2017_18学年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ章末复习提升学案

一、本章知识网络二、要点归纳1．本章涉及的概念比较多，要真正理解它们的实质，搞清它们的区别与联系．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，要进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别． 2．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )(事件A 与事件A 互为对立事件)求解．3．对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝mn 求出概率．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序，做到不重不漏．4．对于几何概型事件概率的计算，关键是求得事件A 所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式求解． 三、题型探究题型一 随机事件的概率 1．有关事件的概念熟练掌握事件的有关概念是解决概念辨析题的关键，下表是对事件有关概念的总结：(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率．(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.例1对一批U盘进行抽检，结果如下表：(1)(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？解 (1)由题意得，击中靶心的频率分别为0.8,0.95，0.88，0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越多时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9. (2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定． (4)不一定．题型二 古典概型及其应用古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性．另外，在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数．这就是我们常说的列举法．在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏．例2 海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B (2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本包含三个地区的个体数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以这6件样品中来自A ，B ，C 三个地区的数量分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2，则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D “抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有： {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P(D)＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.跟踪训练2甲、乙、丙3个盒中分别装有大小相等、形状相同的卡片若干张．甲盒中装有2张卡片，分别写有字母A和B；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C，D和E；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H和I.现要从3个盒中各随机取出1张卡片，求：(1)取出的3张卡片中恰好有1张、2张、3张写有元音字母的概率各是多少？(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率．解根据题意画出如图所示的树形图．由树形图可以得到，所有可能出现的基本事件有12个，它们出现的可能性相等．(1)只有1个元音字母的结果有5个，所以P(1个元音字母)＝512；有2个元音字母的结果有4个，所以P(2个元音字母)＝412＝1 3；有3个元音字母的结果有1个，所以P(3个元音字母)＝112. (2)全是辅音字母的结果有2个，所以P(3个辅音字母)＝212＝1 6.题型三互斥事件与对立事件1．对互斥事件与对立事件的概念的理解(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，则两事件是互斥的，此时A∪B的概率就可用概率加法公式来求，即为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠∅，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，A∪B＝U，则两事件是对立的，此时A∪B就是必然事件，可由P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B)．2．互斥事件概率的求法(1)若A 1，A 2，…，A n 互斥，则P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②先求出这些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：①是公式的使用条件，如不符合，是不能运用互斥事件的概率加法公式的． 3．对立事件概率的求法P (Ω)＝P (A ＋A )＝P (A )＋P (A )＝1，由公式可得P (A )＝1－P (A )(这里A 是A 的对立事件，Ω为必然事件)．4．互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解．例3 某人在如图所示的直角边长为4m 的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X (单位：株)之间的关系如下表所示：(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：(2)解 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝69015＝46.(2)由(1)，知P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25. 跟踪训练3 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：互相输血．小明是B 型血，若小明因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解 (1)记“血型为A 型、B 型、AB 型、O 型”分别为事件A ′，B ′，C ′，D ′. 由已知，得P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35. 因为B 型、O 型血可以输给B 型血的人， 所以“可以输给B 型血的人”为事件B ′＋D ′. 根据互斥事件的概率加法公式，有P (B ′＋D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64. 故任找一个人，其血可以输给小明的概率是0.64.(2)方法一 由于A 型、AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”为事件A ′＋C ′.根据互斥事件的概率加法公式，有P (A ′＋C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36. 故任找一个人，其血不能输给小明的概率是0.36.方法二 由(1)，知不能输血给B 型血的人的概率为1－P (B ′＋D ′)＝1－0.64＝0.36. 故任找一个人，其血不能输给小明的概率是0.36. 题型四 几何概型及其应用若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点，则此试验为几何概型．由于其结果的无限性，概率就不能应用P (A )＝mn 求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．几何概型同古典概型一样，是概率中最具代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．例4 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4s 内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4s 为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2s 的概率是________．答案 34解析 设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则0≤x ≤4,0≤y ≤4，而事件A “它们第一次闪亮的时刻相差不超过2s ”，即|x －y |≤2，其表示的区域为如图所示的阴影部分．由几何概型概率公式，得P (A )＝42－2×⎝⎛⎭⎫12×2×242＝34.跟踪训练4 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为________．答案113解析 设阴影小正方形边长为x ，则在直角三角形中有22＋(x ＋2)2＝(13)2，解得x ＝1或x ＝－5(舍)，∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为113.1.两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A 1，A 2，A 3，…，A n 彼此互斥，则P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． 2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题： (1)试验结果是否有限且是等可能的？ (2)试验的基本事件有多少个？(3)事件A 是什么，它包含多少个基本事件？ 只有回答好了这三方面的问题，解题才不会出错．3．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．。

第三章基本初等函数（Ⅰ）[自我校对]①分数指数幂②互为反函数③对数函数④解析式y ＝log a x (a >0，a ≠1) ⑤log a N ⑥解析式y ＝x α⑦越来越慢⑧越来越快爆炸式增长变形．如N 1b＝a ，a b＝N ，log a N ＝b (其中N >0，a >0，a ≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．【精彩点拨】 (1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出； (2)利用指数幂的运算法则即可得出．【规范解答】(1)原式＝log 322×8329－3＝2－3＝－1.－1＋116＋18＋110＝14380.[再练一题] 1．计算：【解】 (1)原式＝－4－1＋12×(2)4＝－3.指数、对数函数的单调性．涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型，一是形如y ＝af (x )和y ＝log a f (x )的函数，一般要先求f (x )的值域，然后利用指数、对数的单调性求解；二是形如y ＝f (a x)和y ＝f (log a x )的函数，则要根据a x和log a x 的范围，利用函数y ＝f (x )的性质求解．(2)已知－3≤log 12x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x4的最大值和最小值．【精彩点拨】(2)由f (x )＝log 2x 2·log 2x4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2，结合二次函数的性质即可求解．【规范解答】故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤132，12.(2)∵－3≤log 12x ≤－32，∴32≤log 2x ≤3，∴f (x )＝log 2x 2·log 2x 4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14.当log 2x ＝3时，f (x )max ＝2，当log 2x ＝32时，f (x )min ＝－14.[再练一题]【导学号：60210098】【解】 令k ＝2x(0≤x ≤2)，∴1≤k ≤4，则y ＝22x －1－3·2x＋5＝12k 2－3k ＋5.又y ＝12(k －3)2＋12，k ∈[1,4]，∴y ＝12(k －3)2＋12在k ∈[1,3]上是减函数，在k ∈[3,4]上是增函数，∴当k ＝3时，y min ＝12；当k ＝1时，y max ＝52.即函数的最大值为52，最小值为12.的单调性进行转化，也可利用图象解决，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根．对于图象的判断与选择可利用图象的变换、也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用．