一道课本习题的解法探究与延伸

对一道课本例题的多解探究及教学反思在教学过程中，常常会遇到一些例题，这些例题既能帮助学生巩固知识，又能训练他们的思维能力。

然而，经过一段时间的教学实践，我发现学生在解答例题时，通常只能掌握一种解题方法，缺乏灵活运用的能力。

为了提高学生的多解思维能力和解题技巧，我进行了一次关于一道课本例题的多解探究，并进行了相应的教学反思。

这道例题是关于求解二次方程根的问题：已知二次方程 x² - 5x + k = 0 有两个不相等的实根 m 和 n，且 m、n的和为 10，求 k 的值。

这道题目是一个典型的二次方程求解问题，解题思路及方法多种多样。

在进行多解探究时，我引导学生按照不同的思路和方法进行解答，并比较其优劣和适用性。

解法一：使用求和、求积关系根据题意可得：m + n = 10，mn = k。

由二次方程的求根公式可知：m + n = 5，mn = k。

通过联立这两组方程，可以求解出 m 和 n 的值，进而得到 k 的值。

解法二：使用平方差公式根据题意可得：m + n = 10，mn = k。

在代入二次方程的求根公式时，可以利用平方差公式将二次项进行拆分，进而求解出 m 和 n 的值，从而得到 k 的值。

解法三：使用因式分解思路根据题意可得：m + n = 10，mn = k。

我们可以将二次方程进行因式分解，将 x² - 5x + k = 0 变形为 (x - m)(x - n) = 0 的形式，通过比较系数可以求解出 m、n 的值，从而得到 k 的值。

