对福建高考数学解析几何试题的评析与思考

2011年福建高考数学(理)试卷分析龙海市港尾中学郑国鹏一、各题考查知识点及难易度1、考察集合与复数，主要是复数的计算，属于容易题。

2、考察简易逻辑，充要条件中的主旨小范围推大范围，属于容易题。

3、考察三角函数，二倍角公式，属于容易题。

4、考察概率，几何概型中的面积比，属于容易题。

5、考察积分，基本的积分运算，属于容易题。

6、考察二项式定理，第项的公式，属于容易题。

7、考察圆锥曲线，离心率，根本上考的是椭圆和双曲线的定义，属于易偏中题。

8、考察线性规划和数量积公式，属于中等题。

9、考察函数奇偶性，属于中偏难题。

10、考察导函数的运用，属于难题。

11、考察程序语句，属于容易题。

12、考察立体几何，求体积，属于容易题。

13、考察概率，属于中等题。

14、解三角形题目，属中等题。

15、创新题，主要考新定义题型，属于难题。

16.考查等比数列的通项公式，前n项和公式，以及求三角函数解析式。

17.考查直线与圆的位置关系，点到点的距离公式，点到直线的距离公式，及圆的标准方程；考查直线的对称问题，以及分类讨论的思想，具有探究性含义。

18.考查应用性问题，利用导数求利润最大化问题。

19.考查数学期望与分布列，概率统计的实际应用。

20.考查立体几何面面垂直关系的证明，考查线面夹角的计算，点的存在性探究问题。

21.（1）考查逆矩阵的计算，曲线的变换；（2）考查极坐标与直角坐标的转化，点与直线的位置关系；动点到直线距离最值问题；（3）考查绝对值不等式的求解；比较大小关系问题。

二、试卷特点1、试题没有模式化试卷在题17处考查了解析几何的知识与方法、更是将立体几体放在20题（压轴题）；在题19处考查了统计的知识与方法，着力试题设计的求新，又如题9以函数的奇偶性为背景考查了考生的推理论证能力和抽象概括能力；2、重点考查高中主干模块知识，并加以交汇。

试卷中，主体知识的占分比例约为70%。

函数、三角函数、数列、概率、立体几何、圆锥曲线、导数仍是考试的主体模块。

2012年福建省高考数学试题分析一、试卷分析2012高考数学福建卷以《课程标准》和《考试大纲》为命题指导和命题依据，以福建省《考试说明》为命题直接依据，全面贯彻“关注交汇，注重探究，规避模式，强调应用，体现理念”的高考命题指导思想和“立足基础、关注过程、突出探究、强调应用、追求‘开放’与‘多样’”的教学指导思想。

命题全面考查学科基础，立足学科整体意义，依托学科知识本质，控制试题整体难度，有效检测学生进一步学习所必备的基础知识和基本技能，努力体现对知识和技能、过程和方法、情感态度和价值观等目标的要求，以发挥试题对推进普通高中实施素质教育的积极导向；命题坚持能力立意，着力考查数学素养，注重考查运用所学知识分析问题和解决问题的能力，以凸显高考考试的选拔性特征。

1、合理控制考查力度试卷注重学科基础的全面考查，文、理科试卷的知识覆盖面均达80%以上，各版块知识的覆盖面达100%。

根据数学各分支在中学数学中的地位及课时比例，合理选取试题素材，确定恰当考查力度。

对非主干知识，如复数、常用逻辑用语、线性规划、二项式定理、程序框图等拓展学生视野、为进一步学习作初步准备的知识，只作为选择题、填空题考查，占分比例小，试题难度也较小；而作为中学数学主体内容的六大主干知识，在文、理科试卷中分别占126分和118分，不但占分比例大，而且在各类题型中都作了较深入的考查，并且配备了各种不同难度要求的试题。

试题不拘泥于知识内容的层次要求，对于支撑学科体系、揭示学科本质的知识点，尽管要求层次属了解，仍然根据试题设计需要，结合到解答题中进行考查。

2、立足数学学科本质试卷从数学各分支的核心内容、学科思想及教育价值入手设置试题，合理地检测学生的数学素养。

如理14、文8及理17、文20突出了对三角函数的性质及三角恒等变形的考查；理4、文4及理18、文19着重考查空间几何体的认识，空间点、线、面的位置关系；理16、文18突出了对统计图表的认识、统计量的实际意义的理解与应用、样本估计总体等知识的考查；理19、文21突出考查利用代数方法研究几何性质；理20、文22重点考查利用导数研究函数，突出导数的工具性作用；理14、文11、文17重点考查数列的概念，等差、等比数列的基本性质与计算，突出考查基本量法等。

福建命题组专家点评福建高考数学试题1.立足学科基础，强调能力立意命题以中学数学基础知识为载体，坚持能力立意，全面考查了空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。

如理15、文16以集合语言、常用逻辑用语为载体，强调正确推理的形式和规则，突出考查抽象概括能力和推理论证能力;理17涉及的图形翻折及文19的“割补”或“等积变换”需要考生分析图形中基本元素及其相互关系，突出考查空间想象能力;理19的解答，考生可从特殊入手，通过合情推理得出结论并加以验证，也可通过演绎推理直接证明，突出考查推理论证能力;文12以椭圆的定义为载体，探究在新情境下“椭圆”生成的基本步骤和图形特征，重现“轨迹”的基本研究方法，突出考查抽象概括能力;理10以计数原理为载体，需要考生从题干及备选项中领悟将“选球方式”抽象为“颜色模式”，考查抽象概括能力与学习潜能。

