《直线的点斜式方程》课件

( x, y) 满足的关系式？
如图，设 P( x ，y) 是直线 l 上不同于点 P0 的任意一点，因为直线 l 的斜
率为 k，由斜率公式得 k
y y0
，即 y y0 k ( x x0 ) .
x x0
由上述推导过程可知：
（1）直线 l 上每一个点的坐标(x，y)都满足关系式 y y0 k ( x x0 ) ；
4
4
8
−1=
( − 2)
15
的 2 倍，则直线 l 的点斜式方程为__________________.
解析：由 y
1
3
1
1
3
x ，得斜率为 ，设直线 y x 的倾斜角为 ，直线 l
4
4
4
4
4
的倾斜角为 ，斜率为 k，则 tan
1
2 tan
8
， k tan tan 2
轴上的截距.这样，方程 y kx b 由直线的斜率 k 与它在 y 轴上的
截距 b 确定，我们把方程 y kx b 叫做直线的斜截式方程，简称
斜截式.其中，k 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距.
思考：方程 y kx b 与我们学过的一次函数表达式类似.我
们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度
3
直线的点斜式方程和斜截式方程.
对于直线 l1 : y k1 x b1 ，
l2 : y k2 x b2 ，
l1
l2 k1 k2 ，且 b1 b2 ；
l1 l2 k1k2 1 .
1. 已知直线的方程为 y 2 x 1，则( C )

代入点斜式方程得：
P 1
y
4
3
y 3 x 2.
2 1
x
直线的斜截式方程
y kx b
k 是直线的斜率， b 是直线在 y 轴上
的截距．
y
l
b
P0
O
x
该方程由直线的斜率与它在 y 轴上的截距确定， 所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
.
典型例题
例2: 直线l过点P(1,2)
过点 P x , y ，斜率为 k 的直线 l 的方程． 0 0 0
.
直线的点斜式方程
方程
y y0 k x x0 由直线上一点及
直线的斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜 式方程，简称点斜式．
y l P0
直线 l的斜率为 k
x 上述方程只有当直线不垂直 X轴时才能使用。
.
O
（1）过点 P x , y ，斜率是 k 的直线 l上的点， 0 0 0 y y0 k x x0 其坐标都满足方程 吗？
y y0 k x x0 的点都 在过点 P x , y ，斜率为 k 的直线l 上吗？ 0 0 0
（2）坐标满足方程


经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是
(1):
l与y轴交点坐标为(0,1),求直线l的直线方程；
1 (2):求与坐标轴围成的三角形面积为 的直 2
线 l 的方程；
.
探究题： 直线l过点P(1,2),与坐标轴围成三 角形；
(1):当三角形面积为3时，满足条件的直线 l 有 条；
(2):当三角形面积为4时，满足条件的直线 l 有 条； (3):当三角形面积为5时，满足条件的直线 l 有 条。

直线的点斜式、斜截式方程
1．直线的点斜式方程和斜截式方程
名称
点斜式
斜截式
已知条件 点 P(x0，y0)和斜率 k 斜率 k 和直线在 y 轴上的截距 b
图示
方程 ___y－___y0_＝__k_(_x_－__x_0_) __
_y_＝__k_x_＋__b____
适用范围
斜率存在
2.直线 l 在 y 轴上的截距 定义：直线 l 与 y 轴交点(0，b)的__纵__坐__标__b__叫作直线 l 在 y 轴上的截距． [化解疑难] 解读直线的点斜式方程 直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点 P(x0，y0)和斜率 k；(2)斜率 必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程.
二、特点
斜率：直线的斜率是直线在某一点上的变化率，反映了直线在该点上的陡峭程度。斜率越大， 直线越陡峭；斜率越小，直线越平缓。
截距：直线的截距是直线与y轴的交点坐标，反映了直线在y轴上的位置。截距越大，直线离y 轴越远；截距越小，直线离y轴越近。
方程的适用范围：直线的点斜式方程适用于已知一点和斜率的直线，不适用于斜率不存在的直 线。
1．过点 P(－2,0)，斜率是 3 的直线的方程是( )
A．y＝3x－2
B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2)
D．y＝3(x＋2)
答案： D
自主练习
2．直线方程为 y＋2＝2x－2，则( )
自主练习
A．直线过点(2，－2)，斜率为 2
B．直线过点(－2,2)，斜率为 2
C．直线过点(1，－2)，斜率为12
精准例题
直线的点斜式方程 课后总结 直线的点斜式方程是描述直线的一种重要方式，它表达了直线在某一点上的斜率和截距，是解

