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复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数初步例题和知识点总结一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数。
一个复变函数通常可以表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z ＝ x ＋ iy$ 是复数，＄x$ 和＄y$ 分别是实部和虚部，＄w ＝ u ＋ iv$ 也是复数，＄u$ 和＄v$ 分别是其实部和虚部。
例如，函数＄f(z) ＝ z^2$ 就是一个简单的复变函数。
将＄z ＝ x ＋iy$ 代入，可得：＼＼begin{align}f(z)＆＝（x ＋ iy)＾2\＼＆＝x^2 y^2 ＋ 2ixy＼end{align}＼从而得到实部＄u ＝ x^2 y^2$，虚部＄v ＝ 2xy$。
二、复变函数的极限与连续（一）极限如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，都存在正数＄＼delta$，使得当＄0 ＜｜z z_0| ＜＼delta$ 时，有＄｜f(z) A| ＜＼epsilon$，则称＄A$ 为函数＄f(z)＄当＄z$ 趋向于＄z_0$ 时的极限，记作＄＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A$。
例如，考虑函数＄f(z) ＝＼frac{z}｛｜z|｝＄，当＄z$ 沿着实轴正方向趋近于＄0$ 时，极限为＄1$；当＄z$ 沿着实轴负方向趋近于＄0$ 时，极限为＄－1$。
由于这两个极限不相等，所以该函数在＄z ＝ 0$ 处极限不存在。
（二）连续如果函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处的极限存在且等于＄f(z_0)＄，则称函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处连续。
例如，函数＄f(z) ＝ z$ 在整个复数域上都是连续的。
三、复变函数的导数复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程。
设函数＄f(z) ＝ u(x, y) ＋ iv(x, y)＄，则其导数为：＼f'（z) ＝＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＼柯西黎曼方程为：＼＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}，＼quad ＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＼例如，函数＄f(z) ＝ z^2 ＝（x ＋ iy)＾2 ＝ x^2 y^2 ＋ 2ixy$，则＄u ＝ x^2 y^2$，＄v ＝ 2xy$。
复变函数公式及常用方法总结复变函数是指在复平面上定义域为复数集的函数。
复变函数与实变函数不同，其定义域和值域都是复数集合，因此需要引入复数的运算和性质来研究这类函数。
复变函数在数学以及物理、工程学等领域有广泛的应用，如电路分析、信号处理、流体力学等。
1.复变函数的定义与性质：复变函数可以用以下形式表示：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy；u(x, y)和v(x, y)为实变量x和y的实函数。
复变函数的一些性质如下：(1)复变函数可以进行加减、乘法和除法运算；(2)复变函数的连续性：若f(z)在特定点z0处连续，则其实部和虚部在该点均连续；(3)复变函数的解析性：若f(z)在特定点z0处可导，则其在该点解析；若f(z)在定义域内每一点都解析，则称其为全纯函数；(4)复变函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程式：∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0和∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2.常用的复变函数：(1)幂函数：f(z)=z^n，其中n为整数；(2) 指数函数：f(z) = e^z = e^(x+iy) = e^x * e^(iy) = e^x * (cosy + isiny)；(3) 对数函数：f(z) = ln(z)；(4) 三角函数：正弦函数f(z) = sin(z)，余弦函数f(z) = cos(z)，正切函数f(z) = tan(z)等；(5) 双曲函数：双曲正弦函数f(z) = sinh(z)，双曲余弦函数f(z)= cosh(z)，双曲正切函数f(z) = tanh(z)等。
3.复变函数的常用方法：(1)极坐标表示法：将复数z表示为模长r和辐角θ的形式：z=r*e^(iθ)。
在极坐标下，复变函数的运算更加方便，例如可以用欧拉公式将指数函数表示为e^(iθ)的形式。
(2) 复变函数的导数：复变函数的导数可以用极限的形式表示，即f'(z) = lim(h→0) [f(z+h) - f(z)] / h。
复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。
本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
1. 复数与复变函数。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。
复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。
2. 复变函数的导数与解析函数。
与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。
解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。
3. 共轭与调和函数。
对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。
对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。
4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。
柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。