2.关注数学本质，突出教育价值我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。

根本原因还是无“米”下“锅”。

于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。

福建省2024届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列一解析几何存在问题及应对策略（福建省高三毕业班复习教学指导组余小萍执笔整理）新高考的背景下，解析几何知识板块试题分值高，在全卷中占比高，但整体得分低，得分率最低，对全卷影响重大，新高考解析几何如何提分，值得研究.解析几何高考试题以核心素养为导向，突出了学科素养、关键能力的考查，有以下特点：1．突显解析思想，考查全面解析思想解题主要包含两个方面．其一，在坐标系下，每个几何对象均可被数（坐标、方程等）所完全表达，并通过代数（或向量）方法来解决；其二，特定的代数语言有了几何解释，从而使代数语言有了直观意义，人们能从中得到启发，进而解决问题或提出新的结论．解析几何问题考查模式可以用下图的框架体现：2．突出直观想象，强调算理解析法是通过坐标系实现“点与坐标互化”、“曲线与方程互化”、“几何关系代数化”，从而达到用代数方法解决几何问题，其思维模式可以用下图的框架体现：这是平面解析几何复习教学可以遵循的思维模式，通过它，帮助厘清知识，构建方法体系，回到基础，落实对知识与方法的深刻理解，让解析法升华为一种认识论与方法论.3．突破题型套路，鼓励创新新高考试卷持续推进题型和结构的创新，在解析几何试题的设计上，最大的变化就是突破题型套路，有多选题、多空题和条件开放或结论开放试题，在难度层次上也有所变化，从情境选择、设问方式到解题方法，鼓励创新求解的意识，培养学生探究能力．下面就具体的平面解析几何复习教学的相关问题探讨如下.一、存在的问题及原因分析（一）作图意识薄弱，以形助思待提高规范作图是认识问题、研究问题的基础，将图形特征转化、合理代数化的过程是问题条件的理解与解题思路的探究过程．【例1】过点(0,2)-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=( )A. 1B.4C.4D. 4【解析】圆22410x y x +--=化简，得22(2)5x y -+=，故圆心(2,0)B，记(0,2)A -，设切点为M ，.N AB =BM =，故AM sinsin MAB 24BM ABα=∠==，coscos M B 2A AM ABα=∠==，sin 2sincos22ααα==B. 【评析】本题考查直线与圆的位置关系、二倍角公式，属于基础题．利用切线构造直角三角形，由三角函数定义求出sin2α，cos2α，再利用二倍角正弦公式即可求解．本题中切线的运用很多学生能想到，但学生不易想到角度关系MAB 2α=∠，究其原因在于作图意识薄弱，对题中的几何关系挖掘不够，缺乏对图形中几何特征与数量关系的细致分析，难以借助图形分析思考问题.【例2】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y轴上，11F A F B ⊥，222=3F A F B -，则C 的离心率为__________.【解析】依题意222=3F A F B -，设22||2,||3(0)F A t F B t t ==>，||5.AB t ∴=由对称性知21|||| 3.F B F B t ==又11F A F B ⊥，故1||4F A t =，4cos .5A = 由双曲线的定义知，12||||2F A F A a -=，故.t a =在12F AF 中，22216444cos 2425a a c A a a +-==⋅⋅，解得：29()5c a =，故C 的离心率为5【评析】本题考查双曲线的定义及性质、余弦定理、向量共线的充要条件等，属于中档题. 根据向量的关系设参数t ，得到||AB ，2||F B ，1||F B 的关系，勾股定理得到1||4F A t =.由双曲线的定义得到t a =，在1Rt F AB △和12F AF △中通过对cos A 算两次得到a 与c 的关系.学生若作图潦草，难以发现关键的几何特征信息，导致对图中几何关系的提取错误或者不完整，思路受阻．本题中222=3F A F B -，不仅有数量特征，还具有位置关系．【建议】课堂教学中教师能使用尺规规范作图，起到示范指导，并要求学生当堂作图练习．布置不给图形的解几练习，要求学生通过审题自己作图.教师对图形中几何特征与数量关系进行细致分析，结合图形从整体角度理解题意、寻找解题思路．（二）概念思维淡漠，核心观点需增强定义是数学问题研究的起点．曲线方程的概念蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义．【例3】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12，过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE △的周长是__________.【解析】由椭圆离心率为12，可得2a c =，则b ==则椭圆C ：2222143x y c c +=，)A ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，易得ED l ：()3y x c =+，由2211||||||2AF AF F F c ===，故过1F 且垂直于2AF 的直线DE 垂直平分2AF ，即2||||EA EF =，2||||DA DF =，又2222143)x y c c y x c =⎧+=⎪⎨+⎪⎪⎪⎩，得22138320x cx c +-=，故28133213D E D Ec x x x c x =⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩， 213||||6()4278D E D E D E DE x x x x x x c ∴=-=⇒+-=⇒=，所以ADE △的周长2211||||||||||||||4813DA EA DE DF EF DF EF a c ++=+++===.【评析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题.部分学生不能从离心率、椭圆定义角度去分析几何特征解决问题，而是先求点M 坐标，再求点D 、E 的坐标，利用两点间的距离公式，绕了一大圈才得出周长，没能活用定义轻松得到解题的突破口．究其原因在于没有养成优先站在“定义”的角度探究问题和解决问题意识，未能从圆锥曲线的定义审视几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化．【建议】复习教学中凡涉及圆锥曲线的最值问题，均需先回顾梳理各种方法，结合问题背景比较、优化方法；强调要在大问题（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系）下研究几何性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析． （三）欠缺条件思辨，代数方法要选择解析几何就是用代数的方法研究几何问题．那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化．【例4】写出与圆221x y +=和圆22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程__________. 【解法一】显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，1=化简得221c b =+①，4.=化简得，|34||4|b c c ++=，故344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可) 【解法二】设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =， 圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =， 则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意； 又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程；又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+1=，解得724k =，从而该切线的方程为724250x y --=； 所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可)【评析】本题是一道开放题，代数法设切线方程通过解方程组能解决问题，也可以利用几何特征快速写出公切线10x +=，发现题中两圆的位置关系是快速破题的关键．本题若改为写出所有公切线方程学生失分率将更高，两种方法计算量也相差无几，代数法中方程组的求解是学生的失分点，其中直线方程的设法涉及简便、减少运算量，几何法通过先求直线OC 与直线10x +=的交点，再求过该点且与圆221x y +=相切的直线即可得到公切线724250x y --=也是利用几何特征简便、减少运算量.【例5】已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴y 轴分别相交于M ，N 两点，且||||MA NB =，||MN =l 的方程为__________.【解析】取AB 的中点为E ，因为||||MA NB =，所以||||ME NE =，设11(,)A x y ，22(,)B x y 可得1212121212y y y y x x x x +-⨯=-+-，即1.2OE AB k k =-⋅ 设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则(0,)M m ，(,0)mN k-， 所以(,)22m m E k -，所以212m k k m k⨯=-=--，k =又||MN =22212m m +=，故2m =，所以直线:22AB y x =-+，即0.x -= 【评析】本题考查椭圆的中点弦问题，属于偏难题.条件 ||||MA NB = 的转化应用是解本题快速与否的关键，取AB 的中点为E ，将中点E 纵横坐标比转化为中点与原点连线的斜率，利用点差法及点坐标就能快速找到一个,k m 的关系式.