高考数学 大一轮复习 第8章 第2节 两条直线的位置关系课时提升练 文 新人教版

第2讲两直线的位置关系, [同学用书P145])1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1＝k2k1与k2都不存在垂直k1k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在2．两条直线的交点3．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B21．辨明三个易误点(1)在推断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可依据相应公式或性质推断，若直线无斜率，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2时，肯定要留意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n∈R，且n≠C)．1.教材习题改编已知A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－m，m＋1)，若直线AB∥PQ，则m的值为()A．－1B．0C．1 D．2C[解析] 由于AB∥PQ，所以k AB＝k PQ，即0－3－4－2＝m＋1－1－m－（－3），解得m＝1，故选C.2.教材习题改编已知A(5，－1)，B(m，m)，C(2，3)，若△ABC为直角三角形且AC边最长，则整数m 的值为()A．4 B．3C．2 D．1D[解析] 由题意得B＝90°，即AB⊥BC，k AB·k BC＝－1，所以m＋1m－5·3－m2－m＝－1.解得m＝1或m＝72，故整数m的值为1，故选D.3．直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则实数a的值为________．[答案]234.教材习题改编两平行直线x－2y－1＝0与x－2y＋m＝0的距离为5，则m＝________．[解析] 由平行线间的距离公式得|－1－m|12＋（－2）2＝5，即|m＋1|＝5，所以m＝4或m＝－6.[答案] 4或－65.教材习题改编已知三点O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，则△OAB的面积为________．[解析] 由于|AB|＝（1－3）2＋（3－1）2＝2 2.AB所在的直线方程为y－31－3＝x－13－1，即x＋y－4＝0.所以O 到AB 的距离d ＝|－4|2＝2 2.所以S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×22×22＝4.[答案] 4两条直线平行与垂直[同学用书P146][典例引领](1)(2021·邢台摸底考试)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．【解析】 (1)依题意，留意到直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧－a 3＝－1a －2，1a －2≠1，解得a ＝－1，故选C.(2)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0，2)．由于l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：由于直线l 过直线l 1和l 2的交点，所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. 由于l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， 所以λ＝11，所以直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0， 即4x ＋3y －6＝0.【答案】 (1)C (2)4x ＋3y －6＝0将本例(2)中条件“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直”改为“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0平行”，求此时直线l 的方程．[解] 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0，2)． 由于l ∥l 3，所以直线l 的斜率k ＝34，所以直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x －4y ＋8＝0.法二：由于直线l 过直线l 1和l 2的交点，所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. 由于l 与l 3平行，所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所以λ＝27，所以直线l 的方程为3x －4y ＋8＝0.两直线平行或垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合． (3)已知两直线的一般方程设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.该方法可避开对斜率是否存在进行争辩．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)由于l 1⊥l 2， 所以a (a －1)－b ＝0.又由于直线l 1过点(－3，－1)， 所以－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.(2)由于直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， 所以直线l 1的斜率存在． 所以ab＝1－a .①又由于坐标原点到这两条直线的距离相等， 所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .②联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.距离公式(高频考点)[同学用书P147]距离公式包括两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式．在高考中经常消灭，多为简洁题或中档题．高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度： (1)求距离；(2)已知距离求参数值； (3)已知距离求点的坐标． [典例引领](1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A ．95B ．185C ．2910D ．295(2)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为________．【解析】 (1)由于36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)设点P 的坐标为(a ，b )． 由于A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.由于点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， 所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， 所以|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 【答案】 (1)C (2)(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87[题点通关]角度一 求距离 1．(2021·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( )A ．102B ．10C ．5D ．10D [解析] 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，由于过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以M 位于以PQ 为直径的圆上，由于|PQ |＝9＋1＝10，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10，故选D. 角度二 已知距离求参数值2．若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 A [解析] 由于直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，所以⎩⎨⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，所以n ＝－2，m ＝2(负值舍去)． 所以m ＋n ＝0.角度三 已知距离求点的坐标3．已知定点A (1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫12，12 B ．⎝⎛⎭⎫22，22 C ．⎝⎛⎭⎫32，32 D ．⎝⎛⎭⎫52，52 A [解析] 由于定点A (1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，AB 的方程为y ＋x －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，12.对称问题[同学用书P148][典例引领]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413. 所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4，3)．又由于m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，由于P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.[通关练习]1．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1，0)对称，则b ＝________． [解析] 法一：由题知，点A 不在直线x ＋2y －3＝0上， 所以两直线平行， 所以－12＝－a4，所以a ＝2.