2018届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练有答案

北京市海淀区2018届初三数学中考复习证明专题复习训练题1．如图，下面的推理正确的是( )A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CDB．∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BCC．∵∠3＝∠4，∴AD∥BCD．∵∠ABC＋∠DAB＝180°，∴AD∥BC2．如图，在下列条件中，能判定AD∥BC的是( )A．∠DAC＝∠BCA B．∠DCB＋∠ABC＝180°C．∠ABD＝∠BDC D．∠BAC＝∠ACD3．如图，直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于( )A．55° B．60° C．65° D．70°4．一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图所示，其中两组对边的平行关系没有发生变化，若∠1＝75°，则∠2的大小是( )A．75° B．115° C．65° D．105°5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为( )A．40° B．50° C．60° D．70°6．如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，不能判定AB∥CD的条件是( )A．∠1＝∠2 B．∠1＋∠2＝90°C．∠3＋∠4＝90° D．∠2＋∠3＝90°7. 如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF.若∠BAC＝120°，则∠CDF等于( )A．60° B．120° C．150° D．180°8. 如图，有一条直的宽纸带按图示的方式折叠，则∠α的度数是( )A．50° B．60° C．75° D．85°9. 如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为_______．10. 如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝40°，∠2＝70°，则∠3＝_______度．11. 完成下面的证明过程．已知：如图所示，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD.证明：∵∠1和∠D互余(已知)，∴∠1＋∠D＝90°(________________)．∵∠C和∠D互余(已知)，∴∠C＋∠D＝90°(________________)．∴∠1＝∠C(__________)．∴AB∥CD(__________________________)．12. 如图，AB∥DE，∠1＝∠2，试判断AE与DC的位置关系，并说明理由．13. 命题“若a是自然数，则代数式(5a＋2)(5a＋1)＋3的值是5的倍数”是真命题还是假命题？如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，请给出证明．14. 如图，AB，CD相交于点O，且∠C＝∠1，试问：当∠2与∠D的大小关系为何时，有AC∥BD？请证明你的结论．答案：1—8 DACDB AAC9. 70°10. 11011. 互余的定义互余的定义等量关系内错角相等，两直线平行12. 解：AE∥DC.理由：∵AB∥DE，∴∠1＝∠AED.∵∠1＝∠2，∴∠AED＝∠2.∴AE∥DC.13. 解：是真命题．证明如下：原式＝5(5a2＋3a＋1)．∵a是自然数，则代数式5a2＋3a＋1是自然数．∴代数式(5a＋2)(5a＋1)＋3的值是5的倍数．14. 解：当∠2＝∠D时，AC∥BD.证明：∵∠1＝∠2，∠C＝∠1，∴∠2＝∠C，当∠D＝∠2时，有∠C＝∠D，∴AC∥BD.。

2017年12月04日月之恒的初中数学组卷一．解答题（共 小题）．（ 贵港）已知： 是等腰直角三角形，动点 在斜边 所在的直线上，以 为直角边作等腰直角三角形 ，其中 ，探究并解决下列问题：（ ）如图 ，若点 在线段 上，且 ， ，则：线段 ， ；猜想： ， ， 三者之间的数量关系为；（ ）如图 ，若点 在 的延长线上，在（ ）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图 给出证明过程；（ ）若动点 满足 ，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）．（ 保亭县模拟）如图 ，在 和 中， ， ， 与 交于 ， 与 、 分别交于 、．（ ）试说明 ；（ ）如图 ， 不动，将 从 的位置绕点 顺时针旋转，当旋转角 为多少度时，四边形 是平行四边形，请说明理由；（ ）当 时，在（ ）的条件下，求四边形 的面积．．（ 春 嘉兴期末）如图，菱形 中， ，有一度数为 的 绕点 旋转．（ ）如图 ，若 的两边 ， 分别交 ， 于点 ， ，则线段 ， 的大小关系如何？请证明你的结论；（ ）如图 ，若 的两边 ， 分别交 ， 的延长线于点 ， ，则线段 ，还有（ ）中的结论吗？请说明你的理由．．（ 营口）【问题探究】（ ）如图 ，锐角 中分别以 、 为边向外作等腰 和等腰 ，使 ， ， ，连接 ， ，试猜想 与 的大小关系，并说明理由．【深入探究】（ ）如图 ，四边形 中， ， ， ，求 的长．（ ）如图 ，在（ ）的条件下，当 在线段 的左侧时，求 的长．．（ 菏泽）如图，已知 ， 是直线 上的点， ．（ ）如图 ，过点 作 ，并截取 ，连接 、 、 ，判断 的形状并证明；（ ）如图 ， 是直线 上一点，且 ，直线 、 相交于点 ， 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．．（ 春 重庆校级期末）如图 ， 中， 于点 ， 于点 ，连接．（ ）若 ， ， ，求 的周长；（ ）如图 ，若 ， ， 的角平分线 交 于点 ，求证： ；（ ）如图 ，若 ， ，将 沿着 翻折得到 ，连接 、 ，请猜想线段 、 、 之间的数量关系，并证明你的结论．．（ 于洪区一模）如图 ，在 中， 为锐角，点 为射线 上一点，连接 ，以 为一边且在 的右侧作正方形 ．（ ）如果 ， ，当点 在线段 上时（与点 不重合），如图 ，线段 、 所在直线的位置关系为，线段 、 的数量关系为；当点 在线段 的延长线上时，如图 ， 中的结论是否仍然成立，并说明理由；（ ）如果 ， 是锐角，点 在线段 上，当 满足什么条件时， （点 、 不重合），并说明理由．．（ 绍兴）（ ）如图 ，正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，延长 到点 ，使 ，连结 ， ．求证： ．（ ）如图，等腰直角三角形 中， ， ，点 ， 在边 上，且 ，若 ， ，求 的长．．（ 东营）（ ）如图（ ），已知：在 中， ， ，直线 经过点 ， 直线 ， 直线 ，垂足分别为点 、 ．证明： ．（ ）如图（ ），将（ ）中的条件改为：在 中， ， 、 、 三点都在直线 上，并且有 ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（ ）拓展与应用：如图（ ）， 、 是 、 、 三点所在直线 上的两动点（ 、 、 三点互不重合），点 为 平分线上的一点，且 和 均为等边三角形，连接 、 ，若 ，试判断 的形状．．（ 昭通）已知 为等边三角形，点 为直线 上的一动点（点 不与 、 重合），以 为边作菱形 （ 、 、 、 按逆时针排列），使 ，连接 ．（ ）如图 ，当点 在边 上时，求证： ； ；（ ）如图 ，当点 在边 的延长线上且其他条件不变时，结论 是否成立？若不成立，请写出 、 、 之间存在的数量关系，并说明理由；（ ）如图 ，当点 在边 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 、 、 之间存在的数量关系．．（ 常德）已知两个共一个顶点的等腰 ， ， ，连接 ， 是 的中点，连接 、 ．（ ）如图 ，当 与 在同一直线上时，求证： ；（ ）如图 ，若 ， ，求 ， 的长；（ ）如图 ，当 时，求证： ．．（ 庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形 、 拼在一起（图 ）． 不动，（ ）若将 绕点 逆时针旋转，连接 ， 是 的中点，连接 、 （图 ），证明： ．（ ）若将图 中的 向上平移， 不变，连接 ， 是 的中点，连接 、 （图 ），判断并直接写出 、 的数量关系．（ ）在（ ）中，若 的大小改变（图 ），其他条件不变，则（ ）中的 、 的数量关系还成立吗？说明理由．．（ 武汉模拟）已知 中， ．（ ）如图 ，在 中，若 ，且 ，求证： ；（ ）如图 ，在 中，若 ，且 垂直平分 ， ， ，求 的长；（ ）如图 ，在 中，当 垂直平分 于 ，且 时，试探究 ， ， 之间的数量关系，并证明．．（ 长春）感知：如图 ，点 在正方形 的边 上， 于点 ， 于点 ，可知 ．（不要求证明）拓展：如图 ，点 、 分别在 的边 、 上，点 、 在 内部的射线 上， 、 分别是 、 的外角．已知 ， ，求证： ．应用：如图 ，在等腰三角形 中， ， ＞ ．点 在边 上， ，点 、 在线段 上， ．若 的面积为 ，则 与 的面积之和为．．（ 昌平区模拟）（ ）如图，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 上的点，且 ．求证： ；（ ）如图，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 上的点，且 ，（ ）中的结论是否仍然成立？（ ）如图，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 延长线上的点，且 ，（ ）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．．（ 哈尔滨模拟）已知 是等腰三角形， ， 为边 上任意一点， 于 ， 于 ，且 ， 分别在边 ， 上．（ ）如图 ，当 是等边三角形时，证明： ．（ ）如图 ，若 中， ，探究线段 ， ， 之间的数量关系，并对你的猜想加以证明．（ ）如图 ，若 中， ， ， ，利用你对（ ），（ ）两题的解题思路计算出线段 （ ＞ ）的长．．（ 绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（ ）特殊情况 探索结论当点 为 的中点时，如图 ，确定线段 与的 大小关系．请你直接写出结论：（填 ＞ ， ＜ 或 ）．（ ）特例启发，解答题目解：题目中， 与 的大小关系是： （填 ＞ ， ＜ 或 ）．理由如下：如图 ，过点 作 ，交 于点 ，（请你完成以下解答过程）（ ）拓展结论，设计新题在等边三角形 中，点 在直线 上，点 在直线 上，且 ．若 的边长为 ， ，求 的长（请你直接写出结果）．．（ 沈阳）已知， 为等边三角形，点 为直线 上一动点（点 不与 、 重合）．以 为边作菱形 ，使 ，连接 ．（ ）如图 ，当点 在边 上时，求证： ； 请直接判断结论 是否成立；（ ）如图 ，当点 在边 的延长线上时，其他条件不变，结论 是否成立？请写出 、 、 之间存在的数量关系，并写出证明过程；（ ）如图 ，当点 在边 的延长线上时，且点 、 分别在直线 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出 、 、 之间存在的等量关系．．（ 梅州）如图 ，已知线段 的长为 ，点 是 上的动点（ 不与 ， 重合），分别以 、 为边向线段 的同一侧作正 和正 ．（ ）当 与 的面积之和取最小值时， ；（直接写结果）（ ）连接 、 ，相交于点 ，设 ，那么 的大小是否会随点 的移动面变化？请说明理由；（ ）如图 ，若点 固定，将 绕点 按顺时针方向旋转（旋转角小于 ），此时 的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）．（ 抚顺）如图 ，在 中， ， ， 为斜边 上的中线，将 绕点 顺时针旋转 （ ＜ ＜ ），得到 ，点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，连接 、 ．（ ）判断 与 的位置、数量关系，并说明理由；（ ）若连接 、 ，请直接写出在旋转过程中四边形 能形成哪些特殊四边形；（ ）如图 ，将 中 改成 时，其他条件不变，直接写出 为多少度时（ ）中的两个结论同时成立．．（ 安徽模拟）如图，在 中， ， ，且 ＞ ， 于 ， 于 ， 于 ．（ ）在图（ ）中， 是 边上的中点，计算 和 的长（用 ， 表示），并判断 与 的关系．（ ）在图（ ）中， 是线段 上的任意一点， 与 的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．（ ）在图（ ）中， 是线段 延长线上的点，探究 、 与 的关系．（不要求证明）．（ 丹东）如图，已知等边三角形 中，点 ， ， 分别为边 ， ， 的中点， 为直线 上一动点， 为等边三角形（点 的位置改变时， 也随之整体移动）．（ ）如图 ，当点 在点 左侧时，请你判断 与 有怎样的数量关系？点 是否在直线 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（ ）如图 ，当点 在 上时，其它条件不变，（ ）的结论中 与 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 证明；若不成立，请说明理由；（ ）若点 在点 右侧时，请你在图 中画出相应的图形，并判断（ ）的结论中 与 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．．（ 铁岭） 是等边三角形，点 是射线 上的一个动点（点 不与点 、 重合）， 是以 为边的等边三角形，过点 作 的平行线，分别交射线 、 于点 、 ，连接 ．（ ）如图（ ）所示，当点 在线段 上时．求证： ；探究四边形 是怎样特殊的四边形？并说明理由；（ ）如图（ ）所示，当点 在 的延长线上时，直接写出（ ）中的两个结论是否成立；（ ）在（ ）的情况下，当点 运动到什么位置时，四边形 是菱形？并说明理由．。

