高考数学(文科)- 直线与圆锥曲线的位置关系-专题练习(含答案与解析)

第六节 直线与圆锥曲线的位置关系A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·四川，10)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)2.(2016·新课标全国Ⅱ，21)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. (1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN 的面积. (2)当2|AM|＝|AN|时，证明：3<k<2.3.(2016·新课标全国Ⅲ，20)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.4.(2016·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，过点A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.5.(2016·山东，21)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M(0，m)(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P(P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B.①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k′，证明k ′k 为定值.②求直线AB 的斜率的最小值.6.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.7.(2015·天津，19)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率；(2)设直线BF 与椭圆交于点P(P 异于点B)，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q(Q 异于点B)，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM|＝λ|MQ|. ①求λ的值；②若|PM|sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程.8.(2015·北京，20)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.9.(2015·江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P,C,若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程.10.(2015·湖北，22)一种画椭圆的工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON＝1，MN ＝3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点.若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.11.(2015·山东，21) 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q. (ⅰ)求|OQ||OP|的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.12..(2015·湖南，20)已知抛物线C 1 ：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a>b>0)的一个焦点.C 1 与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向. (1)求C 2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直线l 的斜率.13.(2014·山东，21)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105.(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点).点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2.证明：存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； ②求△OMN 面积的最大值.14.(2014·江西，20)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M(0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D(O 为坐标原点).(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l(不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值.15.(2014·北京，19)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点.若点A 在直线y ＝2上,点B 在椭圆C 上,且OA ⊥OB,求线段AB 长度的最小值.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·东北四校联考)设P 是椭圆x 225+y 29＝1上一点,M,N 分别是两圆：(x+4)2+y 2＝1和(x-4)2+y 2=1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( ) A.9，12 B.8，11 C.8，12 D.10，122.(2016·四川成都第二次诊断)已知抛物线y ＝x 2的焦点F ，过点(0，2)做直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点F 关于直线OA 的对称点为C ，则四边形OCAB 面积的最小值为( ) A.2 3 B. 3 C.32D.33.(2016·山东东营第二次质量检测)已知抛物线y 2＝8x 的准线与双曲线x 2a 2－y 216＝1相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，△ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.2 C. 6 D. 34.(2016·湖北八校联考)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px(p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2B. 3C. 5D. 65.(2015·太原模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若|AB|＝|AF 2|，∠F 1AF 2＝90°，则双曲线的离心率为( ) A.6＋32 B.6＋ 3 C.5＋222D.5＋2 2 6.(2015·马鞍山模拟)以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的中心O(坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于M 点(第一象限)，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，过点M 作x 轴垂线，垂足恰为OF 2的中点，则双曲线的离心率为( )A.3－1B. 3C.3＋1D.27.(2016·云南师大附中适应性月考)已知点P(x ，y)在椭圆x 264＋y 239＝1上，若定点A(5，0)，动点M 满足|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________.8.(2015·广西南宁三模)已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，以抛物线y 2＝16x 的焦点为其中一个焦点，以双曲线x 216－y 29＝1的焦点为顶点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若E ，F 是椭圆上关于原点对称的两点，则当直线PE ，PF 的斜率都存在，并记为k PE ，k PF 时，k PE ·k PF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.9.(2015·巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过点F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ|＝3. (1)求椭圆的方程；(2)过F 2的直线与椭圆交于不同的两点M ，N ，则△F 1MN 的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2)＝4(x 1-x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当l 的斜率存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2，由CM ⊥AB 得k·y 0－0x 0－5＝－1，y 0k ＝5－x 0，2＝5－x 0，∴x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，有－23＜y 0＜23，∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4，故选D.答案 D2.解 (1)设M(x 1,y 1),则由题意知y 1>0,由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A(-2,0),因此直线AM 的方程为y=x+2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0,解得y ＝0或y ＝127,所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k(x ＋2)(k>0)代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2（3－4k 2）3＋4k 2，故|AM|＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2. 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN|＝12k 1＋k 23k 2＋4.由2|AM|＝|AN|，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f(t)＝4t 3－6t 2＋3t －8,则k 是f(t)的零点,f′(t)＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0,所以f(t)在(0,＋∞)单调递增，又f(3)＝153－26<0，f(2)＝6>0，因此f(t)在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k<2.3.(1)证明 由题设F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b)y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ.(2)解 设过AB 的直线为l,设l 与x 轴的交点为D(x 1,0),则S △ABF ＝12|b-a|·|FD|＝12|b-a|⎪⎪⎪⎪x 1－12,S △PQF ＝|a －b|2. 由题设可得|b －a|⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b|2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)， 设满足条件的AB 的中点为E(x ，y). 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝yx －1(x≠1).而a ＋b 2＝y.所以y 2＝x －1(x≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 4.(1)解 由椭圆过点A(2，0)，B(0，1)知a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1，又c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆离心率e ＝c a ＝32.(2)证明 设P 点坐标为(x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，由B 点坐标(0，1)得直线PB方程为：y －1＝y 0－1x 0(x －0)，令y ＝0，得x N ＝x 01－y 0，从而|AN|＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，由A 点坐标(2，0)得直线PA 方程为y －0＝y 0x 0－2(x －2)， 令x ＝0，得y M ＝2y 02－x 0，从而|BM|＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，所以S 四边形ABNM ＝12|AN|·|BM|＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2. 即四边形ABNM 的面积为定值2.5.(1)解 设椭圆的半焦距为c.由题意知2a ＝4，2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0).由M(0，m)，可得P(x 0，2m)，Q(x 0，－2m). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0.直线QM 的斜率k′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k′k ＝－3.所以k′k为定值－3.②解 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).直线PA 的方程为y ＝kx ＋m. 直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m.同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m.所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0，y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m ＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎫6k ＋1k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”.∵P(x 0，2m)在椭圆x 24＋y 22＝1上，∴x 0＝4－8m 2，故此时2m －m 4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意.所以直线AB 的斜率的最小值为62. 6.解 (1)由已知，a ＝2b ，又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点P ⎝⎛⎭⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1,解得b 2＝1.所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线l 的方程为y ＝12x ＋m(m≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4m 2－4(2m 2－2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m< 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2.所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎫－m ，m 2，直线OM 方程为y ＝－12x ， 由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝⎛⎭⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎫2，－22. 所以|MC|·|MD|＝52(－m ＋2)·52(2＋m)＝54(2－m 2). 又|MA|·|MB|＝14|AB|2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2). 所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.7.解 (1)设F(-c ，0).由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2,可得a ＝5c,b ＝2c,又因为B(0,b)，F(-c,0)，故直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2cc ＝2.(2)设点P(x P ，y P )，Q(x Q ，y Q )，M(x M ，y M ).①由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，整理得3x 2＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c3.因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－12x ＋2c,与椭圆方程联立,消去y ，整理得21x 2－40cx ＝0，解得x Q ＝40c21.又因为λ＝|PM||MQ|，及x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78.②由①有|PM||MQ|＝78，所以|PM||PM|＋|MQ|＝77＋8＝715，即|PQ|＝157|PM|. 又因为|PM|sin ∠BQP ＝759，所以|BP|＝|PQ|sin ∠BQP ＝157|PM|sin ∠BQP ＝553.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43c ，所以|BP|＝⎝⎛⎭⎫0＋5c 32＋⎝⎛⎭⎫2c ＋4c 32＝553c ，因此553c ＝553，得c ＝1.所以，椭圆方程为x 25＋y 24＝1.8.解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63.(2)因为AB 过点D(1，0)且垂直于x 轴，所以可设A(1，y 1)，B(1，－y 1)， 直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)，令x ＝3，得M(3，2－y 1)， 所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ， 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k(x －1)(k≠1)， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2).令x ＝3，得点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k （x －1），得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2，直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2，因为k BM －1＝k （x 1－1）＋x 1－3－k （x 2－1）（x 1－2）－（3－x 2）（x 1－2）（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）[－x 1x 2＋2（x 1＋x 2）－3]（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3（3－x 2）（x 1－2）＝0，所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE ， 综上可知，直线BM 与直线DE 平行. 9. 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意. 从而k≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k|（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k|（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.10.解 (1)因为|OM|≤|MN|＋|NO|＝3＋1＝4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立； 同理|OM|≥|MN|－|NO|＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立. 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 24＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎫k ≠±12， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)2x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝⎛⎭⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m|1＋k 2和|PQ|＝1＋k 2|x P －x Q|，可得S △OPQ ＝12|PQ|·d ＝12|m||x P －x Q |＝12·|m|·⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2.②将①代入②得，S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8|4k 2＋1||4k 2－1|. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝⎛⎭⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8⎝⎛⎭⎫－1＋21－4k 2. 因0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ＝8⎝⎛⎭⎫－1＋21－4k 2≥8， 当且仅当k ＝0时取等号.所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8. 11.解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1.又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P(x 0，y 0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q(－λx 0，－λy 0). 因为x 204＋y 20＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2. (ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，① 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m)， 所以△OAB 的面积S ＝12|m||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m|1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2.设m 21＋4k2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t ，故S≤23， 当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.12.解 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①，②得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4).因AC →与BD →同向，且|AC|＝|BD|，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4， 于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤将④，⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.13.解 (1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2.将y ＝x 代入可得x ＝±5a 5，因此2×25a 5＝4105，可得a ＝2.因此b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①设A(x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D(x 2，y 2)，则B(－x 1，－y 1)，因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1). 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M(3x 1，0).可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此存在常数λ＝－12使得结论成立.②直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－34y 1， 即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y 1.由①知M(3x 1，0)， 可得△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|.因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98， 所以△OMN 面积的最大值为98.14.证明 (1)依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2,代入x 2＝4y,得x 2＝4(kx ＋2),即x 2－4kx －8＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8，直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ；BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1.注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2， 因此D 点在定直线y ＝－2(x≠0)上.(2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b(a≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b)，即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(4a)2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2.故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2. 分别令y ＝2、y ＝－2得N 1、N 2的坐标为N 1⎝⎛⎭⎫2a ＋a ，2，N 2⎝⎛⎭⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝⎛⎭⎫2a －a 2＋42－⎝⎛⎭⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8. 15.解 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4， 所以|AB|2＝(x 0-t)2＋(y 0-2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20+4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4). 因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB|2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a ＝10，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R ＝8；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12.] 答案 C2.解析 不妨设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<0<x 2)，即点A 在点B 左侧，当直线斜率不存在时，不满足题意，故可设直线方程为y ＝kx ＋2，联立抛物线方程可得x 2－kx －2＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2，y 1y 2＝4∴S OCAB ＝S △OAB ＋S △OFA ＝12×2×(x 2－x 1)＋12×14×(－x 1)＝x 2＋98(－x 1)≥298（－x 1x 2）＝3. 答案 D3.解析 由题意知，抛物线的准线x ＝－2，△ABF 是等腰直角三角形，如图易知A(－2，4)，代入x 2a 2－y 216＝1，即得a ＝2，∴双曲线的离心率为e ＝c a ＝a 2＋16a ＝182＝3.答案 A4.解析 不妨设点A 在第一象限，A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，C 2的渐近线为y ＝±b a x ，得b a ·p2＝p ，即ba ＝c 2－a 2a ＝2，e ＝ 5. 答案 C5.解析 设|AF 1|＝x ，|AF 2|＝y ，则有y －x ＝2a ①，又因为∠F 1AF 2＝90°，所以x 2＋y 2＝4c 2 ②，F 2A ⊥BF 1，又因为|AB|＝|AF 2|＝y ，所以BF 2＝2y ，则|BF 1|－|BF 2|＝x ＋y －2y ＝2a ③，联立①②③得e 2＝c 2a 2＝33－22，所以e ＝6＋3，故选B.答案 B6.解析 过点M 作x 轴垂线，交x 轴于点A ，由|MF 2|2＝|F 2A|·|F 1F 2|得|MF 2|＝c ，由双曲线定义|MF 1|－|MF 2|＝2a ，得|MF 1|＝2a ＋c ，由|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，得c 2－2ac －2a 2＝0，即e 2－2e －2＝0，得e ＝3＋1. 答案 C7.解析 由|AM →|＝1可知点M 的轨迹 为以点A 为圆心，1为半径的圆，过点P 作该圆的切线，则|PA|2＝|PM|2＋|AM|2，得|PM|2＝|PA|2－1，所以要使|PM →|的值最小，则要|PA →|的值最小，而|PA →|的最小值为a －c ＝3，此时|PM →|＝2 2. 答案 2 28.解(1)由抛物线y 2＝16x 的焦点为(4，0)可得c ＝4.可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0).∵双曲线x 216－y 29＝1的焦点为(±5，0).∴由题意知a ＝5，b 2＝a 2－b 2＝25－16＝9.故椭圆标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)k PE ·k PF 为定值，该定值为－925.理由：E ，F 是椭圆上关于原点对称的两点.设E(m ，n)，则F(－m ，－n)，又设P 点坐标为(x ，y).则m 225＋n 29＝1，x 225＋y 29＝1.两式相减可得x 2－m 225＋y 2－n 29＝0，即y 2－n 2x 2－m 2＝－925. (由题意知x 2－m 2≠0).又k PE ＝y －n x －m ，k PF ＝y ＋n x ＋m ，则k PE ·k PF ＝y 2－n 2x 2－m 2＝－925.∴k PE ·k PF 为定值，且为－925. 9.解 (1)设椭圆的方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由交点的坐标得c ＝1,由|PQ|＝3,可得2b 2a ＝3,解得a ＝2,b ＝3,故椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，不妨设y 1＞0，y 2＞0， 设△F 1MN 的内切圆半径是R ，则△F 1MN 的周长是4a ＝8， S △F 1MN 最大，R 就最大， S △F 1MN ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝y 1－y 2，由题知，直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 解得y 1＝－3m －6m 2＋13m 2＋4，y 2＝－3m ＋6m 2＋13m 2＋4，则S △F 1MN ＝12m 2＋13m 2＋4，令t ＝m 2＋1，则t≥1，则S △F 1MN ＝123t ＋1t ，令f(t)＝3t ＋1t ，f′(t)＝3－1t2，当t≥1时，f′(t)≥0，f′(t)在[1，＋∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)＝4，S △F 1MN≤124＝3，即当t ＝1，m ＝0时，S △F 1MN≤124＝3，S △F 1MN ＝4R ，所以R max ＝34，此时所求内切圆面积的最大值是9π16，故直线l ：x ＝1，△F 1MN 内切圆的面积最大值是9π16.。