又点A 到两直线距离相等， 所以|1－3|5＝|2＋b |25，所以|b ＋2|＝4， 所以b ＝－6或b ＝2.由于点A 不在直线x ＋2y －3＝0上，所以两直线不能重合， 所以b ＝2.法二：在直线x ＋2y －3＝0上取两点P 1(1，1)、P 2(3，0)， 则P 1、P 2关于点A 的对称点P ′1、P ′2都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上． 由于易知P ′1(1，－1)、P ′2(－1，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－a ＋b ＝0，所以b ＝2.[答案] 22．已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．[解析] 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －（－3）·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)， 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. [答案] 6x －y －6＝0,[同学用书P148])——忽视直线斜率的不存在性致误已知直线l 过点A (1，2)，且原点到直线l 的距离为1，求直线l 的方程．【解】 当直线l 过点A (1，2)且斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，原点到直线l 的距离为1，满足题意．当直线l 过点A (1，2)且斜率存在时，由题意设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0. 由于原点到直线l 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以所求直线l 的方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0.(1)解决本题易忽视直线的斜率不存在的状况，从而只求得一条直线．(2)在解决与直线方程或直线位置关系有关问题时，若题目中没有明确直线的斜率是否存在，要留意对斜率的存在性进行分类争辩．已知经过点A (－2，0)和点B (1，3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2相互垂直，则实数a 的值为________．[解析] l 1的斜率k 1＝3a －01－（－2）＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －（－1）a －0＝1－2aa .由于l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa ＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0，0)，这时直线l 2为y 轴， A (－2，0)，B (1，0)，直线l 1为x 轴，明显l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0. [答案] 1或0,[同学用书P339(独立成册)])1．若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0相互平行，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 C [解析] 由于直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0相互平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋（2－m ）＝0，m ＋2（2－m ）≠0，解得m ＝1.故选C. 2．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B ．13或－1C ．13D ．－1B [解析] 由于直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0， l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2， 所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0， 解得a ＝13或a ＝－1.故选B.3．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限B [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎨⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又由于0<k <12，所以x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在其次象限．4．(2021·石家庄模拟)已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝0A [解析] 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.5．已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．－6或12B ．－12或1C ．－12或12D ．0或12A [解析] |3m ＋2＋3|m 2＋12＝|－m ＋4＋3|m 2＋12，即|3m ＋5|＝|7－m |，解得m ＝－6或12.6．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A ．522B ．5 2C ．1522D ．15 2B [解析] 由题意得，线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，由于原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝102＝52，所以线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值为5 2.7．已知A ，B 两点分别在两条相互垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为________．[解析] 依题意，a ＝2，P (0，5)，设A (x ，2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则 A (4，8)，B (－4，2)，所以|AB |＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10.[答案] 108．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为________．[解析] 由于l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，即直线l 2的斜率为12. [答案] 129．已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________．[解析] 当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．由于A (1，1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.[答案] x ＋2y －3＝010. 如图，已知A (－2，0)，B (2，0)，C (0，2)，E (－1，0)，F (1，0)，一束光线从F 点动身射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．[解析] 从特殊位置考虑．如图，由于点A (－2，0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2，4)，所以kA 1F ＝4.又点E (－1，0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2，1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1，4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，所以k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．[答案] (4，＋∞)11．正方形的中心为点C (－1，0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程． [解] 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离 d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0， 则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.12．(2021·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线D [解析] 由于点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排解A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C＝0平行，排解C ，故选D.13．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． [解] (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，明显，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图． 由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．14．A ，B 两个工厂距一条河分别为400 m 和100 m ，A ，B 两工厂之间距离500 m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A ，B 两工厂用水，要使供水站到A ，B 两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？[解] 如图，以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A (0，400)，点B (a ，100)． 过点B 作BC ⊥AO 于点C .在△ABC 中，AB ＝500，AC ＝400－100＝300， 由勾股定理得BC ＝400， 所以B (400，100)．点A (0，400)关于x 轴的对称点A ′(0，－400)， 由两点式得直线A ′B 的方程为y ＝54x －400.令y ＝0，得x ＝320， 即点P (320，0)．故供水站(点P )在距O 点320 m 处时，到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短．。

