2018-2019学年江苏省南通中学高一下学期期中数学试题(解析版)

绝密★启用前2019-2020学年江苏省南通中学高一下学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．直线y =的倾斜角为（） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°答案：B利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 解：利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∴tan θ= ∴θ＝60°， 故选：B ． 点评：本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c a ＝2bsinA ，则sinB 的值为（）A B ．2C ．12D 答案：B根据正弦定理，把边化为角的正弦，再计算sinB 的值． 解：△ABC a ＝2bsinA ，sinA ＝2sinBsinA ， 又A ∈（0，π），所以sinA ≠0，=2sinB ，解得sinB 2=．故选：B 点评：本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．3．若直线过点)3-和点()0,4-，则该直线的方程为()A ．4y x =- B ．4y x =+C ．6y =-D ．23y x =+ 答案：A（法一）利用直线的两点式方程直接求解；（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程． 解：解：（法一）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的方程为()()344y ---=--，整理得4y x =-；（法二）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的斜率为k =所以直线的方程为4y x +=，整理得4y x =-； 故选：A ． 点评：本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题． 4．已知角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2），则sin sin cos θθθ+的值为（）A ．13- B ．13C ．23-D ．23答案：D由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值． 解：∵角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2）， ∴tan θ＝2，则sin tan 22sin cos tan 1213θθθθθ===+++.故选：D 点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式，属于基础题． 5．已知圆()()22:684,C x y -+-=O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程() A ．()()2234100x y -++= B ．()()2234100x y ++-= C ．()()223425x y -+-= D ．()()22+3425x y +-=答案：C先求出圆心和半径，即得圆的方程. 解：由题得OC 中点坐标为（3,4），，所以圆的方程为()()223425x y -+-=. 故选：C 点评：本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6．函数22sin 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数答案：A由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，即可得解． 解：函数22sin 1cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数的最小正周期22T ππ==，且该函数为奇函数. 故选：A. 点评：本题考查了二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，考查了正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题． 7．一艘轮船按照北偏东40︒方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20︒方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为63海里，则灯塔与轮船原来的距离为（） A ．6海里 B ．12海里C ．6海里或12海里D ．63海里答案：A根据方位角可知120CAB ∠=，利用余弦定理构造方程可解得结果. 解：记轮船最初位置为A ，灯塔位置为B ，20分钟后轮船位置为C ，如下图所示：由题意得：11863AC =⨯=，1804020120CAB ∠=--=，3BC =则222cos 2AC AB BC CAB AC AB +-∠=⋅，即：2361081122AB AB +-=-，解得：6AB =即灯塔与轮船原来的距离为6海里 本题正确选项：A 点评：本题考查解三角形的实际应用问题，关键是能够利用余弦定理构造方程，解方程求得结果. 8．已知圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ，圆心在直线2y x =上，若点A 在直线40x y --=的左2，则圆C 的标准方程为（） A ．22(2)(4)4x y -++= B ．22(2)(4)16x y +++= C ．22(2)4)(4x y -+-= D ．22(2)(4)16x y -+-=答案：D设圆心(),2C a a ，利用点到直线距离可构造方程求得a ，根据点A 的位置可确定圆心、半径，从而得到圆的标准方程. 解：圆C 的圆心在直线2y x =上，∴可设(),2C a a ，圆C 与x 轴正半轴相切与点A ，0a ∴>且圆C 的半径2r a =，(),0A a .A 到直线40x y --=的距离d =d ∴==6a =或2a =，()2,0A ∴或()6,0A ，A 在直线40x y --=的左上方，()2,0A ∴，()2,4C ∴，4r =， ∴圆C 的标准方程为：()()222416x y -+-=.故选：D 点评：本题考查圆的标准方程的求解，涉及到点到直线距离公式的应用；关键是能够采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得变量. 二、多选题9．点P 是直线x+y ﹣3＝0上的动点，由点P 向圆O ：x 2+y 2＝4作切线，则切线长可能为（）A B ．12C ．1D 答案：ACD根据题意，设T 为切点，分析圆的圆心与半径，可得|PT|==得|PT|的最小值，分析选项即可得解． 解：根据题意，由点P 向圆O ：x 2+y 2＝4做切线，设T 为切点，连接OP 、OT ，如图：圆O ：x 2+y 2＝4，其圆心为（0,0），半径r ＝2； 则切线长222||||4PT PO r PO =-=- 当PO 最小时，PT 最小，当PO 与直线垂直时，PO 取最小值，则min 332211PO -==+， 所以min1222PT==， 分析选项：A 、C 、D 都满足2PT ≥. 故选：ACD ． 点评：本题考查了直线与圆相切的性质，涉及切线长的计算，属于基础题．10．在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（） A ．a ＝50，b ＝30，A ＝60° B ．a ＝30，b ＝65，A ＝30° C ．a ＝30，b ＝50，A ＝30° D ．a ＝30，b ＝60，A ＝30°答案：AD由已知结合正弦定理求解sinB ，再由正弦函数的值域及三角形中大边对大角分析得答案． 解：对于A ，由a ＝50，b ＝30，A ＝60°， 利用正弦定理可得：503060sin sinB=︒则sinB =， ∵a ＞b ，且A 为锐角，∴B 有一解，故三角形只有一解； 对于B ，由a ＝30，b ＝65，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306530sin sinB=︒则sinB 13112=>，此三角形无解； 对于C ，由a ＝30，b ＝50，A ＝30°， 利用正弦定理可得：305030sin sinB=︒则sinB 56=， ∵b ＞a ，且A 为锐角，则角B 有两解，故三角形有两解； 对于D ，由a ＝30，b ＝60，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306030sin sinB=︒，则sinB ＝1，B ＝90°，三角形为直角三角形，仅有一解． 故选：AD 点评：本题考查三角形解的个数的判定，考查正弦定理的应用，注意三角形中大边对大角是关键，是中档题．11．在ABC ∆中,若cos cos a A b B =,则ABC ∆的形状可能为() A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案：ABCD 根据正弦定理sin sin a b A B=,将cos cos a A b B =化简为:sin cos sin cos A A B B =,故sin 2sin 2A B =,即可求得答案.解： 根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =∴sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =.2,2(0,2)A B π∈, ∴22A B =或22A B π+=.即A B =或2A B π+=,∴ABC ∆可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.故选:ABCD. 点评：本题考查了判断三角形的形状,解题关键是掌握正弦定理和正弦的二倍角公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.12．已知圆M ：22(1cos )(2sin )1x y θθ--+--=，直线l ：20kx y k --+=，下列四个选项，其中正确的是（）A ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点B ．存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相离C ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切D ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切 答案：AC先确定圆的圆心坐标、直线所过的定点，根据直线与圆的位置关系，结合两点的距离公式、点到直线的距离公式、辅助角公式进行判断即可. 解：根据题意知圆M 的圆心坐标为M （1+cos θ，2+sin θ），半径为1，202(1)kx y k y k x --+=⇒-=-，直线l 恒过定点N （1，2），||1MN ==，所以定点N （1，2）在圆M 上，无论θ取何值，都由（1﹣1﹣cos θ）2+（2﹣2﹣sin θ）2＝1， 因此直线l 和圆M 有公共点，所以选项A 正确，选项B 错误； 圆心M 到直线l 的距离d===sin()βθ=-，（其中sin β=，cos β=，tan β＝k ）当()2n n Z πβθπ-=+∈时，1d =，所以对任意实数k ，tan β＝k ，所以必存在实数θ， 使得直线l 与圆M 相切，所以C 正确． 当θ＝0°时，()2n n Z πβπ=+∈，tan β不存在，所以D 不正确．故选：AC 点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力，属于中档题． 三、填空题13．化简：()2cos sin παπα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭_____．答案：-1由诱导公式即可求解． 解：()12cos cos cos sin πααπαα--==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 故答案为：﹣1． 点评：本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 14．已知点（1，a ）（a ＞0）到直线l ：x+y ﹣2＝0的距离为1，则a 的值为_____．1利用点到直线距离公式，代入计算即可得到a 的值． 解：由题可知，点（1，a ）（a ＞0）到直线l ：x+y ﹣2＝0的距离为:1d ===，解得：1a =．1． 点评：本题考查了点到直线的距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．15．若tan(2)2αβ+=，tan 3β=-，则tan()αβ+=__________． 答案：-1根据()2αβαββ+=+-,利用两角差的正切公式计算即可得结果. 解：()()tan tan 2αβαββ⎡⎤+=+-⎣⎦()()231123--==-+⨯-.点评：该题考查的是有关角的正切值的求解，涉及到的知识点有两角差的正切公式，属于简单题目. 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1:x 2+y 2＝8与圆C 2:x 2+y 2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.答案：{8,8-+先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可 解：由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d , 因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即d =,所以2d =,2d ==,解得8a =±当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =,故答案为：{8,8-+ 点评：本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想 四、解答题17．已知函数f （x ）＝cos 2﹣sin 2x ． （1）求函数f （x ）的最小正周期（2）求函数f （x ）单调增区间． 答案：（1）T =π；（2）[k π3π-，k π6π+]，k ∈Z ． （1）利用辅助角二倍角公式化简，即可求函数f （x ）的最小正周期 （2）根据三角函数的性质即可求出函数f （x ）单调增区间． 解：函数f （x ）＝cos 2﹣sin 2x ．化简可得：f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2sinxcosx＝cos2x 12cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭＝2sin （2x 6π+）， （1）∵ω＝2，∴f （x ）的最小正周期为T 2πω==π；（2）令2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+（k ∈Z ）， 解得：k π3π-≤x ≤π6π+，k ∈Z ，则f （x ）的单调增区间为[k π3π-，k π6π+]，k ∈Z ．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．18．已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．答案：（12）22x (y 1)5++=．()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．解： 解：()121l //l ，a 28a211+∴=≠，解得a 4=，1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，故直线1l 与2l 的距离2261d 5512-===+． ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，所以切点A 的坐标为()2,2--， 从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-． 由()1知C 的半径为5，所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=． 点评：本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题．19．如图，在一条海防警戒线上的点A B C 、、处各有一个水声监测点，B C 、两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1．5千米/秒．（1）设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值； （2）求P 到海防警戒线AC 的距离． 答案：（1）31x =；（2）21试题分析：（1）依题意，有PA PC ==x ， 1.5812PB x x =-⨯=-，根据余弦定理，列出方程，即可求解x 的值；（2）作PD AC ⊥于D ，在ADP ∆中，由cos PAD ∠，得sin PAD ∠，即可求解点P 到海防警戒线AC 的距离．试题解析：（1）依题意，有PA PC ==x ， 1.5812PB x x =-⨯=-．在PAB △中，20AB =，22222220(12)332cos 22205PA AB PB x x x PAB PA AB x x+-+--+∠===⋅⋅，同理在PAC ∆中，50AC =，2222225025cos 2250PA AC PC x x PAC PA AC x x+-+-∠===⋅⋅． ∵cos cos PAB PAC ∠=∠，∴332255x x x+=，解得：31x =． （2）作PD AC ⊥于D ，在ADP ∆中，由25cos 31PAD ∠=，得sin 31PAD ∠==sin 3131PD PA PAD =∠=⨯=千米． 故静止目标P 到海防警戒线AC的距离为 【考点】解三角形的实际应用．【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理于余弦定理的应用以及三角形的高线的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于基础题，此类问题的解答中关键在于灵活运用正弦定理和余弦定理找到解决问题的途径．20．已知圆E 经过M （﹣1，0），N （0，1），P （12，2- （1）求圆E 的方程；（2）若过点C （2，2）作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ，求直线AB 的方程． 答案：（1）x 2+y 2＝1；（2）2x+2y ﹣1＝0．（1）根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为（a ，b ），半径为r ，结合题意可得222222222(1)(1)1()(2a b r a b r a b r ⎧⎪++=⎪⎪+-=⎨⎪⎪-+=⎪⎩，解可得a 、b 、r 的值，由圆的标准方程的形式分析可得答案.（2）设以C 为圆心，CA 为半径的圆C ，其半径为R ，由切线长公式计算可得R 的值，分析可得圆C 的方程，又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，变形分析可得答案． 解：（1）根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为（a ，b ），半径为r ，则有222222222(1)(1)1()(2a b r a b r a b r ⎧⎪++=⎪⎪+-=⎨⎪⎪-+=⎪⎩，解可得001a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为x 2+y 2＝1；（2）根据题意，过点C （2，2）作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ， 设以C 为圆心，CA 为半径的圆C ，其半径为R ，则有R ＝|CA|==则圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝7，即x 2+y 2﹣4x ﹣4y+1＝0， 又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线，则有222214410x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩， 解可得2x+2y ﹣1＝0，则AB 的方程为：2x+2y ﹣1＝0． 点评：本题考查直线与圆的方程，关键是求出圆E 的方程，属于基础题． 21．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足下列3个条件中的2个条件： ①函数()f x 的周期为π； ②6x π=是函数()f x 的对称轴；③04f π⎛⎫=⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调. （Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域. 答案：（Ⅰ）只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅱ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域. 解：（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=；由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈；由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤； 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意，若②③成立，则264k m ππωπωππ+-=-12()66m k ω⇒=--≥，,m k Z ∈，与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立， 所以只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）由题意得，5102()136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.22．如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN分别与圆O 交于M ，N 两点.（1）若12,2AM AN k k ==-，求△AMN 的面积； （2）过点P （33-5，）作圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，求PE PF ⋅； （3）若2AM AN k k ⋅=-，求证：直线MN 过定点. 答案：（1）；（2）；（3）见解析试题分析：（1）直线AM 的方程为，直线AN 的方程为，由中位线定理知，，由此能求出的面积．（2）由已知条件推导出，，由此能求出PF PE ⋅．（3）设直线的方程，则直线的方程为，联立方程，得同理，由此能证明直线过定点．试题解析：（1）由题知，得直线的方程为，直线的方程为所以，圆心到直线的距离，所以，，由中位线定理知，AN=，由题知，所以⊥，=.（2）22(33)(5)443PE +--=｜｜＝，22(33)(5)213PO =+-=， 所以4323cos 21313OPE ∠==. 所以222311cos 2cos 12()11313FPE OPE ∠=∠-=-=，所以211528||cos (43)1313PE PF PE PF EPF ⋅=∠=⨯= （3）由题知直线和直线AN 的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线的的方程(2)y k x =+，则直线AN 的方程为，所以，联立方程22(2){4y k x x y =++=，所以，22(2)[(1)22]0x k x k +++-=，得2x =-或22221k x k -=+，所以222224(,)11k kM k k-++，同理，，因为轴上存在一点D 2(,0)3-， 所以，=，同理，所以，=，所以，直线过定点2(,0)3-. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.。