学生若能依题构图，结合图形联想第三定义推论，就能将条件 ||||MA NB = 转化为简洁的代数形式，从而达到解决问题的目的.【建议】复习教学中重视引导学生依题构图，结合圆锥曲线的性质从题意与图形中抽象出关键的几何特征，并以简洁的代数形式加以呈现，从而转化为待求目标关系式进行变形演算．（四）缺乏算法算理，运算求解须考究解析几何问题常常都有计算量大的特点，如何进行有效运算、简便运算，寻找化简方向是我们必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程，回归定义，以简驭繁；设而不求，整体运算；充分运用图形几何性质，简化计算；利用根与系数关系化繁为简；选用方程适当形式，减少运算量等，这些方法一定要结合具体问题进行训练.【例6】已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为 ．【解法一】解直角三角形法：如图，依题意得,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭且OPF PQF ∠=∠，所以tan tan OPF PQF ∠=∠，所以2,6pOF PF p PF FQ p =∴=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-.【解法二】射影定理应用法依题意得,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2,PF OF FQ =⋅262p p ∴=⨯，解得3p =或0p =（舍去），所以C 的准线方程为32x =-.【解法三】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，所以直线OP 的斜率22OP pk p ==，因为PQ OP ⊥，所以12PQ k =-，所以PQ 的方程为1()22p y p x -=--，即524px y =-+.令0y =时，52p x =，因为||6FQ =，所以5622p p -=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-． 【解法四】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，(6,0)2pQ +，所以(6,)PQ p =-， 因为PQ OP ⊥，所以0PQ OP ⋅=，所以602pPQ p p =⨯-⨯=，所以()30p p -=，因为0p >，所以3p =，所以C 的准线方程为32x =-．【评析】破解本题的关键是对PQ OP ⊥进行转化，可以从解直角三角形的角度，也可以从斜率角度，还可以从向量的角度，甚至可以利用射影定理的角度去进行转化，显见不同的思路其解题的长度不一样.因此，需强化的解题训练形成套路化、模式化，就能根据问题特点灵活处理.【例7】在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F，2F ，12||||2MF MF -=，点M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【解析】（1）因为12122MF MF F F -=<=C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >．由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+=⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=． 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0．【评析】TA TB ⋅与TP TQ ⋅从弦长公式到韦达定理代入化简是破解本题的关键，从设直线方程到联立消元再到弦长公式的应用，有明晰的解题方向，形成套路化、模式化的解题训练有助于学生根据问题特点灵活处理.【建议】课堂教学时不能只是谈思路方法，应合理利用几何特征设参，分析算式结构，合理消参、降次，通过课堂师生共同演算的体验，增加实践经验，进行算法算理的指导．在涉及求有关过一点的两条斜率不同的直线的交点坐标或弦长问题时，往往只需计算其中的一类交点坐标或弦长，另一类只需等价代换的结果中的参数即可．（五）只求题型模仿，解析思想欠领悟高中解析几何既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，其核心是“数形结合”的思想方法.由于解析几何内容的综合性，在解决问题的过程中，充满着探究性、创新性，对能力有较高的要求.解题中必然要用到思想方法引领，如函数与方程、特殊与一般、分类与整合的思想，以及待定系数法、换元法等等.【例8】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，点．若，则________．【解析】设弦AB 的中点为P ,综合题目的几何特征，直观猜测，PM 平行于x 轴，故由点差法可得124=2k y y =+，快速地给出答案为2． 【评析】本题是典型的直线与抛物线的位置关系问题，常规的解法是设方程、联立方程、用韦达定理求解套路，这势必费力费时且会算错．由于问题的特殊性，焦点弦张角为直角，借助数形结合，动中求不变解析思考，斜率为k 的平行弦的不变性，以及焦点弦张角的不变性，就能抓住问题的本质，既解决了问题，又提升了对抛物线的认识．【例9】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 方程；(2)证明：直线CD 过定点．【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，∴(),1AG a =，(),1GB a =-， ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =，∴椭圆方程为：2219x y +=.()11M -，24C y x =：C k C A B 90AMB =︒∠k =的的（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+，将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+， 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭． 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 【评析】解决本题的关键是借助数形结合，由椭圆的对称性可知定点应在x 轴上，明晰计算化简的方向．【建议】教学中要让学生意识到变化是理解解析几何问题的切入点，不变是解决解析几何问题的落脚点，对于它的探究过程主要集中在数学观察、联想、类比、猜测、抽象、概括等思维过程．解决解几具体问题时常常需要用到“数形结合”的思想方法.在解决问题的过程中，针对具体问题具体分析，跳出套路，数形结合找到解题方向.二、解决问题的思考与对策（一）回归基础，揭示本质，返璞归真解析几何思想的数学结构是由核心概念、基本方法、数学原理3个层次构成.核心概念是曲线与方程，基本方法是几何问题代数化和代数问题几何化，数学原理是映射原理(或化归原则)，其中几何问题代数化的途径是坐标法，是笛卡尔“方法论”的观念表现．【例10】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．【解析】正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系， 设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒===+︒+，()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-.故答案为：13；3-.【评析】本题以简单的多空形式呈现，以正方形、直线与直线的位置关系为载体，考查坐标法的基本 应用.考点虽然稍冷，却有着浓浓的解析味.解决问题的关键在于，合理建立坐标系，恰当地表征几何对象，如倾斜角的引进，以及与斜率的互化，体现了基础性、综合性和应用性.【例11】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线 【解析】ACD【评析】曲线方程的特征及区别是求解的关键，是解析几何的基本工具，一定要熟知．【例12】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213xy +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>， 当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx t kt =+<即0kx y t -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，所以221t k =+，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x ktx t +++-=， 所以2121222633,1313kt t x x x x k k-+=-⋅=++，所以MN ==213k=+= 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN =【评析】问题归结——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义；策略突破——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义，构建方程，转化为求2,2a c 的值或齐次方程，从而求椭圆的方程．【建议】教学中要回归基础，即是回到知识的联系、回到思想方法、回到定义和基本性质中去．对于圆锥曲线而言，即是回到定义、方程、性质去，也是解决问题的认知基础．归纳：1．定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题，采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的．2．求圆锥曲线方程常用的方法有直接法、定义法、待定系数法、参数法等．