山东省临沂市2014-2015学年高二上学期期期末考试数学(理)试题 Word版

高二教学质量抽测试题物理2015.2说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分100分，考试时间100分钟.注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案代号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3. 第II卷答案写在答题卡上，考试结束后将答题卡交回第I卷（选择题40分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分）1. 下列说法正确的是A．楞次通过实验发现了电磁感应现象B．奥斯特通过实验发现了电流的热效应C．卡文迪许通过扭秤实验测出了静电力常量D．法拉第最先提出了“场”的概念，并创造性地用“力线”形像地描述“场”的物理情景2．关于通电直导线在匀强磁场中所受的安培力，下列说法正确的是A．安培力的方向可以不垂直于直导线B．安培力的方向总是垂直于磁场方向和电流方向所决定的平面C．安培力的大小与通电直导线和磁场方向的夹角有关倍D．将直导线从中点折成直角，安培力的大小一定变为原来的23.如图所示一个矩形线圈abcd放在垂直纸面向里的匀强磁场中，在进行下列操作时，整个线圈始终处于磁场之内，线圈中能产生感应电流的是A．线圈沿纸面向右移动B．线圈沿纸面向下移动C．线圈垂直纸面向外移动D．线圈以ab边为轴转动4.在如图所示的电路中，闭合电键后小灯泡正常发光，当滑动变阻器R3的滑动触头P向上滑动时A．电压表示数变大B．电流表示数变大C．小灯泡亮度变暗D．电源总功率变大5.如图所示，通电导线MN与单匝矩形线圈abcd共面，位置靠近ad且相互绝缘．当MN中电流突然增大时，下列说法正确的是A．线圈所受安培力的合力方向向左B．线圈所受安培力的合力方向向右C．线圈中感应电流的方向是abcdaD．线圈中感应电流的方向是adcba6．如图所示，虚线AB和CD分别为椭圆的长轴和短轴，相交于O点，两个等量异种点电荷分别处于椭圆的两个焦点M、N上，B，E两点关于N点对称。

山东省临沂市重点中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学（理）试题 2014.12一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.双曲线()2210x y a a-=>a 的值是 （ ）A. 12B. 2C.23．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BC ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉B4. 过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（） A. 10 B. 8 C. 6 D. 45.以下有关命题的说法错误的是A. 命题“若0232=+-x x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”.B. “1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.C. 若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.D. 对于命题0:p x R∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则210x x ++≥.6.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A.54 B.53 C.52 D.517．抛物线2ax y =的准线方程是1=y ，则a 的值为（） A ．4 B ．4- C ．41-D ．41 8.已知双曲线22212(y x e y -==的离心率为，且抛物线的焦点坐标为,则p 的值为（）A ．－2 B ．－4C ．2D ．49.已知命题p ：∃01,200≤+∈mx R x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．(0,2)10.已知直线上一抛物线和直线x y x l y x l 4,1:0634:221=-==+- 21l l p 和直线到直线动点的距离之和的最小值是（） A.2B.3C.23D.25二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.若命题“04,2≤++∈∃c cx x R x ”为假命题，则实数c 的取值范围是.12. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为13.双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为 .14. 已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程.15.给出如下四个命题：①方程01222=+-+x y x 表示的图形是圆；②椭圆12322=+y x 的离心率35=e ；③抛物线22y x =的准线方程是81-=x ；④双曲线1254922-=-x y 的渐近线方程是x y 75±=.其中所有假命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知0a >，设命题p 函数xy a =在R 上单调递增；命题q 不等式210axax -+>对x R ∀∈恒成立，若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围.17.设P 是椭圆x 225＋y 2754＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．18.设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)．(1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且⌝ p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19.设双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的半焦距为c ，直线l 过点)0),(b o a ，和（，已知原点到l 的距离为c 43，求双曲线的离心率.20.（本小题满分13分）已知抛物线y 2＝2x ，(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A |；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．21.（本小题满分14分）已知椭圆C )0(,12222>>=+b a by a x 的离心率为21，以原点O 为圆心，相切（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程L ：m kx y +=与椭圆C 相交于A 、B 两点，且高二数学理科参考答案 2014.12一选择题：1.A2.A 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A 二、填空题：11.410<<c 12.4 13. 21 14.x y 122=15.①②④ 16.若p 真，则1>a ；若p 假，则10≤<a ；若q 真，则40<<a ；若q 假，则4≥a .∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴当p 真q 假时，4≥a ；当p 假q 真时，10≤<a .综上，p 且q 为假，p 或q 为真时，a 的取值范围是),4[]1,0(+∞ 17. 由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.① 由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|， 即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② ②－①，得3|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝25，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2534. 18. (1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0，解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件， 则⌝q ⇒⌝p ，由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2}由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜3－2＜2a，⇒01-<<a法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }，由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，可得⌝q ⇒⌝p ，也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒01-<<a19.332（新学案132页例题2）20.【自主解答】 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13.∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，∴当x ＝0时，|P A |min ＝23，距点A 最近的点的坐标为(0,0)．(2)法一 设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点， 则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32＝|(y 0－1)2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.法二 设与直线x －y ＋3＝0平行的抛物线的切线为x －y ＋t ＝0，与y 2＝2x 联立，消去x 得y 2－2y ＋2t ＝0，由Δ＝0得t ＝12，此时y ＝1，x ＝12，∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，两平行线间的距离就是点P 到直线的最小距离， 即d min＝524.21.解：（Ⅰ）由题意得，b ==，12c a =，又222a b c +=，的距离。

高二教学质量抽测试题文科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、命题“200,10x R x ∃∈+<”的否定是（ ）A ．2,10x R x ∀∈+<B ．2,10x R x ∃∈+≥C ．200,10x R x ∃∈+≤D ．200,10x R x ∃∈+≥2、抛物线26x y =的准线方程为（ ）A ．32x =-B ．3x =-C ．32y =- D ．3y =- 3、等差数列8,5,2,的第8项是（ ） A ．-13 B ．-16 C ．-19 D ．-224、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）A ．22a b <B ．23a b a >C ．b a a b< D ．a b a b a b >-- 5、下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =” 的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题C ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D ．若关于x 的不等式220ax ax +-<恒成立，则80a -<<6、若()2sin cos xf x x x =+-的导数为()f x '，则()0f '等于（ ） A ．2 B ．ln 21+ C ．ln 21- D ．ln 22+7、“1t =”是“双曲线2213x y t -=的离心率为2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8、等比数列{}n a 的各项均为正数，且4568a a a =，则212229l o gl o g l o g a a a +++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3 9、函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）10、已知函数()33(0)f x x x x =+≥，对于曲线()y f x =上横坐标成公差为1的等差数列的三个点,,A B C ，给出以下判断：①ABC ∆一定是钝角三角形；②ABC ∆可能是直角三角形；③ABC ∆可能为锐角三角形；④ABC ∆不可能是等腰三角形，其中所有正确的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