中考数学总复习经典题(几何)（二）几何试题1、 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则 （ ）A ．S=2B ．S=2.4C ．S=4D ．S 与BE 长度有关2、正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图4所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则DEK △的面积为： （Ａ）10 （Ｂ）12 （Ｃ）14 （Ｄ）163、如图，矩形ABCD 中，3AB =cm ，6AD =cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，2EF BE =，则AFC S =△ 2cm ．4、 如图，在△ABC 中, ο70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△//C AB 的位置, 使得AB CC ///, 则=∠/BAB （ ）A. ο30 B. ο35 C. ο40 D. ο50 5、如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆1的半径）得图形34,,,,n P P P L L ，记纸板n P 的面积为n S ， 试计算求出2S = ；3S = ；并猜想得到1n n S S --= ()2n ≥。

6、如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E F ，分别是AB CD ，的中点，18AD BC PEF =∠=o ，，则PFE ∠的度数是 ．（第16题）CFD BE A P （第6题）ADCEF GB 3题图 D ABRP F CGK图4E8题10题 12题7、如图，点G 是ABC △的重心，CG 的延长线交AB 于D ，5cm GA =，4cm GC =，3cm GB =，将ADG △绕点D 旋转180o得到BDE △，则DE = cm ，ABC △的面积= cm 2．8、如图，已知梯形ABCD ，AD BC ∥，4AD DC ==，8BC =，点N 在BC 上，2CN =，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使EM MN +的值最小，此时其最小值一定等于（ ） A ．6B ．8C ．4D ．439、将一副直角三角板按图示方法放置（直角顶点重合），则AOB DOC ∠+∠= o．10、已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE＝AP ＝1，PB ＝ 5 ．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ；⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6 ．其中正确结论的序号是（）A ．①③④B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①③⑤11、如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:412、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，AE 、DE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为 ． 13、如图,四边形OABC 为菱形,点B 、C 在以点O 为为圆心的上，若OA = 3，∠1 = ∠2，则扇形OEF 的面积为_________.14、 如图,点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA 交OB 于点C.若∠AOB = 60o,OC = 4,则点P 到OA 的距离PD 等于__________. 15、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．32 B ．76 C ．256D ．2B AC D O P (第14题) AD B EC （第15题） ABE G CD（第7题）C D AO B30°45°A D EM(第11题(第13题)O A B C F 1 2 E E D（第20题）16、如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面积为π9，则弦AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．917、如图，等腰△ABC 中，底边a BC =，︒=∠36A ，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设215-=k ，则=DE （ ）A ．a k 2B ．a k 3C ．2k aD ．3ka18、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是19、如图，把矩形纸条ABCD 沿EF 、GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH=90°，PF=8，PH=6，则矩形ABCD 的边BC 长为 ． 20、．梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠ADC +∠BCD =90°，以AD 、AB 、BC 为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3 ，且S 1 +S 3 =4S 2，则CD =（ ）A. 2.5ABB. 3ABC. 3.5ABD. 4AB21、如图,在□ABCD 中，AB =3，AD =4，∠ABC =60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是 .22、如图，已知a ∥b ，∠1=70°，∠2=40°，则∠3= __________。

