【3年高考2年模拟】2018课标版文数一轮(12)选修4—4 坐标系与参数方程 第一节 坐标系

选修4－4 坐标系与参数方程第一节 坐标系———————————————————————————————— [考纲传真] 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．图1(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．3．极坐标与直角坐标的互化(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )．(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2. (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ＝b (0＜θ＜π)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.]3．(教材改编)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．x 2＋y 2－2y ＝0 [由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.]4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________． 522 [由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2， ∴y －x ＝1.由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，得点A 的直角坐标为(2，－2)．∴点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝522.] 5．(2015·江苏高考)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .2分圆C 的极坐标方程可化为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，4分化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.6分 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.10分将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[解] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.2分由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y24＝1.5分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.6分不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，8分于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.10分[规律方法] 1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，利用方程思想求解．2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入转化．[变式训练1] 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .【导学号：31222437】(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标；(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程． [解] (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换 φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y2，2分∴x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1).5分 (2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点． 由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，8分代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′， ∴y ′＝x ′为所求直线l ′的方程.10分1C 2：(x－1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.4分(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.8分 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.10分[迁移探究1] 若本例条件不变，求直线C 1与C 2的交点的极坐标． [解] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝－2，θ＝π4，解得θ＝π4且ρ＝－2 2.6分所以交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，π4.10分[迁移探究2] 本例条件不变，求圆C 2关于极点的对称圆的方程． [解] 因为点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称， 设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C 2上， 所以(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.6分故所求圆C 2关于极点的对称圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋4＝0.10分 [规律方法] 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法．[变式训练2] (2016·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcosθ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离． [解] (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x －3y －1＝0，表示一条直线.2分 由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x ，则(x －1)2＋y 2＝1. ∴C 2是圆心为(1,0)，半径r ＝1的圆.4分 (2)由(1)知点(1,0)在直线x －3y －1＝0上， 因此直线C 1过圆C 2的圆心.6分∴两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径． 因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.10分1⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆.2分将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.4分(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，8分从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.10分[规律方法] 1.第(1)问将曲线C 1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力．第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解．2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．[变式训练3] (2017·太原市质检)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3. ∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32.2分曲线C 2化为x 26＋y 22＝1.(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6. ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ.4分(2)∵M (3，0)，N (0,1)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，6分把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6.8分∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.10分[思想与方法]1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等．2．确定极坐标方程的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． [易错与防范]1．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ＜2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点： (1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用．课时分层训练(六十七) 坐标系1．在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离．[解] 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，3分直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，得32y －12x ＝1，即直线的方程为x －3y ＋2＝0，6分 故点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|3－3×1＋2|12＋(－3)2＝1.10分2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.【导学号：31222438】(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，2分 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，4分直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.6分(2)由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，8分故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.10分 3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1. 【导学号：31222439】(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．[解] (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，2分OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.4分 (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，6分 ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心，8分故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分4．(2017·南京调研)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，半径r ＝3. (1)求圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ→＝2QP →，求动点P 的轨迹方程．[解] (1)设M (ρ，θ)是圆C 上任意一点．在△OCM 中，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π3，由余弦定理得 |CM |2＝|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3， 化简得ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.4分 (2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)， 由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23OP →， ∴ρ1＝23ρ，θ1＝θ，8分 代入圆C 的方程，得23ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3， 即ρ＝9cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.10分 5．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，2分联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.4分 (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α).8分 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.10分6．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．[解] (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.2分∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程.4分(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.8分知点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆． 直线l 的直角坐标方程是x ＝4.结合图形易得|RP |的最小值为1.10分。