2015临沂高二期末理word 解析1.【答案】B 【解析】3(3)(1i)z 1(1)(1i)i i i i ++-==++-4222i i -==-， 则共轭复数2z i =+，故选：B2.【答案】C【解析】抛掷8枚硬币，属于8次独立重复试验，1(8,)2X B , 则118=222DX =⨯⨯，故选：C 3.【答案】D【解析】恰有一个偶数的否定是有0个偶数或2个偶数或3个都是偶数，几至少有两个偶数或都是奇数，故选：D4.【答案】B【解析】∵对称轴为=110ξ，∴由对称性得(110120)0.35P ξ≤≤=,即1(120)[1(100110)(110120)]2P P P ξξξ≥=-≤≤-≤≤1(10.350.35)0.152=⨯--=, 则对应的人数为0.15×60=9人，故选：B5.【答案】A【解析】函数21()cosx 4f x x =+的导数为f ′(x)=1sin 2x x -， 设g(x)= f ′(x)=1sin 2x x -，则函数g(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除B,D. 1()sin 1022224g ππππ=⨯-=-<,排除C,故选：A. 6.【答案】A【解析】原式=161616(1)(12i)(1i)a -=--=--162888(1i)[(1i)](2i)2=+=+==，故选：A7.【答案】C 【解析】2(2015105)50508.33252530206k ⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯, ∵2(k 7.879)0.005P >=，8.33>7.849,∴有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关,故选：C8.【答案】C【解析】将甲乙看出一个元素，和除丙丁之外飞机，构成两个元素，则有3个空，丙丁插入三个空中，则有22232224A A A =种，故选：C9.【答案】B【解析】在第一次抽到理科试题的条件下，还有2道理科试题和2道文科试题， 若抽取一次抽到理科试题的概率P=2142=,故选：B 10.【答案】D 【解析】构造函数()(x)f x g x =，则当0x >时，2'()()'(x)0xf x f x g x -=<， 即此时函数单调递减，在0.222(2),b g(0.2),c g(log 5)a g ===，∵0.222122,00.21,log 52<<<<>，∴c a b <<，故选：D11.【答案】210x y -+=【解析】函数的f(x)的导数f ′(x)=22e x ,则在（0,1）处的切线斜率k=0'(0)2e 2f ==, 则对应的切线方程为12(x 0)y -=-，即210x y -+=.12.【答案】①③【解析】对于可导函数f(x)，若0'()f x =0，则0x x =不一定是极值点，如3()f x x =， 2'()3f x x =，'(0)0f =，但函数f(x)单调递增无极值，故①大前提错误,②小前提正确，结论正确，推理形式是三段论的形式，正确，故正确的序号为①③.13.【答案】2 【解析】22111(2)(ln )|ln 1aa x dx x x a a x+=+=+-⎰3ln 2=+, 则20213a a a ⎧>⎪=⎨⎪-=⎩，解得2a =.14.【答案】916【解析】将4个乒乓球放入四个盒子有44种方法，恰有一个空盒子有2344C A 种方法， 则恰有一个是空盒子的概率234449416C A P ==. 15.【答案】6【解析】由f(0)=c=0得c=0，函数的f(x)的导数f ′(x)=232ax bx c ++，∵1,2x x ==函数取得极值，临沂市2014-2015学年高二下学期期末数学(理科)和word 解析11 / 11 ∴1,2x x ==是'()0f x =的两个根，则2123123b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，即926b a c a⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.322()()f x ax bx cx x ax bx c =++=++,则12,x x 是20ax bx c ++=的两个根，则126c x x a ==.。

2014-2015年高二上学期期末考试理科数学一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.设集合M={x|0≤x≤2}，集合N={x|x2−x−2<0}，则M∩N=( )A. {x|0<x<2}B. {x|0≤x<2}C. {x|0≤x≤2}D. {x0<x≤2}2.命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是( )A. ∃x0∉∁R Q，x03∈QB. ∃x0∈∁R Q，x03∉QC. ∃x0∉∁R Q，x03∈QD. ∃x0∈∁R Q，x03∉Q3.“x<0”是“log2(x+1)<0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也必要条件4.若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A. ac >bdB. ac<bdC. ad>bcD. ad<bc5.在等比数列{a n}中，T n表示前n项的积，若T7=1，则( )A. a2=1B. a3=1C. a4=1D. a5=16.若平面α//β，则下面可以是这两个平面法向量的是( )A. n1=(1，2，3)，n2=(−3，2，1)B. n1=(1，2，3)，n2=(−2，2，1)C. n1=(1，1，1)，n2=(−2，2，1)D. n1=(1，1，1)，n2=(−2，−2，−2)7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2=(a−b)2+6，C=2π3，则△ABC的面积是( )A. 32B. 3 C. 332D. 238.下列结论错误的是( )A. 若ab>0，则ba +ab≥2B. 函数y=cos x+1cos x (0<x<π2)的最小值为2C. 函数y=2x+2−x的最小值为2D. 若x∈(0，1)，则函数y=ln x+1ln x≤−29.已知数列{a n}的通项公式a n=20(n+1)−1，S n是数列{a n}的前n项和，则与S98最接近的整数是( )A. 13B. 14C. 15D. 1610.已知F1，F2是双曲线y2a2−x2b2=1(a>0，b>0)的上、下焦点，点F2关于渐近线对称点恰好落在以点F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 3D. 2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知a=(2，−1，3)，b=(−1，4，−2)，c=(7，7，λ)，若a，b，c共面，则实数λ=______ ．12.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A(x1，x2)，B(x2，y2)两点，则y12+y22的最小值为______ ．13.已知命题p：函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在区间(−∞，4]上是减函数，若“非p”是假命题，则a的取值范围是______ ．14.已知x，y满足x≥2x+y≤4−2x+y+c≥0，且目标函数z=3x+y的最小值是5，则z的最大值为______ ．15.如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠AMN=60∘，C点的仰角∠CAB=45∘以及∠MAC=75∘；从C点测得∠MCA=60∘，已知山高BC=1000m，则山高MN=______ m．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=4，c=22，cos(B+C)=24(1)求sin C的值；(2)求b的值．17.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A点在抛物线上，且A的横坐标为4，|AF|=5．(1)求抛物线的方程；(2)设l为过(4，0)点的任意一条直线，若l交抛物线于A，B两点，求证：以AB为直径的圆必过坐标原点．18.已知数列{a n}满足：a1=1，2a n+1=2a n+1，n∈N+，数列{b n}的前n项和为S n，S n=12(1−13)，n∈N+(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n=a n b n，n∈N+，求数列{c n}的前n项和T n．19.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作a n万元，已知{a n}为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；(总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．20.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠BAD= 120∘，E，F分别为BC，PC的中点．(1)证明：AE⊥PD(2)若PA=AB=4，求二面角E−AF−C的余弦值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y=kx+m(|k|≤33)与椭圆C相较于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作▱OAPB，其中定点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．答案和解析【答案】1. B2. D3. B4. D5. C6. D7. A8. B9. C10. A11. 912. 813. a≤−314. 1015. 500316. 解：(1)cos(B+C)=24，即有cos A=−24，sin A=24)=144，由正弦定理可得sin C=c sin Aa =22×1444=74；(2)由a=4，c=22，cos A=−24，则运用余弦定理可得，a2=b2+c2−2bc cos A，即为16=b2+8−2×22b×(−24)，即有b2+2b−8=0，解得b=2(−4舍去)．17. (1)解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2，0)，准线为x=−p2，由抛物线的定义可得，|AF|=4+P2=5，解得p=2，即有抛物线的方程为y2=4x；(2)证明：设直线l：x=my+4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程y2=4x，可得y2−4my−16=0，判别式为16m2+64>0恒成立，y1+y2=4m，y1y2=−16，x1x2=y124⋅y224=16，即有x1x2+y1y2=0，则OA⊥OB，则以AB为直径的圆必过坐标原点．18. 解：(1)∵2a n+1=2a n+1，∴a n+1−a n=12，∴数列{a n}是等差数列，首项a1=1，公差d=12．∴a n=1+12(n−1)=n+12．∵S n=12(1−13n)，∴当n≥2时，S n−1=12(1−13n−1)，b n=S n−S n−1=12(1−13n)−12(1−13n−1)=13n．当n=1时，b1=S1=12(1−13)=13，上式也成立．∴b n=(13)n．综上可得：a n=n+12，b n=(13)n．(2)c n=a n b n=n+12×(13)n．∴数列{c n}的前n项和T n=12[2×13+3×(13)2+⋯+(n+1)×(13)n]，1 3T n=12[2×(13)2+3×(13)3+⋯+n×(13)n+(n+1)×(13)n+1]，∴2T n=1[2×1+(1)2+(1)3+⋯+(1)n−(n+1)×(1)n+1]=1[1+13(1−13n)1−13−(n+1)×(1)n+1]=16+14−2n+54×3，∴T n=58−2n+54×3．19. 解：(1)由题意，每年的维修费是以6为首项，2为公差的等差数列，∴a n=a1+2(n−1)=2n+4，∴y=25n−n[6+(2n+4)]2−36=−n2+20n−36=−(n−10)2+64∴n=10时，y的最大值为64万元；(2)年平均盈利yn =−(n+36n)+20≤−2 n×36n+20=8，当且仅当n=36n，即n=6时，年平均收益最大．所以这种设备使用6年，该公司的年平均获利最大．20. (1)证明：如图，由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120∘，可得∠ABC=60∘，△ABC为正三角形．∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．又BC//AD，因此AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，PA⊥AE．而PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，PD⊂面PAD，∵AE⊥PD；(2)解：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．过E作EO⊥AC于O，则由面面垂直的性质定理可知：EO⊥平面PAC，∴EO⊥AF，过E作ES⊥AF于S，连接OS，AF⊥平面ESO，∴AF⊥SO，则∠ESO为二面角E−AF−C的平面角．在Rt△AOE中，OE=AE sin30∘=3，OA=AE cos30∘=3，又F是PC的中点，PA=AC，∴AF⊥PC且AF=FC，在Rt△ASO中，SO=AO sin45∘=322，又SE=2+SO2=152．在Rt△ESO中，cos ESO=OSSE =155．即二面角E−AF−C的余弦值为155．21. 解：(1)由题意可得2c=4a=3ba2=b2+c2，解得c=2，b2=2，a2=6.∴椭圆C的方程为x26+y22=1．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0).∵四边形OAPB是平行四边形，∴OP=OA+OB，∴x0=x1+x2，y0=y1+y2．联立y=kx+mx26+y22=1，化为(1+3k2)x2+6kmx+3m2−6=0，∴x1+x2=−6km1+3k2，x1x2=3m2−61+3k2，∴y0=k(x1+x2)+2m=2m1+3k ，x0=−6km1+3k，把P(x0，y0)代入椭圆方程可得：(−6km1+3k )2+3(2m1+3k)2=6，化为m2=1+3k22．|OP|2=x02+y02=(−6km1+3k )2+(2m1+3k)2=(36k2+4)m2(1+3k)=18k2+21+3k=6−41+3k，∵|k|≤33，∴0≤k2≤13，∴2≤|OP|2≤4，∴2≤|OP|≤2．。

