－6.故选B.4．解析：选D.设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＝4a 1＋4×32d ＝20，得2a 1＋3d ＝10 ①，由a 5＝10，得a 1＋4d ＝10 ②，根据①②可得a 1＝d ＝2，所以a 16＝a 1＋15d ＝32.故选D.5．解析：选C.对于A ：若m ⊂α，则m 与平面β可能平行或相交，所以A 错误；对于B ：若m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，所以B 错误；对于C ：若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥α，C 正确；对于D ：α∩β＝m ，n ⊥m ，则n 不一定与平面α垂直，所以D 错误．6．解析：选D.根据函数f (x )的图象可知A ＝2，T 4＝5π8－3π8＝π4，得T ＝2πω＝π，则ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫5π8，－2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π8＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋φ＝－1，5π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－7π4＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.将函数f (x )图象上的所有点向右平移π4个单位长度得到函数g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 7．解析：选C.由题可知，该“阳马”为四棱锥，记为P ­ABCD ，将其放入长方体中如图所示，则该“阳马”的外接球直径为长方体的体对角线，易知AD ＝AP ＝1，AB ＝2，所以PC ＝12＋12＋22＝6，所以外接球的半径为PC 2＝62，故该球的体积为4πR 33＝4π3×64×62＝6π.故选C.8．解析：选D.由题意知，f (x ＋2)＝－f (－x ＋2)，所以f (x )＝－f (－x ＋4)，又f (x )＝f (－x ＋2)，所以－f (－x ＋4)＝f (－x ＋2)，所以－f (－x ＋2)＝f (－x )，所以f (－x ＋4)＝f (－x )，所以f (x )的周期为4，故f (2 018)＝f (2 016＋2)＝f (2)＝f (0)＝0.9．解析：选D.执行程序框图，s ＝0，a ＝2，n ＝1， s ＝s ＋a ＝2，a ＝a ＋2＝4，n ＝n ＋1＝2； s ＝s ＋a ＝6，a ＝a ＋2＝6，n ＝n ＋1＝3； s ＝s ＋a ＝12，a ＝a ＋2＝8，n ＝n ＋1＝4； s ＝s ＋a ＝20，a ＝a ＋2＝10，n ＝n ＋1＝5； s ＝s ＋a ＝30，a ＝a ＋2＝12，n ＝n ＋1＝6； s ＝s ＋a ＝42，a ＝a ＋2＝14，n ＝n ＋1＝7；s ＝s ＋a ＝56，a ＝a ＋2＝16，此时符合判断框中的条件，退出循环． 所以判断框中的条件可以为“n >6？”．10．解析：选C.根据题意不妨取AA 1＝2，AB ＝AD ＝1，连接BD ，BC 1，A 1C 1，A 1D ，则AD 1∥BC 1，B 1D 1∥BD ，则直线A 1B 与直线AD 1所成的角即∠A 1BC 1，直线A 1B 与直线B 1D 1所成的角即∠A 1BD .易知A 1B ＝BC 1＝A 1D ＝5，A 1C 1＝BD ＝ 2.易知α＝∠A 1BC 1，β＝∠A 1BD ，在△A 1BD 中，易求得tan β＝3，在△A 1BC 1中，易求得tan α＝34，易知0°<α<90°，0°<β<90°，故0°<α<60°，60°<β<90°.11．解析：选D.设AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋xBC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋yAD →，则AF →·BE →＝－AB→2＋yAB →·AD →＋xBC →·BA →＋xyBC →·AD →＝－16＋4(x ＋y )，由AF →·BE →＝－8，得x ＋y ＝2，而CE →＝CD →＋DE →＝CD →＋(1－y )DA →，DF →＝DC →＋CF →＝DC →＋(1－x )CB →，于是CE →·DF →＝－CD →2＋(1－y )DA →·DC →＋(1－x )CB →·CD →＋(1－x )(1－y )CB →·DA →＝－4－2[(1－y )＋(1－x )]＝－4.故选D.12．解析：选A.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由AP →＝12PB →，得(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x ，y 2－y )，则x ＝23x 1＋13x 2，y ＝23y 1＋13y 2，所以⎝⎛⎭⎫23x 1＋13x 22a2－⎝⎛⎭⎫23y 1＋13y 22b2＝1.易知点A 在直线y ＝b a x 上，点B 在直线y ＝－bax 上，则y 1＝b a x 1，y 2＝－bax 2，所以⎝⎛⎭⎫23x 1＋13x 22a 2－⎝⎛⎭⎫2b 3ax 1－b 3a x 22b 2＝1，即⎝⎛⎭⎫23x 1＋13x 22b 2－⎝⎛⎭⎫2b 3a x 1－b 3a x 22a 2＝a 2b 2，化简可得a 2＝89x 1x 2. 由渐近线的对称性可得sin ∠AOB ＝sin 2∠AOx ＝2sin ∠AOx cos ∠AOx sin 2∠AOx ＋cos 2∠AOx ＝2tan ∠AOx tan 2∠AOx ＋1＝2b a⎝⎛⎭⎫b a 2＋1＝2ab b 2＋a2，所以△AOB 的面积为12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12x 21＋y 21×x 22＋y 22×sin ∠AOB ＝12x 21＋⎝⎛⎭⎫b a x 12×x 22＋⎝⎛⎭⎫－b a x 22×2ab b 2＋a 2＝x 1x 21＋⎝⎛⎭⎫b a 2×1＋⎝⎛⎭⎫b a 2×ab b 2＋a 2＝98a 2×ab b 2＋a 2×⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝98a 2×ab b 2＋a2×b 2＋a 2a 2＝98ab ＝2b ，得a ＝169，所以双曲线C 的实轴长为329.故选A.13．解析：a ＝213，则log 2a ＝13，b ＝⎝⎛⎭⎫1223＝2－23，则log 2b ＝－23，所以log 2(ab )＝log 2a ＋log 2b ＝13－23＝－13.答案：－1314．解析：根据等高条形图可知，喜欢篮球运动的女生人数为500×0.2＝100，男生人数为500×0.6＝300，所以喜欢篮球运动的学生总人数为400，分层抽取32人，抽取的男生人数为300400×32＝24.答案：2415．解析：由题可知，△APF 为直角三角形，设直线AP 与以AF 为直径的圆的另一个交点为B ，则BF ⊥AB ，因为AF ＝PF ＝p ，所以BF ＝p 2－4，易知AF 2＝AB ×AP ，所以AP ＝p 22，又12AP ×BF ＝12AF ×PF ，即p 22×p 2－4＝p 2，解得p ＝2 2. 答案：2 216．解析：f ′n (x )＝x 2－2a n x ＋a 2n －1＝[x －(a n ＋1)][x －(a n －1)]．令f ′n (x )＝0，得x ＝a n ＋1或x ＝a n －1，所以a n ＋1＝a n ＋1或a n －1＝a n ＋1(1≤n ≤15)，所以|a n ＋1－a n |＝1(1≤n ≤15)，又f ′8(x )＝x 2－8x ＋15，所以a 216－8a 16＋15＝15，解得a 16＝0或a 16＝8.当a 16＝0时，a 8－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝3， 得a i ＋1－a i (1≤i ≤7，i ∈N *)的值有2个为－1，5个为1； 由a 16－a 8＝(a 9－a 8)＋(a 10－a 9)＋…＋(a 16－a 15)＝－4， 得a i ＋1－a i (8≤i ≤15，i ∈N *)的值有6个为－1，2个为1.所以此时数列{a n }的个数为C 27C 28＝588，同理可得当a 16＝8时，数列{a n }的个数为C 27C 28＝588. 综上，数列{a n }的个数为2C 27C 28＝1 176.答案：1 176。