上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编几何证明专题宝山区、嘉定区23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图6，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 边的延长线上，且满足︒=∠90MAN ，联结MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E . （1）求证；AN AM =；（2）如果NAD CAD ∠=∠2，求证：AE AC AM ⋅=2.23.证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AD AB =，︒=∠=∠=∠=∠90BCD ADC B BAD ……1分 ∴︒=∠+∠90MAD MAB ∵︒=∠90MAN∴︒=∠+∠90MAD NAD ∴NAD MAB ∠=∠………1分 ∵︒=∠+∠180ADC ADN ∴︒=∠90ADN ……1分 ∴ADN B ∠=∠……………………1分 ∴△ABM ≌△ADN ………………………1分 ∴AN AM = ……………………………1分（2）∵四边形ABCD 是正方形 ∴AC 平分BCD ∠和BAD ∠∴︒=∠=∠4521BCD BCA ，︒=∠=∠=∠4521BAD CAD BAC ……1分 ∵NAD CAD ∠=∠2 ∴︒=∠5.22NAD∵NAD MAB ∠=∠ ∴︒=∠5.22MAB ………1分 ∴︒=∠5.22MAC ∴︒=∠=∠5.22NAE MAC ∵AN AM =,︒=∠90MAN ∴︒=∠45ANE∴ANE ACM ∠=∠…………………1分图6图6∴△ACM ∽△ANE …………1分 ∴ANACAE AM =……1分 ∵AN AM =∴AE AC AM ⋅=2…………1分长宁区23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点 G 、F ，且AG GF BE AD =． （1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分） ∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分） ∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分）ACDEF GB第23题图崇明区23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）如图，AM 是ABC △的中线，点D 是线段AM 上一点（不与点A 重合）．DE AB ∥交BC 于点K ，CE AM ∥，联结AE ． （1）求证：AB CMEK CK=； （2）求证：BD AE =．23．（本题满分12分，每小题6分） （1）证明：∵DE AB ∥∴ ABC EKC =∠∠ ……………………………………………………1分∵CE AM ∥∴ AMB ECK =∠∠ ……………………………………………………1分∴ABM EKC △∽△ ……………………………………………………1分 ∴AB BMEK CK=………………………………………………………1分 ∵ AM 是△ABC 的中线∴BM CM = ………………………………………………………1分∴AB CMEK CK=………………………………………………………1分 （2）证明：∵CE AM ∥∴DE CMEK CK =………………………………………………………2分 又∵AB CMEK CK=∴DE AB = ………………………………………………………2分 又∵DE AB ∥（第23题图）ABK MCDE∴四边形ABDE 是平行四边形 …………………………………………1分 ∴BD AE = ………………………………………………………1分奉贤区23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图7，梯形ABCD ，DC ∥AB ，对角线AC 平分∠BCD ， 点E 在边CB 的延长线上，EA ⊥AC ，垂足为点A ． （1）求证：B 是EC 的中点；（2）分别延长CD 、EA 相交于点F ，若EC DC AC ⋅=2，求证：FC AC AF AD ::=．黄浦区23．（本题满分12分）如图，点E 、F 分别为菱形ABCD 边AD 、CD 的中点. （1）求证：BE =BF ；（2）当△BEF 为等边三角形时，求证：∠D =2∠A .23. 证：（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AB =BC =AD =CD ，∠A =∠C ，——————————————————（2分）ACD E图7B又E、F是边的中点，∴AE=CF，——————————————————————————（1分）∴△ABE≌△CBF———————————————————————（2分）∴BE=BF. ——————————————————————————（1分）（2）联结AC、BD，AC交BE、BD于点G、O. ——————————（1分）∵△BEF是等边三角形,∴EB=EF，又∵E、F是两边中点，∴AO=12AC=EF=BE.——————————————————————（1分）又△ABD中，BE、AO均为中线，则G为△ABD的重心，∴1133OG AO BE GE===,∴AG=BG，——————————————————————————（1分）又∠AGE=∠BGO，∴△AGE≌△BGO，——————————————————————（1分）∴AE=BO，则AD=BD，∴△ABD是等边三角形，———————————————————（1分）所以∠BAD=60°，则∠ADC=120°，即∠ADC=2∠BAD. —————————————————————（1分）金山区23．（本题满分12分，每小题6分）如图7，已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过A点作AE∥BC，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）如果AC=3AF，求证四边形AEBD是矩形．E AFM23．证明：（1）∵AE //BC ，∴∠AEM =∠DCM ，∠EAM =∠CDM ，……………………（1分）又∵AM=DM ，∴△AME ≌△DMC ，∴AE ＝CD ，…………………………（1分） ∵BD=CD ，∴AE =BD ．……………………………………………………（1分） ∵AE ∥BD ，∴四边形AEBD 是平行四边形．……………………………（2分）（2）∵AE //BC ，∴AF AEFB BC=．…………………………………………………（1分） ∵AE=BD=CD ，∴12AF AE FB BC ==，∴AB=3AF ．……………………………（1分） ∵AC=3AF ，∴AB=AC ，…………………………………………………………（1分） 又∵AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，即∠ADB =90°．……………………（1分） ∴四边形AEBD 是矩形．……………………………………………………（1分）静安区23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） 已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AC 、DB 交于点E ， 点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．（1）求证：DBABBF EF =； （2）如果DF AD BD ⋅=22，求证：平行四边形ABCD 是矩形．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 证明：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD //BC ，AB //DC∴∠BAD +∠ADC =180°，……………………………………（1分） 又∵∠BEF +∠DEF =180°, ∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ……（1分）C第23题图AB DEFA DE∵∠DEF =∠ADC ∴∠BAD =∠BEF ， …………………………（1分） ∵AB //DC ， ∴∠EBF =∠ADB …………………………（1分）∴△ADB ∽△EBF ∴DB ABBF EF = ………………………（2分） (2) ∵△ADB ∽△EBF ,∴BFBEBD AD =, ………………………（1分） 在平行四边形ABCD 中，BE =ED =BD 21∴221BD BE BD BF AD =⋅=⋅∴BF AD BD ⋅=22, ………………………………………（1分） 又∵DF AD BD ⋅=22∴DF BF =,△DBF 是等腰三角形 …………………………（1分） ∵DE BE =∴FE ⊥BD , 即∠DEF =90° …………………………（1分） ∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分） ∴平行四边形ABCD 是矩形 …………………………（1分）闵行区23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ．（1）求证：BF BC AB BD ⋅=⋅； （2）求证：四边形ADGF 是菱形．23．证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠BAF =2∠EAC ．∵∠BAC =2∠C ，∴∠BAF =∠C =∠EAC ．…………………………（1分） 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．……………………………（1分） ∵∠ABF =∠C ，∠ABD =∠DBC ，∴ABF CBD ∆∆∽．…………………………………………………（1分） ∴AB BFBC BD=．………………………………………………………（1分） ∴BF BC AB BD ⋅=⋅．………………………………………………（1分） （2）∵FG ∥AC ，∴∠C =∠FGB ，∴∠FGB =∠FAB ．………………（1分）ABEGCFD（第23题图）∵∠BAF =∠BGF ，∠ABD =∠GBD ，BF =BF ，∴ABF GBF ∆∆≌．∴AF =FG ，BA =BG ．…………………………（1分） ∵BA =BG ，∠ABD =∠GBD ，BD =BD ，∴ABD GBD ∆∆≌．∴∠BAD =∠BGD ．……………………………（1分） ∵∠BAD =2∠C ，∴∠BGD =2∠C ，∴∠GDC =∠C ，∴∠GDC =∠EAC ，∴AF ∥DG ．……………………………………（1分） 又∵FG ∥AC ，∴四边形ADGF 是平行四边形．……………………（1分） ∴AF =FG ．……………………………………………………………（1分） ∴四边形ADGF 是菱形．……………………………………………（1分）普陀区23．（本题满分12分）已知：如图9，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ，FG ∥AD ，且FG EF =. （1）求证：四边形ABED 是菱形； （2）联结AE ，又知AC ⊥ED ，求证：212AE EF ED =.23．证明：（1）∵ AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形． ··························· （2分）∵FG ∥AD ，∴FG CFAD CA=． ·················································································· （1分） 同理EF CFAB CA = ． ··································································································· （1分） 得FG AD ＝EF AB∵FG EF =，∴AD AB =． ···················································································· （1分） ∴四边形ABED 是菱形． ························································································· （1分） （2）联结BD ，与AE 交于点H ．ABC DE FG图9∵四边形ABED 是菱形，∴12EH AE =，BD ⊥AE ． ····································· （2分） 得90DHE ∠= ．同理90AFE ∠=．∴DHE AFE ∠∠＝．································································································ （1分） 又∵AED ∠是公共角，∴△DHE ∽△AFE ． ··················································· （1分）∴EH DEEF AE =． ········································································································· （1分） ∴212AE EF ED =． ······························································································ （1分） 青浦区23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点M ，点E 在边 BC 上，且 DAE DCB ∠=∠，联结AE ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：2DM MF MB =⋅； （2）联结DE ，如果3BF FM =，求证：四边形ABED 是平行四边形.23．证明：（1）∵AD //BC ，∴∠=∠DAE AEB ， ····························································· （1分）∵∠=∠DCB DAE ，∴∠=∠DCB AEB ， ··········································· （1分） ∴AE //DC ， ···································································································· （1分）∴=FM AMMD MC．·························································································· （1分） ∵AD //BC ，∴=AM DMMC MB， ····································································· （1分） ∴=FM DMMD MB， ························································································· （1分） 即2=⋅MD MF MB ．（2）设=FM a ，则=3BF a ，=4BM a ． ························································· （1分）由2=⋅MD MF MB ，得24=⋅MD a a ，∴2=MD a ， ································································································ （1分） ∴3==DF BF a ． ························································································ （1分） ∵AD //BC ，∴1==AF DFEF BF， ····································································· （1分） MFE DCBA图7∴=AF EF ， ································································································· （1分） ∴四边形ABED 是平行四边形. ······································································ （1分）松江区23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ， F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE ⊥BE ．求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AE AD BC ⋅=⋅.23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分） 证明：(1) ∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE …………………………………………………1分 ∵AE ⊥BE ∴∠AEB =90° ∵F 是AB 的中点 ∴12EF BF AB ==………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠FBE …………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠CBE …………………………………………………1分 ∴EF ∥BC …………………………………………………1分 ∵AB ∥CD∴四边形BCEF 是平行四边形…………………………1分 ∵EF BF =∴四边形BCEF 是菱形……………………………………1分(2) ∵四边形BCEF 是菱形, ∴BC =BF∵12BF AB =(第23题图)FACD E(第23题图)FACD EB∴AB =2BC ………………………………………………1分∵ AB ∥CD∴ ∠DEA =∠EAB∵ ∠D =∠AEB∴ △EDA ∽△AEB ………………………………………2分∴AD AE BE AB = …………………………………………1分 ∴ BE ·AE =AD ·AB∴ 2BE AE AD BC ⋅=⋅…………………………………1分徐汇区23. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD =，BD BC =，点E 在对角线BD 上，且DCE DBC ∠=∠.（1）求证：AD BE =；（2）延长CE 交AB 于点F ，如果CF AB ⊥，求证：4EF FC DE BD ⋅=⋅.杨浦区23、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图7，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G 的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN。