江苏省南通中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.直线y =的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∴tanθ= ∴θ＝60°， 故选：B ．【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝2b sin A ，则sin B 的值为（ ）B. 2C.12D.2【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，把边化为角的正弦，再计算sin B 的值．【详解】△ABC a ＝2b sin A ，sin A ＝2sin B sin A ， 又A ∈（0，π），所以sin A ≠0，=2sin B ，解得sin B 2=．故选：B【点睛】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．3.若直线过点)3-和点()0,4-，则该直线的方程为( )A. 4y x =- B. 4y x =+C. 6y =-D. 23y x =+ 【答案】A 【解析】 【分析】（法一）利用直线的两点式方程直接求解；（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程．【详解】解：（法一）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的方程为()()344y ---=--，整理得4y x =-；（法二）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的斜率为k =，所以直线的方程为4y x +=，整理得4y x =-； 故选：A ．【点睛】本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题． 4.已知角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2），则sin sin cos θθθ+的值为（ ）A. 13- B.13C. 23-D. 23【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【详解】∵角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2）， ∴tan θ＝2， 则sin tan 22sin cos tan 1213θθθθθ===+++.故选：D【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式，属于基础题． 5.已知圆()()22:684,C x y -+-=O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程( ) A. ()()2234100x y -++= B. ()()2234100x y ++-= C .()()223425x y -+-= D. ()()22+3425x y +-=【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，即得圆的方程. 【详解】由题得OC 中点坐标为（3,4）， ，所以圆的方程为()()223425x y -+-=. 故选C【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.函数22sin 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，即可得解．【详解】函数22sin 1cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数的最小正周期22T ππ==，且该函数为奇函数. 故选：A.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，考查了正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．7.一艘轮船按照北偏东40︒方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20︒方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为63海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ） A. 6海里 B. 12海里C. 6海里或12海里D. 63海里 【答案】A 【解析】 【分析】根据方位角可知120CAB ∠=，利用余弦定理构造方程可解得结果.【详解】记轮船最初位置为A ，灯塔位置为B ，20分钟后轮船位置为C ，如下图所示：由题意得：11863AC =⨯=，1804020120CAB ∠=--=，63BC =则222cos 2AC AB BC CAB AC AB +-∠=⋅，即：2361081122AB AB +-=-，解得：6AB =即灯塔与轮船原来的距离为6海里本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，关键是能够利用余弦定理构造方程，解方程求得结果.8.已知圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ，圆心在直线2y x =上，若点A 在直线40x y --=，则圆C 的标准方程为（ ） A. 22(2)(4)4x y -++= B. 22(2)(4)16x y +++= C. 22(2)4)(4x y -+-= D. 22(2)(4)16x y -+-=【答案】D 【解析】 【分析】设圆心(),2C a a ，利用点到直线距离可构造方程求得a ，根据点A 的位置可确定圆心、半径，从而得到圆的标准方程. 【详解】圆C 的圆心在直线2y x =上，∴可设(),2C a a ，圆C 与x 轴正半轴相切与点A ，0a ∴>且圆C 的半径2r a =，(),0A a .A 到直线40x y --=的距离d =d ∴==6a =或2a =，()2,0A ∴或()6,0A ，A 在直线40x y --=的左上方，()2,0A ∴，()2,4C ∴，4r =， ∴圆C 的标准方程为：()()222416x y -+-=.故选：D【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，涉及到点到直线距离公式的应用；关键是能够采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得变量. 二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分）9.点P 是直线x +y ﹣3＝0上的动点，由点P 向圆O ：x 2+y 2＝4作切线，则切线长可能为（ ）A.2B.12C. 1D.2【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，设T 为切点，分析圆的圆心与半径，可得|PT |222||||4PO r PO =-=-，进而可得|PT |的最小值，分析选项即可得解．【详解】根据题意，由点P 向圆O ：x 2+y 2＝4做切线，设T 为切点，连接OP 、OT ，如图：圆O ：x 2+y 2＝4，其圆心为（0,0），半径r ＝2； 则切线长222||||4PT PO r PO =-=- 当PO 最小时，PT 最小，当PO 与直线垂直时，PO 取最小值，则min 33211PO -==+， 所以min1222PT==， 分析选项：A 、C 、D 都满足22PT ≥. 故选：ACD ．【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质，涉及切线长的计算，属于基础题．10.在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（ ） A. a ＝50，b ＝30，A ＝60°B. a ＝30，b ＝65，A ＝30°C. a ＝30，b ＝50，A ＝30°D. a ＝30，b ＝60，A ＝30°【答案】AD 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理求解sin B ，再由正弦函数的值域及三角形中大边对大角分析得答案． 【详解】对于A ，由a ＝50，b ＝30，A ＝60°， 利用正弦定理可得：503060sin sinB=︒则sin B 10=， ∵a ＞b ，且A 为锐角，∴B 有一解，故三角形只有一解； 对于B ，由a ＝30，b ＝65，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306530sin sinB=︒则sin B 13112=>，此三角形无解； 对于C ，由a ＝30，b ＝50，A ＝30°， 利用正弦定理可得：305030sin sinB=︒则sin B 56=， ∵b ＞a ，且A 为锐角，则角B 有两解，故三角形有两解； 对于D ，由a ＝30，b ＝60，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306030sin sinB=︒，则sin B ＝1，B ＝90°，三角形为直角三角形，仅有一解． 故选：AD【点睛】本题考查三角形解的个数的判定，考查正弦定理的应用，注意三角形中大边对大角是关键，是中档题．11.在ABC ∆中,若cos cos a A b B =,则ABC ∆的形状可能为( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形【答案】ABCD 【解析】【分析】 根据正弦定理sin sin a b A B=,将cos cos a A b B =化简为:sin cos sin cos A A B B =,故sin 2sin 2A B =,即可求得答案.【详解】根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =∴ sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,∴ 22A B =或22A B π+=.即A B =或2A B π+=,∴ABC ∆可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.故选:ABCD.【点睛】本题考查了判断三角形的形状,解题关键是掌握正弦定理和正弦的二倍角公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.12.已知圆M ：22(1cos )(2sin )1x y θθ--+--=，直线l ：20kx y k --+=，下列四个选项，其中正确的是（ ）A .对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点 B. 存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相离C. 对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切D. 对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切 【答案】AC 【解析】 【分析】先确定圆的圆心坐标、直线所过的定点，根据直线与圆的位置关系，结合两点的距离公式、点到直线的距离公式、辅助角公式进行判断即可.【详解】根据题意知圆M 的圆心坐标为M （1+cos θ，2+sin θ），半径为1，202(1)kx y k y k x--+=⇒-=-，直线l恒过定点N（1，2），||1MN=，所以定点N（1，2）在圆M上，无论θ取何值，都由（1﹣1﹣cosθ）2+（2﹣2﹣sinθ）2＝1，因此直线l和圆M有公共点，所以选项A正确，选项B错误；圆心M到直线l的距离d===sin()βθ=-，（其中sinβ=，cosβ=，tanβ＝k）当()2n n Zπβθπ-=+∈时，1d=，所以对任意实数k，tanβ＝k，所以必存在实数θ，使得直线l与圆M相切，所以C正确．当θ＝0°时，()2n n Zπβπ=+∈，tanβ不存在，所以D不正确．故选：AC【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力，属于中档题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分）13.化简：()2cossinπαπα-=⎛⎫+⎪⎝⎭_____．【答案】-1【解析】【分析】由诱导公式即可求解．【详解】()12cos coscossinπααπαα--==-⎛⎫+⎪⎝⎭．故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.已知点（1，a ）（a ＞0）到直线l ：x +y ﹣2＝0的距离为1，则a 的值为_____． 【答案】21+ 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式，代入计算即可得到a 的值．【详解】由题可知，点 （1，a ）（a ＞0）到直线l ：x +y ﹣2＝0的距离为:221211211a a d +--===+，解得：21a =+．故答案：21+．【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题． 15.若tan(2)2αβ+=，tan 3β=-，则tan()αβ+=__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据()2αβαββ+=+-,利用两角差的正切公式计算即可得结果. 【详解】()()tan tan 2αβαββ⎡⎤+=+-⎣⎦ ()()231123--==-+⨯-.【点睛】该题考查的是有关角的正切值的求解，涉及到的知识点有两角差的正切公式，属于简单题目.16.在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 y 2＝8与圆C 2 : x 2y 22xy a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.【答案】{}8,825,825-+ 【解析】 【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d ,因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即d =所以2d =,2d ==,解得8a =±当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =,故答案为：{8,8-+【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想四、解答题（本小题共6小题，共70分）17.已知函数f （x ）＝cos 2xx cos x ﹣sin 2x ．（1）求函数f （x ）的最小正周期（2）求函数f （x ）单调增区间．【答案】（1）T =π；（2）[k π3π-，k π6π+]，k ∈Z ． 【解析】【分析】（1）利用辅助角二倍角公式化简，即可求函数f （x ）的最小正周期（2）根据三角函数的性质即可求出函数f （x ）单调增区间．【详解】函数f （x ）＝cos 2xx cos x ﹣sin 2x ．化简可得：f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2xsin x cos x ＝cos2xx 12cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭＝2sin （2x 6π+）， （1）∵ω＝2，∴f （x ）的最小正周期为T 2πω==π； （2）令2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+（k ∈Z ）， 解得：k π3π-≤x ≤π6π+，k ∈Z ， 则f （x ）的单调增区间为[k π3π-，k π6π+]，k ∈Z ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．18.已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //．（1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．【答案】（12）22x (y 1)5++=．【解析】【分析】 ()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．【详解】解：()121l //l ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=， 1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，故直线1l 与2l的距离d ===． ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-．由()1知C的半径为5，所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题．19.如图，在一条海防警戒线上的点A B C 、、处各有一个水声监测点，B C 、两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1．5千米/秒．（1）设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值；（2）求P 到海防警戒线AC 的距离．【答案】（1）31x =；（2）21【解析】试题分析：（1）依题意，有PA PC ==x ， 1.5812PB x x =-⨯=-，根据余弦定理，列出方程，即可求解x 的值；（2）作PD AC ⊥于D ，在ADP ∆中，由cos PAD ∠，得sin PAD ∠，即可求解点P 到海防警戒线AC 的距离．试题解析：（1）依题意，有PA PC ==x ， 1.5812PB x x =-⨯=-．在PAB △中，20AB =，22222220(12)332cos 22205PA AB PB x x x PAB PA AB x x+-+--+∠===⋅⋅， 同理在PAC ∆中，50AC =，2222225025cos 2250PA AC PC x x PAC PA AC x x+-+-∠===⋅⋅． ∵cos cos PAB PAC ∠=∠，∴332255x x x+=，解得：31x =． （2）作PD AC ⊥于D ，在ADP ∆中，由25cos 31PAD ∠=， 得221sin 1cos 31PAD PAD ∠=-∠=，∴421sin 3142131PD PA PAD =∠=⨯=千米．故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为21考点：解三角形的实际应用．【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理于余弦定理的应用以及三角形的高线的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于基础题，此类问题的解答中关键在于灵活运用正弦定理和余弦定理找到解决问题的途径．