公开课：直线的参数方程

4(cos 2sin) t1 t2 3sin2 1 t2(1)
t1t2
8
3sin2
1
2t22 (2)
(1)平方 （2）得
k tan 2，因此直线l的方程为
3 y 1 2 (x 2)
3
例 3
例 4
1.经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
参数方程：
x x0 t cos
y 1 t sin
(3sin2 1)t2 4(cos 2sin )t 8 0
由t的几何意义知 MA t1 , MB t2 ,因为点
M在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以
t1
t2
4(cos 2sin) 3sin2 1
t1t2
8
3sin2
1
因为点M为线段AB的三等分点，
t1 2t2
A
直线上的点M与参数t的值是一一对应的
5
6
l
| t | M (x, y)
M0 (x0, y0 )
x
l : x y 1 0 例2：已知直线
与抛物线
交于A,B两点， 点M(-1,2)在直线AB上，
y x （1）求线段2 AB的长；
（2）求点M(-1,2)到A , B两点的距离之积；
（3）求AB的中点P的坐标。
x0 y0
at bt
(t为参数)
则直线经过点M0(x0
,
y0),斜率为k
b a
| MM0 || t | a2 b2
1.直线参数方程
探究:直线的
x=x0
y
y0
t cos t sin
参数方程形
(t是参式数是）不是唯
一的
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,
简化求直线上两点当间的a2距 离b2. 1时，
t为参数，L上的点P1对应的参数
是t ，则点P与P
1
1
a,
b
之间的距离
是（ C ）
A、t1
B、2 t1
C、2 t1
D、 2 2
t1
例1.设直线l过点A(2,-4),倾斜角为 (1)求l的参数方程； (2)设直线l与直线x-y+1=0交于点B，求 线段AB的长.
y x y 1 0
y
l
O
B |t|
x
0
(x x0, y y0 )
e (cos,sin )
0
l
M (x, y)
e M0 (x0, y0 )
x
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
参数方程：
x x0 t cos
y
y0
t
sin
参数t的几何意义是什么？
y
| t || M0M |
若t 0,则M 0M方向向上
若t 0,则M 0M方向向下
弦长|AB|= 中点P
|t1 t2 | t t1 t2 2
练习： 求直线
x2-y2=1截得的弦长|AB|.
x
被2双曲线12
t (t为参数)
y
3t 2
例3.经过点M(2,1)作直线l ,交椭圆
于A，B两点，如果点M恰好为线段AB的 中点，求直线l的方程.
x2 y2 1
16 4
弦的中点对应的参数为
3 2
5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1 5 , 3 5 )，B( 1 5 , 3 5 )
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
（1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ? ① （3） AB 、MA MB 与t1，t2有什么关系？
例2.经过点M 2,1作直线L,交椭圆 x2 y2 1于A, B两点。
16 4 如果点M 恰好为线段AB的中点，求直线L的方程。
解：设过点M 2,1的直线L的参数方程为
l
y
B
O
x y
y
A
M(-1,2)
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
B
O
x
解
：
由
x y
y x2
1
0
得：x2 x 1 0
(*)
由韦达定理得：x1 x2 1，x1 x2 1
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
由(*)解得：x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
y1
练习：已知经过点P(2,0)，斜率为 的直线 和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB 的中点为M，求点M的坐标 .
t1 t2 2
4 3
例例11.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
0
若t
0, 则点M与M
重合
0
(t为参数)
l
M (x, y)
e M0 (x0, y0 )
x
3.弦长公式：（1） M1M2 t1 t2
弦的中点：
（2） t t1 t2 2
x
1
1 2
t
(t是参数)
y
1
3t 2
x 1 t
(t是参数)
y 1 3t
若直线的参数方程为：
x y
x y
x0 y0
at bt
(t为t才参具数有|此）t|几=|何M意0M义|
其它情况不能用。
((12) )若直线的参数方程为
x y
1 2t 2 3t
t为参数
，则直Biblioteka 的斜率为 （ D）A、2 B、- 2
3
3
C、3 D、- 3
2
2
((23) )若直线L的参数方程为
x y
a b
t t
2 t cos 1 t sin ,
t为参数
代入椭圆方程为
3sin2 1 t2 4cos 2sin t 8 0
则 AM t1 , MB t2 .M 在椭圆内所以
A
x
4cos 2sin
t1 t2 3sin2 1
因为M 为AB的中点
所以 t1 t2 0, cos 2sin 0, k tan 1
预备知识： 1.向量共线的条件
b // a(a 0) b a
2.直线l的方向向量是指： 与直线l平行的非零向量
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
普通方程是________________________;
y y0 tan(x x0 )
如何建立直线l的参数方程呢？
M0M (x, y) (x0, y0 ) y
2
2
直线l的方程是：y-1= 1 x 2即 x 2 y 4 0
2
思考： 例2还有别的解方法吗？ 思考： 例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中 点”改为“三等分点”，直线的方程怎样求？
lB y
O
x
A
解：设过点 M (2,1)的直线l的参数方程为
x {
2
t
cos
(t为参数
)代入椭圆方程得