陕西省西安中学2020届高三数学上学期第三次月考试题文(无答案)

陕西省西安市中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是A.(3,3)B.(-1,3) C(3,-1) D.(2,4)参考答案：B略2. 设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a参考答案：C【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：a=（）=＞b=（）＞1．c=log2＜1，∴a＞b＞c．故选：C．3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的半径为（）A. B. C. 2 D. 2参考答案：B【分析】首先根据三视图得到该几何体是一个三条棱两两垂直的三棱锥，由此可得其外接球即为以三条棱为长宽高的长方体的外接球，从而计算得到外接球半径.【详解】该几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥，如图，其中，PA，PB，PC两两垂直，故三棱锥所在的外接球即为以PA，PB，PC为长宽高的长方体的外接球，又PA=，PB=2，PC=，则外接球半径.故选：B.【点睛】本题考查三视图和三棱锥的外接球问题，考查学生的空间想象能力，将三棱锥的外接球问题转化为长方体的外接球问题是解本题的关键，属中档题.4. 已知实数满足,且.若为方程的两个实数根,则的取值范围为（）A. B. C.D.参考答案：A5. 已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式应为（）A. B.C. D.参考答案：C如图，因为函数定义域是排除A选项，当排除B，D，因此选C.6. 已知函数，则函数的奇偶性为（）A．既是奇函数也是偶函数B．既不是奇函数也不是偶函数C．是奇函数不是偶函数D．是偶函数不是奇函数参考答案：C【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据题意，对于函数，先求出其定义域，分析可得其定义域关于原点对称，进而可以将函数的解析式变形为f（x）=﹣，计算f（﹣x）分析可得f（﹣x）=﹣f（x），由函数奇偶性的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数，必有9﹣x2≥0且|6﹣x|﹣6≠0，解可得﹣3≤x≤3且x≠0，即函数的定义域为{x|﹣3≤x≤3且x≠0}，关于原点对称，则函数f（x）=﹣，﹣3≤x≤3且x≠0，f（﹣x）==﹣f（x），则函数为奇函数不是偶函数；故选：C．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，关键要求出函数的定义域，进而化简函数的解析式．7. 将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A． B． C． D．参考答案：答案：C解析：将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，，所以，因此选C。

第三次月考数学文试题【陕西版】第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A ðBC ．U A=()U B ð D ．U=()U A ð()UB ð2. 已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x yi ++的值为A ．2B ．2i -C ．4-D ．2i 3. 函数()()y x xx x sin cos sin cos =+-是A ．奇函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 4.下列有关命题说法正确的是A. 命题p：“sin +cos =x x x ∃∈R ，p ⌝是真命题B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件C ．命题2,10x x x ∃∈++<R “使得”的否定是：“210x x x ∀∈++<R ，”D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件5．已知函数0,()(),0x f x g x x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则(4)g -的值等于A. 4-B. 2- C ．2 D. 46．执行如图所示的程序，若输出的结果是4，则判断框内实数m 的值可以是 A. 1 B. 2 C ．3 D. 47．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 A ． 3B ．2C ．1D ．128．已知0a b >>，二次函数2()2f x ax x b =++有且仅有一个零点，则22a b a b+-的最小值为A ．1BC ．2D ．9．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，动点P 在正方体表面上且满足1||||PA PC =,则动点P 的轨迹长度为A ．3B ．23C ．33D ．6 10．过点()2,0M -作斜率为1k (1k ≠0)的直线与双曲线2213y x -=交于,A B 两点，线段AB 的中点为P ，O 为坐标原点，OP 的斜率为2k ，则12k k ⋅等于 A ．13 B ．3 C ． 13- D ．3- 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卡的相应位置．11．若实数x ，y 满足20,4,5,x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则z x y =+的最大值为_____ 12．已知向量(2,4)=a ，(1,1)=b ，若向量()⊥+λb a b ，则实数λ的值是 .13．某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如右图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则80~90分数段应抽取 人．14．已知直线()10,0ax by a b +=≠≠与圆221x y +=相切，若1(0,)A b ，2(,0)B a，则||AB 的最小值为 ．15．选考题（请考生在A 、B 、C 三题中任选一题作答，如果全选，则按A 题结果计分）A. 已知函数()|3|2f x x =--，()|1|4g x x =-++．若不等式()()1f x g x m -≥+的解集为R ，则 m 的取值范围是 ．B. 在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为sin()104πρθ++=，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧+-=+-=，，ϕϕsin 1cos 1y x (ϕ为参数，πϕ≤≤0)，则C 1与C 2有 个不同公共点．C ．已知C 点在⊙O 直径BE 的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，若AB ＝AC ，则ACBC =． 二、解答题：本大题共6小题，共75分。

陕西省西安中学高2020届高三第三次模拟考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{}1|21x B x +=>，则C B A =（ ）A. [3,)+∞B. (3,)+∞C. (,1][3,)-∞-⋃+∞D. (,1)(3,)-∞-+∞U【答案】A 【解析】 【分析】首先解得集合A ，B ，再根据补集的定义求解即可.【详解】解：{}2|230{|13}A x x x x x =--<=-<<Q ，{}1|21{|1}x B x x x +=>=>-，{}C |3[3,)B A x x ∴=≥=+∞，故选A ．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题. 2.在复平面上，复数241ii++对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，判断对应点的象限.【详解】24(24)(1)6231(1)(1)2i i i ii i i i ++-+===+++-，对应点为(3,1)在第一象限. 故答案选A【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.3.“1m =-”是“直线1l ：(21)10mx m y +-+=与直线2l ：330x my ++=垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直，则3(21)0m m m +-=，解得0m =或1m =-，所以“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直”的充分不必要条件，故选A ． 考点：两条直线位置关系及充分不必要条件的判定．4.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A. 1 B. 6C. 7D. 6或7【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2的的【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：当1n =时，152a =，4b =，满足进行循环的条件， 当2n =时，454a =，8b =满足进行循环的条件， 当3n =时，1358a =，16b =满足进行循环的条件，当4n =时，40516a =，32b =不满足进行循环的条件，故输出的n 值为4， 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6.若直线22(0,0)mx ny m n -=->>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41m n+的最小值是（ ） A. 9 B. 4C.12D.14【答案】A 【解析】 【分析】圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得,m n 满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得41m n+的最小值． 【详解】圆标准方程为22(1)(2)4x y ++-=，圆心为(1,2)C -，半径为2r =， 直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴222m n --=-，1m n +=， 又0,0m n >>，∴41414()()5n m m n m n m n m n +=++=++59≥+=，当且仅当4n m m n =，即21,33m n ==时等号成立．∴41m n+的最小值是9． 故选A ．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得,m n 的关系1m n +=，然后用“1”的代换法把41m n+凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值． 7.若等比数列{}n a ，前n 项和n S ，且2312a a a =，54为4a 与72a 的等差中项，则4S =（ ）A. 29B. 30C. 31D. 33【答案】B 【解析】【详解】∵数列{}n a 是等比数列，42311142a a a a a q a a q ==⋅=⋅，，42a =，，4a 与72a 的等差中项为54，，47522a a +=，故有714a =，，37418a q a ==，，12q =，，41316a a q ==，则441161230112S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-，故选B.8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（ ）A.B.263π C. πD.3【答案】A 【解析】 【分析】设外接球半径为r ，球心到底面的距离为x ，根据球心到四个顶点距离相等列出方程，再用球的体积公式计算外接球体积。