2024全国高考真题数学汇编直线与圆锥曲线的位置关系一、多选题1．（2024全国高考真题）抛物线C ：24y x 的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y ⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQC ．当||2PB 时，PA ABD ．满足||||PA PB 的点P 有且仅有2个二、填空题2．（2024北京高考真题）若直线 3y k x 与双曲线2214xy 只有一个公共点，则k 的一个取值为．三、解答题3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024上海高考真题）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b左右顶点分别为12,A A ，过点 2,0M 的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e 时，求b 的值．(2)若2b MA P△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P，求b 的取值范围．参考答案1．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x ，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB 先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k 是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF ，于是问题转化成PA PF 的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x 的准线为=1x ，A 的圆心(0,4)到直线=1x 的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ，则P 的纵坐标4P y ，由24PP y x ，得到4P x ，故(4,4)P ，此时切线长PQ ，B 选项正确；C 选项，当2PB 时，1P x ，此时244P P y x ，故(1,2)P 或(1,2)P ，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B ，42201PA k ，4220(1)AB k，不满足1PA AB k k ；当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B ，4(2)601PA k ，4(2)60(1)AB k，不满足1PA AB k k ；于是PA AB 不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF ，这里(1,0)F ，于是PA PB 时P 点的存在性问题转化成PA PF 时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22，AF 中垂线的斜率为114AF k，于是AF 的中垂线方程为：2158x y，与抛物线24y x 联立可得216300y y ，2164301360 ，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF ，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t，由PB l 可得 1,B t ，又(0,4)A ，又PA PB ，214t ，整理得216300t t ，2164301360 ，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD2．12（或12，答案不唯一）【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立 22143x y y k x，化简并整理得： 222214243640k x k x k ，由题意得2140k 或 2222Δ244364140k k k ，解得12k 或无解，即12k ，经检验，符合题意.故答案为：12（或12，答案不唯一）.3．(1)2221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为2e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)b(2) 2,P(3)【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线:2l x my ，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【详解】（1）由题意得21c ce a，则2c，b （2）当b 时，双曲线22Γ:183y x ，其中 2,0M ， 21,0A ，因为2MA P △为等腰三角形，则①当以2MA 为底时，显然点P 在直线12x 上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以2A P 为底时，23MP MA 设 ,P x y ，则2222318(2)9y x x y ,联立解得2311x y或2311x y10x y ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知2MP MA ，矛盾，舍去）；③当以MP 为底时，223A P MA ，设 00,P x y ，其中000,0x y ，则有 2200220019183x y y x，解得002x y，即 2,P ．综上所述： 2,P .（3）由题知 121,0,1,0A A ，当直线l 的斜率为0时，此时120A R A P，不合题意，则0l k ，则设直线:2l x my ，设点 1122,,,P x y Q x y ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知 22,R x y ，联立有22221x my y x b222221430b m y b my b ，显然二次项系数2210b m ，其中 22222422Δ44134120mb b m b b m b ，2122241b my y b m ①，2122231b y y b m ②，1222111,,1,A R x y A P x y，则 122112111A R A P x x y y，因为 1122,,,P x y Q x y 在直线l 上，则112x my ，222x my ，即 2112331my my y y ，即 2121213100y y m y y m ，将①②代入有 2222222341310011b b mm m b m b m ，即 2222231341010b m m b m b m 化简得2223100b m b ，所以22103m b,代入到2210b m ,得221031b b ,所以23b ,且221030m b，解得2103b ，又因为0b ，则21003b ，综上知， 2100,33,3b，b．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设:2l x my ，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.。

第7课时直线与圆锥曲线1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程f(x,y)=0.由消元,如消去y后得ax2+bx+c=0.①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,设Δ=b2-4ac.a.Δ0时,直线与圆锥曲线相交于不同两点;b.Δ0时,直线与圆锥曲线相切于一点;c.Δ0时,直线与圆锥曲线没有公共点.2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|= 或|P1P2|= .(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式).(3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度,应用圆锥曲线的定义,转化为两个焦半径之和,往往比用弦长公式简捷.3.圆锥曲线的中点弦问题直线与椭圆和双曲线相交时,必有两个公共点;直线与抛物线相交时,则可能出现两种情况:一是有两个公共点;二是直线与抛物线的对称轴平行时,虽然是相交,但此时却只有一个公共点.考向一直线与圆锥曲线的位置关系【审题视点】本题考查求直线与圆锥曲线是否有交点.【方法总结】求直线与圆锥曲线的交点时,注意用一元二次方程的判别式、根与系数的关系来解决.在解题时,应注意讨论二次项系数为0和不为0的两种情况.考向二圆锥曲线中的相交弦问题【审题视点】本题考查直线与圆锥曲线的相交问题.【方法总结】1.当直线与圆锥曲线相交时,涉及的问题有弦长问题、弦的中点等问题,解决办法是把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,设而不求,利用根与系数的关系解决问题.2.要灵活应用弦长公式和点差法.考向三圆锥曲线中的定值或定点问题例3(2013·安徽模拟)已知抛物线P的方程是x2=4y,过直线l:y=-1上任意一点A作抛物线的切线,设切点分别为B、C.证明:(1)△ABC是直角三角形;(2)直线BC过定点,并求出定点坐标.【审题视点】本题考查圆锥曲线中的定点问题.【方法总结】1.求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立b,k等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.考向四圆锥曲线中的最值或范围问题【审题视点】本题考查圆锥曲线中的最值问题.【方法总结】圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.(2)求最值常见的解法有两种:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值.提醒:求最值问题时,一定要注意特殊情况的讨论,如直线斜率不存在的情况,二次三项式最高次项的系数的讨论等.参考答案与解析。