当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)【精彩点拨】 由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可．【规范解答】 当0＜x ≤12时，1＜4x ≤2，要使4x＜log a x ，由对数函数的性质可得0＜a ＜1，数形结合可知只需2＜log a x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a a 2<log a x ，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2>x对0＜x ≤12时恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2>12，解得22＜a ＜1，故选B. 【答案】 B [再练一题]3．若log a 2＜0(a ＞0，且a ≠1)，则函数f (x )＝ax ＋1的图象大致是( )【解析】 由log a 2＜0(a ＞0，且a ≠1)，可得0＜a ＜1，函数f (x )＝a x ＋1＝a ·a x，故函数f (x )在R 上是减函数，且经过点(0，a )，故选A. 【答案】 A(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．比较下列各组中两个值的大小： (1)1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8； (2)log 53，log 63，log 73.【精彩点拨】 利用指数函数、对数函数、幂函数的性质进行比较．【规范解答】 (1)∵1.10.9>1.10＝1，log 1.10.9<log 1.11＝0,0＝log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7＝1， ∴1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9. (2)∵0<log 35<log 36<log 37， ∴log 53>log 63>log 73. [再练一题]4．已知a ＝log 20.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC．b＞c＞a D．c＞b＞a【解析】∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1,0＜c＝0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞a.故选C.【答案】 CA．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜c【解析】【答案】 D解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图象和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现．(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；(2)若g(x)＝log a[f(x)－ax](a>0，且a≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围．【精彩点拨】(1)结合f(3)<f(5)，与函数f(x)的奇偶性，分类讨论确定m的值及f(x)的解析式．(2)由g(x)为增函数，结合a讨论，求出a的取值范围．【规范解答】<m <32. ∵m ∈N ，∴m ＝0或1.综上，m ＝1，此时f (x )＝x 2.(2)由(1)知，当x ∈[2,3]时，g (x )＝log a (x 2－ax )．①当0<a <1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递减，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递减，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥3，u＝32－3a >0，无解；②当a >1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递增，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递增，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，u＝22－2a >0，解得a <2.∴实数a 的取值范围为1<a <2. [再练一题]6．设a >0且a ≠1，若P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，试比较P 、Q 的大小． 【解】 当0<a <1时，有a 3<a 2，即a 3＋1<a 2＋1. 又当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q ； 当a >1时，有a 3>a 2，即a 3＋1>a 2＋1.又当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q . 综上可得P>Q.1．函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )【解析】 ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.【答案】 D2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.【答案】 C3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )【导学号：97512060】A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年【解析】 设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n >2013，两边取常用对数，得n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．【答案】 B4．已知点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x 的图象上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________. 【解析】 ∵点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x的图象上， ∴1＋a 3＝9，解得a ＝2，∴f (x )＝1＋2x∴f －1(x )＝log 2(x －1) 【答案】 log 2(x －1)5．已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【解析】 (1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋1>1，得1x＋1>2，解得{x |0<x <1}．(2)log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a ＋log 2(x 2)＝0有且仅有一解，等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a x 2＝1有且仅有一解，等价于ax 2＋x －1＝0有且仅有一解．当a ＝0时，x ＝1，符合题意； 当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，a ＝0或－14.(3)当0<x 1<x 2时，1x 1＋a >1x 2＋a ，log 2⎝⎛⎭⎪⎫1x 1＋a >log 2⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋a ， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1即at 2＋(a ＋1)t －1≥0， 对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1成立．因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以t ＝12时，y 有最小值34a －12，由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。

第三章 基本初等函数（Ⅰ）学习目标 1.巩固和深化对于对数及其运算的理解和运用.2.掌握简单的对数函数的图象变换及其应用.3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题．知识点一 对数概念及其运算1．当a >0，且a ≠1时，由指数式对数式互化可得恒等式：⎭⎪⎬⎪⎫a b ＝N log a N ＝b ⇒a log a N ＝____. 2．对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质(1)0和负数没有对数，即N ____0；(2)log a 1＝____；(3)log a a ＝____.3．运算公式已知a >0，且a ≠1，M 、N >0.(1)log a M ＋log a N ＝____________；(2)log a M －log a N ＝____________；(3)log n a M m＝____log a M ；(4)log a M ＝log c M log c a ＝1log M a(c >0，且c ≠1)． 知识点二 对数函数及其图象、性质函数________________________叫做对数函数．(1)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为______；值域为____；(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过点______；(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递________；当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递________；(4)直线y ＝1与函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象交点为________．(5)y ＝log a x 与y ＝a x 的图象关于____对称． y ＝log a x 与y ＝log 1ax 的图象关于______对称．类型一 对数式的化简与求值例1 (1)计算：log (2＋3)(2－3)；(2)已知2lgx －y 2＝lg x ＋lg y ，求log (3－22)x y .反思与感悟 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化．跟踪训练1 (1)lg 32－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 0.3·lg 1.2＝________. (2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.类型二 对数函数图象的应用例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |ln x |，0<x ≤e，2－ln x ，x >e ，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围．反思与感悟 函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化．跟踪训练2 已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．类型三 对数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f (x )的图象上．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是(－1,1)，对于任意的x ，y ∈(－1,1)，有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，且当x ＜0时，f (x )＞0. (1)验证函数g (x )＝ln 1－x 1＋x，x ∈(－1,1)是否满足上述这些条件； (2)你发现这样的函数f (x )还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明．1．若log x 7y ＝z ，则( )A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x 2．当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2) 3．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[12，2] C ．[1,2] D ．[2，4] 4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 5．已知a 23＝49(a >0)，则log 23a ＝________.1．指数式a b＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积． 3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式log am b n ＝n m ·log a b ，log a b ＝1log b a在解题中的灵活应用．4．在运用性质log a M n ＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N ＋，且n 为偶数)．5．