2020届陕西省西安中学高三上学期第三次月考数学（文）试题一、单选题1．设集合M ＝{x |x 2+3x ﹣4＜0}，集合N ＝{x |x ≥0}，则M ∪N ＝（ ） A ．{x |x ＞﹣4} B ．{x |x ＞1}C ．{x |x ≤0}D ．{x |x ＜﹣4}【答案】A【解析】求解一元二次不等式化简集合M ，然后直接利用并集运算求解. 【详解】由2340x x +-<，得41x -<<， 所以{}|41M x x =-<<，所以{}{}{}|41|0|4M N x x x x x x =-<<≥=>-U U ， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用解一元二次不等式求集合，集合的并集求解，属于简单题目.2．已知i 是虚数单位，则20151i i=+（ ）A ．i -B ．12i-- C ．12i-+ D ．2【答案】B【解析】由条件利用虚数单位i 的幂运算性质，计算求出2015i ，之后利用复数的除法运算法则求得结果. 【详解】因为2015(1)11122i i i i i i i -----===++， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关复数的运算，涉及到的知识点有虚数单位i 的幂运算性质，复数的除法运算，属于简单题目.3．已知两条直线m 、n ，两个平面α、β，给出下面四个命题：①α∥β， ⫋β,m n αβ⊂⊂⇒m ∥n ； ②m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α； ③m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α； ④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①③ B ．③④C ．①④D ．②③【答案】B【解析】在①中，m 与n 平行或异面；在②中，n αP 或n ⊂α；在③中，由线面垂直的判定定理得n α⊥，在④中，由线面垂直的判定定理得n β⊥；从而得到正确结果. 【详解】由两条直线,m n ，两个平面,αβ知：,,m n αβαβ⊂⊂∥可得，m 与n 平行或异面，所以①错误；,m n m n αα⇒P P P 或n ⊂α，所以②不正确；,m n m α⊥P ，由线面垂直的判定定理得n α⊥，所以③正确；,,m n m αβα⊥P P ，由线面垂直的判定定理得n β⊥，所以④正确；故选：B. 【点睛】该题考查的是有关线面空间关系的问题，在解题的过程中，注意正确理解线面平行、面面平行以及线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理是解题的关键.4．圆221:2220C x y x y +++-=与222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】B【解析】利用几何法判断出两圆的位置关系，即可得出两圆的公切线条数. 【详解】圆1C 的标准方程为()()22114x y +++=，圆2C 的标准方程为()()22214x y -+-=， 两圆心分别为()11,1C --、()22,1C ，半径分别为122r r ==，12124C C r r =<+=，两圆相交，因此，两圆有2条公切线，故选：B. 【点睛】本题考查两圆公切线条数的判断，本质上还是要判断两圆的位置关系，同时也考查熟悉两圆公切线条数与两圆位置之间的关系，考查推理能力，属于基础题.5．设,a b r r 均为单位向量，则“33a b a b -=+r r r r ”是“a b ⊥r r ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将33a b a b -=+等价转化为a b ⋅=0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：2222223333699+6a b a b a b a b a a b b a a b b -=+⇔-=+⇔-⋅+=⋅+，因为,a b 均为单位向量，所以2222699+6=0a a b b a a b b a b -⋅+=⋅+⇔⋅⇔ a ⊥b ，即“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的充分必要条件.选C. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC ＝3acosB ﹣ccosB ，则cosB ＝（ ）A ．12B ．3C ．13D ．3【答案】C【解析】由条件得sin()3sin cos B C A B +=，再由sin()sin 0B C A +=≠，可得1cos 3B =，得到结果.【详解】因为cos 3cos cos b C a B c B =-，根据正弦定理可得sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=， 即sin()3sin cos B C A B +=， 因为,,A B C 是ABC ∆的三内角， 所以sin()sin 0B C A +=≠，所以1cos 3B =， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，正弦和角公式，诱导公式，属于简单题目.7．直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l的方程是（ ） A ．423y x =+ B ．123y x =-+ C ．2y = D ．y=423x +或y=2 【答案】D【解析】根据垂径定理得圆心到直线距离,再设直线方程点斜式,利用点到直线距离公式求斜率,即得结果. 【详解】因为直线l 被圆C ：224690x y x y +--+=，22(2)(3)4x y -+-=截得的弦长为1=，设直线l 的方程为2y kx =+，（斜率10k =∴=或43k =，即直线l 的方程是423y x =+或2y =,选D. 【点睛】本题考查垂径定理，考查基本转化求解能力，属基础题.8．已知数列{a n }是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，则n 的值为（ ） A ．28 B ．26C ．14D ．13【答案】B【解析】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于2167224+=，再由前n 项和为1()286112n n a a n +==，求得n 的值. 【详解】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于2167224+=， 再由前n 项和为1()286112n n a a n +==， 解得26n =， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质，等差数列的求和公式，属于简单题目.9．已知某几何体的三视图如下右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）A ． 2132π+ B ． 4136π+ C ．2132π+ D ． 2166π+ 【答案】D【解析】由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：31421121V 2 111=+2323266ππ⎛=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ ⎝⎭10．已知函数()3f x cos x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭对任意x 都有5566f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小正值为（ ） A ．1 B ．2C ．56D ．65【答案】A【解析】首先根据题中所给的条件，判断出函数图象具备的特征，()f x 的图象关于点5(,0)6π成中心对称，由此得到角所满足的条件，进一步求得ω的最小正值，得到结果. 【详解】因为()cos()3f x x πω=-对任意x 都有，55()()66f x f x ππ+=--， 所以()f x 的图象关于点5(,0)6π成中心对称，所以有5632k ππωππ⋅-=+，整理得61,5k k Z ω=+∈，所以当k 取0时，ω取得最小正值1， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的图象与性质的问题，涉及到的知识点有余弦型函数图象的中心对称性，属于简单题目.11．已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为() A．3B．3C ．23D．3【答案】D【解析】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ，利用斜率公式以及直线,AM BM 的斜率之积为49-列式并化简得:2022049y x a =-- ，①,再根据M 在椭圆上可得2202220y b x a a=-- ，②,联立①②可解得. 【详解】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -， 设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+- 则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，① 又2200221x y a b +=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，②联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得e =． 故选D ． 【点睛】本题考查了斜率公式,椭圆的几何性质,属中档题.12．若直角坐标平面内的亮点P ，Q 满足条件： P ，Q 都在函数y=f(x)的图像上， P ，Q 关于原点对称，则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”)。