高考第17题之(一)⎪⎪三角函数与解三角形[说明]高考第17题主要集中在“三角函数与解三角形”与“数列”两个知识点命题，每年选其一进行考查．年份卷别考题位置考查内容命题规律分析2019 全国卷Ⅰ解答题第17题正、余弦定理、三角形的面积公式以及两角和的余弦公式三角函数与解三角形在解答题中一般与三角恒等变换、平面向量等知识进行综合考查．题目难度中等偏下，多为解答题第一题．2019 全国卷Ⅱ解答题第17题诱导公式、二倍角公式、余弦定理以及三角形的面积公式2019 全国卷Ⅲ解答题第17题余弦定理、三角形的面积公式2019 全国卷Ⅰ解答题第17题正、余弦定理及应用2019 全国卷Ⅱ解答题第17题正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sin A.(1)求sin B sin C；(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．解：(1)由题设得12ac sin B＝a23sin A，即12c sin B＝a3sin A.由正弦定理得12sin C sin B＝sin A3sin A.故sin B sin C＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C－sin B sin C＝－12，即cos(B＋C)＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.2．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解：(1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C .因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0， 故cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，即a ＋b ＝5. 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.题型一 正、余弦定理解三角形[学规范](1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，…………………………………………1分S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD . …………………………………………2分因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ❶，所以AB ＝2AC . …………………………………………3分由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.…………………………………………4分(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.…………………………………………6分 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ❷，…………………………………………8分 AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ❸. …………………………………………10分 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. …………………………………………11分 由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. …………………………………………12分[防失误]①处易忽略角平分线性质而失分，注意平面图形的角平分线性质应用．②③处若未注意到∠ADB ＋∠ADC ＝π会导致两式不知如何变形，注意三角形中角的关系、三角形内角和定理的应用．[通技法]利用正弦、余弦定理求解三角形中基本量的方法[对点练]1．(2019·云南模拟)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值； (2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．解：(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k . 又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，由正弦定理，得AD sin ∠ABD ＝BDsin ∠DAB，∴sin ∠ABD ＝AD sin ∠DAB BD ＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217， ∴sin ∠DBC ＝277.由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD ＝BD sin ∠DBCsin ∠BCD＝7×27732＝433.题型二 与三角形面积有关的问题[学规范](1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，……………………………………………2分即sin B ＝4(1－cos B )❶，………………………………………………………………3分 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0，………………………………………………………4分 解得cos B ＝1517，cos B ＝1(舍去)❷. ……………………………………………………6分(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，………………………………………………………7分故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac ❸. ……………………………………………………………8分又S △ABC ＝2，则ac ＝172.…………………………………………………………………9分由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac ❹(1＋cos B ) ……………………………………………………………10分 ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. ……………………………………………………………………………………11分 所以b ＝2. ………………………………………………………………………………12分[防失误]①处利用倍角公式时，易把sin 2B 2＝1－cos B 2记为sin 2B 2＝1＋cos B2，导致化简结果错误．②处根据三角形中内角的范围舍去cos B ＝1易忽视．③处关键是利用(1)的结论，结合平方关系求出sin B ，由此明确面积公式的选择．④处若出现a ＋c 及ac ，则注意余弦定理中配方法的使用，以及整体思想的运用．[通技法]与三角形面积有关的问题的解题模型[对点练]2．(2019·石家庄模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac .(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，求△ABC 的面积． 解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58.(2)∵b ＝13，cos B ＝58，∴b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac .又sin A ，sin B ，sin C 成等差数列， 由正弦定理，得a ＋c ＝2b ＝213， ∴13＝52－134ac ，∴ac ＝12.由cos B ＝58，得sin B ＝398，∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×12×398＝3394.1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A ＋sin B ＝3sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15.即cos C ＝－15.(2)因为sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6. ① 由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9， ② 由①②解得a ＝3，b ＝3.2．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3， 即c 2＋2c －24＝0.解得c ＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin 2π3＝23，所以△ABD 的面积为 3.3．(2019·天津模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin A ＋cos A ＝1－sin A 2.(1)求sin A 的值；(2)若c 2－a 2＝2b ，且sin B ＝3cos C ，求b . 解：(1)由已知，2sin A 2cos A 2＋1－2sin 2A 2＝1－sin A2，在△ABC 中，sin A 2≠0，因而sin A 2－cos A 2＝12，则sin 2A 2－2sin A 2cos A 2＋cos 2A 2＝14，因而sin A ＝34.(2)由已知sin B ＝3cos C ， 结合(1)，得sin B ＝4cos C sin A . 法一：利用正弦定理和余弦定理得b ＝4(a 2＋b 2－c 2)2ab ×a ，整理得b 2＝2(c 2－a 2)．又c 2－a 2＝2b ，∴b 2＝4b ， 在△ABC 中，b ≠0，∴b ＝4. 法二：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴2b ＝b 2－2ab cos C ， 在△ABC 中，b ≠0， ∴b ＝2＋2a cos C ， ① 又sin B ＝4cos C sin A ，由正弦定理，得b ＝4a cos C ， ② 由①②解得b ＝4.4．(2019·天津五区县模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8 sin 2A ＋B2－2cos 2C ＝7.(1)求tan C 的值；(2)若c ＝3，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值． 解：(1)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B 2＝π2－C 2，则sin A ＋B 2＝cos C 2.由8sin 2A ＋B 2－2cos 2C ＝7，得8cos 2C 2－2cos 2C ＝7，所以4(1＋cos C )－2(2cos 2C －1)＝7，即(2cos C －1)2＝0，所以cos C ＝12.因为0＜C ＜π，所以C ＝π3，于是tan C ＝tan π3＝ 3.(2)由sin B ＝2sin A ，得b ＝2a . ①又c ＝3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3. ② 联立①②，解得a ＝1，b ＝2.5．(2019届高三·湘中名校联考)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围． 解：(1)∵a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，∵sin A ≠0， ∴sin B ＝12.又△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π6.(2)∵B ＝π6，∴cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－π6－A ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 由△ABC 为锐角三角形知，A ＋B ＞π2，∴π3＜A ＜π2，∴2π3＜A ＋π3＜5π6， ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＜32， ∴32＜3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＜32， ∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.6.(2019·洛阳模拟)如图，平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°.(1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长； (2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围．解：(1)由已知，易得∠ACB＝45°，在△ABC中，10sin 45°＝CBsin 60°，解得CB＝5 6.因为AC∥BD，所以∠ADB＝∠CAD＝30°，∠CBD＝∠ACB＝45°，在△ABD中，∠ADB＝30°＝∠BAD，所以DB＝AB＝10.在△BCD中，CD＝CB2＋DB2－2CB·DB cos 45°＝510－4 3.(2)AC＋AB＞BC＝10，由余弦定理得cos 60°＝AB2＋AC2－1002AB·AC，即(AB＋AC)2－100＝3AB·AC.又AB·AC≤⎝⎛⎭⎫AB＋AC22，所以(AB＋AC)2－1003≤⎝⎛⎭⎫AB＋AC22，解得AB＋AC≤20，故AB＋AC的取值范围为(10,20]．高考第17题之(二)⎪⎪数列年份卷别考题位置考查内容命题规律分析2019 全国卷Ⅱ解答题第17题等差数列的基本运算数列在解答题中的考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．试题难度中等．2019 全国卷Ⅲ解答题第17题等比数列的通项公式、a n与S n的关系2019 全国卷Ⅰ解答题第17题等差数列的通项公式、a n与S n的关系、裂项相消法求和1．(2019·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列， 于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.2．(2019·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3(2n ＋3).题型一 等差、等比数列的判定及应用[学规范](1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.❶………………………………………………………3分解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.5分故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . …………………………………………………………6分(2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)＝－23＋(－1)n2n ＋13❷. ……………………………………………………………………8分由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n2n ＋13＝2S n ❸，………………………………………………………10分故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. ………………………………………………………12分[防失误]①处注意此类方程组的整体运算方法的运用，可快速求解． ②处化简S n 时易出现计算错误．③处对于S n ＋2＋S n ＋1的运算代入后，要针对目标，即化为2S n ，观察结构，整体运算变形，可得结论．[通技法]1．等比数列的4种判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．2．证明一个数列{a n }为等差数列的2种基本方法(1)利用等差数列的定义证明，即证明a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)； (2)利用等差中项证明，即证明a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1(n ∈N *)．[对点练]1．(2019·成都模拟)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解：(1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2.∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2＜0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1)＝2(1－2n )1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2. 又当n ＝1时，上式也满足． ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.题型二 等差、等比数列的综合应用[学规范](1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28， 解得d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . ………………………………………………………2分b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2❶.………………………………………………………………………………………………5分(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，❷………………………………………………9分所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. ………………………12分[防失误]①处易出现不理解[x ]的含义而求错值，注意理解题目中给出的例子．②处不明白b n ＝[lg a n ]的含义而求错b n ，要抓住lg a n 与a n 的关系，分段要明确才能避免失误．[通技法]等差、等比数列基本量的计算模型(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序．(2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．[对点练]2．(2019·合肥模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵{a n }为等差数列， ∴⎩⎨⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ＝22n ＋1＋(－1)n ·(2n ＋1)＝2×4n ＋(－1)n ·(2n ＋1)， ∴T n＝2×(41＋42＋…＋4n )＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n (2n ＋1)]＝8(4n －1)3＋G n . 当n ＝2k (k ∈N *)时，G n ＝2×n2＝n ，∴T n ＝8(4n －1)3＋n ；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，G n ＝2×n －12－(2n ＋1)＝－n －2，∴T n ＝8(4n －1)3－n －2，∴T n＝⎩⎨⎧8(4n －1)3＋n (n ＝2k ，k ∈N *)，8(4n－1)3－n －2(n ＝2k －1，k ∈N *).1．(2019· 长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝3a n －1(n ∈N *)．(1)若数列{b n }满足b n ＝a n －12，求证：{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知得a n ＋1－12＝3⎝⎛⎭⎫a n －12(n ∈N *)，从而有b n ＋1＝3b n .又b 1＝a 1－12＝1， 所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得b n ＝3n －1，从而a n ＝3n －1＋12，所以S n ＝1＋12＋3＋12＋…＋3n －1＋12＝1＋3＋…＋3n －1＋n 2＝1－3n 1－3＋n 2＝3n ＋n －12.2．(2019·云南模拟)已知数列{a n }中，a 2n ＋2a n －n 2＋2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)由a 2n ＋2a n －n 2＋2n ＝0，得(a n －n ＋2)(a n ＋n )＝0. ∴a n ＝n －2或a n ＝－n .∴{a n }的通项公式为a n ＝n －2或a n ＝－n .(2)①当a n ＝n －2时，易知{a n }为等差数列，且a 1＝－1， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－1＋n －2)2＝n (n －3)2.②当a n ＝－n 时，易知{a n }也为等差数列，且a 1＝－1， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－1－n )2＝－n (n ＋1)2.故S n＝⎩⎨⎧n (n －3)2(a n＝n －2)，－n (n ＋1)2(a n＝－n ).3．(2019·南京模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5，可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5， 所以3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)，可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1)． ∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1) ＝(1－3)＋(5－7)＋…＋(4n －3－4n ＋1) ＝(－2)×n ＝－2n .4．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n .数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，等比数列{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧q (2＋d )＝6，q ＋3＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－43，q ＝9(舍去)．故a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12n (n ＋1)，即1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 5．(2019届高三·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.6．(2019·石家庄模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)．(1)求m的值；(2)若数列{b n }满足a n2＝log 2b n (n ∈N *)，求数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和．解：(1)由已知得，a m ＝S m －S m －1＝4， 且a m ＋1＋a m ＋2＝S m ＋2－S m ＝14，设数列{a n }的公差为d ，则有2a m ＋3d ＝14， ∴d ＝2.由S m ＝0，得ma 1＋m (m －1)2×2＝0，即a 1＝1－m ，∴a m ＝a 1＋(m －1)×2＝m －1＝4， ∴m ＝5.(2)由(1)知a 1＝－4，d ＝2，∴a n ＝2n －6， ∴n －3＝log 2b n ，得b n ＝2n －3， ∴(a n ＋6)·b n ＝2n ×2n －3＝n ×2n －2. 设数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1×2－1＋2×20＋…＋(n －1)×2n －3＋n ×2n －2，① 2T n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1，② ①－②，得－T n ＝2－1＋20＋…＋2n －2－n ×2n －1 ＝2－1(1－2n )1－2－n ×2n －1＝2n －1－12－n ×2n －1，∴T n ＝(n －1)×2n －1＋12(n ∈N *)．高考第18题(或19题)⎪⎪立体几何年 份 卷 别 考题位置考查内容命题规律分析2019全国卷Ⅰ解答题第18题 线面垂直、面面垂直的证明及二面角的求解高考中此部分命题较为稳定，以解答题的形式考查空间平行关系2019全国解答题第19题 线面平行的证明及二面角卷Ⅱ的求解和垂直关系的证明，空间几何体表面积和体积的计算，异面直线所成的角、线面角和二面角的求解，简单的空间距离的求解，难度中等偏上．其中解答题的基本模式是既有证明也有计算，而计算离不开证明，以考查证明为主．2019 全国卷Ⅲ解答题第19题面面垂直的证明及二面角的求解2019 全国卷Ⅰ解答题第18题面面垂直的证明及二面角的求解2019 全国卷Ⅱ解答题第19题线面垂直的证明及二面角的求解2019 全国卷Ⅲ解答题第19题线面平行的证明及线面角的求解2019 全国卷Ⅰ解答题第18题面面垂直的证明、异面直线所成角的求解2019 全国卷Ⅱ解答题第19题空间点线面的位置关系及线面角的求解1．(2019·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值．解：(1)证明：由题设可得，△ABD≌△CBD，从而AD＝DC.又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.又因为△ABC是正三角形，所以BO⊥AC.所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直．以O为坐标原点，OA―→的方向为x轴正方向，|OA―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E ⎝⎛⎭⎫0，32，12.故AD ―→＝(－1,0,1)，AC―→＝(－2,0,0)，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，32，12.设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面DAE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD ―→＝0，n ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋z 1＝0，－x 1＋32y 1＋12z 1＝0. 