指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．6．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．答案精析知识梳理知识点一1．N2．(1)> (2)0 (3)13．(1)log a (MN ) (2)log a M N (3)m n知识点二y ＝log a x (a >0，且a ≠1) (1)(0，＋∞)R (2)(1,0) (3)增 减 (4)(a,1) (5)y ＝x x 轴题型探究例1 解 (1)利用对数定义求值：设log (2＋3)(2－3)＝x ，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1. (2)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy ，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(x y )2－6(xy )＋1＝0.∴xy ＝3±2 2.∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＞0，x ＞0，y ＞0，∴x y ＞1，∴x y ＝3＋22，∴log (3－22)x y ＝log (3－22)(3＋22)＝log (3－22)13－22＝－1.跟踪训练1 (1)－32(2)2 例2 解 f (x )的图象如图：设f (a )＝f (b )＝f (c )＝m ，不妨设a <b <c ，则直线y ＝m 与f (x )交点横坐标从左到右依次为a ，b ，c ， 由图象易知0<a <1<b <e<c <e 2，∴f (a )＝|ln a |＝－ln a ，f (b )＝|ln b |＝ln b .∴－ln a ＝ln b ，ln a ＋ln b ＝0，ln ab ＝ln 1，∴ab ＝1. ∴abc ＝c ∈(e，e 2)．跟踪训练2 解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如图．由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1， 只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1， 即log a a －1≤log a 13≤log a a ， 所以当a ＞1时，得a －1≤13≤a ， 即a ≥3；当0＜a ＜1时，a ≤13≤a －1， 得0＜a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)． 例3 解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )．(2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m . 设F (x )＝log a 1＋x 1－x ＝log a (－1＋21－x)，x ∈[0,1)， 由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0.故m ≤0即为所求．跟踪训练3 解 (1)因为g (x )＋g (y )＝ln 1－x 1＋x ＋ln 1－y 1＋y＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ·1－y 1＋y ＝ln 1－x －y ＋xy 1＋x ＋y ＋xy ， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝ln 1－x ＋y 1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy＝ln 1－x －y ＋xy 1＋x ＋y ＋xy， 所以g (x )＋g (y )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy 成立． 又当x ＜0时，1－x ＞1＋x ＞0，所以1－x 1＋x＞1， 所以g (x )＝ln 1－x 1＋x＞0成立． 综上g (x )＝ln 1－x 1＋x满足这些条件． (2)发现这样的函数f (x )在(－1,1)上是奇函数．因为x ＝y ＝0代入条件，得f (0)＋f (0)＝f (0)，所以f (0)＝0.将y ＝－x 代入条件得f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0⇒f (－x )＝－f (x )， 所以函数f (x )在(－1,1)上是奇函数．又发现这样的函数f (x )在(－1,1)上是减函数．因为f (x )－f (y )＝f (x )＋f (－y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ，当－1＜x ＜y ＜1时，x －y 1－xy ＜0，由条件知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ＞0， 即f (x )－f (y )＞0⇒f (x )＞f (y )，所以函数f (x )在(－1,1)上是减函数． 当堂训练1．B 2.B 3.D 4.B 5.3。

3．2.1 对数与对数函数第1课时对数概念与常用对数1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．(重点)2．理解对数的底数和真数的范围．(易混点)3．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(难点)[基础·初探]教材整理1 对数的概念阅读教材P95～P96，完成下列问题．1．在指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)中，幂指数x，又叫做以a为底y的对数．2．一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数．3．对数恒等式a log a N＝N.4．对数与指数间的关系a b＝N⇔b＝log a N(a>0，a≠1)．5．常用对数以10为底的对数叫做常用对数，通常把log10N记作lg_N.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )(2)对数式log32与log23的意义一样．( )(3)对数的运算实质是求幂指数．( )【解析】(1)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×.log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√.由对数的定义可知(3)正确．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 对数的性质阅读教材P 96“第6行”～P 96“例1”以上内容，完成下列问题． 1．负数和零没有对数． 2．log a 1＝0(a ＞0，a ≠1)． 3．log a a ＝1(a ＞0，a ≠1)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为1a＝1，所以log 11＝a .( ) (2)log (－2)(－2)＝1.( )(3)任何一个指数式都可化为对数式．( )【解析】 (1)×.因为对数的底数a 应满足a >0且a ≠1，所以(1)错； (2)×.因为对数的底数a 应满足a >0且a ≠1，真数应大于0，所以(2)错；(3)×.只有满足底数大于0且不等于1的指数式才能化为对数式，如(－2)4＝16就不能化为对数式，故(3)错．【答案】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型](1) (2)对数式log (x －2)(x ＋2)中实数x 的取值范围是______．【精彩点拨】 根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解．【自主解答】 (1)由题意可知对数式lg(2x －1)中的真数大于0，即2x －1>0，解得x >12，所以x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －2>0，x －2≠1，解之得x >2，且x ≠3，所以实数x 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．【答案】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ (2)(2,3)∪(3，＋∞)根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式组，可求得对数式中字母的取值范围.[再练一题]1．对数式log (2x －3)(x －1)中实数x 的取值范围是______.【导学号：60210079】【解析】 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －3>0，2x －3≠1，解之得x >32，且x ≠2，所以实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)【精彩点拨】 (1)根据a x＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1，N >0)求解；(2)由于a ，b 是对数，所以可考虑用指数式表示出a ，b ，再把它们代入式子中． 【自主解答】 (1)①因为43＝64， 所以log 464＝3.②因为log x 3＝2，所以x 2＝3.④因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.(2)∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b＝7， ∴3a －b＝3a3b ＝107.1．指数式与对数式的互化互为逆运算，在利用a x＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1，N >0)互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．2．在对数式、指数式的互化求值时，要注意灵活运用指数的定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．[再练一题]2．已知log a x ＝log a c ＋b ，求x 的值．【解】[探究共研型]探究1 【提示】 负数和0没有对数．探究2 根据对数的定义及对数与指数的关系，你能求出log a 1，log a a 分别等于什么吗？ 【提示】 因为a 0＝1，所以log a 1＝0；因为a 1＝a ，所以log a a ＝1. 探究3 你能推出对数恒等式a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)吗？ 【提示】 因为a x ＝N ，所以x ＝log a N ，代入a x＝N 可得a log a N ＝N .A ．10B ．13C ．100D ．±100(2)求x 的值：【精彩点拨】 (1)利用对数恒等式a log a N ＝N 求解；(2)利用“底数”的对数为1，“1”的对数为0，由外到内逐层求解． 【自主解答】 (1)由＝25，得2x －1＝25，所以x ＝13.【答案】 B得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋2x －1＝2x 2－1，3x 2＋2x －1>0，2x 2－1>0且2x 2－1≠1，解得x ＝2.②∵log (2－1)13＋22＝x ，∴(2－1)x＝13＋22＝12＋2＝12＋1＝2－1，∴x ＝1.对数恒等式是利用对数的定义推导出来的，要注意其结构特点：它们是同底的；指数中含有对数的形式；其值为对数的真数.)[再练一题]3．已知log 2(log 3(log 4x ))＝log 3(log 4(log 2y ))＝0，求x ＋y 的值． 【解】 ∵log 2(log 3(log 4x ))＝0， ∴log 3(log 4x )＝1，∴log 4x ＝3. ∴x ＝43＝64. 同理求得y ＝16. ∴x ＋y ＝80.1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．e 0＝1与log e 1＝0 B ．8－13＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与912＝3 D ．log 77＝1与71＝7【解析】 由指数、对数互化的关系：a x＝N ⇔x ＝log a N 可知A ，B ，D 都正确；C 中log 39＝2⇔9＝32.【答案】 C2．已知log x 8＝3，则x 的值为( ) A.12 B ．2 C ．3D ．4【解析】 由log x 8＝3，得x 3＝8，∴x ＝2. 【答案】 B3．若对数log (x －1)(4x －5)有意义，则x 的取值范围是( ) A.54≤x ＜2 B.52＜x ＜2 C.54＜x ＜2或x ＞2 D ．2≤x ≤3【解析】 x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0，x －1>0，x －1≠1，∴x >54，且x ≠2.【答案】 C 4．计算＝________.【解析】＝22·＝4×5＝20.【答案】 205．求下列各式中的x . 【导学号：97512045】 (1)log 2x ＝－23；(2)log 5(log 2x )＝0. 【解】 (1)x ＝2－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223.(2)log 2x ＝1，x ＝2.第2课时 对数的运算1．理解对数的运算性质．(重点)2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．[基础·初探]教材整理1 对数的运算性质阅读教材P 98至P 98“例4”以上部分，完成下列问题． 