2020届陕西省西安市高三三模数学（文）试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B 的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8答案：B解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B ，进而求得A B 的子集个数.解：由()()120x x -+>得21x -<<，故{}1,0A B ⋂=-，其子集个数为224=. 故选B. 点评：本小题主要考查交集的概念和运算，考查集合子集的个数求法，考查一元二次不等式的解法.2．已知复数i 2iz -= （其中i 是虚数单位），那么z 的共轭复数是（ ） A ．12i - B ．1+2iC ．-1-2iD ．-1+2i答案：A 复数()22i 212i i i z i i--===+ z 的共轭复数是12i -.故选A.3．已知向量()1,0i =，向量()1,1f =，则34-i f 的值为（ ）A ．17B ．5CD ．25答案：C先由题意，得到()341,4f i -=--，再由向量模的坐标公式，即可得出结果. 解：因为向量()1,0i =，向量()1,1f =， 所以()341,4f i -=--，因此(341f i -=-=故选：C. 点评：本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标公式即可，属于基础题型.4．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 A ．众数 B ．平均数C ．中位数D ．标准差答案：D解：试题分析：A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88． B 样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为88，90，不相等，A 错． 平均数86，88不相等，B 错． 中位数分别为86，88，不相等，C 错 A 样本方差2S =4，标准差S=2， B 样本方差2S =4，标准差S=2，D 正确【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数5．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N ）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．13C ．16D ．22答案：C根据已知的递推关系求5a ，从而得到正确答案. 解：11a =，∴21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=,所以解下5个环所需的最少移动次数为16.故选：C 点评：本题考查以数学文化为背景，考查递推公式求指定项，属于基础题型. 6．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<答案：A首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可. 解：因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A 点评：本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．函数f(x)＝e x cosx 的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( ) A ． B ．0 C ．D ．1答案：A求函数导数，代入x=0得到切线斜率，进而得倾斜角. 解：由f′(x)＝e x (cosx －sinx)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k ＝f′(0)＝1，故倾斜角为4π， 选A. 点评：本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.8．函数()24412x f x x -+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可． 解：函数2441()2x f x x -+=是偶函数，排除选项B ，当x=2时，f （2）=1532-＜0，对应点在第四象限，排除A ，C ； 故选D ． 点评：本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力． 9．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题： ①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥； ②若//m α，βn//，且//m n ，则//αβ； ③若m α⊥，βn//，且//m n ，则αβ⊥； ④若m α⊥，βn//，且//m n ，则//αβ． 其中正确的命题是（ ） A ．①③ B ．②④C ．③④D ．①④答案：A利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可判断①③④的正误；举反例可判断②错误. 解：对于命题①，若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则//m β或m β⊂，若m β⊂，则αβ⊥；若//m β，则过直线m 的平面γ与平面β的交线l 满足//l m ，m α⊥，l α∴⊥，又l β⊂，αβ∴⊥.命题①正确；对于命题②，若直线m 、n 同时与平面α、β的交线a 平行，且m α⊄，n β⊄， 则//m α，βn//，但α与β不平行，命题②错误； 对于命题③④，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，//n β，则过直线n 的平面μ与平面β的交线b 满足//b n ，b α∴⊥，b β⊂，αβ∴⊥，命题③正确，命题④错误.故选：A. 点评：本题考查面面位置关系命题正误的判断，考查推理能力，属于中等题. 10．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈图象的一条对称轴是6x π=，则a 的值为（）A ．5BC ．3D答案：D化简函数f （x ）＝a cos x +sin x 为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线6x π=对称，就是6x π=时，函数取得最值，求出a 即可．解：函数f （x ）＝a cos x +sin x =（x +θ），其中tan θ＝a ，22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，其图象关于直线6x π=对称，所以θ62ππ+=，θ3π=，所以tan θ＝a =故答案为D 点评：本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．11．已知F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A ．32B ．52C ．72D ．92答案：B设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果. 解：设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又453OP OF ==+=，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =， 即053y =， 0115532232OPF S OF y ∆∴==⨯⨯=， 故选B ． 点评：本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．12．定义域和值域均为[﹣a ，a ]（常数a ＞0）的函数y ＝f （x ）和y ＝g （x ）的图象如图所示，方程g [f （x ）]＝0解得个数不可能的是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D由图象知()0g x =有一个(0,)a 上的正根k ，结合图象可知()f x k =根的个数. 解：因为[,]x a a ∈-时，()0g x =有唯一解， 不妨设唯一解为k ，由()g x 图象可知(0,)k a ∈， 则由g [f （x ）]＝0可得()f x k =，因为(0,)k a ∈，由()f x 图象可知，()f x k =可能有1根，2根，3个根，不可能又4个根， 故选：D 点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图象，考查逻辑思维能力，数形结合思想，属于中档题.二、填空题13．甲乙丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是_____． 答案：13求出甲乙丙总的站法，再求出甲站在中间的站法，利用古典概型求解即可. 解：甲乙丙三名同学站成一排共有336A =种不同的站法，其中甲站在中间共有222A =种不同的站法，根据古典概型可得2163P ==， 故答案为：13点评：本题主要考查了排列的应用，古典概型求概率，属于容易题.14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若51310a a -=，则13S =_____． 答案：65由51310a a -=求出7a ，再求13S 即可. 解：解：设{}n a 的公差为d ，()51111310,3+410,65a a a d a a d -=-=+=，即75a =；()1131371313135652a a S a +===⨯=.故答案为：65. 点评：考查等差数列的性质和求前项n 和，基础题. 15．已知函数2tan ()1tan xf x x=-，()f x 的最小正周期是___________. 答案：2π 先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解. 解：由题得212tan 1()=tan 221tan 2x f x x x =⋅-， 所以函数的最小正周期为2π. 故答案为2π 点评：本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16．