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第二节 两条直线的位置关系——————————-——-————--———-——-—-—--[考纲传真] 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。

3。

掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2。

（2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2。

2．两条直线的交点的求法直线l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2:A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1,C 1，A 2，B 2,C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组错误!的解．3．距离P 1（x 1，y 1），P 2(x 2，y 2）两点之间的距离|P 1P 2｜d ＝x 2－x 12＋y 2－y 12 点P 0（x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝错误! 平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．（思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”）（1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ）(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1。

第八章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系课标要求命题点五年考情命题分析预测1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间及点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.两条直线的位置关系该讲知识是平面解析几何部分的基础，命题热点为两点间与点到直线的距离公式的应用，判断两直线的位置关系及求解有关对称问题，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等偏易.交点与距离问题2021新高考卷ⅠT11；2021新高考卷ⅡT3；2020全国卷ⅡT5；2020全国卷ⅢT8对称问题2022新高考卷ⅡT15学生用书P1721.两条直线的位置关系记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.2.两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的交点坐标与方程组1＋1＋1=0，2＋2＋2=0的解一一对应.3.三种距离公式距离类型公式将直线方程化为一般式；（2）求两平行线间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等.1.下列说法正确的是（A ）A.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线不一定相交B.点P （x 0，y 0）到直线y ＝kx ＋bC.当直线l 1和直线l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2D.若两条直线垂直，则他们的斜率之积一定等于－12.设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0，则l 1与l 2的位置关系是（B）A.平行 B.相交C.重合D.不确定解析假设l 1与l 2平行或重合，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得12＋2＝0，与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交.故选B.3.已知直线l 1：3x －y －1＝0，l 2：x ＋2y －5＝0，l 3：x －ay －3＝0不能围成三角形，则实数a 的取值不可能为（A ）A.1B.13C.－2D.－1解析由题意可得，若三条直线不能围成三角形，则其中有两条直线平行或三条直线经过同一点.若其中有两条直线平行，当l 1∥l 3时，可得a ＝13，当l 2∥l 3时，可得a ＝－2；若三条直线经过同一点，由3－=1，+2=5，可得直线l 1与l 2的交点为（1，2），则（1，2）在l 3上，故可得1－2a －3＝0，解得a ＝－1.综上，实数a 的值可能为13，－2，－1.故选A.4.[易错题]直线2x ＋2y ＋1＝0与x ＋y ＋2＝0之间的距离是324.解析先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离d ｜2－12｜.（注意应用公式时x ，y 的系数分别对应相等）5.[教材改编]已知点A （2，1），B （3，4），C （－2，－1），则△ABC 的面积为5.解析解法一设AB边上的高为h，则h就是点C到AB所在直线的距离.｜AB｜＝（3－2）2＋（4－1）2＝10.由两点式可得AB边所在直线的方程为－1＝－23－2，即3x－y－5＝0.点C（－2，－1）到直线3x－y－5＝0的距离h10，所以S△ABC＝12×｜AB｜×h＝12×10×10＝5.解法二易知B ＝（1，3），B ＝（－4，－2），所以△ABC的面积为12×｜1×（－2）－3×（－4）｜＝5.（二级结论：若B ＝（x，y），B ＝（u，v），则S△ABC＝12｜x v－yu｜）学生用书P173命题点1两条直线的位置关系例1（1）[2023四川凉山州二模]已知直线l1：mx－y＋1＝0，直线l2：4x－my＋2＝0，若l1∥l2，则m＝－2.解析因为l1∥l2，所以－2＝－4，2≠4，（注意排除直线重合情况）解得m＝－2.（2）经过点A（2，1）且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＝0.解析因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A（2，1），所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，故所求直线方程为x－2y＝0.方法技巧1.判断两条直线位置关系的注意点（1）斜率不存在的特殊情况；（2）可直接利用直线方程系数间的关系得结论.2.与直线Ax＋By＋C1＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C2＝0，与直线Ax＋By＋C1＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2），过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R）（该直线系不含l2）.训练1（1）[2023南昌市模拟]直线l1：ax＋（a＋1）y－1＝0，l2：（a＋1）x－2y＋3＝0，则“a＝2”是“l1⊥l2”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若l1⊥l2，则a（a＋1）＋（a＋1）×（－2）＝0，解得a＝－1或a＝2，所以“a＝2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.（2）过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为2x＋3y＋10＝0.解析设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0（c≠5），由题意知，2×1＋3×（－4）＋c＝0，解得c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.命题点2交点与距离问题例2（1）[全国卷Ⅲ]点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（B）A.1B.2C.3D.2解析解法一由点到直线的距离公式知点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离d＝当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d使d最大，需k＞0且k＋1最小，由基本不等式知，k＋1≥2，当且仅当k＝1时，等号成立，所以当k＝1时，d max＝2，故选B.解法二记点A（0，－1），直线y＝k（x＋1）恒过点B（－1，0），当AB垂直于直线y ＝k（x＋1）时，点A（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离最大，且最大值为｜AB｜＝2，故选B.（2）[2023合肥市期末]若直线y＝x与直线y＝1x－5的交点在直线y＝kx＋3上，则k的值为35.解析由题易得k≠1，由＝1－5，＝，得x＝y＝51－，将（51－，51－）代入y＝kx＋3，得51－＝521－＋3，得k＝35.方法技巧1.求解距离问题的策略（1）点到直线的距离问题可直接利用距离公式求解，但要注意方程必须为一般式.