高考数学一轮复习 专题18 三角函数的图象和性质押题专练 文

1．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是( ) A ．x ＝－π12 B ．x ＝π12 C ．x ＝π3D ．x ＝2π3【答案】D2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B.32 C.22D ．1【解析】由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32. 8．函数的图像是（ ）【答案】D9．定义22⨯矩阵，若，则()f x （ ）A.图象关于(),0π中心对称B.图象关于直线2x π=对称C.在区间[,0]6π-上单调递增 D.周期为π的奇函数【答案】C【解析】由题中所给定义可知，根据三角函数的图象性质可知本题的正确选项应该为C.10．已知函数①，②，则下列结论正确的是（ ）A ．两个函数的图象均关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称图形 B ．两个函数的图象均关于直线4x π=-成轴对称图形C ．两个函数在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同 【答案】C11．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( ) A.2425 B.1225 C ．－1225 D ．－2425【解析】由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝－2425，故选D. 【答案】D12．若将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0【解析】将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故选A.【答案】A13．已知tan α＝－34，则sin α·(sin α－cos α)＝( ) A.2125 B.2521 C.45 D.54【解析】sin α·(sin α－cos α)＝sin 2α－sin α·cos α＝sin 2α－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入，得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125，故选A.【答案】324．函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．【解析】y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间为：2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，即2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6k ∈Z 与x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的交集，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π625．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.若y ＝f (x －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2是偶函数，则φ＝________.【答案】π326．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________．【解析】将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，ω＞0的图象向左平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋ω－14，ω＞0，向右平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx －ω＋14，ω＞0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx ＋ω－14＝ωx －ω＋14＋k π，k ∈Z ，化简得ω＝2k ，k ∈Z ，又ω＞0，所以ω的最小值为2.【答案】227．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．28．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由①②求得φ=4π，故曲线的解析式为sin （12x+4π）．（2）对于函数（12x+4π），令2k π﹣2π≤2x +4π≤2k π+2π，求得4k π﹣32π≤x ≤4k π+2π， 可得函数的增区间为[4k π﹣32π，4k π+2π]，k ∈Z ． 令2k π+2π≤2x +4π≤2k π+32π，求得4k π+2π≤x ≤4k π+52π，可得函数的减区间为[4k π+2π，4k π+52π]，k ∈Z ．33．已知函数的图象关于直线3x π=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω和φ的值； （2）若，求的值.【答案】（1）；（2）835+. 【解析】（2）再根据34．如图是函数的部分图象，直线是其两条对称轴.（1）求函数()f x 的解析式和单调增区间； （2）若6()5f α=，且π3π88<<a ，求π()8f +a 的值．【答案】(1),函数()f x 的单调增区间为;(2)257. 【解析】【解析】（1）由题意，，∴πT =． 又0ω>，故2ω=，∴．由，解得，又ππ22-<<j ，∴π4=-j ， ∴．(2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象如下．∵f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝0，∴当方程f (x )－m ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3恰有一实数根时，m 的取值范围为[－3，0)∪{2}． 37．已知函数f (x )＝sin(2π－x )·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x －3cos 2x ＋ 3.(1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值．。

三角函数的图像与性质一、选择题1．函数f (x)＝ln(cos x)的定义域为( )A．，k∈ZB．(kπ，kπ＋π)，k∈ZC．，k∈ZD．(2kπ，2kπ＋π)，k∈ZC　[由题意知cos x＞0，则2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，故选C．]2．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f (x)＝sin ωx(ω＞0)的两个相邻的极值点，则ω＝( )A．2 B． C．1 D．A　[由题意及函数y＝sin ωx的图像与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2．故选A．]3．下列函数中最小正周期为π，且在上为增函数的是( )A．f (x)＝|sin 2x|B．f (x)＝tan|x|C．f (x)＝－cos 2x D．f (x)＝cos|2x|C　[函数f (x)＝tan|x|不是周期函数，因此排除B．函数f (x)＝|sin 2x|在上不是单调函数，故排除A．函数f (x)＝cos|2x|在上是减函数，故排除D，综上知选C．]4．(2021·北京高考)已知函数f (x)＝cos x－cos 2x，则该函数( )A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为D．偶函数，最大值为D　[函数f (x)定义域为R，且f (－x)＝f (x)，则f (x)为偶函数，f (x)＝cos x－cos 2x＝cos x－(2cos2x－1)＝－2cos2x＋cos x＋1＝－2＋，故最大值为，故选D．]5．已知函数f (x)＝sin(0＜ω＜π)，f ＝0，则函数f (x)的图像的对称轴方程为( ) A．x＝kπ－，k∈Z B．x＝kπ＋，k∈ZC．x＝kπ，k∈Z D．x＝kπ＋，k∈ZC　[f (x)＝sin＝cos ωx，则f ＝cos＝0，∵0＜ω＜π，∴ω＝，解得ω＝2，即f (x)＝cos 2x．由2x＝kπ，k∈Z得x＝kπ，k∈Z，故选C．]二、填空题6．函数y＝cos的单调递减区间为________．(k∈Z)　[因为y＝cos＝cos，所以令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．]7．若函数f (x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．　[由题意知ω＝，解得ω＝．]8．函数f (x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tan θ等于________．－　[f (x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)＝2sin＝－2sin，因为函数f (x)为奇函数，则有－－θ＝kπ，k∈Z，即θ＝－kπ－，k∈Z，故tan θ＝tan＝－．]三、解答题9．(2021·浙江高考)设函数f (x)＝sin x＋cos x(x∈R)．(1)求函数y＝的最小正周期；(2)求函数y＝f (x)f 在上的最大值．[解]　(1)因为f (x)＝sin x＋cos x，所以f ＝sin＋cos＝cos x－sin x，所以y＝＝(cos x－sin x)2＝1－sin 2x．所以函数y＝的最小正周期T＝＝π．(2)f ＝sin＋cos＝sin x，所以y＝f (x)f ＝sin x(sin x＋cos x)＝(sin x cos x＋sin2x)＝＝sin＋．当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝，即x＝时，函数y＝f (x)f 在上取得最大值，且y max＝1＋．10．已知f (x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且当x＝时，f (x)的最大值为2．