用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，要“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，抛物线的焦点是在x 轴的正半轴、负半轴，还是y 轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指运用方程思想、利用待定系数法求出方程中的a 2、b 2、p 的值（基本量法），最后代入椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．3．求椭圆或双曲线的离心率时，应该寻求三角形中的边角之间的关系，从而建立a 、c 的齐次方程（求值）或者齐次不等式（求范围）．4.证明充要条件的问题，不要只证明充分性，或只证明必要性，需注意：既要证明其充分性，又要证明其必要性.（二）弄清几何问题，选择代数方法，合理转化解析几何就是用代数方法来研究几何问题，即：几何问题→代数问题→代数结论→几何结论．所以，它的两大任务是：（1）把几何问题转化为代数问题，（2）研究代数问题，得出代数结论．【例13】设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1) 当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2) 设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-．所以AM 的方程为2y x =-+2y x = （2）本题目标要研究的几何对象为角，这需要在图形中挖掘这两个角的几何特征或这个角的等价几何关系．特例情况当l 与x 轴重合时．①0OMA OMB ∠=∠=︒；②当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，将OMA OMB ∠=∠代数化，即角相等的证明可以有两个思路，即从 数量关系或几何关系来思考．为此，不妨设1221(,),(,)A y x y x B ．思路1：从图形中直线的倾斜角直接切入，由位置特征，可以将问题转化为0MA MB k k +=； 思路2：从数量关系角度看，通过向量运算去获取，淡化几何特征，直接采取坐标运算，即证；思路3：从几何角度看，问题可以转化为运用角平分线定理，现坐标化，即证11AF y AM BFy BM==；思路4:从几何角度看，在坐标几何中，构造直角三角形相似来证． 思路5：从几何角度看，视为角平分线，用点到两边的距离进行代数化． 思路6：角平分线具有对称性，故可证明点A 关于x 轴的对称点在直线BM 上． 这么多的思路，如何代数化，要不要求坐标？程序化（算术化）：即设直线方程，遵循不断求出的思路进行运算，求出点A ，B 坐标，后再计算； 结构化（关系化）：即设直线方程，找出A ，B 坐标关系（这里的策略就是通常所说的“设而不求”， 再对要证的结构关系进行推演．事实上，程序化和结构化的代数思维没有特别的优劣，它都是代数思维的重要特征，它是一个不断螺旋上升的过程，只是大家目前都喜欢用结构化的思维，忽视程序化的思维，这是不对的，对结构化思维的形成与培养也不利．另外，即便用结构化思维进行推演，在设方程上也有此许的差别，如设l 的方程为(1)y k x =-或设x my t =+，还是有讲究的．【评析】解析法的过程，充满着概念与思辩，需要大家细细品味！绝不是机械模仿能达到的． 【建议】课堂中怎样将几何问题转化为代数问题？（1）要主动去理解几何对象的本质特征；（2）善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来；（3）恰当选择代数化的形式，这点是关键：一要研究具体的几何对象具有什么样的几何特征（如果几何特征不清楚，就不可能准确将其代数化），这就要在审题上下功夫；二是选择最简洁的代数形式（方便后续的代数研究），这需要大局观；（4）注意等价转化．（三）增强几何意识，配合解析工具，巧妙转化解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．【例14】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则PQ 的取值范围为．分析：问题归结——定直线上的动点与圆上一点距离问题；策略突破——首先要明确目标PQ 垂径定理，在等腰PCQ △与Rt PCB △中，PC 形，问题溯源，选定较为直观的几何变量AC ，构建PQ 式：2PQ PB PCA ==∠==围，计算求解，又3AC ≥，所以21109AC <≤，因此PQ 的取值范围为． 【建议】直线与圆的三种位置关系：相切，相交，相离．解决直线与圆的问题时，一方面，要运用解析几何的一般方法，即代数化方法，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系非常紧密，因此，准确地作出图形，挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．提高学生等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．【例15】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线2y x =交于A 、B 线OA 和OB 分别和圆22(2)4x y -+=交于D 、E 两点，若OABODES S λ∆∆=，则λ等于A ．12B ．13C ．14D ．15【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由2,(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得222(21)0k x k x k -++=，即121x x ⋅=．又11222,y x ⎪⎨=⎪⎩所以12120x x y y ⋅+⋅=，即OA OB ⊥．设直线OA ：1y k x =，直线OB ：2y k x =，则121k k ⋅=-．由21,y x y k x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得21111(,)A k k ，同理22211(,)B k k ．由221(2)4,x y y k x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得1221144(,)11k D k k ++，同理2222244(,)11k E k k ++． 所以OA =OB =OD =，OE ． x所以221122*********(1)(1)2(1)(1)12116161642OAB ODEk k OA OBS k k k k S OD OE ∆∆++++++====≥．【建议】1．解析几何研究的对象是几何图形，善用巧用几何图形的特征，把几何特征转化为代数表示，从而缩短思维链条，简化运算过程；2．在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决解析几何问题．其中，解三角形的画图用图，体现数形结合的思想；利用角或边的关系消角（边），体现了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想．（四）重视平面解析几何中代数方法的思维训练代数的思维特征，可以概括为程序化：即有点类似于解应用题的算术思维，遵循不断求出的计算，即便引进参数，也当成假设已知，参与运算；构造性的：即有点类似于解应用题的方程思维，注重寻找关系，“设而不求”，推演求解．复习教学中，要通过恰当的事例，训练学生的代数思维，这使得解析几何的代数方法不是一招一式的技巧，而是有着行动指南的思维模式.【例16】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，42p FM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =. （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=.由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=. 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB===点P到直线AB的距离为d=，所以，()3220011422PABS AB d x y=⋅==-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y-=-+-=---=-++，由已知可得53y-≤≤-，所以，当5y=-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=．【评析】运算繁杂是解析几何最突出的特点．首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点．运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能收到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．【例17】过抛物线24y x=的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为1A，1B两点，以线段1A1B为直径的圆C过点(2,3)-，则圆C的方程为A．22(1)(2)2x y++-=B．22(1)(1)5x y++-=C．22(1)(1)17x y+++=D．22(1)(2)26x y+++=分析一：问题归结——确定圆的方程的基本要素：过焦点的直线AB的方程及与抛物线的交点坐标()()1122,,,A x yB x y；策略突破——圆的两个关键量的代数形式：圆心和半径，确定参变量，引入关联变量——斜率的倒数t，可设直线AB：1x ty=+；；求解过程分析：联立方程组21,4,x tyy x=+⎧⎨=⎩消元得到2440y ty--=；由韦达定理得12124,4y y t y y+==-，则()1,2C t-，直径()()2221112161A B y y t=-=+；求半径()2212-3MC t=+，由22114A B MC=得方程()()()22161412-3t t+=+，则1=2t.回归圆：圆心(1,1)C-，半径的平方25MC=，答案选B．。