（2）两平行线间的距离：①利用两平行线间的距离公式求解；②将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.2.遇到含有平方和、绝对值等形式的代数式时，注意利用距离公式的几何意义求解.训练2（1）直线l过点P（1，2），且点A（2，3），B（4，－5）到l的距离相等，则直线l的方程是（C）A.4x＋y－6＝0B.x＋4y－6＝0C.3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0D.3x＋2y－7＝0或x＋4y－6＝0解析显然直线l的斜率存在，故设直线l：y－2＝k（x－1），即kx－y－k＋2＝0，则k－1＝3k＋7或k－1＋3k＋7＝0⇒k＝－4或k＝－32，所以l的方程为y－2＝－4（x－1），即4x＋y－6＝0或y－2＝－32（x－1），即3x＋2y－7＝0.故选C.（2）函数f（x）＝2－2+2＋2+2+2的最小值为22.解析f（x）＝2－2+2＋2+2+2＝（－1）2+1＋（+1）2+1，所以函数f（x）的几何意义为点P（x，0）与点A（1，1），点B（－1，1）的距离之和，易知点P为x轴上一动点，且当点P在原点时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值22.命题点3对称问题例3已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）.求：（1）点A关于直线l的对称点A'的坐标；（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m'的方程；（3）直线l关于点A对称的直线l'的方程.解析（1）设A'（x，y×23＝－1，－12－3×－22+1=0，解得＝－3313，＝413，即A'（－3313，413）.（2）在直线m上任取一点，如M（2，0），则M（2，0）关于直线l的对称点必在m'上.设M关于直线l的对称点为M'（a，b），3×r02+1=0，解得＝613，＝3013，即M'（613，3013）.设m与l的交点为N，则由－1，2－3+1=0，3－2－6=0得N（4，3）.又m'经过点N（4，3），所以由两点式得直线m'的方程为9x－46y＋102＝0.（3）解法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P（1，1），N（4，3），则P，N关于点A的对称点P'，N'均在直线l'上.易知P'（－3，－5），N'（－6，－7），由两点式可得l'的方程为2x－3y－9＝0.解法二设Q（x，y）为l'上任意一点，则Q（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为Q'（－2－x，－4－y），因为点Q'在直线l上，所以2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0.方法技巧对称问题的解题策略射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝－13x －23射出，则实数a 可以为（AD ）A.2B.－2C.23D.－23解析由题知，直线y ＝－3x ＋3a 2－4a －2与直线y ＝－13x －23关于直线x ＋y ＝0对称.在直线y ＝－13x －23上任意取一点A （x 0，y 0），其关于直线x ＋y ＝0对称的点为（-y 0，-x 0），则0＝－130－23，－0=30+32－4－2，整理得3a 2－4a －4＝0，解得a ＝−23或a ＝2，故选AD.（2）过点P （0，1）作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.解析设l 1与l 的交点为A （a ，8－2a ），由题意知，点A 关于点P 的对称点o −，2−6)在l 2上，把点B 的坐标代入l 2的方程得－a －3（2a －6）＋10＝0，解得a ＝4.因为点A （4，0），P （0，1）在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.1.[命题点1]已知点A （－m －3，2），B （－2m －4，4），C （－m ，m ），D （3，3m ＋2），若直线AB ⊥CD ，则m 的值为1或－1.解析解法一∵A ，B 两点的纵坐标不相等，∴AB 与x 轴不平行，又AB ⊥CD ，∴CD 与x 轴不垂直，∴－m ≠3，即m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而当m ＝－1时，点C ，D 的纵坐标均为－1，则CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意.当AB 与x 轴不垂直，即m ≠－1时，k AB ＝4－2－2－4－（－－3）＝2－（r1），k CD ＝3r2－3－（－）＝2（r1）r3.∵AB ⊥CD ，∴k AB ·k CD ＝－1，即2－（r1）·2（r1）r3＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.解法二由题意可得B ·C＝0，所以（－m －1，2）·（3＋m ，2m ＋2）＝0，解得m ＝±1.2.[命题点2/2023武汉市部分学校质检]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则｜c 1－c 2｜＝（B ）A.23B.25C.2D.4解析直线x ＋2y ＋1＝0与x ＋2y ＋3＝0间的距离d 1直线3x －4y ＋c 1＝0与3x －4y ＋c 2＝0间的距离d 2＝｜1－2｜5.由菱形的性质知d 1＝d 2，所以｜1－2｜5＝255，所以｜c 1－c 2｜＝25.3.[命题点2]｜3x ＋4y －12｜＋｜3x ＋4y ＋1｜的最小值为13.解析设点P （x ，y ），l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：3x ＋4y ＋1＝0，则点P 到l 1的距离d 1＝｜3r4－12｜5，点P 到l 2的距离d 2＝｜3r4r1｜5，则｜3x ＋4y －12｜＋｜3x ＋4y ＋1｜＝5（d 1＋d 2），易得直线l 1∥l 2，所以当点P 位于直线l 1与l 2之间时，｜3x ＋4y －12｜＋｜3x ＋4y ＋1｜最小，最小值为直线l 1与l 2之间的距离的5倍，即d ＝|−12−1|5×5＝13.4.[命题点2，3/2024江西景德镇一中模拟]在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A 的坐标为（－4，2），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为x －y ＋1＝0，∠B 的角平分线所在的直线方程为2x ＋y －2＝0，则直线BC 的方程为18x －y －38＝0.解析设点B 坐标为（a ，b ），因为点A 的坐标为（－4，2），所以AB 的中点M （K42，r22），所以－42－r22＋1＝0，即a －b －4＝0.因为点B 在直线2x ＋y －2＝0上，所以2a ＋b －2＝0.由－－4=0，2＋－2=0，解得=2，＝－2，所以B （2，－2）.设点A （－4，2）关于直线2x ＋y －2＝0的对称点为A'（m ，n ），r22－2=0，2）＝－1，解得＝125，＝265，所以A'（125，265），所以直线BC的方程为y＋2＝265+2125－2·（x－2），即18x－y－38＝0.5.[命题点3]已知直线l：x－y－1＝0.若直线l上存在一点P，使P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差的绝对值最大，则点P的坐标为(103,73)；若直线l上存在一点Q，使Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小，则点Q的坐标为(52,32).解析如图1，设点B关于l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，PB，PB'，=－1，1=0，解得=5，＝－1，∴点B'的坐标为（5，－1）.易知｜｜PB｜－｜PA｜｜＝｜｜PB'｜－｜PA｜｜≤｜AB'｜，当P，B'，A三点共线时，｜｜PB'｜－｜PA｜｜最大.于是直线AB'的方程为－1－1－1＝－45－4，即2x＋y－9＝0.图1联立直线l与AB'的方程，解得＝103，＝73，即点P的坐标为（103，73）.如图2，设点C关于l的对称点C'的坐标为（m，n），连接CC'，QC，QC'，QA，1=－1，2－1=0，解得=1，=2，图2∴点C'的坐标为（1，2），∴直线AC'的方程为－12－1＝－41－4，即x＋3y－7＝0.易知｜QA｜＋｜QC｜＝｜QA｜＋｜QC'｜≥｜AC'｜，当Q，A，C'三点共线时，｜QA｜＋｜QC'｜最小.联立直线AC'与l的方程，解得＝52，＝32，即点Q的坐标为（52，32）.学生用书·练习帮P3491.[2024山东鄄城第一中学校考]若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－12x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（A）A.（－52，12）B.（－2，12）C.[－52，－12]D.[－25，12]解析将两直线方程联立得＝+2+1，＝－12+2，得＝2－43，＝2r53，即交点坐标为（2－43，2r53）.2－43>0，2r530，解得－52＜k＜12.故选A.2.[2024天津耀华中学校考]已知A（－2，4），B（－4，6）两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为（A）A.1或2B.3或4C.3D.4解析由题意得2+1＝2+1，整理得｜2a－5｜＝｜4a－7｜，则2a－5＝±(4−7)，解得a＝1或a＝2.故选A.3.已知直线l1：x sinα＋y－1＝0，直线l2：x－3y cosα＋1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝（A）A.35B.－35C.23D.－23解析因为l1⊥l2，所以sinα－3cosα＝0，所以tanα＝3，所以sin2α＝2sinαcosα＝2sinBossin2＋cos2＝2tG1+tan2＝35.故选A.4.[2024河北衡水模拟]已知点（a，b）在线段3x＋4y－10＝0（－2≤x≤6）上，则2+ 2−2的取值范围是（B）A.[2，18]B.[2，38]C.[0，38]D.