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最新2019-6复合函数求导法则-PPT课件

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《复合函数求导》PPT课件_OK

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说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
5
例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;
解:
y
4(2 x 3
x
1 x
)3
(2x3
x
1 x
)
4(2 x 3
x
1 x
)3 (6 x 2
1 x2
1)
.
(2) y 5 x
1 x
(3)y=tan3x;
(4) y (2x2 3) 1 x2
解: (1) y f ( x2 ) ( x2 ) 2xf ( x2 );
(2) y f ( 1 x2 ) 2x x f ( 1 x2 ); 2 1 x2 1 x2
(3) y [ f (sin2 x) f (cos2 x)]
f (sin2 x)(sin2 x) f (cos2 x)(cos2 x)
x0 x a2
y0 y b2
(3)过双曲线
1.
x2 a2
y2 b2
1上一点P0(x0,y0)的切线方程是:
x0 x a2
y0 y b2
1.
(4)过抛物线y2=2px上一点P0(x0,y0)的切线方程是:y0y =p(x+x0).
15
证:设x有增量Δx,则对应的u,y分别有增量Δu, Δy.
因为u (x) 在点x处可导,所以u (x) 在点x处连续.
解:
y 1 (
x
4
) 5 (
x
) 1 (
x
4
) 5
1
1
4
x5
(1
6
x) 5
.
5 1 x 1 x 5 1 x (1 x)2 5

微积分复合函数求导法则课件

微积分复合函数求导法则课件

VS
链式法则引入思路
通过实例和图形展示，引入复合函数的概 念，并让学生思考如何求复合函数的导数 ，进而引出链式法则的概念。
链式法则证明过程
链式法则证明方法
采用极限的定义和四则运算法则进行证明， 让学生理解链式法则的本质和推导过程。
链式法则证明步骤
首先通过极限的定义求出复合函数的导数， 然后利用四则运算法则进行化简，得到链式 法则的公式。
隐函数求导法则
若y是x的函数，且由方程F(x,y)=0确 定，则将方程两边同时对x求导，得到 y'的表达式。
03
复合函数求导法则推导
链式法则引入
链式法则定义
若函数$y=f(u)$在点$u$可导，函数 $u=g(x)$在点$x$可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$在点$x$也可导，且其导数为 $f'[g(x)] \cdot g'(x)$。
高阶导数性质
高阶导数具有线性性、叠加性和乘积法则等基本性质， 同时高阶导数与函数的凹凸性和拐点等性质密切相关。
隐函数求导方法简述
隐函数概念
当函数y以隐式形式给出，即F(x,y)=0时，称y为x的隐 函数。
隐函数求导方法
通过对隐函数F(x,y)两边同时对x求导，并利用链式法 则和复合函数求导法则，求得y'和y''等导数。
微积分复合函数求导法则课 件
目录
• 复合函数概述 • 求导基础知识回顾 • 复合函数求导法则推导 • 复合函数求导法则应用实例分析 • 高阶导数及隐函数求导方法介绍 • 总结回顾与拓展延伸
01
复合函数概述
复合函数定义
• 定义：设函数y=f(u)的定义域为Df，值域为Rf，函数u=g(x)的定义域为Dg，值域为Rg，且Rf∩Dg≠∅，则称函 数y=f[g(x)]为f(u)与g(x)的复合函数，记作y=f·g(x)，其中x∈Dg，u∈Rf∩Dg，y∈Ry。这里Rf∩Dg表示f(u)与 g(x)的定义域的交集。

《复合函数求导》课件

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边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的 变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解 物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率， 从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲 线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更 好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函 数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以 表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。

简单复合函数的求导法则学习教育课件PPT

简单复合函数的求导法则学习教育课件PPT

推论：[c· f(x)]’ = c f’(x)
3)
课前练习：
1 1 1. y x( x 2 ), 求y '； x x x x 2. y x sin cos , 求y '； 2 2
2
3. y x cos( x), 求y '；
1 4. y , 求y '； sin x 5 x x x sin x 5. y , 求y '. 2 x
(2) y 3 x 2 x 1； (4) y ( a bx n ) m；
引例1：求函数y=(3x-1)2的导数.
已知y (3x 1) , 那么 y ' (3x 1) 2 (9x 6x 1)' 18x 6
2 2 '
函数y (3x 1)2 又可以看成由y u 2 , u 3x 1复合而成,
问题：如何求y (3x 2) 的导数？
2
① y x y 3x 2 9 x 12x 4 18 x 12
'
'