满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。
5. 柯西积分定理与留数定理。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。
留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。
6. 应用领域。
复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。
复变函数总结复变函数，又称为复数函数，是数学中重要的一个分支。
它在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
复变函数的研究主要涉及复数、复平面、复数域的性质，以及复数函数的导数、积分等基本理论。
在本文中，我将对复变函数的基本概念、性质和常见应用进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，而i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示平面上的一个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
复数的加法、减法、乘法和除法规则与实数的运算规则相似。
二、复平面与复函数复平面是由复数构成的平面，以复数的实部和虚部作为坐标轴。
复函数是定义在复数域上的函数，可以将复数作为自变量和因变量。
复函数在复平面上的图像通常是曲线、点或者区域。
三、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在一个区域内解析，意味着它在该区域内具有连续性和光滑性，并且在该区域内无奇点。
2. 洛朗级数展开：复变函数可以用洛朗级数展开，即可以由一个主要部分和无穷个幂级数按次幂递减的项组成。
3. 共轭函数：对于复变函数f(z)，其共轭函数为f*(z)，实部相同，虚部取相反数。
4. 解析函数的判别：柯西-黎曼方程是判断一个函数在某一点是否解析的重要工具，同时也是复变函数的基本性质之一。
5. 调和函数：调和函数是一类特殊的复变函数，满足拉普拉斯方程。
四、复变函数的应用1. 电路分析：复变函数可以用来分析交流电路中的电流和电压，特别是在包含电感和电容的电路中，通过构造复变函数的拉普拉斯变换可以简化问题。
2. 流体力学：复变函数在描述流体的速度场、压力场和流线的分析中具有重要作用，特别是在无旋场和无散场的情况下。
3. 光学：复变函数可用于描述光波的传播和干涉现象，以及计算透镜的成像和衍射效应。
4. 统计学：复数也可应用于统计学中，如复数正态分布在处理随机变量时具有一定的优势。
5. 量子力学：复变函数是量子力学中运动状态和波函数的基础，通过复变函数可以描述粒子的行为以及能量的量子化。
复变函数初步例题和知识点总结在数学的广阔领域中，复变函数犹如一座神秘而又充满魅力的城堡。
它不仅为我们打开了理解数学世界的新视角，还在众多科学和工程领域有着广泛的应用。
接下来，让我们一起走进复变函数的世界，通过一些例题来深入理解其重要的知识点。
一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，通常可以表示为＼（f(z) ＝u(x,y) ＋ iv(x,y)＼），其中＼（z ＝ x ＋ iy\），＼（x\）和＼（y\）是实数，＼（i\）是虚数单位，＼（u(x,y)＼）和＼（v(x,y)＼）是实函数。
例如，＼（f(z) ＝ z^2 ＝（x ＋ iy)＾2 ＝ x^2 y^2 ＋ 2ixy\）就是一个复变函数。
二、复变函数的极限与连续（一）极限若对于任意给定的正数\（＼epsilon\），存在正数\（＼delta\），使得当＼（0 ＜｜z z_0| ＜＼delta\）时，都有＼（｜f(z) A| ＜＼epsilon\），则称＼（A\）为＼（f(z)＼）当＼（z\）趋于＼（z_0\）时的极限，记作＼（＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A\）。
例题：求\（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} （z^2 2z ＋ 2)＼）解：将＼（z ＝ 1 ＋ i\）代入＼（z^2 2z ＋ 2\）得：＼＼begin{align}＆（1 ＋ i)＾2 2(1 ＋ i) ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i ＋ i^2 2 2i ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i 1 2 2i ＋ 2\＼＝＆0＼end{align}＼（二）连续如果\（＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ f(z_0)＼），则称＼（f(z)＼）在＼（z_0\）处连续。
三、复变函数的导数复变函数的导数定义为：＼（f'（z) ＝＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＼）例题：求＼（f(z) ＝ z^3\）的导数解：＼（f'（z) ＝ 3z^2\）四、解析函数如果函数＼（f(z)＼）在区域＼（D\）内处处可导，则称＼（f(z)＼）在＼（D\）内解析。
复变函数总结复变函数，即复数域上的函数，是数学中重要的研究领域之一。
在复变函数的研究过程中，人们发现了许多有趣且重要的性质和定理。
本文将对复变函数的一些基本概念、性质以及常见定理进行总结，并探讨它们的应用。
一、复数的基本概念复数是由实部和虚部构成的，以形如a + bi的形式表示，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数域上的运算包括加法、减法、乘法和除法。
二、复变函数的定义与性质复变函数可看作是以复数为定义域和值域的函数。
复变函数的导数概念在复数域上进行推广，被称为复导数。
复导数的定义如下：设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是定义在某区域上的复变函数，若当点z在该区域内变动时，极限f'(z_0)=lim(f(z)-f(z_0))/(z-z_0)在极限存在时，则称f(z)在z_0处可导。
复变函数的可导性与解析性密切相关。
如果一个函数在某区域上处处可导，则称该函数在该区域内解析。
解析函数具有许多重要的性质，如可导函数的连续性和可微性。