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；log a (N 1·N 2·…·N k )＝log a N 1＋log a N 2＋…＋log a N k (N i ＞0，i ＝1,2，…k ) (2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n＝n log a M __(n ∈R )．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)log a xy ＝log a x ·log a y .( ) (3)log a (－2)3＝3log a (－2)．( )【解析】 (1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确； (2)×.根据对数的运算性质可知log a xy ＝log a x ＋log a y ； (3)×.公式log a M n＝n log a M (n ∈R )中的M 应为大于0的数． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 换底公式与自然对数阅读教材P 100至P 101“例6”以上部分，完成下列问题． 1．对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．2．自然对数：ln N ＝lg Nlg e⇒ln N ≈2.3026_lg_N .计算：log 29·log 34＝________.【解析】 由换底公式可得log 29·log 34＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.【答案】 4[小组合作型](1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2； (3)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72；(4)2log 32－log 3329＋log 38－52log 53.【精彩点拨】 当对数的底数相同时，利用对数运算的性质，将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算．【自主解答】 (1)原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.(2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝2lg 2＋lg 3＋＋2lg 2＝2lg 2＋lg 34lg 2＋2lg 3＝12.(3)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154.(4)原式＝2log 32－(log 325－log 39)＋3log 32－5log 532＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9＝2－9＝－7.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．[再练一题]1．求下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25. 【解】 (1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1.(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)【精彩点拨】 根据题中的已知条件建立不等关系式，然后利用对数来解不等式． 【自主解答】 设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%，原先容器中的空气体积为a .则a (1－60%)n<0.1%a ，即0.4n<0.001，两边取常用对数，得n ·lg 0.4<lg 0.001， ∴n >lg 0.001lg 0.4＝－32lg 2－1≈7.5.故至少需要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%.解对数应用题的步骤[再练一题]2．地震的震级R 与震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生强度至少为4.7级的地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．【解析】 设9.0级地震所释放的能量为E 1,5.0级地震所释放的能量为E 2.由9.0＝23(lgE 1－11.4)，得lg E 1＝32×9.0＋11.4＝24.9.同理可得lg E 2＝32×5.0＋11.4＝18.9，从而lg E 1－lg E 2＝24.9－18.9＝6.故lg E 1－lg E 2＝lg E 1E 2＝6，则E 1E 2＝106＝1 000 000，即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1 000 000倍． 【答案】 1000 000[探究共研型]探究1 假设2log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x＝5，进一步可以得到什么结论？【提示】 进一步可以得到x ＝log 35，即log 35＝log 25log 23.探究2 由探究1，你能猜测log c blog c a 与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？【提示】log c b log c a ＝log a b .假设log c b log c a＝x ，则log c b ＝x log c a ，即log c b ＝log c a x，所以b ＝a x，则x ＝log a b ，所以log c b log c a＝log a b .(1)已知log 1227＝a ，求log 616的值；(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值．【精彩点拨】 (1)中两对数的底数不同，可用换底公式换成常用对数，为便于发现关系，可将真数都化为质数进行计算．(2)中各个对数的底数都不相同，需先统一底数再化简求值．【自主解答】 (1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ，∴lg 2＝3－a2alg 3.∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a 1＋3－a2a＝－a3＋a.(2)法一 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28·log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13.法三 原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·log 52＝3×133＝13.1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ·log b a ＝1，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ，log am b n＝nmlog a b ，log a a n＝n ，lg 2＋lg 5＝1等，将会达到事半功倍的效果．[再练一题]3．求值：log 225·log 3116·log 519＝________.【解析】 原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2·－4lg 2lg 3·－2lg 3lg 5＝16.【答案】 161．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c【解析】 利用对数的换底公式进行验证， log a b ·log c a ＝log c blog c a ·log c a ＝log c b ，则B 正确．【答案】 B2．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( )A ．lg 2B ．lg 3C ．lg 4D ．lg 5【解析】 法一：lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝(lg 25－lg 16)－2(lg 5－lg 9)＋(lg 32－lg 81)＝2lg 5－4lg 2－2lg 5＋4lg 3＋5lg 2－4lg 3＝lg 2法二：lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A.【答案】 A3．下列结论正确的是( ) A ．log a (x －y )＝log a x －log a y B.log a xlog a y＝log a x －log a y C ．log a x y＝log a x －log a y D ．log a x y ＝log a xlog a y【解析】 由对数的运算性质，知A ，B ，D 错误，C 正确． 【答案】 C4．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. 【解析】 原式＝(lg 2)2＋lg 2·(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2. 【答案】 25．已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645. 【解】 ∵log 189＝a,18b＝5，即log 185＝b ， 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18log 18＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a.。

3．1.2 指数函数(二) 学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．知识点一 不同底指数函数图象的相对位置思考 y ＝2x 与y ＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？梳理 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图．(2)指数函数y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x (a ＞0且a ≠1)的图象关于y 轴对称．知识点二 比较幂的大小思考 若x 1＜x 2，则a 1x 与a2x (a ＞0且a ≠1)的大小关系如何？梳理 比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的________性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的________的变化规律来判断；(3)对于底数不同，指数也不同的两个幂的大小，则通过________来判断．知识点三 解指数方程、不等式思考 若a 1x ＜a2x ，则x 1，x 2的大小关系如何？梳理 简单指数不等式的解法(1)形如af (x )＞ag (x )的不等式，可借助y ＝a x 的______求解； (2)形如af (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的________求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x ，y ＝b x 的图象求解．知识点四 与指数函数复合的函数单调性思考 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的定义域与y ＝1x 的定义域是什么关系？y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的单调性与y ＝1x 的单调性有什么关系？梳理 形如y ＝af (x )(a >0，且a ≠1)的函数的性质 (1)函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有________的定义域．(2)当a >1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有________的单调性；当0<a <1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性________．类型一 解指数方程例1 解下列关于x 的方程：(1)81×32x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＋2； (2)22x ＋2＋3×2x －1＝0.反思与感悟 (1)a f (x )＝b 型通常化为同底来解．(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．跟踪训练1 解下列方程．(1)33x －2＝81； (2)5x ＝325；(3)52x －6×5x＋5＝0.类型二 指数函数单调性的应用 命题角度1 比较大小例2 比较下列各题中两个值的大小：(1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3； (3)1.70.3,0.83.1.反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小．(1)0.8－0.1,1.250.2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π，1.命题角度2 解指数不等式例3 解关于x 的不等式：a2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1)．