可取n ＝⎝⎛⎭⎫1，33，1. 设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面AEC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC ―→＝0，m ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＝0，－x 2＋32y 2＋12z 2＝0， 可取m ＝(0，－1，3)． 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－33＋3213×2＝77. 由图知二面角D -AE -C 为锐角， 所以二面角D -AE -C 的余弦值为77.2.(2019·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，且DF ∩EF ＝F ， 所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ⊂平面ABEF ， 故平面ABEF ⊥平面EFDC . (2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G . 由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF ―→的方向为x 轴正方向，|GF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角， 故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)． 由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2,0，3)．所以EC ―→＝(1,0，3)，EB ―→＝(0,4,0)，AC ―→＝(－3，－4，3)，AB ―→＝(－4,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ―→＝0，m ·AB ―→＝0，同理可取m ＝(0，3，4)． 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.由图知，二面角E -BC -A 为钝角， 故二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.3.(2019·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．解：(1)证明：如图，连接BD ，设BD ∩AC 于点G ，连接EG ，FG ，EF .在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3.由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC .又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中， 由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22， 可得EF ＝322.从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，所以EG ⊥平面AFC .因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .(2)如图，以G 为坐标原点，分别以GB ―→，GC ―→的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB ―→|为单位长度，建立空间直角坐标系G -xyz .由(1)可得A (0，－3，0)，E (1,0，2)，F ⎝⎛⎭⎫－1，0，22，C (0，3，0)，所以AE ―→＝(1，3，2)，CF ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，－3，22.故cos 〈AE ―→，CF ―→〉＝AE ―→·CF ―→|AE ―→||CF ―→|＝－33.所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33.题型一 平行、垂直关系的证明与线面角求法[学规范](1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2. ……………………………………………………1分又AD ∥BC ，BC ＝4.所以AM 綊12BC . ………………………………………………2分取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2❶. ……………………………………………………3分故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . ……………………4分因为MN ⊄平面P AB ❷，AT ⊂平面P AB ，………………………………………………5分 所以MN ∥平面P AB .6分 (2)取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，………………………………………………7分 且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝ 5.……………………………………………8分以A 为坐标原点，AE ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ❸.9分由题意知，P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2， PM ―→＝(0,2，－4)，PN ―→＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN ―→＝⎝⎛⎭⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PM ―→＝0，n ·PN ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，……………………………………10分可取n ＝(0,2,1)❹. ……………………………………………………………………11分 于是|cos 〈n ，AN ―→〉|＝|n ·AN ―→||n ||AN ―→|＝8525.所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值❺为8525.…………………………12分[防失误]①处易忽视TN 綊12BC ，导致没有思路建立平行关系，注意平面图形性质的应用．②处在证明线面平行问题时，易忽视线不在面内这一条件从而失分，注意线面平行条件使用的规范化．③处建立恰当坐标系是要选准原点及坐标轴，注意建系的原则是尽可能使几何体的点、面在坐标平面上．④处求法向量n 有无穷多个，但要注意取值时要尽量简单．⑤处易误认为|cos 〈n ，AN ―→〉|的值是线面角的余弦值，注意sin θ＝|cos 〈n ，AN ―→〉|.[通技法]利用空间向量求线面角的解题模型[对点练]1．(2019·云南模拟)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，AD ＝23，∠ACD ＝60°，E 为CD 的中点．(1)求证：BC ∥平面P AE ；(2)求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵AB ＝3，BC ＝1，∠ABC ＝90°， ∴AC ＝2，∠BCA ＝60°. 在△ACD 中，∵AD ＝23，AC ＝2，∠ACD ＝60°， ∴由余弦定理可得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ， ∴CD ＝4，∴AC 2＋AD 2＝CD 2， ∴△ACD 是直角三角形．又E 为CD 的中点，∴AE ＝12CD ＝CE ，又∠ACD ＝60°，∴△ACE 是等边三角形， ∴∠CAE ＝60°＝∠BCA ，∴BC ∥AE . 又BC ⊄平面P AE ，AE ⊂平面P AE ， ∴BC ∥平面P AE .(2)由(1)可知∠BAE ＝90°，以点A 为原点，以AB ，AE ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,2)，B (3，0,0)，C (3，1,0)，D (－3，3,0)，∴PB ―→＝(3，0，－2)，PC ―→＝(3，1，－2)，PD ―→＝(－3，3，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB ―→＝0，n ·PC ―→＝0，即⎩⎨⎧3x －2z ＝0，3x ＋y －2z ＝0，令x ＝1，得z ＝32，y ＝0，∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，0，32， ∴|cos 〈n ，PD ―→〉|＝|n ·|PD ―→||n |·|PD ―→|＝2374·16＝217，∴直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值为217.题型二 平行、垂直关系的证明与二面角的求法[学规范](1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . ……………………………………………………………………2分 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . …………………………………………………………3分 又AP ∩PD ＝P ❶，所以AB ⊥平面P AD . …………………………………………………4分又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . ………………………………………5分 (2)在平面P AD 内作PF ⊥AD ，垂足为F . 由(1)可知，AB ⊥平面P AD ❷， 故AB ⊥PF ， 可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，F A ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz .由(1)及已知可得A ⎝⎛⎭⎫22，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，22，B ⎝⎛⎭⎫22，1，0， C ⎝⎛⎭⎫－22，1，0. 所以PC ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，1，－22，CB ―→＝(2，0,0)，P A ―→＝⎝⎛⎭⎫22，0，－22，AB ―→＝(0,1,0). …………………………………………………8分设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC ―→＝0，n ·CB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－22x 1＋y 1－22z 1＝0，2x 1＝0.所以可取n ＝(0，－1，－2)❸. …………………………………………………………9分 设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面P AB 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·P A ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22x 2－22z 2＝0，y 2＝0.所以可取m ＝(1,0,1)❹.10分 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－23×2＝－33.………………………………………………11分由图知二面角A -PB -C 为钝角❺， 所以二面角A -PB -C 的余弦值为－33.…………………………………………………12分 [防失误]①处易忽视AP ∩PD ＝P 是证明线面垂直的关键条件，注意线面垂直判定定理中条件使用的规范化．②处易忽视充分利用(1)的结论，导致无法准确得到创设空间直角坐标系的条件． ③④处易求错法向量导致后面结果全部错误，注意法向量的求法． ⑤处易忽视结合图形判断所求二面角是锐角还是钝角，导致给出错误答案．[通技法]利用空间向量求二面角的解题模型[对点练]2．(2019·贵阳模拟)如图所示，该几何体由一个直三棱柱ADE -BCF 和一个正四棱锥P -ABCD 组合而成，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面P AD ⊥平面ABFE ；(2)若正四棱锥P -ABCD 的高为1，求二面角C -AF -P 的余弦值． 解：(1)证明：∵直三棱柱ADE -BCF 中，AB ⊥平面ADE ， ∴AB ⊥AD ，又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ，∴AD ⊥平面ABFE ，∵AD ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面ABFE .(2)∵AD ∥BC ，AD ⊥平面ABFE ，∴BC ⊥平面ABFE ，且AB ⊥BF ，以B 为坐标原点，BA ，BF ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B -xyz .∵正四棱锥P -ABCD 的高为1， AE ＝AD ＝2，∴A (2,0,0)，F (0,2,0)，C (0,0,2)，P (1，－1,1)，∴AF ―→＝(－2,2,0)，CF ―→＝(0,2，－2)，P A ―→＝(1,1，－1)， 设n 1＝(x 1,1，z 1)是平面ACF 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AF ―→＝0，n 1·CF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋2＝0，2－2z 1＝0，解得x 1＝1，z 1＝1，即n 1＝(1,1,1)． 设n 2＝(x 2,1，z 2)是平面P AF 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AF ―→＝0，n 2·P A ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2＝0，x 2＋1－z 2＝0，解得x 2＝1，z 2＝2，即n 2＝(1,1,2)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋1＋23×6＝223，由图知，二面角C -AF -P 是锐角， ∴二面角C -AF -P 的余弦值是223.1.(2019届高三·广西五校联考)如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝AE ＝2.(1)求证：BD ⊥平面ACFE ；(2)当直线FO 与平面BED 所成的角为45°时，求异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值大小．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD ⊥AC .∵AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥AE .∵AC ∩AE ＝A ，∴BD ⊥平面ACFE .(2)以O 为坐标原点，OA ―→，OB ―→的方向为x 轴，y 轴正方向，过O 且平行于CF 的直线为z 轴(向上为正方向)，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，设CF ＝a ，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，E (1,0,2)，F (－1，0，a )(a ＞0)，OF ―→＝(－1,0，a )．设平面BED 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB ―→＝0，n ·OE ―→＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0，x ＋2z ＝0，令z ＝1，则n ＝(－2,0,1)，由题意得sin 45°＝|cos 〈OF ―→，n 〉|＝|OF ·n ||OF ―→||n |＝|2＋a |a 2＋1·5＝22，解得a ＝3或a ＝－13.由a ＞0，得a ＝3，OF ―→＝(－1,0,3)，BE ―→＝(1，－3，2)， ∴cos 〈OF ―→，BE ―→〉＝－1＋610×8＝54，故异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值为54. 2.(2019·合肥模拟)如图所示，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2.(1)若M 为CD 中点，求证：AM ⊥平面AA 1B 1B ； (2)求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接AC ， ∵四边形ABCD 为菱形， ∠BAD ＝120°，∴△ACD 为等边三角形， 又M 为CD 中点，∴AM ⊥CD ，由CD ∥AB 得， AM ⊥AB .∵AA 1⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，∴AM ⊥AA 1. 又AB ∩AA 1＝A ， ∴AM ⊥平面AA 1B 1B .(2)∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2，∴DM ＝1，AM ＝3，∴∠AMD ＝∠BAM ＝90°， 又AA 1⊥底面ABCD ，∴以A 为坐标原点，AB ，AM ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A 1(0,0,2)，B (2,0,0)，D (－1，3，0)，D 1⎝⎛⎭⎫－12，32，2，∴DD 1―→＝⎝⎛⎭⎫12，－32，2，BD ―→＝(－3，3，0)，A 1B ―→＝(2,0，－2)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD ―→＝0，n ·A 1B ―→＝0，即⎩⎨⎧－3x ＋3y ＝0，2x －2z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，3，1)，∴|cos 〈n ，DD 1―→〉|＝|n ·DD 1―→||n |·|DD 1―→|＝15×5＝15.∴直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为15.3.(2019届高三·洛阳四校调研)如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均是直角梯形，∠F AB ＝∠DAB ＝90°，二面角F -AB -D 是直二面角，BE ∥AF ，BC ∥AD ，AF ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.(1)证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行；(2)求二面角F -CD -A 的余弦值．解：(1)证明：由已知得，BE ∥AF ，BE ⊄平面AFD ，AF ⊂平面AFD ， ∴BE ∥平面AFD .同理可得，BC ∥平面AFD .又BE ∩BC ＝B ，∴平面BCE ∥平面AFD . 设平面DFC ∩平面BCE ＝l ，则l 过点C .∵平面BCE ∥平面ADF ，平面DFC ∩平面BCE ＝l ，平面DFC ∩平面AFD ＝DF ， ∴DF ∥l ，即在平面BCE 上一定存在过点C 的直线l ，使得DF ∥l .(2)∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，F A ⊂平面ABEF ， 又∠F AB ＝90°，∴AF ⊥AB ，∴AF ⊥平面ABCD . ∵AD ⊂平面ABCD ，∴AF ⊥AD . ∵∠DAB ＝90°，∴AD ⊥AB .以A 为坐标原点，AD ，AB ，AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得，D (1,0,0)，C (2，2,0)，F (0,0,2)，∴DF ―→＝(－1,0,2)，DC ―→＝(1,2,0)．设平面DFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF ―→＝0，n ·DC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2z ＝0，x ＋2y ＝0，令z ＝1，则n ＝(2，－1,1)，不妨取平面ACD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝16＝66，由于二面角F -CD -A 为锐角， 因此二面角F -CD -A 的余弦值为66. 4．(2019·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值．解：(1)证明：取P A 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°，得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ， 又CE ⊄平面P AB ，BF ⊂平面P AB ， 故CE ∥平面P AB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，P (0，1，3)，PC ―→＝(1,0，－3)，AB ―→＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM ―→＝(x －1，y ，z )，PM ―→＝(x ，y －1，z －3)． 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM ―→，n 〉|＝sin 45°，|z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22，即(x －1)2＋y 2－z 2＝0. ① 又M 在棱PC 上，设PM ―→＝λPC ―→， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ. ②由①②解得⎩⎨⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎨⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝⎛⎭⎫1－22，1，62，从而AM ―→＝⎝⎛⎭⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎨⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105.由图知二面角M -AB -D 为锐角， 因此二面角M -AB -D 的余弦值为105. 5．(2019·开封模拟)如图①，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AD ＝CD ＝12AB ＝2.将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D -ABC ，如图②所示．(1)证明：平面ABD ⊥平面BCD ； (2)求二面角D -AB -C 的余弦值．解：(1)证明：易知AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD ，∴AD ⊥BC .又AD ⊥CD ，BC ∩CD ＝C ，∴AD ⊥平面BCD ， ∵AD ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BCD .(2)以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，则C (0，0,0)，A (22，0,0)，D (2，0，2)，B (0,22，0)，AD ―→＝(－2，0，2)，AB ―→＝(－22，22，0)．设平面ABD 的法向量m ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋2z ＝0，－22x ＋22y ＝0，令x ＝1，得y ＝1，z ＝1，所以平面ABD 的一个法向量m ＝(1,1,1)． 易知平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝33，由图知，二面角D -AB -C 为锐角， ∴二面角D -AB -C 的余弦值为33. 6.(2019届高三·湖北五校联考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝22，BC ＝42，P A ＝2.(1)求证：AB ⊥PC ；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M -AC -D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形， 由AD ＝CD ＝22，BC ＝42， 可得AB ＝AC ＝4， 所以BC 2＝AB 2＋AC 2， 所以∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ， 因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ， 又P A ∩AC ＝A ， 所以AB ⊥平面P AC ，所以AB ⊥PC .(2)存在，理由如下：取BC 的中点E ，则AE ⊥BC ，以A 为坐标原点，AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，C (22，22，0)，D (0，22，0)，P (0，0,2)，B (22，－22，0)，PD ―→＝(0,22，－2)，AC ―→＝(22，22，0)．设PM ―→＝t PD ―→(0＜t ＜1)， 则点M 的坐标为(0,22t ，2－2t )， 所以AM ―→＝(0,22t,2－2t )．设平面MAC 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ―→＝0，n ·AM ―→＝0，即⎩⎨⎧22x ＋22y ＝0，22ty ＋(2－2t )z ＝0，令x ＝1，得y ＝－1，z ＝2t 1－t ，则n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，2t 1－t .又m ＝(0,0,1)是平面ACD 的一个法向量，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t t －12＝22， 解得t ＝12，即点M 是线段PD 的中点．此时平面MAC 的一个法向量n ＝(1，－1，2)， 又BM ―→＝(－22，32，1)． 设BM 与平面MAC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，BM ―→〉|＝422×33＝269.故BM 与平面MAC 所成角的正弦值为269.高考第18题(或19题)⎪⎪概率与统计。