栏目 导引
第三章
直线与方程
跟踪训练
1．写出下列直线的方程
(1)经过点A(2,5)，斜率是4； (2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1,1)，与x轴平行；
(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直． 解：(1)y－5＝4(x－2)； (2)k＝tan 45°＝1，所以y－3＝x－2； (3)y＝1； (4)x＝1.
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第三章
直线与方程
(3)∵直线的倾斜角为 60° ， ∴其斜率 k＝tan 60° ＝ 3. ∵直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3， ∴直线在 y 轴上的截距 b＝ 3 或 b＝－ 3. ∴所求直线方程为 y＝ 3x＋ 3 或 y＝ 3x－ 3.
【名师点评】 利用斜截式写直线方程时， 首先要考虑斜率 是否存在，其次要注意截距与距离的区别与联系．
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第三章
直线与方程
题型四
例4
直线在平面直角坐标系中位置的确定
)
1 方程 y＝ ax＋ 表示的直线可能是 ( a
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第三章
直线与方程
1 1 【解析】 直线 y＝ ax＋ 的斜率是 a， 在 y 轴上的截距是 ， a a 1 当 a>0 时，斜率 a>0，在 y 轴上的截距是 >0，则直线 y＝ a 1 ax＋ 过第一、 二、 三象限， 四个选项都不符合； 当 a<0 时， a 1 1 斜率 a<0， 在 y 轴上的截距是 <0， 则直线 y＝ ax＋ 过第二、 a a 三、四象限，仅有选项 B 符合．
第三章
直线与方程
3．2
直线的方程
3．2.1 直线的点斜式方程
第三章
直线与方程

【自主解答】 (1)由直线方程的斜截式方程可知，所求
直线方程为 y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角
α＝150°，∴斜率
k＝tan
150°＝－
3 3.
由斜截式可得方程为 y＝－ 33x－2.
(3)∵直线的倾斜角为 60°，
∴其斜率 k＝tan 60°＝ 3，
∵直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3，
∴直线在 y 轴上的截距 b＝3 或 b＝－3.
误把“截距”当“距离”致误
已知斜率为－43的直线 l，与两坐标轴围成的三 角形面积为 6，求 l 的方程．
【错解】 设 l：y＝－43x＋b，令 x＝0 得 y＝b；令 y＝0 得 x＝34b， 由题意得12·b·(34b)＝6，
∵b>0，∴b＝4， ∴直线 l 的方程为 y＝－43x＋4.
【错因分析】 上述解法的错误主要在于“误把直线在 两轴上的截距当作距离”．
∴a＝± 3.
故当 a＝± 3时，直线 l1 与直线 l2 垂直．
已知直线 l1：y＝k1x＋b1 与直线 l2：y＝k2x＋b2. (1)若 l1∥l2，则 k1＝k2，此时两直线与 y 轴的交点不同， 即 b1≠b2；反之 k1＝k2 且 b1≠b2 时，l1∥l2.所以有 l1∥l2⇔k1 ＝k2 且 b1≠b2. (2)若 l1⊥l2，则 k1·k2＝－1；反之 k1·k2＝－1 时，l1⊥l2. 所以有 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
【自主解答】 (1)由点斜式方程可知， 所求直线的方程为 y－5＝4(x－2)， 即 4x－y－3＝0. (2)∵直线的倾斜角为 45°， ∴此直线的斜率 k＝tan 45°＝1， ∴直线的点斜式方程为 y－3＝x－2， 即 x－y＋1＝0.