反思与感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．跟踪训练3 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________． 命题角度3 与指数函数复合的单调性问题例4 (1)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋的单调区间； (2)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋17的单调区间．反思与感悟 复合函数单调性问题归根结底是由x 1<x 2到f (x 1)与f (x 2)的大小，再到g (f (x 1))与g (f (x 2))的大小关系问题．跟踪训练4 求下列函数的单调区间．(1)y ＝a223x x ＋－； (2)y ＝10.2x －1.1．若a ＝0.512，b ＝0.513，c ＝0.514，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a 2．方程42x －1＝16的解是( )A ．x ＝－32B ．x ＝32C ．x ＝1D ．x ＝2 3．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1221x －的单调递增区间为( ) A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)4．设0＜a ＜1，则关于x 的不等式22232223x x x x aa －＋＋－＞的解集为________． 5．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c 且c >b n ，则a m >b n .2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y＝a x的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解．(3)形如a x>b x的不等式，可借助图象求解．3．(1)研究y＝a f(x)型单调区间时，要注意a>1还是0<a<1.当a>1时，y＝a f(x)与f(x)单调性相同．当0<a<1时，y＝a f(x)与f(x)单调性相反．(2)研究y＝f(a x)型单调区间时，要注意a x属于f(u)的增区间还是减区间，其中u＝a x.答案精析问题导学知识点一思考 经描点观察，在y 轴右侧，2x ＜3x ，即y ＝3x 图象在y ＝2x 上方，经(0,1)点交叉，位置在y 轴左侧反转，y ＝2x 在y ＝3x 图象上方．知识点二思考 当a ＞1时，y ＝a x 在R 上为增函数，所以ax 1＜ax 2，当0＜a ＜1时，y ＝a x 在R 上为减函数，所以ax 1＞ax 2.梳理(1)单调 (2)图象 (3)中间值知识点三思考 当f (x )在区间[m ，n ]上单调递增(减)时，若x 1，x 2∈[m ，n ]，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2)．所以，当0＜a ＜1时，ax 1＜ax 2⇔x 1＞x 2，当a ＞1时，ax 1＜ax 2⇔x 1＜x 2.此原理可用于解指数方程、不等式．梳理(1)单调性 (2)单调性知识点四思考 由于y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的定义域与y ＝1x 的定义域相同，故研究y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的单调性，只需在y ＝1x 的定义域内研究．若设0＜x 1＜x 2，则1x 1＞1x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1221x ，不等号方向的改变与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝1x 的单调性均有关． 梳理(1)相同 (2)相同 相反题型探究 例1 解 (1)∵81×32x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＋2， ∴32x ＋4＝3－2(x ＋2)，∴2x ＋4＝－2(x ＋2)，∴x ＝－2.(2)∵22x ＋2＋3×2x －1＝0，∴4×(2x )2＋3×2x －1＝0.令t ＝2x (t ＞0)，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0，解得t ＝14或t ＝－1(舍去)． ∴2x ＝14，解得x ＝－2. 跟踪训练1 解 (1)∵81＝34，∴33x －2＝34， ∴3x －2＝4，解得x ＝2. (2)∵5x ＝325，∴23255x ＝， ∴x 2＝23，解得x ＝43. (3)令t ＝5x ，则t >0，原方程可化为t 2－6t ＋5＝0，解得t ＝5或t ＝1，即5x ＝5或5x ＝1，∴x ＝1或x ＝0.例2 解 (1)∵1.7＞1，∴y ＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数．∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x 的图象位于y ＝1.5x 的图象的上方．而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.方法二 ∵1.50.3＞0，且1.70.31.50.3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1.71.50.3， 又1.71.5＞1,0.3＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1.71.50.3＞1， ∴1.70.3＞1.50.3.(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，∴1.70.3＞0.83.1.跟踪训练2 解 (1)∵0＜0.8＜1，∴y ＝0.8x 在R 上是减函数．∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1， 即0.8－0.1＜1.250.2. (2)∵0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx 在R 上是减函数． 又∵－π＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1π0＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞1. 例3 解 (1)当0<a <1时，∵a2x ＋1≤a x －5， ∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6.(2)当a >1时，∵a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}；当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}．跟踪训练3 (12，＋∞) 例4 解 (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋的定义域为R . 在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减函数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋在(－∞，3]上是增函数． 在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增函数， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋在[3，＋∞)上是减函数． ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞)． (2)设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，又y ＝t 2－8t ＋17在(－∞，4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增． 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，得x ≥－2. ∴当－2≤x 1<x 2时，4≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121x >⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ， 即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17. ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋17的单调增区间是[－2，＋∞)． 同理可得减区间是(－∞，－2]．跟踪训练4 解 (1)设y ＝a u ，u ＝x 2＋2x －3，由u ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得u 在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数．当a >1时，y 关于u 为增函数；当0<a <1时，y 关于u 为减函数，∴当a >1时，原函数的增区间为(－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；当0<a <1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为(－1，＋∞)．(2)已知函数的定义域为{x |x ≠0}．设y＝1u－1，u＝0.2x，易知u＝0.2x为减函数．而根据y＝1u－1的图象可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y是关于u的减函数，∴原函数的增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．当堂训练1．B 2.B 3.A 4.(1，＋∞) 5.5±1211。

3.2.1 第2课时 积、商、幂的对数 学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一 对数运算法则思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成加法来计算．那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？梳理 一般地，如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝________________；(2)log a M N＝________________；(3)log a M n ＝________(n ∈R )．知识点二 自然对数1．定义：以无理数e ＝________为底的对数叫做自然对数．2．记法：log e N ＝________.知识点三 换底公式思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．而实际上，早期只有常用对数表和自然对数表，可以查表求对数值．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？思考2 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，再化为对数式可得到什么结论？梳理 对数换底公式log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 特别地，log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．类型一 具体数字的化简求值例1 计算：(1)log 345－log 35；(2)log 2(23×45)； (3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2； (4)log 29·log 38.反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循两个原则(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．(2)不同底化为同底．跟踪训练1 计算：(1)2log 63＋log 64；(2)(lg 25－lg 14)÷10012－； (3)log 43·log 98；(4)log 2.56.25＋ln e －0.06413.类型二 代数式的化简 命题角度1 代数式恒等变换例2 化简log a x 2y3z.反思与感悟使用公式要注意成立条件，如lg x2不一定等于2 lg x，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意log a(MN)≠log a M·log a N，log a(M±N)≠log a M±log a N.跟踪训练2 已知y>0，化简log ax yz.命题角度2 用代数式表示对数例3 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元． 跟踪训练3 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.1．log 513＋log 53等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．log 51032．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c3．log 29×log 34等于( )A.14B.12 C ．2 D ．44．