客观题提速练二(时间:45分钟满分:80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2018·天津市联考)设集合A={x∈N||x|≤2},B={y|y=1-x2},则A∩B等于( )(A){x|-2≤x≤1} (B){0,1}(C){1,2} (D){x|0≤x≤1}2.(2018·四川南充二模)已知i是虚数单位,复数z满足z(1+i)=1-i,则复数z在复平面内对应的点的坐标为( )(A)(0,1) (B)(0,-1)(C)(-1,0) (D)(1,0)3.(2018·云南曲靖一中质量监测)已知等差数列{a n},公差d=2,S3+S5=18,则a1等于( )(A)3 (B)1 (C)-1 (D)24.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)下列命题中,真命题是( )(A)“∃x0∈R,≤0”的否定是“∀x∈R,e x≥0”(B)已知a>0,则“a≥1”是“a+≥2”的充分不必要条件(C)已知平面α,β,γ满足α⊥γ,β⊥γ,则α∥β(D)若P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,则事件A与B是对立事件5.(2018·全国二模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )(A)若α⊥β,m⊥α,则m∥β(B)若m∥α,n⊂α,则m∥n(C)若α∩β=m,n∥α,n∥β,则m∥n(D)若α⊥β,且α∩β=m,点A∈α,直线AB⊥m,则AB⊥β6.(2018·四川南充二模)在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sin x+cos x≥”发生的概率为( )(A)(B)(C)(D)7.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)要使如图的程序框图中输出的S=2cos π+23cos 3π+…+299cos 99π,则判断框内(空白框内)可填入( )(A)n<99 (B)n<100(C)n≥99 (D)n≥1008.(2018·四川宜宾一诊)已知F1,F2是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,F2与抛物线C:y2=4x的焦点重合,点M在E上,MF2与x轴垂直,|MF2|=2,则E的离心率为( )(A)(B)(C)(D)29.(2018·天津市联考)设变量x,y满足线性约束条件则z=2x-y的取值范围是( )(A)[-3,6] (B)[-6,6](C)[-6,+∞) (D)[-3,+∞)10.(2018·全国二模)《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的外接球的表面积为( )(A)(B)8π(C)6π(D)11.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,点P,Q,R在f(x)的图象上,坐标分别为(-1,-A),(1,0),(5,0),△PQR是以PR为底边的等腰三角形,将函数f(x)的图象向右平移5个单位后得到函数g(x)的图象,则关于g(x)的说法中不正确的是( )(A)g(x)是偶函数(B)g(x)在区间[0,4]上是减函数(C)g(x)的图象关于直线x=2对称(D)g(x)在[-1,3]上的最小值为-12.(2018·泰安期末)已知函数f(x)=e2x+(a-e)e x-aex+b(a,b∈R),(其中e为自然对数的底数)在x=1处取得极大值,则a的取值范围是( )(A)(-∞,0) (B)[0,+∞)(C)[-e,0) (D)(-∞,-e)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .14.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S1+2S5=3S3,则{a n}的公比等于.15.(2018·东北三校一模)甲、乙、丙三人中只有一人做了好事,他们各自都说了一句话,而且其中只有一句真话.甲说:“是乙做的.”乙说:“不是我做的.”丙说:“不是我做的.”则做好事的是.(填甲、乙、丙中的一个)16.(2018·四川南充二模)已知函数f(x)=,函数 g(x) 对任意的x∈R都有g(2 018-x)=4-g(x-2 016)成立,且y=f(x)与y=g(x)的图象有 m个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则(x i+y i)= .1.B A={x∈N||x|≤2}={x∈N|-2≤x≤2}={0,1,2},B={y|y=1-x2}={y|y≤1},所以A∩B={0,1},故选B.2.B 由z(1+i)=1-i得z====-i,所以复数z在复平面内对应的点为(0,-1),故选B.3.C 由已知得3a1+×2+5a1+×2=18,解得a1=-1.故选C.4.B “∃x0∈R,≤0”的否定是“∀x∈R,e x>0”,故A错误;a+≥2恒成立的充要条件是a>0,所以“a≥1”是“a+≥2”的充分不必要条件,故B正确;当α⊥γ,β⊥γ时,α与β可以相交,故C错误;事件A与B互斥,但不一定对立,故D错误.5.C A选项不正确,因为α⊥β,m⊥α时,可能有m⊂β;B选项不正确,因m∥α,n⊂α,则m∥n或异面;C选项正确,因为α∩β=m,n∥α,n∥β,由线面平行的判定定理可知必有m∥n;D选项不正确,当点A∈m时,AB⊥m,但AB不一定与β垂直.故选C.6.D 由sin x+cos x=sin(x+)≥,所以sin(x+)≥,因为0≤x≤π,所以≤x+≤π,所以满足sin(x+)≥,即≤x+≤π,所以0≤x≤π,由几何概型可知P==,故选D.7.B 要得到题中的输出结果,则n=1,3,…,99均满足判断框内的条件,n=101不满足判断框内的条件,故空白框内可填入n<100,故选B.8.C y2=4x的焦点坐标为(,0),所以c=.|MF2|==2,所以b2=2a,又c2=a2+b2,所以3=a2+2a,解得a=1或a=-3(舍去),所以E的离心率e==,故选C.9.D 作出所表示的平面区域(如图),利用平移法可知,z=2x-y在点A(0,3)处取得最小值,无最大值,故z=2x-y≥2×0-3=-3,所以选D.10.B 由几何体的三视图可得,该几何体是一个以侧视图为底面的直三棱柱,底面是等腰直角三角形,斜边长为2,高为1,棱柱的高为2.该“堑堵”的外接球的直径是三棱柱面积比较大的侧面的对角线的长度(或将其补成长方体),外接球的半径为.所以三棱柱外接球的表面积为4π·()2=8π.故选B.11.C 因为=2,所以=8,即ω=,因为|PQ|=|QR|=4,作PH⊥x轴于点H,则|QH|=2,所以A=2,当x=1时,ωx+φ=0,所以φ=-,所以f(x)=2sin(x-).g(x)=f(x-5)=2cos x,根据余弦函数的性质可知A,B,D正确,C错误.12.D 由f(x)=e2x+(a-e)e x-aex+b,得f′(x)=e2x+(a-e)e x-ae=(e x+a)(e x-e).当a≥0时,e x+a>0,由f′(x)>0,得x>1,由f′(x)<0,得x<1.所以f(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,则f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意;当a<0时,令f′(x)=0,得x=1或ln(-a),为使f(x)在x=1处取得极大值,则有ln(-a)>1,所以a<-e.所以a的取值范围是a<-e.故选D.13.解析:由题易得2a+b=(4,2),因为c ∥(2a+b),所以4λ=2,得λ=.答案:14.解析:由S1+2S5=3S3得2(S5-S3)=S3-S1,所以2(a5+a4)=a3+a2,所以=q2=,因为{a n}的各项均为正数,所以q>0,所以q=.答案:15.解析:假设做好事的是甲,则甲说的是假话,乙和丙说的都是真话,不合题意; 假设做好事的是乙,则甲和丙说的是真话,乙说的是假话,不合题意;假设做好事的是丙,则甲和丙说的是假话,乙说的是真话,符合题意.综上,做好事的是丙.答案:丙16.解析:因为函数f(x)===2+,所以f(x)的图象关于(1,2)对称.因为函数g(x)对任意x∈R都有g(2 018-x)=4-g(x-2 016)成立,所以g[2 018-(2 016+x)]=4-g(2 016+x-2 016),即g(2-x)=4-g(x),所以g(x)的图象关于(1,2)对称,所以y=f(x)与y=g(x)的图象有m个交点关于(1,2)对称, 因为交点不在对称中心处,所以m为偶数,所以x1+x2+…+x m=m,y1+y2+…+y m=×4=2m,则(x i+y i)=m+2m=3m.答案:3m。