2'

2
'
y ( 3 x 2) 是一个复函数， ② 其实，
2
由 yu
yu
2
与 u 3 x 2 复合而成 .
2u

6 x 4 ; ux
复合函数的求导法则:
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量f(u) 的导数,乘以中间变量 u ( x ) 对自变量的导数.
注意： 1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.

《复合函数求导》课件

《复合函数求导》课件
《复合函数求导》PPT课 件
本课件将详细介绍复合函数求导的概念和方法，并提供实例演练，帮助你掌 握这一重要的数学技巧。
什么是复合函数
复合函数是由一个函数作为另一个函数的输入而构成的函数。 复合函数的定义：设有函数y=f(u)，u=g(x)，则g(x)为f(u)的函数，称为复合函数，记作y=f(g(x))。 复合函数的示例：如sin(x^2)、e^(-2x)。
怎样对复合函数求导
1
链式法则的公式
2
若有f(u)和g(x)为可导函数，则(f(g(x)))'
= f'(u) * g'(x)。
3
链式法则的含义
链式法则是求解复合函数导数的重要 方法。
链式法则的应用
通过链式法则，我们可以将复杂的复 合函数求导问题简化为简单的导数计 算。
实例演练
实现链式法则的步骤
- 确定外函数和内函数- 分别求导外函数和内函数
2 复合函数求导的注意事项
注意在求导过程中使用链式法则，正确处理连锁关系。
3 复合函数求导的练习题提示
多做练习，加深对链式法则的理解和掌握。
实例演练2
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=cos(u)，g(x)=x^2-1。
实例演练1
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=u^2，g(x)=5x^3。
实例演练3
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=ln(u)，g(x)=2x+1。
总结
1 复合函数求导的考点
了解复合函数的概念和求导方法。

复合函数求导法【高等数学PPT课件】

复合函数求导法【高等数学PPT课件】

y 2 u
y
u 1 (u u )
x 2
2u x 2

1 2
[(
2u
2

1 2

2u 1)
2
( 2u

1 2
2u
2

1)] 2

1 4
(2u2

2
2u


2u
2
)
x y, x2 y
y
解
求 uxx , uxy , uxz .
ux
f1
1 y

f2 z
f3 0
1 y
f1
zf2
uxx
1( y
f11

1 y

f12 z)
f

z(
f21
1 y

f22 z)
1x
2y 3z

1 y2
f11

2
z y
f12

z2
f

,
f21

2 f vu
,
f22

2 f v 2
例1 z f ( xy, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导，
求 z xy . 解 zx f1 y f2 2x
1x
f
2y
f1
1 2
x y
f2
1 2
x y
zxy f1 y( f11 x f12 (2 y)) 2x( f21 x f22 (2 y))
第4节 多元复合函数微分法
一、多元复合函数的求导法则
一元函数：y f (u), u ( x) 都可导，则

复合函数的求导法则ppt课件


1 － 2a = 2b －4
ab 5. 2
解(2): ab a b
ab (a b)2 25 .
2
2
16
16
再见!
17
eu (0.05) 0.05e0.05x1.
10
例2 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ; 3 y sin x 其中 ,均为常数 .
(3)函数 y sin x 可以看作函数 y sin u
13
例4.求过点P(－2,0)且与曲线y=x2＋x＋1相切的直线方程.
b=a2＋a＋1 …………(1)
y' 2x 1
kPA 2a 1
kPA

a
b
2
b
P(－2,0)
2a 1
a2
b=2a2＋5a＋2 …………(2)
A(a,b)
2a2＋5a＋2 =a2＋a＋1 a2＋4a＋1=0
和 u x 的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y'x yu' u'x (sin u)' x ' cos u cos x .
11
4 y 2x 3 ; 5 y ln(2x 1);
(6) y ( x 2)3(3x 1)2
解出a即可。
15
例5.设抛物线C1 : y x2 - 2x 2与抛物线 C2 : y - x2 ax b在它们的交点处的切线互相垂直. (1)求a, b之间的关系.
(2)若a 0, b 0,求ab的最大值.
解(1): 设C1与C2交点P(m,n),