如图，圆锥形容器的高为2圆锥内水面的高为1．若将圆锥形容器倒置，水面高为h ．则h 等于_____．37根据水的体积不变列出方程解出h . 解：设圆锥形容器的底面积为S,则未倒置前液面的面积为14S ，∴水的体积()111722133412V S S S =⨯-⨯⨯-=，设倒置后液面面积为S ',则22S h S ⎛'⎫= ⎪⎝⎭，24Sh S ∴'=， ∴水的体积为321332Sh V S h '==⨯，3273212Sh S ∴=⨯， 解得37h =，故答案为：37 点评：本题主要考查了圆锥的平行底面的截面的性质，以及圆锥的体积计算问题，属于中档题.三、解答题17．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图；（1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数； （2）求高一参赛学生的平均成绩． 答案：（1）众数：65；中位数：65；（2）67.（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，即可得出众数，利用中位数的两边频率相等，即可求得中位数；（2）利用各小组底边的中点值乘以本组对应的频率求和，即可求得成绩的平均值． 解：（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值为65，所以众数为65， 又因为第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积是0.4，0.30.40.5+> ，所以中位数在第二组， 设中位数为x ，则()0.3600.040.5x +-⨯=，解得：65x =， 所以中位数为65.（2）依题意，利用平均数的计算公式，可得平均成绩为：()550.03650.04750.015850.010950.00510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯67=，所以参赛学生的平均成绩为67分． 点评：本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的众数、中位数和平均数的计算方法是解答的关键，着重考查了识图与运算能力，属于基础题． 18．在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足22cos 1cos cos cos 2CA B A B =-+． （1）求cos B 的值；（2）设△ABC 外接圆半径为R ，且()sin +sin 1R A C =，求b 的取值范围．答案：（1）13；（2）2⎫⎪⎪⎣⎭.（1）利用三角函数恒等变换的应用，化简已知等式可得sin sin cos A B A B =，结合sin 0A ≠，可求sin B B =，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值．（2）由（1）可求1cos 3B =，又由正弦定理得2a c +=，利用余弦定理可得2284(1)33b a =-+，结合范围02a <<，利用二次函数的性质可求b 的范围．解：（1）因为22cos1cos cos cos 2CA B A B =-+，所以cos cos cos cos C A B A B +=，即cos()cos cos cos A B A B A B -++=，所以sin sin cos A B A B =，因为sin 0A ≠，所以sin 0B B => 又因为22sin cos 1B B +=，解得：1cos 3B =.（2）因为()sin +sin 1R A C =，由正弦定理得2a c +=，可得2c a =-， 由余弦定理可得：2222222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-222284(2)(2)(1)333a a a a a =+---==-+， ∵02a <<，∴232b ≤<， 所以b 的取值范围为23,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题． 19．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝60°，E 为CD 中点，将△ADE 沿AE 折起使得平面ADE ⊥平面ABCE ，BE 与AC 相交于点O ，H 是棱DE 上的一点且满足DH ＝2HE ．（1）求证：OH ∥平面BCD ；（2）求四面体ABDH 的体积．答案：（1）证明见解析；（2）39. (1)只需证明//OH DB ，根据线段平行和成比例易证.(2) 求四面体ABDH 的体积转化为求三棱锥B ADH -的体积，其底面积22432333ADH ADE S S ==⨯=△△，高为BA 易求. 解： （1）证明：E 为CD 中点，所以2EC ED ==，3sin 60423EA AD =︒==，由//EC AB ,所以BAO 和ECO 相似，12EC EO BA OB ==， 因为2DH HE =，所以12EH EO HD OB ==， 所以//OH DB ，BD ⊂平面BCD ，OH ⊄平面BCD ，所以OH ∥平面BCD ； （2）解：∠ABC ＝60°，菱形ABCD ，所以ACD △为正三角形，所以EC EA ⊥，ED EA ⊥平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE平面ABCE AE =，EC ⊂平面ABCE ，所以EC ⊥平面ADE ，11222ADE S ED EA =⋅⋅=⨯⨯=△ 2233ADH ADE S S ==⨯=△△ 又//EC AB ，所以AB ⊥平面DEA ，11433ABDH B ADH ADH V V AB S -==⋅⋅=⨯=△四面体ABDH . 点评：考查线面平行的证明以及四面体体积的求法，线面平行转化证明线线平行，四面体的体积转化为三棱锥的体积，中档题.20．已知函数f （x ）＝ln x x． （1）求函数f （x ）的极值；（2）令h （x ）＝x 2f （x ），若对∀x ≥1都有h （x ）≥ax ﹣1，求实数a 的取值范围． 答案：（1）极大值1e，无极小值（2）1a ≤ （1）求函数的导数，利用导数求函数单调区间，即可确定函数极值； （2）由题意，不等式可转化为1ln x a x +≥对∀x ≥1都成立，利用导数判定1()ln g x x x=+的单调性，求出()g x 的最小值即可求出a 的取值范围. 解： （1）f （x ）＝ln x x的定义域为(0,)+∞， 21ln ()x f x x'-=， 当(0,)x e ∈时，()0f x '>，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以()f x 在x e =上有极大值1()f e e =（2）2()()ln h x x f x x x ==，∴由对∀x ≥1，都有h （x ）≥ax ﹣1可得：对∀x ≥1，都有ln 1x x ax ≥-， 即1ln x a x+≥对∀x ≥1都成立， 令1()ln g x x x =+， 则2211111()24g x x x x ⎛⎫'=-=--+ ⎪⎝⎭， 1x ≥，101x∴<≤， ()(1)0g x g ''∴≥=，1()ln g x x x∴=+在[1,)+∞上单调递增， min ()(1)1g x g ∴==，1a ∴≤.点评：本题主要考查了利用导数求函数的单调区间、极值、最值，利用导数解决不等式恒成立问题，分离参数法，转化思想，属于中档题.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>y x =交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C 的右顶点为P ，且满足4PA PB +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0,0)y kx m k m =+≠≠与椭圆C 交于不同两点M 、N ，且定点10,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足MQ NQ =，求实数m 的取值范围. 答案：（1）2214x y +=. （2）166m <<. 试题分析： （1）根据224PA PB PO a +===可求得2a =，再由离心率可得c ，于是可求得b ，进而得到椭圆的方程．（2）结合直线和椭圆的位置关系求解．将直线方程和椭圆方程联立消元后得到二次方程，由判别式大于零可得2241k m >-，结合MQ NQ =可得2614m k -=，从而得到关于m 的不等式组，解不等式组可得所求范围． 试题解析： （1）∵224PA PB PO a +===， ∴2a =，又32c a =， ∴c =∴2221b a c =-=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222418440k x kmx m +++-=， ∵直线与椭圆交于不同的两点M 、N ，∴()()222264441440k m k m ∆=-+->，整理得2241k m >-．设()11,M x y ，()22,N x y ，则122841km x x k -+=+， 又设MN 中点D 的坐标为(),D D x y ，∴1224241D x x km x k +-==+，22244141D D k m m y kx m m k k -=+=+=++． ∵MQ NQ =，∴DQ MN ⊥，即112D D y x k+=-，∴2614m k -=，∴2610611m m m ->⎧⎨->-⎩，解得166m <<． ∴实数m 的取值范围1(,6)6．点睛：圆锥曲线中求参数取值范围的方法解决此类问题的方法一般采用代数法，即先建立关于参数的目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法求范围时常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用基本不等式求出参数的取值范围；③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．22．在平面直角坐标系中，直线l 的方程为()()tan 20y x ααπ=-≤<，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：4cos 2πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，设M （2，0），若|MP |+|MQ |＝，求直线l 的斜率．答案：（1）曲线C 的直角坐标方程：2240x y y +-=；直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）；（2）1-. （1）根据题意得出直线l 过定点()2,0，得出线l 的的倾斜角，可得出其参数方程，直接应用极坐标方程化直角坐标方程的公式,可得出答案.