通过对以上三种解法的探究，学生们发现了不同的思路和方法，并且比较了它们的优劣和适用性。

这种多解思维的培养有助于学生的创新思维能力和解题技巧的提高。

在教学中，我还可以引导学生探究更多的解题方法，培养他们的灵活性和思考能力。

在教学实施过程中，我结合多媒体教学手段，通过展示课本例题的多种解法，激发学生的学习兴趣和求知欲。

我注意引导学生思考每种解法的优缺点，并帮助他们总结出适用场景和适用对象。

一道课本习题的应用严兆永 （某某外国语学校仙林分校210046）苏教版《普通高中课程标准实验教科书（必修5）》第98页第14题：“…，试研究线段GH ，KL ，EF ，MN 与代数式2a b +211a b+之间的关系，…”． 能够得到结论：2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立． 这是对课本第十三章第四节“基本不等式”的整理和引申，定理本身的证明在此不再重复．笔者结合自己的教学实践，谈谈这道题的结论在求最值和不等式证明中的应用．一、求最大（小）值【例1】若,x y恒成立，则a 的最小值是． 分析：由题意有y x yx a ++≥恒成立，转化为求y x yx ++的最大值，由基本不等式有 22)()(222y x y x y x +=+≤+，故2≤++yx y x ，所以2≥a ． 评析：熟练掌握基本不等式的结构特征，能透过表象看本质，方能求得最值得结果．【例2】若12311,,,,a a a a 成等差数列，且22111100a a +≤，则1121a a a S +++= 的最大值为．略解：111102111a a a a a a +==+=+ ，)(11)(221111121a a a a a S +=+++=∴ ， 由“基本不等式”2222b a b a +≤+有：210221121111≤+⋅≤+a a a a ，当且仅当111a a =时取等号，故255≤S ，即1121a a a S +++= 的最大值为255． 评析：倒序相加，由等差数列的性质为基本不等式的运用做好准备．【例3】已知0>x ，0>y ，且1=+y x ，则yx 14+的最小值为． 错解：xy xy y x 144214=≥+，又xy y x 21≥+=，得21≤xy ，有21≥xy ，所以yx 14+的最小值为8．略解：9414))(14(≥+++=++y x x y y x y x ，当且仅当⎩⎨⎧==+yx y x 21，即32=x ，31=y 时取等号．评析：“正数、定值、取等号”这三个条件是基本不等式的前提，尤其是在不止一次使用基本不等式时，更要注意取等号的条件要一致．【例4】已知0>a ，0>b ，且12=+b a ，求2242b a ab S --=的最大值．分析：由12=+b a 为定值的引导，可将结论式2242b a ab S --=改写为[]22)2(22b a ab S +-⋅=，便可得到下述解法： 略解：[]2222)2(2242b a ab b a ab S +-⋅=--=2)2(2222b a b a +-+⋅≤ 212-=，当且仅当⎩⎨⎧=+=122b a b a 即⎪⎩⎪⎨⎧==2141b a 时取得最大值． 若题中关系式不具备基本不等式的结构特征，可考虑将关系式变形，如本题将ab 和224b a +经“配凑”后向2a + b 转化是成功解题的关键，其思维的起点是12=+b a 为定值．二、证明不等式【例5】已知a 、b 、c ∈R ，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++． 分析：由上题知2222b a b a +≤+，即)(2222b a b a +≥+， 同理：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+，三式相加得证． 当且仅当a =b =c 时等号成立． 评析：不等式两边的结构特征，提示我们选择“2222b a b a +≤+”，而该不等式对a 、b ∈R 就可以了，未必一定要“正数”．【例6】已知0>a ，0>b ，求证：b a ab b a +≥+22．分析：乍一看，要证明这个不等式好象还不太容易，仔细研究便会发现，构成这个不等式的三个部分都出现在“基本不等式”中，它们之间是有联系的．具体表现为：222b a ab +≤，2222b a b a +≤+，于是便不难得到证明了． 评析：本题也可以使22b a +和ab 均向b a +“靠拢”，或将22b a +理解为2222b a b a +⋅+，再由“基本不等式”得证，充分体现了对“基本不等式”的理解．【例7】已知0>a ，0>b ，且1=+b a ，求证：22121≤+++b a ． 证法一：2212122121=+++⋅≤+++b a b a 证法二：2212121211)21(1)21(2121=+++++≤⋅++⋅+=+++b a b a b a ， 当且仅当21==b a 时等号成立． 评析：证法二之所以采用如此“配凑”，是因为“轮换式”的特征让我们知道“当且仅当21==b a 时等号成立”，此时12121=+=+b a ． 本题虽可用分析法证明，但上述证法显得更加灵巧，也更能体现对问题本质的认识． 【例8】若a ，b ，c 为正数，且a + b + c = 1，求满足不等式k c b a <+++++141414的最小整数k ． 分析：只要求出141414+++++c b a 的最大值，便可确定最小整数k ．仿照例7，有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⋅++⋅+=+++++37)14(37)14(37)14(73141414c b a c b a 2123714237142371473=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++≤c b a ，21>∴k ， 即最小整数k 的值为5．从上述几例可以看到，由这道课本习题所得到的基本不等式在有关最值求解和不等式证明中的作用是显而易见的，应用过程中要注意基本不等式成立的条件，尤其是取等号的条件是否具备，否则可能会出现错解．历年的高考中不断出现课本题的“影子”，而对课本例题、习题的引申和挖掘，更能引起学生对课本知识的重视，有利于学生打好基础，进一步明了知识的发生、发展过程，对掌握知识、提高能力是大有帮助的．。

一道课本问题的探究与拓展探究内容:人教版八年级下册P105页一个实验问题的探究。

探究目的:1 通过教材中一个实验问题的探究,巩固正方形的性质在几何证明中的应用,培养学生分析问题解决问题的能力,提高学生在几何证明中的合情推理能力。

2 在问题探索过程中,学会从特殊到一般的的思维方式。

3 在图形运动中体会几何量的不变性和内在的联系,进而感受数学的和谐美,激发学生学习数学的兴趣。

1 问题引入:人教版八年级下册P105页一个实验问题:如图,正方形ABCD的对角线相交于O,O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,A,B分别在OA1和OC1上,则两正方形重叠部分的面积为正方形ABCD面积的。

2 问题的引深:如图1如果正方形A1B1C1O绕O转动,两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积又有何关系?OA1、OC1与正方形ABCD两边分别相交于E、F,线段OE、OF有何数量关系?请证明之析解:依题意可知,∠AOE=∠BOF,OA=OB,∠OAE=∠OBF=45°,所以△AOE ≌△BOF,即四边形BFOE的面积=△AOB的面积=14 正方形ABCD的面积。

因为△AOE≌△BOF所以OE=OF3 问题的探究:3.1 若将一个足够大的直角三角形的直角顶点绕正方形的对角线的交点旋转,在旋转过程中,直角三角形的直角边始终与正方形的两边相交,则直角三角形与正方形重叠部分的面积为原正方形面积(14 )3.2 若将上题中的直角三角形改为矩形其余条件不变,则重叠部分的面积有何变化3.3 为什么重叠部分的面积总为原正方形面积的1/44 思维的拓展:拓展1:绕正方形中心转动变成绕正方形的一个顶点转动。