2019年高考数学二轮复习组合增分练2 客观题综合练B 理一、选择题1.设集合M={x|x=2k+1,k∈Z},N={x|x=k+2,k∈Z},则()A.M⊆NB.M=NC.N⊆MD.M∩N=⌀答案 A解析∵集合M={x|x=2k+1,k∈Z}={奇数},N={x|x=k+2,k∈Z}={整数},∴M⊆N.故选A.2.复数z满足(1+i)z=i+2,则z的虚部为()A.B.C.-D.-i答案 C解析∵(1+i)z=i+2,∴(1-i)(1+i)z=(i+2)(1-i),∴2z=3-i,∴z=i.则z的虚部为-,故选C.3.(2017宁夏银川一中二模,理3)若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则的最小值是()A.B.-C.-2 D.4答案 D解析圆x2+y2+2x-4y+1=0,即(x+1)2+(y-2)2=4,表示以(-1,2)为圆心、半径等于2的圆.再根据弦长为4,可得2ax-by+2=0(a>0,b>0)经过圆心,故有-2a-2b+2=0,求得a+b=1,则=2+≥4,当且仅当a=b=时,取等号,故的最小值为4,故选D.4.(2017宁夏银川一中二模,理4)若随机变量X~N(μ,σ2)(σ>0),则有如下结论:P(|X-μ|<σ)=0.682 6,P(|X-μ|<2σ)=0.954 4,P(|X-μ|<3σ)=0.997 4.高三(1)班有40名同学,一次数学考试的成绩服从正态分布,平均分为120,方差为100,理论上在130分以上人数约为()A.19B.12C.6D.5答案 C解析μ=120,σ==10,∴P=0.682 6,∴P(R>130)=[1-P]=×0.317 4=0.158 7,∴130分以上的人数约为40×0.158 7≈6.故选C.5.执行如图所示的程序框图,则输出的S等于() A. B.C.D.答案 C解析模拟执行程序,可得S=600,i=1,执行循环体,S=600,i=2,不满足条件S<1,执行循环体,S=300,i=3,不满足条件S<1,执行循环体,S=100,i=4,不满足条件S<1,执行循环体,S=25,i=5,不满足条件S<1,执行循环体,S=5,i=6,不满足条件S<1,执行循环体,S=,i=7,满足条件S<1,退出循环,输出S的值为.故选C.6.(2017宁夏银川一中二模,理6)某校校庆期间,大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作,根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加,则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为()A.B.C.D.答案 C解析从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作,根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加,且列队服务,基本事件总数n=(=720, 甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数m==120,故甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率p=.故选C.7.(2017宁夏银川一中二模,理7)在自然界中存在着大量的周期函数,比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为y1=3sin(100πt),y2=3sin,则这两个声波合成后(即y=y1+y2)的声波的振幅为()A.6B.3+3C.3D.3答案 D解析∵y1=3sin(100πt),y2=3sin,∴y=y1+y2=3sin(100πt)+3sin=sin(100πt)-cos(100πt)=3sin(100πt-θ),则函数的振幅为3,故选D.8.(2017宁夏银川一中二模,理8)今年“五一”期间,某公园举行免费游园活动,免费开放一天,早晨6时30分有2人进入公园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来…按照这种规律进行下去,到上午11时公园内的人数是()A.212-57B.211-47C.210-38D.29-30答案 B解析设每个30分钟进去的人数构成数列{a n},则a1=2=2-0,a2=4-1,a3=8-2,a4=16-3,a5=32-4,…,所以a n=2n-(n-1),设数列{a n}的前n项和为S n,依题意,S10=(2-0)+(22-1)+(23-2)+…+(210-9)=(2+22+23+…+210)-(1+2+…+9)=211-47,故选B.9.如图,网格纸的小正方形的边长为1,粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为()A. B. C.2+ D.3+答案 B解析根据几何体的三视图,得该几何体是上部为三棱柱,下部为长方体的组合体,且三棱柱的底面为底边长是1,底边上的高是1的三角形,三棱柱的高是3,长方体的底面是边长为1的正方形,高是2,所以该几何体的体积为V=V三棱柱+V长方体=×1×1×3+1×1×2=.故选B.10.已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则向量a+b在向量a方向上的投影是()A.0B.C.-1D.答案 A解析向量a,b的夹角为θ=120°,且|a|=1,|b|=2,∴(a+b)·a=a2+a·b=12+1×2×cos 120°=0,∴向量a+b在向量a方向上的投影是|a+b|cos<a+b,a>=|a+b|×=0.故选A.11.函数y=的图象大致为()答案 D解析函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)==-=-f(x),故函数为奇函数,图象关于原点对称,故A错误.由分子中cos 3x的符号呈周期性变化,故函数的符号也呈周期性变化,故C错误;当x∈时,f(x)>0,故B错误,故选D.12.对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=ln x+x是k倍值函数,则实数k的取值范围是() 〚导学号16804236〛A. B.C.(1,1+e)D.(1,1+e2)答案 B解析∵f(x)=ln x+x,定义域为{x|x>0},f(x)在定义域内为单调增函数,因此有f(a)=ka,f(b)=kb,即ln a+a=ka,ln b+b=kb,即a,b为方程ln x+x=kx的两个不同根.∴k=1+,令k=1+=g(x),再令g'(x)==0,可得极大值点x=e,故g(x)的极大值为g(e)=1+,当x趋于0时,g(x)趋于-∞,当x趋于+∞时,g(x)趋于1,因此当1<k<1+时,直线y=k与曲线y=g(x)的图象有两个交点,方程k=1+有两个解.故所求的k的取值范围为,故选B.二、填空题13.(ax+)5的展开式中x3项的系数为20,则实数a=.答案 4解析展开式的通项为T r+1=(ax)5-r()r=a5-r·,令5-=3得r=4,∴a·=20,解得a=4.故答案为4.14.由直线y=-x+和曲线y=围成的封闭图形的面积为.答案-2ln 2解析联立曲线和直线方程可得交点坐标为,所围成的封闭图形的面积为S=d x=-2ln 2.故答案为-2ln 2.15.若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为M和m,则M-m=.〚导学号16804237〛答案 6解析作出不等式组对应的平面区域如图,由z=2x+y,得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,当y=-2x+z经过点A时,y=-2x+z在y轴的截距最小,经过点B时,在y轴的截距最大, 由解得A(-1,-1),由解得B(2,-1),所以z min=m=-2-1=-3,z max=M=2×2-1=3,从而M-m=6.16.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为.〚导学号16804238〛答案解析由题意可知A,B,代入=m+n,得点P,代入双曲线方程=1,整理可得4e2mn=1,因为mn=,所以可得e=.故答案为.。