[0，210－2]解析画出3x＋4y－10＝0（－2≤x≤6）的图象如图.（a，b）是图中线段上任意一点，a2＋b2表示原点到点（a，b）的距离的平方，易知图中线段的端点分别为（－2，4），（6，－2），到原点距离的平方分别为20，40，由原点到线段的距离d＝|−10|32＋42＝2，可得2＝4，综上，a2＋b2∈[4，40]，故a2＋b2－2∈[2，38].故选B.5.已知点A（3，－1），B（5，－2），且点P在直线x＋y＝0上，若使｜PA｜＋｜PB｜取得最小值，则P点的坐标是（C）A.（1，－1）B.（－1，1）C.（135，－135）D.（－2，2）解析点A（3，－1）关于直线x＋y＝0的对称点为A'（1，－3），直线A'B与直线x＋y ＝0的交点即为所求的点，直线A'B的方程为r3－2+3＝－15－1，即y＝14x－134，与x＋y＝0联立，解得＝135，＝－135.即点P坐标为（135，－135）时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值.6.m是实数，直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，O为坐标原点，则｜OQ｜的最大值是（B）A.2B.22C.23D.4解析解法一由－B－2=0，B＋+2=0，得＝2－22+1，＝－2r22+1，即点Q（2－22+1，－2r22+1）.因为m是实数，O为坐标原点，所以｜OQ−==当m＝0时，｜OQ｜max＝22，所以｜OQ｜的最大值是22.解法二易知直线l1恒过定点A（2，0），直线l2恒过定点B（0，－2），且l1⊥l2.连接AB，数形结合（如图所示）可知，点O，Q均在以AB为直径的圆上，故可得｜OQ｜max＝｜AB｜＝22.7.[多选/2023青岛检测]已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：（m＋2）x－（m＋1）y＋2m＋5＝0（m∈R），则（ACD）A.直线l2过定点（－3，－1）B.当m＝1时，l1⊥l2C.当m＝2时，l1∥l2D.当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1解析对于A，解法一直线l2的方程可化为2x－y＋5＋m（x－y＋2）＝0，由2－+5=0，－+2=0，解得＝－3，＝－1，即直线l2过定点（－3，－1），故A正确.解法二在直线l2的方程中分别令m＝－1与m＝－2，得x＋3＝0，y＋1＝0，即x＝－3，y＝－1，所以直线l2过定点（－3，－1），故A正确.对于B，若l1⊥l2，则有4（m＋2）＋（－3）·[－（m＋1）]＝0，解得m＝－117，故B不正确.对于C ，若l 1∥l 2，则有4·[－（m ＋1）]－（－3）·（m ＋2）＝0，解得m ＝2，当m ＝2时，l 1与l 2不重合，故C 正确.对于D ，当l 1∥l 2时，由对选项C 的分析可得此时直线l 2的方程为4x －3y ＋9＝0，则l 1，l 21，故D 正确.故选ACD.8.[2024安徽合肥联考]过直线2x －y ＋4＝0与3x －2y ＋9＝0的交点，且垂直于直线−2+1＝0的直线方程是2x ＋y －8＝0.解析由3－2+9=0，2－+4=0，解得=1，=6，即交点坐标为（1，6）.因为所求直线与直线x －2y ＋1＝0垂直，所以所求直线的斜率为－112＝－2，所以所求的直线方程是y －6＝－2（x －1），即2x ＋y －8＝0.9.已知△ABC 的一个顶点A （4，－1），两条角平分线所在直线的方程分别为1:－－1=0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为2x －y ＋3＝0.解析由题知，A （4，－1）不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是角B ，角C 的角平分线所在直线.设点A 关于直线l 1的对称点为A 1（x 1，y 1），关于直线l 2的对称点为A 2（x 2，y 2），则A 1，A 2均在边BC 所在的直线上.×1=－1，21－12－1=0，得1=0，1=3，所以1(0,3).因为l 2：x ＝1，所以易得y 2＝－1，由2+42＝1，得x 2＝－2，所以A 2（－2，－1）.所以BC 边所在直线的方程为－3－1－3＝－0－2－0，即2x －y ＋3＝0.10.过点A （0，73），B （7，0）的直线l 1与过点（2，1），（3，k ＋1）的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k ＝（B ）A.－3B.3C.－6D.6解析若l 1和l 2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则l 1⊥l 2.（圆内接四边形的对角互补）易知直线l 1的斜率1=73−7=−13，直线l 2的斜率k 2＝r1－13－2＝k ，由k 1k 2＝－1，得k ＝3.11.在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线x －my －2＝0的距离.当θ，m 变化时，d 的最大值为（C）A.1 B.2C.3D.4解析解法一由题意可得dcos φsin φ＝∵－1≤sin（θ－φ）≤1，d1∴当m＝0时，d取得最大值3，故选C.解法二易知点P（cosθ，sinθ）在单位圆x2＋y2＝1上，直线－B－2＝0恒过定点A（2，0）.如图所示，作OB垂直该直线，垂足为B，则由图可知d≤｜OB｜＋r≤｜OA｜＋r＝2＋1＝3（其中r是单位圆的半径），所以d max＝3，此时A，B重合，直线方程为x＝2.12.[多选/2024山西吕梁统考]已知点A（－2，1），B（1，1），且点P在直线G++ 3=0上，则（ACD）A.存在点P，使得｜PA｜＝2B.存在点P，使得PA⊥PBC.存在点P，使得2｜PA｜＝｜PB｜D.｜PA｜＋｜PB｜的最小值为29解析设P（a，－a－3）.对于A，若｜PA｜＝2，则(r2)2＋(－－3－1)2＝2，即2+ 6+8=0，解得a＝－2或a＝－4，故存在点P，使得｜PA｜＝2，A正确.对于B，当a＝－2时，直线PA的斜率不存在，又k PB＝23≠0，此时PA与PB不垂直；当=1时，直线PB的斜率不存在，又k PA＝－53≠0，此时PA与PB不垂直；当a≠－2且a≠1时，k PA＝－－4r2，k PB＝－－4－1，若PA⊥PB，则k PA k PB＝－－4r2·－－4－1＝－1，即2a2＋9a＋14＝0，Δ＝92－4×2×14＝－31＜0，方程无解，故不存在点P，使得PA⊥PB，B错误.对于C，若2｜PA｜＝｜PB｜，则2（+2）2＋（－－3－1）2＝（－1）2＋（－－3－1）2，即2a2＋14a＋21＝0，Δ＝142－4×2×21＝28＞0，方程有解，故存在点P，使得2｜PA｜＝｜PB｜，C正确.对于D，设A（－2，1）关于直线l的对称点为A'（a，b1，1+2+3=0，解得＝－4，＝－1，所以A'（－4，－1），所以｜PA｜＋｜PB｜＝｜PA'｜＋｜PB｜≥｜A'B｜＝（－4－1）2＋（－1－1）2＝29，当且仅当A'，P，B三点共线时取等号，故D正确.故选ACD.13.已知点A（5，0），B（0，4），动点P，Q分别在直线y＝x＋2和y＝x上，且PQ与两直线垂直，则｜AQ｜＋｜QP｜＋｜PB解析设Q（x0，x0），因为直线PQ与两直线垂直，所以｜PQ｜＝2，则P（x0－1，x0＋1），故｜AQ｜＋｜BP｜＝(0－5)2＋02＋(0−1)2＋(0－3)2，此式可理解为点o0，0)到A（5，0）及C（1，3）的距离之和，其最小值为｜AC｜＝5.故B+B+ |B|的最小值为5＋2.14.[新定义题]定义点P（x0，y0）到直线l：ax＋by＋c＝0（a2＋b2≠0）的有向距离为d＝已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题，其中是真命题的是（D）A.若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行B.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直D.若d1d2＜0，则直线P1P2与直线l相交解析设P1（x1，y1），P2（x2，y2），若d1＝d2＝0，满足d1－d2＝0，d1＋d2＝0，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c，直线P1P2与直线l重合，A，B，C错误；对于D，若d1d2＜0，即（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c）＜0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧，所以直线P1P2与直线l相交，D正确.。

第八章平面解析几何第二讲　两条直线的位置关系知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究知 识 梳 理知识点一　两条直线的位置关系平行、相交、重合平面内两条直线的位置关系包括____________________三种情况．1．两条直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．2．两条直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，A1A2＋B1B2＝0l1⊥l2⇔__________________________.知识点二　两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0当A 1B 2－A 2B 1≠0时，l 1与l 2相交．相交⇔方程组有__________；平行⇔方程组________；重合⇔方程组有____________.唯一解无解无数个解知识点三　三种距离公式归 纳 拓 展1．与对称问题相关的常用结论(1)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；(2)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y ＝k的对称点为(k＋y，x－k)．特别的：点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x 的对称点为(－y，－x)．2．谨防四个易错点(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况．