山东省临沂市四校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）若 a＞b，则下列不等式正确的是（）A．a2＞b2B．ab＞ac C．a﹣c＞b﹣c D．ac2＞bc22．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B 等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°3．（5分）以下说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥04．（5分）已知{a n）是等比数列，a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=144，则a3+a5等于（）A．6 B．12 C．18 D．245．（5分）在数列{a n}中，若a1=1，a n﹣a n﹣1=n，（n≥2），则该数列的通项a n=（）A．B．C．D．﹣16．（5分）函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上（）A．有最大值﹣1，无最小值B．无最大值，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．无最大值，有最小值77．（5分）已知p：∀x∈，x2﹣a≥0，q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤1B．a≤﹣2或1≤a≤2C．a≥﹣1 D．a=1或a≤﹣2 8．（5分）在数列{x n}中，=+（n≥2），且x2=，x4=，则x10等于（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，已知∠A=60°，b=1，面积S=，则等于（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若边a，b，c成等差数列，则∠B的范围是（）A．0＜B≤B．0＜B≤C．0＜B≤D．＜B＜π二、填空题：本大题共5个小题.每小题5分；共25分．11．（5分）若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则实数a的取值范围是．12．（5分）等差数列{a n}前项和S n满足S20=S40，则S60=．13．（5分）已知函数f（α）=4sin（2α﹣）+2，在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，则a的值为．14．（5分）已知﹣4≤x+y≤6且2≤x﹣y≤4，则2x+3y的取值范围是（用区间表示）．15．（5分）已知x，y为正实数，且满足2x2+8y2+xy=2，则x+2y的最大值是．三、解答题：本大题共6个小题.共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知锐角△S n+a n=2n中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，C=60°，△ABC的面积等于，求边长b和c．17．（12分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．18．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，前n项和为S n．等比数列{b n}中，b1=1，且b2S2=6，b2+S3=8．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．19．（12分）设z=2x+y，变量x，y满足条件（1）求z的最大值z max与最小值z min；（2）已知a＞0，b＞0，2a+b=z max，求ab的最大值及此时a，b的值；（3）已知a＞0，b＞0，2a+b=z min，求的最小值及此时a，b的值．20．（13分）已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z n．若数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点（S n，a n）在直线z n=x+y上．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．21．（14分）小王在年初用50万元购买一辆大货车．车辆运营，第一年需支出各种费用6万元，从第二年起，以后每年的费用都比上一年的费用增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第n年的年底出售，其销售价格为25﹣n万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）山东省临沂市四校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）若 a＞b，则下列不等式正确的是（）A．a2＞b2B．ab＞ac C．a﹣c＞b﹣c D．ac2＞bc2考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知中a＞b，结合不等式的基本性质，分析四个答案的真假，即可得到正确答案．解答：解：∵当0＞a＞b时，a2＜b2，故A错误，a＞b与ab＞ac没有必然的逻辑关系，故B错误；由不等式的基本性质一，不等式两边同减一个数，不等号方向不发生改变，可得C正确；当c=0时，ac2=bc2，故D错误；故选：C点评：本题考查不等关系与不等式，掌握不等式的基本性质是解决这一类问题的关键，属于基础题．2．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B 等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：直接利用正弦定理求解，利用特殊角的三角函数求解．解答：解：在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=4，b=4，∠A=30°利用正弦定理：解得：sinB=则：B=6°或120°故选D点评：本题考查的知识要点：正弦定理的应用，特殊角的三角函数值．3．（5分）以下说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：写出原命题的逆否命题，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；根据复合命题真假判断的真值表，可判断C；根据特称命题的否定方法，可判断D．解答：解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；“x=1”时，“x2﹣3x+2=0”成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分条件；“x2﹣3x+2=0”时，“x=1或x=2”，即“x=1”不一定成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的不必要条件，故B正确；若p∧q为假命题，则p，q存在至少一个假命题，不一定全为假命题，故C错误；命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0，故D正确；故选：C点评：本题考查的知识点是四种命题，充要条件，复合命题，特称命题，是简单逻辑的综合考查，难度不大，属于基础题．4．（5分）已知{a n）是等比数列，a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=144，则a3+a5等于（）A．6 B．12 C．18 D．24考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质，我们可将已知中a2a4+2a3a5+a4a6=144化为a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=144，结合an＞0，即可得到答案．解答：解：∵等比数列{a n}中，a n＞0，又∵a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=144，∴a3+a5=12，故选：B．点评：本题考查的知识点是等比数列的性质，其中根据等比数列的性质将已知中a2a4+2a3a5+a4a6=36化为a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2是解答本题的关键．5．（5分）在数列{a n}中，若a1=1，a n﹣a n﹣1=n，（n≥2），则该数列的通项a n=（）A．B．C．D．﹣1考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接根据已知递推式利用累加法求数列的通项公式．解答：解：∵a1=1，a n﹣a n﹣1=n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+1=（n≥2）．验证n=1时成立．∴．故选：A．点评：本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．6．（5分）函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上（）A．有最大值﹣1，无最小值B．无最大值，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．无最大值，有最小值7考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x∈（﹣∞，0），可得﹣x∈（0，+∞）．变形f（x）=x++3=+3，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x∈（﹣∞，0），∴﹣x∈（0，+∞）．∴f（x）=x++3=+3+3=﹣1，当且仅当x=﹣2时取等号．∴函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上有最大值﹣1，无最小值．故选：A．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．7．（5分）已知p：∀x∈，x2﹣a≥0，q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤1B．a≤﹣2或1≤a≤2C．a≥﹣1 D．a=1或a≤﹣2考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先根据二次函数的最小值，以及一元二次方程的解的情况和判别式△的关系求出p，q下的a的取值范围，然后根据p∧q为真命题知p，q都是真命题，所以求p，q下a的取值范围的交集即可．解答：解：p：∀x∈，x2﹣a≥0，即：a≤x2在x∈上恒成立；x2在上的最小值为1；∴a≤1；q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，则：方程有解；∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；若“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题；∴；∴a≤﹣2，或a=1；故选D．点评：考查对“∀”和“∃”两个符号的理解，二次函数最值，以及一元二次方程的解的情况和判别式△的关系，p∧q真假和p，q真假的关系．8．（5分）在数列{x n}中，=+（n≥2），且x2=，x4=，则x10等于（）A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差中项的定义可知，数列{}是等差数列，求出公差d，可得=+8d=，即可求出x10．解答：解：∵在数列x n中，=+（n≥2），且x2=，x4=，根据等差中项的定义可知，数列{}是等差数列，∴当n=3时，可得x3=，所以公差d==，所以=+8d=，所以x10=．故选C．点评：本题考查数列的递推式，解题时要注意总结规律，确定数列{}是等差数列是关键．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，已知∠A=60°，b=1，面积S=，则等于（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：首先利用三角形的面积公式求出c的长度，进一步利用余弦定理求出a的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果．解答：解：已知∠A=60°，b=1，面积S=，，解得：c=4，利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得：a=，利用正弦定理：==，利用等比性质：=，故选：A．点评：本题考查的知识点：三角形的面积公式，余弦定理和正弦定理的应用，等比性质的应用．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若边a，b，c成等差数列，则∠B的范围是（）A．0＜B≤B．0＜B≤C．0＜B≤D．＜B＜π考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，利用余弦定理表示出cosB，把表示出的b代入并利用基本不等式求出cosB的范围，即可确定出B的范围．解答：解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，即b=，由余弦定理得：cosB===≥=（当且仅当a=c时取等号），∵B为三角形内角，∴B的范围为0＜B≤，故选：B．点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及余弦函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．二、填空题：本大题共5个小题.每小题5分；共25分．11．（5分）若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则实数a的取值范围是a＞3或a＜﹣1．考点：特称命题．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则函数y=x2+（a﹣1）x+1的最小值小于0，即方程x2+（a﹣1）x+1=0的△=（a﹣1）2﹣4＞0，解得答案．