[高中数学课件]相互独立事件概率

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高一下学期数学人教A版必修第二册10.2事件的相互独立性课件

1 2
,
3 4
,
3 4
，将它们中某两个元件并联后再和第三个
元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率
是_______.
解：记 A “T1 正常工作”， B “T2 正常工作”， C “ T3 正常工作”，
则 P(A) 1 , P(B) P(C) 3 ，
23 60
5 12
9 10
.
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响．（1）求 3 人同时被选中的概率；
（2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法二：“3 人中至少有 1 人被选中”的对立事件是“3 人都没有被选中”，所以 3 人中至少有 1 人被选中的概率为
1 3
1 10
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响．（1）求 3 人同时被选中的概率；（2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法一：3 人中有 2 人被选中的概率为
P2 P(ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC) 2 3 (1 1) 2 (1 3) 1 (1 2) 3 1 23 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60
（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶. （4）至少有一人中靶.
解：（3）事件“两人都脱靶” AB ，所以 P( AB) P( A)P(B) 0.2 0.1 0.02
（4）方法 1：事件“至少有一人中靶” AB AB AB ，且 AB, AB 与 AB 两两互斥，

2025届高中数学一轮复习课件《事件的相互独立性与条件概率》ppt

高考一轮总复习•数学
第1页
第十章统计、排列组合与概率
第8讲事件的相互独立性与条件概率
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概率.2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率.3.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率．
它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A 正确；对于 B，三次传输，发送 1，相当于依次发送 1,1,1，
利用相互独立事件的概率公式判断 A，B．
则依次收到 1,0,1 的事件，是发送 1 接收 1、发送 1 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的积，
门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得 2 个 A＋的概率是____3_0___．
高考一轮总复习•数学
解析：(1)P(A)＝AA22A66 55＝13，P(B)＝AA33A66 34＝15， A66
P(C)＝2AA3366A33＝110，P(D)＝AA6336＝A133＝16. 对于 A，P(AB)＝A22AA3366A23＝110≠P(A)·P(B)，故 A 错误；对于 B，P(AC)＝2C15AA6622A22＝74200＝118≠P(A)P(C)，故 B 错误；对于 C，P(AD)＝C12AC1466C15＝118＝P(A)·P(D)，故 C 正确；对于 D，P(BC)＝P(C)≠P(B)P(C)，故 D 错误．
解析答案
高考一轮总复习•数学
第10页
3 ． (2024·四川成都七中月考 ) 某保险公司将其公司的被保险人分为三类： “ 谨慎

事件的相互独立性、条件概率与全概率公(课件)-2025年高考数学一轮复习

1
,
8
所以D正确．故选：D
=
1
,
8
=
1
,
64
= ，则, 相互独立，
题型突破·考法探究
题型二：相互独立事件的判断
【典例2-2】（2024·山东泰安·三模）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第
一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色
胜者．
（1）若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？
（2）求最终小金获胜的概率．
（3）若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）．
【解析】（1）第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获胜，第三场小睿获胜，满足题意；
第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场小郅获胜，满足题意；
“{ = 0}与{ = 0}独立”是“{ = 1}与{ = 1}独立”的（）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】{ = 0}与{ = 0}独立，则( = 0, = 0) = ( = 0)( = 0)，
即 = 1, = 1 = = 1 − = 0, = 1
，故C项错误；
=
C22 C22 +C22 C12 C12 +C12 C12 C22 +C12 C12 C12 C12
C24 C24
=
25
36
= ，故D项正确．
题型突破·考法探究
题型二：相互独立事件的判断
【变式2-1】考虑以Ω为样本空间的古典概型．设X和Y定义Ω上，取值{0,1}的成对分类变量，则

10.2事件的相互独立性课件高一下学期数学人教A版必修第二册

P()=0.1.
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）
（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）
（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先

高中数学必修二课件：事件的相互独立性

3．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别是什么？答：对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，那么称A，B 互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，那么称 A，B对立，显然A＋B为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但可能同时不发生．如掷一枚均匀的骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B，则A，B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响． A，B互斥，则P(AB)＝0；A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1. A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，可见这是不相同的概率．
1．对相互独立事件定义的理解
答：对于事件A，B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，那么称这两个事件为相互独立事件．例如甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B，显然A与B相互独立．
思考题1 袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第
一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，“第二次摸得黑球”记为 C，那么事件A与B，A与C间的关系是( A )
A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
课时学案
题型一相互独立事件的判断
例1 (1)把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独立事件．
①A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}； ②A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3点}； ③A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}； ④A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．