(1)求f (x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在f (x)的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．[解]　(1)由T＝2知＝2得ω＝π．又当x＝时f (x)max＝2，知A＝2．且＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ＋(k∈Z)．∴f (x)＝2sin＝2sin．(2)存在．令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝k＋(k∈Z)．由≤k＋≤．得≤k≤，又k∈Z，∴k＝5．故在上存在f (x)的对称轴，其方程为x＝．1．(2021·朝阳区二模)已知函数f (x)＝sin，则下列四个结论中正确的是( )A．函数f (x)的图像关于中心对称B．函数f (x)的图像关于直线x＝－对称C．函数f (x)在区间(－π，π)内有4个零点D．函数f (x)在区间上单调递增C　[对于函数f (x)＝sin，令x＝，求得f (x)＝，故函数f (x)的图像不关于中心对称，故排除A；令x＝－，求得f (x)＝sin，不是最值，故函数f (x)的图像不关于直线x＝－对称，故排除B；在区间(－π，π)上，2x－∈，当2x－＝－2π，－π，0，π时，f (x)＝0，故函数f (x)在区间(－π，π)内有4个零点，故C正确；在区间上，2x－∈，f (x)没有单调性，故D错误，故选C．]2．(2021·成都模拟)关于函数f (x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：①f (x)是偶函数；②f (x)在区间上单调递增；③f (x)在[－π，π]上有4个零点；④f (x)的最大值为2．其中所有正确结论的编号是( )A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③C　[f (－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f (x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f (x)＝sin x＋sinx＝2sin x，∴f (x)在上单调递减，故②不正确；f (x)在[－π，π]上的图像如图所示，由图可知函数f (x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin| x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④．故选C．]3．已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ) (0＜ω＜1，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称．(1)求φ，ω的值；(2)求f (x)的单调递增区间；(3)x∈，求f (x)的最大值与最小值．[解]　(1)因为f (x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则φ＝，即f (x)＝cos ωx．因为图像关于点M对称，所以ω×＝＋kπ，k∈Z，且0＜ω＜1，所以ω＝．(2)由(1)得f (x)＝cos x，由－π＋2kπ≤x≤2kπ且k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z，所以函数f (x)的递增区间是，k∈Z．(3)因为x∈，所以x∈，当x＝0时，即x＝0，函数f (x)的最大值为1，当x＝－时，即x＝－，函数f (x)的最小值为0．1．已知函数f (x)＝sin x＋cos x在x＝θ时取得最大值，则cos＝( )A．－B．－C．D．C　[法一：∵f (x)＝sin x＋cos x＝2sin，又f (x)在x＝θ时取得最大值，∴θ＋＝＋2kπ(k∈Z)，即θ＝＋2kπ(k∈Z)，于是cos＝cos＝cos＝×－×＝，故选C．法二：∵f (x)＝sin x＋cos x，∴f ′(x)＝cos x－sin x．又f (x)在x＝θ时取得最大值，∴f ′(θ)＝cos θ－sin θ＝0，即tan θ＝，则cos＝(cos 2θ－sin 2θ)＝×＝，故选C．]2．已知函数f (x)＝a＋b．(1)若a＝－1，求函数f (x)的单调增区间；(2)当x∈[0，π]时，函数f (x)的值域是[5，8]，求a，b的值．[解]　f (x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝a sin＋a＋b．(1)当a＝－1时，f (x)＝－sin＋b－1，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴f (x)的单调增区间为(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，∴－≤sin≤1．依题意知a≠0，①当a＞0时，∴a＝3－3，b＝5；②当a＜0时，∴a＝3－3，b＝8．综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8．。

课时作业18 三角函数的图象与性质[基础达标]一、选择题1．下列函数中，周期为π的奇函数为( )A ．y ＝sin x cos xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确．答案：A2．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得， k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 答案：B3．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：∵y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，即3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝0，∴8π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝－13π6＋k π，∴当k ＝2时，|φ|有最小值π6. 答案：A4．[2020·某某调研]函数y ＝sin(x ＋π6)图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π2 B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝－π6解析：解法一 由x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以函数y ＝sin x ＋π6的一条对称轴方程是x ＝π3，故选C. 解法二 因为sin(π3＋π6)＝sin π2＝1，所以x ＝π3是函数y ＝sin(x ＋π6)的一条对称轴方程，故选C.解法三 因为将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度就得到函数y ＝sin x ＋π6的图象，所以y ＝sin x 图象的一条对称轴x ＝π2向左平移π6个单位长度就得到函数y ＝sin(x ＋π6)图象的一条对称轴x ＝π3，故选C. 答案：C5．[2019·全国卷Ⅲ]函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0,2π]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由f (x )＝2sin x －sin 2x ＝2sin x －2sin x cos x ＝2sin x ·(1－cos x )＝0得sin x ＝0或cos x ＝1，∴x ＝k π，k ∈Z ，又∵x ∈[0,2π]，∴x ＝0，π，2π，即零点有3个，故选B.答案：B二、填空题6．比较大小：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 解析：因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数且－π18>－π10，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 答案：>7．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 8．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝________.解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在[0，π3]上单调递增， 在[π3，π2]上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 答案：32三、解答题9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． 解析：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (2)在(1)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合．解析：(1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，76π. 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取最大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4， 所以a ＝1.(2)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＝1 可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ， 又x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6， 所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6. [能力挑战]11．[2020·某某某某一中月考]函数y ＝cos 2x ＋sin x (－π6≤x ≤π6)最大值与最小值之和为( )A.32B ．2C ．0 D.34解析：y ＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1，设t ＝sin x ，则y ＝－t 2＋t ＋1，∵－π6≤x ≤π6，∴－12≤t ≤12，∵y ＝－t 2＋t ＋1在区间[－12，12]上是增函数，∴当t ＝－12时，y 最小为14，当t ＝12时，y 最大为54，∴最大值与最小值的和为32，故选A. 