lg 0.01＋log216的值是________．log2＋(－9.8)0＝________.5．log327＋lg 25＋lg 4＋771．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．(3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N)n，②log a(MN)＝log a M·log a N，③log a M±log a N＝log a(M±N)．答案精析问题导学知识点一思考 有．例如，设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则a m ＝M ，a n ＝N ，∴MN ＝a m ·a n ＝a m ＋n ，∴log a (MN )＝m ＋n ＝log a M ＋log a N .得到的结论log a (MN )＝log a M ＋log a N ，可以当公式直接进行对数运算． 梳理(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M知识点二(1)2.718 28… (2)ln N知识点三思考1 设法换为同底．思考2 把3x＝5化为对数式为：log 35＝x ，又因为x ＝log 25log 23，所以得出log 35＝log 25log 23的结论． 梳理1题型探究例1 解 (1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332 ＝2log 33＝2.(2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(213)＝13log 22＝13. (3)lg 10333232234lg()lg(3210)101212lg lg 1010⨯⨯÷== ＝32lg 1210lg 1210＝32. (4)log 29·log 38＝log 2(32)·log 3(23)＝2log 23·3log 32＝6·log 23·1log 23＝6. 跟踪训练1 解 (1)原式＝log 632＋log 64＝log 6(32×4) ＝log 6(62)＝2log 66＝2.(2)原式＝(lg 2514)÷1012()2⨯－＝lg 102÷10－1 ＝2×10＝20.(3)原式＝lg 3lg 4·lg 8lg 9＝lg 32lg 2·3lg 22lg 3＝34. (4)原式＝log 2.5(2.5)2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00013＝2＋12－410＝2110. 例2 解 ∵x 2y 3z>0且x 2>0，y >0， ∴y >0，z >0.log a x 2y 3z＝log a (x 2y )－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a 3z＝2log a |x |＋12log a y －13log a z . 跟踪训练2 已知y >0，化简log ax yz . 解 ∵x yz>0，y >0，∴x >0，z >0. ∴log a x yz ＝log a x －log a (yz )＝12log a x －log a y －log a z . 例3 解 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18log 18＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a. 跟踪训练3 解 ∵log 23＝a ，则1a＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. 当堂训练1．A 2.B 3.D 4.2 5.132。

3．1.2 指数函数(一)学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域．知识点一指数函数思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？梳理一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．特别提醒：(1)规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数．②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．③a x的系数必须为 1.④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．知识点二指数函数的图象和性质思考函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？梳理指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质类型一求指数函数的解析式例1 已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．反思与感悟根据指数函数的定义，a是一个常数，a x的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．要求指数函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．跟踪训练1 已知指数函数y＝(2b－3)a x经过点(1,2)，求a，b的值．类型二 指数型函数的定义域、值域问题 命题角度1 y ＝fa x 型例2 求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝3x1＋3x ；(2)y ＝4x －2x＋1.反思与感悟 解此类题的要点是设a x＝t ，利用指数函数的性质求出t 的范围．从而把问题转化为y ＝f (t )的问题．跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域． (1)y ＝1－12x；(2)y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)．命题角度2 y ＝af x型 例3 求函数y ＝ 32x －1－19的定义域、值域．反思与感悟 y ＝af (x )的定义域即f (x )的定义域，求y ＝af (x )的值域可先求f (x )的值域，再利用y ＝a t的单调性结合t ＝f (x )的范围求y ＝a t的范围． 跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域：(1)y ＝0.311x ；(2)y ＝类型三 指数函数图象的应用 命题角度1 指数函数整体图象例4 在如图所示的图象中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 的图象可能是( )反思与感悟 函数y ＝a x的图象主要取决于0<a <1还是a >1.但前提是a >0且a ≠1. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝4＋a x ＋1的图象经过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(－1,5) B ．(－1,4) C ．(0,4)D ．(4,0)命题角度2 指数函数图象局部例5 若直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点，求实数a 的取值范围．反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．跟踪训练5 函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )1．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ．y ＝3x －1D ．y ＝(13)x2．若函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0，且a ≠1 B ．a ≥0，且a ≠1 C ．a >12，且a ≠1D ．a ≥123．函数y ＝32x －的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(0,1]D ．[－1,0)4.函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<05．函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为( )A．(－3,0] B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝a x(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即a x的系数是1，指数是x且系数为1.2．指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．求函数y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；(2)求t＝f(x)的值域t∈M；(3)利用y＝a t的单调性求y＝a t在t∈M上的值域．答案精析问题导学 知识点一思考 y ＝2x .它的底为常数，自变量为指数，而y ＝x 2恰好反过来． 梳理函数y ＝a x(a >0，且a ≠1) R 知识点二思考 函数性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般． 梳理(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 题型探究例1 解 设f (x )＝a x，将点(3，π)代入，得到f (3)＝π， 即a 3＝π，解得a ＝13π，于是f (x )＝3πx .跟踪训练1 a ＝b ＝2.例2 解 (1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R,3x≠－1)． ∵y ＝＋3x－11＋3x ＝1－11＋3x ，又∵3x>0,1＋3x>1，∴0<11＋3x <1，∴－1<－11＋3x <0，∴0<1－11＋3x <1，∴值域为(0,1)．(2)定义域为R ，y ＝(2x )2－2x＋1 ＝(2x－12)2＋34，∵2x >0，∴2x＝12，即x ＝－1时，y 取最小值34，同时y 可以取一切大于34的实数，∴值域为[34，＋∞)．跟踪训练2 解 (1)∵1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1，解得x ≥0，∴原函数的定义域为[0，＋∞)．令t ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥0)，则0≤t <1，∴0≤ t <1，∴原函数的值域为[0,1)． (2)原函数的定义域为R .由y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)，得a x＝－y ＋1y －1. ∵a x >0，∴－y ＋1y －1>0，∴－1<y <1. ∴原函数的值域是(－1,1)． 例3 解 要使函数有意义， 则x 应满足32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2. ∵y ＝3x在R 上是增函数， ∴2x －1≥－2，解得x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞时，32x －1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞. ∴32x －1－19∈[0，＋∞)． ∴原函数的值域为[0，＋∞)．跟踪训练3 解 (1)由x －1≠0得x ≠1， 所以函数定义域为{x |x ≠1}． 由1x －1≠0得y ≠1， 所以函数值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)由5x －1≥0得x ≥15，所以函数定义域为{x |x ≥15}．由5x －1≥0得y ≥1，所以函数值域为{y |y ≥1}． 例4 A跟踪训练4 A例5 解 y ＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x <0，2x－1，x ≥0，图象如下：由图可知，要使直线y ＝2a 与函数y ＝|2x－1|图象有两个公共点， 需0<2a <1，即0<a <12.跟踪训练5 B 当堂训练1．D 2.C 3.C 4.D 5.A。