2018届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．6. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于点H，交CD于点G.(1)求证：BG＝DE；HGGF(2)若点G为CD的中点，求的值．7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC 于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.2(1)如图①，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．参考答案：1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△BDG 和△ADC 中，，∴△BDG≌△ADC.{BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADCDG ＝DC ，)∴BG＝AC ，∠BGD＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE＝BG ＝EG ，12DF ＝AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD.12∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE⊥DF.(2)∵AC＝10，∴DE＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝＝5.DE2＋DF222. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD ＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中，{∠D ＝∠ECF ，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC ，)∴△ADE≌△FCE(ASA )．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°.3. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB∥CD，AD ＝CD ，∠ADB＝∠CDB.又GD 为公共边，∴△ADG≌△CDG(SAS )，∴AG＝CG.(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG.∵AB∥CD，∴∠DCG＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE∽△FGA.∴＝.∴AG 2＝GE·GF.AG FG EGAG 4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.∵AD 平分∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB＝30°.12在Rt △ACD 中，∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD ＝6.(2)∵DE∥BA 交AC 于点E ，DF∥CA 交AB 于点F ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD＝∠ADF＝∠DAF.∴AF＝DF.∴四边形AEDF 是菱形．∴AE＝DE ＝DF ＝AF.在Rt △CED 中，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠B＝30°.∴DE＝＝2.∴四边形AEDF 的周长为8.CDcos 30°335. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B＝∠D，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝DC ，OE ＝BC ，OE∥BC.1212在△BCE 和△DCF 中，∴△BCE≌△DCF(SAS )．{BE ＝DF ，∠B ＝∠D ，BC ＝DC ，)(2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°.∵∠BCG＝90°，∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE.在△BCG 与△DCE 中.{∠CBG ＝∠CDE ，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE ，)∴△BCG≌△DCE(ASA )，∴BG＝DE.(2)设CG ＝x ，∵G 为CD 的中点，∴GD＝CG ＝x ，由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA )，∴CG＝CE ＝x.由勾股定理可知DE ＝BG ＝x ，∵sin ∠CDE＝＝，5CE DE GF GD ∴GF＝x.∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH.∴＝＝.55AB CG BH GH 21∴BH＝x ，GH ＝x.∴＝.25353HG GF 537. 解：(1)结论：AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：连接CG.∵四边形ABCD 是正方形，∴点A ，C 关于对角线BD 对称．∵点G 在BD 上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC 于点E ，GF⊥BC 于点F ，∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC 是矩形．∴CF＝GE.在Rt △GFC 中，∵CG 2＝GF 2＋CF 2，∴AG2＝GF 2＋GE 2. (2)过点B 作BN⊥AG 于点N ，在BN 上取一点M ，使得AM ＝BM.设AN ＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG＝∠FGB＝∠ABG＝45°，∴∠AGB＝60°，∠GBN＝30°，∠ABM＝∠MAB＝15°.∴∠AMN＝30°.∴AM＝BM ＝2x ，MN ＝x.3在Rt △ABN 中，∵AB 2＝AN 2＋BN 2，∴1＝x 2＋(2x ＋x)2，3解得x ＝，∴BN＝.∴BG＝＝.6－246＋24BNcos 30°32＋668. 解：(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD　(2)∵tan ∠ABD＝1，∠ADB＝90°，∴＝1，∵△ACD∽△ADBD BFD ，∴＝＝1，∴BF＝AC ＝3AC BF ADBD 9. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB∥CD，AD ＝CD ，∠ADB＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS )，∴AG＝CG(2)∵△ADG≌△CDG ，∴∠EAG＝∠DCG，∵AB∥CD，∴∠DCG＝∠F，∴∠EAG＝∠F，∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE∽△FGA，∴＝，∴AG 2＝GE·GFAG FG EG AG 10. 解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝135°，∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF＝∠ACD，∵CB＝CD ，CB ＝BF ，∴BF＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS )，∴AD＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF≌△ACD，∴∠FAB＝∠DAC，∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS )，∴BD＝EF(3)四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD＝CB ，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形11. 解：(1)∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，∴AM＝BM ＝AB cos 45°＝3×＝3.222则CM ＝BC －BM ＝5－3＝2，∴AC＝＝＝.AM2＋CM222＋3213(2)证明：延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG.∵DM＝MC ，∠BMD＝∠AMC，BM ＝AM ，∴△BMD≌△AMC(SAS )．∴AC＝BD.又CE ＝AC ，∴BD＝CE.∵BF＝FC ，∠BFG＝∠EFC，FG ＝FE ，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE ，∠G＝∠E.∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG＝∠G＝∠E.12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD ，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EAF.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA.(2)∵∠B＝90°，AB ＝AD ＝12，BM ＝5，∴AM＝＝13.122＋52∵F 是AM 的中点，∴AF＝AM ＝6.5.∵△ABM∽△EFA，12BM AF AMAE56.513AE∴＝，即＝.∴AE＝16.9，∴DE＝AE－AD＝4.9.。