2019年福建高考数学试卷分析篇章一：文理科试题猜题命中（类似）的题目理科：共117分，只要你加入我们一对一，这些题目你肯定能轻松搞定一、选择题：1、2、3、4、5、6、8二、填空题：11、12、13、14三、解答题：16（数列与三角的交汇）、17（圆锥曲线前置）、18函数的应用、19（概率与统计）20、立体几何中涉及特殊点问题。

21、选做题文科：共113分，只要你加入我们一对一，这些题目你肯定能轻松搞定一、选择题：1、2、3、4、5、6、7、8、9二、填空题： 13、14、15三、解答题：17（数列求通项及求和）、19（概率与统计）、20（立体几何证明及求体积）21、三解函数的图像与性质。

22、导数的应用篇章二：文理科各知识点考查明细高考数学文科一、选择1、考察集合，集合中的交集，而且题目中集合的元素只有整数，属于容易题。

2、考察复数，复数计算中的值，属于容易题。

3、考察简易逻辑，充要条件中的主旨小范围推大范围，属于容易题。

4、考察抽样调查，分层抽样，要明白分层抽样就是按比例抽取样本，属于容易题。

5、考察算法程序，这道题属于算法中比较普遍的类型，把最初赋予的值进行循环计算，属于容易题。

6、考察二次函数，判别式，属于容易题。

7、考察概率，几何概型中的面积比，属于容易题。

8、考察分段函数，根据自变量的范围代入相应的解析式，属于中等题。

9、考察三角函数，二倍角公式和特殊角的值，属于中等题。

10、考察导数和不等式，导数中的极值，再用均值不等式，属于中等题。

11、考察圆锥曲线，离心率，根本上考的是椭圆和双曲线的定义，属于中偏难题。

12、创新题，主要在考数集，难点在负数的正余数的理解，属于难题。

二、填空13、考察向量，向量乘法法则，属于容易题。

14、考察解三角形，面积公式及特殊三角形，属于容易题。

15、考察立体几何，线面平行问题，属于中等题。

16、创新题，主要考等比中项公式，属于难题。

三、综合题17.已知等差数列的其中两项（第一、三项）。

对福建高考数学解析几何试题的评析与思考邹黎华（福州十一中，福建福州350001）摘要：在新课标、新考纲和新考试说明的精神指导下，高考数学科解析几何试题与以往大纲课程背景下考查形式和内容，有了显著的变化，这些试题不论在考试评价、命题研究还是高考复习，都成为专家、教师探讨的重点、热点，也是高考命题改革的一块试验田．本文通过对2009年到2012年的福建省高考数学理科解析几何试题的评析，考点统计，揭示这些试题是如何贯彻课程标准，反应考试说明的意图，进而反思教师在解析几何的教学与高三复习，反思高考这一专题的命题．关键词：课程标准；数学高考；解析几何；评析与反思前言福建省从2006年开始实施高中新课程，从2009年开始在新课标、新考纲和新考试说明的精神指导下，高考数学科的新课程卷也呈现其崭新的一面．其中解析几何与以往大纲课程背景下考查形式和内容，有了显著的变化，出现了不少的精彩试题．不论在试题评价、试题研究还是高考复习，解析几何成为专家、教师探讨的重点、热点，解析几何试题成为高考命题改革的一块试验田．本文通过对2009年到2012年的福建省高考数学理科解析几何试题的评析，希望能够为一线教师的教学、高考复习和命题专家提供有益的思考．1.解析几何考查综述1.1《考试说明》对解析几何考点的解读1.1.1解析几何的考点与要求（A：了解；B：理解；C：掌握）1.1.2解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．解析几何用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想．利用平面直角坐标系，将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，运用代数的方法研究曲线的几何性质及其相互位置关系，分析代数结果的几何含义，解决几何问题．用代数方法研究几何图形是解析几何的核心．在解题的过程中计算占了很大的比重，对运算求解能力有较高的要求．因此，首先应强调确定几何图形的几何要素，根据几何要素，用代数方法刻画几何图形，推导出几何图形的方程．其次，强调用“几何”来引导代数的恒等变换的计算，不要把解析几何变成纯粹的形式推导．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系．用向量方法研究解析几何问题，主要是利用向量的平行（共线）、垂直关系及成角研究解析几何中直线的平行、垂直关系及成角．平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何试题适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．1.2 2009——2012福建省高考数学（理科）解析几何试题考点分布统计 新课程背景下的解析几何的考查，最核心的思想是注重考查学生在数形结合思想基础上的图形探究能力，强化自主探究，淡化数值推理运算．形式上按照新课标的要求，对圆锥曲线部分突出了定义和图形、几何性质的研究，强调多曲线的综合，显化了直线和圆的位置关系． 1.3考点分析 ①试题结构平稳，题量均匀．每份试卷基本上是1道小题（2010年2道）1道大题，平均分值19分，理 科考查权重181212%250+=，应考分值18分，实际情况与理论权重基本吻合； ②涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面 较大；③涉及曲线类型较全．每份试卷至少涉及三种以上的曲线，2011年涉及到四种曲线；④注重与其他内容的交汇：四份试卷解析几何试题中，有三份试题与向量的内容交汇，有一份试题内容与 导数交汇．2. 2009——2012福建省高考数学（理科）解析几何试题评析 2.1客观题评析例1：（2009年）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________．【试题评析】要求抛物线标准方程中的一个参数p 的值，只要构造一个与p 有关的方程即可．根据已知条件，可根据弦长8AB =列出方程．