20.已知圆E 经过M （﹣1，0），N （0，1），P （12，2-）三点． （1）求圆E 的方程；（2）若过点C （2，2）作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ，求直线AB 的方程．【答案】（1）x 2+y 2＝1；（2）2x +2y ﹣1＝0．【解析】【分析】（1）根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为（a ，b ），半径为r ，结合题意可得222222222(1)(1)1()(22a b r a b ra b r ⎧⎪++=⎪⎪+-=⎨⎪⎪-++=⎪⎩，解可得a 、b 、r 的值，由圆的标准方程的形式分析可得答案. （2）设以C 为圆心，CA 为半径的圆C ，其半径为R ，由切线长公式计算可得R 的值，分析可得圆C 的方程，又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，变形分析可得答案．【详解】（1）根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为（a ，b ），半径为r ， 则有222222222(1)(1)1()()22a b r a b r a b r ⎧⎪++=⎪⎪+-=⎨⎪⎪-++=⎪⎩，解可得001a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为x 2+y 2＝1；（2）根据题意，过点C （2，2）作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ，设以C 为圆心，CA 为半径的圆C ，其半径为R ，则有R ＝|CA|==则圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝7，即x 2+y 2﹣4x ﹣4y +1＝0，又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线， 则有222214410x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩， 解可得2x +2y ﹣1＝0，则AB 的方程为：2x +2y ﹣1＝0．【点睛】本题考查直线与圆的方程，关键是求出圆E 的方程，属于基础题．21.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足下列3个条件中的2个条件： ①函数()f x 的周期为π； ②6x π=是函数()f x 的对称轴； ③04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调. （Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.【答案】（Ⅰ）只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅱ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域. 【详解】（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=；由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈； 由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤； 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意， 若②③成立，则264k m ππωπωππ+-=-12()66m k ω⇒=--≥，,m k Z ∈，与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅱ）由题意得，5102()136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.22.如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与圆O 交于M ，N 两点.（1）若12,2AM AN k k ==-，求△AMN 的面积； （2）过点P （33-5，）作圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，求PE PF ⋅；（3）若2AM AN k k ⋅=-，求证：直线MN 过定点.【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【解析】试题分析：（1）直线AM 的方程为，直线AN 的方程为，由中位线定理知，，由此能求出的面积．（2）由已知条件推导出，，由此能求出PF PE ⋅．（3）设直线的方程，则直线的方程为，联立方程，得同理，由此能证明直线过定点．试题解析：（1）由题知，得直线的方程为，直线的方程为 所以，圆心到直线的距离，所以，，由中位线定理知， AN=，由题知，所以⊥，=.（2）22(33)(5)443PE +--=｜｜＝，22(33)(5)213PO =+-=，所以4323cos 21313OPE ∠==. 所以222311cos 2cos 12()11313FPE OPE ∠=∠-=-=， 所以211528||cos (43)1313PE PF PE PF EPF ⋅=∠=⨯= （3）由题知直线和直线AN 的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线的的方程(2)y k x =+，则直线AN 的方程为，所以，联立方程22(2){4y k x x y =++=，所以，22(2)[(1)22]0x k x k +++-=，得2x =-或22221k x k -=+， 所以222224(,)11k k M k k-++， 同理，， 因为轴上存在一点D 2(,0)3-，所以，=，同理，所以，=，所以，直线过定点2(,0)3.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.。

2018-2019学年江苏省南通市通州区高一下学期期中数学试题一、单选题120y --=的倾斜角为（ ）．A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 【答案】B【解析】直线2y =+，tan k θ==，倾斜角60θ=︒．故选B ．2．在ABC ∆中，已知边2AB =，60B ∠=︒，45C ∠=︒，则边AC 的长为（ ）A ．B ．2CD ．3 【答案】C【解析】根据正弦定理计算可得.【详解】解：因为2AB =，60B ∠=︒，45C ∠=︒由正弦定理sin sin c b C B =可得2sin 45sin 60b ︒︒=解得b =即AC =故选：C【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.3．下列四个条件中，能确定一个平面的是（ ）①空间中的三个点；②一条直线和一个点；③两条平行的直线；④两条垂直的直线. A ．①②③④B ．①③C ．③④D ．③ 【答案】D【解析】根据确定平面的基本性质2（即公理2)及推论推论逐一判断即可得解．【详解】解：对于①：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故①错．对于②：当此点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故②错．对于③：根据确定平面的基本性质2（即公理2)的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故③对对于④：当这两条直线是异面直线时则根据异面直线的定义可得这对异面直线不同在任何一个平面内，故④错．故选：D【点睛】本题主要考察确定平面的基本性质2（即公理2)及其推论．解题的关键是要对确定平面的基本性质2（即公理2)及推论理解透彻，属于基础题．4．三条线段的长分别为5，6，8，则用这三条线段A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形【答案】C【解析】先求最大角的余弦，再得到三角形是钝角三角形.【详解】设最大角为α，所以25+366431cos==02566020α--=-<⋅⋅，所以三角形是钝角三角形.故选C【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．一个正四棱锥的底面边长为2A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【解析】先求侧面三角形的斜高，再求该正四棱锥的全面积.【详解】，所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅. 故选B【点睛】本题主要考查几何体的边长的计算和全面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．已知直线()1:210l a x y -++=，直线()2:210l x a y +--=，若12l l //，则实数a 的值为（ ）A ．1或1-B ．1或3C ．1D ．3【答案】D【解析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【详解】解：Q 直线()1:210l a x y -++=，直线()2:210l x a y +--=平行， ∴()2211a -=⨯且()1211a -⨯-≠⨯， 解得3a =．∴实数a 的值为3．故选：D ．【点睛】本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 7．将两个半径均为rcm 的硬质球完全沉没于一个装有水的圆柱形水桶内时，水面上升了10cm .若水桶的底面半径为30cm ，则硬质球的半径r 为（ ）cm .A ．5B ．8C ．10D ．15 【答案】D【解析】根据球及圆柱的体积公式计算可得.【详解】 解：依题意可得324230103r ππ⨯=⨯⨯解得15r =故选：D【点睛】本题考查球的体积公式及圆柱的体积公式的应用，属于基础题.8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则ABC ∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】B【解析】直接利用正弦定理以及已知条件，求出a 、b 、c 的关系，即可判断三角形的形状．【详解】解：在ABC ∆中，已知2a b c =+，2sin sin sin (A B C a =，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），由正弦定理可知：a bc =2，所以22a b c a bc =+⎧⎨=⎩，解得a b c ==，所以ABC ∆为等边三角形． 故选：B ．【点睛】本题考查三角形的形状的判断，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题． 9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若//αβ，l α⊂，则l β//； ②若m αβ=I ，//l m ，则l β//； ③若//l m ，l α⊂，m β⊥，则αβ⊥； ④若l α⊥，//m β，αβ⊥，则l m ⊥. 其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．①③④【答案】B【解析】根据线面、线线及面面关系的判定定理及性质一一判断可得.【详解】解：①根据面线面平行的判定定理可知，直线l 平行平面β，所以①正确． ②根据线面平行的判定定理，还需l β⊄，方可得到//l β．所以②错误．③由//l m ，m β⊥，则l β⊥，又l α⊂，故αβ⊥，所以③正确．④若l α⊥，//m β，αβ⊥，则l 与m 可能平行、相交、异面，所以④错误． 故选：B ．【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行，垂直以及平面和平面之间平行与垂直的判定和性质，要求熟练掌握相应的定理，属于中档题．10．直角坐标系xOy 中，已知点P(2﹣t ，2t ﹣2)，点Q(﹣2，1)，直线l ：0ax by +=．若对任意的t ∈R ，点P 到直线l 的距离为定值，则点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标为 A ．(0，2)B ．(2，3)C ．(25，115)D ．(25，3) 【答案】C【解析】先求出点P 的轨迹和直线l 的方程，再求点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标.【详解】设点P(x,y),所以2,22022x t x y y t =-⎧∴+-=⎨=-⎩所以点P 的轨迹方程为2x+y-2=0.对任意的t ∈R ，点P 到直线l 的距离为定值，所以直线l 的方程为2x+y=0.设点点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标为00,)x y （， 所以00000012(2)125,112120522y x x x y y -⎧⎧⋅-=-=⎪⎪+⎪⎪∴⎨⎨-+⎪⎪=⋅+=⎪⎪⎩⎩. 故选：C【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查点线点对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题11．已知两条直线a ，b 和两个平面α，β.若//αβ，a α⊂，b β⊂，则a ，b 的位置关系所有的可能是________.【答案】平行或异面【解析】根据面面平行的性质定理及异面直线的定义判断可得.【详解】解：//αβQ ，a α⊂，b β⊂，则a 与b 无交点所以a 与b 可能平行或异面故答案为：平行或异面【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.12．点()1,2A -到直线1510x y +=的距离为________.【答案】【解析】首先将直线方程化为一般式，再利用点到直线的距离公式求解．【详解】 解：1510x y +=Q化为一般式为2100x y +-=所以点()1,2A -到直线2100x y +-=的距离：d ==故答案为：【点睛】本题考查点到直线的距离公式的求法，属于基础题，解题时要认真审题将截距式化为一般式．13．在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若222a b c +-=,则 C ＝ ______. 【答案】6π【解析】由余弦定理求出cos C =,即得解. 【详解】由余弦定理知222cos 22a b c C ab +-==，又因为0c π<<，所以=6C π. 故答案为6π 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.【答案】16【解析】设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长AB BC a ==，高1AA b =，再根据柱体、锥体的体积公式计算可得.【详解】解：设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长AB BC a ==，高1AA b =， 则111121ABCD A B C D ABCD V S AA a b -=⨯=， 111211113326P D DB B D DP D DP V V S BC ab a a b --∆==⋅=⨯⋅= 1111116ABCD D P D D A B BC V V --∴=即116V V = 故答案为：16 【点睛】本题考查柱体、锥体的体积计算，属于基础题.15．在点O 的正上方有气球P ，从点O 的正西方A 点，测得气球P 的仰角为30°，同时从点O 南偏东60︒的B 点，测得气球P 的仰角为45︒.若A ，B 两点的距离为107m ，则气球P 离地面的距离为________m.【答案】10【解析】依题意画出直观图，设OP x =，则OB x =，3AO x =，在AOB ∆中由余弦定理计算可得.【详解】解：依题意可得如下图形，且30OAP ︒∠=，150AOB ︒∠=，45OBP ︒∠=，107AB =，90AOP POB ︒∠=∠=设OP x =，则OB x =，3AO x =在AOB ∆中由余弦定理可得2222cos AB AO BO AO BO AOB =+-⋅⋅∠ 即()()222107323cos150x x x x ︒=+-⋅⋅⋅解得10x =或10x =-（舍去）故答案为：10【点睛】本题考查解三角形在实际生活中的应用，属于中档题.16．已知点()3,2A ，()2,3B -，直线():32260l k x y k ---+=.若直线l 与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是________.【答案】[)3,7,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U 【解析】首先求出直线恒过定点()2,0P ，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为直线():32260l k x y k ---+=所以()()23260k x x y -+--+=令203260x x y -=⎧⎨--+=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩故直线():32260l k x y k ---+=恒过点()2,0P 直线l 的斜率为32k -则20232AP k -==-，303224BP k -==--- 依题意直线l 与线段AB 有公共点，由图可知322k -≥或3324k -≤- 解得7k ≥或32k ≤，即[)3,7,2k ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦U 故答案为：[)3,7,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U 【点睛】本题考查直线恒过定点问题以及直线的斜率的计算，属于中档题.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知三点()5,0A -，()3,2B -，()0,2C . （1）求直线BC 的方程；（2）若直线l 经过AB 的中点M ，且垂直于直线BC ，求直线l 的方程.【答案】（1）4360x y +-=；（2）3410x y --=【解析】（1）首先求出直线BC 的斜率，再由斜截式求出直线方程；（2）首先求出AB 的中点坐标，再根据两直线垂直求出l 的斜率，最后由点斜式求出直线方程；【详解】解：（1）因为()3,2B -，()0,2C 所以224303BC k --==--所以直线BC 的方程为：423y x =-+即4360x y +-= （2）因为()5,0A -，()3,2B -，5312-+=-，2012-+=- 则AB 的中点()1,1M --又因为l 垂直于直线BC所以1l BC k k ⋅=-，即34l k =所以l 的方程为：()3114y x +=+即3410x y --= 【点睛】本题考查直线的点斜式方程的应用，两直线垂直斜率的关系，属于基础题. 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，D ，E 分别是1A B 和1A C 中点.（1）求证：//DE 平面111A B C ；（2）求证：DE ⊥平面11A ABB .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由三角形中位线的性质可得//DE BC ，再由三棱柱的性质可得11//BC B C ，从而得到11//DE B C ，即可得证；（2）由三棱柱是直棱柱，可得1BB BC ⊥，再由AB BC ⊥，即可得到BC ⊥平面11A ABB ，最后由//DE BC 即可得证；【详解】解：（1）因为D 、E 分别是1A B 和1A C 中点.所以//DE BC又因为111ABC A B C -是直棱柱所以11//BC B C11//DE B C ∴又11B C ⊂平面111A B C ，DE ⊄平面111A B C所以//DE 平面111A B C ；（2）因为111ABC A B C -是直棱柱，1BB ∴⊥面ABCBC ⊂Q 面ABC1BB BC ∴⊥AB BC ⊥Q ，AB Ì平面11A ABB ，1BB ⊂平面11A ABB ，1BB AB B ⋂= BC ∴⊥平面11A ABB又//DE BCDE ∴⊥平面11A ABB【点睛】本题考查线面平行及垂直的证明，属于中档题.19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1cos 2a C cb +=. （1）求角A 的值；（2）若3sin 2sin B C =，a =b ，c.【答案】（1）3A π=；（2）2b =，3c =【解析】（1）利用正弦定理将角化边，再利用两角和的正弦公式化简可得； （2）利用正弦定理将角化边，再用余弦定理得到方程组解得； 【详解】解：（1）因为1cos 2a C cb += 1sin cos sin sin 2A C C B ∴+=()1sin cos sin sin 2A C C A C π∴+=-+⎡⎤⎣⎦ 1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C ∴+=+1sin cos sin 2C A C ∴= 因为()0,C π∈sin 0C ∴≠1cos 2A ∴=()0,A π∈Q 3A π∴=（2）因为3sin 2sin B C = 所以32b c =①由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，7a =即227b c bc =+-② 解得2b =，3c = 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.20．