河北中考复习之几何证明1、如图1，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是【】A．22B．21 C．23 D．322、如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=12，BD=9，则此梯形的中位线长是A．10 B．212C．152D．123、小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图3所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料A．15匹B．20匹C．30匹D．60匹4、如图4，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于．5、一个正方形和两个等边三角形的位置如图5所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90° B．100° C．130° D．180°6、把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图6-1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图6-2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1 S2（填“＞”、“＜”或“=”）．7、如图7-1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B’D’的位置，得到图7-2，则阴影部分的周长为．8、用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图8-1，用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图8-2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为．9、如图10，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是（）A．7 B．8 C．9 D．10、平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图10，则∠3+∠1-∠2= ．BCDEF GHA图3AB CD图4图2AB CDABDCERPQ图1图5 图6-1 图7-1 图8-2图6-2 图7-2 图8-1图14 图10 图11 图12 图1312、如图12，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图），则空白阴影s s A ． 3 B．4 C ．5 D ． 613、如图13，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B=30°，∠C=100°，如图13．则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在AB 上 B ．点M 在BC 的中点处 C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远14、如图14，将长为8cm 的铁丝首尾相接围成半径为2cm 的扇形．则扇形s =15、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图9—1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图9—2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm16、如图15，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A ′处，且点A ′在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 cm ．17、如图16，△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE=2，则BC=（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 18、如图17，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n ≠（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．519、如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A ，B 围成的正方体上的距离是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ． 320、如图14，已知△ABC （AC ＜BC ），用尺规在BC 上确定一点P ，使PA+PC=BC ，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．20、嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD ，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图1，在四边形ABCD 中，BC=AD ，AB= 求证：四边形ABCD 是 四边形． （1）在方框中填空，以补全已知和求证； （2）按嘉淇的想法写出证明；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为 ． 21、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°．得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．左 右左 右 第二次折叠 第一次折叠 图9－1 图9－2 图15 图16 图17 图14（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形．22、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，又知∠EFD=∠BCD，请问你能推出什么结论？（直接写出一个结论，要求结论中含有字母E）23、如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．22．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．23、在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3 km和2 km，AB= a km（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中 管道长度为d 1，且d 1=PB+BA （km ）（其中BP ⊥ l 于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2 ，且d 2=PA +PB （km ）（其中点A '与点A 关于l 对称，A 'B 与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，d 1= km （用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d 2=km （用含a 的式子表示）． 探索归纳（1）①当a = 4时，比较大小： d 1 d 2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a = 6时，比较大小： d 1 d 2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a （当a ＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？24、在正方形ABCD 中，点E 是AD 上一动点，MN ⊥AB 分别交AB ，CD 于M ，N ，连接BE 交MN 于点O ，过O 作OP ⊥BE 分别交AB ，CD 于P ，Q ．探究：（1）如图①，当点E 在边AD 上时，请你动手测量三条线段AE ，MP ，NQ 的长度，猜测AE 与MP+NQ 之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；探究：（2）如图②，若点E 在DA 的延长线上时，AE ，MP ，NQ 之间的数量关系又是怎样请直接写出结论； 再探究：（3）如图③，连接并延长BN 交AD 的延长线DG 于H ，若点E 分别在线段DH 和射线HG 上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE ，MP ，NQ 之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论．25、在图14-1至图14-3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图14-1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM = MH ，FM ⊥MH ；∵22()()m n m n m n -=+-，m +n ＞0， ∴（22m n -）与（m n -）的符号相同． 当22m n -＞0时，m n -＞0，即m ＞n ； 当22m n -= 0时， m n -= 0，即m =n 当22m n -＜0时，m n -＜0，即m ＜n ． 方法指导 当不易直接比较两个正数m 与n 的 大小时，可以对它们的平方进行比较：A l 图13 -1 A B l A ' 图13 -2 A B P C 图13 -3 K l A ' BPC（2）将图14-1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图14-2中的CE 缩短到图14-3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）26、操作示例 对于边长均为a 的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图11—1所示的方式摆放，再沿虚线BD ，EG 剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图11—1中的四边形BNED ．从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED 是正方形； ②S 正方形ABCD +S 正方形EFGH =S 正方形BNED ．实践与探究（1）对于边长分别为a ，b （a ＞b ）的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图11—2所示的方式摆放，连结DE ，过点D 作DM ⊥DE ，交AB 于点M ，过点M 作MN ⊥DM ，过点E 作EN ⊥DE ，MN 与EN 相交于点N ．①证明四边形MNED 是正方形，并用含a ，b 的代数式表 示正方形MNED 的面积；②在图11—2中，将正方形ABCD 和正方形EFGH 沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED ．请简略说明你的拼接方法（类比图11—1，用数字表示对应的图形）．（2）对于n （n 是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明你的理由．27、如图14—1，14—2，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F ．（1）如图14—1，当点E 在AB 边的中点位置时： ①通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ；②连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ；③请证明你的上述两个猜想．（2）如图14—2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE =BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系．28、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；A B C D E F GM图11—2（H ） A CDF图14—1 N A B C D E M F 图14—2 43 2 1 A B C D E F （H ） 图11—1 （G ） 5 6图14（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．29、在图14-1—14-5中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．操作示例 当2b ＜a 时，如图14-1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ．思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH =BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图14-1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH =HC =GC =FG ，∠FHC =90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ，b 的式子表示）（2）类比图14-1的剪拼方法，请你就图14-2—图14-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时，如图14-5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．图E 图图（2b ＝a ） （a ＜2b ＜2a ） （b图14-1 （2b ＜a ）图（b ＞a ） 图13－2 G图13－3图13－1 A ( E )D。

2018年数学中考代数几何综合问题（1）专项练习1. 如图⑴，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2+8+16+6y ax ax a =经过点B （0，4）。

⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D ，过点D 、B 作直线交x 轴于点A ，点C 在抛物线的对称轴上，且C 点的纵坐标为4-，连接BC 、AC 。

求证：△ABC 是等腰直角三角形；⑶在⑵的条件下，将直线DB 沿y 轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ′、B ′，是否存在直线l ，使△A ′B ′C 是直角三角形，若存在，求出直线l 的解析式，若不存在，请说明理由。

2. 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示。

已知它的顶点M 在第二象限，且经过点A （1，0）和点B （0，1）。

（1）试求a ，b 所满足的关系式；所满足的关系式；（2）设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的54倍时，求a 的值； （3）是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形。

若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由。

请说明理由。

3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数26y ax x c =++的图象经过点A （4，0）、B （-1，0），与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD =t ，点E 在第二象限，∠ADE =90°，12tan DAE Ð=，EF ⊥OD ，垂足为F 。

（1）求这个二次函数的解析式；）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；的值。

（3）当△ECA为直角三角形时，求t的值。

代数几何综合问题（1）专项练习参考答案1. （1）解：由题意知：16a+6=4解得：a=81-故抛物线的解析式为：4812+--=x x y 。

⑵证明：由抛物线的解析式知：顶点D 坐标为（－4，6）∵点C 的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上，∴C 点坐标为（－4，－4） 设直线BD 解析式为：()40y kx k =+¹，有：644k =-+，∴12k =-∴直线BD 解析式为142y x =-+ ∴直线BD 与x 轴的交点A 的坐标为（8，0） 过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，则CE =4，BE =8 又∵OB =4，OA =8，∴CE =OB ，BE =OA ，∠CEB =∠BOA =90° ∴△CEB ≌△BOA （SAS ） ∴CB =AB ，∠CBE =∠BAO∵∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CBE +∠ABO =90° 即∠ABC =90° ∴△ABC 是等腰直角三角形。

几何证明东城区19. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D. BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F. 求证：AE=AF.19.证明：∵∠BAC=90°，∴∠FBA+∠AFB=90°.-------------------1分∵AD⊥BC，∴∠DBE+∠DEB=90°．---------------- 2分∵BE平分∠ABC,∴∠DBE=∠FBA. -------------------3分∴∠AFB=∠DEB.-------------------4分∵∠DEB=∠FEA，∴∠AFB=∠FEA.∴AE=AF.-------------------5分西城区19．如图，AD平分BAC<．∠，BD AD⊥于点D，AB的中点为E，AE AC∥．（1）求证：DE AC（2）点F在线段AC上运动，当AF AE△全等的三角形是__________．=时，图中与ADFECBA【解析】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∵BD AD ⊥于点D ， ∴90ADB ∠=︒， ∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =，2ABDE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠， ∴DE AC ∥． （2）ADE △．321ECBA海淀区19．如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．FE DCB A19. 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点， ∴12CD AB BD ==. ∴ABC DCB ∠=∠. …………… ∵DC EF ∥，∴CBF DCB ∠=∠.∴CBF ABC ∠=∠. ∴BC 平分ABF ∠.丰台区19．如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：DE = DF ．F E CBA19．证明：连接AD .∵AB ＝BC ，D 是BC 边上的中点，∴∠BAD =∠CAD . ………………………3分 ∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE ＝DF ． ………………………5分 （其他证法相应给分）石景山区19．问题:将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.O H GFE DCB A（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ； （2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ； （3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ； （4）在DA 边上取点H ，使D H = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .19．解：3，2，1； ………………2分ABCEFEB 、BF ；FC 、CG ；GD 、DH ；HA. ………………4分朝阳区19. 如图，在△ACB 中，AC =BC ，AD 为△ACB 的高线，CE 为△ACB 的中线.求证：∠DAB =∠ACE.19. 证明：∵AC ＝BC ，CE 为△ACB 的中线，∴∠CAB ＝∠B ，CE ⊥AB . ……………………………………………2分 ∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°. ………………………………………………3分 ∵AD 为△ACB 的高线， ∴∠D ＝90°.∴∠DAB ＋∠B ＝90°. ……………………………………………………4分 ∴∠DAB ＝∠ACE . ………………………………………………………5分燕山区19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题。

