一元二次方程根与系数的关系(1)导学案(新版新人教版)

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系【目标导航】1、经历从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系2、掌握一元二次方程根与系数的关系式3、能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根4、会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差【知识链接】法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有一种非常密切的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。

用于求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等都很方便。

【珍宝探寻】珍宝 一．一元二次方程根与系数的关系1． 设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=ca； 解析：（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，∴x 1x 2∴x 1+x 2=2b b a -+-ba ，x 1·x 2=2b a -+·2b a --=ca即 这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理。

2.使用一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数的关系时需注意：(1)先把方程化为一般形式，并要注意隐含条件a ≠0； (2)应用时一定要记住根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0这个前提条件； (3)写 时不要弄错符号. 【营养快餐】快餐 一 经典基础题例1：若1x ，2x 是一元二次方程0322=--x x 的两个根，则21x x 的值是（ ） A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3 分析：由有根与系数的关系12cx x a=＝－3。

解：因为0322=--x x ，中a ＝1，c ＝－3，所以12-31x x =＝－3 故选B点拨：本题利用两根之积与系数的关系.例2．1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+分析：由根与系数的关系可建立关于1x 和2x 的方程组12123252x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩g ，再把所求式子用它们表示出来，代入化简即得解：由一元二次方程根与系数的关系，得12123252x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩g ，进而（1）2221x x +＝212212)(x x x x -+＝417（2）21x x -＝212214)(x x x x -+＝213（3）原式＝)32()(2222221x x x x -++＝5417+＝4112点拨：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、恒等式的变形等知识。

第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x xx x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于 的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相1232课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜=b a ，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+-= 22ba-=.b a =- 1222b b x x a a•-+-⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－ 解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1. ；-3.2. 1 ； -2.1161.3c x a 116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。

2.5一元二次方程根与系数的关系导学案学习目标：1．掌握一元二次方程根与系数的关系式：a bx x -=+21， a c x x =21；2．会用根的判别式及根与系数关系解决简单的问题. 学习重难点：重点: 根与系数的关系及其推导。

难点：正确理解根与系数的关系。

【温故而知新】1、一元二次方程的一般式：2.一元二次方程的解法： 、 、 、 3、一元二次方程根的判别式是： ，根的判别式与根的情况是： 4、一元二次方程的求根公式： 5填空（1）因式分解：ab 2+a 2b= (2) 计算： (3)a 2+b 2=(a+b)2- 6、解下列方程：(1)x 2+5x+6=0 (2)x 2+8x-9=0 (3)2x 2-3x+1=0=+ba 11【自主探究】1．根据表格填空2、问题：观察每个方程两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？ 你发现什么规律？ 用语言叙述你发现的规律；3.猜想：请根据以上的观察猜想：若方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为x 1 ,x 2,则x 1+x 2 ， x 1x 2与系数a,b,c 之间存在怎样的关系？ 4、请尝试证明出你的猜想： 证明：※ 结论：一般地，如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 有两个根x 1、x 2 ，那么： 21x x += ，21x x ⋅= 。

这就是一元二次方程根与系数的关系。

温馨提示：应用根与系数的关系时应满足以下条件：1： 方程为一元二次方程的一般形式； 2：方程必须要有实数根，即 0∆≥ 5、 思考： 当a=1时结论如何？【定理应用】例1：利用根与系数的关系，求下列方程两根之和与两根之积。

一元二次x 1x 2x 1＋x 2x 1·x 2x 2+5x+6=0 x 2+8x-9=02x 2-3x+1=0 0672=++x x 02322=--x x（１） （2）练习一：（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。