第6讲解析几何第1课时直线与圆锥曲线的位置关系［考情分析］直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题的重要位 置，题目可能涉及线段中点、弦长等问题，解决这类问题，往往利用数形结合的 思想、“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理等，难度属于中上等.热点题型分析热点直线与圆锥曲线的位置关系方法结论V判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法:(1) 代数法：即联立直线与圆锥曲线方程构成方程组，通过消元得一元方程， 此方程根的个数即为交点个数，由方程组的解得交点坐标.⑵几何法：即画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点的个数.【题型分析】2 2(2018全国卷川)已知斜率为k 的直线I 与椭圆C ：4 + y3 = 1交于A ,B 两点.线 段AB 的中点为M(1, m)(m>0).1 (1)证明：k< — 2；⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且F 3 + F 云+ F E 二0•证明：|FA|, |FP |, |FBI 成等差数列，并求该数列的公差.解 (1)证明：设 A(x 1, y 1), B(X 2, y 2), 2 2 2 2X 1 y 1 , X 2 y 2 , 则 4 + 31，4 + 3又点P 在C 上， 所以 m =4，从而 P 1，— 2，F P 1= 2. 于是 |F A|=p (X 1- 1y 1 =寸(X 1_1 f + 3：1— 4)y -X 1 -XX 1 + X 2 y 1 + y 2+ k = 0.X 1 + X I 由题设，知十二1,y 1 + y 2| = m ,由点M(1 , m)在椭圆C 内，得m< 于是k =—氏①1-4 x 3二 I ，两式相减，并由 二 k ，得 4=2—罗.同理|F~B |= 2—乡.所以|F A|+ |FB匸4 —*X1 + X2)= 3.故2|F0=|F云|+ |FB|, 即|FA|，|FP|，|FB成等差数列.设该数列的公差为d，则2|d|= ||FB|—|FA||= 2冈—X2|=Q(X l+ X2 f - 4X1X2.②3将m= 3代入①，得k=— 1.4所以直线I的方程为y= —X+4,代入C的方程，并整理，得2 17x- 14X+4= °.故X1 + X2= 2，X1X2 = 28，代入②解得|d| = 32^. 所以该数列的公差为器或-驚.【通法指导】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的解题步骤：(1) 设直线方程及交点坐标(直线方程设为点斜式时，要注意对直线斜率是否存在进行分类讨论；设成X= my+ n的形式时，要注意对直线是否能与X轴平行进行分类讨论)；(2) 联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得一元方程(要注意二次项系数是否为零);(3) 应用根与系数的关系及判别式；⑷结合已知条件和图形分析，利用中点坐标公式、斜率公式、弦长公式及三角形面积公式等进行求解.【针对训练】3(2019全国卷I )已知抛物线C: y2= 3x的焦点为F，斜率为3的直线I与C的交点为A, B,与x轴的交点为P.(1) 若|AF|+ |BF|= 4,求I 的方程；(2) 若A> = 3PB,求|AB|.3解设直线I: y=2x+1, A(x i, y i), B(x2, y2).(1) 由题设得F 4, 0 ,故AF| + |BF匸x i + X2 + f.5又|AF|+ |BF|= 4,所以x i + X2 = 2.「_ 3由/_2x+1,可得9x2+ i2(t —1)x+ 4t2_0,y2_ 3x则x i + X2_—12訐.从而一^9—^ _ 2,得t_—7.3 7所以I的方程为y_來―8.(2) 由AP_ 可得y i_ —3y2.3由「一2x+t, 可得y2—2y+ 2t_0,y2_ 3x所以y i + y2_2,从而一3y2 + y2_2,故y2_ —1, y i_ 3.f i y1代入 C 的方程得x i_ 3, X2_3,即A(3,3), B 3,— 1 .故|AB|=生^.专题作业2 21. (2017天津高考)设椭圆字+ ”_ 1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A,离1 2i 心率为2.已知A是抛物线y2_ 2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线I的距离为^.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；⑵设I上两点P, Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点6 一A)，直线BQ与x轴相交于点。