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2017年杭州市中考第22题如图1,在厶ABC中，BC> AC,/ ACB = 90°,点D在AB边上，DE丄AC于点E.(1)若AD =- , AE = 2,求EC 的长；DB 3(2)设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△ EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P •问：线段CP可能是△ CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由.例2 2017年安徽省中考第23题如图1,正六边形ABCDEF的边长为a, P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF 于M，作PN//CD交DE于N.(1)①/ MPN =②求PM + PN = 3a;(2)如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON.求证：0M = ON.(3)如图3,点O是AD的中点,四边形，并说明理由.OG平分/ MON，判断四边形OMGN是否为特殊的图1 图3例3 2018 年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y=—x2+ bx+ c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, —3).( 1 )求此二次函数的解析式；(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD 的面积；②联结PA、PD, PD交AB于点E，求证：△ PADPEA.3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题答案例1 2017年杭州市中考第22题如图1,在厶ABC中，BC> AC,/ ACB = 90°,点D在AB边上，DE丄AC于点E.(1)若AD =- , AE = 2,求EC 的长；DB 3(2)设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△ EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P •问：线段CP可能是△ CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 15杭州22”，拖动点D在AB上运动，可以体验到，CP既可以是△ CFG的高，也可以是△ CFG的中线.思路点拨CFG与厶EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况.2. 高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3. 根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来.满分解答(1)由/ ACB = 90°, DE丄AC,得DE//BC .所以些=AD =1 •所以_L =!•解得EC= 6.EC DB 3 EC 3(2)^ CFG与厶EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况：①如图2，当/ 1 = / 2时，由于/ 2与/ 3互余，所以/ 2与/ 3也互余.因此/ CPF = 90°.所以CP是厶CFG的高.②如图3，当/ 1 = / 3时，PF = PC.又因为/ 1与/ 4互余，/ 3与/ 2互余，所以/ 4=/ 2.所以PC= PG .所以PF = PC = PG .所以CP是厶CFG的中线.综合①、②，当CD是/ ACB的平分线时，CP既是△ CFG的高，也是中线(如图4).图2 图3 图4考点伸展这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：如图5,在厶ABC中，点D是AB边上的一个动点，DE//BC交AC于E, DF//AC交BC于F，那么四边形CEDF是平行四边形.如图6,当CD平分/ ACB时，四边形CEDF是菱形.如图7,当/ACB=90°，四边形CEDF是矩形.如图8,当/ ACB= 90° , CD平分/ ACB时，四边形CEDF是正方形.图6图7 图8例2 2017年安徽省中考第23题如图1,正六边形ABCDEF的边长为a, P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF于M，作PN//CD交DE于N.(1)①/ MPN =②求PM + PN = 3a;（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON.求证：0M = ON.（3）如图3,点O是AD的中点,四边形，并说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 14安徽23”，拖动点P运动，可以体验到，PM + PN等于正六边形的3条边长.△ AOM ◎△ BOP , △ COP^A DON ,所以OM = OP = ON.还可以体验到，△ MOG与厶NOG是两个全等的等边三角形，四边形OMGN是菱形.思路点拨1. 第（1）题的思路是，把PM + PN转化到同一条直线上.2•第（2）题的思路是，以O为圆心，OM为半径画圆，这个圆经过点N、P •于是想到联结OP，这样就出现了两对全等三角形.3.第（3）题直觉告诉我们，四边形OMGN是菱形.如果你直觉△ MOG与厶NOG是等边三角形，那么矛盾就是如何证明/ MON = 120 ° .满分解答(1)①/ MPN = 60°②如图4，延长FA、ED交直线BC与M'、N ；那么△ ABM'、△ MPM '、△ DCN'、△ EPN都是等边三角形.所以PM + PN= M N = M B + BC+ CN = 3a.(2)如图5，联结OP .由(1)知，AM = BP, DN = CP.由AM = BP,/ OAM = Z OBP = 60°, OA = OB, 得厶AOM ◎△ BOP .所以OM = OP .同理△ COP也厶DON，得ON = OP .所以OM = ON .（3）四边形OMGN是菱形.说理如下：由（2）知，/ AOM =Z BOP,/ DON =Z COP （如图5）.OG平分/ MON，判断四边形OMGN是否为特殊的图4 图5图1 图3图6所以/ AOM + / DON = / BOP+Z COP= 60° .所以/ MON = 120° . 如图6,当OG 平分Z MON 时，Z MOG =/ NOG = 60° .又因为Z AOF = Z FOE = Z EOD = 60°,于是可得Z AOM = Z FOG = Z EON . 于是可得厶AOM ◎△ FOG ◎△ EON .所以OM = OG = ON.所以△ MOG与厶NOG是两个全等的等边三角形.所以四边形OMGN的四条边都相等，四边形OMGN是菱形.考点伸展在本题情景下，菱形OMGN的面积的最大值和最小值各是多少？因为△ MOG与厶NOG是全等的等边三角形，所以OG最大时菱形的面积最大，OG最小时菱形的面积最小.OG的最大值等于OA,此时正三角形的边长为a，菱形的最大面积为-^a2.2OG与EF垂直时最小，此时正三角形的边长为3a ,菱形的最小面积为色』a2.2 8例3 2018年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y=—x2+ bx+ c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, —3).(1)求此二次函数的解析式；(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形.①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD, PD交AB于点E，求证：△ PADPEA.动感体验请打开几何画板文件名“ 13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，/ PAE与/ PDA总保持相等，△ PAD与厶PEA保持相似.请打开超级画板文件名“ 13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，/ PAE与/ PDA总保持相等，△ PAD与厶PEA保持相似.思路点拨1•数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD = AB.2. 通过计算/ PAE与/ DPO的正切值，得到/ PAE = Z DPO =Z PDA ,从而证明厶PADPEA.满分解答(1)将点c =1,P(0, 1)、Q(2, —3)分别代入y=—x2+ bx+ c,得解得b=0,以2b 1 二-3. C=1.所以该二次函数的解析式为y= —x2+ 1.(2)①如图1,设点A的坐标为(x, —x2+ 1),当四边形ABCD恰为正方形时，AD = AB.此时y A= 2x A.解方程—x2+ 1 = 2x,得x - -1 _ 2 .所以点A的横坐标为••.2-1.因此正方形ABCD的面积等于[2( 2 -1)]2 =12 _8 2 .②设OP 与AB 交于点F，那么PF =OP -OF =1 - 2( & -1) =3-= ( "2 - 1)2.所以tan N PAE = 〔)=近_1 .AF 血―1又因为tan • PDA 二tan • DPO = = 2 -1 ,OP所以/ PAE=Z PDA.考点伸展事实上，对于矩形ABCD，总有结论△ PAD s\ PEA•证明如下：如图2,设点A 的坐标为(x, —x2+ 1)，那么PF = OP —OF = 1 —( —x2+ 1) = x2.2所以tan ZPA^PF =- x .AF x又因为tan . PDA =tan. DPO =x , OP所以/ PAE=Z PDA .因此△ PADPEA .。