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛（Alberobello ），这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo ，于1996年被收入世界文化遗产名录（如图1）.现测量一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2）.C ，D 是母线SA 的两个三等分点（点D 靠近点A ），E 是母线SB 的中点.（1）从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度；（2）现对屋顶进行加固，在底面直径AB 上某一点P ，向点D 和点E 分别引直线型钢管PD 和PE .试确定点P 的位置，使得钢管总长度最小. 【答案】（1）13（2）6,05P ⎛⎫-⎪⎝⎭时，PD PE +的最小值为3【解析】（1）将侧面沿母线SA 展开，A 点对于与1A ，连接1A C ，则1A C 为最小长度，在1A SC ∆中由余弦定理计算可得.（2）建立平面直角坐标系，求出D 关于x 轴的对称点1D ，利用两点间的距离公式求出距离最小值，利用点斜式求出直线方程，即可求出P 的坐标.【详解】解：（1）将侧面沿母线SA 展开，A 点对于与1A ，连接1A C ，则1A C 为最小长度； 因为18SA =，12AB =，则¼112AA AB ππ=⋅=，设1ASA α∠=¼118AA R αα∴==，1812απ∴=，23πα∴=在1A SC ∆中由余弦定理可得22211112cos A C A S SC A S SC A SC =+-⋅⋅∠ 即22211862186cos120A C ︒=+-⋅⋅⋅22211862186cos120A C ︒=+-⋅⋅⋅1613AC ∴= 即灯光带的最小长度为613（m ）（2）如图建立平面直角坐标系，因为18SA =，12AB =所以()6,0A -，()6,0B ，(0,122S ，因为D 是SA 的三等分点（靠近A ） 所以(4,42D -，又E 是SB 的中点，所以(2E 则(4,42D -关于x 轴对称的点为(14,42D -- 连接1D E 与x 轴交点P ，则PD PE +的最小值为1D E()()22134624293D E ∴=+++=1222347ED k ==+Q ∴直线1D E 的方程为)26237y x -=-令0y =则65x =-即6,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PD PE +的最小值为93【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，余弦定理以及直线方程，属于中档题.21．如图，在三棱锥P ABC -中，PBC ∆为等边三角形，点O 为BC 的中点，AC PB ⊥，平面PBC ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）已知E 为PO 的中点，F 是AB 上的点，AF AB λ=.若//EF 平面PAC ，求λ的值.【答案】（1）证明见解析；（2）14【解析】（1）推导出PO BC ⊥，从而PO ⊥平面ABC ，进而PO AC ⊥，再由AC PB ⊥，得到AC ⊥平面PBC ，由此能证明平面PAC ⊥平面PBC ．（2）取CO 中点G ，连结EG ，FG ，则//EG PC ，从而平面//EFG 平面PAC ，进而//FG AC ，由此能求出λ的值． 【详解】解：（1）证明：PBC ∆Q 为等边三角形，点O 为BC 的中点，PO BC ∴⊥，Q 平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC I 平面ABC BC =，PO ⊂平面PBCPO ∴⊥平面ABC ， AC ⊂Q 平面ABC ，PO AC ∴⊥，AC PB ⊥Q ，PO PB P =I ，PB ⊂平面PBC ，PO ⊂平面PBCAC ∴⊥平面PBC ， AC ⊂Q 平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ．（2）解：取CO 中点G ，连结EG ，FG ，E Q 为PO 的中点，//EG PC ∴，EG ⊄Q 平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， //EG ∴平面PAC ，F Q 是AB 上的点，AF AB λ=，//EF 平面PAC ，且EG EF E =I ∴平面//EFG 平面PAC ，因为平面PAC I 平面ABC AC =，平面EFG ⋂平面ABC FG = //FG AC ∴，14AF CG AB CB λ∴===． λ∴的值为14．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．22．如图，直角ABC ∆中，点M ，N 在斜边BC 上（M ，N 异于B ，C ，且N 在M ，C之间）.（1）若AM 是角A 的平分线，3AM =，且2CM MB =，求三角形ABC 的面积； （2）已知3AB =，AC 33=6MAN π∠=，设BAM θ∠=.①若21sin θ=MN 的长； ②求AMN ∆面积的最小值. 【答案】（1）818；（2）74MN =，()(min 27234AMN S∆= 【解析】（1）过点M 作ME AB ⊥交AB 于E ，作MF AC ⊥交AC 于F ，利用三角形相似求出线段的长，从而求出三角形的面积； （2）依题意，表示出23AMB πθ∠=-，2ANC πθ∠=+，3NAC πθ∠=-，再由正弦定理表示出AN ，AM ，CN ，MB ，①由同角三角函数的基本关系求出tan θ，即可求出CN ，MB 从而得解；②由面积公式即三角恒等变换求出面积最小值. 【详解】解：（1）如图，过点M 作ME AB ⊥交AB 于E ，作MF AC ⊥交AC 于F ， 则MEB CFM ∆∆∽2CF MF CMME BE MB∴=== 因为90CAB ︒∠=，AM 平分CAB ∠且3AM =322ME MF ∴==32CF ∴=32BE =323292AB AE BE ∴=+==32923222ACAF CF ∴=+=+=1192928122248ABC S AC AB ∆∴=⋅=⨯⨯=（2）在Rt ABC ∆中3AB =，AC 33=3ABC π∠=，6ACB π∠=，6BC =，又6MAN π∠=，设BAM θ∠=，23AMB πθ∴∠=-，2ANC πθ∠=+，3NAC πθ∠=-，在ANC ∆和AMB ∆中由正弦定理可得sin sin sin AN AC CNC ANC NAC==∠∠∠，sin sin sin AM AB BMB AMB MAB==∠∠∠ 即33332cos 2sin 2AN πθθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，3322sin 3AM πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3333sin cos cos sin 3133333tan cos 2sin 2CN πππθθθθπθθ⎛⎫⎫-- ⎪⎪⎫⎝⎭⎝⎭===-⎪⎪⎛⎫⎭+ ⎪⎝⎭， 3sin 3sin 22231sin cos cos sin sin tan 333MB θθπππθθθθ===⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ ①当21sin θ=227cos 1sin θθ=-=，sin 3tan cos θθθ==31393324CN ∴=-=⎭，3322313MB ==+⨯976244MN BC NC BM ∴=--=--=②11127sin 222442cos 2sin 16cos sin 33AMN S AN AM MAN AN AM ππθθθθ∆=⋅⋅∠=⋅=⨯⨯=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令222cos sin cos sin cos cos sin 333t πππθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin cos 22θθθ=+cos 211sin 2224θθ+=+12sin 24θθ=+1sin 223πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭ 2716AMN S t∆∴=因为πθ0,3骣琪Î琪桫，(]sin 20,13πθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，1,424t ⎛∴∈+ ⎝⎦所以当12t =+时，()(min 2724AMN S ∆==⎝⎭【点睛】本题考查正弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换的应用，属于难题.。

江苏省南通中学2018-2019学年度第二学期高一数学试卷一、选择题：（本小题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 圆2240x y x ++=的圆心坐标和半径分别是 （ A ） A. (－2，0) 2 B. (－2，0) 4 C. (2，0) 2 D. (2，0) 42．若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范围是 （ C ） A ．2m ≤ B ．2m < C ．12m <D ．12m ≤ 3. 若直线1:260l ax y ++=与直线()2:150l x a y +-+=垂直，则实数a 的值是 （ A ） A.23 B. 1 C. 12D . 2 4. 设m ，n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是 ( C )A ．m ⊥n ，m //α⇒n ⊥αB ．m ⊥n ，m ⊥α⇒n //αC ．m //n ，m ⊥α⇒n ⊥αD ．m //n ，m //α⇒n //α5. 设(,)P x y 为圆22(2)(1)1x y -+-=上任一点，(1,5)A -，则AP 的最小值是 ( B )A B ．4 C ．6 D ．36. 直线l 过点()1,3P ，且与x ,y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是 （ A ） A. 360x y +-= B .3100x y +-= C . 30x y -= D. 380x y -+=7. 直线l 过点P (1,2)，且M (2,3)、N (4,－5)到l 的距离相等，则直线l 的方程是 ( C )A. 4x +y －6=0B. x +4y －6=0C. 3x +2y －7=0或4x +y －6=0D.2x +3y －7=0或x +4y －6=08. 已知点(1,0),(1,0)P Q -，直线b x y +-=2与线段PQ 相交，则b 的取值范围是 ( A ) A. [-2,2] B. [-1,1] C. [-21,21] D. [0,2] 9.在平面直角坐标系xOy 中，设直线2+-=x y 与圆()0222>=+r r y x 交于A ，B 两点． 圆上存在一点C ，满足4345+=，则r 的值是 （ A ）A B .3 C . D 10.在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－5，a )作圆x 2＋y 2－2ax ＋2y －1＝0的两条切线，切点分别为11(,)M x y 、22(,)N x y ，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值是 （ B ） A .3 B .3或2- C . 3-或2 D .2二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知两点(4,9),(2,3)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的标准方程为 ． 22(3)+ (y-6)10x -=12.正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，则侧棱与底面所成角为 ．45° 13.若直线l 的倾斜角的变化范围为,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则直线斜率的取值范围是_______.33⎣ 14.若点()n m M ,为直线0243:=++y x l 上的动点，则m 2＋n 2的最小值为________．25415.一张坐标纸对折一次后，点()4,0A 与点()0,8B 重叠，若点()3,2C 与点(),D m n 重叠，则 m n +=_________．716.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()32:22=-++m y x C ，若圆C 上存在以G 为中点的 弦AB ，且AB=2GO ，则实数m 的取值范围为 ．[−√2,√2]三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）如图，已知三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥平面ABC ，AC ＝BC ，M ，N 分别是棱1CC ，AB 的中点．（1）求证：CN ⊥平面11A ABB ； （2）求证：CN ∥平面1AMB ；18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,，已知()1cos 32cos =+-C B A . （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积5,35==b S ，求C B sin sin 的值. 解：5(1);(2)37π19．（本小题满分14分）已知两直线 （1）求直线与的交点的坐标；（2）求过12,l l 交点P ，且在两坐标轴截距相等的直线方程；（3）若直线3:l 与、不能构成三角形，求实数的值. 解：（1）P (-2,1); (2)x +y +1=0或x +2y =0; (3)8-123，，12:240,:4350.l x y l x y -+=++=1l 2l P 260ax y +-=1l 2l a20.（本小题满分14分）如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东 45方向处，B 岛在O 岛的正东方向20km 处.（1）以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴正方向，1km 为单位长度，建立平面直角坐标系， 写出A 、B 的坐标，并求A 、B 两岛之间的距离；（2）已知在经过O 、A 、B 三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在O 岛的南偏西30︒方向 距O 岛40km 处，正沿着北偏东 45行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？解：（1）如图所示，A 在O的东北方向，B 在O 的正东方向20km ，∴(40,40)A 、(20,0)B，由两点间的距离公式得||AB =km ）；（2）设过、A 、B 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(0,0)O 、(40,40)A 、(20,0)B 代入上式得222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20D =-、60E =-、0F =，所以圆的方程为2220600x y x y +--=，圆心为(10,30)，半径r =设船起初所在的位置为点C ，则(20,C --，且该船航线所在直线的斜率为1，由点斜式得船航行方向为直线 :l 200x y -+-=，圆心到:l 200x y -+-的距离为d ==，所以该船有触礁的危险．21.（本小题满分14分）已知圆C ：()1322=-+y x 与直线m ：360x y ++=，动直线l 过定点(1,0)A -.（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，点M 是PQ 的中点，直线l 与直线m 相交于点N ．探索⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）直线l 的方程为1-=x 或4340x y -+=． （2）∵CM ⊥MN ，∴AM •()AN AC CM =+•AN AC =•AN +CM •AN AC =•AN 若直线l 与x 轴垂直时，不符合题意；所以l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y k x =+，则由36(1)13360513k x y k x k x y ky k --⎧=⎪=+⎧⎪+⇒⎨⎨++=-⎩⎪=⎪+⎩，即365(,)1313k k N k k ---++．∴55(,)1313k AN k k --=++，从而AM •AN AC =•51551313k AN k k--=+=-++．综上所述，AM •AN 5=-．22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系x O y 中，已知圆C 经过()2,0A 、()0,0O 、()()00,>t t D 三点，M 是直线AD 上的动点，12,l l 是过点B （1,0）且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于M C Q PP 、Q 两点．（1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程；（2）若t 是使AM ≤2BM 恒成立的最小正整数，求三角形EPQ 的面积的最小值． 解：（I ）由题意可知，圆C 的直径为A D ，所以，圆C 方程为：22(3)(1)10x y -+-=．1分设2l 方程为：(1)y k x =-，则222(21)3101k k -+=+，解得 10k =，243k =，……3分0k =时，直线1l 与y 轴无交点，不合，舍去．所以，43k =此时直线2l 的方程为4340x y --=． （II ）设(,)M x y ，由点M 在线段A D 上，得12x yt +=，即220x ty t +-=． 由AM ≤2ＢM ，得224220()()339x y -++≥．依题意知，线段A D 与圆224220()()339x y -++≥88||t -得t ≤t ≥．因为t 是使AM ≤2BM 恒成立的最小正整数，所以，t =4．所以，圆C 方程为：22(2)(1)5x y -+-=（1）当直线2l ：1x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQS=；（2）当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：()1-=x k y （0k ≠），则1l 的方程为：1(1)y x k =--，点1(0,)E k．所以，BE =又圆心Ｃ到2lPQ ==故12EPQS BE PQ =⋅==≥．13分2<所以，()EPQ min S。