1
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程
2
学习目标 1.了解直线方程的点斜式的推导过
核心素养
程．(难点)
通过对直线的点斜式
2.掌握直线方程的点斜式并会应用．(重 方程的学习，培养逻
点)
辑推理、数学运算的
3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概 数学素养.
念．(重点、易错点)
23
求直线的斜截式方程 (1)先求参数 k 和 b，再写出斜截式方程． (2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用 平行、垂直关系求出斜率． (3)b 是直线在 y 轴上的截距，即直线与 y 轴交点的纵坐标，不是 交点到原点的距离．
[跟进训练]
24
2．已知直线 l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形，
(2)当 a 为何值时，直线 l1：y＝(2a－1)x＋3 与直线 l2：y＝4x－3 垂直？
[思路探究] 由直线的斜截式方程中 k、b 的几何意义及直线平 行、垂直的条件建立关于 a 的方程及不等式，求出 a 的值．
28
[解] (1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，∵l1∥l2， ∴a22a－≠22＝，－1， 解得 a＝－1. 故当 a＝－1 时，直线 l1：y＝－x＋2a 与直线 l2：y＝(a2－2)x＋2 平行．
19
[解] (1)由点斜式方程得
y－4＝2(x－3)．
20
(2)与 x 轴平行时，k＝0， ∴y－4＝0×(x－3)，即 y＝4. (3)与 x 轴垂直，斜率不存在，方程为 x＝3.
21
直线的斜截式方程
【例 2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5； (2)倾斜角为 150°，在 y 轴上的截距是－2； (3)倾斜角为 60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3.

1、直线 l上的所有点都是方程的解. 2、方程的解为坐标的点都在直线l上.
例1 直线 l经过 P0 (2,3)，倾斜角为 45,求直线 点斜式方程，并画出直线 l. 解：斜率 k tan 45 1 直线经过点 P0 (2,3) ，代入点斜式方程得： y y0 k(x x0 )
y 3 1x (2)
k tan
3、在直角坐标系中，已知直线上两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )
如何表示直线的斜率？
k
y2
y1
x2 x1
二、新知探究
问题1、若直线经过点A（1,3），斜率为1，点P在直
线 l上运动，则点P的坐标 (x,满y)足怎样的关系式？
y
l
A(1, 3)
k y2 y1 x2 x1
P(x, y)
O
1 y 3 点P不同于点A
x
x 1
y 3 1(x 1)
y 3 x 1
三、讲授新课
问题2、若直线经过点 P0 (x0 ,，y0斜)率为 ，点kP在直线 上运动，l 则点P的坐标 满足(怎x,样y的) 关系式？
y
l
P
P0
点斜式方程：
O
x
k y y0 x x0
y y0 k(x x0 )
3.2.1直线的点斜式方程
一、预习反馈
优秀学生: +5
徐明冬，章利莎，赵晨恩，乔鸿运， 谭名欢
优秀小组:第八组 +5
一、回顾旧知
1、简述在直角坐标系内确定一条直线的几何要素.
（1）已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可以确定 一条直线. （2）已知两点可以确定一条直线.
2、若直线的倾斜角为 ，如何表示直线的斜率？

类型三 平行与垂直的应用
例3 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2 平行？
解 由题意可知，kl1＝－1，kl2 ＝a2－2，
∵l1∥l2，∴a22a－≠22＝，－1， 解得 a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2： y＝(a2－2)x＋2平行.
思考1 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程 是什么？ 答案 将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得y＝kx＋b. 思考2 方程y＝kx＋b表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以 为负数和零？ 答案 y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零.
梳理 已知条件
图示 方程式 适用条件
3.直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.( × )
类型一 直线的点斜式方程
例1 (1)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得到直线l， y－3＝－12(x－1)
那么直线l的点斜式方程是________________. 解析 由题意知，直线 l 与直线 y＝2x＋1 垂直，则直线 l 的斜率为－12. 由点斜式方程可得 l 的方程为 y－3＝－12(x－1).
斜截式 斜率k和直线在y轴上的截距b
_y_＝线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. ①l1∥l2⇔ k1＝k2且b1≠b2 ， ②l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 .
[思考辨析 判断正误] 1.对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝ yx－ －yx00. ( × ) 2.直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3).( √ )
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？