答案：A12．[2020·某某瓦房店三中月考]函数y ＝2sin (π3－2x )的单调递增区间是( ) A ．[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z ) B ．[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z ) C ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z ) D ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z ) 解析：通解 由2n π＋π2≤π3－2x ≤2n π＋3π2(n ∈Z )，得－n π－7π12≤x ≤－n π－π12(n ∈Z )，令k ＝－n ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )，又区间[k π－7π12，k π－π12](k ∈Z )和区间[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z )相差一个周期π，∴函数y ＝2sin(π3－2x )的单调递增区间是[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z )，故选B. 解法一 ∵y ＝2sin(π3－2x )＝－2sin(2x －π3)，∴求函数y ＝2sin π3－2x 的单调递增区间即求函数t ＝sin(2x －π3)的单调递减区间，由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin(π3－2x )的单调递增区间是[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z )，故选B. 解法二 函数y ＝2sin(π3－2x )单调递增区间的左端点值对应的函数值是函数的最小值，区间长度为一个周期π，经验证每一个选项的区间长度均为一个周期π，只有区间左端点x ＝k π＋5π12(k ∈Z )的相应函数值是函数的最小值－2，∴函数y ＝2sin(π3－2x )的单调递增区间是[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z )，故选B. 答案：B13．[2019·全国卷Ⅰ]关于函数f (x )＝sin |x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[－π，π]有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④ B．②④C ．①④ D．①③解析：通解 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.优解 ∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确，排除A ；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )的最大值为2，故④正确．故选C.答案：C。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．若函数f(x)＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ的值是( )A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3解析：f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋φ3是偶函数．∴φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋32π，k ∈Z. 又φ∈[0，2π]，取k ＝0，得φ＝32π.答案：C2．在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③答案：A3．若函数y ＝cos(ωx ＋π6)(ω∈N *)图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)⇒ωmin ＝2.答案：B4．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝－π12解析：由题意知平移后的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，则x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．结合选项知，选A 正确． 答案：A5．设函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )A ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减B ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减C ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增D ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递增答案：A6．将函数f(x)＝cos x －3·sin x(x ∈R)的图象向左平移ɑ(ɑ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则ɑ的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6解析：f(x)＝cos x － 3 sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，将f(x)的图象向左平移ɑ(ɑ＞0)个单位长度后得到 y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ɑ＋π3的图象，则由题意知π3＋ɑ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以ɑ＝π6＋k π，k ∈Z.又因为ɑ＞0，所以ɑ的最小值为π6.答案：B7.关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A.是奇函数B.在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π答案 C8.若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N +)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A.1B.2C.4D.8解析 由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N +，∴ωmin ＝2. 答案 B9.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④C.②④D.①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2. 答案 A10.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32C.2D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B11.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3B.⎝⎛⎭⎪⎫π3，5π6C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，π答案 B12.若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.解析 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.答案5π613.函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________.解析 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ).答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )14.已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ，其中x ∈R ，给出下面四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数；②函数f (x )的图象的一条对称轴是x ＝2π3；③函数f (x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，则正确结论的序号为________. 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x ·sin π3－cos 2x ＝－32sin 2x －12cos 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π，但它不是奇函数，故①错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝1，故②正确；由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝0，故③正确；由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，故④正确.答案 ②③④15.若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________.答案 (－∞，－4]16．函数f (x )＝sin2x ＋2sin 2x －1(x ∈R )的最小正周期为__________，最大值为__________。