2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.963.（单选题，3分）已知sinα= 1，则cos2α的值为（）8A. −3132B. 3132C. 6364D. −63644.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √555.（单选题，3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosB=sinC，则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.57.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12的值为（）8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosαA.-3B.3C. 13D.- 139.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 16√33D. 32√3912.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π513.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折，则二面角C-BM-A的大小为___ ．成二面角，折后A与C的距离为√6216.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．时，求b、c的值；（1）当a=2，m=54（2）若角A为锐角，求m的取值范围．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD || 面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45的值；（1）若c=2a，求sinBsinC，求sinA的值．（2）若C-B= π422.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△AB C不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面【正确答案】：C【解析】：在A中，不同线的三点确定一个平面；在B中，四边形有可能是空间四边形；在C中，梯形有一组对边平行，一定是平面图形；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面．【解答】：解：在A中，不同线的三点确定一个平面，故A错误；在B中，四边形有可能是空间四边形，故四边形不一定是平面图形，故B错误；在C中，∵梯形有一组对边平行，而平行线能确定一个平面，∴梯形一定是平面图形，故C正确；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面，故D错误．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、平面的基本性质及定理等基础知识，属于基础题．2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.96【正确答案】：B【解析】：由正方体的表面积为96，求出正方体的棱长为4，由此能求出正方体的体积．【解答】：解：设正方体的棱长为a，∵正方体的表面积为96，∴S=6a2=96，解得a=4，∴正方体的体积为V=43=64．故选：B．【点评】：本题考查正方体的体积的求法，考查正方体的结构特征等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．3.（单选题，3分）已知sinα= 18，则cos2α的值为（）A. −3132B. 3132C. 6364D. −6364【正确答案】：B【解析】：由sinα计算二倍角的余弦值即可．【解答】：解：由sinα= 18，则cos2α=1-2sin2α=1-2× (18) 2= 3132．故选：B．【点评】：本题考查了二倍角的余弦值的计算问题，是基础题．4.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √55【正确答案】：A【解析】：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，利用向量法能求出异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值．【解答】：解：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则C （0，2，0），D （0，0，0），D 1（0，0，2），E （1，2，0），CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-2，0）， D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2，-2），设异面直线CD 和D 1E 所成角为θ，则cosθ= |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ •D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√4•√9 = 23 ． ∴异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值为 23 ．故选：A ．【点评】：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.（单选题，3分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sinAcosB=sinC ，则△ABC 的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形【正确答案】：B【解析】：由已知等式可得sin（A-B）=0，结合角的范围可得A=B，则答案可求．【解答】：解：由2sinAcosB=sinC，得2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin（A-B）=0．∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π，则A-B=0，即A=B．∴△ABC的形状为等腰三角形．故选：B．【点评】：本题考查三角形形状的判断，考查两角和与差的正弦，是基础题．6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】：C【解析】：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，分析可得△O′A′B′的面积S′，由直观图的性质S′S = √24计算可得答案．【解答】：解：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，△O′A′B′中，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则其面积S′= 12×2×2×sin∠A′O′B′= 12×2×2× √22= √2，又由S′S = √24，则S= S′√24=4；故选：C．【点评】：本题考查平面图形的直观图，涉及由直观图还原原图，属于基础题．7.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12【正确答案】：C【解析】：直接利用正弦定理求出结果．【解答】：解：已知：B=60°，a=1，b=2，利用正弦定理：asinA =bsinB，解得：sinA= √34，故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理的应用及相关的运算问题．8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα的值为（）A.-3B.3C. 13D.- 13【正确答案】：A【解析】：由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】：解：∵tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα = tanα+1tanα−3=-3，故选：A．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．9.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α【正确答案】：D【解析】：在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由面面垂直的性质定理得n⊥α．【解答】：解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，得：在A中，若m || β，n⊥α，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m || α，n || β，α || β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则由面面垂直的性质定理得n⊥α，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）【正确答案】：A【解析】：根据锐角三角形的性质，先求出A的范围，结合正弦定理进行转化求解即可．【解答】：解：在锐角三角形中，0＜2A＜π2，即0＜A＜π4，且B+A=3A，则π2＜3A＜π，即π6＜A＜π3，综上π6＜A＜π4，则√22＜cosA＜√32，∵a=2，B=2A，∴由正弦定理得asinA =bsinB=b2sinAcosA，得b=4cosA，∵ √22＜cosA＜√32，∴2 √2＜4cosA＜2 √3，即2 √2＜b＜2 √3，则b的取值范围是（2 √2，2 √3），故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，结合锐角三角形的性质以及正弦定理进行转化是解决本题的关键．11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 163√3D. 329√3【正确答案】：D【解析】：由题意画出图形，可得PD=2PC，研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），可知当P到底面距离为4√33时三棱锥P-BCD的体积最大，则答案可求．【解答】：解：∵AD⊥底面D1DCC1，∴AD⊥DP，同理BC⊥平面D1DCC1，则BC⊥CP，∠APD=∠MPC，∴△PAD∽△PMC，∵AD=2MC，∴PD=2PC，下面研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设D（0，0），C（4，0），C1（4，4），设P（x，y），∵PD=2PC，∴ √x2+y2 = 2√(x−4)2+y2，化简得：3x2+3y2-32x+64=0（0≤x≤4）．该圆与CC1交点的纵坐标最大，交点坐标为（4，4√33），三棱锥P-BCD的底面BCD的面积为8，则三棱锥P-BCD的体积最大值是13×8×4√33=32√39．故选：D．【点评】：本题考查棱锥体积的求法，考查函数与方程思想的应用，考查计算能力，是中档题．12.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π5【正确答案】：B【解析】：由题意画出图形，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，由线面垂直的判定和性质可得M点的轨迹为平面DCP与球O的截面圆周，利用空间向量求解球心的平面的距离，然后求解圆的半径得答案．【解答】：解：如图：棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，BN，∵NC1=2NB1，∴CP⊥BN，又DC⊥平面BCC 1B 1，∴DC⊥BN ，则BN⊥平面DCP ，则M 点的轨迹为平面DCP 与球O 的截面圆周．建立如图所示的坐标系，则D （0，0，0），C （0，6，0），P （6，6，2），O （3，3，3）， 设平面DOP 的法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ），由 {n ⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {6y =06x +2z =0 ，令x=1．y=0，z=-3，所以 n ⃗ =（1，0，-3）， O 到平面DOP 的距离为： |DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||n ⃗ | = |3+0−9|√1+9 = 6√10， 所以截面圆的半径为： √32−(6√10)2 = 3√155 ． 所以动点M 运动路线的长度为： 2×3√155×π = 6√155π ． 故选：B ．【点评】：本题考查考查空间想象能力和思维能力，训练了点到平面的距离的求法，正确找出M 点的轨迹是关键，属于难题．13.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．【正确答案】：[1]3：1：2 【解析】：由已知中一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则我们易根据圆柱、圆锥及球的体积公式，求出圆柱、圆锥及球的体积，进而得到答案．【解答】：解：设球的半径为R ，则圆柱和圆锥的高均为2R ，则V 圆柱=2π•R 3，V圆锥= 2π•R3，3π•R3，V球= 43故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：2【点评】：本题考查的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式，其中根据已知，设出球的半径，进而求出圆柱、圆锥及球的体积中解答本题的关键．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．【正确答案】：[1] 7043【解析】：设t小时后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，进而根据时间和速度表示出AD和BE，求得BD=200-80t，题就就抓化为求DE最小时t的值．利用余弦定理建立方程，根据二次函数的性质求得函数取最小值时t的值．【解答】：解：如图所示：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t．因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD•BEcos60°=（200-80t）2+2500t2-（200-80t）•50t=12900t2-42000t+40000．时DE最小．当t= 7043故答案为：7043【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用．应熟练掌握如正弦定理，余弦定理及其变形公式．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，则二面角C-BM-A的大小为___ ．【正确答案】：[1]120°【解析】：推导出MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，从而∠CMA是二面角C-BM-A的大小，利用余弦定理能求出二面角C-BM-A的大小．【解答】：解：∵在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，∴AC= √12+12 = √2，∵M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，∴MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA是二面角C-BM-A的大小，∴cos∠CMA= AM2+CM2−AC22×AM×CM =12+12−322×√22×√22=- 12，∴∠CMA=120°，∴二面角C-BM-A的大小为120°．故答案为：120°．【点评】：本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．16.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：结合三角形关系和式子sinA=4sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，进而得到tanB+tanC=4tanBtanC，结合函数的单调性可求得最小值．【解答】：解：由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=4sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在① 式两侧同时除以cosBcosC，可得：tanB+tanC=4tanBtanC，又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=- tanB+tanC1−tanBtanC，② ，则tanAtanBtanC=- tanB+tanC1−tanBtanC•tanBtanC，由tanB+tanC=4tanBtanC，可得tanAtanBtanC=- 4(tanBtanC)21−tanBtanC，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由② 式得1-tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=- 4t21−t =- 41t2−1t，1t2- 1t=（1t- 12）2- 14，由t＞1得，- 14≤ 1t2- 1t＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为16．故答案为：16．【点评】：本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，考查了转化思想，有一定灵活性，属于中档题．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．（1）当a=2，m=54时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2-4bc=0．a=2，m=54时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】：解：（1）由题意得b+c=ma，a2-4bc=0．当a=2，m=54时，b+c=52，bc=1．解得 {b =2c =12或{b =12c =2． （2） cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c )2−2bc−a 22bc =m 2a 2−a 22−a 2a 22=2m 2−3∈(0，1) ． ∴ 32＜m 2＜2 ，又由b+c=ma 可得m ＞0，所以√62＜m ＜√2 ． 【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA=PC ，E 为PB 的中点．（1）求证：PD || 面AEC ；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB ．【正确答案】：【解析】：（1）设AC∩BD=O ，连接EO ，证明PD || EO ，利用直线与平面平行的判定定理证明PD || 面AEC ．（2）连接PO ，证明AC⊥PO ，AC⊥BD ，通过PO∩BD=O ，证明AC⊥面PBD ，然后证明面AEC⊥面PBD【解答】：解：（1）证明：设AC∩BD=O ，连接EO ，因为O ，E 分别是BD ，PB 的中点，所以PD || EO…（4分）而PD⊄面AEC ，EO⊂面AEC ，所以PD || 面AEC…（7分）（2）连接PO，因为PA=PC，所以AC⊥PO，又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（10分）而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，所以AC⊥面P BD…（13分）又AC⊂面AEC，所以面AEC⊥面PBD…（14分）【点评】：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，利用两角差的余弦公式求出cosβ的值；（2）由△AOB的面积值求出OB，再利用余弦定理求得AB的值．【解答】：解：（1）由题可得∠AOB=120°，∠BAO为锐角，且sin∠BAO=sinα= 35，所以cosα= 45，所以cosβ=cosB=cos（60°-α）=cos60°cosα+sin60°sinα= 12 × 45+ √32× 35= 4+3√310；（2）由OA=3，计算△AOB的面积为：S= 12OA×OB×sin∠AOB= 12×3OB×sin120°= 3√34OB= 15√34，解得OB=5；由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA•OBcos∠AOB=9+25-2×3×5×（- 12）=49，所以AB=7，即A、B间的距离为7km．【点评】：本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．【正确答案】：【解析】：（1）取AC的中点P，连接DP，证明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面与平面垂直的性质证明DE⊥平面BCD；（2）说明G为EC的中点，求出B到DC的距离h，说明到DC的距离h就是三棱锥B-DEG 的高，求出三角形DEG的面积，再由等体积法即可求得三棱锥G-BDE的体积．【解答】：（1）证明：取AC的中点P，连接DP，∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴∠A=30°，△ADC是等腰三角形，得DP⊥AC，DP= √3，∠DCP=30°，∠PDC=60°，又点E在线段AC上，CE=4，∴AE=2，EP=1，得∠EDP=30°，∴∠EDC=90°，即ED⊥DC；∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴DE⊥平面BCD；（2）解：EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴BD= √3，DC= √32+(√3)2=2√3，∴B到DC的距离h= BD×BCDC = √3×32√3=32，∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴B到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高．∵ S△DEG=12×2×√3=√3，∴ V G−BDE=V B−DEG=13S△DEG×ℎ = 13×√3×32=√32．即三棱锥G-BDE的体积为√32．【点评】：本题考查直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45．（1）若c=2a，求sinBsinC的值；（2）若C-B= π4，求sinA的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知及余弦定理可得a 2+c2−b22ac= 45，结合c=2a，可求bc= 3√510，进而利用正弦定理即可得解．（2）利用二倍角的余弦公式可求cos2B的值，进而可求sinB，sin2B的值，由于A= 3π4-2B，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】：（本小题满分14分）解：（1）在△ABC中，因为cosB= 45，所以a 2+c2−b22ac= 45．因为c=2a，所以(c2)2+c2−b22c×c2= 45，即b2c2= 920，所以bc = 3√510，由正弦定理得sinBsinC =bc，所以：sinBsinC =3√510．（2）因为cosB= 45，所以cos2B=2cos2B-1= 725．又0＜B＜π，所以sinB= √1−cos2B = 35，所以sin2B=2sinBcosB=2× 35×45= 2425．因为C-B= π4，即C=B+ π4，所以A=π-（B+C）= 3π4-2B，所以sinA=sin（3π4 -2B）=sin 3π4cos2B-cos 3π4sin2B= √22×725-（- √22）× 2425= 31√250．【点评】：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角的余弦公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．22.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理知ABsinC = bsinB= asinA=2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．【解答】：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°，由ABsinC = bsinB= asinA=2R=4⇒b=2 √2，sinA= 12∵A为锐角∴A=30°，又B=45°∴C=105°，∴AB=2Rsin105°=4sin75°= √6+√2；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1，cosC= a2+b2−c22ab＜0，∴a2+b2＜c2＜（2R）2，即a 2+b 2＜4R 2．（3）a ＞2R 或a=b=2R 时，△ABC 不存在， 当 {a =2R b ＜a 时，A=90°，△ABC 存在且只有一个，∴c= √a 2−b 2 ，当 {a ＜2R b =a时，∠A=∠B 且都是锐角即sinA=sinB= a2R 时，△ABC 存在且只有一个，∴c=2RsinC=2Rsin2A=2R×2sinAcosA= a R√4R 2−a 2 ， 当 {a ＜2Rb ＜a时，∠B 总是锐角，∠A 可以是钝角，可是锐角，∴△ABC 存在两个， ∠A ＜90°时，c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ， ∠A ＞90°时， c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ，【点评】：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a ，b 两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．。