（2）将直线l 的参数方程代入圆的方程224x y y +=得：()24cos sin 40t t αα+-+=,利用直线参数方程中的几何意义可得出答案.解：（1）由4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即24sin ρρθ=，得2240x y y +-=. 由直线l 的方程为()tan 2y x α=-，()0απ≤<则tan k α=,又0απ≤<，所以直线l 的的倾斜角为α，又直线l 过定点()2,0，则直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）（2）设P ，Q 两点在直线l 的参数方程中的对应参数分别为12,t t .将直线l 的参数方程代入圆的方程224x y y +=得：()24cos sin 40t t αα+-+= 所以()12124sin cos ,40t t t t αα+=-=>则124sin cos 4t MP Q t M πααα⎛⎫+==-=-= ⎪⎝⎭+即sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由0απ≤<，则3444πππα-≤-< 所以42ππα-=，即34απ=，所以直线l 的斜率为3tan 14k π==- 点评： 本题考查直线的普通方程化为参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()||g x x b x a =++-，a R ∈，b R ∈且0b a +>．（1）若函数()g x 的最小值为2，试证明点(),a b 在定直线上；（2）若3b =，[]01x ∈，时，不等式()5g x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（1）点(),a b 在定直线20x y +-=上，证明过程见详解；（2）[]1,2-.（1）先根据绝对值三角不等式，得到()g x b a ≥+，根据题意，得到2b a b a +=+=，即可得出结果；（2）先由题意，化不等式为||2x a -≤，求解，得到22a x a -≤≤+，推出[][]012,2a a ⊆-+，，进而可求出结果.解：（1）由绝对值三角不等式可得，()||||a g x x b x a x b x b a x b x a =++-++-=≥++-=+，当且仅当()()0x b a x +-≥时，取等号；又函数()g x 的最小值为2，0b a +>，所以2b a b a +=+=，即点(),a b 在定直线20x y +-=；（2）因为3b =，所以()3||g x x x a =++-，当[]01x ∈，时，不等式()5g x x ≤+可化为3||5x x x a -++≤+，整理得：||2x a -≤，解得：22a x a -≤≤+，由题意，可得：[][]012,2a a ⊆-+，，则2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得：12a -≤≤， 即实数a 的取值范围是[]1,2-.点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，属于常考题型.。

西安市2020届高三年级第三次质量检测文科数学注意事项：1．本卷考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束，将本试题和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1．已知集合{}2,1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =-+>，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知复数2ii z -=（其中i 是虚数单位），那么z 的共轭复数是（ ） A ．12i -B ．12i +C ．12i -D ．12i -+3．已知向量()1,0i =，向量()1,1f =，则34i f -的值为（ ） A ．17B ．5CD ．254．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差5．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用n a 表示解下n （9n ≤，n *∈N ）个圆环所需的移动最少次数，若11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ） A ．7B ．13C ．16D ．226．已知ln3a =，3log b e =，log c e π=（注：e 为自然对数的底数）．则下列关系正确的是（ ） A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<7．函数()cos xf x e x =的图象在点()()0,0f 处的切线的傾斜角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π8．函数()24412f x x x-+=的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题：①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥；②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，//n β，且//m n ，则αβ⊥；④若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则//αβ 其中正确的命题是（ ） A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②10．已知函数()sin cos x a x f x =+（a ∈R ）图象的一条对称轴是6x π=，则a 的值为（ ）A ．5BC ．3D11．已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若OP OF =，则OPF△的面积为（ ） A ．32B ．52C ．72D ．9212．定义域和值域均为[],a a -（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦解得个数不可能的是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题共4小题）13．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是______． 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若51310a a -=，则13S =______．15．函数()2tan 1tan xf xx =-的最小正周期是______．16．如图，圆锥形容器的高为2圆锥内水面的高为1，若将圆锥形容器倒置，水面高为h ，则h 等于_______．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：17．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数； （2）求高一参赛学生的平均成绩．18．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足22cos 1cos cos cos 2CA B A B =-⋅+． （1）求cos B 的值；（2）设ABC △外接圆半径为R ，且()sin sin 1R A C +=，求b 的取值范围．19．如图，菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=°，E 为CD 中点，将ADE △沿AE 折起使得平面ADE ⊥平面ABCE ，BE 与AC 相交于点O ，H 是棱DE 上的一点且满足2DH HE =．（1）求证：//OH 平面BCD ； （2）求四面体ABDH 的体积． 20．已知函数()ln f x xx=．（1）求函数()f x 的极值；（2）令()()2h x x f x =，若对1x ∀≥都有()1h x ax ≥-，求实数a 的取值范围．21．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>y x =交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C左焦点为F ，已知4FA FB +=． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y kx m =+（0k ≠，0m ≠）与椭圆C 交于不同两点M 、N ，且定点10,2Q ⎛⎫-⎪⎝⎭满足MQ NQ =，求实数m 的取值范围．（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，直线l 的方程为tan (2)y x α=-，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：4cos 2πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，设()2,0M ，若MP MQ +=l 的斜率． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数()g x x b x a =++-，a ∈R ，b ∈R 且0b a +>． （1）若函数()g x 的最小值为2，试证明点(),a b 在定直线上；（2）若3b =，[]0,1x ∈时，不等式()5g x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围．西安市2020届高三年级第三次质量检测文科数学参考答案一、选择题1．B （由已知得，{}2,1,0,1,2A =--，()(){}{}12021B x x x x x =-+>=-<<，{}2,1A B =-，所以子集个数：224=个．故应选B ．）2．A （复数()2i i 2i 21i 2i i z ---==+，z 的共轭复数是12i -．故应选A ．）3．C （由题意可得()()()343,04,41,4i f -=-=--，因此，()2341i f -=-=C ．）4．D （由方差意义可知，选D ．故应选D ．）5．C （依题意，()35411222212881616a a a a a =+=-+=+==．故应选C ．） 6．B （3ln 31log log e a b c e π=>>=>=，∴a b c >>．故应选B ．） 7．B （()cos sin xxe x x e xf =-'，则()01k f '==，则倾斜角为4π．故应选B ．） 8．D （函数()24412f x x x -+=是偶函数，排除选项B 、C ；当2x =时，()150223f =-<，对应点在第四象限，排除A ．