高考模拟文数专题汇编之直线与圆锥曲线的位置关系含解析一、选择题(本大题共20小题，共100.0分)1.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（）A. B. C.4 D.2.已知点P在抛物线y=x2上，点Q在圆（x-4）2+（y+）2=1上，则|PQ|的最小值为（）A.-1B.-1C.2-1D.-13.已知F1，F2是双曲线的两个焦点，M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）是双曲线的渐近线上一点，满足MF1⊥MF2，如果以F2为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）经过点M，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4.P为双曲线右支上一动点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和圆（x-4）2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（）A.5B.6C.7D.45.已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x+y的取值范围为（）A.[-，]B.[-，]C.[-，]D.[-，]6.方程表示的曲线为（）A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.直线7.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合，则p的值为（）A.2B.2C.4D.28.已知圆F的方程是x2+y2-2y=0，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引倾斜左至右依次为A、B、C、D），若|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，则α的值为（）A.±arctanB.C.arctanD.arctan或π-arctan9.若椭圆的共同焦点为F1、F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A.12B.14C.3D.2110.已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），一条长度为4p的线段AB的两个端点A、B在抛物线C上运动，则线段AB的中点D到y轴距离的最小值为（）A.2pB.C.D.3p11.方程+=10的化简结果是（）A.+=1B.+=1C.+=1D.+=112.方程x2+y2cosα=1（α∈R）不能表示的曲线为（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆13.方程化简的结果是（）A. B. C.（x≤-2） D.（y）14.椭圆和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么|PF1|•|PF2|的值是（）A.m-aB.m2-a2C.D.15.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1，1），且在点Q（2，-1）处的切线平行于直线y=x-3，则抛物线方程为（）A.y=3x2-11x+9B.y=3x2+11x+9C.y=3x2-11x-9D.y=-3x2-11x+916.下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（）A.与y2=xB.y=x与C.y2-x2=0与|y|=|x|D.y=x0与y=117.抛物线x2=4y与直线x-2y+2=0交于A，B两点，且A，B关于直线y=-2x+m对称，则m的值为（）A.-6B.-8C.D.18.设函数f（x）=（x-a）2+（ln x2-2a）2，其中x＞0，a∈R，存在x0使得f（x0）≤b成立，则实数b的最小值为（）A. B. C. D.119.已知抛物线x2=2y的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合，则m=（）A. B. C.- D.-20.过抛物线y2=2px（p＞0）焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16，则p=（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共20小题，共100.0分)21.关于曲线C：x2+y4=1，给出下列四个命题：①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C上的点到原点距离的最小值为；③曲线C的长度l满足l＞4；④曲线C所围成图形的面积S满足π＜S＜4．上述命题中，则真命题的个数有______ 个．22.已知双曲线C：的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P、Q两点，若，且，则双曲线C的渐近线方程为______ ．23.已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则= ______ ．24.已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记，若直线l的斜率k≥，则λ的取值范围为______ ．25.点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为______ ．26.如果曲线2|x|-y-4=0与曲线x2+λy2=4（λ＜0）恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是______ ．27.已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y=12x2的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|= ______ ．28.在抛物线y2=16x内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是______ ．29.与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点，且过点（-3，2）的椭圆方程为______ ．30.抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2+2x=0相切，则p= ______ ．31.椭圆（a＞b＞0）的长轴被圆x2+y2=b2与x轴的两个交点三等分，则椭圆的离心率是______ ．32.已知点A是抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M （0，9）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是______ ．33.已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且，则△AFK的面积为______ ．34.若曲线y=与直线x+y-m=0有一个交点，则实数m的取值范围是______ ．35.在平面直角坐标系x O y中，曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上，则圆C 的方程为______ ．36.已知椭圆C：的离心率为，右焦点为F2，点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点．若△PF2Q的周长为4，则椭圆C37.以下是关于圆锥曲线的四个命题：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA-PB=k，则动点P的轨迹是双曲线；②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切．其中真命题为______ （写出所以真命题的序号）．38.以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为______ ．39.过抛物线y2=2x的焦点作直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=3，则|PQ|= ______ ．40.若直线y=-x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是______ ．三、解答题(本大题共20小题，共240.0分)41.已知椭圆的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|+|CD|的最小值．42.已知D（x0，y0）为圆O：x2+y2=12上一点，E（x0，0），动点P满足=+，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；⊥l于M，A2N⊥l于N，垂足分别是M，N，问四边形A1MNA2的面积是否存在最值？若存在，请求出最值及此时k的值；若不存在，说明理由．43.椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F2（c，0）垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点且|AB|=，又过左焦点F1（-c，0）任作直线l交椭圆于点M （1）求椭圆C的方程（2）椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值．44.已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两个动点，O为坐标原点，非零向量满足．（Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；（Ⅱ）当AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为时，求p的值．45.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是F，点D（1，y0）是抛物线上的点，且|DF|=2．（I）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过定点M（m，0）（m＞0）的直线与抛物线C交于A，B两点，与y轴交于点N，且满足：=λ，=μ．（i）当m=时，求证：λ+μ为定值；（ii）若点R是直线l：x=-m上任意一点，三条直线AR，BR，MR的斜率分别为k AR，k BR，k MR，问是否存在常数t，使得．k AR+k BR=t•k MR．恒成立？若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．46.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线y2=4x的准线上，且椭圆C过点，直线与椭圆C交于A，B两个不同点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线的斜率为，且不过点P，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．47.已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（不同于点A），直线AB，AD的斜率分别为k1，k2．（1）求椭圆C的方程；（2）当r变化时，①求k1•k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．48.已知椭圆C的焦点为F1（）和 F2（），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：（1）椭圆C的标准方程；（2）弦AB的中点坐标及弦长．49.如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．50.如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．51.已知椭圆C：的上下焦点分别为F1，F2，离心率为，P为C上动点，且满足|，△QF1F2面积的最大值为4．（Ⅰ）求Q点轨迹E的方程和椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=kx+m（m＞0）与椭圆C相切且与曲线E交于M，N两点，求的取值范围．52.如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，|AB|=4，|F1F2|=2，直线y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N 两点（M、N不重合），且|CM|=|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）若m＞0，设直线AD、BC的斜率分别为k1、k2，求的取值范围．53.如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，|AB|=4，|F1F2|=2，直线l：y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CM|=|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）若CD的垂直平分线过点（-1，0），求直线l的方程．54.已知：向量=（，0），O为坐标原点，动点M满足：|+|+|-|=4．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）已知直线l1，l2都过点B（0，1），且l1⊥l2，l1，l2与轨迹C分别交于点D，E，试探究是否存在这样的直线使得△BDE是等腰直角三角形．若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由．55.已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，椭圆E的左顶点为A，斜率为k（k＞0）的直线交椭圆E于A、B两点，点C在椭圆E上，AB⊥AC，直线AC交y轴于点D （Ⅰ）当点B为椭圆的上顶点，△ABD的面积为2ab时，求椭圆的离心率；（Ⅱ）当b=，2|AB|=|AC|时，求k的取值范围．56.如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，，（1）求椭圆E的标准方程；（2）直线y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CN|=|DM|．求k的值；（3）在（2）的条件下，若m＞0，设直线AD、BC的斜率分别为k1、k2，求的取值范围．57.已知椭圆的右焦点为F（1，0），且点在椭圆C上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．58.已知向量=（0，x），=（1，1），=（x，0），=（y2，1）（其中x，y是实数），又设向量，，且，点P（x，y）的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与y轴的正半轴的交点为M，过点M作一条直线l与曲线C交于另一点N，当|MN|=时，求直线l的方程．59.在直角坐标系内，△ABC的两个顶点C、A的坐标分别为（-，三个内角A、B、C满足2sin B=．（1）求顶点B的轨迹方程；（2）过点C做倾斜角为θ的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点，当θ∈（0，时，求△APQ面积的最大值．60.已知椭圆C：（a＞b＞0）的右准线l的方程为x=，短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过定点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于P，Q（异于A1，A2）两点，设直线PA1与直线QA2相交于点M（2x0，y0）．①试用x0，y0表示点P，Q的坐标；②求证：点M始终在一条定直线上．【答案】1.B2.A3.C4.A5.C6.A7.C8.D9.A 10.C 11.C 12.C 13.C 14.B 15.A 16.C 17.C 18.C 19.A 20.B21.322.23.24.．25.326.[-，0）27.28.8x-y-15=029.30.431.32.33.834.35.（x-3）2+（y-1）2=936.=137.②③④38.39.440.41.解：（1）由题意可知2b=2，b=1，由题意C的顶点在圆M上，则a=，∴椭圆的标准方程：；（2）当直线AB的斜率不存在或为零时，丨AB丨+丨CD丨=3，当直线AB的斜率存在，且不为零，直线AB的方程y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），直线CD的方程：y=-x+1，，整理得：（k2+2）x2+2kx-1=0，则x1+x2=-，x1x2=-，则丨AB丨==，同理可得：丨CD丨=，则丨AB丨+丨CD丨=，令t=k2+1，则t＞1，则丨AB丨+丨CD丨==，2＜（2-）（1+）≤，∴≤丨AB丨+丨CD丨＜3，综上可知：≤丨AB丨+丨CD丨≤3，∴|AB|+|CD|的最小值．42.解：（1）由题意设P（x，y），则=+（x0，0）=．∴，y=，解得x0=x，y0=2y，又+=12，代入可得：3x2+4y2=12，化为：=1．（2）联立，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）=48（3+4k2-m2）=0，可得：m2=3+4k2．A1（-2，0）到l的距离d1=，A2（2，0）到l的距离d2=，则|MN|2=-=16-[+-]=16-=16-=16-=．=++==．∴四边形A1MNA2的面积S===4=4≤4．当k=0时，取等号．43.解：（1）由题意可知椭圆的通径丨AB丨==，①椭圆的离心率e===，则=，②由①②解得：a2=3，b2=2，∴椭圆的标准方程为：；（2）由（1）可知：左焦点F1（-1，0），依题意直线l不垂直x轴，当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0）则直线AB的方程为：y=-+b．A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得，（2k2+3）x2-6kmx+3k2m2-6k2=0，△=（6km）2-4×（2k2+3）（3k2m2-6k2）＞0，则m2k2-2k2-3＜0，x1+x2=，x1x2=，设AB的中点为C（x C，y C），则x C==，y C=．点C在直线l上，∴=k（+1），则m=-2k-，…②此时m2-2-=4k2++4＞0与①矛盾，故k≠0时不成立．当直线l的斜率k=0时，A（x0，y0），B（x0，-y0）（x0＞0，y0＞0）△AOB面积s=×2y0×x0=x0y0．∵+=1≥2=x0y0，∴x0y0≤．∴△AOB面积的最大值为，当且仅当+=时取等号．△AOB面积的最大值．44.解：（Ⅰ）∵，∴OA⊥OB．设A，B两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）则x12=2py1，x22=2py2．经过A，B两点的直线方程为（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1）．由，得．∵．令x=0，得，∴（*）∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0，从而．∵x1x2≠0（否则，有一个为零向量），∴x1x2=-4p2．代入（*），得y=2p，∴AB始终经过定点（0，2p）．（Ⅱ）设AB中点的坐标为（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，∴x12+x22=2py1+2py2=2p（y1+y2）．又∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（x1+x2）2+8p2，∴4x2+8p2=4py，即．…①AB的中点到直线y-2x=0的距离．将①代入，得．因为d的最小值为，∴，∴p=2．45.解：（I）∵点D（1，y0）是抛物线上的点，且|DF|=2．∴1+=2，解得p=2．∴抛物线C的标准方程为y2=4x．（II）证明：（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），当m==1时，M（1，0），直线AB的斜率存在且不为0，可设直线AB的方程为：x=ty+1（t≠0），可得N．联立，可得：y2-4ty-4=0，∴y1+y2=4t，y1y2=-4．∵=λ，=μ，∴=λ（-y1），=μ（-y2），∴λ+μ=-1--1-=-2-=-2-=-1．为定值．（ii）先取特殊情况探索三条直线AR，BR，MR的斜率之间的关系，当AB⊥x轴时，设A（m，y0），B（m，-y0），R（-m，y3），则k AR=，k MR=，k BR=，则k AR+k BR=2•k MR．下面证明一般情况成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），R（-m，y3），直线AB的斜率不等于0，可设直线AB的方程为：x=ty+m．联立，化为：y2-4ty-4m=0，∴y1+y2=4t，y1y2=-4m．则k AR=，k MR=，k BR=，则k AR+k BR=+=，又，．代入可得：k AR+k BR=，把y1+y2=4t，y1y2=-4m代入化简可得：k AR+k BR==2•k MR．综上可得：三条直线AR，BR，MR的斜率满足k AR+k BR=2•k MR．46.解：（1）抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，由题意知F（-1，0）．故设椭圆C的方程为．则由题意可得，解得．故椭圆C的方程为．（2）证明：∵直线的斜率为，且不过点，∴可设直线．联立方程组，消y得x2+mx+m2-3=0．又设A（x1，y1），B（x2，y2），故有，所以===，所以k1+k2为定值0．47.解：（1）由题设知，，，又a2-b2=c2，解得a=2，b=1．故所求椭圆C的方程是．（2）AB：y=k1x+1，则有，化简得，对于直线AD：y=k2x+1，同理有，于是k1，k2是方程（1-r2）k2-2k+1-r2=0的两实根，故k1•k2=1．考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上．由，得，于是有．直线BD的斜率为，直线BD的方程为，令x=0，得，故直线BD过定点．