解答：解：若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则函数y=x2+（a﹣1）x+1的最小值小于0，即方程x2+（a﹣1）x+1=0的△=（a﹣1）2﹣4＞0，解得：a＞3或a＜﹣1，故答案为：a＞3或a＜﹣1点评：本题考查的知识点是存在性问题，将恒成立问题或存在性问题，转化为函数的最佳问题，是解答的关键．12．（5分）等差数列{a n}前项和S n满足S20=S40，则S60=0．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列{a n}的前n项和S n满足的性质S20，S40﹣S20，S60﹣S40成等差数列，即可得到答案．解答：解：∵等差数列{a n}，∴S20，S40﹣S20，S60﹣S40成等差数列，∴2（S40﹣S20）=S20+（S60﹣S40）∵S20=S40，∴∴0=S20+（S60﹣S40）∴S60=S40﹣S20=0故答案为：0点评：本题考查等差数列的前n项和的性质，属于基础题．13．（5分）已知函数f（α）=4sin（2α﹣）+2，在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，则a的值为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由f（A）=6，根据已知解析式求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积及sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，把bc与b+c，以及cosA的值代入即可求出a的值．解答：解：由题意得：f（A）=4sin（2A﹣）+2=6，即sin（2A﹣）=，∴2A﹣=或2A﹣=（不合题意，舍去），即A=，∵△ABC的面积为3，∴bcsinA=3，即bc=6，∵b+c=2+3，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣（2+）bc=10，则a=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．（5分）已知﹣4≤x+y≤6且2≤x﹣y≤4，则2x+3y的取值范围是（用区间表示）．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围．解答：解：画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=2x+3y，当直线经过x﹣y=2与x+y=6交点A（4，2）时，目标函数有最大值z=2×4+3×2=14当直线经过x﹣y=2，x+y=﹣4的交点B（0，﹣4）时，目标函数有最小值﹣3×4=﹣12z=2x+3y的取值范围是：故答案为：．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．15．（5分）已知x，y为正实数，且满足2x2+8y2+xy=2，则x+2y的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：令x+2y=t，则x=t﹣2y，问题等价于方程14y2﹣7ty+2t2﹣2=0有正数解，利用△≥0即可得出．解答：解：令x+2y=t，则x=t﹣2y，方程等价为2（t﹣2y）2+（t﹣2y）y+8y2=2，即14y2﹣7ty+2t2﹣2=0，要使14y2﹣7ty+2t2﹣2=0有解，则△=（﹣7t）2﹣4×14×（2t2﹣2）≥0，，．即63t2≤56×2，t＞1．∴t2≤，t＞1即1＜t≤，当t=时，y=，x=满足条件．∴x+2y的最大值等于．故答案为：．点评：本题考查了通过代换转化为一元二次方程有实数根的情况，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共6个小题.共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知锐角△S n+a n=2n中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，C=60°，△ABC的面积等于，求边长b和c．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，把sinC与a的值代入求出b的值，再利用余弦定理即可求出c的值．解答：解：∵C=60°，∴sinC=，又S=absinC=，a=3，∴b=2，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣6=7，则b=2，c=．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．（12分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＜0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），故命题p成立有x∈（3a，a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈，由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故命题q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪分析：（I）根据线性规划原理，可得z的最大值z n=2n，从而得到S n=2n﹣a n．运用数列前n项和S n与a n的关系，算出2a n=a n﹣1+2，由此代入数列{a n﹣2}再化简整理，即可得到{a n﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；（II）由（I）结合等比数列通项公式，得出a n=2﹣（）n﹣1，从而得到S n=2n﹣2+（）n﹣1，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可算出{S n}的前n项和T n的表达式．解答：解：（Ⅰ）∵目标函数对应直线l：z=x+y，区域，（n∈N*）表示以x轴、y轴和直线x+2y=2n为三边的三角形，∴当x=2n，y=0时，z的最大值z n=2n∵（S n，a n）在直线z n=x+y上∴z n=S n+a n，可得S n=2n﹣a n，当n≥2时，可得a n=S n﹣S n﹣1=（2n﹣a n）﹣化简整理，得2a n=a n﹣1+2因此，a n﹣2=（a n﹣1+2）﹣2=（a n﹣1﹣2）当n=1时，a n﹣2=a1﹣2=﹣1∴数列{a n﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；（Ⅱ）由（I）得a n﹣2=﹣（）n﹣1，∴a n=2﹣（）n﹣1，可得S n=2n﹣a n=2n﹣2+（）n﹣1，∴根据等差数列和等比数列的求和公式，得即数列{S n}的前n项和T n=，（n∈N*）．点评：本题给出数列和线性规划相综合的问题，求数列的通项和前n项和，着重考查了等差数列、等比数列的通项公式，数列的求和与简单线性规划等知识，属于中档题．21．（14分）小王在年初用50万元购买一辆大货车．车辆运营，第一年需支出各种费用6万元，从第二年起，以后每年的费用都比上一年的费用增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第n年的年底出售，其销售价格为25﹣n万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：（1）由n总收入减去总支出得到大货车到第n年年底的运输累计收入与总支出的差，然后求解一元二次不等式得答案；（2）由利润=累计收入+销售收入﹣总支出得到第n年年底将大货车出售时小王获得的年利润，然后利用基本不等式求最值．解答：解：（1）设大货车到第n年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则（0＜n≤10，n∈N），即y=﹣n2+20n﹣50（0＜n≤10，n∈N），由﹣n2+20n﹣50＞0，解得，而2＜10﹣＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴销售二手货车后，小王的年平均利润为w==19﹣（n+）．而=9．当且仅当n=5时取等号．即小王应在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．点评：本题考查了函数模型的选择及运用，考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用基本不等式求最值，关键是对题意的理解，是中档题．。

山东省临沂市四校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）若 a＞b，则下列不等式正确的是（）A．a2＞b2B．ab＞ac C．a﹣c＞b﹣c D．ac2＞bc22．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B 等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°3．（5分）以下说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥04．（5分）已知{a n）是等比数列，a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=144，则a3+a5等于（）A．6 B．12 C．18 D．245．（5分）在数列{a n}中，若a1=1，a n﹣a n﹣1=n，（n≥2），则该数列的通项a n=（）A．B．C．D．﹣16．（5分）函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上（）A．有最大值﹣1，无最小值B．无最大值，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．无最大值，有最小值77．（5分）已知p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤1B．a≤﹣2或1≤a≤2C．a≥﹣1 D．a=1或a≤﹣2 8．（5分）在数列{x n}中，=+（n≥2），且x2=，x4=，则x10等于（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，已知∠A=60°，b=1，面积S=，则等于（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若边a，b，c成等差数列，则∠B的范围是（）A．0＜B≤B．0＜B≤C．0＜B≤D．＜B＜π二、填空题：本大题共5个小题.每小题5分；共25分．11．（5分）若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则实数a的取值范围是．12．（5分）等差数列{a n}前项和S n满足S20=S40，则S60=．13．（5分）已知函数f（α）=4sin（2α﹣）+2，在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，则a的值为．14．（5分）已知﹣4≤x+y≤6且2≤x﹣y≤4，则2x+3y的取值范围是（用区间表示）．15．（5分）已知x，y为正实数，且满足2x2+8y2+xy=2，则x+2y的最大值是．三、解答题：本大题共6个小题.共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知锐角△S n+a n=2n中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，C=60°，△ABC的面积等于，求边长b和c．17．（12分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．18．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，前n项和为S n．等比数列{b n}中，b1=1，且b2S2=6，b2+S3=8．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．19．（12分）设z=2x+y，变量x，y满足条件（1）求z的最大值z max与最小值z min；（2）已知a＞0，b＞0，2a+b=z max，求ab的最大值及此时a，b的值；（3）已知a＞0，b＞0，2a+b=z min，求的最小值及此时a，b的值．20．（13分）已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z n．若数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点（S n，a n）在直线z n=x+y上．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．21．（14分）小王在年初用50万元购买一辆大货车．车辆运营，第一年需支出各种费用6万元，从第二年起，以后每年的费用都比上一年的费用增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第n年的年底出售，其销售价格为25﹣n万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）山东省临沂市四校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）若 a＞b，则下列不等式正确的是（）A．a2＞b2B．ab＞ac C．a﹣c＞b﹣c D．ac2＞bc2考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知中a＞b，结合不等式的基本性质，分析四个答案的真假，即可得到正确答案．解答：解：∵当0＞a＞b时，a2＜b2，故A错误，a＞b与ab＞ac没有必然的逻辑关系，故B错误；由不等式的基本性质一，不等式两边同减一个数，不等号方向不发生改变，可得C正确；当c=0时，ac2=bc2，故D错误；故选：C点评：本题考查不等关系与不等式，掌握不等式的基本性质是解决这一类问题的关键，属于基础题．2．