(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(4)用公式法求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．双 基 自 测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．( )(2)若直线l ：mx ＋ny ＋3＝0平分圆C ：x 2－2x ＋y 2－1＝0，则2m －3n ＝6.( )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )××√×√题组二　走进教材2．(选择性必修1P67T8(1))过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直A线方程是( )A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝03．(选择性必修1P77T3)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距C离为1，则a等于( )题组三　走向高考A(6，－6) 5．坐标原点关于直线x－y－6＝0的对称点的坐标为_____________.两条直线平行、垂直的关系——自主练透1.(2024·福建三明一中月考)已知直线l 1：(k －2)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －2)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1B ．2或5C ．5D ．1或2B2．(2024·江苏南通海安中学月考)“k＝3”是“两直线kx－3y－2＝0A和2kx＋6y－7＝0互相垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]　两直线垂直⇔2k2－18＝0⇔k＝±3.∴k＝3是两直线垂直的充分不必要条件．故选A.3．等腰直角三角形斜边的中点是M (4,2)，一条直角边所在直线的方程为y ＝2x ，则另外两边所在直线的方程为_________________________________________.x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0名师点拨：1．判断两条不重合的直线是否平行的方法2．判断两条直线是否垂直的方法在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．3．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1不同时为0；A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，且B1C2≠B2C1(或A1C2≠A2C1)；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.提醒：当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．【变式训练】1．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方6x－4y－3＝0程是______________________.2．(2022·苏州常熟模拟)若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂C直，垂足为(1，b)，则a－b＋c＝( )A．－6 B．4C．－10 D．－4[解析]　由题意可知，2a＋5×(－4)＝0，解得a＝10，又因为点(1，b)在直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0上，所以1×10－4b＋2＝0,2×1＋5b＋c＝0，解得b＝3，c＝－17，所以a－b＋c＝－10，故选C.距离问题——师生共研1.已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．2．(2024·河南豫南名校质检、河北金科联考)若直线l1：x＋ay－2＝0C与l2：2x＋(a2＋1)y－2＝0平行，则两直线之间的距离为( )名师点拨：距离的求法1．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．2．两平行直线间的距离(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；(2)利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x、y的系数分别相等．【变式训练】1．(2020·高考全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )B2或－63．(多选题)(2024·河南部分学校联考)已知点A(1,3)，B(－5,1)到直ABD线l的距离相等，则直线l的方程可以是( )A．x－3y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．2x＋y＋2＝0对称问题——多维探究角度1　线关于点的对称(2022·河北五校联考)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直D线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0角度2　点关于线的对称(2024·山东济南中学月考)一入射光线经过点M(2,6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3,4)，则反射光线所在直线方程D为( )A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0(注：当对称轴斜率为±1时，可用代入法直接求得对称点坐标，如：将x＝2代入x－y＋3＝0得y＝5，将y＝6代入x－y＋3＝0得x＝3，从而知M(2,6)关于x－y＋3＝0的对称点为M′(3，5)．)6x－y－6＝0 [引申]本例中入射光线所在直线的方程为____________________.角度3　线关于线的对称(2022·合肥模拟)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若B直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0名师点拨：对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：1．中心对称：转化为中点问题处理(2)直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．有两种解法：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称：转化为垂直平分线问题处理(2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．分两种情况：①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．。

第二节 两直线的位置关系热点命题分析学科核心素养本节内容单独考查较少，多与其他知识交汇考查．常涉及充要条件、直线与圆锥曲线的位置关系等内容，多为选择题.通过两直线的位置关系、对称问题的考查，提升数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第152页 知识点一 两直线的位置关系 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行． (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． • 温馨提醒 •两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则实数m 的值为( ) A ．0 B ．－8 C ．2 D ．10答案：B2．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A3．(易错题)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．3答案：C知识点二 距离公式 1．两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. 2．点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.• 温馨提醒 •运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件，盲目套用公式导致出错．1．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2－1 B ．2＋1 C ．2－ 2 D ．2＋2 答案：A2．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是( ) A.423B ．324C.233 D ．334答案：B授课提示：对应学生用书第153页题型一 两直线的位置关系 自主探究1．(2021·济南模拟)“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x ＋2y－5＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A2．(2021·衡水中学一调)直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝()A．－7或－1B．－7 C．7或1 D．－1 答案：B3．(2021·洛阳统一考试)已知b＞0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab 的最小值为()A．1 B．2 C．2 2 D．2 3 答案：B两直线位置关系的三种判断方法方法平行垂直适合题型化成斜截式k1＝k2，且b1≠b2k1k2＝－1斜率存在一般式设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0无限制直接法k1与k2都不存在，且b1≠b2k1与k2中一个不存在，另一个为零k不存在题型二距离问题自主探究1．