第三章 基本初等函数（Ⅰ）1 指数与指数运算疑点透析一、如何理解n 次方根的概念若一个数x 的n 次方等于a ，那么x 怎么用a 来表示呢？是x ＝na 吗？这个回答是不完整的．正确表示应如下：x ＝⎩⎪⎨⎪⎧na ，n 为奇数，±na ，n 为偶数，a ＞0，不存在，n 为偶数，a ＜0，0，a ＝0，主要性质有：①当n 为奇数时，na n＝a ； ②当n 为偶数时，nan ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0.二、如何理解分数指数幂的意义分数指数幂m na 不可以理解为m n 个a 相乘，它是根式的一种新的写法．规定mn a ＝n a m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)，m na-＝1m ma＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m ，n 的具体数而定． 三、分数指数幂和整数指数幂有什么异同相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理指数幂，都可以利用有理指数幂的运算性质进行运算．其运算形式为a r·a s＝ar ＋s；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r ·b r，式中a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ，对于这三条性质，不要求证明，但需记准．不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式． 四、指数幂的运算在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．例1解 原式1111912337133322()()()a a a a --⎡⎤⎡⎤=÷⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦91713973131066666662()() 1.a a aa aa -+---=÷===例2解 原式＝14144323(3)⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦＝(3243＋)14＝314143⨯＝376＝363.例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.2 解读指数函数的四个难点在学习了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握． 难点之一：概念指数函数y ＝a x有三个特征：①指数：指数只能是自变量x ，而不能是x 的函数；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1. 例1 给出五个函数：①y ＝2×6x ；②y ＝(－6)x ；③y ＝πx； ④y ＝x x；⑤y ＝22x ＋1.以上是指数函数的个数是________．分析 根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考查，判断是否满足指数函数的定义．解析 对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x 不是常数；对于⑤，指数是x 的一次函数，故①、②、④、⑤都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义． 答案 1 难点之二：讨论指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)，当a ＞1时，是增函数；当0＜a ＜1时，是减函数．例2 函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．分析 遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a 进行分类讨论，再列出方程并求出a .解 当a ＞1时，函数y ＝a x在[1,2]上的最大值是a 2，最小值是a ，依题意得a 2－a ＝a2，即a 2＝3a 2，所以a ＝32；当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 在[1,2]上的最大值是a ，最小值是a 2，依题意得a －a 2＝a 2，即a 2＝a 2，所以a ＝12.综上可知，a ＝32或a ＝12.难点之三：复合指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则．例3 求函数y ＝(13)的单调递减区间．分析 指数函数与指数型复合函数的区别在于，指数自变量是x 还是x 的函数．此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解． 解 由－x 2＋x ＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2]． 令u ＝－x 2＋x ＋2＝－(x －12)2＋94，则y ＝(13)u，当x ∈[－1，12]时，随x 的增大，u 增大，y 减小，故函数的递减区间为[－1，12]．难点之四：图象指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象特征是：当a ＞1时，在y 轴的右侧，a 越大，图象越往上排；在y 轴左侧，a 越大，图象越往下排．当0＜a ＜1时恰好相反． 例4 利用指数函数的图象比较0.7－0.3与0.4－0.3的大小．分析 可在同一坐标系中作出y ＝0.7x及y ＝0.4x的图象，从图象中得出结果．解 如图所示，作出y ＝0.7x 、y ＝0.4x及x ＝－0.3的图象， 易知0.7－0.3＜0.4－0.3.评注 图象应记忆准确，在第二象限中靠近y 轴的函数应是y ＝0.4x，而不是y ＝0.7x，这一点应注意．3 对数与对数运算学习讲解1．对数的定义一般地，如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．解读：(1)由对数定义可以知道，当a ＞0，且a ≠1时，a x＝N ⇔x ＝log a N ，也就是说指数式与对数式实际上是表示a 、N 之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，a log a N ＝N ，即a 的log a N 次方等于N ，对数恒等式也是化简或计算的重要公式．2．对数的性质(1)零和负数没有对数．由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以a x＝N (a ＞0，且a ≠1)中N 总是正数；(2)1的对数为0.由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以log a 1＝0；(3)底数的对数等于1.由于a 1＝a 对于任何非零实数都成立，所以log a a ＝1. 3．对数的运算性质若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和； (2)log a M N＝log a M －log a N ，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； (3)log a M n＝n log a M ，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中．例1 将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式： (1)log 3127＝－3；(2)log 232＝5；(3)63＝216；(4)10－3＝0.001.解 (1)3－3＝127；(2)25＝32；(3)log 6216＝3；(4)log 100.001＝－3，也可写成lg 0.001＝－3.评注 本题考查了对数式与指数式的互化．解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数． 例2 求下列各式的值： (1)3log 72－log 79＋2log 7322；(2)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解 (1)原式＝log 723－log 79＋log 7(322)2＝log 72332229＝log 71＝0；(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(lg 5＋2lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.评注 利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性．4 换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助． 一、换底公式及证明 换底公式：log b N ＝log a Nlog a b.证明 设log b N ＝x ，则b x＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x＝log a N ，∴x log a b ＝log a N . ∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b .二、换底公式的应用举例 1．乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732； (2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决． 解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109. (2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg dlg c＝log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决． 2．知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值． 分析 本题可选择以3为底进行求解． 解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a2a .故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a2a 1＋3－a2a＝－a3＋a.评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决． 3．综合型 例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小． 分析 本题可选择以19及π为底进行解题． 解 A 换成以19为底，B 换成以π为底， 则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .5 精析对数函数一、对数函数的概念函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)． 由对数的定义容易知道对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)是指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数．在对数函数中自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记．若对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数． 二、对数函数的图象和性质1．对数函数性质的记忆与运用的注意事项(1)数形结合——利用图象记忆性质．x ＝1是“分水岭”； (2)函数的单调性决定于底数a 大于1还是大于0小于1；(3)指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x (其中a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的概念、图象、性质，既有密切的联系又有本质的区别．2．对数函数图象分布规律如图所示，在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是：在直线x ＝1的右边区域，在x 轴上方，对数函数的图象越靠近x 轴，底数越大，且底数均大于1；在x 轴下方，对数函数的图象越靠近x 轴，底数越小，且底数均在(0,1)之间．图中的对数函数的底数a ，b ，c ，d 的大小关系是0＜a ＜b ＜1＜c ＜d .在具体解题时，还可利用特殊值法．例1 函数y ＝log (x －1)(4－x )的定义域是________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －1≠1，4－x ＞0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠2，x ＜4，所以函数的定义域是{x |1＜x ＜4，且x ≠2}． 答案 {x |1＜x ＜4，且x ≠2}评注 函数定义域就是使函数解析式有意义的自变量x 的集合，若出现对数，要使其真数大于0，底数大于0且不等于1.例2 函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象如图所示，则a 、b 、c 、d 与正整数1的大小顺序是( )A ．1＜d ＜c ＜a ＜bB ．c ＜d ＜1＜a ＜bC ．c ＜d ＜1＜b ＜aD ．d ＜c ＜1＜a ＜b解析 作出直线y ＝1，可知其与对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a 、b 、c 、d ，于是c ＜d ＜1＜a ＜b . 答案 B评注 利用特殊值的方法解决有关对数函数的图象问题，可减轻记忆的负担，使问题得到迅速的解决．6 对数函数中化难为易三策略对数函数是最重要的一类初等函数，解对数函数问题时常因方法不当或没有充分挖掘隐含条件而导致错误．这主要是因为对数函数的制约条件复杂，参变量的潜在约束比较隐晦，因此在解题时，不易理清思路，抓不住关键，往往半途而废．下面从三个方面谈谈对数函数学习中化难为易的求解策略，希望能对同学们的学习有所帮助． 一、数形结合策略例1 若不等式2x－log a x ＜0在x ∈(0，12)时恒成立，求实数a 的取值范围．解 要使不等式2x＜log a x 在x ∈(0，12)时恒成立，即函数y ＝log a x 的图象在(0，12)内恒在函数y ＝2x的图象上方，如图所示．而y ＝2x的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，即需log a 12≥2，显然这里0＜a ＜1，则函数y ＝log a x 递减． 又因为log a 12≥2＝log a a2，所以a2≥12，即a ≥(12).故所求a 的取值范围为1(1.2a a ⎧⎫⎪⎪≤<⎨⎬⎪⎪⎩⎭评注 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易． 