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B 等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：直接利用正弦定理求解，利用特殊角的三角函数求解．解答：解：在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=4，b=4，∠A=30°利用正弦定理：解得：sinB=则：B=6°或120°故选D点评：本题考查的知识要点：正弦定理的应用，特殊角的三角函数值．3．（5分）以下说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：写出原命题的逆否命题，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；根据复合命题真假判断的真值表，可判断C；根据特称命题的否定方法，可判断D．解答：解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；“x=1”时，“x2﹣3x+2=0”成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分条件；“x2﹣3x+2=0”时，“x=1或x=2”，即“x=1”不一定成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的不必要条件，故B正确；若p∧q为假命题，则p，q存在至少一个假命题，不一定全为假命题，故C错误；命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0，故D正确；故选：C点评：本题考查的知识点是四种命题，充要条件，复合命题，特称命题，是简单逻辑的综合考查，难度不大，属于基础题．4．（5分）已知{a n）是等比数列，a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=144，则a3+a5等于（）A．6 B．12 C．18 D．24考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质，我们可将已知中a2a4+2a3a5+a4a6=144化为a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=144，结合an＞0，即可得到答案．解答：解：∵等比数列{a n}中，a n＞0，又∵a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=144，∴a3+a5=12，故选：B．点评：本题考查的知识点是等比数列的性质，其中根据等比数列的性质将已知中a2a4+2a3a5+a4a6=36化为a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2是解答本题的关键．5．（5分）在数列{a n}中，若a1=1，a n﹣a n﹣1=n，（n≥2），则该数列的通项a n=（）A．B．C．D．﹣1考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接根据已知递推式利用累加法求数列的通项公式．解答：解：∵a1=1，a n﹣a n﹣1=n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+1=（n≥2）．验证n=1时成立．∴．故选：A．点评：本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．6．（5分）函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上（）A．有最大值﹣1，无最小值B．无最大值，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．无最大值，有最小值7考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x∈（﹣∞，0），可得﹣x∈（0，+∞）．变形f（x）=x++3=+3，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x∈（﹣∞，0），∴﹣x∈（0，+∞）．∴f（x）=x++3=+3+3=﹣1，当且仅当x=﹣2时取等号．∴函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上有最大值﹣1，无最小值．故选：A．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．7．（5分）已知p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤1B．a≤﹣2或1≤a≤2C．a≥﹣1 D．a=1或a≤﹣2考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先根据二次函数的最小值，以及一元二次方程的解的情况和判别式△的关系求出p，q下的a的取值范围，然后根据p∧q为真命题知p，q都是真命题，所以求p，q下a的取值范围的交集即可．解答：解：p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，即：a≤x2在x∈[1，2]上恒成立；x2在[1，2]上的最小值为1；∴a≤1；q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，则：方程有解；∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；若“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题；∴；∴a≤﹣2，或a=1；故选D．点评：考查对“∀”和“∃”两个符号的理解，二次函数最值，以及一元二次方程的解的情况和判别式△的关系，p∧q真假和p，q真假的关系．8．（5分）在数列{x n}中，=+（n≥2），且x2=，x4=，则x10等于（）A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差中项的定义可知，数列{}是等差数列，求出公差d，可得=+8d=，即可求出x10．解答：解：∵在数列x n中，=+（n≥2），且x2=，x4=，根据等差中项的定义可知，数列{}是等差数列，∴当n=3时，可得x3=，所以公差d==，所以=+8d=，所以x10=．故选C．点评：本题考查数列的递推式，解题时要注意总结规律，确定数列{}是等差数列是关键．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，已知∠A=60°，b=1，面积S=，则等于（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：首先利用三角形的面积公式求出c的长度，进一步利用余弦定理求出a的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果．解答：解：已知∠A=60°，b=1，面积S=，，解得：c=4，利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得：a=，利用正弦定理：==，利用等比性质：=，故选：A．点评：本题考查的知识点：三角形的面积公式，余弦定理和正弦定理的应用，等比性质的应用．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若边a，b，c成等差数列，则∠B的范围是（）A．0＜B≤B．0＜B≤C．0＜B≤D．＜B＜π考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，利用余弦定理表示出cosB，把表示出的b代入并利用基本不等式求出cosB的范围，即可确定出B的范围．解答：解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，即b=，由余弦定理得：cosB===≥=（当且仅当a=c时取等号），∵B为三角形内角，∴B的范围为0＜B≤，故选：B．点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及余弦函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．二、填空题：本大题共5个小题.每小题5分；共25分．11．（5分）若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则实数a的取值范围是a＞3或a＜﹣1．考点：特称命题．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则函数y=x2+（a﹣1）x+1的最小值小于0，即方程x2+（a﹣1）x+1=0的△=（a﹣1）2﹣4＞0，解得答案．解答：解：若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则函数y=x2+（a﹣1）x+1的最小值小于0，即方程x2+（a﹣1）x+1=0的△=（a﹣1）2﹣4＞0，解得：a＞3或a＜﹣1，故答案为：a＞3或a＜﹣1点评：本题考查的知识点是存在性问题，将恒成立问题或存在性问题，转化为函数的最佳问题，是解答的关键．12．（5分）等差数列{a n}前项和S n满足S20=S40，则S60=0．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列{a n}的前n项和S n满足的性质S20，S40﹣S20，S60﹣S40成等差数列，即可得到答案．解答：解：∵等差数列{a n}，∴S20，S40﹣S20，S60﹣S40成等差数列，∴2（S40﹣S20）=S20+（S60﹣S40）∵S20=S40，∴∴0=S20+（S60﹣S40）∴S60=S40﹣S20=0故答案为：0点评：本题考查等差数列的前n项和的性质，属于基础题．13．（5分）已知函数f（α）=4sin（2α﹣）+2，在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，则a的值为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由f（A）=6，根据已知解析式求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积及sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，把bc与b+c，以及cosA的值代入即可求出a的值．解答：解：由题意得：f（A）=4sin（2A﹣）+2=6，即sin（2A﹣）=，∴2A﹣=或2A﹣=（不合题意，舍去），即A=，∵△ABC的面积为3，∴bcsinA=3，即bc=6，∵b+c=2+3，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣（2+）bc=10，则a=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．（5分）已知﹣4≤x+y≤6且2≤x﹣y≤4，则2x+3y的取值范围是（用区间表示）[﹣12，14]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围．解答：解：画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=2x+3y，当直线经过x﹣y=2与x+y=6交点A（4，2）时，目标函数有最大值z=2×4+3×2=14当直线经过x﹣y=2，x+y=﹣4的交点B（0，﹣4）时，目标函数有最小值﹣3×4=﹣12z=2x+3y的取值范围是：[﹣12，14]故答案为：[﹣12，14]．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．15．（5分）已知x，y为正实数，且满足2x2+8y2+xy=2，则x+2y的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：令x+2y=t，则x=t﹣2y，问题等价于方程14y2﹣7ty+2t2﹣2=0有正数解，利用△≥0即可得出．解答：解：令x+2y=t，则x=t﹣2y，方程等价为2（t﹣2y）2+（t﹣2y）y+8y2=2，即14y2﹣7ty+2t2﹣2=0，要使14y2﹣7ty+2t2﹣2=0有解，则△=（﹣7t）2﹣4×14×（2t2﹣2）≥0，，．即63t2≤56×2，t＞1．∴t2≤，t＞1即1＜t≤，当t=时，y=，x=满足条件．∴x+2y的最大值等于．故答案为：．点评：本题考查了通过代换转化为一元二次方程有实数根的情况，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共6个小题.共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知锐角△S n+a n=2n中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，C=60°，△ABC的面积等于，求边长b和c．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，把sinC与a的值代入求出b的值，再利用余弦定理即可求出c的值．解答：解：∵C=60°，∴sinC=，又S=absinC=，a=3，∴b=2，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣6=7，则b=2，c=．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．（12分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＜0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），故命题p成立有x∈（3a，a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故命题q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）．