§选修4－4 坐标系与参数方程考纲展示► 1.理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．考点1 直角坐标方程与极坐标方程的互化1.极坐标系(1)设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明，我们认为ρ≥0,0≤θ＜2π.(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝________，y＝________.另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________(x≠0)．答案：(1)极径(2)ρcos θρsin θx2＋y2y x2．常用简单曲线的极坐标方程(1)几个特殊位置的直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； ②直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；③直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程①当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝________； ②当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝________；③当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝________.答案：(2)①r ②2a cos θ ③2a sin θ[典题1] (1)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. ①求圆O 和直线l 的直角坐标方程；②当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] ①圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.(2)[2017·河南洛阳统考]已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos θ－π4＝2. ①将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； ②求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[解] ①由ρ＝2知，ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. ②将两圆的直角坐标方程相减，得 经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.[点石成金] (1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．考点2 参数方程与普通方程的互化1.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt并且对于t 的每一个允许值，上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________，其中变量t 称为________．答案：参数方程 参数2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝(θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ (θ为参数)．答案：(1)x 0＋t cos α y 0＋t sin α (2)a ＋r cos θ b ＋r sin θ (3)a cos θ b sin θ3．直线参数方程的标准形式的应用(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 是参数，t 可正、可负、可为0)．若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α)．(2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.[典题2] (1)把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋t (t 为参数)；③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝1t －t(t 为参数)．[解] ①由x ＝1＋12t ，得t ＝2x －2，∴y ＝2＋32(2x －2)，∴3x －y ＋2－3＝0，此方程表示直线． ②由y ＝2＋t ，得t ＝y －2， ∴x ＝1＋(y －2)2，即(y －2)2＝x －1，此方程表示抛物线．③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，①y ＝1t －t ，②∴①2－②2，得x 2－y 2＝4，此方程表示双曲线． (2)[2017·重庆巴蜀中学模拟]已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)，①求曲线C 与直线l 的普通方程；②若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．[解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，①y －m ＝sin α，②①的平方加②的平方，得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t ，得55t ＝x －1， 代入y ＝4＋255t 得y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为y ＝2x ＋2.②圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，所以由勾股定理，得⎝⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝1，解得m ＝3或m ＝1.[点石成金] 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ， 所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32 ＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．考点3 极坐标、参数方程的综合应用[典题3] 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. [解] (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ，∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 ⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(－32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义，得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝3 2.[点石成金] 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即|t |＝|P 0P →|，t 可正，可负．使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2).[2017·黑龙江大庆模拟]在平面直角坐标方程xOy 中，已知直线l 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，倾斜角α＝π6.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，得ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，故圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)代入(x －1)2＋(y －1)2＝2，得t 2－32t －74＝0， 设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝－74， ∴|PA |＋|PB |＝|t 1－t 2| ＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝312.[方法技巧] 1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方、两边同时乘以ρ等．2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos θ.3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．[易错防范] 1.极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos ty ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中， 得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝ －1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.2．[2016·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4 ＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 4．[2015·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12. 5．[2015·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.课外拓展阅读直线参数方程中参数t 的几何意义过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)①通常称①为直线l 的参数方程的“标准式”．其中参数t 的几何意义是：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.当0<α<π时，sin α>0，所以，直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．此时，若t >0，则M 0M →的方向向上；若t <0，则M 0M →的方向向下；若t ＝0，则点M 与点M 0重合．即当点M在M 0上方时，有t ＝|M 0M →|；当点M 在M 0下方时，有t ＝－|M 0M →|.该参数t 经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A ，B 两点，所求问题与定点到A ，B 两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB 上，利用参数t 的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．[典例1] 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．[思路分析] (1)由题意知，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，令Δ>0即可求得结果；(2)设交点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，由参数方程中t 1，t 2的几何意义，可得t 1＋t 2＝2(42＋2a )，t 1t 2＝2(16＋4a )，然后由|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，可得|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，代入求解即可．[解] (1)由题意，可得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)，将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程，得12t 2－(42＋2a )t ＋16＋4a ＝0，因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，所以Δ>0，即a >0或a <－4.又a >0，所以a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)设交点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2.则由(1)知，t 1＋t 2＝2(42＋2a )．t 1t 2＝2(16＋4a )，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，则|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|.解得a ＝1或a ＝－4(舍去)，所以实数a 的值为1.[典例2] 过点M (2,1)作曲线x 2＋4y 2＝16的弦AB ，若M 为线段AB 的三等分点，求线段AB 所在直线的方程．[思路分析][解] 设直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)，代入曲线方程，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋4(cos α＋2sin α)t －8＝0，令A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－4cos α＋8sin αcos 2α＋4sin 2α，① t 1·t 2＝－8cos 2α＋4sin 2α.② 因为点M (2,1)是弦AB 的三等分点，不妨令点M 为靠近点B 的一个三等分点， 所以t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－t 2，t 1·t 2＝－2t 22＝－2(t 1＋t 2)2，③将①②代入③，得12tan 2α＋16tan α＋3＝0，可求得tan α＝－4±76， 则AB 所在直线的方程为y －1＝－4±76(x －2)．。