江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）1 / 15江苏省南通中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知x 2∈{1，0，x }，则实数x 的值为（ ）A. 0B. 1C.D.2. 设A ={x |2＜x ＜3}，B ={x |x ＜m }，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是（ ）A. B. C. D.3. 函数f （x ）=+（x -1）0的定义域为（ ）A. 且B.C. 且D.4. 函数y =的值域是（ ）A. B.C. D. 0，5. 已知函数f （x ）=，若f （x ）=5，则x 的值是（ ） A.B. 2或C. 2或D. 2或 或6. 函数y =ln x 2的部分图象可能是（ ）A.B.C.D.7. 在函数（1）f （x ）=x 2-2x ；（2）f （x ）=（x +1）；（3）f （x ）=（x -1）2；（4）f （x ）=lg 中，偶函数的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1D. 08. 已知函数，则函数f （x ）的减区间是（ ） A. B. C. D.9. 已知f （x +1）的定义域为[-2，3），f （x -2）的定义域是（ ）A. B. C. D. 10. 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式＜0的解集为（ ）A. B.C. D.11.已知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2-2x）＜f（3x-4）的解集为（）A. B. C. D.12.已知f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x-1，函数g（x）=x2-2x+m，如果对于任意x1∈[-2，2]，存在x2∈[-2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.幂函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为______．14.集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则a+b=______．15.求值：=______．16.已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，，＞，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17.已知全集为U=R，，B={y|y=|x|+4}，求：（1）A∩B，A B；（2）A∩∁U B，∁U A ∁U B．18.已知函数f（x）（x∈R）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x-1，（1）求函数f（x）的表达式（2）求不等式f（x）＞-的解集19.已知奇函数f（x）=a+．（1）求a的值；（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；（3）解不等式f（2x-1）+f（2-3x）＞0．江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）3 / 1520. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R （x ）（万元）满足＞，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y =f （x ）的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？21. 已知函数f （x ）=x |x -2a |，a ∈R ．（1）若a =0，且f （x ）=-1，求x 的值；（2）当a ＞0时，若f （x ）在[2，+∞）上是增函数，求a 的取值范围； （3）若a =1，求函数f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值g （m ）．22. 已知函数f （x ）=log 4（a •2x）（a ≠0，a ∈R ），g （x ）=log 4（4x+1）．（1）设h （x ）=g （x ）-kx （k ∈R ），若h （x ）是偶函数，求实数k 的值；（2）设F （x ）=（log 2x ）-g （log 4x ），求函数F （x ）在区间[2，3]上的值域； （3）若不等式f （x ）＜g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x2∈{1，0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1，0，0}不成立．当x=1时，集合为{1，0，1}不成立．当x=-1时，集合为{1，0，-1}，满足条件．故x=-1．故选：C．根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用．本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．2.【答案】A【解析】解：∵A={x|2＜x＜3}，B={x|x＜m}，A⊆B，∴m≥3，∴实数m的取值范围是[3，+∞）．故选：A．由A={x|2＜x＜3}，B={x|x＜m}，A⊆B，能求出实数m的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：要使f（x）有意义，则：；∴x＞1，且x≠2；∴f（x）的定义域为{x|x＞1且x≠2}．江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）5 / 15故选：A ．可看出，要使得函数f （x ）有意义，则需满足，解出x 的范围即可．考查函数定义域的概念及求法． 4.【答案】D【解析】解：由题意：函数y=，∵x 2+1≥1，∴，即函数y=的值域为（0，1]．故选：D ．直接利用二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的值域问题．属于基础题． 5.【答案】A【解析】解：由题意，当x≤0时，f （x ）=x 2+1=5，得x=±2，又x≤0，所以x=-2； 当x ＞0时，f （x ）=-2x=5，得x=-，舍去． 故选：A ．分x≤0和x ＞0两段解方程即可．x≤0时，x 2+1=5；x ＞0时，-2x=5．本题考查分段函数求值问题，属基本题，难度不大． 6.【答案】B【解析】解：∵x 2≠0，∴x≠0，∴函数y=lnx 2的定义域为（-∞，0） （0，+∞）， 又f （-x ）=f （x ），∴函数y=lnx 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除C ，D ； 又当x ＞1时，y=lnx 2＞0，可排除A ．故选：B ．由x2≠0，可知x≠0，满足定义域关于原点对称，再利用函数的奇偶性排除C，D，最后利用函数在（1，+∞）上的单调性即可得到答案．本题考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性，考查排除法在解选择题中的作用，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析所给的4个函数：对于f（x）=x2-2x，其定义域为R，且f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=（x+1），有≥0，解可得-1＜x≤1，其定义域不关于原点对称，则f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=（x-1）2，为二次函数，其对称轴为x=1，则f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=lg，有x2-2＞0，其定义域为{x|x＜-或x＞}，且f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，4个函数中，偶函数的数目为1；故选：C．根据题意，依次分析所给的4个函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设t=x2-4x-5，由t＞0可得x＞5或x＜-1，则y=t在（0，+∞）递减，由t=x2-4x-5在（5，+∞）递增，可得函数f（x）的减区间为（5，+∞）．故选：C．设t=x2-4x-5，求得t＞0的x的范围，y=t在（0，+∞）递减，求得t的增区间，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）7 / 15运用复合函数的单调性，即可得到所求减区间．本题考查复合函数的单调性：同增异减，考查二次函数和对数函数的单调性，属于基础题． 9.【答案】D【解析】解：∵f （x+1）的定义域为[-2，3）； ∴-2≤x ＜3； ∴-1≤x+1＜4；∴f （x ）的定义域为[-1，4）； ∴-1≤x -2＜4； ∴1≤x ＜6；∴f （x-2）的定义域为[1，6）． 故选：D ．可根据f （x+1）的定义域求出f （x ）的定义域，进而得出f （x-2）的定义域． 考查函数定义域的概念及求法，已知f[g （x ）]定义域求f （x ）定义域，以及已知f （x ）求f[g （x ）]的定义域的方法． 10.【答案】D【解析】解：∵f （x ）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f （1）=0， ∴f （1）=-f （-1）=0，在（-∞，0）内也是增函数 ∴=＜0，即或根据在（-∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数 解得：x ∈（-1，0） （0，1） 故选：D ．根据函数为奇函数求出f （1）=0，再将不等式x f （x ）＜0分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．11.【答案】A【解析】解：∵f（x）==，在f（x）在（-∞，0）上单调递增，∵f（x2-2x）＜f （3x-4），∴或，解可得，或，即{x|1＜x＜2}，故选：A．由f（x）==，从而有f（x）在（-∞，0）上单调递增，结合单调性可求．本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x-1∈（0，3]，则当x∈[-2，2]时，f（x）∈[-3，3]，若对于∀x1∈[-2，2]，∃x2∈[-2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤-3，∵g（x）=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，x∈[-2，2]，∴g（x）max=g（-2）=8+m，g（x）min=g（1）=m-1，则满足8+m≥3且m-1≤-3，解得m≥-5且m≤-2，故-5≤m≤-2，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）故选：C．求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．13.【答案】2【解析】解：由函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1是幂函数，则m2-2m+1=1，解得m=0或m=2；当m=0时，f（x）=x-1，在（0，+∞）上为减函数，不合题意；当m=2时，f（x）=x3，在（0，+∞）上为增函数，满足题意．故答案为：2．由函数f（x）是幂函数，列方程求出m的值，再验证是否满足题意．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．14.【答案】3【解析】解：∵集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则2a=2，b=2，求得a=1，b=2，则a+b=3，故答案为：3．由题意可得则2a=2，b=2，求得a、b=2的值，可得a+b的值．本题主要考查两个集合的交集的定义和运算，属于基础题．15.【答案】【解析】解：==+2+2=．故答案为：．9 / 15先利用对数的运算法则进行计算，第一个式子的值直接利用幂的运算将真数化成3α的形式后进行计算，将中间两个对数式的和化成一个以10为底的对数的形式即可求得其值为2，再结合对数恒等式：进行计算最后一个式子的值．从而问题解决．本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、指数的运算性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．对数的运算性质：log a（MN）=log a M+log a N；log a=log a M-log a N；log a M n=nlog a M等．16.【答案】（，）【解析】解：当0≤x≤2时，y=-x2递减，当x＞2时，y=-（）x-递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上递减，在（-2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值-1．当0≤x≤2时，y=-x2∈[-1，0]．当x＞2时，y=-（）x-∈[-1，-）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（-1，-）．则有，即为，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）11 / 15 解得＜a ＜．即有实数a 的取值范围是（，）． 故答案为：（，）．求出f （x ）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x 的方程[f （x ）]2+af （x ）+=0，a ∈R ，有且仅有8个不同实数根，转化为t 2+at+=0的两根均在（-1，-），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．17.【答案】解：（1） ＜ …（2分） B =[4，+∞）…（4分）∴A ∩B =[4，5]…（6分）A B =（2，+∞）…（8分）（2）∵∁U B =（-∞，4），∴A ∩∁U B =（2，4）…（11分）又∁U A =（-∞，2] （5，+∞）∴∁U A ∁U B =（-∞，4） （5，+∞）…（14分）【解析】（1）根据集合A ，B 的意义，求出集合A ，B ，再跟据交、并集的运算求得结果即可．（2）先跟据补集的运算求得A 、B 的补集，再跟据交并集的运算求得结果． 本题考查了对数函数的定义域、绝对值函数的值域、交并补集的运算，是基础题．18.【答案】解：（1）根据题意，函数f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则f （0）=0， 当x ＜0时，-x ＞0，则f （-x ）=2×（-x ）-1=-2x -1，又由函数f （x ）为奇函数，则f （x ）=-f （-x ）=2x +1，则f （x ）= ， ＞， ， ＜，（2）根据题意，f （x ）= ， ＞， ， ＜，当x ＞0时，f （x ）=2x -1，此时f （x ）＞- 即2x -1＞- ，解可得x ＞ ，此时不等式的解集为{x|x＞}，当x=0时，f（0）=0，f（x）＞-成立；此时不等式的解集为{0}，当x＜0时，f（x）=2x+1，此时f（x）＞-即2x+1＞-，解可得x＞-，此时不等式的解集为{x|-＜x＜0}，综合可得：不等式f（x）＞-的解集{x|-＜x≤0或x＞}．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质分析可得f（0）=0，结合函数的奇偶性以及解析式可得当x＜0时f（x）的解析式，综合即可得答案；（2）根据题意，由函数的解析式分3种情况讨论，当x＞0时，f（x）=2x-1，此时f（x）＞-即2x-1＞-，当x=0时，f（0）=0，f（x）＞-成立；当x＜0时，f（x）=2x+1，此时f（x）＞-即2x+1＞-，分别求出3种情况下不等式的解集，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出函数的解析式．19.【答案】解：（1）∵奇函数f（x）=a+的定义域为R，∴f（0）=0，即f（0）=a+=a+=0，则a=-，则f（x）=-．（2）f（x）=-在（-∞，+∞）是为减函数…（6分）证明：任取x1，x2，设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=-=，…（8分），∵x1＜x2，∴ ＞，∴ -，＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）是减函数…（10分）（3）∵f（2x-1）+f（2-3x）＞0，∴f（2x-1）＞-f（2-3x）∵f（x）是奇函数，∴f（2x-1）＞-f（2-3x）=f（3x-2），即2x-1＜3x-2，得x＞1，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）13 / 15即不等式的解集为（1，+∞）…（15分）【解析】（1）根据函数是奇函数，利用f （0）=0，进行求解即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．（3）利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性的性质以及函数单调性的定义是解决本题的关键．20.【答案】解：（1）由题意得G （x ）=2.8+x ．…（2分）∵＞， ∴f （x ）=R （x ）-G （x ）= ＞．…（7分） （2）当x ＞5时，∵函数f （x ）递减，∴f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x ≤5时，函数f （x ）=-0.4（x -4）2+3.6，当x =4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【解析】（1）由题意得G （x ）=2.8+x ．由，f （x ）=R （x ）-G（x ），能写出利润函数y=f （x ）的解析式．（2）当x ＞5时，由函数f （x ）递减，知f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f （x ）=-0.4（x-4）2+3.6，当x=4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.【答案】解：（1）由a =0知f（x ）=x |x |， 又f （x ）=-1即x|x|=-1，∴x=-1．（2）f（x）==，∵f（x）在[2，+∞）上是增函数∴2a≤2，即a≤1，∴0＜a≤1．（3）f（x）=，f（x）图象如图当0＜m≤1时，g（m）=f（m）=m（2-m）；当m＞+1时，g（m）=f（m）=m（m-2）；综上g（m）=，＜，＜，＞．【解析】（1）a=0⇒f（x）=x|x|，再由f（x）=-1即可求得x的值；（2）由f（x）=在[2，+∞）上是增函数，利用二次函数的单调性可求得a的取值范围；（3）作出f（x）=的图象，对m分0＜m≤1与1＜m≤+1及m＞+1三种情况讨论即可求得答案．本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数最值的应用，考查分类讨论思想与数形结合思想、方程思想的综合运用，属于难题．22.【答案】解：（1）因为h（x）=log4（4x+1）-kx是偶函数，所以log4（4-x+1）+kx=log4（4x+1）-kx，则2kx=log4=log44x=x恒成立，所以k=；（2）F（x）=f（log2x）-g（log4x）=log4（ax-a）-log4（x+1）=log4=log4[a（1-]，因为x∈[2，3]，所以x-＞0，所以a＞0，则1-∈[，]，a＞0，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）15 / 15 则a （1- ）∈[ a ， a ]，所以F （x ）∈[log 4 a ，log 4 a ]；即函数F （x ）的值域为[log 4 a ，log 4 a ]；（3）由f （x ）＜g （x ），得log 4（a •2x ）＜log 4（4x +1），设t =2x ，则t 2-at +1+ a ＞0，设m （t ）=t 2-at +1+ a ，若a ＞0则t ＞ ，由不等式t 2-at +1+ a ＞0对t ＞ 恒成立， ①当 ≤ ，即0＜a ≤ 时，此时m （ ）=＞0恒成立； ②当 ＞ ，即a ＞ 时，由△=a 2-4- a ＜0解得＜a ＜6； 所以0＜a ＜6；若a ＜0则0＜t ＜ ，则由不等式t 2-at +1+ a ＞0对0＜t ＜ 恒成立， 因为a ＜0，所以 ＜0，只需m （0）=1+ a ≥0，解得- ≤a ＜0；故实数a 的取值范围是[- ，0） （0，6）．【解析】（1）运用偶函数的定义，化简整理可得k 的值；（2）求得F （x ）的解析式，运用对数函数的单调性即可得到所求值域；（3）由f （x ）＜g （x ），得log 4（a•2x ）＜log 4（4x +1），设t=2x ，则t 2-at+1+a ＞0，设m （t ）=t 2-at+1+a ，讨论a ＞0，a ＜0，结合对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围． 本题考查函数的奇偶性的定义，考查函数的值域求法，注意运用对数函数的单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用换元法和分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