专题8 解析几何第2讲 综合大题部分1．已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a>b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2，长轴的长为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 1的直线l 与椭圆C 交于E ，D 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为椭圆C 的焦距为2，长轴的长为4， 所以2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 2 4＋y 2 3＝1. (2)设E(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，M(m,0)．易知F 1(－1,0)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)．联立方程，得?????y ＝k ?x ＋1?，x 2 4＋y 2 3＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.又y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝k 2(4k 2－124k 2＋3－8k24k2＋3＋1)＝－9k24k2＋3，直线ME，MD的斜率k ME＝y1x1－m，k MD＝y2x2－m，则k ME·k MD＝y1x1－m·y2x2－m＝y1y2?x1－m??x2－m?＝y1y2x1x2－m?x1＋x2?＋m2＝－9k24k2＋34k2－124k2＋3－m?－8k24k2＋3?＋m2＝－9k24k2＋34k2－12＋8mk2＋4m2k2＋3m24k2＋3＝－9k2?4m2＋8m＋4?k2＋3m2－12. 要使直线ME，MD的斜率之积为定值，需3m2－12＝0，解得m＝±2.当m＝2时，k ME·k MD＝－9k2?4m2＋8m＋4?k2＝－9k236k 2＝－14；当m＝－2时，k ME·k MD＝－9k2?4m2＋8m＋4?k2＝－9k24k2＝－94. 当直线l的斜率不存在时，不妨设E(－1，32)，D(－1，－32)，此时，当m＝2时，M(2,0)，k ME·k MD＝－14；当m＝－2时，M(－2,0)，k ME·k MD＝－94.综上，在x轴上存在两个定点M，使得直线ME，MD的斜率之积为定值．当定点M的坐标为(2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值－14；当定点M的坐标为(－2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值－9 4. 2．(2018·高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．解析：(1)证明：设P(x0，y0)，A(14y21，y1)，B(14y22，y2)．因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程(y＋y02)2＝4·14y2＋x0 2即y2－2y0y＋8x0－y20＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴．(2)由(1)可知???y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0－y20，所以|PM|＝18(y21＋y22)－x0＝34y20－3x0，|y1－y2|＝22?20－4x0?.因此，△PAB的面积S△PAB＝12|PM|·|y1－y2|＝324(y20－4x0)32. 因为x20＋y204＝1(x0<0)，所以y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]，因此，△PAB面积的取值范围是[62，15104]．3．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝22，过右焦点F且垂直于x轴的弦长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝x＋m与椭圆C交于M，N 两点，求△MFN的面积取最大值时m的值．解析：(1)由题意知?????ca＝22，2b2a＝2，a2＝b2＋c2，解得???a＝2，b＝2，∴椭圆C的方程为x24＋y22＝1. (2)联立方程得?????x24＋y22＝1，y＝x＋m，消去y，得3x2＋4mx＋2m2－4＝0，Δ＝16m2－12(2m2－4)＝－8m2＋48>0，∴|m|<6.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝－4m3，x1x2＝2m2－43，∴|MN|＝2|x1－x2|＝2×?x1＋x2?2－4x1x2＝2×?－4m3?2－4?2m2－4?3＝46－m2.又点F(2，0)到直线MN的距离d＝|2＋m|2，∴S△FMN＝12|MN|·d＝23|2＋m|·6－m2(|m|<6)．令u(m)＝(6－m2)(m＋2)2(|m|<6)，则u′(m)＝－2(2m＋32)(m＋2)(m－2)，令u′(m)＝0，得m＝－322或m＝－2或m＝2，当－6<m<－322时，u′(m)>0；当－322<m<－2时，u′(m)<0；当－2<m<2时，u′(m)>0；当2<m<6时，u′(m)<0. 又u(－322)＝34，u(2)＝32，∴u(m)max＝32，∴当m＝2时，△MFN的面积取得最大值，最大值为23×32＝83. 4．(2018·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，QM→＝λQO→，QN→＝μQO→，求证：1λ＋1μ为定值．解析：(1)因为抛物线y2＝2px过点(1,2)，所以2p＝4，即p＝2. 故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为y＝kx＋1(k ≠0)，由???y2＝4x，y＝kx＋1得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0<k<1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2)．从而k≠－3.所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由(1)知x1＋x2＝－2k－4k2，x1x2＝1k2. 直线PA的方程为y －2＝y1－2x1－1(x－1)．令x＝0，得点M的纵坐标为y M＝－y1＋2x1－1＋2＝－kx1＋1x1－1＋2.同理得点N的纵坐标为y N＝－kx2＋1x2－1＋2. 由QM→＝λQO→，QN→＝μQO→，得λ＝1－y M，μ＝1－y N. 所以1λ＋1μ＝11－y M＋11－y N＝x1－1?k－1?x1＋x2－1?k－1?x 2＝1k－1·2x1x2－?x1＋x2?x1x2＝1k－1·2k 2＋2k－4k21k2＝2.所以1λ＋1μ为定值．。