二、合理换元策略例2 设y ＝log 12[a 2x＋2(ab )x －b 2x＋1]，a ，b ∈(0，＋∞)，求使y 为负值的x 的取值范围．解 ∵0＜12＜1，y ＜0，∴由对数函数的性质知a 2x＋2(ab )x －b 2x＋1＞1，即a 2x ＋2(ab )x －b 2x＞0.① 把①式两边同时除以b 2x， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2x＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x－1＞0，② 令a b＝t ，则②式可化为t 2x ＋2t x－1＞0， 解得t x＞2－1或t x＜－2－1(舍去)，再给两边取以t 为底的对数，但需分t ＞1，t ＝1,0＜t ＜1三种情况进行讨论． 当t ＞1，即a ＞b ＞0时，x ＞log a b(2－1)；当t ＝1，即a ＝b ＞0时，x ∈R ；当0＜t ＜1，即0＜a ＜b 时，x ＜log a b(2－1)．评注 对某些对数函数问题，巧妙地进行变量代换，可使问题转化为一次或二次函数等常规函数问题来解，往往能化难为易． 三、分离参数策略例3 设f (x )＝lg1＋2x＋…＋n －x＋n xan，其中a ∈R ，n 是任意给定的自然数，且n ≥2，如果f (x )在(－∞，1]上有意义，求a 的取值范围． 解 由f (x )有意义，得1＋2x＋…＋(n －1)x＋n xa ＞0，x ∈(－∞，1]，n ≥2，把上式看作关于a 的不等式，解得a ＞－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n x ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n x ， 令g (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n x ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n x ， ∵y ＝－(mn)x(m ＝1,2，…，n －1)在(－∞，1]上是增函数， ∴g (x )在(－∞，1]上也是增函数，故有g (x )≤g (1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2n＋…＋n －1n ＝－n －12， 即[g (x )]max ＝－n －12，故a ＞1－n2， ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－n 2，＋∞.评注 有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按固有的思维习惯，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境．如果打破思维定势，反“客”为“主”，把原来处于相对次要地位的“客元”突显出来，常常能收到出人意料的效果．当一个题目中有多个变量时，要敢于把其中的一个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，逐步减少参数，使问题获解．7 巧解指数、对数函数综合题指数函数y ＝a x和对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们有共同的底数，且底数起了核心作用，其变化规律是：当a ＞1时，它们在各自的定义域内都是增函数；当0＜a ＜1时，它们在各自的定义域内都是减函数，因此在解决指、对函数型问题时，以底数为突破口，往往能够快速解题． 一、共享底数对数式与指数式互化，其底数一致，即log a N ＝b ，a b＝N .利用它可以解决指、对数方程及互化等问题．例1 方程log 3(1－2·3x)＝2x ＋1的解x ＝________. 解析 将对数式化为指数式，得32x ＋1＝1－2· 3x，即3·(3x )2＋2·3x －1＝0，得3x＝13，故x ＝－1.答案 －1 二、亮出底数在有些指数、对数函数问题，特别是图象问题中，只要突出底数作用，即亮出底数，根据函数的单调性，就可解决．例2 当a ＞1时，在同一坐标系中，能表示函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图象的是( )解析 由a ＞1时，有0＜1a ＜1，则指数函数y ＝a －x＝(1a)x 在R 上是减函数，对数函数y ＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，故排除B 、C 、D. 答案 A 三、变换底数对数或指数运算最怕是不同底，这时可利用换底公式等手段变换底数． 例3 若log a 2＜log b 2＜0，则( ) A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1解析 化为同底，有1log 2a ＜1log 2b ＜0，从而log 2b ＜log 2a ＜0，即log 2b ＜log 2a ＜log 21. ∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数． ∴0＜b ＜a ＜1. 答案 B 四、讨论底数当底数不定时，常分0＜a ＜1与a ＞1两种情况进行讨论．例4 函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的差为5，则a ＝________. 解析 由题意知，a ＞0，且a ≠1. ①当a ＞1时，有a 1－a 0＝5，即a ＝6；②当0＜a ＜1时，有a 0－a 1＝5，即a ＝－4(舍去)． 综上知，a ＝6. 答案 6 五、消去底数有时候指数及对数问题的底数存在，会给解题带来一定的麻烦，我们还可利用转化的思想(如用同底法、换底法等)消去底数，使问题简化．例5 设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1.试比较log a (1－x )与log a (1＋x )的大小． 解 作商log a －xlog a＋x＝|log (1＋x )(1－x )|， ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1,1＜1＋x ＜2,0＜1－x 2＜1， ∴|log (1＋x )(1－x )|＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )11－x＝log (1＋x )1＋x1－x 2＞log (1＋x )(1＋x )＝1.∴log a (1－x )＞log a (1＋x ).8 三种数学思想在幂函数中的应用一、分类讨论的思想例1 若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，试求a 的取值范围．分析 利用函数y ＝x －13的图象及单调性解题，注意根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去解 分类讨论⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a <0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a ＋1<0，解得a <－1或23<a <32.评注 考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏． 二、数形结合的思想例2 已知x 2>x 13，求x 的取值范围．解 x 2与x 13有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y ＝x α(其中α＝2，13)，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x 的取值范围，如图所示，可得x 的取值范围是x <0或x >1.评注 数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然． 三、转化的数学思想例3 指出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f (－22)的大小．解 因为f (x )＝x 2＋4x ＋4＋1x 2＋4x ＋4＝1＋1x ＋＝1＋(x ＋2)－2，所以其图象可由幂函数y ＝x －2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示． 所以f (x )在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图象关于直线x ＝－2又因为－2－(－π)＝π－2， －22－(－2)＝2－22，所以π－2<2－22， 故－π距离对称轴更近，所以f (－π)>f (－22)． 评注 通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而运用其性质来解题．9 函数应用问题“讲”与“练”讲解一 求函数模型例1 某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少85t (t ＞0)万件．请将税金收入表示为征收附加税的函数．解 设每年销售量为x 万件，则每年销售收入为250x 万元，征收附加税为y ＝250x ·t 100＝52tx .依题意，知x ＝40－85t ＞0，即t ＜25.故所求的函数关系式为y ＝52×⎝⎛⎭⎪⎫40－85t t ＝－4t 2＋100t (0＜t ＜25)．评注 在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．练习1 将进货单价为70元的商品按100元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少15个，求利润y 与每个商品涨价x 元之间的函数关系式． 答案 y ＝－15x 2＋50x ＋15 000⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤1003讲解二 函数模型的选用例2 某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q (万元)与上市时间t (天)的关系如下表所示：模拟函数可以选用二次函数Q ＝a (t －150)2＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)，或一次函数Q ＝kt ＋m (k ，m 为常数，且k ≠0)．已知种植成本Q ＝112.5万元时，上市时间t ＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．分析 根据题目给定的两组Q ，t 的值，可分别求出模拟函数中的未知量a ，b ，k ，m . 解 设f (t )＝a (t －150)2＋b (其中a ，b 为常数，a ≠0)，g (t )＝kt ＋m (k ≠0)．由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f＝150，f ＝100，⎩⎪⎨⎪⎧g ＝150，g ＝100.所以⎩⎪⎨⎪⎧a－2＋b ＝150，a －2＋b ＝100，⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋m ＝150，150k ＋m ＝100.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200，b ＝100，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，m ＝175.所以f (t )＝1200(t －150)2＋100，g (t )＝－12t ＋175.因为f (200)＝1200(200－150)2＋100＝112.5，g (200)＝－12×200＋175＝75，所以选用f (t )＝1200(t －150)2＋100作为模拟函数较好．评注 本题不能凭空下结论，而要通过具体计算得到．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学化． 练习2 现有一组数据如下表所示：其中最能近似地表达这些数据规律的函数是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x－12D ．y ＝x 3－x ＋1答案 C讲解三 转化为熟悉的函数模型例3 有A ，B 两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M (万元)和N (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式：M ＝12x ，N ＝3x2，今有4万元资金投入经营A ，B两种商品．为获得最大利润，应分别对A ，B 两种商品的资金投入多少万元？ 解 设对A 种产品投资x 万元， 则对B 种产品投资(4－x )万元． 于是获得总利润y ＝12x ＋34－x2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，4－x ≥0，得0≤x ≤4.令t ＝4－x (0≤x ≤4)，则x ＝4－t 2(0≤t ≤2)． 所以y ＝12(4－t 2)＋32t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋258(0≤t ≤2)．于是，当t ＝32时，y max ＝258(万元)．此时，x ＝4－t 2＝74＝1.75(万元)，4－x ＝2.25(万元)．故为了获得最大利润，对A 种商品的资金投入为1.75万元，对B 种商品的资金投入为2.25万元．练习3 某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元．已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？并求出最大利润．答案 安排生产童装10天，生产西服20天，可获得最大利润，最大利润为124 000元．。