具体操作时，可根据弦长公式列方程，亦可根据抛物线的定义列方程，但计算量是有差别的．本题主要考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 例2：（2010年）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) .A.22x +y +2x=0B. 22x +y +x=0C. 22x +y -x=0D. 22x +y -2x=0【试题评析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D ．本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法．例3：（2010年）若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( ) ．A ．)+∞B ．[3)++∞C ． 7[-,)4+∞ D ． 7[,)4+∞ 【试题评析】OP FP ⋅ 中涉及三个点，其中,O F 是定点，P 是双曲线右支上的动点，所以，可以考虑建立OP FP ⋅与P 点坐标之间的函数关系．根据已知双曲线的焦点坐标可以求出待定系数a ，再由P 是双曲线右支上的动点可以用P 的横坐标x来表示P 的纵坐标y ，从而建立OP FP ⋅与P 点横坐标x 之间的函数关系，通过求函数的值域求出取值范围．本题主要考查运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．例4：（2011年）设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF FF PF =，则曲线Γ的离心率等于（ ）.A.1322或B.23或2C.12或2 D.2332或 【试题评析】要求圆锥曲线的离心率，可以转化为求圆锥曲线中,a c 之间的关系，由于题干中没有指出具体是何种圆锥曲线，故要分类讨论，在不同曲线背景下，根据已知1122::4:3:2PF F F PF =即可得到,a c 之间的关系，从而求出离心率．本题主要考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.例5：（2012年）双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）．A ．5B ．24C ．3D ．5【试题评析】根据抛物线的标准方程即可求出其焦点坐标，亦为双曲线的焦点，从而求出其标准方程中的待定系数b 的值，进而求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出答案．本题主要考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想．从以上试题的分析可以看出：我省解析几何的客观题重点考查直线方程、圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质，计算量不大，但突出对解析几何本质的理解，强调运算求解能力与推理论证能力，重视函数与方程思想、数形结合思想的应用，题目难度不大，属于基础题或中档题． 2.2主观题评析例1（2009年）已知,A B 分别为曲线222:1(0,0)x C y y aa+=≥>与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B ,且与x 轴垂直，S 为l 上异于点B 的一点，连结AS 交曲线C 于点T ．(Ⅰ)若曲线C 为半圆，点T 为圆弧 AB 的三等分点，试求出点S 的坐标；（II ）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ,使得O,M,S 三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．【试题评析】第一问只要抓住Rt ABS ∆，利用已知条件，即可求解．要注意的是对T 点的位置分两种情况 讨论．第二问是一个开放性的问题，判断参数a 的存在性．这类问题的逻辑思路是假设a 存在，根据满足 的条件,,O M S 三点共线建立与a 有关的方程，由方程解的存在情况确定a 的存在与值．本题考查了推理 论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化的思想以及分类与整合的思想．本题的亮点 是根据,,O M S 三点共线的不同处理方式，可以有建立方程不同的方法，就有了不同的解法，此法在具体解题中，要利用直线与曲线的位置关系求出相关点的坐标，这与学生平时习惯用韦达定理，“设而不求” 的训练不同，规避了解题模式，突出对解析几何基本方法的考查． 例2（2010年）已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【试题评析】第一问可以有两种方法：一是用待定系数法，根据已知两个条件，列出两个方程，从而求解； 二是利用椭圆的定义和已知条件求出2a ，再由已知c 的值求出b ，从而求得椭圆方程；第二问是开放性问 题，判断满足题设的直线是否存在．从逻辑思维的角度考虑，假设直线l 存在，则l 应满足三个条件①//l OA （可求k ）；②l 与椭圆有公共点（可建立k 与b 的不等关系）；③l 与OA 的距离等于4（可建立k 与b 的 相等关系），而确定一条直线只需两个条件即可．因此，可利用l 满足其中两个条件求出，再检验是否满足 第三个条件，从而得出l 是否存在．这样，本题有多种不同的解法．本题主要考查运算求解能力、推理论 证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．本题的亮点是，背景学生熟悉，试题入 口宽，可以用不同的想法和解法解决，使不同思维方式的学生都能做题，提供给学生充分展示自己的平台． 例3（2011年）已知直线:,l y x m x R =+∈．