三角函数的图象与性质综合（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1三角函数的图象与性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(π，0)(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)(π，－1)(2π，1)．2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)|π对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无知识点2函数y=Asin(ωx ＋φ)1、y ＝Asin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)振幅周期频率相位初相(A >0，ω>0)AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2、用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)ωx ＋φ0π2π3π22πx－φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωy ＝A sin(ωx ＋φ)0A 0－A3由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法重难点01利用三角函数的单调性求参数1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解。

【典例1】（23-24高三下·江西宜春·模拟预测）已知函数π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是．【答案】17,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为()f x 在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以π2ππ233T ≥-=，则4π3T ≥，即2π4π3ω≥，所以302ω<≤，因为π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππππ,π6366x ωωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为302ω<≤，所以ππππ,3663ω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，ππ4ππ,663ω⎛⎤-∈- ⎝⎦，因为()f x 在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以ππ036πππ6ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得1726ω≤≤，所以ω的取值范围为17,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【典例2】（23-24高三下·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数π()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是.【答案】30,4⎛⎤⎥⎝⎦【解析】当π,π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππππ3444x ωωω-<-<-，又sin y x =-的单调递减区间为ππ2π,2π(Z)22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以2ππππ2π4πππ3+224k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤-⎩-⎪()k ∈Z ，解得3362(Z)44k k k ω-≤≤+∈，且2k +336(Z)44k k ≥-∈，解得38k ≤，又0ω>，所以k =0，所以ω的取值范围为30,4⎛⎤⎝⎦.重难点02与函数零点或方程的根有关的参数问题因为op =As(B +p 的最小正周期是==2，也就是说只要确定了周期T ，就可以确定的取值.对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k 个零点，需要确定含有k 个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k 个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．【典例1】（23-24高三下·河北沧州·月考）已知函数2π1sin (0)64y x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是（）A ．()2,4B ．8,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．8,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]2,4【答案】C【解析】由2π1sin (0)64y x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭可得1π1cos 2234y x ω⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，令1π1π1ππcos 20cos 222π,Z 2343233x x x k k ωωω⎛⎫⎛⎫--+=⇒-=⇒-=±+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()31π3k x ω+=或π,Z k x k ω=∈，故函数的正零点从小到大排列为：π3π4π6π7π,,,,,33333ωωωωω，要使在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个零点，需要满足4ππ32ω<且6ππ32ω≥，解得834ω<≤，故选：C 【典例2】（23-24高三下·湖北·二模）已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为T ，63T T f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在[]0,1内恰有10个零点则ω的取值范围是．【答案】[)9π,10π【解析】函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的周期为2πT ω=，又63T T f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π33πf f ωω⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin s 2in ππ33ωωωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin s n π2π33i ϕϕ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π2ϕ<，所以π2ππ3322ϕϕ+++=，解得0ϕ=，所以()sin f x x ω=，因为[]0,1x ∈，所以0x ωω≤≤，要使()f x 在[]0,1内恰有10个零点，则9π10πω≤<.所以ω的取值范围是[9π,10π).重难点03利用三角函数的对称性（奇偶性）求参数（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。

考向19 三角函数的图象和性质【2022·全国·高考真题】记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．32C ．52D ．3【2022·全国·高考真题（理）】设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦1．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）sin()y A wx φ=+或cos()y A wx φ=+，常见方法有：（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函； （2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；（3）用两角和、差公式或辅助角公式sin cos a wx b wx +将已给函数化成同函． 2．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述sin()y A wx φ=+或cos()y A wx φ=+的形式，有时会化简为二次函数型：22sin sin y a x b x c =++或22cos cos y a x b x c =++，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意sin cos x x 或的取值范围．若将已给函数化简为更高次的函数，如22(1sin )cos (1sin )(1-sin )y x x x x =+=+，则换元后可通过导数求解．如：解析式中同时含有sin cos x x ±和sin cos x x ，令t =sin cos x x ±，由关系式22sin cos 12sin cos t x x x x =±=±（）得到sin cos x x 关于t 的函数表达式．3．求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型：（1）sin y a x b =+，令sin t x =，则[],(1,1)y at b t =+∈-；（2）sin cos y a x b x c =++，引入辅助角tan ba φφ=（），化为22sin()y a b x c φ=+++； （3）2sin sin y a x b x c =++，令sin t x =，则[]2,(1,1)y at bt c t =++∈-； （4）sin cos sin cos y a x x b x x c =+±+（），令t =sin cos x x ±，则22sin cos 12sin cos t x x x x =±=±（），所以21()2t y a bt c -=±++； （5）sin cos a x by c x d+=+，根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数sin y x =的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈，对称中心为(,0)()k k Z π∈；（2）函数cos y x =的对称轴为()x k k Z π=∈，对称中心为(,0)()2k k Z ππ+∈；（3）函数tan y x =函数无对称轴，对称中心为(,0)()2k k Z π∈； （4）求函数sin()(0)y A wx b w φ=++≠的对称轴的方法；令()2wx k k Z πφπ+=+∈，得2()k x k Z wππφ+-=∈；对称中心的求取方法；令()wx k k Z φπ+=∈，得k x wπφ-=，即对称中心为()k b wπφ-，． （5）求函数)0()cos(≠++=w b wx A y ϕ的对称轴的方法；令)(Z k k wx ∈=+πϕ得wk x ϕππ-+=2，即对称中心为))(,2(Z k b wk ∈-+ϕππ1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）在正弦函数x y sin =，]20[π，∈x 的图象中，五个关键点是：3(00)(1)(0)(1)(20)22ππππ-，，，，，，，，，．