k
解得
2 6k b
k
2 3
b 2
或
k
1 2
b 1
∴直线 l 的方程为：
y
2 3
x
2
或
y
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
x1.
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
y
(2)
1 2
(
x
6)
即
y
2 3
x
2
或
y
1 2
x
1
例3.已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1， 且过定点(6 , -2)，求直线 l 的方程.
解2：由已知可设直线l的方程为：y kx b
令 x=0 , 则 直线l在y轴上的截距为：b
令
y=0
,
则 直线l在x轴上的截距为：
b k
由题意得
b b1
3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式
若直线l 经过点P1(x1, y1)，斜率为k , 求直线l 的方程 .
设点P(x, y)是直线l上不 同于点P1的任意一点，则
y y
k
1
x x1
化简为 y y1 k( x x1 )
—— 直线方程的点斜式
特殊直线
当直线的倾斜角为0°时，k 0.
例2 如图已知直线l 斜率为k,与y轴的交点是P（0, b）， 求直线l 的方程。
解：由直线方程的点斜式知直线l 的 方程：

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直线的点 斜式方 程PPT完 美课件
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【示例】 直线 l1 过点 P(－1,2)，斜率为－ 33，把 l1 绕点 P 按 顺时针方向旋转 30°角得直线 l2，求直线 l1 和 l2 的方程． [思路分析] l1 的方程可以由点斜式直接写出，l2 经过点 P，因此， 关键是求出 k2，数形结合，找出 l2 的倾斜角是关键．
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解 (1)∵直线过点 P(－4,3)，斜率 k＝－3， 由直线方程的点斜式得直线方程为 y－3＝－3(x＋4)， 即 3x＋y＋9＝0. (2)与 x 轴平行的直线，其斜率 k＝0，由直线方程的点斜式可得 直线方程为 y－(－4)＝0×(x－3)， 即 y＝－4. (3)与 y 轴平行的直线，其斜率 k 不存在，不能用点斜式方程表 示，但直线上点的横坐标均为 5， 故直线方程为 x＝5.
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题型一 直线的点斜式方程 【例 1】 求满足下列条件的直线方程． (1)过点 P(－4,3)，斜率 k＝－3； (2)过点 P(3，－4)，且与 x 轴平行； (3)过点 P(5，－2)，且与 y 轴平行； (4)过 P(－2,3)，Q(5，－4)两点． [思路探索] 利用直线方程的点斜式，以及数形结合的思想， 写出直线方程．
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已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程式 适用条件
y＝kx＋b ___________
斜率存在
[思考辨析 判断正误]
y－y0 1.对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝ .( × ) x－x0 2.直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3).( √ )
3.直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.( × )
(1)过点P(0，4)，斜率为2；
解 y＝2x＋4.
解答
(2)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解 ∵直线的倾斜角为60°，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴其斜率k＝tan 60°＝ 3 ， ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线方程为y＝ 3 x＋3或y＝ 3 x－3.
解答
反思与感悟 直线的斜截式方程的求解策略
(1) 直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的
斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示.
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只
需两个独立的条件.
(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数
为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意 一点，那么x，y应满足什么关系？
答案 y－y0 由斜率公式得 k＝ ， x－x0
则x，y应满足y－y0＝k(x－x0).
思考2 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？
答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线
1
2
3
答案
2.已知直线 x－ay＝4 在 y 轴上的截距是 2，则 a 等于 1 A.－2

(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1，2)，且与y轴平行； (4)过点D(2，1)和E(3，－4). 解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)]. (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y －4＝－[x－(－1)].
2.经过点(－1，1)，且斜率是直线 y＝ 22x－2 的斜率的 2 倍的直线方程是( )
A.x＝－1
B.y＝1
C.y－1＝ 2(x＋1) D.y－1＝2 2(x＋1)
解析 由题意知所求直线斜率为 2，故由点斜式知所求直线方程为 y－1＝ 2(x＋1).
答案 C
3.(多填题)已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________， 倾斜角为________，在y轴上的截距为________. 答案 1 45° 0
(2)由 4(2a－1)＝－1，解得 a＝38.故当 a＝38时，l1⊥l2.
角度2 直线过定点问题 【例3－2】 求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.
证明 法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)， ∴直线l过定点(－2，3). 由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限. 法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
【训练2】 写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
解 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3. (2)∵k＝tan 60°＝ 3，∴所求直线的斜截式方程为 y＝ 3x＋5. (3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2， ∴直线过点(4，0)和(0，－2). ∴k＝－02－－40＝12，∴所求直线的斜截式方程为 y＝12x－2.