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=,B={x|y=lg(4x-x 2)},则A ∩B 等于( ){x ||x -12|≤32} A .(0,2]B .[-1,0)C .[2,4)D .[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y 2=2px (p>0)交于A ,B 两点,若OA ⊥OB ,则△OAB 的面积为( )A .1B .C .D .25253.已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )=xf (x ).若a=g (-log 25.1),b=g (20.8),c=g (3),则a ,b ,c 的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A .2B .4C .6D .85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=( )A.67B.37C.89D.496.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是x 2a 2‒y 2b 2( )A .B .5262C .D .2107.已知函数f (x )=若f (1)+f (a )=2,则a 的所有可能值为( ){sin (πx 2),-1<x <0,e x -1,x ≥0,A .1B .-C .1,-D .1,2222228.已知实数a ,b ,c.( )A .若|a 2+b+c|+|a+b 2+c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100B .若|a 2+b+c|+|a 2+b-c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100C .若|a+b+c 2|+|a+b-c 2|≤1,则a 2+b 2+c 2<100D .若|a 2+b+c|+|a+b 2-c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a ,b ∈R ,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a ,则的值为 .ab 10.在(2x-1)5的展开式中,含x 2的项的系数是 .(用数字填写答案)11.已知两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的内部,且互相外切,若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切,球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切,则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为 . 12.在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为 .(θ-π6)13.设变量x ,y 满足约束条件的最小值是 .{y ≤3x -2,x -2y +1≤0,2x +y ≤8,则y x -114.a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成30°角;②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角;③直线AB 与a 所成角的最小值为45°;④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号) 三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知sin(A+C )=8sin 2.B2(1)求cos B ;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n }中,a 1=2,且a n =2a n-1-n+2(n ≥2,n ∈N *).(1)求a 2,a 3,并证明{a n -n }是等比数列;(2)设b n =,求数列{b n }的前n 项和S n .a n2n -117.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,A 1B 1,A 1D 1的中点,点P ,Q 分别在棱DD 1,BB 1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC 1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C :=1(a>b>0)的左、右焦点F 1,F 2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的x 2a2+y 2b 2正三角形.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 上任意一点P 作椭圆C 的切线与直线F 1P 的垂线F 1M 相交于点M ,求点M 的轨迹方程;(3)若切线MP 与直线x=-2交于点N ,求证:为定值.|NF 1||MF 1|20.(14分)已知函数f (x )=ln(1+x )+x 2-x (a ≥0).a2(1)若f (x )>0对x ∈(0,+∞)都成立,求a 的取值范围;(2)已知e 为自然对数的底数,证明:∀n ∈N *,<e .e <(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+n n 2)##综合能力训练1.A 解析 ∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A ∩B=(0,2].故选A .2.B 解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由x+y=1与抛物线y 2=2px ,得y 2+2py-2p=0,解得y 1=-p+,x 1=1+p-,y 2=-p-,x 2=1+p+,p 2+2p p 2+2p p 2+2p p 2+2p 由OA ⊥OB 得,x 1x 2+y 1y 2=0,即[(1+p )2-(p 2+2p )]+[p 2-(p 2+2p )]=0,化简得2p=1,从而A ,B ,OA 2==5-2,OB 2==5+2,△OAB 的面积(3-52,-1+52)(3+52,-1-52)x21+y 215x 22+y 225S=|OA||OB|=故选B .1252.3.C 解析 ∵f (x )是R 上的奇函数,∴g (x )=xf (x )是R 上的偶函数.∴g (-log 25.1)=g (log 25.1).∵奇函数f (x )在R 上是增函数,∴当x>0时,f (x )>0,f'(x )>0.∴当x>0时,g'(x )=f (x )+xf'(x )>0恒成立,∴g (x )在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log 25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log 25.1<3.结合函数g (x )的性质得b<a<c.故选C .4.C 解析 由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,12×∴V=Sh=3×2=6.5.B 解析 由题意得,输出的S 为数列的前3项和,而,即{1(2n -1)(2n +1)}1(2n -1)(2n +1)=12(12n -1-12n +1)S n =故当输入n=3时,S 3=,故选B .12(1-12n +1)=n 2n +1.376.A 解析 设直线l 与双曲线交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则=0,即(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2‒(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x 1+x 2=8,y 1+y 2=2,=1,y 1-y 2x 1-x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2).y 1-y 2x 1-x 2,e 2=1+e=故选A .∴b 2a2=14b 2a 2=54.∴52.7.C 解析 ∵f (1)=e 1-1=1,∴f (a )=1.若a ∈(-1,0),则sin(πa 2)=1,∴a=-若a ∈[0,+∞),则e a-1=1,22.∴a=1.因此a=1或a=-2.8.D 解析 (举反例排除)选项A 中,令a=b=10,c=-110,则|a 2+b+c|+|a+b 2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a 2+b 2+c 2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A 不成立;选项B 中,令a=10,b=-100,c=0,则|a 2+b+c|+|a 2+b-c|=0<1.而a 2+b 2+c 2=100+1002+0>100,故选项B 不成立;选项C 中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c 2|+|a+b-c 2|=0<1.而a 2+b 2+c 2=1002+1002+0>100,故选项C 不成立;故选D .9.2　解析 (1+i)(1-b i)=1+b+(1-b )i =a ,则所以=2.故答案为2.{1+b =a ,1-b =0,{a =2,b =1,即a b10.-40　解析 (2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x )5-r (-1)r =(-1)r 25-r x 5-r .C r 5C r 5根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x 2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.C 35C 2511.3(2-)π　解析 ∵AO 1=R 1,C 1O 2=R 2,O 1O 2=R 1+R 2,333∴(+1)(R 1+R 2)=,R 1+R 2=,球O 1和O 2的表面积之和为4π()3333+1R 21+R 22≥4π·2=2π(R1+R 2)2=3(2-)π.(R 1+R 22)2312.2　解析 ∵4ρcos+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为(θ-π6)3ρ2x+2y+1=0.3∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.|23×0+2×1+1|(23)2+22=34∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1　解析 由约束条件作出可行域如图,联立解得A (3,2),{y ≤3x -2,x -2y +1≤0,2x +y ≤8{x -2y +1=0,2x +y =8,的几何意义为可行域内的动点与定点P (1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA ==1.yx -12-03-114.②③　解析 由题意,AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线,由AC ⊥a ,AC ⊥b ,得AC ⊥圆锥底面,在底面内可以过点B ,作BD ∥a ,交底面圆C 于点D ,如图所示,连接DE ,则DE ⊥BD ,∴DE ∥b.连接AD ,在等腰三角形ABD 中,设AB=AD=,当直线AB 与a 成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又2 2.在Rt △BDE 中,BE=2,∴DE=,过点B 作BF ∥DE ,交圆C 于点F ,连接AF ,由圆的对称性可知2BF=DE=,∴△ABF 为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB 与b 成60°角,②正确,①错误.由最小角定2理可知③正确;很明显,可以满足直线a ⊥平面ABC ,直线AB 与a 所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin 2,B2故sin B=4(1-cos B ).上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=1517.(2)由cos B=得sin B=,1517817故S △ABC =ac sin B=ac.12417又S △ABC =2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a+c )2-2ac (1+cos B )=36-2=4.×172×(1+1517)所以b=2.16.解 (1)由已知a n =2a n-1-n+2(n ≥2,n ∈N *)得a 2=4,a 3=7.a n -n=2a n-1-2n+2,即a n -n=2[a n-1-(n-1)].=2(n ≥2,n ∈N *),且a 1-1=1,∵a n -n a n -1-(n -1)∴{a n -n }是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n -n=(a 1-1)·2n-1,即a n =2n-1+n ,∴bn ==1+a n2n -1n2n -1.设c n =,且前n 项和为T n ,n2n -1则T n =+…+,①120+221+322n2n -1T n =+…+,②12121+222+323n 2n ①-②,得T n =1++…+=2-12(12+122+12312n -1)‒n 2n=1-12n 1-12‒n 2n2+n2n.故T n =4-,S n =n+4-2+n 2n -12+n2n -1.17.解法一 (1)证明:如图①,连接AD 1,由ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体,知BC 1∥AD 1.当λ=1时,P 是DD 1的中点,又F 是AD 的中点,所以FP ∥AD 1,所以BC 1∥FP.而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ ,故直线BC 1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E ,F 分别是AB ,AD 的中点,所以EF ∥BD ,且EF=BD.又12DP=BQ ,DP ∥BQ ,所以四边形PQBD 是平行四边形,故PQ ∥BD ,且PQ=BD ,从而EF ∥PQ ,且EF=PQ.12在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ 也是等腰梯形.1+λ2同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形.分别取EF ,PQ ,MN 的中点为H ,O ,G ,连接OH ,OG ,则GO ⊥PQ ,HO ⊥PQ ,而GO ∩HO=O ,故∠GOH 是平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM ,FN ,则由EF ∥MN ,且EF=MN 知四边形EFNM 是平行四边形.连接GH ,因为H ,G 是EF ,MN 的中点,所以GH=ME=2.在△GOH 中,GH 2=4,OH 2=1+λ2-=λ2+,OG 2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,(22)212(22)212由OG 2+OH 2=GH 2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,121222故存在λ=1±,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.22解法二 以D 为原点,射线DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B (2,2,0),C 1(0,2,2),E (2,1,0),F (1,0,0),P (0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).BC 1FP FE (1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).FP 因为=(-2,0,2),BC 1所以=2,即BC 1∥FP.BC 1FP 而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ ,故直线BC 1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则由可得于是可取n =(λ,-λ,1).{FE ·n =0,FP ·n =0{x +y =0,-x +λz =0.同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m =(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角,则m ·n =(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±2.故存在λ=1±,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.218.解 (1)由已知,有P (A )=C 13C 14+C 23C 210=13.所以,事件A发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.P (X=0)=,C 23+C 23+C 24C 210=415P (X=1)=,C 13C 13+C 13C 14C 210=715P (X=2)=C 13C 14C 210=415.所以,随机变量X 的分布列为X 012P 415715415随机变量X 的数学期望E (X )=0+1+2=1.×415×715×41519.(1)解 依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2 3.∴椭圆C的标准方程为=1.x 216+y 212(2)解 由(1)知F 1(-2,0),设P (x 0,y 0),M (x ,y ),过椭圆C 上点P 的切线方程为=1,①x 0x16+y 0y 12直线F 1P 的斜率,则直线MF 1的斜率=-,k F1P =y 0x 0+2k MF1x 0+2y 0直线MF 1的方程为y=-(x+2),x 0+2y 0即yy 0=-(x 0+2)(x+2),②①②联立,解得x=-8,故点M 的轨迹方程为x=-8.(3)证明 依题意及(2),知点M ,N 的坐标可表示为M (-8,y M ),N (-2,y N ),点N 在切线MP 上,由①式得y N =,3(x 0+8)2y 0点M 在直线MF 1上,由②式得y M =,6(x 0+2)y 0|NF 1|2=,|MF 1|2=[(-2)-(-8)]2+,y 2N =9(x 0+8)24y 2y 2M =36[y 20+(x 0+2)2]y 20故|NF 1|2|MF 1|2=9(x 0+8)24y 20·y 2036[y 20+(x 0+2)2]=,③116·(x 0+8)2y 20+(x 0+2)2注意到点P 在椭圆C 上,即=1,x 2016+y 2012于是,代入③式并整理得,故的值为定值y 20=48-3x 204|NF 1|2|MF 1|2=14|NF 1||MF 1|12.20.(1)解 ∵f (x )=ln(1+x )+x 2-x ,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x )=+ax-1=a 211+x x (ax +a -1)1+x.①当a=0时,f'(x )=-,当x ∈(0,+∞)时,f'(x )<0,x1+x 则f (x )在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f (x )<f (0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x )=0,得x 1=0,x 2=>0,1-aa 当x时,f'(x )<0,则f (x )在区间内单调递减,∈(0,1-a a)(0,1-a a)此时,f (x )<f (0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x )=,当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0,x 21+x 则f (x )在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f (x )>f (0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x )=0,得x 1=0,x 2=<0,当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0,1-aa 则f (x )在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f (x )>f (0)=0,符合题意.综上所述,a 的取值范围为[1,+∞).(2)证明 由(1)可知,当a=0时,f (x )<0对x ∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x )<x 对x ∈(0,+∞)都成立,∴ln +ln +…+ln+…+,即ln…(1+1n2)(1+2n2)(1+nn2)<1n2+2n2nn2[(1+1n2)(1+2n 2)··(1+n n 2)]<1+2+…+nn 2=n +12n.由于n ∈N *,则=1.n +12n=12+12n ≤12+12×1∴ln <1.[(1+1n2)(1+2n2)…(1+nn 2)]<e .∴(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)由(1)可知,当a=1时,f (x )>0对x ∈(0,+∞)都成立,即x-x 2<ln(1+x )对x ∈(0,+∞)都成立,12+…+<ln +ln +…+ln ,∴(1n2+2n2+…+n n 2)‒12(12n 4+22n 4n 2n 4)(1+1n 2)(1+2n 2)(1+n n 2)即n (n +1)2n 2‒12[n (n +1)(2n +1)6n 4]<ln,[(1+1n 2)(1+2n 2) (1)n n 2)]得6n 3+4n 2-3n -112n 3<ln[(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+n n 2)].由于n ∈N *,则6n 3+4n 2-3n -112n 3=6n 3+(3n 2-3n )+(n 2-1)12n 3≥6n 312n3=12.<ln∴12[(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)].∴e <(1+1n2)(1+2n2) (1)nn2).<e .∴e <(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)。