48.解：（1）∵椭圆C的焦点为F1（）和 F2（），长轴长为6，∴椭圆的焦点在x轴上，c=2，a=3，∴b=1，∴椭圆C的标准方程（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB线段的中点为M（x0，y0）由，消去y，得10x2+36x+27=0，∴，，∴，∵，∴弦AB的中点坐标为（，），==．49.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c．依题意，得b=1，（1分）且，（3分）解得a2=4．（4分）所以，椭圆C的方程是．（5分）（Ⅱ）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．（6分）将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0．（8分）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．①（9分）因为 BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以，整理得x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0．②（10分）因为y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以y1+y2=k（x1+x2）+2m，．③将③代入②，整理得．④（11分）将①代入④，整理得 5m2-2m-3=0．（13分）解得，或m=1（舍去）．所以，直线PQ恒过定点．（14分）证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1．（6分）将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，得（1+4k2）x2+8kx=0．（8分）解得x=0，或．（9分）设 P（x1，y1），所以，，所以．（10分）以替换点P坐标中的k，可得．（11分）从而，直线PQ的方程是．依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．（13分）在上述方程中，令x=0，解得．所以，直线PQ恒过定点．（14分）50.解：（I）过点A、B的直线方程为．，因为由题意得有惟一解，即有惟一解，所以△=a2b2（a2+4b2-4）=0（ab≠0），故a2+4b2-4=0．又因为，即，所以a2=4b2．从而得，故所求的椭圆方程为．（II）由（I）得，故，从而．，由解得x1=x2=1，所以．因为，又，，得=，因此∠ATM=∠AF1T．51.解：（Ⅰ）由椭圆定义得：|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a，所以点Q的轨迹是以F2为圆心，2a为半径的圆．（1分）当QF2⊥F1F2时△QF1F2面积最大，所以得：ac=2（2分）又可得a=2，c=1．（3分）所以Q点轨迹E的方程x2+（y+1）2=16，椭圆C的方程（5分）（Ⅱ）由得（3k2+4）x2+6kmx+3m2-12=0△=36k2m2-4（3k2+4）（3m2-12）=0化简得：3k2-m2+4=0（7分）所以，由及m＞0得，m≥2（8分）设圆心F2（0，-1）到直线MN的距离为d，则所以，弦长（9分）设点F1（0，1）到直线MN的距离为h，则（10分）所以，由m≥2，得：所以，的取值范围为．（12分）52.解：（Ⅰ）由，可知即椭圆方程为…..…．（2分）离心率为…．…．（4分）（Ⅱ）设D（x1，y1），C（x2，y2）易知…．（5分）由消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由△＞0⇒4k2-m2+1＞0即m2＜4k2+1，…（6分）且|CM|=|DN|即可知，即，解得…．（8分），由题知，点M、F1的横坐标，有，易知满足m2＜2，即，则…..（12分）53.解：（Ⅰ）由，可知，可得b=1，则椭圆方程为…．（2分）离心率是…．（4分）（Ⅱ）设C（x1，y1），D（x2，y2）易知…（5分）由（k＞0）消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0由△＞0⇒4k2+m2+1＞0，…（6分）且|CM|=|DN|即可知，即，解得…．（8分），设CD的中点为H（x0，y0），则…．（10分）直线l的垂直平分线方程为过点（-1，0），解得此时直线l的方程为…．（12分）54.解：（1）由：|+|+|-|=4，=（，0），知动点M的轨迹是以点（，0）为焦点、4为长轴长的椭圆，∴c=，a=2，∴b=1，∴所求的方程为=1．（2）设BD：y=kx+1，代入上式得（1+4k2）x2+8kx=0，∴x1=0，x2=-=x D，∵l1⊥l2，∴以-代k，得x E=∵△BDE是等腰直角三角形，∴|BD|=|BE|，∴=，∴|k|（k2+4）=1+4k2，①k＞0时①变为k3-4k2+4k-1=0，∴k=1或；k＜0时①变为k3+4k2+4k-1=0，k=-1或．∴使得△BDE是等腰直角三角形的直线共有3组．55.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线AB的方程为直线AC的方程为，令x=0，…（2分）…（3分）于是a2+b2=4b2，…（5分）（Ⅱ）直线AB的方程为y=k（x+a），联立并整理得，（3+a2k2）x2+2a3k2x+a4k2-3a2=0解得x=-a或，…（7分）…（8分）…（9分）因为2|AB|=|AC|，整理得，．…（11分）因为椭圆E的焦点在x轴，所以a2＞3，即，…（13分）整理得，解得．…（14分）56.解：（1）由，可知，则b=1，即椭圆方程为…..…..（4分）（2）设D（x1，y1），C（x2，y2）易知…．（5分）由消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由△＞0⇒4k2-m2+1＞0即m2＜4k2+1，…（6分）且|CM|=|DN|即可知，即，解得…．（8分）（3），由题知，点M、F1的横坐标，有，易知满足m2＜2．即，则…（11分）．所以…..（12分）．57.解：（Ⅰ）由题意，得c=1，所以a2=b2+1．因为点在椭圆C上，所以，可解得a2=4，b2=3．则椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（4k2+3）x2+16kx+4=0．因为△=48（4k2-1）＞0，所以，由根与系数的关系，得．因为∠AOB为锐角，所以，即x1x2+y1y2＞0．所以x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，所以．综上，解得或．所以，所求直线的斜率的取值范围为或．58.解：（1）由已知，（2分）∵，∴（4分）即所求曲线C的方程是：（6分）（2）由（1）求得点M（0，1）．显然直线l与x轴不垂直．故可设直线l的方程为y=kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2）（8分）由，消去y得：（1+2k2）x2+4kx=0，解得．（10分）由|MN|=，解得：k=±1（12分）∴所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-1=0．（14分）59.解：（1）因为2sin B=，根据正弦定理得2b=又b=2，所以a+c=4由椭圆定义知顶点B的轨迹为椭圆，其方程为（2）设PQ方程为y=tanθ（x+），θ∈（0，由得（1+4tan2θ）x2+8xtan2θ+12tan2θ-4=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，又|PQ|=，点A到PQ的距离d=，θ∈（0，S△ABC=≤2当且仅当时取等号，△APQ的最大面积为2．60.解：（1）由得或∴椭圆C的方程为或．（2）不妨取椭圆C的方程为，A1（-2，0），A2（2，0），方程为MA1的方程为：，即．代入，得，即．∴=，则=．即P（，）．同理MA2的方程为，即．代入，得，即．∴=．则=．即Q（，）．∵P，Q，B三点共线，∴k PB=k QB，即．∴．即．由题意，y0≠0，∴．3（x0+1）（x0-1）2-（x0+1）y02=（x0-1）（x0+1）2-3（x0-1）y02．∴（2x0-4）（x02+y02-1）=0．则2x0-4=0或x02+y02=1．若x02+y02=1，即，则P，Q，M为同一点，不合题意．∴2x0-4=0，点M始终在定直线x=2上．【解析】1. 解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，则由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2-2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2-3r1r2…②，在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，+=4，由柯西不等式得（1+）（+）=（+×）2∴+≤故选：B．根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．属于难题．2. 解：∵点P在抛物线y=x2上，∴设P（t，t2），∵圆（x-4）2+（y+）2=1的圆心C（4，-），半径r=1，∴|PC|2=（4-t）2+（-t2）2=t4+2t2-8t+16+，令y=|PC|2=t4+2t2-8t+16+，y′=4t3+4t-8=0，可得t3+t-2=0，解得t=1，当t＜1时，y′＜0，当t＞1，y′＞0，可知函数在t=1时取得最小值，|PC|2min=|PQ|的最小值=．故选：A．设P（t，t2），求出|PC|2=t4+2t2-8t+16+，构造函数，利用函数的导数求解函数的最小值，由此能求出|PQ|的最小值．本题考查的知识要点：两点间的距离公式的应用，函数的导数的应用，考查圆的方程和抛物线方程的应用，及相关的运算问题．3. 解：设M（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0），由MF1⊥MF2可知，又点M（x0，y0）在直线上，所以解得，于是根据抛物线的定义可知，所以，即c2-4ac-a2=0，e2-4e-1=0，，则双曲线的离心率为．故选：C．设M（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0），由MF1⊥MF2以及点M（x0，y0）在直线上，列出方程，根据抛物线的定义可知，然后最后求解双曲线的离心率即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．4. 解：圆（x+4）2+y2=4的圆心是（-4，0），圆（x-4）2+y2=1的圆心是（4，0），由双曲线定义知，连接P与左焦点F1与下半圆交于M点，PF2交上半圆于N点，显然PM-PN=（PF1+2）-（PF2-1）=2a+3=5是最大值．故选A．注意两个圆的圆心分别是焦点，利用双曲线定义做，连接P与左焦点F1与下半圆交于M点，PF2交上半圆于N点，显然PM-PN=（PF1+2）-（PF2-1）=2a+3是最大值．本题考查双曲线的定义及其应用，解题时要注意圆的性质的合理运用．5. 解：∵z=x+y，x2+2xy+4y2=6，∴z2+3y2=6，解得-＜x+y＜，故x+y的取值范围为[-，]故选C．由题意可得z2+3y2=6，解得-＜x+y＜，解关于x+y的不等式可得．本题考查不等式的综合应用，整体凑出x+y的形式是解决问题的关键，属中档题．6. 解：设P（x，y），由方程得：点P到点F（2，0）的距离等于点P到直线3x-4y+2=0的距离，∵点F不在直线3x-4y+2=0上，由抛物线的定义得：曲线为抛物线．故选：A．根据两点间距离公式与点到直线的距离公式，可得动点到点F（2，0）的距离等于点P 到直线3x-4y+2=0的距离，再根据抛物线的定义判定可得答案．本题考查了抛物线的定义，特别要注意条件：点不在直线上．7. 解：双曲线-=1的右焦点（2，0），抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合，可得p=4．故选：C．求出双曲线的焦点坐标，然后求解抛物线的焦点坐标，即可求解p．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8. 解：∵圆F x2+y2-2y=0即x2+（y-1）2=1∴F（0，1），r=1∵抛物线以F点为焦点=1∴抛物线方程为：x2=4y过F点的直线与抛物线相交于A、D两点，BC为圆F的直径|BC|=2∵|AB|，|BC|，|CD|成等差数列∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=|=|AD|-2=4∴|AD|=6∵直线l过F（0，1）则设直线解析式为：y=kx+1A、D两点是过F点的直线与抛物线交点设A（x1，y1）D（x2，y2）则|AD|==6联立y=kx+1和x2=4y，得x2-4kx-4=0∴x1x2=-4 x1+x2=4k∴|AD|=====6∴1+k2=∴k=±∴α的值为：arctan或π-arctan故选D．根据抛物线的焦点是圆心F，求出p，进而求出抛物线的解析式；据|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，求出AD的长度，A、D两点是抛物线和直线的交点，联立抛物线和直线，利用两点间距离公式即可求出结果．本题主要综合考查直线与圆、抛物线以及数列的相关知识，关键是利用两点间的距离公式；同时注意运用数形结合的方法解决此类问题．9. 解：由椭圆和双曲线定义不妨设|PF1|＞|PF2|则|PF1|+|PF2|=8，|PF1|-|PF2|=4所以|PF1|=6，∴|PF1|•|PF2|=12．故选：A．设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆和双曲线的定义可分别表示出|PF1|+|PF2|和|PF1|-|PF2|，进而可表示出|PF1|和|PF2|，根据焦点相同进而可求得|PF1|•|PF2|的表达式．本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，解答关键是正确运用椭圆和双曲线的简单的几何性质．10. 解：由题意可得抛物线的准线l：x=-分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H在直角梯形ABDC中，MH=，由抛物线的定义可知AC=AF，BD=BF（F为抛物线的焦点）MH=≥=2p即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为2p，∴线段AB的中点M到y轴的最短距离为=．故选：C．l：x=-，分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H，要求M 到y轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求M到抛物线的准线的最小距离d，然后用d-即可求解．本题考查线段中点到y轴距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11. 解：方程+=10表示（x，y）与（4，0），（-4，0）两点的距离和为10，大于两点的距离，所以点的轨迹是以（4，0），（-4，0）为焦点的椭圆，且a=5，c=4，所以b=3，所以椭圆方程为+=1，方程+=10表示（x，y）与（4，0），（-4，0）两点的距离和为10，大于两点的距离，所以点的轨迹是以（4，0），（-4，0）为焦点的椭圆，且a=5，c=4，可得结论．本题考查曲线与方程，考查椭圆的定义，比较基础．12. 解：当α=0°时，cos0°=1，方程x2+y2=1表示圆心在原点的单位圆；当90°＞α＞0°或360°＞α＞270°时，1＞cosα＞0，方程x2+y2cosα=1表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆；当α=90°时，cos90°=0，方程x2=1，得x=±1表示与y轴平行的两条直线；当270°＞α＞90°时，cosα＜0，方程x2+y2cosα=1表示焦点在x轴上的双曲线；当α=180°时，cos180°=-1，方程x2-y2=1表示焦点在x轴上的等轴双曲线；当α=270°时，cos270°=0，方程x2=1表示直线．故选；C．根据cosα符号，对角α分类讨论，由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状．本题考查了方程含有参数时讨论表示的曲线问题，需要根据系数的符号进行分类讨论，分别再由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状，考查了分类讨论思想．13. 解：根据题意，根式表示点（x，y）与点（3，0）之间的距离，根式表示点（x，y）与点（-3，0）之间的距离，设P（x，y），F1（-3，0），F2（3，0），则|F1F2|=6，则方程表示|PF2|-|PF1|=4的点的轨迹，则P的轨迹是以F1（-3，0），F2（3，0）为焦点，且2a=4的双曲线的左支，其中b==5，则其方程为：-=1（x≤-2）；即方程化简的结果为-=1（x≤-2）；根据题意，分析根式和的几何意义，可得方程表示|PF2|-|PF1|=4的点的轨迹，由双曲线的定义分析可得P的轨迹是以F1（-3，0），F2（3，0）为焦点，且2a=4的双曲线的左支，结合题意求出双曲线的标准方程，即可得答案．本题考查双曲线的定义，关键是分析题目中根式的意义，进而结合双曲线的定义进行分析．14. 解：由题意，不妨设P在双曲线的右支上，则|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|-|PF2|=2a ∴|PF1|=m+a，|PF2|=m-a∴|PF1|•|PF2|=m2-a2故选B．不妨设P在双曲线的右支上，则|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|-|PF2|=2a，由此即可求得|PF1|•|PF2|的值．本题考查椭圆、双曲线的标准方程，考查椭圆、双曲线的定义，属于基础题．15. 解：∵y′=2ax+b，∴抛物线在点Q（2，-1）处的切线斜率为：4a+b；根据条件知抛物线过P，Q点，过Q的切线斜率为1；∴；解得；∴抛物线方程为y=3x2-11x+9．故选：A．先求导数y′=2ax+b，而根据条件知抛物线过点P（1，1），Q（2，-1），以及在Q点的切线斜率为1，这样便可得出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c便可得出抛物线的方程．考查函数在某点的导数和过该点切线斜率的关系，以及平行直线的斜率关系，曲线上的点的坐标和曲线方程的关系．16. 解：对于A，定义域不相同，不符合；对于B，方程中y≠0，不符合；对于C，定义域相同，解析式相同，符合；对于D，y=x0中x≠0，不符合故选C．分析方程中，x，y的取值，解析式是否相同，即可得出结论．本题考查曲线方程，考查纯粹性与完备性，比较基础．17. 解：如图，联立，得x2-2x-4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，．∴，．∵A，B关于直线y=-2x+m对称，∴AB的中点在直线y=-2x+m上，即，解得m=．故选：C．联立给出的直线方程和抛物线方程，利用根与系数关系求出A，B的横坐标与纵坐标的和，得到AB中点的坐标，由A，B关于直线y=-2x+m对称，把AB中点的坐标代入该直线方程求得m的值．本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了“设而不求”的解题思想方法，考查了计算能力，是中档题．18. 解：函数f（x）可以看作动点P（x，ln x2）与点Q（a，2a）的距离的平方，点P 在曲线y=2ln x上，点Q在直线y=2x上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，由y=2ln x求导可得y′=，令y′=2，解得x=1，此时y=2ln 1=0，则M（1，0），所以点M（1，0）到直线y=2x的距离d==即为直线与曲线之间最小的距离，故f（x）min=d2=．由于存在x0使得f（x0）≤b，则f（x）min≤b，即b≥，故选：C．转化条件为：点P在曲线y=2ln x上，点Q在直线y=2x上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，利用导数转化求解直线与曲线之间最小的距离，通过存在x0使得f（x0）≤b，推出f（x）min≤b，求解即可．本题考查转化思想的应用，曲线与方程的应用，函数的导数以及函数的最值的求法，难度比较大．19. 解：抛物线x2=2y的焦点（0，）与椭圆+=1的一个焦点（0，）重合，可得=，解得m=．故选：A．求出抛物线的焦点坐标，椭圆的焦点坐标重合，求解m即可．本题考查椭圆的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．20. 解：过抛物线y2=2px（p＞0）焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16，可得弦长的坐标横坐标为：3，圆的半径为：4．直线结果抛物线的焦点坐标，所以x1+x2=6，x1+x2+p=8，可得p=2．故选：B．求出圆的圆心坐标，利用抛物线的性质求解p，即可得到结果．本题考查抛物线的简单性质以及圆的方程的综合应用，考查计算能力．21. 解：设P（x，y）是曲线上一点，则P关于x轴的对称点（x，-y）显然也在曲线C上，∴曲线C关于x轴对称，同理可得曲线C关于y轴对称，关于原点对称，故①正确；∵x2=1-y4=（1-y2）•（1+y2）≥（1-y2），∴x2+y2≥1，即≥1．∴曲线上任意一点到原点的距离最小值为1，（当且仅当y=0时，x等于1）故②错误；由②可得，曲线C所上的点在单位圆x2+y2=1的外部或圆上，∴S＞π，由x2+y4=1可得|x|≤1，|y|≤1，（不能同时取1）∴曲线C上的点在以2为边长的正方形ABCD内部或边上，∴S＜4，故④正确；设曲线C的上顶点为M，右顶点为N，则MN=，由两点之间线段最短可知曲线C在第一象限内的长度大于，同理曲线C在每一象限内的长都大于，故l＞4，故③正确．故答案为：3．由曲线C的方程可得x2+y2≥1，|x|≤1，|y|≤1，从而可得出曲线C的大体范围，结合图形推导结论．本题考查曲线的性质，命题的真假判断，注意运用不等式的性质和数形结合的思想方法，考查推理能力和判断能力，属于中档题．22. 解：双曲线C：的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P、Q两点，若，且，可得（a，0）到直线bx-ay=0的距离，解得：，双曲线的渐近线方程为：．给答案为：．。