方程，并画出直线.
解：直线的方程： − 3 = + 2
两点确定一条直线，所以再找一个点即可！
直线l上任意点的
坐标都满足方程
y
P1 4
P0
3
2
1
-2 -1 O
-1
1
x
知识小结
斜率存在
斜率不存在
倾斜角为90°，
无点斜式方程
探究新知
探究三：直线的斜截式方程
探究新知
问题4 ：下面我们来看点斜式的一种特殊情况：
直线上任意点
的几何特征
直线的代数表示
探究新知
问题2：直线 经过点P0 x0 , y0 ，且倾斜角为0°时，
直线的方程是什么？
y
P0 x , y l
0
直线上一点
直线得倾斜角
直线的斜率
ห้องสมุดไป่ตู้
直线的点斜式方程
O
0
探究新知
问题3：直线经过点P0 x0 , y0 ，且倾斜角为90°时，
y
直线的方程是什么？
知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度认识
一次函数 = + ？
直线方程
直线上任意点的
坐标（x，y）所满
足的代数关系式
k：直线的斜率
变量x与y间
的对应关系
一次函数
探究新知
追问3： 你能说出一次函数 = − ， = 及 = − + 图象
的特点吗？
一次函数
(1)经过点A(3，−)，斜率是 ;
(2)经过点B(− ，2)，倾斜角是30°;
(3)经过点C(0，3)，倾斜角是0°;

(4)经过点D −, − ，倾斜角是 .

答案
1
2
1
a=- .
2
.
课堂篇 探究学习
探究一
直线的点斜式方程
例1求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(2,-3),倾斜角是直线y=
3
3
x倾斜角的2倍;
(2)经过点P(5,-2),且与y轴平行;
(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.
思路分析先求出直线的斜率,然后由点斜式写出方程.
解 (1)∵直线
1－3
且过点A，
所以BC边上的高所在直线的点斜式方程为y＝x.
(3)由(2)知过点A与BC平行的直线的斜率为－1，其点斜式方程为y＝
－x.
5．在y轴上的截距为－2，且与直线y＝－3x＋4平行的直线的斜截
式方程为________．
【答案】y＝－3x－2
【解析】因为直线y＝－3x＋4的斜率为－3，所求直线与此直线平
由题意知,所求直线的斜率为-2,在y轴上的截距也为-2.
由直线方程的斜截式,得y=-2x-2.
反思感悟 求直线的斜截式方程的策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率
存在,只要已知直线的斜率、与y轴的交点,就可以直接用斜截式表示.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需
.
答案 3
微思考1
一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同?
提示 一次函数的x的系数k≠0,否则就不是一次函数了;直线的斜截式方程y=kx+b
中的k可以为0.
微思考2
截距是距离吗?为什么?
提示 不是,直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标,截距是实数而不是