故应选D ．）9．A （①若m n ⊥，m α⊥，则在平面α内必有一条直线l 使//l n ，又n β⊥，即l β⊥，则αβ⊥．故正确；②若//m α，//n β，且//m n ，α与β可平行可相交．故错误； ③若//m n ，m α⊥，即n α⊥，又//n β，则αβ⊥，故正确； ④若m α⊥，//n β，且m n ⊥，α与β可平行可相交．故错误． 所以①③正确，②④错误．故应选A ．）10．D （函数()()cos sin a x x x x f θ=+=+，其中tan a θ=，,22ππθ⎛∈-⎫⎪⎝⎭，其图象关于直线6x π=对称，所以62ππθ+=，3πθ=，所以tan a θ==．故应选D ．）11．B （设点()00,P x y ，则2020145y x -=．①又3OP OF +==，∴22009x y +=，② 由①②得20259y =， 即053y =， ∴0115532232OPF S OF y =⋅=⨯⨯=△．故应选B ．）12．D （方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦对应的()f x 有一个解；从图中可知，()()0,f x a ∈可能有1，2，3个解．故应选D ．） 二、填空题13．13（三名同学站成一排的基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个； 甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙、共2个． ∴甲站在中间的概率：2163P ==．） 14．65（在等差数列中，由31310a a -=，可得()123410a d a +-=． 即121210a d +=，即2165a d a +==． ∴()113713721313225136a a a S a+=⨯=⨯==．）15．2π（由题意得()212tan 1tan 221tan 2x x x f x =⋅=-，所以两数的最小正周期为2π．）16S ，则未倒置前液面的面积为14S ，所以水的体积为()111722133412SV S S =⨯-⨯⨯-=．设倒置后液面面积为S '，则22S S h ⎛'⎫= ⎪⎝⎭，所以24S Sh '=，所以水的体积为21731212Sh SV S h '===，解得h =）三、解答题17．（I ）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得出众数为65． 又因为第一个小矩形的面积为0．3，设第二个小矩形底边的一部分长为x ，则0.040.2x ⨯=，解得5x =， 所以中位数为60565+=．（2）依题意，利用平均数的计算公式，可得平均成绩为：550.3650.4750.15850.1950.0567⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以参赛学生的平均成绩为67分．18．（1）由条件可得cos cos cos cos C A B A B +=，所以()cos cos cos cos A B A B A B -++=，即sin sin cos A B A B =，因为sin 0A ≠，所以sin 0B B =>． 又因为22sin cos 1B B +=， 解得1cos 3B =． （2）∵2sin a R A =，2sin c R C =， ∴2a c +=，可得2c a =-， 由余弦定理可得()()()2222222222842cos 2213333b ac ac B a c ac a a a a a =+-=+-=+---=-+．∵02a <<，∴23b ≤<．所以b 的取值范围为2⎫⎪⎪⎣⎭． 19．（1）证明：由题意知//CE AB ，2AB CE =，所以:1:2OE OB =． 又2DH HE =，所以//OH BD ，又BD ⊂平面BCD ，OH ⊄平面BCD ． 所以//OH 平面BCD ．（2）因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =，AE CE ⊥，所以CE ⊥平面ADE ，因为//CE AB ，所以AB ⊥平面ADE ，所以四面体ABDH 的体积111443323ABDH B ADH ADH S AB V V -⋅⋅=⨯⨯⨯===△． 20．（1）由题意，函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以当x e =时，()f x 取得极大值1e，没有极小值； （2）()()2ln h x x f x x x ==，对1x ∀≥，有ln 1x x ax ≥-．即ln 11ln x x a x x x+≤=+． 令()1ln g x x x =+，则()22111x x x x xg '-=-=．当1x >时，()0g x '>，故()g x 是()1,+∞上的增函数，所以()()max 11g x g ==． ∴1a ≤，即实数a 的取值范围是(],1-∞．21．（1）∵设椭圆右焦点为D ，由椭圆对称性得24FA FB FA AD a +=+==， ∴2a =．又c a =，∴c = ∴2221b a c =-=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222418440x km k x m ++-+=，∵直线与椭圆交于不同的两点M ，N ， ∴()()222264441440k m k m ∆=-+->， 整理得2241k m >-． 设()11,M x y ，()22,N x y ， 则122841kmx x k -+-+，又设MN 中点D 的坐标为(),D D x y ，∴1144241D x x kmx k +-==+，22244141D D k m m y kx m m k k -=+=+=++．∵MQ NQ =，∴DQ MN ⊥，即112D D y x k+=-， ∴2614m k -=，∴2616110m m m ->-->⎧⎨⎩，解得166m <<，∴实数m 的取值范围1,66⎛⎫ ⎪⎝⎭．22．（1）曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=． ∴曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=．直线l 的参数方程为sin 2cos y t x t αα==+⎧⎨⎩（t 为参数，0απ≤<），（2）把直线l 的参数方程带入()2224x y +-=得()24cos sin 40t t αα+-+=，设此方程两根为1t ，2t ，∵定点M 在圆C 外切在直线l 上， 所以1112t t M MQ t P t =+=++，∴4cos sin αα-=∴cos sin 4πααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，[)0,απ∈，可得34απ=．∴1k =-，所以直线l 的斜率为1-．23．（1）()g x x b x a x b x a b a =++-≥+-+=+． ∵()g x 最小值为2， ∴2b a +=．又0b a +>，∴2b a +=， ∴点(),a b 满足直线2y x +=． 即(),a b 在定直线20x y +-=上．（2）当[]0,1x ∈时，()33g x x x a x x a =++-=++-，55x x +=+， 由()5g x x ≤+，得35x a x x -++≤+，即2x a -≤，即22a x a -≤≤+．据题意，[][]0,12,2a a ⊆-+，则2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a -≤≤．所以实数a 的取值范围是[]1,2-．。

西安中学高2020届高三第三次模考数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足()24i 13i z ⋅-=+，则z =( )A ．1 BC．D ．122．已知集合，．若，则实数( )(){},|20A x y x y =+=(){},|10B x y x my =++=A B =∅ m =A ． B ．C ．D ．2-12-1223．在等比数列中，已知，，则( ){}n a 123a a +=236a a +=7a =A ．243B ．128C ．81D ．644．函数的大致图像为( )x x xy e e -=+5．函数在区间内单调递减，则的取值范围为( ) ()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,6πθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦θA ．B ．C ．D ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦5,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭6．若，，，则( ))23a =3log eb =311e c -⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．a b c >>c a b >>a c b >>c b a >>7．已知的内角所对的边分别为．若，，ABC △,,A B C ,,a b c ()cos sin cos cos A C C B -=2a =，则角大小为( )c =CA ．B ．C ．D ．2π3π4π6π8．若实数满足约束条件，则的最大值为( ) ,x y 200360x y x y x y +-≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩2z x y =-A ．B ．C ．D ．3-232-9．若tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos 24sin παααα+⎛⎫++= ⎪⎝⎭( ) A ．175 B ．195 C ．215D ．22510．已知三棱锥且平面，其外接,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥2,PA PB PB =⊥ABC 球体积为( )A ．B ．C ．D ．43π4π323π11．已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点2222:1(0)x y M b a a b -=>>2c M T T所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是( )222()x c y a -+=MA ．B ．C ．D ．12．已知函数，，给出下列四个结论，分别是：①；32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠()()g x f x '=0>a ②在上单调；③有唯一零点；④存在，使得．