第20题直线与圆锥曲线的位置关系【考法】本主题考题形式解答题，与函数、导数、向量、三角、不等式等知识结合第一小题重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质，第二小题考查直线与椭圆、直线与抛物线的的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力及设而不求思想，综合性较强，第一小题为基础题。

第二小题为难题，分值12分.【考前回扣】1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质c2.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.3．解决范围、最值问题的常用解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．4．定点问题的思路(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．5．求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．6．解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论．【易错点提醒】1.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．2．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．3．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ＞0”下进行．【考向】考向椭圆的标准方程与几何性质【解决法宝】1.涉及椭圆上的点到两焦点的距离问题时，要灵活运用椭圆的定义；2.求解椭圆的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的22,b a 的值，最后代入写出椭圆的标准方程.3.椭圆的离心率是椭圆的主要性质，是反映椭圆的扁平程度的一个量，在求解有关离心率的问题时，一般不是直接求出a 和c 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c b a ,,的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围； 例1．【2019届山东省济宁市一模】已知椭圆的离心率为，且椭圆C 过点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且与圆：过点，求的取值范围．【分析】(1)本题首先可以通过离心率为得到，再将点带入椭圆方程中即可得出结果；(2)首先可以通过椭圆方程来确定椭圆的右焦点坐标，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，分别求出在两种情况下的取值范围，最后即可得出结果。

直线与圆锥曲线的位置关系一.选择题(1)与直线2x-y+4=0平行的拋物线y= x 2的切线方程是 ( )A 2x -y+3=0B 2x -y -3=0C 2x-y+1=0D 2x-y-1=0 (2) 椭圆22x+ y 2 = 1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则|2PF | =( ) A.23 B.3 C. －57 D. 4(3) 设双曲线12222=-by ax (0<a<b)的半焦距c, 直线l 过(a, 0), (0, b)两点. 已知原点到直线l的距离为43c, 则双曲线的离心率为( )A 2 B3 C 2 D332(4) 已知拋物线y=2x 2上两点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)关于直线y=x+m 对称, 且x 1x 2=-21, 那么m的值等于 ( )A25 B23 C 2 D 3(5)过双曲线2x 2-y2-8x+6=0的由焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点, 若|AB|=4, 则这样的直线有 ( )A 4条B 3条C 2条D 1条 (6) 如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与拋物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是（ ）A (134, +∞) B （- ∞,134） C （- ∞,-134） D （-134,134）(7) 设拋物线y 2= 8x 的准线与x 轴交点Q,若过点Q 的直线l 与拋物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是 ( ) A. [－21,21] B. [－2 , 2 ] C. [－1 , 1 ] D. [－4 , 4 ](8) 过椭圆的左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点, 若|FA|=2|FB| 则椭圆的离心率是( )A23 B22 C32 D21(9) 已知F 1, F 2是双曲线的两个焦点, Q 是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F 1QF 2平分线的垂线, 垂足为P , 则点P 的轨迹是 ( )A 直线B 圆C 椭圆D 双曲线(10) 对于拋物线C: y 2=4x, 我们称满足y 02<4x 0的点M(x 0, y 0)在拋物线的内部, 若点M(x 0, y 0)在拋物线的内部, 则直线l : y 0y=2(x+ x 0)与 C ( )A 恰有一个公共点B 恰有二个公共点C 有一个公共点也可能有二个公共点D 没有公共点二.填空题(11)圆x 2+2x+y 2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有 个.(12)对任意实数k,直线y=kx+b 与椭圆⎩⎨⎧++,sin 41,cos 23θθ(0≤θ≤2π)恒有公共点,则b 的取值范围是 . (13)已知F 1、F 2是椭圆42x+y 2=1的两个焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF 1|·|PF 2|的最大值是 . (14) 定长为l (l >ab22)的线段AB 的端点在双曲线b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2的右支上, 则AB 中点M 的横坐标的最小值为 . 三.解答题(15) 如图,拋物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点, 点P(1,2), A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)均在直线上.(Ⅰ)写出该拋物线的方程及其准线方程；(Ⅱ)当PA 与PB 的斜率存在且倾角互补时, 求21y y +的值及直线AB 的斜率.(16) 设椭圆方程为1422=+yx ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求： （Ⅰ）动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）||NP 的最小值与最大值.(17) 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）点P 、Q在双曲线的右支上，支M （m,0）到直线AP 的距离为1. （Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[∈k ，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当12+=m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.(18) 设椭圆1122=++ym x的两个焦点是)0,(1c F -与)0)(0,(2>c c F ，且椭圆上存在点P ，使得直线PF 2与直线PF 2垂直. （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设L 是相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与L 相交于点Q. 若32||||22-=PF QF ，求直线PF 2的方程.第十三单元一选择题: 1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.C 9.B 10.D二填空题: 11. 3, 12. [-1,3], 13. 4, 14. 222)2(ba a l a ++.三解答题(15)解(Ⅰ)由已知条件,可设拋物线的方程为.22px y = ∵点P(1,2)在拋物线上,∴,1222⋅=p 得p =2. 故所求拋物线的方程是,42x y =准线方程是x=--1. (Ⅱ) 设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB , ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴.PB PA k k -= 由A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)在拋物线上,得,4121x y = ① ,4222x y = ② ∴,14121412222211--=--y y y y∴ ),2(221+-=+y y ∴.421-=+y y由①-②得直线AB 的斜率).21(1444211212x x y y x x y y k AB ≠-=-=+=--=(16) （Ⅰ）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122yx kx y 的解.将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y kk x x 于是).44,4()2,2()(21222121k k k y y x x OB OA OP ++-=++=+= 设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x 解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以,142121=+y x ④.142222=+y x ⑤. ④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y xy y y y x x x ⑦将⑦代入⑥并① ②整理得 .0422=-+y y x ⑧. 当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x（Ⅱ）解：由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x NP故当41=x ，||NP 取得最小值，最小值为61;41-=x 当时，||NP 取得最大值，最大值为.621(17) 解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y 即.0=--k y kx 因为点M 到直线AP 的距离为1,∵,112=+-k k mk 即221111kkkm +=+=-.∵],3,33[∈k∴,21332≤-≤m 解得332+1≤m ≤3或--1≤m ≤1--332. ∴m 的取值范围是].3,3321[]3321,1[+-- (Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b by x 由),0,1(),0,12(A M +得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ 的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1。