第1讲坐标系最新考纲1。

了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2。

了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化；3。

能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.知识梳理1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：错误!的作用下，点P（x，y)对应到点P′（x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

2。

极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O(极点）；自极点O引一条射线Ox（极轴）;再选定一个长度单位,一个角度单位（通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。

(2）极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.3.极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y）极坐标(ρ，θ）互化公式错误!ρ2＝x2＋y2 tan θ＝错误!（x≠0)4。

圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为（r，0)，半径为r的圆ρ＝2r cos θ错误!圆心为错误!，半径为r的圆ρ＝2r sin θ(0≤θ＜π)5.直线的极坐标方程（1）直线l过极点,且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R).（2）直线l过点M（a，0)且垂直于极轴,则直线l的极坐标方程为ρcos__θ＝a.(3）直线过M错误!且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin__θ＝b。

诊断自测1。

判断正误（在括号内打“√”或“×”)(1）平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系。

（)(2)若点P的直角坐标为（1,－错误!），则点P的一个极坐标是错误!。

课时跟踪检测 (五十八) 坐标系1．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得曲线C ′的焦点坐标．解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．2．(1)把化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)化为极坐标方程； (2)把曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ化为直角坐标方程． 解：(1)将 x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2， 得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝r 2，ρ＝r ． 所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为 ρ＝r (0≤θ＜2π)．(2)法一：把ρ＝x 2＋y 2，sin θ＝yρ代入ρ＝8sin θ，得x 2＋y 2＝8·yx 2＋y 2，即x 2＋y 2－8y ＝0，即x 2＋(y －4)2＝16． 法二：方程两边同时乘以ρ， 得ρ2＝8ρsin θ， 即x 2＋y 2－8y ＝0．3．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4． (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)．(2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)， 当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12． 4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1．从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2．当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2．(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233． 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．5．(2017·成都模拟)在直角坐标系xOy 中，半圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3，设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2θ2＋3cos θ2＝53，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝5，θ2＝π3，由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ 的长为4．6．在极坐标系中，已知直线l 过点A (1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求：(1)直线的极坐标方程； (2)极点到该直线的距离．解：(1)如图，由正弦定理得 ρsin 2π3＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ．即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝sin 2π3＝32， ∴所求直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32．(2)作OH ⊥l ，垂足为H ， 在△OHA 中，OA ＝1，∠OHA ＝π2，∠OAH ＝π3， 则OH ＝OA sinπ3＝32，即极点到该直线的距离等于32． 7．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ．(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0．(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1． 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1．8．(2017·广州五校联考)在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R)所截得的弦长． 解：法一：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图，在Rt △OAM 中，∠OMA ＝π2， ∠AOM ＝2π－θ－π6，|OA |＝4．因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |， 所以|OM |＝|OA |·co s ∠AOM ，即ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6， 验证可知，极点O 与A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π6的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6为所求．(2)设l ：θ＝－5π12(ρ∈R)交圆C 于点P ，在Rt △OAP 中，∠OPA ＝π2，易得∠AOP ＝π4，所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝22．法二：(1)圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6． (2)将θ＝－5π12代入圆C 的极坐标方程ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，得ρ＝22，所以圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R)所截得的弦长为22．。

第一单元 高考中档大题突破 解答题: 选修－(坐标系与参数方程)基本考点——极坐标方程．圆的极坐标方程若圆心为(ρ，θ)，半径为，则圆的方程为：ρ－ρρ(θ－θ)＋ρ－＝.几个特殊位置的圆的极坐标方程：()当圆心位于极点，半径为：ρ＝；()当圆心位于()，半径为：ρ＝θ；()当圆心位于(, )，半径为：ρ＝θ.．直线的极坐标方程若直线过点(ρ，θ)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρ(θ－α)＝ρ(θ－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：()直线过极点：θ＝θ和θ＝π＋θ；()直线过点()且垂直于极轴：ρθ＝；()直线过(, )且平行于极轴：ρθ＝.．(·全国卷Ⅱ)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρθ＝.()为曲线上的动点，点在线段上，且满足·＝，求点的轨迹的直角坐标方程；()设点的极坐标为，，点在曲线上，求△面积的最大值．解：()设的极坐标为(ρ，θ)(ρ>)，的极坐标为(ρ，θ)(ρ>)．由题设知＝ρ，＝ρ＝.由·＝得的极坐标方程为ρ＝θ(ρ>)．因此的直角坐标方程为(－)＋＝(≠)．()设点的极坐标为(ρ，α)(ρ>)．由题设知＝，ρ＝α，于是△的面积＝·ρ·∠＝α·＝≤＋.当α＝－时，取得最大值＋.所以△面积的最大值为＋.．(·全国乙卷)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(\\(＝，＝＋，)) (为参数，>)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：ρ＝θ.()说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；()直线的极坐标方程为θ＝α，其中α满足α＝，若曲线与的公共点都在上，求.解：()消去参数得到的普通方程＋(－)＝，则是以()为圆心，为半径的圆．将＝ρθ，＝ρθ代入的普通方程中，得到的极坐标方程为ρ－ρθ＋－＝.。