其中有且只有一个是错误()f x R ()f x 0x 0()0<g x 的，则错误的一定不可能是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量，，且，则实数x =．(2,)m x = (4,2)n =- ()m m n ⊥-14．的展开式中的系数为．8(2)x -5x 15．已知定义在R 上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的()f x [)0,+∞(1)0f =(2)0f x -≥解集是 ．16．如图所示，点M ，N 分别在的边AD ，CD 上，2AB =，42π33ABC MBN ∠=∠=，从菱形ABCD所在区域随机地取一个点，记事件“所取点位于区域 ”的概率为P ，则： BMN ∆①当为边中点时，P= ______；M AD ②P 的最小值为 ．（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列满足，，设．{}n a 12a =()()1121n n na n a n n +-+=+nn a b n =（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n b（Ⅱ）若，求数列的前项和． 2nb nc n =-{}n c n18．（本小题满分12分）如图1，在中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，ABC∆AB AC ==，4BC =．将沿DEADE ∆折起到的位置，如1A DE ∆图2，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1AC 的中点．（Ⅰ）求证： //EF 平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A EB C --的余弦值．19．（本小题满分12分）全球疫情下，作为口罩的“心脏”——熔喷布需求量激增，由于供应不足，导致熔喷布价格从1.8万元/吨上涨到了30多万元/吨，原材料价格高企成为提高口罩产能的最大阻碍．4月10日，据《科技日报》报道，一种可以替代熔喷布的新型纳米过滤材料由河南曼博睿新材料科技有限公司研发成功．按照国家医用外科口罩标准（YY0469-2011）要求，细菌过滤效果和非油性颗粒过滤效果达到95%和30%即为合格，这种新型纳米过滤材料的过滤效果分别可以达到99．5%和78%，超过了国家标准．这种新型材料采用与熔喷布完全不同的原材料与工艺，不受上游设备和原材料供应的制约，且生产建设周期短．目前产品已正式投入量产，初期产能为每天1．2吨，可供生产口罩120-150万只，后续随着产线的增加和改进，产能还可以进一步提高．假设该公司每天生产n 批次该材料，它们的某项质量指标为Q ，质检员小张每天都会随机地从中抽取50批次检查其该项质量指标是否合格，若较多批次不合格，则需对其余所有批次进行检查．根据已有的生产数据，质量指标Q 服从正态分布，且相互独立．若质量指标Q 满足，则认为该批次是合格的，否则该批次2(10,0.1)N 9.710.3Q <<不合格．（Ⅰ）假设某一天小张抽查出不合格批次数为，求及的数学期望； X (2)P X ≥X EX （Ⅱ）小张某天恰好从50个批次中检查出2批次不合格材料，若以此频率作为当天生产该材料的不合格率．已知检查1个批次的成本为10元，而每批次不合格材料流入市场带来的损失为260元．假设充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有批次，试说明理由．n 附：若随机变量服从正态分布，则． ξ2(,)N μσ(33)0.9987P μσξμσ-<<+=参考数据：，500.99870.9370=490.99870.00130.0012⨯=20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ．（Ⅰ）若点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等边三角形，求C 的方程；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中求出的抛物线C ，若点001(,0)(2D x x ≥，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为0(,0)x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数． 2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，（Ⅰ）当时，求函数的极值；1a =()()()h x f x g x =-（Ⅱ）若存在与函数，的图像都相切的直线，求实数的取值范围． ()f x ()g x a（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]已知直线l 的极坐标方程是πsin(03ρθ-=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程是2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，且）．[)0,2απ∈（Ⅰ）求直线l 被曲线C 截得的弦长；（Ⅱ）过极点O 作直线，与曲线C 有异于极点的公共点M ，求线段OM 中点的轨迹的极坐标l '方程．23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]已知，且． 0,0,0a b c ＞＞＞2a b c ++=（Ⅰ）求的取值范围； 2a b c ++（Ⅱ）求证：． 14918a b c++≥西安中学高2020届高三第三次模考数学（理）答案一、选择题：题号 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CCDACBDBDABC二、填空题： 13． 14．15．16．，1-±448-(][),13,-∞+∞ 123-三、解答题：17．解：（Ⅰ）因为且，nn a b n =()()1121n n na n a n n +-+=+所以， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分1121n nn n a a b b n n ++-=-=+又因为， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分112b a ==所以是以2为首项，以2为公差的等差数列． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分{}n b所以． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分()2212n b n n=+-=（Ⅱ）由（Ⅰ）及题设得，， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分224n nn c n n =-=-所以数列的前项和{}n c n ()()()1241424nnS n =-+-+⋅⋅⋅+- ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分()()1244412nn =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分()1444142n n n +-⨯=--． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分1244323n n n ++=--·8·18．解：（Ⅰ）证明：取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ．因为在中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． ABC ∆因为 H ，F 分别为1A B ，1AC 的中点，所以 //HF BC ， 12HF BC =，所以 //HF DE ， HF DE =，所以四边形DEFH 为平行四边形， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 所以 //EF HD ．因为 EF ⊄平面1A BD ，HD ⊂平面1A BD ，所以 //EF 平面1A BD ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 （Ⅱ）分别以1,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则面BEC 的法向量11(0,0,2)n OA ==，，B ， (0,1,0)E ， 1(0,0,2)A则12)A B = ，1(0,1,2)A E =-设面1A BE 的法向量2(,,)n x y z =，则2020z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得22,1)n = ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分所以1212cos ||||n n n n θ⋅===∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分 所以二面角1A EB C --的余弦值． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分19．解：（Ⅰ），1495050(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C ≥=-=-==-⋅⋅-=由于服从二项分布，故． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分X 0.0013500.065EX =⨯=（Ⅱ）由题意可知不合格率为，若不检查，记损失为Y ，则损失的期望为250··， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分2522602602520505EY n n =⨯⨯-⨯=-若检查，成本为， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分10(50)n -由于，210(50)205EY n n --=-当充分大时，，n 22005n ->所以，为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有批次． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分20．解：（Ⅰ）由题知(,0)2p F ，32pFA =+，则(3,0)D p +， FD的中点坐标为33(,0)24p +， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 则33324p +=，解得2p =， 故C 的方程为24y x =． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 （Ⅱ）依题可设直线AB 的方程为0(0)x my x m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得20440y my x --=，因为012x ≥，所以2016160m x ∆=+>， 124y y m +=，1204y y x ⋅=-， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分设P 的坐标为(,0)P x ，则22(,)P PE x x y =-- ，11(,)P PA x x y =--，由题知//PE PA，所以2112()()0P P x x y x x y -⋅+-⋅=，即2221121212211212()()44P y y y y y y y y x y x y y y x +++=+==， 显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证00P x x +=，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即12221211()4y y y y +=-， 所以124y y -=，所以21212()416y y y y +-⋅=．即220161616m x +=，201m x =-， 01x <，又因为012x ≥，所以0112x ≤<，d = ∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分t =∈，202x t =-，22(2)42t d t t t -==-， 易知4()2f t t t =-在上是减函数，所以2)d ∈． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分21．解：（Ⅰ）函数的定义域为()h x (0,)+∞当时，， 1a =2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+所以1(21)(1)()21x x h x x x x -+'=+-=所以当时，，当时，，102x <<()0h x '<12x >()0h x '>所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，()h x 1(0,)21(,)2+∞所以当时，函数取得极小值为，无极大值． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分12x =()h x 11+ln 24（Ⅱ）设函数上点与函数上点处切线相同，()f x 11(,())x f x ()g x 22(,())x g x 则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==-所以，代入得：12122a x x =-21211221(ln )x x x ax x a x -=++-- ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分222221ln 20(*)424a a x a x x -++--=设，则221()ln 2424a a F x x a x x =-++--23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=不妨设则当时，，当时， 2000210(0)x ax x +-=>00x x <<()0F x '<0x x >()0F x '>所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分()F x 0(0,)x 0(,)x +∞代入可得： 20000121=2x a x x x -=-2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+-设，则对恒成立，21()2ln 2G x x x x x =+-+-211()220G x x x x '=+++>0x >所以在区间上单调递增，又()G x (0,)+∞(1)=0G 所以当时，即当时，01x <≤()0G x ≤001x <≤0()0F x ≤又当时2a x e +=222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++-- ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分2211()04a a e +=-≥因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立； 001x <≤()F x 001x <≤2x (*)即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．12,x x ()f x 11(,())x f x ()g x 22(,())x g x 又由得：12y x x =-2120y x '=--<所以单调递减，因此12(0,1)y x x =-在20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞，所以实数的取值范围是． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 a [1,)-+∞22．解：（Ⅰ）由题意可知，直线l 的直角坐标系方程是y =，曲线C 的普通方程是22(2)4x y +-=， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 则圆心C 到直线l 的距离1d ==， 故所求的弦长是=． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分 （Ⅱ）线段OM 的中点的轨迹'C 的参数方程为·12·cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，且3π3π[0,)(,2π)22α∈⋃）， 其普通方程为22(1)1(0)x y y +-=≠， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分 极坐标方程为22sin 0ρρθ-=，化简得2sin (0)ρθρ=≠． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分23．解：（Ⅰ）依题意，，故． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分 20a b c -=+＞02a ＜＜所以， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 ()22217224a b c a a a ⎛⎫++=+-=-+ ⎪⎝⎭所以，即的取值范围为． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分 ()22722244a b c +++-=≤＜2a b c ++7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）因为，0,0,0a b c ＞＞＞所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分 ()149494914b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫++++=++++++ ⎪⎝⎭，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分14+++≥1436+++==当且仅当时等号成立． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 12,,133a b c ===又因为，2a b c ++=所以． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分 14918a b c ++≥。

西安中学高2012届第三次月考数学试题（文科重点班）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

每道题的四个选项中，只有一个正确选项）1．已知集合1{|2}4x A x -=<，集合12{|}B x y x ==，则()R A B ð= ( ) A ．(2,)+∞ B ．[0,)+∞ C ．[0,2) D ．[0,2]2．若4cos 5α=-，α是第二象限的角，则1tan 21tan 2αα+=-（ ）A ．12-B ．12C ．2D ． 2- 3．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是3a 与7a 的等比中项，832S =，则10S 等于（ ）A ．18B ．24C ．60D ．904．在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，,3,||1AD AB BC BD AD ⊥==，则A C A D⋅=（ ） A．D 5． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，若12||5||3AF AF =，则双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3 C6．函数()|lg |cos f x x x =-在()0,+∞内零点的个数是（ ）A ． 3B ． 4C ．6D ．87．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题：①若,a b a α⊥⊥，则//b α；②//,a ααβ⊥，则a β⊥；③,a βαβ⊥⊥，则//a α；④,//a a βα⊥，则αβ⊥；⑤,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥；⑥//,,a b αβαβ⊆⊆，则//a b其中正确命题的个数是A ． 0B ．1C ．2D ．38．函数()()x f x e x a =-在区间(2,3)内没有极值点，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(,3][4,)-∞+∞B ．[3,4]C ．(,3]-∞.D [4,)+∞ 29．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，若它的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．273a π B ．2113a π C ． 2a π D ．25a π 10．函数()f x 定义域为D ，若()f x 满足：①在D 内是单调函数；②存在[,]m n D ⊆()m n ≠，使()f x 在[],m n 上的值域为[,]22m n ，则称()y f x =为“理想函数”。