简单复合函数的导数 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册

) (
)

x
(
1

x
)
.
2
5 1 x
1 x
5 1 x
(1 x)
5
1
2 2
2
2
2
y

(2
x

3)
1

x

(2
x
3)(1 x ) ;
解:
1
2 2
讲
课
人
：
邢
启
强
1

1
y 4 x(1 x ) (2 x 2 3) (1 x 2 ) 2 2 x
2
2
3
即曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 5.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,
所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
讲
课
人
：
邢
启
强
13
典型例题
例4(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(
A. 5
B.2 5
C.3 5
)
D.0
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'|= =2 求P(x ,y )→由点到直线的距离求最小值

高等数学第九章第四节多元复合函数的求导法则课件.ppt


tt
z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
t tt
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
又如, z f (x,v), v (x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
xfy12z
f2f2, u
fy12f
2
2 f u v
,
例5. 设
二阶偏导数连续,求下列表达式在
极坐标系下的形式
解: 已知
,则
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u,v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v
说明: 若定理中

导数复合函数求导法则非常实用(共14张PPT)

由已知得f(1)=1，f(2)=－1，f ’(2)=1，
abc1
4
a
2b
c
1
4a b 1
a3
解得
b
11
c 9
第8页，共14页。
练习题 1．函数y=(5x－4)3的导数是（ ）C
（A）y’＝3(5x－4)2 （B）y’＝9(5x－4)2 （C）y’＝15(5x－4)2 （D）y’＝12(5x－4)2
第9页，共14页。
2．函数 y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数是 （）D
（A）y’=Asin(ωx+φ) （B）y’=－Asin(ωx+φ) （C）y’=Aωcos(ωx+φ) （D）y’=－Aωsin(ωx+φ)
第10页，共14页。
3．函数y=sin(x2+1)＋cos3x的导数是（ ） （BA）y’=cos(x2+1)－sin3x （B）y’=2xcos(x2+1)－3sin3x （C）y’=2xcos(x2+1)+3sin3x （D）y’=cos(x2+1)+sin3x
第11页，共14页。
4．函数y=(1+cosx)3是由 y=u3, u=1+cosx两个 函数复合而成．
5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方程
是
y=1 .
第12页，共14页。
6．求 y3 ax2 bxc的导数
Байду номын сангаас
y
'
1
(ax2
bx
2
x) 3
(2ax
b)
3
(2ax b) 3 ax2 bx c 3(ax2 bx c)
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而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该
点单调性没发生改变.
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间
如果 f (x) 0 ,则f(x)为增函数;
如果f (x) 0 ,则f(x)为减函数.
注:如果在某个区间内恒有 f (x) 0 ,则f(x)为常
数函数.
2.,设函数 f (x) xekx (k 0) （Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的
切线方程；（Ⅱ）求函数 f (x) 的单调区间；
（Ⅲ）若函数 f (x) 在区间 (1,1) 内单调递
增，求 k 的取值范围.
（2009 北京理）（本小题共 13 分）
设函数 f (x) xekx (k 0) （Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f (x) 的单调区间； （Ⅲ）若函数 f (x) 在区间 (1,1) 内单调递增，求 k 的取值范围.