专题65 直线与圆锥曲线的位置关系专题知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x (或y )的一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．(1)当a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： ①Δ>0①直线与圆锥曲线__相交__； ①Δ＝0①直线与圆锥曲线__相切__； ①Δ＜0①直线与圆锥曲线__相离__．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线E 相交，且只有一个交点， ①若E 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是__平行__； ①若E 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是__平行或重合__． 2．解决圆锥曲线问题的思路与方法(1)求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程主要是求a ，b ，c 或p ，基本方法是利用定义或利用待定系数法求解．(2)直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线与圆锥曲线方程的公共解问题，体现了方程的思想，数形结合、分类讨论、等价转化等也是解决圆锥曲线位置关系以及有关综合问题的常用思想方法．3．弦长问题求直线与圆锥曲线相交所得的弦长公式：设两个交点为1122(,),(,)x y x y ，则弦长l =考点探究考向1 直线与圆锥曲线的位置关系【例】 （2019徐州高三期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点2处时，点Q 的坐标为(3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．【解析】（1）由32(3,),(3,0)3N Q ，得直线NQ 的方程为332y x =-． 令0x =，得点B 的坐标为(0,3)-．所以椭圆的方程为22213x y a +=． 将点N 的坐标3(3,)代入，得223()(3)213+=，解得24a =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为3y kx =-．在3y kx =-中，令0y =，得3P x =，而点Q 是线段OP 的中点，所以3Q x =． 所以直线BN 的斜率0(3)2302BN BQ k k k k--===-．联立223143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22(34)830k x kx +-=，解得83M k x =． 用2k 代k ，得2163316N kx k =+．又2DN NM =，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =． 故8316323k k ⨯=⨯，又0k >，解得6k =． xy O B N MPQ D所以直线BM的方程为y =方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=解得21433y y =+．将212123433x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2119x +=． 又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -++=21120y +=，解得1y =1y =．又10x >，所以点M的坐标为(3M ． 故直线BM的方程为y x =． 题组训练1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2，0)，离心率为12，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上的一点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若①ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．【解析】 (1)由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2e ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c a ＝12，从而有b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为：x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，因为x ＝－2为该方程的一个根，解得B (6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2)，设C (0，y 0)，由k AC ·k BC ＝－1，得：y 02·12k3＋4k 2－y 06－8k 23＋4k 2＝－1，即：(3＋4k 2)y 02－12ky 0＋(16k 2－12)＝0(*)·由AC ＝BC ，即AC 2＝BC 2，得4＋y 20＝(6－8k 23＋4k 2)2＋(y 0－12k 3＋4k 2)2，即4＝(6－8k 23＋4k 2)2＋(12k 3＋4k 2)2－24k3＋4k 2y 0，即4(3＋4k 2)2＝(6－8k 2)2＋144k 2－24k (3＋4k 2)y 0，所以k ＝0或y 0＝－2k 3＋4k 2，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝0，当y 0＝－2k 3＋4k 2时，代入(*)得16k4＋7k 2－9＝0，解得k ＝±34，此时直线l 的方程为y ＝±34(x ＋2)．综上，直线l 的方程为y ＝0，y ＝±34(x ＋2)．考向2 圆锥曲线中的最值、范围问题【例】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .(①)当直线的P A 斜率为12时，求①FMN 的外接圆的方程；(①)设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求①APQ的面积的最大值．【解析】 (1)由题意，得⎩⎨⎧c a ＝22，c ＋a2c ＝62，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝22，则b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由题可设直线PA 的方程为y ＝k(x ＋4)，k>0，则M(0，4k)，所以直线FN 的方程为y ＝224k (x －22)，则N(0，－2k )．(i )当直线PA 的斜率为12，即k ＝12时，M(0，2)，N(0，－4)，F(22，0)，因为MF①FN ，所以圆心为(0，－1)，半径为3，所以①FMN 的外接圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝9.(ii )联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋4），x 216＋y 28＝1，消去y并整理得，(1＋2k 2)x 2＋16k 2x ＋32k 2－16＝0，解得x 1＝－4或x 2＝4－8k 21＋2k 2，所以P (4－8k 21＋2k 2，8k1＋2k 2)，直线AN的方程为y ＝－12k (x ＋4)，同理可得，Q (8k 2－41＋2k 2，－8k1＋2k 2)，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．所以①APQ 的面积S ＝12OA ·(y P －y Q )＝2×16k 1＋2k 2＝322k ＋1k ≤82，当且仅当2k ＝1k ，即k ＝22时，取“＝”．所以①APQ的面积的最大值为8 2. 题组训练1.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (1，32)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝12，M ，N 是椭圆右准线上的两个动点，且F 1M →·F 2N →＝0.(1)求椭圆的方程； (2)求MN 的最小值；(3)以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．【解析】 (1)①e ＝c a ＝12，且过点P (1，32)，①⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，a ＝2c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，①椭圆方程为x 24＋y23＝1.(2)设点M (4，y 1)，N (4，y 2)则F 1M →＝(5，y 1)，F 2N →＝(3，y 2)，F 1M →·F 2N →＝15＋y 1y 2＝0，①y1y 2＝－15，又①MN ＝||y 2－y 1＝⎪⎪⎪⎪－15y 1－y 1＝15||y 1＋||y 1≥215，当且仅当|y 1|2＝15时等号成立，①MN 的最小值为215. (3)圆心C 的坐标为(4，y 1＋y 22)，半径r ＝||y 2－y 12.圆C 的方程为(x －4)2＋(y －y 1＋y 22)2＝（y 2－y 1）24，整理得：x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋16＋y 1y 2＝0.①y 1y 2＝－15，①x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋1＝0.令y ＝0，得x 2－8x ＋1＝0，①x ＝4±15.①圆C 过定点(4±15，0)．2.（2019·如皋中学高三期中）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于,A B 两点，且2AB =． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线,PA PB 与直线4x =交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于,E F ，求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值．【解析】（1）由题意可得，1b =，c e a ==， 得22134a a -=， 解24a =， 椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-，同理得直线PB 的方程为 0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-，线段MN 的中点004(4,)yx ，所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-，令0y =， 则2220200164(4)(1)y x x x -+=-， 因为220014x y +=，所以 2020114y x -=-， 所以28(4)50x x -+-=， 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈．设交点坐标12(,0),(,0)x x，则12||x x -=0825x <≤）， 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2．考点3 中点弦问题【例】 过点P (－1，1)作直线交椭圆x 24＋y 22＝1于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求直线AB 所在直线的方程．【解析】 设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，①由①－①得y 1－y 2x 1－x 2＝－2（x 1＋x 2）4（y 1＋y 2）＝－2×（－2）4×2＝12.①线段AB 所在直线的方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.题组训练1.椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 【解析】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，①b ＝23.①所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.考点4 探索性问题【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎫43，b 3，以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两定点，使其到直线l 的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)因为椭圆过点P(43，b 3)，所以169a 2＋19＝1，解得a 2＝2，又以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2，所以AF 2①F 2P ，即－bc ·b343－c ＝－1，所以b 2＝c(4－3c)．而b 2＝a 2－c 2＝2－c 2，所以c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1，故椭圆C 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)①当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y ＝kx ＋p ，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4pkx ＋2p 2－2＝0.因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝16k 2p 2－4(1＋2k 2)(2p 2－2)＝8(1＋2k 2－p 2)＝0，即1＋2k 2＝p 2.设在x 轴上存在两点(s ，0)，(t ，0)，使其到直线l 的距离之积为1，则||ks ＋p k 2＋1·||kt ＋p k 2＋1＝||k 2st ＋kp （s ＋t ）＋p 2k 2＋1＝1，即(st ＋1)k ＋p (s ＋t )＝0(*)，或(st ＋3)k 2＋(s ＋t )kp ＋2＝0(**)．由(*)恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧st ＋1＝0s ＋t ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1t ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－1t ＝1，而(**)不恒成立．①当直线l 斜率不存在时，直线方程为x ＝±2时，定点(－1，0)、F 2(1，0)到直线l 的距离之积d 1·d 2＝(2－1)(2＋1)＝1.综上，存在两个定点(1，0)，(－1，0)，使其到直线l 的距离之积为定值1. 题组训练1.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，直线l ：x －my －1＝0(m ①R )过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点D (52，0)，连接BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线l 1，设直线l 1与直线BD 交于点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l 2，使得点P 恒在直线l 2上？若存在，请求出直线l 2的方程；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)由题设，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)令m ＝0，则A(1，32)，B(1，－32)或者A(1，－32)，B(1，32)．当A(1，32)，B(1，－32)时，P(4，32)；当A(1，－32)，B(1，32)时，P(4，－32)，所以，满足题意的定直线l 2只能是x ＝4.下面证明点P 恒在直线x ＝4上．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由于PA 垂直于y 轴，所以点P 的纵坐标为y 1，从而只要证明P(4，y 1)在直线BD 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x －my －1＝0，x 24＋y 23＝1，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0.①Δ＝144(1＋m 2)>0，①y 1＋y 2＝－6m4＋3m2，y 1y 2＝－94＋3m 2.①①k DB －k DP＝y 2－0x 2－52－y 1－04－52＝y 2my 2＋1－52－y 132＝32y 2－y 1（my 2－32）32（my 2－32）＝y 1＋y 2－23my 1y 2my 2－32.将①式代入上式，得k DB －k DP ＝0，所以k DB ＝k DP .①点P (4，y 1)恒在直线BD 上，从而直线l 1，直线BD 与直线l 2：x ＝4三线恒过同一点P ，所以存在一条定直线l 2：x ＝4使得点P 恒在直线l 2上．2.已知①22:1O x y +=和点M (4，2)．(1) 求以点M 为圆心，且被直线y=2x —1截得的弦长为4的①M 的方程；(2) 设P 为(1)中①M 上任一点，过点P 向①O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设圆方程为222(4)(2)x y r -+-=，①被直线y=2x —1截得的弦长为4，①2249r =+=，① ①M 的方程：（x —4）2+（y —2）2=9；（2）设P (x ，y )，假设存在定点R (m ，n )，使得PQ PR 为定值λ1λ=，平方、整理得222222x y mx ny m n +--++=222(1)x y λ+-．①点P 在①M 上，①x 2+y 2=8x+4y —11，代入得22842211x y mx ny m n +--++-=2(8412)x y λ+-．即得22(82)(42)(11)m x n y m n -+-++-=2(8412)x y λ+-（*）．由题意，上式对在①M 上任意的x ，y 都成立，则2222282=842=411=12m n m n λλλ⎧-⎪-⎨⎪+--⎩，，，解得=21=2m n λ=，，或21=55m n λ=，，．故存在定点R 1（2，1）或R 2 2155（，），使得PQ PR或4.。