了解点斜式方程将帮助 我们更好地理解直线的 性质和特征。
点斜式方程的符号
我们在表示点斜式方程 时使用 y = mx + b 的形式， 其中 m 是斜率，(x, y) 是 直线上的一点。
如何从一个点和一条直线得到点斜式 方程
1 步骤一
确定直线上的一点 (x, y)。
2 步骤二
求出直线的斜率。可 以使用两点间的斜率 公式或者其他方法。
2 确定点的坐标
得到 y 的值后，可以通过 (x1, y) 确定直线上任意一点的坐标。
3 符号表示
(x1, y) 表示直线上的点，其中 x1 为已知 x 坐标。
如何利用点斜式方程来判断两条直线 的关系
1 相交直线
如果两条直线有不同 的斜率，它们必定会 相交于某个点。
2 平行直线
如果两条直线的斜率 相同，但截距不同， 则它们平行且永远不 会相交。
3 步骤三
将点和斜率代入点斜 式方程 y = mx + b。
点斜式方程的图像表示
如何绘制直线的图像？
在直角坐标系中，使用点斜 式方程的斜率和截距绘制直 线。
正斜率和负斜率
斜率为正时，直线向上倾斜； 斜率为负时，直线向下倾斜。
平行直线和重合直线的 表示
两条平行直线具有相同的斜 率；两条重合直线的斜率和 截距相同。
如何从点斜式方程得到直线的截距式 方程
1
步骤一
Байду номын сангаас
使用点斜式方程 y = mx + b。
2
步骤二
将 x 和 y 替换为坐标 (0, b)，得到截距式方程 y = mx + b。
3
步骤三
截距式方程使得我们能更方便地理解直线和计算它的截距。

（4）经过点D(-4，-2），倾斜角是120°
(1)y 1 2 (x 3) (2)y 2 3 (x 2 )
3 (3)y 3 (4)y 2 3 (x 4)
(5)斜率为
3 2
，在y轴上的截距是-2。
(6)倾斜角是135°，在y轴上的截距是3。
(7)斜率为3，与y轴交点的纵坐标为-1。
l
O
x
此时，tan 0°=0 即k=0，这时直线与 x轴平行或重 合，直线的方程就是y-y0=0或y=y0。
倾斜角为90°的直线的方程是什么？ y l
P0
O
x
此时，直线没有斜率，直线与y轴平行或重合 ，它的方程不能用点斜式表示。直线的方程为yy0=0或y=y0。
例一
直线l经过点P(1,2)，且倾斜角α=135°，求直线l的 点斜式方程，并画出直线l。
（1）若x1=x0，则y1=y0，说明点P1与点P0重合，可得点P1在直线l上.
➢ 直线的点斜式方程和斜截式方程。 （1）若x1=x0，则y1=y0，说明点P1与点P0重合，可得点P1在直线l上.
解：设直线的方程为y-4=k(x-1)。
变形得到y+1=5(x+1)——点斜式
理解直线方程的点斜式,斜截式的形式特点和适用范围。
(8)过点（3，1），①垂直于x轴;②垂直于y轴。
(5 )y
3 2
x
2
(6 )y x 3
(7 )y = 3 x - 1
(8 )x - 3 = 0
y -1 = 0
4.已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直 线l的方程。
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
55
kL 23 2 将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得

探究点二 根据斜截式求直线方程
1.用直线的斜截式方程求直线方程需满足两个条件：即直 线的斜率和直线在y轴上的截距．
2．对斜截式方程的理解： (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y
＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平 行(或重合)的直线． (2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐 标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而 距离是一个非负数．
3．2.1 直线的点斜式方程
1．直线的点斜式和斜截式
点斜式
斜截式
已知 条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b
方程 y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
点斜式
斜截式
图形
适用 不适合期与x轴垂直的 不适合与x轴垂直 的
Hale Waihona Puke 范围 直线直线“截距”与“距离”是否是一回事？
提示：不是一回事．截距是直线与坐标轴交点的横坐 标或纵坐标，因此截距可正、可负，也可为零，而距 离永远非负．
[正解] 当 a＝5 时，直线方程是 x＝5； 当 a≠5 时，k＝5a－ －15＝a－4 5，又直线过点(5,1)， 所以直线方程是 y－1＝a－4 5(x－5)， 即 4x＋(5－a)y＋(a－25)＝0. 所以所求方程应为 4x＋(5－a)y＋(a－25)＝0(a≠5) 或 x＝5(a＝5)．
(1)斜率存在的直线，可写成点斜式y－y0＝k(x－x0)； (2)斜率不存在的直线，不能写成点斜式，方程为x＝x0.
已知直线l过点A(2，－3)． (1)若l与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l′平行，求其方程； (2)若l与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l′垂直，求其方程． [提示] 首先由斜率公式求出直线l′的斜率，再由直线平行 与垂直的条件求出直线l的斜率，最后由点斜式写出直线方 程．