2018重庆中考数学25题⼏何证明2０17年12⽉04⽇⽉之恒的初中数学组卷⼀.解答题（共23⼩题）１.（201７?贵港)已知:△ABC是等腰直⾓三⾓形,动点P在斜边AＢ所在的直线上,以PＣ为直⾓边作等腰直⾓三⾓形PCQ，其中∠PCQ=９０°，探究并解决下列问题:(1）如图①,若点Ｐ在线段AB上,且AC=1+,PA=,则:①线段PＢ= ,PC= ；②猜想:PA2，PB2,ＰQ２三者之间的数量关系为;（2）如图②,若点Ｐ在ＡB的延长线上,在(1)中所猜想的结论仍然成⽴,请你利⽤图②给出证明过程;(3)若动点P满⾜=，求的值.（提⽰：请利⽤备⽤图进⾏探求）2．（20１7?保亭县模拟)如图1,在△ABC和△EＤＣ中，AＣ＝ＣE＝CＢ=CD,∠ＡCB＝∠ＥCD=9０°,AB与ＣＥ交于F,ＥD与AB、ＢＣ分别交于Ｍ、H.（1)试说明CＦ=CＨ;（2）如图2,△ＡＢC不动,将△EDＣ从△ABＣ的位置绕点C顺时针旋转,当旋转⾓∠ＢＣD 为多少度时，四边形AＣＤM是平⾏四边形,请说明理由;（3）当ＡC＝时,在(2)的条件下,求四边形ACＤM的⾯积．3．(20１７春?嘉兴期末）如图,菱形ＡBCD中,∠ABC＝6０°,有⼀度数为60°的∠MＡＮ绕点A旋转．（1）如图①,若∠ＭＡN的两边AM，AN分别交ＢC，CD于点Ｅ，F，则线段ＣE,ＤＦ的⼤⼩关系如何?请证明你的结论；(2)如图②,若∠ＭAN的两边AM,ＡＮ分别交ＢＣ,CD的延长线于点E，F,则线段CE,ＤＦ还有（1)中的结论吗？请说明你的理由.４．(201７?营⼝)【问题探究】（１）如图1,锐⾓△ＡBC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ＡCＤ，使AE=ＡB,AＤ=AC,∠BAE=∠CAD，连接B Ｄ,CE，试猜想ＢD与CE的⼤⼩关系，并说明理由．【深⼊探究】（2）如图2，四边形AＢCD中，ＡB=7cm,ＢC=３ｃm,∠ABC=∠ACD＝∠ADC=45°,求BD 的长．(３)如图3，在(2）的条件下，当△ＡCD在线段AC的左侧时，求BD的长.5.（2０17?菏泽)如图,已知∠ＡＢC=90°，Ｄ是直线AB上的点，AD＝BC．(１)如图1，过点A作AF⊥ＡB，并截取ＡF=BD，连接ＤC、DF、ＣＦ，判断△ＣDF的形状并证明；(2）如图2，E是直线ＢC上⼀点,且CE=BD，直线AＥ、CD相交于点P,∠APD的度数是⼀个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是，请说明理由．6.（20１7春?重庆校级期末）如图1，△AＢC中,BE⊥AＣ于点Ｅ,AD⊥BC于点D,连接DE.(1)若AB=BＣ，DＥ＝１,ＢE=3,求△ＡBＣ的周长;（2）如图2，若ＡB＝BC,AD=BD,∠ADＢ的⾓平分线DF交ＢE于点F，求证:ＢF=DＥ;(3)如图3,若ＡB≠BC,AD=ＢD，将△AＤC沿着ＡC翻折得到△ＡGＣ,连接DG、EＧ,请猜想线段AＥ、BＥ、DG之间的数量关系,并证明你的结论.7．（20１7?于洪区⼀模）如图1,在△ABC中，∠ＡCB为锐⾓，点D为射线BC上⼀点,连接ＡD,以AD为⼀边且在AD的右侧作正⽅形ADEF.(1)如果ＡB＝AC，∠BＡC＝９0°,①当点D在线段BＣ上时(与点B不重合),如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为,线段CＦ、BＤ的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成⽴,并说明理由;(2）如果AB≠ＡＣ，∠BAC是锐⾓,点D在线段ＢC上,当∠AＣＢ满⾜什么条件时,ＣF⊥BC(点C、F不重合），并说明理由．8．（20１7?绍兴)（1)如图1,正⽅形ABＣD中，点E，F分别在边ＢC,CＤ上,∠ＥAF=45°,延长CD到点Ｇ,使ＤＧ=BE，连结EF，AG．求证：ＥＦ=FG.（2）如图，等腰直⾓三⾓形ABC中，∠BAC=9０°,AB＝AC,点M,N在边BC上,且∠ＭＡN ＝45°,若BM=1，ＣN=3,求ＭN的长．9.（2０17?东营）（1)如图(１）,已知:在△ABC中,∠BAC=9０°,AB=AＣ,直线ｍ经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂⾜分别为点D、Ｅ.证明：DE=BD+CE.（2)如图(2）,将(1)中的条件改为:在△ABＣ中，AB=AC，Ｄ、A、Ｅ三点都在直线m上，并且有∠BＤA=∠AEC=∠ＢＡC=α,其中α为任意锐⾓或钝⾓.请问结论DE=BD+CE是否成⽴?如成⽴，请你给出证明；若不成⽴，请说明理由.(３）拓展与应⽤：如图（３)，D、E是Ｄ、A、Ｅ三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合)，点F为∠ＢAC平分线上的⼀点，且△ＡBF和△ACF均为等边三⾓形,连接ＢD、CE,若∠ＢDA＝∠ＡEC=∠BAC,试判断△DEＦ的形状．10.(2017?昭通）已知△ABC为等边三⾓形,点D为直线BＣ上的⼀动点（点D不与Ｂ、Ｃ重合），以AD为边作菱形ADEＦ(A、D、Ｅ、F按逆时针排列),使∠DＡＦ=6０°，连接CＦ.(1)如图１，当点D在边BC上时,求证：①BＤ＝CＦ；②AC=ＣF+ＣＤ;(２）如图2,当点D在边ＢＣ的延长线上且其他条件不变时,结论AＣ=ＣF+CＤ是否成⽴?若不成⽴,请写出ＡC、CＦ、ＣD之间存在的数量关系，并说明理由；（3)如图3,当点D在边ＣB的延长线上且其他条件不变时，补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.11.（2０１7?常德）已知两个共⼀个顶点的等腰Rt△ABＣ，Rt△CEF,∠ＡBC=∠ＣEＦ=９0°,连接AF,M是ＡＦ的中点,连接ＭB、ME．（1)如图1,当CＢ与CＥ在同⼀直线上时，求证：ＭB∥CＦ；(２)如图１,若CB＝a,CE＝2a，求BＭ,ME的长;(3)如图2，当∠BＣE=４5°时,求证：BM=ME.１２．(２017?庐阳区校级模拟)如图，将两个全等的直⾓三⾓形△AＢD、△ACE拼在⼀起（图1)．△AＢＤ不动，（１）若将△ACＥ绕点A逆时针旋转，连接ＤE，M是DE的中点，连接MB、MC(图2）,证明:MB＝MC.（2)若将图1中的CE向上平移,∠CAE不变,连接ＤＥ,M是ＤE的中点,连接MB、MC（图３），判断并直接写出MＢ、MC的数量关系．(３)在（2)中,若∠CＡE的⼤⼩改变(图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MＣ的数量关系还成⽴吗？说明理由. 13．(2017?武汉模拟)已知△ＡBC中，ＡＢ＝ＡＣ.（1)如图1，在△AＤE中,若AD=AE,且∠DAＥ=∠BAC，求证：CD=BE；（2)如图2,在△ADＥ中,若∠DＡE=∠BAC=60°,且CＤ垂直平分AＥ,AD=３，CＤ＝4,求BD 的长；（３)如图3，在△ＡDＥ中，当BD垂直平分AＥ于H，且∠ＢAＣ=2∠AＤＢ时，试探究CD２，ＢD2,AH2之间的数量关系,并证明．１4．(２017?长春)感知:如图①，点Ｅ在正⽅形ABＣD的边BＣ上,ＢＦ⊥AE于点Ｆ，DG⊥AE于点G，可知△AＤG≌△ＢAF.（不要求证明)拓展:如图②,点B、Ｃ分别在∠ＭAN的边ＡM、AN上,点E、F在∠MＡＮ内部的射线AD 上,∠1、∠2分别是△ABＥ、△ＣＡF的外⾓．已知AB=AC,∠１=∠2＝∠BAC,求证：△ＡＢＥ≌△CAF．应⽤:如图③,在等腰三⾓形ABC中，AB=ＡC,ＡB＞BＣ.点D在边BＣ上,CD=２BD,点Ｅ、F在线段AＤ上，∠1=∠2=∠BＡC.若△ABC的⾯积为9,则△ABE与△ＣDF的⾯积之和为.15．（20１7?昌平区模拟）（１）如图，在四边形ABCD中,AB=AＤ,∠B=∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAＦ=∠BＡD.求证：EF=BE＋ＦD;(2)如图，在四边形ABCD中,AB=AD，∠B＋∠D=１80°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EＡF＝∠BAD,(1）中的结论是否仍然成⽴？(3)如图,在四边形ABCD中，ＡB＝ＡD，∠B+∠ＡDＣ=180°,E、Ｆ分别是边ＢC、CD延长线上的点，且∠ＥAF=∠BAＤ,(１)中的结论是否仍然成⽴?若成⽴，请证明;若不成⽴，请写出它们之间的数量关系,并证明.1６.(201７?哈尔滨模拟)已知△ABC是等腰三⾓形,AB=AC,Ｄ为边BC上任意⼀点,DE⊥AB 于E,DF⊥AC于Ｆ,且E,Ｆ分别在边ＡB,AＣ上．(1）如图a，当△AＢC是等边三⾓形时,证明:AＥ+AF=BC．(2）如图b,若△ＡBＣ中,∠ＢAＣ=120°,探究线段AＥ,ＡF,AB之间的数量关系,并对你的猜想加以证明.(3)如图c，若△ABＣ中,AB=１0，ＢＣ＝16,EＦ=6,利⽤你对（1），（２）两题的解题思路计算出线段CD（BD＞CD)的长．17.（2０17?绍兴）数学课上，李⽼师出⽰了如下框中的题⽬.⼩敏与同桌⼩聪讨论后,进⾏了如下解答:（1)特殊情况?探索结论当点E为AB的中点时，如图１,确定线段AE与的DB⼤⼩关系．请你直接写出结论：AE ＤB(填“＞"，“＜"或“=”）.（2)特例启发,解答题⽬解:题⽬中，AE与DB的⼤⼩关系是：ＡE DB（填“＞”,“<”或“=”).理由如下：如图2，过点E作ＥF∥ＢC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题在等边三⾓形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ＥD=EC.若△ＡBC的边长为1，AE＝２，求CＤ的长（请你直接写出结果).18．(２017?沈阳)已知,△AＢC为等边三⾓形，点D为直线BC上⼀动点(点D不与B、C重合）.以AD为边作菱形ＡDEF,使∠DＡＦ=6０°,连接ＣＦ.(1)如图1,当点D在边ＢＣ上时，①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFＣ=∠ＡCB+∠DAC是否成⽴；(2）如图2,当点D在边BC的延长线上时,其他条件不变,结论∠ＡＦC=∠ACB+∠ＤAC是否成⽴?请写出∠ＡFＣ、∠ＡＣB、∠DAC之间存在的数量关系,并写出证明过程;（3)如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧,其他条件不变,请补全图形，并直接写出∠AFＣ、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．19.（20１７?梅州)如图1,已知线段ＡB的长为2a，点P是AB上的动点(P不与Ａ,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同⼀侧作正△APC和正△PBD.（1)当△ＡPＣ与△PBＤ的⾯积之和取最⼩值时,AP= ;(直接写结果)（2）连接AＤ、ＢC，相交于点Q,设∠ＡQＣ=α,那么α的⼤⼩是否会随点P的移动⾯变化?请说明理由;（3）如图2,若点P固定,将△PBD绕点Ｐ按顺时针⽅向旋转(旋转⾓⼩于180°),此时α的⼤⼩是否发⽣变化?(只需直接写出你的猜想,不必证明)2０．（20１７?抚顺）如图1,在△ABC中，∠ABC=90°,AB=BＣ，BD为斜边ＡC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α(0°<α＜18０°）,得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CＦ．（１)判断BE与ＣF的位置、数量关系，并说明理由;(2)若连接BF、CE,请直接写出在旋转过程中四边形BCＥF能形成哪些特殊四边形；（3）如图2,将△AＢＣ中AB=BC改成AＢ≠ＢC时，其他条件不变,直接写出α为多少度时(1）中的两个结论同时成⽴.２１.（2017?安徽模拟）如图，在△AＢC中,AB=AＣ＝a，ＢC＝b,且2a>ｂ,BG⊥AC于G，DE⊥AB于E,DF⊥ＡC于F.（1）在图(1）中，D是BC边上的中点,计算ＤE+DF和BG的长(⽤a,b表⽰),并判断DＥ＋DF与ＢG的关系.(2)在图(2)中，D是线段BC上的任意⼀点,ＤE+ＤＦ与ＢＧ的关系是否仍然成⽴?如果成⽴,证明你的结论;如果不成⽴,请说明理由．（３）在图(3）中,D是线段BC延长线上的点，探究DE、ＤF与ＢG的关系．（不要求证明)2２．(２01７?丹东）如图,已知等边三⾓形AＢC中,点D，Ｅ，Ｆ分别为边AB,AC，BC的中点,M为直线BC上⼀动点,△DMN为等边三⾓形(点Ｍ的位置改变时,△DMＮ也随之整体移动）．(1)如图1,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MＦ有怎样的数量关系？点F是否在直线N Ｅ上?都请直接写出结论，不必证明或说明理由;(2）如图2,当点M在BC上时,其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成⽴?若成⽴，请利⽤图２证明;若不成⽴,请说明理由；(３）若点M在点Ｃ右侧时,请你在图３中画出相应的图形,并判断（１）的结论中EN与MF 的数量关系是否仍然成⽴？若成⽴，请直接写出结论,不必证明或说明理由．23．(２0１7?铁岭）△ABＣ是等边三⾓形,点Ｄ是射线BC上的⼀个动点（点D不与点B、C重合)，△AＤE是以AD为边的等边三⾓形，过点E作ＢC的平⾏线，分别交射线ＡB、ＡC于点F、G,连接BＥ.（1）如图(ａ）所⽰,当点Ｄ在线段ＢC上时．①求证:△AＥB≌△ADC;②探究四边形BＣGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；(2)如图(b)所⽰，当点Ｄ在ＢC的延长线上时，直接写出（１)中的两个结论是否成⽴；(3)在(２)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGＥ是菱形？并说明理由．。