2018-2019学年江苏省南通中学高一（上）段考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（3分）设全集为R，函数f（x）＝的定义域为M，则∁R M为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）3．（3分）函数y＝sin2x的图象的一条对称轴的方程是（）A．x＝﹣B．x＝﹣C．x＝D．x＝4．（3分）已知α是第二象限角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角5．（3分）已知sinθ＜0，tanθ＞0，则化简的结果为（）A．cosθB．﹣cosθC．±cosθD．以上都不对6．（3分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且当2＜x≤6时，f（x）＝3﹣x，则f（1）的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．17．（3分）函数的最小正周期为（）A．1B．C．2πD．π8．（3分）下列各值中，比tan大的是（）A．tan（﹣）B．tan C．tan35°D．tan（﹣142°）9．（3分）函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．10．（3分）如图所示，函数的解析式为（）A．B．C．D．11．（3分）在边长为1的正三角形ABC中，|﹣|的值为（）A．1B．2C．D．12．（3分）已知偶函数f（x），且f（x+1）＝f（﹣x+1），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则y ＝f（x）﹣lgx的零点个数是（）A．8B．9C．16D．18二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）13．（3分）把函数先向右平移个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为．14．（3分）已知cosα＝3sinα，则1+3sinα•cosα﹣2cos2α＝．15．（3分）已知，则＝．16．（3分）已知函数f（x）＝的最大值是M，最小值为N，则M+N＝．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．18．（6分）如图，设，，又，试用，表示．19．（8分）如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在地面上2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心高度相同）时开始计时．（1）求此人相对于地面的高度h（m）关于时间t（s）的关系式；（2）在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不超过17m．20．（10分）设a＞0，0≤x＜2π，若函数y＝cos2x﹣a sin x+b的最大值为0，最小值为﹣4，试求a与b的值，并求使y取得最大值和最小值时的x值．21．（10分）已知：关于x的方程2x2﹣（+1）x+m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：（1）+的值；（2）m的值；（3）方程的两根及此时θ的值．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）．（1）当c＝b时，解关于x的不等式f（x）＞1；（2）若f（x）的值域为[1，+∞），关于x的不等式f（x）＜a的解集为（m，m+4），求实数a的值；（3）设g（x）＝，函数f（g（x））的最大值为1，且当时，恒成立，求b2+c2的取值范围．2018-2019学年江苏省南通中学高一（上）段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（3分）设全集为R，函数f（x）＝的定义域为M，则∁R M为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合M，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣x≥0，得x≤1，即M＝（﹣∞，1]，又全集为R，所以∁R M＝（1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．3．（3分）函数y＝sin2x的图象的一条对称轴的方程是（）A．x＝﹣B．x＝﹣C．x＝D．x＝【分析】根据正弦函数的对称性即可得到结论．【解答】解：由2x＝+kπ，得x＝，k∈Z，当k＝0时，x＝﹣，故x＝﹣是函数的一条对称轴，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的对称性，由正弦函数的图象和性质是解决本题的关键．4．（3分）已知α是第二象限角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【分析】写出终边相同的角的集合，然后求出所在象限即可．【解答】解：∵α是第二象限角，∴+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z，∴+kπ＜＜+kπ，k∈Z，当k为偶数时，是第一象限角，k为奇数时，是第三象限角，∴是第一或第三象限角．故选：D．【点评】本题考查象限角、轴线角，注意k为奇数、偶数的情况，由此可以确定α在其它象限的情况，是基础题．5．（3分）已知sinθ＜0，tanθ＞0，则化简的结果为（）A．cosθB．﹣cosθC．±cosθD．以上都不对【分析】利用题设条件可推断出θ为第三象限角，进而利用同角三角函数的基本关系求得答案．【解答】解：∵sinθ＜0，tanθ＞0∴θ为第三象限角∴＝|cosθ|＝﹣cosθ故选：B．【点评】本题主要考查了三角函数值的符合和象限角的问题．考查了基础知识的灵活运用．6．（3分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且当2＜x≤6时，f（x）＝3﹣x，则f（1）的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1【分析】推导出f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），从而f（1）＝f（5），由此能求出结果．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且当2＜x≤6时，f（x）＝3﹣x，∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴f（1）＝f（5）＝3﹣5＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（3分）函数的最小正周期为（）A．1B．C．2πD．π【分析】f（x）解析式分子分母同时除以cos x，利用同角三角函数间的基本关系变形得到一个关系式，再利用特殊角的三角函数值变形后，利用两角和与差的正切函数公式变形得到最简结果，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期．【解答】解：f（x）＝＝＝tan（x+），∵ω＝1，∴T＝＝π，则函数f（x）的最小正周期为π．故选：D．【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．8．（3分）下列各值中，比tan大的是（）A．tan（﹣）B．tan C．tan35°D．tan（﹣142°）【分析】使用正切函数周期性和单调性比较大小．【解答】解：tan＝tan36°．对于A，tan（﹣）＝﹣tan＜0，而tan＞0，故tan（﹣）＜tan．对于B，tan＝tan，∵0＜，∴tan tan．对于C，∵0°＜35°＜36°＜90°，∴tan35°＜tan36°．对于D，tan（﹣142°）＝tan38°，∵0°＜36°＜38°＜90°，∴tan38°＞tan36°，故选：D．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质，属于基础题．9．（3分）函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【分析】由关于x轴的对称性可知，函数的增区间为函数的减区间，根据余弦函数的单调递减区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到所求函数的递增区间．【解答】解：由题意可知，的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]（k∈Z），即2kπ≤﹣≤2kπ+π，解得：4kπ+π≤x≤4kπ+π，则函数的单调递增区间是．故选：D．【点评】此题考查了余弦函数的单调性，以及关于x轴对称的两函数之间的关系．理解函数的增区间为函数的减区间是解本题的突破点．10．（3分）如图所示，函数的解析式为（）A．B．C．D．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由函数图象可求周期，利用周期公式求出ω，即可判断得解．【解答】解：根据函数图象，开设函数解析式为：y＝A sin（ωx+φ），由图象可得：A＝1，可得：•＝﹣（﹣），解得：ω＝4，结合选项可得A，B，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω是解题的关键，属于基础题．11．（3分）在边长为1的正三角形ABC中，|﹣|的值为（）A．1B．2C．D．【分析】直接由，然后展开利用平面向量的数量积求得答案．【解答】解：如图，|﹣|＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查了向量模的求法，考查了平面向量的数量积运算，是基础题．12．（3分）已知偶函数f（x），且f（x+1）＝f（﹣x+1），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则y ＝f（x）﹣lgx的零点个数是（）A．8B．9C．16D．18【分析】由f（x+1）＝f（﹣x+1），再由偶函数的定义得f（x+2）＝f（x），即函数y＝f （x）的周期为2，作出函数y＝f（x）和y＝lgx的图象，利用数形结合法进行求解．【解答】解：由f（x+1）＝f（﹣x+1），可得f（x+2）＝f（﹣x），又f（x）为偶函数，即有f（﹣x）＝f（x），则f（x+2）＝f（x），函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，则f（﹣x）＝x2，由函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）＝x2＝f（x）即f（x）＝x2，x∈[﹣1，0]，作出f（x）的图象如图，由y＝f（x）﹣lgx＝0，则f（x）＝lgx，函数y＝f（x）的周期为2，当x＞10时，y＝lgx＞1，此时函数y＝lgx与y＝f（x）无交点，由图象可知两个图象的交点个数为9个，即函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为9个，故选：B．【点评】本题主要考查周期函数与对数函数的图象，考查数形结合思想和转化思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）13．（3分）把函数先向右平移个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为．【分析】直接利用平移变换的应用求出结果．【解答】解：函数先向右平移个单位得到y＝sin（）＝sin（x﹣），再向下平移2个单位得到y＝sin（x﹣）﹣2．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．14．（3分）已知cosα＝3sinα，则1+3sinα•cosα﹣2cos2α＝．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα，进而利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】解：∵cosα＝3sinα，∴tanα＝，∴1+3sinα•cosα﹣2cos2α＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．（3分）已知，则＝．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解．【解答】解：因为，则＝sin[π﹣（﹣x）]+sin2[﹣（﹣x）]＝sin（x+）+cos2（x+）＝sin（x+）+1﹣sin2（x+）＝+1﹣（）2＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．16．（3分）已知函数f（x）＝的最大值是M，最小值为N，则M+N＝2．【分析】化简函数可得f（x）＝+1，可判g（x）＝为奇函数，由奇函数的性质可得结论．【解答】解：∵f（x）＝＝+＝+1，令g（x）＝，可得g（﹣x）＝＝＝﹣g（x），∴函数g（x）为奇函数，∴g（x）的最大值与最小值之和为0，∴f（x）的最大值与最小值之和为2，即M+N＝2，故答案为：2【点评】本题考查函数的奇偶性与最值，突出考查转化思想、创新思维与综合运算能力，属中档题．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．【分析】先根据角α终边上一点P确定tanα的值，进而利用诱导公式对原式进行化简整理后，把tanα的值代入即可．【解答】解：∵角α终边上一点P（﹣4，3），∴∴＝＝tanα＝【点评】本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．要特别留意在三角函数转换过程中三角函数的正负号的判定．18．（6分）如图，设，，又，试用，表示．【分析】利用三角形法则即可求解．【解答】解：∵，由已知可得：，所以，故．【点评】本题考查了平面向量基本定理，考查了学生的运算能力，属于基础题．19．（8分）如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在地面上2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心高度相同）时开始计时．（1）求此人相对于地面的高度h（m）关于时间t（s）的关系式；（2）在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不超过17m．【分析】（1）根据题意，求出t时摩天轮上某人所转过的角度，计算此人相对于地面的高度h；（2）根据高度h（m）的解析式，求出此人相对于地面的高度不超过17m的时间【解答】解：（1）根据题意，在t时，摩天轮上某人所转过的角为t＝t，故在t时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t+12（t≥0）．（2）由10sin t+12≤17，得sin t≤，则0≤t≤25，125≤t≤300．故此人有200s相对于地面的高度不超过17m．【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．20．（10分）设a＞0，0≤x＜2π，若函数y＝cos2x﹣a sin x+b的最大值为0，最小值为﹣4，试求a与b的值，并求使y取得最大值和最小值时的x值．【分析】通过同角三角函数的平方关系进行化简，然后进行配方法，对a分类0＜a≤2，a＞2讨论，结合函数的最值，求出a，b的值，从而得到解析式，最后求出相应最值时的x的值即可．【解答】解：f（x）＝y＝cos2x﹣a sin x+b＝﹣sin2x﹣a sin x+b+1＝﹣+因为a＞0所以﹣＜0，（ⅰ）当，即0＜a≤2时y max＝＝＝0①y min＝f（1）＝b ﹣a＝﹣4②由①②解得或（舍去）（ⅱ）当﹣，即a＞2时y max＝f（﹣1）＝a+b＝0③y min＝f（1）＝b﹣a＝﹣4④由③④解得（舍去）综上，∴f（x）＝cos2x﹣2sin x﹣2＝﹣（sin x+1）2当时，y取得最小值；当时，y取得最大值【点评】本题主要考查了三角函数的最值，以及同角三角函数的关系和配方法，同时考查了分类讨论的数学思想．21．（10分）已知：关于x的方程2x2﹣（+1）x+m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：（1）+的值；（2）m的值；（3）方程的两根及此时θ的值．【分析】（1）由题意得，再根据三角函数的恒等变换化简+为sinθ+cosθ，从而求得结果．（2）由sinθ+cosθ＝、sinθcosθ＝以及同角三角函数的基本关系可得1+m＝，由此解得m的值．（3）由以上可得，sinθ+cosθ＝、sinθcosθ＝，解得sinθ和cosθ的值，从而求得故此时方程的两个根及θ的值．【解答】解：（1）由于关于x的方程2x2﹣（+1）x+m＝0的两根为sinθ和cosθ，故有，∴+＝+＝＝sinθ+cosθ＝．（2）由sinθ+cosθ＝、sinθcosθ＝，∴sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ＝，即1+m＝，解得m＝．（3）由以上可得，sinθ+cosθ＝、sinθcosθ＝，解得sinθ＝，cosθ＝；或者sinθ＝，cosθ＝．故此时方程的两个根分别为、，对应θ的值为或．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，同角三角函数的基本关系的应用，三角函数的恒等变换，根据三角函数的值求角，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）．（1）当c＝b时，解关于x的不等式f（x）＞1；（2）若f（x）的值域为[1，+∞），关于x的不等式f（x）＜a的解集为（m，m+4），求实数a的值；（3）设g（x）＝，函数f（g（x））的最大值为1，且当时，恒成立，求b2+c2的取值范围．【分析】（1）首先将所给的不等式写成两根式的形式，然后分类讨论确定不等式的解集即可，（2）由三个二次的关系得到方程的两个根之差为4，据此可得实数a的值，（3）由题意将c表示为含有b的等式，然后求得实数b的取值范围，最后结合二次函数的性质可得求b2+c2的取值范围．【解答】解：（1）当c＝b时，由f（x）＞1得x2+bx+b﹣1＞0，即（x+b﹣1）（x+1）＞0，当1﹣b＞﹣1，即b＜2时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1﹣b，+∞），当b＝2时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），当b＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，1﹣b）∪（﹣1，+∞）．（2）由f（x）的值域为[1，+∞），得，因为关于x的不等式f（x）＜a的解集为（m，m+4），所以m，m+4是方程f（x）＝a的两个实根，即x2+bx+c﹣a＝0的两根之差为4，所以，则，得a＝5．（3），则，则x∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f（x）≥0恒成立，又，因为f（g（x））的最大值为1，所以f（x）在xe[﹣3，﹣2）上的最大值为1，由f（x）图象开口向上，得，即，则c＝3b﹣8，且b≤5，此时由x∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f（x）≥0恒成立，得x2+bx+3b﹣8≥0恒成立，且f（﹣2）≥0，得b≥4，要满足x∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f（x）≥0恒成立，则Δ≤0，b2﹣4（3b﹣8）≤0，解得4≤b≤8，综上，4≤b≤5，此时b2+c2＝b2+（3b﹣8）2＝10b2﹣48b+64∈[32，74]．【点评】本题主要考查二次不等式的解法，韦达定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．。