（2）在余弦函数x y cos =，]20[π，∈x 的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22ππππ-，，，，，，，，，．注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2T；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是2T ； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4T ； 3．)sin(ϕ+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ϕ的图像与性质函数x y sin =x y cos = x y tan =奇函数（1）最小正周期：wT π2=． （2）定义域与值域：)sin(ϕ+=wx A y ，）ϕ+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ，A ]．（3）最值假设00>>w A ，． ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧-∈+-=+∈+=+;)(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕπϕ （4）对称轴与对称中心． 假设00>>w A ，． ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2000000x wx y wx Z k k wx xx wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕπϕϕϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1)cos()(000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕππϕϕϕπϕ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置．（5）单调性． 假设00>>w A ，． ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧⇒∈++∈+⇒∈++-∈+.)](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππϕππππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧⇒∈+∈+⇒∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx πππϕπππϕ （6）平移与伸缩由函数x y sin =的图像变换为函数3)32sin(2++=πx y 的图像的步骤；方法一：)322(ππ+→+→x x x ．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．−−−−−→−=个单位向左平移的图像3sin πx y 的图像)3sin(π+=x y 12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变的图像)32sin(π+=x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变的图像)32sin(2π+=x y−−−−−→−个单位向上平移33)32sin(2++=πx y方法二：)322(ππ+→+→x x x ．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．的图像x y sin =12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变−−−−−→−=个单位向左平移的图像62sin πx y 的图像)22sin()6(2sin ππ+=+=x x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变−−−−−→−+=各单位向上平移的图像3)32sin(2πx y 3)32sin(2++=πx y注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角ϕ+wx ”变化多少．1．（2022·上海青浦·二模）已知函数()sin cos f x x x =+的定义域为[],a b ，值域为1,2⎡⎤-⎣⎦，则b a -的取值范围是（ ） A ．3ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．（2022·上海松江·二模）设函数()sin()(05)6f x x πωω=+<<图像的一条对称轴方程为12x π=，若1x 、2x 是函数()f x 的两个不同的零点，则12||x x -的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．2π D ．π3．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数()()tan 08f x x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>的图象与直线()y a a =∈R 的两相邻交点间的距离为2π，则ω=（ ） A ．14B ．12C ．1D ．24．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象的两个相邻最高点间的距离为π，则()f x 在下列区间中单调递增的区间是（ ） A ．π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 的最大值为5ω，则ω的取值最多有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个1．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．6π=ϕ B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈2．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在2π,2π3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则ω的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．723．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()23sin cos cos 0f x x x x ωωωω+>，若函数f (x )在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2022·上海长宁·二模）已知函数()sin cos f x x a x =+满足：()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭． 若函数()f x 在区间[]12,x x 上单调，且满足12()()0f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π35．（2022·青海·模拟预测（理））若3π-，3π分别是函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的零点和极值点，且在区间,155ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，则下列数值中，ω的可能取值是（ ） A ．814B ．994C ．1054D ．11746．（2022·全国·高三专题练习）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．32C ．52D ．37．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知函数()()sin cos sin f x x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 21-C ．()f x 的图像关于直线8x π=-对称D ．将()f x 的图像向右平移8π个单位长度，再向上平移12个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数8．（多选题）（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数()cos 2sin f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．直线2x π=为函数f (x )图像的一条对称轴B ．函数f (x )图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移2π后得到()cos22sin 2g x x x =+ C ．函数f (x )在[－2π，2π]上单调递增 D ．函数()f x 的值域为[－259．（多选题）（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．()()f x f x π+=B ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称C ．若125012x x π<<<，则()()12f x f x < D ．对1x ∀，2x ，3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()()132f x f x f x +>成立10．