(2020·高考全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A ．1B ． 2 C. 3 D ．2答案：B2．过点P (3，－1)引直线，使点A (2，－3)，B (4,5)到它的距离相等，则这条直线的方程为( ) A ．x ＝3 B ．4x －y －13＝0 C ．4x ＋y ＋13＝0 D ．x ＝3或4x －y －13＝0 答案：D3．(2021·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－6 D ．6答案：C4．(2021·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是( ) A ．[0,10] B ．(0,10) C ．[0,5] D ．[5,10] 答案：A距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可．(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．题型三 对称问题 多维探究对称问题是高考常考内容之一，也是考查转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称.考法(一) 点关于点对称[例1] 过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________． [解析] 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为：x ＋4y －4＝0. [答案] x ＋4y －4＝0点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .考法(二) 点关于线对称[例2] (2021·长沙一调)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．[解析] 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.[答案] 6x －y －6＝0解决点关于直线对称的问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直. 考法(三) 线关于线对称[例3] 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －yl 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( ) A ．x －2y ＋1＝0 B ．x －2y－1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] B线关于线的对称的求解方法(1)若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． (2)若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴对称的对称点，最后由两点式求解.[对点训练]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 解析：(1)设A ′(x ，y )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.两直线位置关系应用中的核心素养数学运算——直线系方程的应用 1．平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．[例1] 求与直线3x ＋4y ＋5＝0平行且过点(2,3)的直线l 的方程． [答案] 3x ＋4y －18＝0先设与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋C 1＝0(C 1≠C )，再由其他条件求C 1. 2．垂直直线系由于直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解． [例2] 求经过A (2,4)，且与直线2x ＋y －1＝0垂直的直线l 的方程． [答案] x －2y ＋6＝0先设与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋C 1＝0，再由其他条件求出C 1. 3．过直线交点的直线系[例3] 过直线x ＋2y ＋1＝0与直线2x －y ＋1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．[解析] 设所求直线方程为x ＋2y ＋1＋λ(2x －y ＋1)＝0，当直线过原点时，1＋λ＝0得，λ＝－1，此时所求直线方程为x －3y ＝0；当直线不过原点时，令x ＝0，得y ＝λ＋1λ－2，令y ＝0，得x ＝－λ＋12λ＋1.由题意得λ＋1λ－2＝－λ＋12λ＋1，解得λ＝13或λ＝－1(舍)．此时所求直线方程为5x ＋5y ＋4＝0.综上所述，所求直线方程为x －3y ＝0或5x ＋5y ＋4＝0. [答案] x －3y ＝0或5x ＋5y ＋4＝0过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ为参数)，其中不包括直线l 2. 4．过定点的直线系[例4] 直线(m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0(m 为常数)恒过定点的坐标为________． [答案] ⎝⎛⎭⎫72，521.过定点(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为直线的斜率)或A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A、B不同时为0)．2．求直线系过定点问题的常用方法恒等式法：将直线方程化为参数的恒等式形式，利用参数取值的任意性，得关于x，y的方程组求出定点坐标．特殊直线法：给出任意两个参数值，得到两条直线，求其交点即为定点．[题组突破]1．与直线x－2y＋3＝0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是________．答案：x－2y±4＝02．直线mx＋y－m－1＝0(m为参数)经过定点的坐标为________．答案：(1,1)3．过直线x－2y＋4＝0和直线x＋y－2＝0的交点，且与直线3x－4y＋5＝0垂直的直线方程为________．答案：4x＋3y－6＝0。

第八章 第二节 两条直线的位置关系基础夯实练1．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A ．1aB ．AC ．－1aD ．－1a或不存在解析：选D 设直线l 1，l 2的斜率分别是k 1，k 2， 当a ≠0时，由l 1⊥l 2得k 1·k 2＝a ·k 2＝－1， ∴k 2＝－1a；当a ＝0时，l 1与x 轴平行或重合，则l 2与y 轴平行或重合， ∴直线l 2的斜率不存在． 故直线l 2的斜率为－1a或不存在．2．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若两直线平行，则a (a ＋1)＝2，且4a ＋1≠0，即a 2＋a －2＝0，a ≠－12，∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件．3．若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0D ．10解析：选A 由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上，得p ＝－2， ∴垂足坐标为(1，－2)．又垂足在直线2x －5y ＋n ＝0上，得n ＝－12.4．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A ． 2 B ．823C ． 3D ．833解析：选B 因为a ＝0或a ＝2时，l 1与l 2均不平行， 所以a ≠0且a ≠2. 因为l 1∥l 2， 所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.5．(多选题)定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2.以下命题不正确的是( )A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交解析：选BCD 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，P 1P 2不一定与l 垂直，错误； 对于C ，若d 1＝d 2＝0，满足d 1＋d 2＝0， 即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误； 对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l 的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误．6．(多选题)点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2，－1)D ．(－2,1)解析：选AC设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧3x 0＋y 0－5＝0，|x 0－y 0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－1，所以点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选AC ．7．(多选题)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是( ) A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0,1)和B (－1,0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |的最大值是 2解析：选ABD 对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立， 所以l 1恒过定点A (0,1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1,0)，故B 正确．