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*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、导学 1.导入课题: 如果一个方程的两根之和为 1，两根之积为-2，你能说出这个方程吗？ 今天我们进一步学习一元二次方程根与系数的关系. 2.学习目标: 知道一元二次方程的根与系数的关系. 3.学习重、难点: 重点：一元二次方程根与系数的关系. 难点：能应用一元二次方程根与系数的关系解决问题. 4.自学指导： (1)自学内容：教材第 15 页到第 16 页的内容. (2)自学时间：5 分钟. (3)自学方法：独立探究一元二次方程根与系数的关系. (4)探究提纲： ①方程 x2+px+q=0 的两根分别是 x1，x2，那么 x1+ x2= -p，x1 x2=q .你是怎么得到的？ 假设方程两根分别为 x1，x2.那么方程可表示为(x-x1)(x-x2)=0. 化简,得 x2-(x1+x2)x+x1x2=0. ∴x1+x2=-p, x1x2=q.③独立完成例 4，说说运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和与两根之积时应注意什么？①把方程化为一般形式，明确二次项系数、一次项系数和常数项的值；②方程必须有实数根.④不解方程，求以下方程两根的和与积.x2-3x=15；3x2+2=1-4x；x1+x2=3，x1+x2= - ，x1x2= -15 5x2-1=4x2+x； x1+x2=1，x1x2= 2x2-x+2=3x+1.x1+x2=2，x1x2= -1x1x2=二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：了解学生探究两个方程的根与系数的关系的方式和易错点.(2)差异指导：指导学生通过比拟的方式探究方程 x2+px+q=0 根与系数的关系,通过直接计算的方式探究方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系.对学习有困难的学生予以指导，并帮他们分析根与系数之间的关系.2.生助生：同桌之间可以互动、研讨.四、强化x2+px+q=0 有两个实根 x1，x2，那么 x1+x2=-p,x1x2=q.x2+bx+c=0 中，在 a≠0，b2-4ac≥0 的条件下，x1+x2=－ , x1x2= . 3.运用一元二次方程根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意： (1)先把方程化成一般形式，明确方程的二次项系数，一次项系数和常数项的值，然后 直接代入关系式. (2)确定方程的各项系数时一定要包括其符号. (3)只有在一元二次方程有实根的前提下，才能使用根与系数的关系.如果所给一元二次 方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系. 五、评价 1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或缺乏？说说 运用一元二次方程根与系数的关系时应注意的问题. 2.教师对学生的评价： (1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习方法、效果及缺乏之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测. (教学反思)： (1)通过从熟知的解法解一元二次方程的过程中探究根与系数的关系，并发现可用求根 公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、 开展和出现的过程以及知识的应用. (2)教学过程从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜测到论证，使学生在 体验知识发生、开展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想. (3)教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均 有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同 学们学习的兴趣.(时间：12 分钟总分值：100 分) 一、根底稳固(70 分) 1.(10 分)关于 x 的方程 x2+px+q=0 的根为 x1=1+ ，x2=1- ，那么 p= -2，q= -1.2.(10 分)方程 5x2+kx－6=0 的一根是 2，那么另一根是 - ，k＝-7.3.(40 分)求以下方程的两根 x1，x2 的和与积：(1)x2－3x+2=0；(2)5x2+x－5=0；解：x1+x2=3 x1x2=2(3)x2+x=5x+6； 解：方程化为 x2-4x-6=0解：x1+x2= x1x2= -1(4)7x2－5=x+8. 解：方程化为 7x2-x-13=0x1+x2=4x1+x2=x1x2= -6x1x2= -4.(10 分)两个数的和为 8，积为 9.75，求这两个数.解：设其中一个数为 x,那么另一个数为(8-x).根据题意，得 x(8-x)=9.75,整理，得 x2-8x+9.75=0.解得 x1=6.5, x2=1.5. 当 x=6.5 时，8-x=1.5;当 x=1.5 时，8-x=6.5,∴这两个数是 6.5 和 1.5.二、综合应用(20 分)5.(20 分)x1，x2 是方程 x2－5x－7=0 的两根，不解方程求以下各式的值：三、拓展延伸(10 分)6.(10 分)关于 x 的方程 x2-(2m+3)x+m2=0 的两根之和等于两根之积，求 m 的值.解：设方程 x2-(2m+3)x+m2=0 的两根为 x1，x2.∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.根据题意得 m2=2m+3，解得 m1=3,m2= -1.当 m=3 时，原方程为 x2-9x+9=0, b2-4ac=45>0.方程有实数根.当 m= -1 时，原方程为 x2-x+1=0, b2-4ac=-3<0.方程无实数根，此 m 值舍去.∴m 的值为 3.24.2.1 点和圆的位置关系教学目标 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆 的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． (二)能力训练要求 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题 的策略． (三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些根本策略，体验解决问题策略的多样性，开展实践能力与创新 精神． 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的 三个点作圆． 教学方法 教师指导学生自主探索交流法． 教具准备 投影片三张 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点 能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(§3．4A) 1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？ [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．1 作法：如以以下图，分别以 A、B 为圆心，以大于 AB 长为半径画弧，在 AB 的两侧2 找出两交点 C、D，作直线 CD，那么直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，直线 CD 上的 任一点到 A 与 B 的距离相等．[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做 圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆 心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．2．做一做(投影片§3．4B) (1)作圆，使它经过点 A，你能作出几个这样的圆？ (2)作圆，使它经过点 A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布 有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？ (3)作圆，使它经过点 A、B、C(A、B、C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你 能作出几个这样的圆？ [师]根据刚刚我们的分析，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并 作出解答． [生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过点 A 作圆，只要圆心确定下来，半 径就随之确定了下来．所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段为 半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)． (2)点 A、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到 A、B 的距离相等．根 据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等，那么圆心应在线段 AB 的垂直平分线上．在 AB 的垂直平分线上任意取一点，都能 满足到 A、B 两点的距离相等，所以在 AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点 到 A 的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段 AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无 数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)． (3)要作一个圆经过 A、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离 相等．因为到 A、B 两点距离相等的点的集合是线段 AB 的垂直平分线，到 B、C 两点距离 相等的点的集合是线段 BC 的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到 A、B、C 三点 的距离相等，就是所作圆的圆心． 因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？ 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4C)作法图示1．连结 AB、BC2．分别作 AB、BC 的垂直 平分线 DE 和 FG，DE 和 FG 相交于点 O3．以 O 为圆心，OA 为半径作 圆 ⊙O 就是所要求作的圆他作的圆符合要求吗？与同伴交流． [生]符合要求． 因为连结 AB，作 AB 的垂直平分线 ED，那么 ED 上任意一点到 A、B 的距离相等； 连结 BC，作 BC 的垂直平分线 FG，那么 FG 上的任一点到 B、C 的距离相等．ED 与 FG 的满足条件． [师]由上可知，过一点可作无数个圆．过两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的 三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 (circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． Ⅲ．课堂练习 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有 怎样的特点？ 解：如以以下图． O 为外接圆的圆心，即外心． 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心 在三角形的外部．Ⅳ．课时小结 本节课所学内容如下： 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程． 方法． 3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念． Ⅴ．课后作业 习题 3．6 Ⅵ．活动与探究 如以以下图，CD 所在的直线垂直平分线段 AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的 圆心？ 解：因为 A、B 两点在圆上，所以圆心必与 A、B 两点的距离相等，又因为和一条线段 的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在 CD 所在的直线上．因此 使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．。