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数，x ∈R ）的图像关于直线π6x =对称，函数()cos sin g x a x x =-，则下面说法正确的是（ ） A ．将()f x 的图像向左平移2π个单位可以得到()g x 的图像 B ．()g x 的图像关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()g x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 的最大值为111．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知函数2()322cos 1f x x x =-+，且方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，则实数a 的取值范围是___________．12．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数sin()(0)y x ωϕω=+>与直线12y =的交点中，距离最近的两点间距离为3π，那么此函数的周期是___________. 13．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______．14．（2022·北京·人大附中三模）已知函数()[)(]sin ,2,00,2xf x x xππ=∈-⋃，给出下列四个结论：①()f x 是偶函数； ②()f x 有4个零点； ③()f x 的最小值为12-；④()12f x x <的解集为1175,0,,26666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中，所有正确结论的序号为___________.15．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为______． 16．（2022·江西师大附中三模（理））定义在[0,]π上的函数1(3sin cos )cos (0)2y x x x ωωωω=-+>有零点，且值域1,2M ⎡⎫⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，则ω的取值范围是__________．17．（2022·陕西·西安中学一模（理））函数(21)()sin ln 22x f x x π+=--的所有零点之和为_________.18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值；(2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．19．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数()()1cos 2f x x g x f x ωϕ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，，其中[]0,2πϕ∈(1)若12ω=且直线π2x =是()g x 的一条对称轴，求()g x 的递减区间和周期；(2)若21π3ωϕ==，，求函数()()()h x f x g x =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值；20．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π； 条件②：()00f =；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.21．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()2sin()cos sin f x x A x A =-+．(1)若1(0),3,12f a b =-==，求ABC 的面积；(2)当512x π=时，()f x 取最大值，求()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域.22．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭满足：①()f x 的最大值为2；②06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；()f x 的最小正周期为π．(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间与最小值．1．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．32C ．52D ．32．（2022·全国·高考真题（理））设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦3．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 4．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为985．（2021·全国·高考真题（文））函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A ．3π和2B ．3π和2C ．6π和2D ．6π和26．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭7．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ） A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴 D ．直线32y x =-是曲线()y f x =的切线 8．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若3()2f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．9．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．10．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈．（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．。

第三节 三角函数的图象与性质———————————————————————————————— [考纲传真] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( ) (2)函数y ＝sin x 的图象关于点(k π，0)(k ∈Z)中心对称．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)y ＝sin |x |是偶函数．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．(2017·云南二次统一检测)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象关于( )A ．原点对称B ．y 轴对称C ．直线x ＝5π2对称D ．直线x ＝－5π2对称A [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝－sin 2x 是奇函数，则图象关于原点对称，故选A.]3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ， ∴y ＝tan 2x的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z.]4．(2017·长沙模拟(一))函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π C [令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3，故选C.]5．(教材改编)函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．2 {x |x ＝6k π，k ∈Z} [f (x )min ＝4－2＝2，此时，13x ＝2k π(k ∈Z)，x ＝6k π(k ∈Z)，所以x 的取值集合为{x |x ＝6k π，k ∈Z}．](1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [(1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B. (2)由⎩⎨⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2，∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.][规律方法] 1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x ，cos x ，sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求解．[变式训练1] (1)已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b－a 的值是( )A ．2B ．3 C.3＋2D ．2－ 3(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值. 【导学号：31222113】(1)B [∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，∴b －a ＝3.](2)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22，3分∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22，7分 ∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.12分(1)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2](2)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) [(1)由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.