例1:把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG 与BC交于点H(如图2)。

试问线段HG与线段HB相等吗?请先观察猜想,然后再证明你的猜想。

析解:通过观察与分析可以判断HG=HB。

此时可连接AH,因为四边形ABCD、AEFG都是正方形,所以∠B=∠G=90°。

一道课本习题的解法研究现代教育重视学生的自主学习能力和创造性思维，要求学生不仅仅要掌握知识，还要能够应用知识解决问题。

因此，解决一道课本习题的方法不仅仅是将问题简单地套用公式，更应该思考背后的问题和解决这些问题的方法。

在此，我们以一道中学数学习题为例，来探讨解题方法和思维能力的培养。

题目描述：R、S、T三角形面积相等，且外接圆半径分别为r、s、t。

求证：1. 记R、S、T三边长分别为a、b、c，有 $\frac{a}{r} + \frac{b}{s} + \frac{c}{t} = 2\frac{a + b + c}{r + s + t}$ ；2. $\frac{bc}{r} + \frac{ac}{s} + \frac{ab}{t} = 2(a^2 + b^2 + c^2)$。

解题思路：1.根据题目，三个三角形的面积相等，我们可以根据海龙公式求出三角形的周长：$$\begin{aligned}\triangle R &= \frac{1}{2}ra \\\triangle S &= \frac{1}{2}sb \\\triangle T &= \frac{1}{2}tc \\\Sigma &= \triangle R + \triangle S + \triangle T \\&= \frac{1}{2} (ra + sb + tc) \\\end{aligned}$$根据海龙公式可知 $r = \frac{\triangle R}{\frac{1}{2}a}$，$s = \frac{\triangle S}{\frac{1}{2}b}$，$t = \frac{\triangle T}{\frac{1}{2}c}$，所以：$$\begin{aligned}\frac{a}{r} + \frac{b}{s} + \frac{c}{t} &= \frac{2 \Sigma}{\triangle R} + \frac{2 \Sigma}{\triangle S} + \frac{2 \Sigma}{\triangle T}\\&= \frac{4 \Sigma}{\triangle R + \triangle S + \triangle T}\\&= 2\frac{a + b + c}{r + s + t}\end{aligned}$$最后，我们需要对解题过程进行思考和总结。

一道初中数学教材原题的衍生与延伸
课本上有一道数学题为：一圆的直径长20 cm，则其周长等于多少？
小学入门，中学拓宽，数学在学生的学习系统中不可或缺。

作为
基础教育的重要组成部分，数学的学习更是给学生带来以有应用价值
的认知和思维能力。

上面这道关于“一圆的直径长20 cm，则其周长等于多少？”的数学题目，在深入拓展时，可以用于挑战学生完成更高
难度的任务。

首先，老师可以让学生讨论更多高难度的数学问题，比如“一个
三角形的三边长分别为20cm,18cm,14cm，求其边长之和？”，“一个
圆形面积为36pie，求其直径为多少？”等等，这么一来学生就可以应用基本的数学知识进行概率和空间的数量比较和研究，激发学生的思
维能力。

其次，老师可以让学生用前面一道题目“一圆的直径长20 cm，则其周长等于多少？”案例来学习重要的数学知识点—图形的测量，比
如根据不同图形的定义求得它们的周长、面积；利用角平分线求解多
边形内外接圆的半径等。

让学生学习和掌握基本的图形测量方法，更
有效的了解数学中的，像圆形，三角形等几何图形的特征，对学生的
数学认知能力有着重要的提升作用。

最后，可以让学生利用所学的数学方法和知识，应用到实际场景
中推理问题，比如让学生思考一个物体，比如一个砖块，它正方形，
每一边有20cm，求它的周长与面积有多大？让学生在数学方面，也能
总结出更为透彻的，更多实际应用用的经验教训，提升学生数学思维
能力。

总之，上述这道题目本身是考验学生数学基础的一道测验，但老师深入教学拓展，可以让学生掌握数学的基本知识，在学习中开阔视野，拓展思维，最终获得从内心更大的成就感。