江苏省南通市2019版高一下学期期中数学试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·栖霞模拟) 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·惠城期中) 如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，…，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为（）A . 2B . 3C . 4D . 53. （2分） (2018高一下·开州期末) 袋中装有红球个、白球个、黑球个，从中随机摸出个球，则与事件“至少有个白球”互斥但不对立的事件是（）A . 没有白球B . 个白球C . 红、黑球各个D . 至少有个红球4. （2分）(2017·山西模拟) 一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为（）A . 40B . 60C . 80D . 1005. （2分） (2019高二下·九江期末) 2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.一名同学随机选择3门功课，则该同学选到物理、地理两门功课的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·江西模拟) 下边的流程图最后输出的值是（）A . 6B . 5C . 4D . 37. （2分）在程序框图中，任意输入一次与，则能输出数对(x,y)的概率为（）A .B .C .D .8. （2分）要计算1+++的结果，下面的程序框图中的横线上可以填（）A . n＜2016？B . n≤2016？C . n＞2016？D . n≥2016？9. （2分）下图是两组各名同学体重（单位：）数据的茎叶图．设两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么（）（注：标准差，其中为的平均数）A .B .C .D .10. （2分）如图在区域Ω={（x，y）|﹣2≤x≤2，0≤y≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数为（）A . 300B . 400C . 500D . 60011. （2分）已知样本数据3，2，1，a的平均数为2，则样本的标准差是（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·益阳模拟) 现有张牌面分别是，，，，，的扑克牌，从中取出张，记下牌面上的数字后放回，再取一张记下牌面上的数字，则两次所记数字之和能整除的概率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·孝感期中) 306，522，738的最大公约数为________．（k为正整数）化为十进制数为35，则k=________．14. （1分） (2017高二下·黄陵开学考) 若三进制数10k2（3）15. （1分）如图所示，矩形长为3，宽为2，在矩形内随机撒200颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为160颗，依据此实验数据可以估计出椭圆的面积约为________ ．16. （1分） (2020高二上·青铜峡期末) 在区间上随机地取一个数 ,则的概率为________.三、解答题： (共6题；共40分)17. （5分）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，估计学生跳绳次数的众数和中位数、平均数各是多少？18. （5分）用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1当x=2时的值.19. （5分）阅读程序语句，写出运行结果，并将其中的循环语句改用loop﹣until语句来表示．20. （5分）(2017·广安模拟) 张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：年龄（岁）78910111213身高（cm）121128135141148154160（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：= ，．21. （15分）(2018·栖霞模拟) 某协会对，两家服务机构进行满意度调查，在，两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了人，每人分别对这两家服务机构进行独立评分，满分均为分.整理评分数据，将分数以为组距分成组：，，，，，，得到服务机构分数的频数分布表，服务机构分数的频率分布直方图：定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：分数满意度指数012（1）在抽样的人中，求对服务机构评价“满意度指数”为的人数；（2）从在，两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取人进行调查，试估计对服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从，服务机构中选择一家服务机构，以满意度出发，你会选择哪一家？说明理由.22. （5分） x的取值范围为[0，10]，给出如图所示程序框图，输入一个数x．（1）请写出程序框图所表示的函数表达式；（2）求输出的y（y＜5）的概率；（3）求输出的y（6＜y≤8）的概率．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共40分)17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、。

江苏省南通市启东中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．直线x sin α + y + 2 = 0的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0,)πB ．3[0,][,)44πππ C ．[0,]4π D ．[0,](,)42πππ 2．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b、c ，若a =3，b A =3π，则B =（ ）A ．6πB ．23πC ．56πD ．6π或56π3．平面α∥平面β，直线a ⊂α，b ⊂β，那么直线a 与直线b 的位置关系一定是（ ）A ．平行B ．异面C ．垂直D ．不相交4．经过点P (-1,2)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条5．在△ABC 中，若AB =7，BC =8，CA =7，则AB BC ⋅=（ ）A ．19B ．-19C ．38D ．-386．已知圆M 与直线3x - 4y = 0及3x - 4y + 10 = 0都相切，圆心在直线y = - x - 4上，则圆M 的方程为（ ）A ．(x +3)2+(y -1)2=1B ．(x -3)2+(y +1)2=1C ．(x +3)2+(y +1)2=1D ．(x -3)2+(y -1)2=17．在△ABC 中，若b =8，c =5，且10ABC S=，则A =（ ） A ．30° B ．90° C ．150° D ．30°或150°8．下列四个命题中正确的是（ ）① 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行；② 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；③ 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；④ 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行．A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②③④9．已知△ABC 中，A ＝45°，a ＝1，若△ABC 仅有一解，则b ∈（ ）A ．B ．)+∞C ．(2,)+∞D ．{}[2,)2+∞ 10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C 2：(x －17)2＋(y －30)2＝ r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A ，B ，满足P A ＝AB ，则半径r 的取值范围是（ ）A ．(15，45)B ．[15，45]C ．(5，55)D ．[5，55]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11．三条直线两两平行，则过其中任意两条直线最多共可确定 个平面．12．若直线x +ay =2a +2与直线ax +y =a +1平行，则实数a 的值为 ．13．如果用半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高等于 ． 14．在△ABC 中，cC b B a A cos cos sin ==，则△ABC 是 三角形. 15．设集合{}22(,)|4M x y x y =+≤，{}222(,)|(3)(4)(0)N x y x y r r =-+-≤>，当M N φ≠时，则实数r 的取值范围是 ． 16．若不等式k sin 2B +sin A sin C >17sin B sin C 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点．求证：（1）1BD ∥平面EAC ；（2）平面EAC ⊥平面1AB C ．18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B.（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2＋b2的取值范围．19．(本小题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？20．(本小题满分12分)在直角坐标系中，已知射线:0(0)OA x y x -=≥，:0(0)OB x x +=≥，过点(1,0)P 作直线分别交射线OA OB 、于点A B 、.（1）当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程；（2）当AB 的中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程.21．(本小题满分12分)已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB =2，BC =6，AD =CD =4，求四边形ABCD 的面积.22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过A (0,2)，O (0,0)，D (t,0)，(t >0)三点，M 是线段AD 上的动点，l 1，l 2是过点B (1,0)且互相垂直的两条直线，其中l 1交y 轴于点E ，l 2交圆C 于P 、 Q 两点．（1）若t ＝PQ ＝6，求直线l 2的方程；（2）若t 是使AM ≤2BM 恒成立的最小正整数，求三角形EPQ 的面积的最小值．【参考答案】一、选择题BADDB ，CDBCB二、填空题11．3； 12．1； 13．2r ； 14．等腰直角； 15． r ≥3； 16．81 三、解答题17．(本小题满分10分)证明：（1）连结BD ，BD 与AC 交于点O ，连结OE ，∵O ，E 分别是BD 和DD 1的中点，∴EO ∥BD 1， ………………2分又BD 1⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ，∴1BD ∥平面EAC ． ………………4分（2）∵ 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，∴DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1⊥AC ．∵AC ⊥BD ．又1DD BD D =I ，∴AC ⊥平面DD 1B ，∴BD 1⊥AC …………6分∵EO ∥BD 1，∴EO ⊥AC ，同理可证EO ⊥AB 1．又1AC AB A =I ，∴EO ⊥平面1.AB C …………8分∵ OE ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面1AB C ． …………10分18．(本小题满分12分)解：（1）因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B，即sin C cos C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B ， ………………2分 所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ，即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ，得sin(C －A )＝sin(B －C )． ………………4分 所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C ) (不成立)．即2C ＝A ＋B, 得C ＝π3.………6分 （2）由C ＝π3，设A ＝π3＋α，B ＝π3－α，0<A ，B <2π3，知－π3<α<π3. 因a ＝2R sin A ＝sin A ，b ＝2R sin B ＝sin B ，故a 2＋b 2＝sin 2A ＋sin 2B ＝1－cos2A 2＋1－cos2B 2………………8分 ＝1－12[cos(2π3＋2α)＋cos(2π3－2α)]＝1＋12cos2α. ………………10分 由－π3<α<π3，知－2π3<2α<2π3，－12<cos2α<1，故34<a 2＋b 2≤32. ………………12分 19．(本小题满分12分)解：如图所示，连接A 1B 2，由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2. ………………2分 又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2. ………………4分由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，………………6分在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2. …………8分因此乙船的速度为10220×60＝302(海里/小时)． ………………10分 20．(本小题满分12分)解：（1）设(,)A a a ，则(2,)B a a --， (2)分 )3()0a a -+-=，解得1a=，故1)A ，………………4分 则直线AB=，即21)20x y +-=； ………………6分（2）设(,)Aa a ，,)Bb -,则13,2201a b a b a a ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，………………8分解得0,0a b =⎧⎨=⎩（舍）或 3.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩………………10分 故所求直线AB=，即3(330x y --=， 1)0y -= ………………12分21．(本小题满分12分)解：在△ABC 中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅∠，所以24024cos AC B =-， ………………2分同理在△ADC 中，可得23232cos AC D =-, (4)分因为180B D +=，所以23232cos AC B =+，所以1cos 7B =， ………………6分 sin sin B D ==………………8分 所以设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22S AB BC B AD DC D =⋅⋅+⋅= ………………12分22．(本小题满分12分)解：（1）由题意可知，圆C 的直径为AD ，所以圆C 方程为：(x －3)2＋(y －1)2＝10.设l 2方程为：y ＝k (x －1)，则k －21＋k 2＋32＝10，解得k 1＝0，k 2＝43，……………2分 当k ＝0时，直线l 1与y 轴无交点，不合，舍去．所以k ＝43，此时直线l 2的方程为4x －3y －4＝0. ………………4分 （2）设M (x ，y )，由点M 在线段AD 上，得x t ＋y 2＝1，即2x ＋ty －2t ＝0. 由AM ≤2BM ，得⎝⎛⎭⎫x －432＋⎝⎛⎭⎫y ＋232≥209. ………………6分 依题意知，线段AD 与圆⎝⎛⎭⎫x －432＋⎝⎛⎭⎫y ＋232≥209至多有一个公共点， 故⎪⎪⎪⎪83－83t 4＋t 2≥253，解得t ≥16－10311或t ≥16＋10311. 因为t 是使AM ≤2BM 恒成立的最小正整数，所以t ＝4. ………………8分 所以圆C 方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝5(i)当直线l 2：x ＝1时，直线l 1的方程为y ＝0，此时，S △EPQ ＝2;(ii)当直线l 2的斜率存在时，设l 2的方程为：y ＝k (x －1)(k ≠0)，则l 1的方程为：y ＝－1k(x －1)，点E ⎝⎛⎭⎫0，1k ， 所以BE ＝1＋1k 2. 又圆心C 到l 2的距离为|k ＋1|1＋k 2， 所以PQ ＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫|k ＋1|1＋k 22＝24k 2－2k ＋41＋k 2. 故S △EPQ ＝12BE ·PQ ＝121＋1k 2·24k 2－2k ＋41＋k 2 ＝4k 2－2k ＋4k 2＝ 4k 2－2k ＋4≥152. 因为152<2，所以(S △EPQ )min ＝152. ………………12分。

江苏省南通中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合元素和集合的关系确定的值，注意元素的互异性的应用．【详解】解：，，，，由得，由，得，由得或．综上，或．当时，集合为不成立．当时，集合为不成立．当时，集合为，满足条件．故．故选：C．【点睛】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．2.设，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由得到关于m的不等式，能求出实数的取值范围．【详解】解：，，，，实数的取值范围是．故选：A．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.函数的定义域为（）A.且 B.C.且 D.【答案】A【解析】由题意，要使有意义，需满足，即．因此的定义域为．故选A．4.函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数的性质和不等式的性质求解．【详解】解：由题意：函数，，，即函数的值域为．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的值域问题．考查了不等式的性质，属于基础题．5.已知函数，若，则值是（）A. B. 或 C. 或 D. 或或【答案】A【解析】【分析】利用分段函数的性质求解．【详解】∵函数y，函数值为5，∴当x≤0时，x2+1＝5，解得x＝﹣2，或x＝2（舍），当x＞0时，﹣2x＝5，解得x，（舍）．故选：C．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的合理运用．6.函数的部分图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，∴，∴函数的定义域为，又，∴函数为偶函数，且图象关于轴对称，可排除、．又∵当时，，可排除．综上，故选．点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．7.在函数（1）；（2）；（3）；（4）中，偶函数的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析所给的个函数的奇偶性，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析所给的个函数：对于，其定义域为，且且，是非奇非偶函数；对于，有，解可得，其定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数；对于，为二次函数，其对称轴为，则是非奇非偶函数；对于，有，其定义域为或}，且，则函数为偶函数，个函数中，偶函数的数目为；故选：C．【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．8.已知函数，则函数的减区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对数的真数大于0，先求得定义域；再根据复合函数单调性判断“同增异减”的原则即可判断出单调递减区间。