(2)由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所求函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．][规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法(1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x 的系数为正数，以防止把单调性弄错．2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．[变式训练2] (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【导学号：31222114】(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) (2)32 [(1)由－π2＋k π＜2x －π3＜π2＋k π(k ∈Z)， 得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)． (2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.]角度1 奇偶性与周期性的判断(1)(2014·全国卷Ⅰ)在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③(2)函数y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数(1)C (2)A [(1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π.③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.(2)y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝－sin 2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数．]☞角度2 求三角函数的对称轴、对称中心(2016·安徽江南十校3月联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 A [由f (x )＝sin (ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)， ∴φ＝π3＋2k π(k ∈Z)，由|φ|＜π2， 得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z)，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z)，当k ＝0时，f (x )图象的一个对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.]☞角度3 三角函数对称性的应用(1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－33 C.2 D.22 (1)A (2)B [(1)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. (2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴， 可得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，即sin 0＋a cos 0＝sin 10π3＋a cos 10π3， 解得a ＝－33.][规律方法] 1.对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(3)借助函数的图象．[思想与方法]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝A sin(ωx＋φ)(ω＞0)的形式，再用换元法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．2．求三角函数值域(最值)的常用方法：(1)将函数变形化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．(2)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题．3．若f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．[易错与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．求y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0)的单调区间，要注意ω的正负，只有当ω＞0时，才能将“ωx ＋φ”整体代入相应单调区间．3．利用换元法求三角函数最值时，注意cos x (或sin x )的有界性． 4．正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形．课时分层训练(十九) 三角函数的图象与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) D ．RC [由cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z.] 2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( ) 【导学号：31222115】A ．1 B.12 C ．－1D ．－12A [由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.]3．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B 项，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( ) 【导学号：31222116】A ．1B ．2C ．4D ．8B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.]5．(2017·重庆二次适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6 A [依题意得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6单调递增．因此结合各选项知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，故选A.]二、填空题6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z) [由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x,2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z)．]7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．2或－2 [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.] 8．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________.【导学号：31222117】⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z [由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.]三、解答题9．(2016·北京高考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．[解] (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.4分 依题意，得πω＝π，解得ω＝1.6分 (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z).8分由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z).12分10．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，3分所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.6分 (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.7分当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；9分当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州二次质量预测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( ) 【导学号：31222118】A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称 B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称B [由题意得函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2×π4＝－sin 2x ，易知其为奇函数，由－π2＋2k π＜2x ＜π2＋2k π，k ∈Z 得－π4＋k π＜x ＜π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，故选B.] 2．设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [∵f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6∈[－2,2]．又∵|f (x )|≤a恒成立，∴a ≥|f (x )|max ，∴a ≥2.]3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．[解] ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ).2分(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.5分(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.6分 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π， ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.9分 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.12分。