若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（3a，a）⊊（﹣∞，﹣4）或（3a，a）⊊[﹣2，+∞），又a＜0，解得a≤﹣4或；故a的范围是a≤﹣4或．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．18．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，前n项和为S n．等比数列{b n}中，b1=1，且b2S2=6，b2+S3=8．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：综合题．分析：（1）由题意要求数列{a n}与{b n}的通项公式只需求公差，公比因此可将公差公比分别设为d，q然后根据等差数列的前项和公式代入b2S2=6，b2+S3=8求出d，q即可写出数列{a n}与{b n}的通项公式．（2）由（1）可得即而要求故结合的特征可变形为代入化简即可．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，d＞0，{b n}的等比为q则a n=1+（n﹣1）d，b n=q n﹣1依题意有，解得或（舍去）故a n=n，b n=2n﹣1（Ⅱ）由（1）可得∴∴=．点评：本题第一问主要考查了求数列的通项公式较简单只要能写出s n的表达式然后代入题中的条件正确计算即可得解但要注意d＞0．第二问考查了求数列的前n项和，关键是要分析数列通项的特征将等价变形为然后代入计算，这也是求数列前n项和的一种常用方法﹣﹣裂项相消法！19．（12分）设z=2x+y，变量x，y满足条件（1）求z的最大值z max与最小值z min；（2）已知a＞0，b＞0，2a+b=z max，求ab的最大值及此时a，b的值；（3）已知a＞0，b＞0，2a+b=z min，求的最小值及此时a，b的值．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）画出约束条件表示的可行域，判断目标函数的几何意义，即可求解z的最大值z max与最小值z min；（2）通过a＞0，b＞0，2a+b=z max，得到关系式，然后利用基本不等式即可求ab的最大值及此时a，b的值；（3）通过a＞0，b＞0，2a+b=z min，得到关系式，化简为，利用基本不等式即可求解最小值及此时a，b的值．解答：解：（1）满足条件的可行域如图…（2分）将目标函数z=2x+y变形为y=﹣2x+z，它表示斜率为﹣2的直线，观察图形，可知当直线过点A时，z取得最大值，当直线过点B时，z取得最小值．由解得A（5，2），所以z max=12．…（3分）由解得B（1，1），所以z min=3．…（4分）（2）∵2a+b=12，又，∴，∴ab≤18．…（6分）当且仅当2a=b，即a=3，b=6时等号成立．∴ab的最大值为18，此时a=3，b=6（3）∵2a+b=3，∴==…（10分），…（11分）当且仅当，即时，等号成立．∴的最小值为，此时．…（12分）点评：本题考查线性规划的应用，基本不等式求解表达式的最值，基本知识的考查．20．（13分）已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z n．若数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点（S n，a n）在直线z n=x+y上．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．考点：简单线性规划；等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题；综合题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（I）根据线性规划原理，可得z的最大值z n=2n，从而得到S n=2n﹣a n．运用数列前n项和S n与a n的关系，算出2a n=a n﹣1+2，由此代入数列{a n﹣2}再化简整理，即可得到{a n﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；（II）由（I）结合等比数列通项公式，得出a n=2﹣（）n﹣1，从而得到S n=2n﹣2+（）n﹣1，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可算出{S n}的前n项和T n的表达式．解答：解：（Ⅰ）∵目标函数对应直线l：z=x+y，区域，（n∈N*）表示以x轴、y轴和直线x+2y=2n为三边的三角形，∴当x=2n，y=0时，z的最大值z n=2n∵（S n，a n）在直线z n=x+y上∴z n=S n+a n，可得S n=2n﹣a n，当n≥2时，可得a n=S n﹣S n﹣1=（2n﹣a n）﹣[2（n﹣1）﹣a n﹣1]化简整理，得2a n=a n﹣1+2因此，a n﹣2=（a n﹣1+2）﹣2=（a n﹣1﹣2）当n=1时，a n﹣2=a1﹣2=﹣1∴数列{a n﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；（Ⅱ）由（I）得a n﹣2=﹣（）n﹣1，∴a n=2﹣（）n﹣1，可得S n=2n﹣a n=2n﹣2+（）n﹣1，∴根据等差数列和等比数列的求和公式，得即数列{S n}的前n项和T n=，（n∈N*）．点评：本题给出数列和线性规划相综合的问题，求数列的通项和前n项和，着重考查了等差数列、等比数列的通项公式，数列的求和与简单线性规划等知识，属于中档题．21．（14分）小王在年初用50万元购买一辆大货车．车辆运营，第一年需支出各种费用6万元，从第二年起，以后每年的费用都比上一年的费用增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第n年的年底出售，其销售价格为25﹣n万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：（1）由n总收入减去总支出得到大货车到第n年年底的运输累计收入与总支出的差，然后求解一元二次不等式得答案；（2）由利润=累计收入+销售收入﹣总支出得到第n年年底将大货车出售时小王获得的年利润，然后利用基本不等式求最值．解答：解：（1）设大货车到第n年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则（0＜n≤10，n∈N），即y=﹣n2+20n﹣50（0＜n≤10，n∈N），由﹣n2+20n﹣50＞0，解得，而2＜10﹣＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴销售二手货车后，小王的年平均利润为w==19﹣（n+）．而=9．当且仅当n=5时取等号．即小王应在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．点评：本题考查了函数模型的选择及运用，考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用基本不等式求最值，关键是对题意的理解，是中档题．。

山东省临沂市四校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）若 a＞b，则下列不等式正确的是（）A．a2＞b2B．ab＞ac C．a﹣c＞b﹣c D．ac2＞bc22．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B 等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°3．（5分）以下说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥04．（5分）已知{a n）是等比数列，a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=144，则a3+a5等于（）A．6 B．12 C．18 D．245．（5分）在数列{a n}中，若a1=1，a n﹣a n﹣1=n，（n≥2），则该数列的通项a n=（）A．B．C．D．﹣16．（5分）函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上（）A．有最大值﹣1，无最小值B．无最大值，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．无最大值，有最小值77．（5分）已知p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤1B．a≤﹣2或1≤a≤2C．a≥﹣1 D．a=1或a≤﹣2 8．（5分）在数列{x n}中，=+（n≥2），且x2=，x4=，则x10等于（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，已知∠A=60°，b=1，面积S=，则等于（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若边a，b，c成等差数列，则∠B的范围是（）A．0＜B≤B．0＜B≤C．0＜B≤D．＜B＜π二、填空题：本大题共5个小题.每小题5分；共25分．11．（5分）若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则实数a的取值范围是．12．（5分）等差数列{a n}前项和S n满足S20=S40，则S60=．13．（5分）已知函数f（α）=4sin（2α﹣）+2，在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，则a的值为．14．（5分）已知﹣4≤x+y≤6且2≤x﹣y≤4，则2x+3y的取值范围是（用区间表示）．15．（5分）已知x，y为正实数，且满足2x2+8y2+xy=2，则x+2y的最大值是．三、解答题：本大题共6个小题.共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知锐角△S n+a n=2n中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，C=60°，△ABC的面积等于，求边长b和c．17．（12分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．18．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，前n项和为S n．等比数列{b n}中，b1=1，且b2S2=6，b2+S3=8．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．19．（12分）设z=2x+y，变量x，y满足条件（1）求z的最大值z max与最小值z min；（2）已知a＞0，b＞0，2a+b=z max，求ab的最大值及此时a，b的值；（3）已知a＞0，b＞0，2a+b=z min，求的最小值及此时a，b的值．20．（13分）已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z n．若数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点（S n，a n）在直线z n=x+y上．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．21．（14分）小王在年初用50万元购买一辆大货车．车辆运营，第一年需支出各种费用6万元，从第二年起，以后每年的费用都比上一年的费用增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第n年的年底出售，其销售价格为25﹣n万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）山东省临沂市四校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）若 a＞b，则下列不等式正确的是（）A．a2＞b2B．ab＞ac C．a﹣c＞b﹣c D．ac2＞bc2考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知中a＞b，结合不等式的基本性质，分析四个答案的真假，即可得到正确答案．解答：解：∵当0＞a＞b时，a2＜b2，故A错误，a＞b与ab＞ac没有必然的逻辑关系，故B错误；由不等式的基本性质一，不等式两边同减一个数，不等号方向不发生改变，可得C正确；当c=0时，ac2=bc2，故D错误；故选：C点评：本题考查不等关系与不等式，掌握不等式的基本性质是解决这一类问题的关键，属于基础题．2．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B 等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：直接利用正弦定理求解，利用特殊角的三角函数求解．解答：解：在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=4，b=4，∠A=30°利用正弦定理：解得：sinB=则：B=6°或120°故选D点评：本题考查的知识要点：正弦定理的应用，特殊角的三角函数值．3．（5分）以下说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：写出原命题的逆否命题，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；根据复合命题真假判断的真值表，可判断C；根据特称命题的否定方法，可判断D．解答：解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；“x=1”时，“x2﹣3x+2=0”成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分条件；“x2﹣3x+2=0”时，“x=1或x=2”，即“x=1”不一定成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的不必要条件，故B正确；若p∧q为假命题，则p，q存在至少一个假命题，不一定全为假命题，故C错误；命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0，故D正确；故选：C点评：本题考查的知识点是四种命题，充要条件，复合命题，特称命题，是简单逻辑的综合考查，难度不大，属于基础题．