三、柯西-黎曼方程与调和函数柯西-黎曼方程是解析函数的一个重要条件，其表达式为：∂u/∂x = ∂v/∂y 和∂u/∂y = -∂v/∂x其中u(x, y)为解析函数的实部，v(x, y)为解析函数的虚部。
柯西-黎曼方程表明，解析函数的实部与虚部之间存在一定的关系。
调和函数是满足柯西-黎曼方程的实函数，它在物理学和工程学中应用广泛。
调和函数具有许多有趣的性质，如最大值原理和平均值性质。
四、复变函数的积分与实变函数类似，复变函数也存在积分的概念。
复积分常用路径积分表示，即沿着某条曲线对函数进行积分。
路径积分与路径有关，沿不同路径积分的结果可能不同。
当沿闭合路径进行积分时，根据柯西积分定理可知，对于解析函数来说，积分结果为0。
这是柯西积分定理的基本形式。
另外，在某些情况下，复积分可通过取局部极值来求解，这一方法称为留数法。
留数法是复变函数积分的一个重要工具，在计算复积分中发挥着重要的作用。
第一章 复数1 2i =-1 1-=i 欧拉公式 z=x+iy实部Re z 虚部 Im z2运算 ①2121Re Re z z z z =⇔≡ 21Im Im z z =②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z ++±=±+±=±③()()()()1221212121122121221121y x y x i y y x x y y y ix y ix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=⋅④()()()()222221212222212122222211222121y x y x x y i y x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z z z +-+++=-+-+== ⑤iy x z -= 共轭复数()()22y x iy x iy x z z +=-+=⋅ 共轭技巧运算律 P1页3代数，几何表示iy x z += z 与平面点()y x ,一一对应，与向量一一对应辐角 当z ≠0时，向量z 和x 轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=πθk 20+ k=±1±2±3… 把位于-π＜0θ≤π的0θ叫做Arg z 辐角主值 记作0θ=0arg z4如何寻找arg z例：z=1-i 4π-z=i 2π z=1+i 4πz=-1 π5 极坐标： θcos r x =，θsin r y = ()θθsin cos i r iy x z +=+=利用欧拉公式 θθθsin cos i ei +=可得到 θi re z =()21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z6 高次幂及n 次方()θθθn i n r e r z z z z z n in n n sin cos +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=凡是满足方程z n=ω的ω值称为z 的n 次方根，记作 n z =ω()nk i rez ωπθ==+2 即nr ω= nr 1=ωϕπθn k =+2nk πθϕ2+=第二章解析函数1极限 2函数极限① 复变函数对于任一D Z ∈都有E ∈W 与其对应()z f =ω 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例 ()z z f =②()A =→z f z z 0lim 0z z → 称()z f 当0z z →时以A 为极限☆ 当()0z f =A 时，连续 例1证明()z z f =在每一点都连续证：()()0000→-=-=-z z z z z f z f 0z z → 所以()z z f =在每一点都连续3导数()()()()0000limz z z z z z df z z z f z f z f =→=--=' 例2 ()C z f = 时有 ()0'=C 证：对z ∀有()()0lim lim00=∆-=∆-∆+→∆→∆z C C zz f z z f z z 所以()0'=C 例3证明()z z f =不可导解：令0z z -=ω()()iyx iyx z z z z z z z z z z z f z f +-==--=--=--ωω000000 当0→ω时，不存在，所以不可导。
定理：()()()y x iv y x u z f ,,+=在iy x z +=处可导⇔u ，v 在()y x ,处可微，且满足C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ x v y u ∂∂-=∂∂ 且()xvi x u z f ∂∂+∂∂=' 例4证明()z z f =不可导解：()iy x z z f -== 其中()x y x u =, ()y y x v -=, u,v 关于x,y 可微11-=∂∂≠=∂∂yv x u 不满足C-R 条件 所以在每一点都不可导 例5 ()z z f Re =解：()x z z f ==Re ()x y x u =, ()0,=y x v01=∂∂≠=∂∂yv x u 不满足C-R 条件 所以在每一点都不可导 例6： ()2z z f =解：()222y x zz f +== 其中()22,y x y x u += ()0,=y x v根据C-R 条件可得02,02==y x 0,0==⇒y x 所以该函数在0=z 处可导4解析若()z f 在0z 的一个邻域内都可导，此时称()z f 在0z 处解析。
用C-R 条件必须明确u,v四则运算()g f g f '±'='± ()()()()()z g g f z g f '⋅'='()f k kf '='()1-='n nnzz()g f g f g f '⋅+⋅'='⋅ ☆()zzee ='2g g f g f g f '⋅-⋅'=⎪⎪⎭⎫⎝⎛例：证明()z e z f = ()zzee='解： ()y ie y e e z f xxzsin cos +==则()y e y x u xcos ,= ()y e y x v xsin ,=y e yv y e x u x x cos cos =∂∂==∂∂ y e xvy e y u x x sin sin -=∂∂-=-=∂∂ 任一点iy x z +=处满足C-R 条件 所以ze 处处解析 ()z x x e y ie y e xvi x u z f =+=∂∂+∂∂='sin cos 练习：求下列函数的导数()z z z f ⋅=2解: ()()()()32233223222y y x i xy x iy xy y ix xiy x yx z z z f +++=+++=++=⋅=()23,xy x y x u += ()32,y y x y x v += 所以223y x xu+=∂∂ 223y x y v +=∂∂ xy yu2=∂∂ xy xv2-=∂∂-根据C-R方程可得222233y x yv y x x u +=∂∂=+=∂∂ xy xvxy y u 22-=∂∂-==∂∂ 0,0==⇒y x 所以当0=z 时()z f 存在导数且导数为0，其它点不存在导数。