第讲 坐标系 , )
．坐标系
()伸缩变换
设点(，)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，
点(，)对应到点(λ，μ)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．
()极坐标系
在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为ρ；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点的极坐标，记为(ρ，θ)．．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(，)和(ρ，θ)，则θ，＝ρθ，))θ＝()（≠）Ｗ.))
．直线的极坐标方程
若直线过点(ρ，θ)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρ(θ－α)＝ρ(θ－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
()直线过极点：θ＝θ和θ＝π＋θ；
()直线过点(，)且垂直于极轴：ρθ＝；
()直线过且平行于极轴：ρθ＝．
．圆的极坐标方程
若圆心为(ρ，θ)，半径为，则该圆的方程为：
ρ－ρρ(θ－θ)＋ρ－＝.
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
()当圆心位于极点，半径为：ρ＝；。

第讲坐标系
()伸缩变换
设点(，)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，
点(，)对应到点(λ，μ)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．
()极坐标系
在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为ρ；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点的极坐标，记为(ρ，θ)．．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(，)和(ρ，θ)，则θ，＝ρθ，))θ＝()（≠）.))
．直线的极坐标方程
若直线过点(ρ，θ)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρ(θ－α)＝ρ(θ－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
()直线过极点：θ＝θ和θ＝π＋θ；
()直线过点(，)且垂直于极轴：ρθ＝；
()直线过且平行于极轴：ρθ＝．
．圆的极坐标方程
若圆心为(ρ，θ)，半径为，则该圆的方程为：
ρ－ρρ(θ－θ)＋ρ－＝.
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
()当圆心位于极点，半径为：ρ＝；
()当圆心位于(，)，半径为：ρ＝θ；
()当圆心位于，半径为：ρ＝θ．。

选修4－4错误!坐标系与参数方程第一节坐 标 系突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通 抓主干知识的“源”与“流”设点P （x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：错误!的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′，y ′）,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换典例] 求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换错误!后的曲线方程． 解］ 由错误!得到错误!①将①代入错误!＋y 2＝1，得错误!＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆错误!＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝本节主要包括2个知识点：1。

平面直角坐标系下图形的伸缩变换;2.极坐标系.1。

方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个注意点（1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点P的坐标（x，y)与变换后的点P′的坐标（X，Y），再利用伸缩变换公式错误!建立联系．(2）已知变换后的曲线方程f（x，y）＝0,一般都要改写为方程f(X，Y）＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．1．在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ：错误!求点A错误!经过φ变换所得的点A′的坐标．解：设A′（x′，y′)，由伸缩变换φ：错误!得到错误!由于点A 的坐标为错误!，于是x′＝3×错误!＝1，y′＝错误!×(－2)＝－1，所以A′(1,－1）为所求．2．求直线l：y＝6x经过φ：错误!变换后所得到的直线l′的方程．解：设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由题意，将错误!代入y＝6x得2y′＝6×错误!，所以y′＝x′,即直线l′的方程为y＝x。

3．求双曲线C：x2－错误!＝1经过φ：错误!变换后所得曲线C′的焦点坐标．解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′），由题意，将｛x＝13x′，y＝2y′代入x2－错误!＝1得错误!－错误!＝1，化简得错误!－错误!＝1，即错误!－错误!＝1为曲线C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，则所求焦点坐标为F1(－5，0)，F2（5,0）．4．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆错误!＋错误!＝1的一个伸缩变换公式为φ：错误!求a,b的值．解：由错误!知错误!代入x2＋y2＝1中得错误!＋错误!＝1，所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2。