4．（5分）已知{a n）是等比数列，a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=144，则a3+a5等于（）A．6 B．12 C．18 D．24考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质，我们可将已知中a2a4+2a3a5+a4a6=144化为a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=144，结合an＞0，即可得到答案．解答：解：∵等比数列{a n}中，a n＞0，又∵a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=144，∴a3+a5=12，故选：B．点评：本题考查的知识点是等比数列的性质，其中根据等比数列的性质将已知中a2a4+2a3a5+a4a6=36化为a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2是解答本题的关键．5．（5分）在数列{a n}中，若a1=1，a n﹣a n﹣1=n，（n≥2），则该数列的通项a n=（）A．B．C．D．﹣1考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接根据已知递推式利用累加法求数列的通项公式．解答：解：∵a1=1，a n﹣a n﹣1=n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+1=（n≥2）．验证n=1时成立．∴．故选：A．点评：本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．6．（5分）函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上（）A．有最大值﹣1，无最小值B．无最大值，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．无最大值，有最小值7考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x∈（﹣∞，0），可得﹣x∈（0，+∞）．变形f（x）=x++3=+3，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x∈（﹣∞，0），∴﹣x∈（0，+∞）．∴f（x）=x++3=+3+3=﹣1，当且仅当x=﹣2时取等号．∴函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上有最大值﹣1，无最小值．故选：A．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．7．（5分）已知p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤1B．a≤﹣2或1≤a≤2C．a≥﹣1 D．a=1或a≤﹣2考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先根据二次函数的最小值，以及一元二次方程的解的情况和判别式△的关系求出p，q下的a的取值范围，然后根据p∧q为真命题知p，q都是真命题，所以求p，q下a的取值范围的交集即可．解答：解：p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，即：a≤x2在x∈[1，2]上恒成立；x2在[1，2]上的最小值为1；∴a≤1；q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，则：方程有解；∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；若“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题；∴；∴a≤﹣2，或a=1；故选D．点评：考查对“∀”和“∃”两个符号的理解，二次函数最值，以及一元二次方程的解的情况和判别式△的关系，p∧q真假和p，q真假的关系．8．（5分）在数列{x n}中，=+（n≥2），且x2=，x4=，则x10等于（）A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差中项的定义可知，数列{}是等差数列，求出公差d，可得=+8d=，即可求出x10．解答：解：∵在数列x n中，=+（n≥2），且x2=，x4=，根据等差中项的定义可知，数列{}是等差数列，∴当n=3时，可得x3=，所以公差d==，所以=+8d=，所以x10=．故选C．点评：本题考查数列的递推式，解题时要注意总结规律，确定数列{}是等差数列是关键．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，已知∠A=60°，b=1，面积S=，则等于（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：首先利用三角形的面积公式求出c的长度，进一步利用余弦定理求出a的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果．解答：解：已知∠A=60°，b=1，面积S=，，解得：c=4，利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得：a=，利用正弦定理：==，利用等比性质：=，故选：A．点评：本题考查的知识点：三角形的面积公式，余弦定理和正弦定理的应用，等比性质的应用．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若边a，b，c成等差数列，则∠B的范围是（）A．0＜B≤B．0＜B≤C．0＜B≤D．＜B＜π考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，利用余弦定理表示出cosB，把表示出的b代入并利用基本不等式求出cosB的范围，即可确定出B的范围．解答：解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，即b=，由余弦定理得：cosB===≥=（当且仅当a=c时取等号），∵B为三角形内角，∴B的范围为0＜B≤，故选：B．点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及余弦函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．二、填空题：本大题共5个小题.每小题5分；共25分．11．（5分）若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则实数a的取值范围是a＞3或a＜﹣1．考点：特称命题．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则函数y=x2+（a﹣1）x+1的最小值小于0，即方程x2+（a﹣1）x+1=0的△=（a﹣1）2﹣4＞0，解得答案．解答：解：若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则函数y=x2+（a﹣1）x+1的最小值小于0，即方程x2+（a﹣1）x+1=0的△=（a﹣1）2﹣4＞0，解得：a＞3或a＜﹣1，故答案为：a＞3或a＜﹣1点评：本题考查的知识点是存在性问题，将恒成立问题或存在性问题，转化为函数的最佳问题，是解答的关键．12．（5分）等差数列{a n}前项和S n满足S20=S40，则S60=0．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列{a n}的前n项和S n满足的性质S20，S40﹣S20，S60﹣S40成等差数列，即可得到答案．解答：解：∵等差数列{a n}，∴S20，S40﹣S20，S60﹣S40成等差数列，∴2（S40﹣S20）=S20+（S60﹣S40）∵S20=S40，∴∴0=S20+（S60﹣S40）∴S60=S40﹣S20=0故答案为：0点评：本题考查等差数列的前n项和的性质，属于基础题．13．（5分）已知函数f（α）=4sin（2α﹣）+2，在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，则a的值为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由f（A）=6，根据已知解析式求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积及sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，把bc与b+c，以及cosA的值代入即可求出a的值．解答：解：由题意得：f（A）=4sin（2A﹣）+2=6，即sin（2A﹣）=，∴2A﹣=或2A﹣=（不合题意，舍去），即A=，∵△ABC的面积为3，∴bcsinA=3，即bc=6，∵b+c=2+3，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣（2+）bc=10，则a=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．（5分）已知﹣4≤x+y≤6且2≤x﹣y≤4，则2x+3y的取值范围是（用区间表示）[﹣12，14]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围．解答：解：画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=2x+3y，当直线经过x﹣y=2与x+y=6交点A（4，2）时，目标函数有最大值z=2×4+3×2=14当直线经过x﹣y=2，x+y=﹣4的交点B（0，﹣4）时，目标函数有最小值﹣3×4=﹣12z=2x+3y的取值范围是：[﹣12，14]故答案为：[﹣12，14]．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．15．（5分）已知x，y为正实数，且满足2x2+8y2+xy=2，则x+2y的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：令x+2y=t，则x=t﹣2y，问题等价于方程14y2﹣7ty+2t2﹣2=0有正数解，利用△≥0即可得出．解答：解：令x+2y=t，则x=t﹣2y，方程等价为2（t﹣2y）2+（t﹣2y）y+8y2=2，即14y2﹣7ty+2t2﹣2=0，要使14y2﹣7ty+2t2﹣2=0有解，则△=（﹣7t）2﹣4×14×（2t2﹣2）≥0，，．即63t2≤56×2，t＞1．∴t2≤，t＞1即1＜t≤，当t=时，y=，x=满足条件．∴x+2y的最大值等于．故答案为：．点评：本题考查了通过代换转化为一元二次方程有实数根的情况，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共6个小题.共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知锐角△S n+a n=2n中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，C=60°，△ABC的面积等于，求边长b和c．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，把sinC与a的值代入求出b的值，再利用余弦定理即可求出c的值．解答：解：∵C=60°，∴sinC=，又S=absinC=，a=3，∴b=2，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣6=7，则b=2，c=．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．（12分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＜0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），故命题p成立有x∈（3a，a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故命题q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）．若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（3a，a）⊊（﹣∞，﹣4）或（3a，a）⊊[﹣2，+∞），又a＜0，解得a≤﹣4或；故a的范围是a≤﹣4或．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．18．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，前n项和为S n．等比数列{b n}中，b1=1，且b2S2=6，b2+S3=8．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：综合题．分析：（1）由题意要求数列{a n}与{b n}的通项公式只需求公差，公比因此可将公差公比分别设为d，q然后根据等差数列的前项和公式代入b2S2=6，b2+S3=8求出d，q即可写出数列{a n}与{b n}的通项公式．（2）由（1）可得即而要求故结合的特征可变形为代入化简即可．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，d＞0，{b n}的等比为q则a n=1+（n﹣1）d，b n=q n﹣1依题意有，解得或（舍去）故a n=n，b n=2n﹣1（Ⅱ）由（1）可得∴∴=．点评：本题第一问主要考查了求数列的通项公式较简单只要能写出s n的表达式然后代入题中的条件正确计算即可得解但要注意d＞0．第二问考查了求数列的前n项和，关键是要分析数列通项的特征将等价变形为然后代入计算，这也是求数列前n项和的一种常用方法﹣﹣裂项相消法！19．