对于C ，在l 1上任取点(x ，ax ＋1)，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(－ax －1，－x )，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0得2ax ＝0，不满足不论a 为何值时，2ax ＝0恒成立，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1， 所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2， 所以|MO |的最大值是2，故D 正确．故选ABD ．8．直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是________.解析：在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0. 答案：3x ＋4y ＋5＝09．设光线l 从点A (－4， 3 )出发，经过x 轴反射后经过点B ⎝⎛⎭⎫0，33，则光线l 与x轴的交点为________，若该入射光线l 经x 轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为________.解析：由点B ⎝⎛⎭⎫0，33关于x 轴的对称点为B ′⎝⎛⎭⎫0，－33， 可得直线AB ′的斜率为3＋33－4＝－33，方程为y ＝－33x －33， 令y ＝0，可得x ＝－1，即光线l 与x 轴交点的横坐标为－1；由入射光线AB ′可得入射角为90°－30°＝60°，则折射角为30°，折射光线的斜率为k ＝tan(30°＋90°)＝－3，折射光线的方程为y －0＝－3(x ＋1)， 令x ＝0，可得y ＝－3，则折射光线所在直线的纵截距为－ 3. 答案：(－1,0) － 3综合提升练10．(2021·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以BC 所在的直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2，4)．故选C ． 11．(2021·福建福州期末)已知点A (－2,1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若△ABC 的面积为2，则k 的值为( )A ．3或13B ．0C ．13D ．3解析：选B设点B (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得x ＝0，y ＝3，则B (0，3)，设直线m 的方程为y －1＝k (x ＋2)，与方程l ：x ＋y －1＝0联立，解得x ＝－2kk ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1.因为直线AB 的方程为y ＝x ＋3，且|AB |＝22，点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32＝|2－2k |2|k ＋1|，所以12×22×|2－2k |2|k ＋1|＝2，得|1－k |＝|k ＋1|，得k ＝0.故选B ．12．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )到原点的距离的最小值为( )A ． 5B ． 6C ．2 3D ．2 5解析：选A 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2.把(1,2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得，m ＋2n ＋5＝0. ∴m ＝－5－2n .∴点(m ，n )到原点的距离 d ＝ m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5 ≥ 5，当n ＝－2，m ＝－1时取等号． ∴点(m ，n )到原点的距离的最小值为 5.13．(多选题)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：选AD 设C (x ，y )，AB 的垂直平分线为y ＝－x ，△ABC 的外心为欧拉线方程x －y ＋2＝0与直线y ＝－x 的交点M (－1,1)， ∴|MC |＝|MA |＝10， ∴(x ＋1)2＋(y －1)2＝10，① 由A (－4,0)，B (0,4)，△ABC 重心为⎝⎛⎭⎪⎫x －43，y ＋43，代入欧拉线方程x －y ＋2＝0，得x －y －2＝0，② 由①②可得x ＝2，y ＝0或x ＝0，y ＝－2. 故选AD ．14．已知直线l 1：2x －y ＋3＝0，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，若点M同时满足下列条件：(1)点M 是第一象限的点；(2)点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12；(3)点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是2∶ 5. 则点M 的坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，2 B ．⎝⎛⎭⎫13，3718 C ．⎝⎛⎭⎫19，2D ．⎝⎛⎭⎫19，3718解析：选D 设点M (x 0，y 0)，若点M 满足(2)，则|2x 0－y 0＋3|5＝12×|4x 0－2y 0－1|16＋4，故2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0，若点M (x 0，y 0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，故x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0，由于点M (x 0，y 0)在第一象限，故3x 0＋2＝0不符合题意，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，不符合题意； 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718，即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫19，3718.故选D ．15.(多选题)如图所示，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．下列四个命题中正确的有( )A ．若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个B ．若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有2个C ．若pq ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有4个D ．若p ＝q ，则点M 的轨迹是一条过点O 的直线解析：选ABC 若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有1个，A 正确．若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为(0，q )(q ≠0)或(p,0)(p ≠0)，因此满足条件的点有且仅有2个，B 正确．若pq ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有4个，如图所示，C 正确．若p ＝q ，则点M 的轨迹是两条过O 点的直线，分别为交角的平分线所在直线，因此D 不正确．故选ABC ．创新应用练16．在平面直角坐标系内，已知A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)，则平面内任意一点到点A 与点C 的距离之和的最小值为________，平面内到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点的坐标是________.解析：设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |＝25，当且仅当A ，M ，C 共线，且M 在A ，C 之间时取等号，同理，|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线，且M 在B ，D 之间时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，此时|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求点．因为k AC ＝6－23－1＝2，所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又因为k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，所以直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4)．答案：25 (2,4)17．已知点A (4，－1)，B (8,2)和直线l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，则|P A |＋|PB |的最小值为________.解析：设点A 1与A 关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点， ∴|P 0A 1|＝|P 0A |， |P A 1|＝|P A |.|P A 1|＋|PB |≥|A 1B |＝|A 1P 0|＋|P 0B |＝|P 0A |＋|P 0B |， ∴|P A |＋|PB |≥|P 0A |＋|P 0B |＝|A 1B |.当P 点运动到P 0时，|P A |＋|PB |取得最小值|A 1B |.设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4·1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，∴A 1(0,3)．∴(|P A |＋|PB |)min ＝|A 1B |＝ 82＋(－1)2＝65.答案：65。