2025年高考数学一轮复习-三角函数的图象与性质-专项训练基础巩固练1.函数f(x)=tanπ 2的最小正周期是()A.2πB.4πC.2D.42.函数f(x)=sin2 在0()A.1B.-1 D.[0,1]3.若tan2=a,tan3=b,tan5=c,则()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b4.已知函数f(x)=x5+tan x-3,且f(-m)=-2,则f(m)=()A.-4B.-1C.1D.45.(多选题)已知f(x)=cos2x-sin2x,则()A.f(x)是偶函数B.f(x)的最小正周期是πC.f(x)0D.f(x)在06.(多选题)设函数f(x)=cos 则下列结论正确的有()A.y=f(x)的一个周期为2πB.y=f(x)的图象关于直线x=83π对称C.y=f(x+π)的一个零点为x=π6D.y=f(x)π上单调递减7.函数y=f(x)=sin2x,x∈-π6.8.若函数f(x)=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)为奇函数,则φ=.9.已知函数f(x)=A sin +A>0,ω>0)的最小值为-2,最小正周期为π.(1)求实数A,ω的值;(2)当x∈0,求函数f(x)的值域.综合提升练10.下列坐标所表示的点不是函数y=tan3 ()000011.已知函数f(x)=sin +ω>0)在区间0,但无最小值,则ω的取值范围是()12.已知函数f(x)=+ω>0)的图象的两个相邻对称中心之间的距离为π4,则ω=()A.2B.4C.8D.1613.(多选题)已知函数f(x)=sin|x|+|sin x|,则下列结论正确的有()A.f(x)是偶函数B.f(x)π上单调递增C.f(x)在[-π,π]上有4个零点D.f(x)的最大值为214.若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为.15.已知函数f(x)=4sinωx sin +1(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值及f(x)的增区间;(2)求f(x)图象的对称中心.创新应用练16.已知f(x)=sinωx-3cosωx,ω>0,若函数f(x)0对称,且函数f(x)在0调,则ω的值为()A.4B.3C.2D.117.若x=π8是函数f(x)=2sin x∈R)的一个零点,且0<ω<10,则函数f(x)的最小正周期为.18.已知函数f(x)=a2cos2 2+sin +b.(1)若a=-1,求函数f(x)的增区间;(2)当x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.参考答案1.C2.A3.D4.A5.ABC6.ABC7.18.±π29.解(1)由题意知A=2,2π =π,解得ω=2.故A=2,ω=2.(2)由(1)知f(x)=2sin2因为x∈0所以2x+π3∈所以sin2 -21,所以2sin2 +∈-3,2,所以函数f(x)的值域为-3,210.C11.A12.B13.AD14 π2(答案不唯一)15.解(1)f(x)=4sinωx·12sinωx-1=2sin2ωx+23sinωx·cosωx-1=1-cos2ωx+3sin2ωx-1=3sin2ωx-cos2ωx=2sin2∵函数的最小正周期为π, 2π2 =π,∴ω=1,∴f(x)=2sin2令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ,k∈Z,解得-π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z,∴f(x)的增区间为-π6+kπ,π3+kπ(k∈Z).(2)令2x-π6=kπ,k∈Z,解得x=π12+ π2,k∈Z,∴f(x)+ π2,0,k∈Z.16.D17.π18.解f(x)=a(1+cos x+sin x)+b=2asin +(1)当a=-1时,f(x)=-2sin 1,由2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z),得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4(k∈Z),∴函数f(x)的增区间为2kπ+π4,2kπ+5π4(k∈Z).(2)∵0≤x≤π, π4≤x+π4≤5π4,∴≤sin +≤1.依题意知a≠0,①当a>0时,2 + + =8,=5,∴a=32-3,b=5;②当a<0时, =8,2 + + =5,∴a=3-32,b=8.综上所述,a=32-3,b=5或a=3-32,b=8.。

课时作业(十八)　[第18讲　三角函数的图像与性质] [时间：45分钟 分值：100分] 1．函数y＝的定义域为( ) A. B.，kZ C.，kZ D．R 2．[2011·枣庄模拟] 下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在上为减函数的是( ) A．y＝sin2x＋cos2x B．y＝|sinx| C．y＝cos2x D．y＝tanx 3．[2010·江西卷] 函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为( ) A．[－1,1] B. C. D. 4．[2010·上海卷] 函数y＝sin2x的最小正周期T＝________. 5．函数y＝sin在区间上( ) A．单调递增且有最大值 B．单调递增但无最大值 C．单调递减且有最大值 D．单调递减但无最大值 6．设函数f(x)＝xsinx，x，若f(x1)>f(x2)，则下列不等式必定成立的是( ) A．x1＋x2>0 B．x>x C．x1>x2 D．x1x2，则sinx1>sinx2； 若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f＝0. 其中正确命题的序号是________． 14．(10分)已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 15．(13分)[2011·朝阳二模] 已知函数f(x)＝2sinxcosx－2sin2x＋1. (1)求函数f(x)的最小正周期及值域； (2)求f(x)的单调递增区间． 16．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值． 课时作业(十八) 【基础热身】 1．C　[解析] 由题意得cosx≥， 2kπ－≤x≤2kπ＋，kZ，故选C. 2．B　[解析] 由函数为偶函数，排除A、D；由在上为减函数，排除C，故选B. 3．C　[解析] y＝sin2x＋sinx－1＝2－， －1≤sinx≤1， 当sinx＝－时，ymin＝－；当sinx＝1时，ymax＝1， 函数的值域为，故选C. 4．π　[解析] 由周期公式得T＝＝＝π. 【能力提升】 5．A　[解析] 由－≤x－≤，得－≤x≤， 则函数y＝sin在区间上是增函数， 又，所以函数在上是增函数，且有最大值，故选A. 6．B　[解析] 函数f(x)为偶函数，易知f(x)＝f(|x|)，且当x时，f(|x|)为增函数．又由f(x1)>f(x2)，得f(|x1|)>f(|x2|)，故|x1|>|x2|，于是x>x. 7．A　[解析] 函数可化为y＝sinxcosx－2(sinx＋cosx)＋4，令sinx＋cosx＝t(|t|≤)， 则sinxcosx＝，y＝－2t＋4＝(t－2)2＋. t＝2[－，]，且函数在[－，]上为减函数， 当t＝，即x＝2kπ＋(kZ)时，ymin＝－2； 当t＝－，即x＝2kπ－(kZ)时，ymax＝＋2. 8．C　[解析] 如图所示，画出函数y＝sinπx和y＝x的图像， 在[0，＋∞)上，两个函数图像有4个交点， 在(－∞，＋∞)上，方程sinπx＝x的解有7个，即函数f(x)＝sinπx－x的零点的个数是7，故选C. 9．A　[解析] 画出函数y＝sinx的简图，要使函数的值域为，则函数定义域为，kZ或其子集，又定义域为[a，b]，则a，b在同一个k所对应的区间内，且[a，b]必须含2kπ＋，还有2kπ＋、2kπ＋之一，知b－a的取值范围为，故选A. 10．π　[解析] f(x)＝(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1－sin2x， 函数f(x)的最小正周期为π. 11.　[解析] 如下图所示： x＝2x＝－1， f(x0)＝2cosx0＝－1， x0＝. 12．(99,0)　[解析] 由πx＝＋kπ，k≥0且kZ，得图像的对称中心横坐标为x＝2k＋1，k≥0且kN，令k＝49即可得A50的坐标是(99,0)． 13．　[解析] 正切函数的对称中心是(kZ)；y＝|sinx|，y＝|tanx|的最小正周期都是π；正弦函数在定义域R上不是单调函数；f＝f＝f＝－f，故f＝0. 14．[解答] (1)因为f(x)＝2sin(π－x)cosx ＝2sinxcosx＝sin2x， 所以函数f(x)的最小正周期为π. (2)由－≤x≤，得－≤2x≤π， 所以－≤sin2x≤1， 即f(x)在上的最大值为1，最小值为－. 15．[解答] (1)f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin， 则函数f(x)的最小正周期是π， 函数f(x)的值域是. (2)依题意得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(kZ)， 则kπ－≤x≤kπ＋(kZ)， 即f(x)的单调递增区间是(kZ)． 【难点突破】 16．[解答] 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)， 即sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)， 所以－cosφsinωx＝cosφsinωx对任意x都成立． 又ω>0，cosφ＝0. 依题设0≤φ≤π，所以φ＝，f(x)＝cosωx， 其对称中心为(，0)(kZ)． f(x)的图像关于点M对称，令＝， ω＝(2k＋1)，k＝0,1,2，…. 当k＝0时，ω＝，f(x)＝sin在上是减函数； 当k＝1时，ω＝2，f(x)＝sin在上是减函数； 当k≥2时，ω≥，f(x)＝sin在上不是单调函数． 综上得ω＝或ω＝2.。