2019届江苏高考数学二轮复习附加题满分练2理(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届江苏高考数学二轮复习附加题满分练2理(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019届江苏高考数学二轮复习附加题满分练2理(word版可编辑修改)的全部内容。

附加题满分练21.（2018·江苏省盐城中学质检）已知AB是圆O的直径,P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB 的平分线,E是下半圆的中点.求证：直线PC经过点E。

证明连结AE，EB，OE，则∠AOE＝∠BOE＝90°。

因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角,所以∠APE＝错误!∠AOE＝45°.同理可得∠BPE＝45°，所以PE是∠APB的平分线。

又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条,所以PC与PE重合。

所以直线PC经过点E。

2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知A错误!，B错误!，C错误!。

设变换T1，T2对应的矩阵分别为M＝错误!，N＝错误!,求对△ABC依次实施变换T1, T2后所得图形的面积。

解依题意,依次实施变换T1，T2所对应的矩阵NM＝错误!错误!＝错误!.则错误!错误!＝错误!，错误!错误!＝错误!,错误!错误!＝错误!。

∴A错误!，B错误!，C错误!分别变为点A′错误!，B′错误!，C′错误!。

∴所得图形的面积为错误!×6×4＝12.3。

已知两个动点P，Q分别在两条直线l1:y＝x和l2：y＝－x上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0,π］,记错误!＝错误!＋错误!，求动点M的轨迹的普通方程。