（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； （II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由．【试题评析】第一问可以有两种解法：一是利用l 与圆相切于y 轴上一点，求出切点，进而求出圆的半径，从而确定出圆的方程；二是利用待定系数法，由已知条件列出两个方程，从而确定出圆的方程．第二问是一个开放性问题，判断直线'l 与已知抛物线是否相切．在研究直线与抛物线的位置关系时，通过联立方程，根据m 取不同的值情况判断判别式的符号，从而确定直线'l 是否与已知抛物线相切．本题主要考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．本题的亮点是用方程的工具研究直线与圆锥曲线的位置关系，体现了“以数释形”的“解析”思想.本题不论是题设背景，还是问题设置都是学生所熟悉的，解题的运算量适中，但却能体现解析几何的本质思想和方法．例4（2012年）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ．过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8． （Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q ．试探究： 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【试题评析】第一问由已知条件，根据椭圆的定义和离心率的定义即可求解．第二问难度较大，是一个探 究性的开放试题，判断是否存在满足题设的定点．解决此题要突破两个关键：一是由图形的几何特征，判断出若定点存在，则必在x 轴上，二是，题设要求“以PQ 为直径的圆恒过点M ”应转化为“0MP MQ ⋅=对满足一定关系的,m k 恒成立”，这里一定关系是指l 与椭圆相切22(430)k m -+=．从逻辑的角度想，有两种做法：一是根据“0MP MQ ⋅= 对满足一定关系（即22430k m -+=）的,m k 恒成立”，得出一个关于x 的方程对于满足22430k m -+=的,m k 的恒成立．从而求出定点坐标；二是先通过两组,m k 具体值，得到两个圆方程，求出它们与x 轴的交点，从而找到定点(1,0)M ，再证明点M 满足0MP MQ ⋅=．本题主要考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般的思想．本 题的亮点是体现代数方法对解决几何问题的作用，同时体现图形的几何性质对代数运算的方向和运算量的 减小的作用，在推理论证上，体现不同思维方式引发不同的解题方法，对区分不同数学思维层次的学生有 很好的作用．从以上试题的分析可以看出：福建省高考数学理科解析几何的解答题的考查无论从知识点、能力点、 还是数学方法、数学思想都符合福建省高考数学考试说明对解析几何的要求，以学生熟悉的曲线类型为背 景，以直线与圆锥曲线的位置关系为重点，以开放式的设问方式为主要形式，在解析几何与向量、函数、 不等式等知识点的交汇处设计试题，以能力立意为主，着重考查学生对解析几何基础知识、核心思想和数 学通法的掌握，试题有较好的区分度，对中学解析几何的教学有很好的导向作用． 3.思考3.1从教学的角度思考：通过对四年解析几何的试题分析，进一步坚定在教学中要扎扎实实地讲好直线、圆、圆锥曲线及其几何性质等基础知识．教学中要学生先通过画图，直观地理解要解决的几何问题的几何意义，再转化为代数问题求解，通过这个过程学生很容易体会数形结合的思想，体会解析几何的方法；在研究圆锥曲线时，弄清楚曲线方程和参变量的几何意义是第一位的，在此基础上，运用代数方程的方法解决几何问题，在解决几何问题之后，要回到几何意义的理解上．几何是解决问题的出发点也是问题解决之后的落脚点，要避免让学生陷入代数的恒等变形而不理解其几何含义．在分析问题、解决问题中要突出几何要素，注重几何要素的代数化，要在几何要素的引导下进行代数的恒等变形，要让几何图形帮助我们思考问题、确定恒等变形的方向、简化计算，体会几何直观给我们带来的好处． 3.2从高三复习备考的角度思考：①认真研读《考试大纲》、《考试说明》明确高考对解析几何基础知识、基本技能、基本思想、基本方法的要求，使复习工作有的放矢；②重视解决解析几何问题通法的训练．从试题分析中可以看出，直线方程、圆的方程，圆锥曲线的方程和基本性质（基本量）是重点考查的知识点，一定要熟悉基本方法，而直线与圆锥曲线的位置关系及其引发的各类问题是主观题的考查热点，要通过典型例题的操作、讲解，帮助学生总结解题思路，思考策略和通行通法，此外，要注意解析几何与其他数学内容的交汇，加强知识整体性的认知，锻炼学生在对参数的运算处理和面对繁杂的数学式子变形时应有的沉着心理和坚强毅力；3.3从高考试题命制的角度思考：通过分析发现一些商榷的问题，例如四年解析几何的主观题的第二问都是采用开放式的设问方式，探究存在性的问题，显得“稳定有余”，“变化不足”；考查的切入点可以再丰富一些，比如解析几何中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展；试题将用代数方法研究几何问题这一解析几何的本质方法通过新定义的方式得到了精彩演绎．这些命题的思路都值得我们借鉴．总的说四年解析几何的试题命制是成功的．很好的贯彻了“关注交汇，注重探究，规避模式，强调应用，体现理念”的高考命题指导思想和“立足基础、关注过程、突出探究、强调应用、追求‘开放’与‘多样’”的教学指导思想．命题立足学科知识本质，降低试题整体难度，注重考查基础知识、基本技能和基本思想的掌握程度，努力体现对知识和技能、过程和方法、情感态度和价值观等目标的要求，以发挥试题对推进普通高中实施素质教育的积极导向作用． 参考文献：[1]中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出版社2003 [2福建省教育考试院编．2012年普通高等学校招生全国统一考试福建省数学考试说明[M]． 福建：福建教育出版社2012[3]王尚志．数学教学研究与案例[M]．北京：高等教育出版社2006。