初等函数Ⅰ常数Ⅱ指数函数 ()y i y e e x z sin cos +=① 定义域 ② 2121z z z ze ee +=⋅ ③ ()z z i z e i e e =+=+πππ2sin 2cos 2④()zzee ='Ⅲ对数函数 称满足ωe z =的ω叫做z 的对数函数，记作z ln =ω分类：类比n z 的求法（经验）目标：寻找ωωϕarg =幅角主值可用：ωe z = θi re z = iv u +=ω过程：θωθi iv u iv u i e r e e e e re z =⋅====+ iv i ue e e r ==⇒θ,πθk v r u 2,ln +==⇒ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k所以()()ππθωk z i z rgz i r k i r iv u 2arg ln ln 2ln ++=A +=++=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k例：求()1-Ln ()i Ln +1 ()i Ln 的值()π=-1arg()()()()1221arg 1ln 1+=+-+-=-k i k i Ln ππ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k ()41arg π=+i()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=++++=+πππk i k i i i i Ln 242ln 2121arg 1ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k ()2arg π=i()()⎪⎭⎫⎝⎛++=++=πππk i k i i i i Ln 2212arg ln ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0kⅣ幂函数 对于任意复数α，当0≠z 时Lnz e z ααω==例1：求ii +1的值解：()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛++++++=====+ππππk i k i i i iArg i i Lni i ii eeee e i i221221ln 11ln 11⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k例2：求()()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+-++-+-+===-+ππk i i i i i iee e i i242ln 2131ln 31ln 331Ⅴ三角函数⎩⎨⎧-=+=-y i y e y i y e iy iy sin cos sin cos ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--ie e y e e y iy iyiyiy 2sin 2cos 定义：对于任意复数iy x z +=，由关系式可得z 的余弦函数和正弦函数2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=例：求()i +1sin ()i +5cos 解：()()()[]i i i i e e i i +-+-=+11211sin ()()()[]i i i i e e i +-++=+55215cos第三章复变函数的积分1复积分定理3.1 设C 是复平面上的逐段光滑曲线()()()y x iv y x u z f ,,+=在C 上连续，则()()()y x iv y x u z f ,,+=在C 上可积，且有()()()()()⎰⎰⎰++-=CCCdx y x v dy y x u i dy y x v dx y x u dz z f ,,,,注：①C 是线 ②方式跟一元一样 方法一：思路：复数→实化把函数()iv u z f +=与微分idy dx dz +=相乘，可得()()()()()⎰⎰⎰++-=CCCdx y x v dy y x u i dy y x v dx y x u dz z f ,,,,方法二：参数方程法 ☆核心：把C 参数 C ：()t z βα≤≤t()()()⎰⎰'=Cdt t z t z dz z f βα例： 求⎰Cdz z ①C ：0→i +1的直线段②101−→−C ；i C +−→−112解：①C ： ()it t t z += 10≤≤t()()()()⎰⎰⎰=+-='+-=11111dt i i t dt it t it t dz z C②()t t z C =:1 10≤≤t()it t z C +=1:2 10≤≤t()⎰⎰⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=+=11012121121i i dt it tdt dz z dz z dz z C C C★ 结果不一样2柯西积分定理例：()⎰⎩⎨⎧=-Cnidz a z 021π11≠=n n C ：以a 为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时针 解：C：θρi e a z +=iyx z +=πθ20≤≤()()()()()()()()11011121120120112020≠=⎪⎩⎪⎨⎧=--==⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰---n n i n d e i n i d e i d ie e dz e dz a z i n i n n Ci ni ni nπθπθππθθθθπθρθρρρ ☆ 积分与路径无关：①单联通 ②处处解析 例：求()⎰++Cdz z z1822，其中C 是连接O 到点()a π2,0的摆线：()()⎩⎨⎧-=-=θθθcos 1sin a y a x 解：已知，直线段L 与C 构成一条闭曲线。