（12分）设z=2x+y，变量x，y满足条件（1）求z的最大值z max与最小值z min；（2）已知a＞0，b＞0，2a+b=z max，求ab的最大值及此时a，b的值；（3）已知a＞0，b＞0，2a+b=z min，求的最小值及此时a，b的值．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）画出约束条件表示的可行域，判断目标函数的几何意义，即可求解z的最大值z max与最小值z min；（2）通过a＞0，b＞0，2a+b=z max，得到关系式，然后利用基本不等式即可求ab的最大值及此时a，b的值；（3）通过a＞0，b＞0，2a+b=z min，得到关系式，化简为，利用基本不等式即可求解最小值及此时a，b的值．解答：解：（1）满足条件的可行域如图…（2分）将目标函数z=2x+y变形为y=﹣2x+z，它表示斜率为﹣2的直线，观察图形，可知当直线过点A时，z取得最大值，当直线过点B时，z取得最小值．由解得A（5，2），所以z max=12．…（3分）由解得B（1，1），所以z min=3．…（4分）（2）∵2a+b=12，又，∴，∴ab≤18．…（6分）当且仅当2a=b，即a=3，b=6时等号成立．∴ab的最大值为18，此时a=3，b=6（3）∵2a+b=3，∴==…（10分），…（11分）当且仅当，即时，等号成立．∴的最小值为，此时．…（12分）点评：本题考查线性规划的应用，基本不等式求解表达式的最值，基本知识的考查．20．（13分）已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z n．若数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点（S n，a n）在直线z n=x+y上．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．考点：简单线性规划；等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题；综合题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（I）根据线性规划原理，可得z的最大值z n=2n，从而得到S n=2n﹣a n．运用数列前n项和S n与a n的关系，算出2a n=a n﹣1+2，由此代入数列{a n﹣2}再化简整理，即可得到{a n﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；（II）由（I）结合等比数列通项公式，得出a n=2﹣（）n﹣1，从而得到S n=2n﹣2+（）n﹣1，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可算出{S n}的前n项和T n的表达式．解答：解：（Ⅰ）∵目标函数对应直线l：z=x+y，区域，（n∈N*）表示以x轴、y轴和直线x+2y=2n为三边的三角形，∴当x=2n，y=0时，z的最大值z n=2n∵（S n，a n）在直线z n=x+y上∴z n=S n+a n，可得S n=2n﹣a n，当n≥2时，可得a n=S n﹣S n﹣1=（2n﹣a n）﹣[2（n﹣1）﹣a n﹣1]化简整理，得2a n=a n﹣1+2因此，a n﹣2=（a n﹣1+2）﹣2=（a n﹣1﹣2）当n=1时，a n﹣2=a1﹣2=﹣1∴数列{a n﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；（Ⅱ）由（I）得a n﹣2=﹣（）n﹣1，∴a n=2﹣（）n﹣1，可得S n=2n﹣a n=2n﹣2+（）n﹣1，∴根据等差数列和等比数列的求和公式，得即数列{S n}的前n项和T n=，（n∈N*）．点评：本题给出数列和线性规划相综合的问题，求数列的通项和前n项和，着重考查了等差数列、等比数列的通项公式，数列的求和与简单线性规划等知识，属于中档题．21．（14分）小王在年初用50万元购买一辆大货车．车辆运营，第一年需支出各种费用6万元，从第二年起，以后每年的费用都比上一年的费用增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第n年的年底出售，其销售价格为25﹣n万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：（1）由n总收入减去总支出得到大货车到第n年年底的运输累计收入与总支出的差，然后求解一元二次不等式得答案；（2）由利润=累计收入+销售收入﹣总支出得到第n年年底将大货车出售时小王获得的年利润，然后利用基本不等式求最值．解答：解：（1）设大货车到第n年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则（0＜n≤10，n∈N），即y=﹣n2+20n﹣50（0＜n≤10，n∈N），由﹣n2+20n﹣50＞0，解得，而2＜10﹣＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴销售二手货车后，小王的年平均利润为w==19﹣（n+）．而=9．当且仅当n=5时取等号．即小王应在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．点评：本题考查了函数模型的选择及运用，考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用基本不等式求最值，关键是对题意的理解，是中档题．。

高二数学理科阶段性检测 2014.12一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.双曲线()2210x y a a-=>a 的值是 （ ）A. 12B. 2C.23．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BC ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉B4. 过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（）A. 10B. 8C. 6D. 4 5.以下有关命题的说法错误的是A. 命题“若0232=+-x x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”.B. “1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.C. 若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.D. 对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则210x x ++≥. 6.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A.54B.53C.52 D.517．抛物线2ax y =的准线方程是1=y ，则a 的值为（） A ．4 B ．4- C ．41-D ．41 8.已知双曲线22212(y x e y -==的离心率为，且抛物线的焦点坐标为,则p 的值为（）A ．－2 B ．－4C ．2D ．49.已知命题p ：∃01,200≤+∈mx R x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∧q为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．(0,2)10.已知直线上一抛物线和直线x y x l y x l 4,1:0634:221=-==+- 21l l p 和直线到直线动点的距离之和的最小值是（） A.2B.3C.23D.25二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.若命题“04,2≤++∈∃c cx x R x ”为假命题，则实数c 的取值范围是.12. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为13.双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为 .14. 已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程.15.给出如下四个命题：①方程01222=+-+x y x 表示的图形是圆；②椭圆12322=+y x 的离心率35=e ；③抛物线22y x =的准线方程是81-=x ；④双曲线1254922-=-x y 的渐近线方程是x y 75±=.其中所有假命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知0a >，设命题p : 函数xy a =在R 上单调递增；命题q : 不等式210ax ax -+>对x R ∀∈恒成立，若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围.17.设P 是椭圆x 225＋y 2754＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．18.设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)．(1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且⌝ p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19.设双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的半焦距为c ，直线l 过点)0),(b o a ，和（，已知原点到l 的距离为c 43，求双曲线的离心率.20.（本小题满分13分）已知抛物线y 2＝2x ，(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A |；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．21.（本小题满分14分）已知椭圆C:)0(,12222>>=+b a by a x 的离心率为21，以原点O 为圆心，相切（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线L ：m kx y +=与椭圆C 相交于A 、B 两点，求证：AOB ∆的面积为定值高二数学理科参考答案 2014.12一选择题：1.A2.A 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A 二、填空题：11.410<<c 12.4 13. 21 14.x y 122=15.①②④ 16.若p 真，则1>a ；若p 假，则10≤<a ；若q 真，则40<<a ；若q 假，则4≥a .∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴当p 真q 假时，4≥a ；当p 假q 真时，10≤<a .综上，p 且q 为假，p 或q 为真时，a 的取值范围是),4[]1,0(+∞ 17. 由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.① 由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|， 即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② ②－①，得3|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝25，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2534. 18. (1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0，解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，则⌝q ⇒⌝p ，由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2}由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎨⎧－a ＜3－2＜2a，⇒01-<<a法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }，由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，可得⌝q ⇒⌝p ，也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎨⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒01-<<a19.332（新学案132页例题2）20.【自主解答】 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13.∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，∴当x ＝0时，|P A |min ＝23， 距点A 最近的点的坐标为(0,0)．(2)法一 设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点， 则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32＝|(y 0－1)2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.法二 设与直线x －y ＋3＝0平行的抛物线的切线为x －y ＋t ＝0，与y 2＝2x 联立，消去x 得y 2－2y ＋2t ＝0，由Δ＝0得t ＝12，此时y ＝1，x ＝12，∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，两平行线间的距离就是点P 到直线的最小距离， 即d min ＝524.21.解：（Ⅰ）由题意得，b ==12c a =，又222a b c +=，联立解得224,3a b ==，∴椭圆的方程为。