2018年中考数学几何证明综合题热点聚焦(1)专项练习1. 已知：在△AOB 与△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，︒=∠=∠90COD AOB 。

（1）如图1，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，连接AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是__________，位置关系是__________。

（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（︒<<︒900α）。

连接AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM 。

请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立。

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（3）如图3，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转到使△COD 的一边OD 恰好与△AOB 的边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点。

请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明。

2. 在Rt △ABC 中，AB=BC ，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC 上，将三角板绕点O 旋转。

（1）当点O 为AC 中点时，①如图1，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立。

若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O 不是AC 中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14 AO AC =，求OE OF的值。

3. 在矩形ABCD 中，点F 在AD 延长线上，且DF =DC ，M 为AB 边上一点，N 为MD 的中点，点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）。

（1）如图1，若AB =BC ，点M 、A 重合，E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE 的值，并证明你的结论；（2）如图2，且若AB =BC ，点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立，若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立，若不成立，请直接写出你的结论。

2018年苏州中考数学专题辅导第三讲 几何证明与计算题选讲真题再现：1．（2008年苏州•本题6分)如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，∠1=∠2，∠3=∠4． 求证：(1)△ABC ≌△ADC ； (2)BO=DO ．2．(2008年苏州•本题8分) 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动． (1)梯形ABCD 的面积等于 ；(2)当PQ//AB 时，P 点离开D 点的时间等于 秒； (3)当P 、Q 、C 三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多少时间?3．（2009年江苏•本题满分10分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC AB DE AF DC ∥，∥，∥， E 、F 两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形． （1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由； （2）当AB DC =时，求证：ABCD 是矩形．4．（2009年江苏•本题满分10分）（1）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．A D C F EBA C D 图① A C D 图②F E5．(2010年苏州•本题6分) 如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分 ∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD ≌△BCE ；(2)若∠D=50°，求∠B 的度数．6．(2010年苏州•本题8分) 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P 是AB 边上的一个动点(异于A 、B 两点)，过点P 分别作AC 、BC 边的垂线，垂足为M 、N ．设AP=x ． (1)在△ABC 中，AB= ；(2)当x= 时，矩形PMCN 的周长是14；(3)是否存在x 的值，使得△PAM 的面积、△PBN 的面积与矩形PMCN 的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．7．（2011年苏州•本题6分）如图，已知四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠A ＝90°，BC ＝BD ，CE ⊥BD ，垂足为E ．(1)求证：△ABD ≌△ECB ；(2)若∠DBC ＝50°，求∠DCE 的度数． 8．（2011年苏州•本题8分）如图，小明在大楼30米高（即PH ＝30米）的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i （即tan ∠ABC ）为1P 、H 、B 、C 、A 在同一个平面上．点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH ⊥HC ． (1)山坡坡角（即∠ABC ）的度数等于 ▲ 度；(2)求A 、B 两点间的距离（结果精确到0.1）．E D CF B A 图③ E D C A B FG 'D ' A DE C BF α图④ 图⑤9．(2012年苏州•本题6分)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到E，使BE＝AD，连接AE、AC．(1)求证：△ABE≌CDA；(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．10．(2012年苏州•本题8分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC)为30°，BC⊥AC．现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1. 732)．(1)若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为米；(2)—座建筑物GH距离坡脚A点27米远（即AG＝27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HG丄CG,问建筑物GH 高为多少米？11．（7分）（2013•苏州）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）12．（8分）（2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G．(1)求证：△APB≌△APD；(2)已知DF ：FA ＝1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ． ①求y 与x 的函数关系式；②当x ＝6时，求线段FG 的长．13．（6分）（2014年•苏州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ．连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF ． (1)求证：△BCD ≌△FCE ；(2)若EF ∥CD ．求∠BDC 的度数．14．（8分）（2015年•苏州）如图，在△ABC 中，AB =AC ．分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方画弧，设两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD 、BD 、CD ． （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BC =6，∠BAC ＝50︒，求DE 、DF 的长度之和（结果保留π）． 15．（2016年苏州•8分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．(1)证明：四边形ACDE 是平行四边形； (2)若AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．16. （2017年苏州•本题8分）如图，∠A =∠B ，AE =BE ，点D 在C A 边上，12∠=∠，AE 和D B 相交于点O ．（1）求证：C ∆AE ≌D ∆BE ；（第14题）FEDCBA（2）若142∠=，求D ∠B E 的度数．模拟训练：1．(2017年常熟市•本题满分8分) 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点D 、E ，过点A 作//AF BC ，交MN 于点F . (1)求证:四边形ADBF 是菱形;(2)若4,8AC BC ==，求菱形ADBF 的周长。