第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系, )1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.1．辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．2．“点差法”求解弦中点问题的步骤 设点—设出弦的两端点坐标 ↓代入—代入圆锥曲线方程 ↓作差—两式相减，再用平方差公式把上式展开 ↓整理—转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定A 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点． 3．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．4C 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14.4．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )A ．－12B ．－14C ．－4D ．无法确定B 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －12，代入抛物线方程得2x 2＋2kx－1＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－12＝(k 2＋1)·x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k ·(－k )＋14＝－14.故选B.5．过点A (1，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y 2＝2x 交于M 、N 两点，则|MN |＝________．过A (1，0)且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －1，代入y 2＝2x 得x 2－4x ＋1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·16－4＝2 6.2 6直线与圆锥曲线的位置关系在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 【解】 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)， 所以c ＝1.将点P (0，1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得1b2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法及注意事项(1)直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题．(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合．因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（a ＋1）x －1，y 2＝ax有唯一一组实数解，消去y ，得2＝ax ，整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0.①(1)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1.(2)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程，判别式Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)，令Δ＝0，解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0；当a ＝－45时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0.弦长问题(2017·贵阳摸底)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．【解】 (1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |＋|CD |＝4＋3＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（k 2＋1）3＋4k2. 同理，|CD |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋13＋4k2＝12（k 2＋1）3k 2＋4. 所以|AB |＋|CD |＝12（k 2＋1）3＋4k 2＋12（k 2＋1）3k 2＋4 ＝84（k 2＋1）2（3＋4k 2）（3k 2＋4）＝487，解得k ＝±1， 所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行(重合)或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值． (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1.化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4（1－b 2）（1＋b 2）2－4（1－2b 2）1＋b 2＝8b 4（1＋b 2）2，因为0＜b ＜1.所以b ＝22.中点弦问题已知点A 、B 的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．【解】 (1)设M (x ，y )， 因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·yx －1＝－2(x ≠±1)， 化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．法一：当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，62，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－62，此时CD的中点不是N ，不合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)得 2x 21＋y 21＝2，① 2x 22＋y 22＝2，②①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2（x 1＋x 2）y 1＋y 2＝－2×2×122×1＝－1，所以直线l 的方程为y －1＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.法二：当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，62，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－62，此时CD的中点不是N ，不合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，将其代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，化简得(2＋k 2)x2＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 22－2＝0(x ≠±1)， 所以4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 22－4(2＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 22－2>0，① 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 22＋k2，x 1·x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 22－22＋k2， 又由N 为线段CD 的中点得x 1＋x 22＝－k ⎝⎛⎭⎪⎫1－k 22＋k 2＝12， 解得k ＝－1，将k ＝－1代入①中可知满足条件．此时直线l 的方程为y －1＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b 1(k ≠0，b 1≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 1代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kb 1x ＋2b 21－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 12k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b 1＝b 12k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．, )——巧解圆锥曲线中的对称问题(1)已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2(2) 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．【解】 (1)选C.由题意可设l AB 为y ＝x ＋b ，代入y ＝－x 2＋3得x 2＋x ＋b －3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝x 1＋b ＋x 2＋b ＝(x 1＋x 2)＋2b .所以AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12＋b ，该点在x ＋y ＝0上，即－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋b ＝0，得b ＝1，所以|AB |＝1＋12·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝3 2.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2.因为k ≠0，所以－12<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.求圆锥曲线上存在两点关于某一条直线l 对称问题主要有两种解法：(1)设出圆锥曲线上两点所在的直线方程，代入圆锥曲线方程中，消元后其判别式Δ>0.利用根与系数关系及圆锥曲线上两点的中点在已知直线l 上建立方程，结合Δ>0求解．(2)利用圆锥曲线上两点的中点在已知对称的直线上及圆锥曲线上两点连线的斜率为已知直线l 的斜率的负倒数的特点，将圆锥曲线上两点的坐标代入圆锥曲线方程，利用中点在圆锥曲线内部建立不等式求参数的范围．如图，已知椭圆E 经过点A (2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的平分线所在直线l 的方程；(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，所以b 2＝a 2－c 2＝3c 2.所以椭圆的方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2，3)代入上式，得1c 2＋3c2＝1，解得c ＝2(负值舍去)，所以椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)因为A (2，3)，F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)． 所以AF 1→|AF 1→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1，2)．所以k l ＝2，所以l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.(3)法一：假设存在这样的两个不同的点B (x 1，y 1)和C (x 2，y 2)，因为BC ⊥l ，所以k BC ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12. 设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，由于M 在l 上，故2x 0－y 0－1＝0.①又B ，C 在椭圆上，所以有x 2116＋y 2112＝1与x 2216＋y 2212＝1. 两式相减，得x 22－x 2116＋y 22－y 2112＝0，即（x 1＋x 2）（x 2－x 1）16＋（y 1＋y 2）（y 2－y 1）12＝0.将该式整理为18·x 1＋x 22＋y 2－y 1x 2－x 1·16·y 1＋y 22＝0，并将直线BC 的斜率k BC 和线段BC 的中点表示代入该表达式中，得18x 0－112y 0＝0，即3x 0－2y 0＝0.②①×2－②得x 0＝2，y 0＝3，即BC 的中点为点A ，而这是不可能的． 所以不存在满足题设条件的相异两点．法二：假设存在B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)两点关于直线l 对称，则l ⊥BC ， 所以k BC ＝－12.设直线BC 的方程为y ＝－12x ＋m ，将其代入椭圆方程x 216＋y 212＝1，得一元二次方程3x2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋m 2＝48，即x 2－mx ＋m 2－12＝0，且x 1与x 2是该方程的两个根，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝m ，于是y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝3m 2，所以线段BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，3m 4.又线段BC 的中点在直线y ＝2x －1上，所以3m4＝m －1，得m ＝4.即线段BC 的中点坐标为(2，3)，与点A 重合，矛盾． 所以不存在满足题设条件的相异两点．, )1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条C 结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)C 因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a＞2，所以e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞1＋4＝ 5. 3．(2017·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1，1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．y 2＝－2xB 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2两式相减可得2p＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1， 所以抛物线C 的方程为y 2＝2x .4．双曲线C 1的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 1的一个焦点与抛物线C 2：y 2＝12x 的焦点重合，且抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，则双曲线C 1的实轴长为( )A ．6B ．2 6C ． 3D ．2 3D 设双曲线C 1的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意可知抛物线C 2的焦点为(3，0)，准线方程为x ＝－3，即双曲线中c ＝3，a 2＋b 2＝9，将x ＝－3代入双曲线方程，解得y ＝±b a9－a 2，又抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，所以2×b a9－a 2＝43，与a 2＋b 2＝9联立得，a 2＋23a －9＝0，解得a ＝3，故双曲线C 1的实轴长为23，故选D.5．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8C 因为y 2＝4x ，所以F (1，0)，准线l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，所以|AK |＝4，所以S △AKF ＝12×4×23＝4 3.7．已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P平分，则直线AB 的方程为________．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y 29＋x 2＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 219＋x 21＝1，y 229＋x 22＝1，两式相减得y 21－y 229＋x 21－x 22＝0，即（y 1－y 2）（y 1＋y 2）9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12平分， 所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1， 将其代入上式得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－9， 即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即9x ＋y －5＝0. 9x ＋y －5＝08．(2017·浙江省名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝ （x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝ （1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝ （1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.5539．已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则满足条件的l 的条数为________．因为a 2＝4，b 2＝5，c 2＝9，所以F (3，0)，若A ，B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将x ＝3代入x 24－y 25＝1得y ＝±52，所以|AB |＝5，满足题意；若A ，B 分别在两支上，因为a＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4<5，所以满足|AB |＝5的直线有2条，且关于x 轴对称．综上，一共有3条．310．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________．如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.211．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．(1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，所以a 2＝43b 2.因为双曲线y 22－x 2＝1的焦点坐标为(0，±3)， 所以b ＝3，所以a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的倾斜角为0°时，不妨令A (－2，0)，B (2，0)，则OA →·OB →＝－4， 当直线l 的倾斜角不为0°时，设其方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，3x 2＋4y 2＝12⇒(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0， 由Δ>0⇒(24m )2－4×(3m 2＋4)×36>0⇒m 2>4， 设A (my 1＋4，y 1)，B (my 2＋4，y 2)． 因为y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，所以OA →·OB →＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2 ＝m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＋y 1y 2 ＝1163m 2＋4－4， 因为m 2>4，所以OA →·OB →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，134.综上所述，OA →·OB →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134.12．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233A 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 所以 F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以 MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． 因为 MF 1→·MF 2→＜0，所以 (－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0， 即x 20－3＋y 20＜0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线上， 所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， 所以2＋2y 20－3＋y 20＜0，所以－33＜y 0＜33.故选A. 13．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．求实数m 的取值范围．由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0.①将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63. 14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程．(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 所以1a 2＋94b2＝1.①又因为离心率为12，所以c a ＝12，所以b 2a 2＝34.②解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线的倾斜角为π2时，A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32，S △ABF 2＝12|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227. 当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以S △ABF 2＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2|＝|k |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝|k |⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 24k 2＋32－4·4k 2－124k 2＋3 ＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227， 所以17k 4＋k 2－18＝0， 解得k 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＝－1817舍去，所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。

直线与圆锥曲线的位置关系专题一:面积问题1、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．又因为焦点在x 轴上， 所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为 93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根， 所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB 2、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。

（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。

（1）当AB x ⊥轴时，AB =。

（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+。

=，得223(1)4m k =+。

把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。

22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。