注:如果 f ( x) 0 ,那么函数是常数函数．
考察函数的单调性与导数的关系：
观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
.. .. 2 .. . 0
总结: 该函数在区间(－∞,2) 上单调递减,切线斜率小
于0,即其导数为负; 该函数在区间(2,+∞)
上单调递增,切线斜率大
x 于0,即其导数为正.
练 习 ： 确 定 下 列 函 数 的单 调 区 间 （1）f ( x) 3x2 2ln x
(2) f ( x) x 1 x
(3) f ( x) x2ex
y
2 -1
01
-2
单增区间：(-∞，-1)和 （1，+∞）.
x 单减区间：(-1，0）和
（0，1）.
运用导数确定函数的单调性的方法步骤: 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数 f ′(x) 3.求出f ′(x)=0的根
4.用f ′(x)=0的根将f(x)定义域分成若干个区间， 列表考察这若干个区间内 f ′(x)的符号
进而确定f(x)的单调区间
例 3 ： (1 )讨论 f(x ) 函 ax a 数 x(a0 且 a 1 ) 的单调性 (2)：已知f函 (x)数 (2xx1b)2 求：导f函 (x)数 ，并确 f(x定 )单调区间
例1：确定下列函数的单区调间 （1）y x2 2x 4
yax2bxc0(a0)的单调区
(2)y2x36x27
例2：求下列函数的单调区间 （1）y ln(2 3x)
(2) y x3
注意:(1)函数的单调区间是定义域的子区间
（2）在判断函数单调性时,如果出现个别点使 函数的导数为0不影响包含该点在某个区间上 的单调性
例1： (1)yax3x在R上是减函数a， 的求 取实 值 (2)已知 f(x)(x24)(xa)在区间 ， （ 2] 和[2， ）上都是增函 数a数 的， 取求 值实 范围
反 思 f(x ： )在已 D 区 上 知 间 单 调 f(x) 递 0 在 D 上 恒 成 立
例2： 设 f(x)在R上 是 偶 函 数 ， ( 在 ,0)上 区 间 f(x)0且有 f(2a2a1) f(3a22a1) 求的取值范围
不难发现,当曲线上升时, f ( x) 0 ;
当曲线下降时, f ( x) 0 , y
反之也成立.
f (x) 0
f (x) 0
a
0b
cx
也就是说函数的单调性与导数的符号有如下关系: 在 某 个 区 间 (a ,b) 内 , 如 果 f ( x) 0 , 那 么 函 数 y f ( x) 在这个区间内单调递增；如果 f ( x) 0 ，那 么函数 y f ( x) 在这个区间内单调递减．
利用导数判断函数的单调性
函数的单调性概念:
直观地来看,如图从a到b曲线是上升的,说函数f(x)
在区间(a,b)上是增函数;
y
从b到c曲线是下降的, 说函数f(x)在区间(b,c)上
y f(x)
是减函数.
a
0b
cx
严格地说,对于给定区间上的函数f(x), 如果对于属
于这个区间的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1<x2时， (1)若f(x1)<f(x2), 那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f(x2), 那么f(x)在这个区间上是减函数.
（Ⅱ）由 f ' x 1 kxekx 0 ，得 x 1 k 0 ，
k
若
k

0 ，则当
x


,

1 k

时，
f
'
x

0 ，函数
f
x 单调递减，
当
x



1 k
,
,

时，
f
'
x

0 ，函数
f
x 单调递增，
若
k

0 ，则当
导数的几何意义:
导数 f (x) lim f (x x) f (x) 的几何意义是:
x0
x
函数 y f ( x) 的图象在
y
点 ( x, f ( x)) 处的切线的
斜率.(如图)
f (x) 0
f (x) 0
a
0b
cx
观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的
大小;曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小, 你发现了什么规律?
注意对字母系数的讨论
（3）（北京 2010.18）(本小题共 13 分)
已知函数 f ( x )=ln(1+ x )- x + k x2 ( k ≥0)。 2
(Ⅰ)当 k =2 时，求曲线 y = f ( x )在点(1， f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间。
用导数判断函数单调性应用 1.求参数值
反思:偶函数在对称区间上有相反的 单调性 奇函数有相同的单调性
例3： 设 f(x)ax3x恰 有 三 个 单 调 区 试 确a的 定取 值 范 围 ，三并个求单出调这
1.已知函数 补充作业
f (x) x3 ax2 3bx c(b 0),且g(x) f (x) 2 是奇函数.（Ⅰ）求 a,c 的值；（Ⅱ）求函数 f(x) 的单调区间.
x