2019 年福建省自行命题组专家点评高考数学试卷数学：重视解决实际问题能力闽南网6 月9 日讯福建数学文、理科试卷，分别取材于构成高中数学主体框架内容的函数与导数、立体几何、解析几何、概率与统计、三角函数和数列的试题，不仅考查分值占比高，而且有机融合了与之相关的知识、技能和思想方法，从而全面地检测了考生作为未来公民所必需的数学基础。

试题适度创新命题追求稳中求新，适度考查将已有的知识与方法迁移到新情境中解决问题的能力。

如理8(文16)以等差数列和等比数列的定义为载体综合考查推理论证能力、运算求解能力和创新意识；理10、文21( n )( ii)分别以导数的几何意义和正弦函数的最小正周期为载体综合考查推理论证能力、特殊与一般思想、有限与无限思想和数形结合思想；理15 以纠错码和异或运算为载体综合考查了阅读理解、迁移运用的能力。

考查突出能力命题将考查综合运用数学的知识与方法解决问题的能力置于首要的位置。

如文12 依托“三角函数线”侧重考查推理论证能力、抽象概括能力和数形结合思想；文18、理16 分别依托“全网传播的融合指数”和“银行卡密码”侧重考查数据处理能力、应用意识和必然与或然思想；文20(川)依托“两点之间线段最短”侧重考查了空间想象能力、推理论证能力和化归与转化思想;理10依托“导数的几何意义”侧重考查推理论证能力、特殊与一般思想和数形结合思想; 理15 依托“纠错码和异或运算”侧重考查推理论证能力和创新意识;文22、理20依托“导数的综合应用”侧重考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识、数形结合思想和分类与整合思想。

命题立足选拔命题强调数学的应用，既考查了数学知识与方法在学科内的应用。

如文12、文15、文21、文22、理9、理14、理19、理20 ，也考查了数学知识在解决实际问题中的应用; 如文13、文18、理4、理15 、理16。

命题立足选拔的要求，解答题每个小题也从易到难。

如文20、21、22的第（I ）和（II）问，理19、20的第（I ）问均较易入题，余下各问则着重考查考生的自然语言、图形语言和符号语言的转换和思考的能力。