一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1、 知道一元二次方程的根与系数的关系。

2、 能运用一元二次方程的根与系数的关系进行已知一根求另一根的简便运算。

学习重点、难点：重点：一元二次方程的根与系数关系的推导和它的运用。

难点：灵活运用一元二次方程的根与系数的关系。

学习流程： 一、旧知回顾：（独立完成，组长检查指导） 1、 写出一元二次方程的一般式和求根公式。

2、 已知232+=x ，232-=y 求22y xy x ++的值。

二、合作交流：（独学、互学，交流归纳）1、 仔细观察一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 的两个实数根a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=它们有什么相同点和不同点。

试求222121x x x x ++的值。

归纳：一元二次方程的根21,x x 与系数c b a ,,之间有什么关系呢？=+21x x ， =⋅21x x2、若方程4522=-x x 的两个根是x 1和x 2，则=+21x x ， =⋅21x x 。

3、已知方程0652=-+kx x 的一个根是2，求它的另一个根和k 的值。

三、课堂检测：1、若方程x x 4322=-的两个根是x 1和x 2，则=+21x x ， =⋅21x x 。

2、已知方程0322=-+kx x 的一个根x 1=3，求它的另一个根x 2和k 的值。

3、关于x 的方程01622=+-+m x x 的两个根互为倒数，则m= 。

四、课堂整理1、 熟记一元二次方程的根与系数的关系，你记住了吗？请写下来：2、这节课你学了什么？会了什么？还有不会的吗？五、拓展延伸（挑战自我）1、当k 取何值时，013)13(2322=-++-k x k x（1）有一根为零？（2）有两个互为相反数的根？（3）两根互为倒数？2、已知关于x 的方程0)1(2=-+-a a x x 有两不等的正数根，求a 的取值范围。

《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标:1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系,培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。

2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。

3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值,并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。

教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。

教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。

数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

一、自学互研 探索发现(每小题10分，共30分)(自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视,随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。

学生独立完成导学案,观察、对比、发现问题，逐步由易到难,探索出一元二次方程的根与系数的关系;小组长检查小组成员完成情况;分小组汇报自学成果。

【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。

通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。

培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。

【学案内容】:1、方程:X 2+3X –4=0（1)二次项系数是_____ ,一次项系数是______，常数项是______.（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ .(3）则X 1+X 2=_______， 方程中（）二次项系数一次项系数=- (4） X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1)二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。

一元二次方程根与系数的关系【教学目标】1、知识与技能：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步运用。

2、过程与方法：探索一元二次方程的根与系数的关系。

3、情感态度与价值观：通过观察、归纳提出数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性。

【教学重难点】1、重点：根与系数的关系及其推导。

2、难点：根与系数的关系的拓展运用。

【教学过程】一、情景导入1、如何用判别式b2–4ac来判断一元二次方程根的情况？2、一元二次方程的求根公式是什么？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系1、请完成下列表格2、观察表格中的结果，你有什么发现？3、如何证明你的猜想？归纳总结：当Δ≥0时，一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比，即，。

三、典例精析例1、利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.(1) x2–6x–15 = 0；(2) 3x2+7x–9 = 0；(3) 5x–1= 4x2.例2、关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，求另一个根与m的值。

例3、已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b=________，c=________．四、拓展延伸1、关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为多少？2、设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．3、已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.4、关于x的方程x2−2√3x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1x2+x2x1=________．五、当堂检测1、已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．2、已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．。