高一数学(人教A版)-事件的相互独立性课件

(1,1)
根据独立性假定，得
P( A1)
3 4
1 4
+
1 4
3 4
3 8
分析：设 A2 表示甲两轮猜对2个成语的事件，
甲
根据独立性假定，得
(0,0)
(0,1)
P( A2 )
3 4
3 4
9 16
(1,0)
(1,1)
33 44
设 B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
P( B1 )
2 3
因为A C ，且 A C ，所以
事件 A 与事件 C互为
．
2.如果事件 A 与事件 B 互斥，和事件 A B的概率与事件 A ， B 的概率之间的关系是
P( A B) P( A) P(B).
3.设 A ，B 是一个随机实验的两个事件，和事件 A B 的概率与事件 A ，B 的概率之间的关系是
事件的相互独立性
高一年级数学
1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球（标号为1和2 ），1个绿色球（标号为3 ），1个黄色球（标号为4 ），从袋中随机摸出1个球．设事件A “摸到
红球”，B “摸到绿球”，C “摸到绿球或黄球”．
样本空间为 {1,2,3,4}
A {1,2} B {3} C {3,4} 因为A B ，所以事件 A 与事件 B ；
AB={(1,2),(2,1)} ，n( AB) 2 ．
所以
P( A)
n( A)
n( )
1 2
，P(B)
n(B)
n( )
1 2
，
P( AB)
n( AB)
n( )
1 6
．
此时 P( AB) P( A) P(B) ，

事件的相互独立性(共21张PPT)

⑴ “两次都中靶” 是指 “事件A发生且事件B发生” 即A·B ∴ P( A·B）= P（A）·P（B）=
（2）“至少有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
（3）“至多有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
0.3 60.4 80.84 即 A·B + A·B+ A·B.
篮球比赛 “罚球二次” . 事件的概率乘法公式，所求的概率是
解法2：两人都未击中的概率是 ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？
（1）甲、乙两地都下雨的概率；即 A·B + A·B+ A·B.
P(A• B) P(A) • P(B) 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
事件的概率乘法公式，所求的概率是
（3）其中至少有一方下雨的概率.
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:
(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中靶”. 又∵A与B是互斥事件.
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率
没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。注：

两个相互独立事件同时发生的概率PPT教学课件

在上面5 X 4种结果中,同时摸出白球的结果有3 X 2种.因此,从两个坛子里分别摸出1个球,都是白球的概率 P(A﹒B)= __________________
另一方面,从甲坛子里摸出1个球,得到白球的概率P(A)= ________
从乙坛子里摸出1个球,得到白球的概率P(B)= _________ 由 ______________ = ____ × ____ 我们看到P(A﹒B)=P(A)﹒P(B)
（2）海—气相互作用与热交换的过程（3）海—气相互作用与水平衡
（4）海—气相互作用与热量平衡
（2009·北京西城模拟）“云气西行，云云
然，冬夏不辍；水泉东流，日夜不休，上不竭，下
不满……”（《吕氏春秋·圜道》）这段文字主要涉及
A.静态水资源的更新过程
（B ）
B.水循环的水汽输送和径流输送环节
合理规划，综合开发
3.潮汐能和波浪能的开发利用
类型形式分布原因建站条件发电特点发电流程
潮汐能
势能
狭窄的海峡、海湾、河口区域
势能带口窄肚大、
动水轮适宜的海
机
岸
密度高
潮汐涨落→ 大坝蓄水→ 势能→水轮机发电
物体在
波浪能
动能和势能
平均潮差小、近岸水较深
波浪作用下震动和摆动、波浪压力变化转换为势
为事件A,“从乙坛子里摸出1个球,得到白球”为事件B,则事件A是否发生对事件B的发生没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
在上面的问题里,事件 A 是指 “从甲坛子里摸出1个球,得到黑球”,
事件 B 是指“从乙坛子里摸出1个球,得到黑球”.很明显事件A与B ,

人教版数学必修第二册10.2事件的相互独立性课件

相互独立．
(2)性质
ҧ
ҧ 也都相互独立．
ത
如果事件A与B相互独立，那么A与ത ，与B，
与
(3)公式的推广
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于
每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
1．事件的相互独立性
(4)两个事件独立与互斥的区别
1
2
＝(1- × )× ＝
15
.
32
总结提升
求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相
互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接
4
3
2
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝ .
5
5
5
该选手被淘汰的概率为P(ҧ1)＋P(A1ҧ2)＋P(A1A2ҧ3)
＝P(ҧ1)＋P(A1)P(ҧ2)＋P(A1)P(A2)P(ҧ3)
＝
1
4
2
4
3
3
101
＋ × ＋ × × ＝
.
5
5
5
5
5
5
125
随堂检测
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸
两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( D )
A.
3
5
B．
4
5
7
乙中靶的概率为
10
3
4
C.
12

高二数学课件人教新课标：选修2-32.2.2事件的相互独立性

③A={掷出偶数点}；B={掷出3的倍数点}
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。若事件 A1, A2 An 相互独立，则有：
P( A1A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An )
有些事件不必通过计算就能判断独立性：
甲堆抽，乙堆抽；掷5次同一枚硬币；有放回的抽奖……
例：事件A：从甲袋摸出一个球；事件B：从乙袋摸出一个球。
则A与B相互独立。
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。
例2：把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独立事件？ ①A={掷出偶数点}；B={掷出奇数点} ②A={掷出偶数点}；B={掷出的点数小于4}
事件的相互独立性
复习巩固：
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么（1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白球和1个黑球的概率是多少？
（2）从口袋内不放回地摸出两个球，则第一次摸出白球且第二次摸出黑球的概率是多少？
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么
（1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白球和1个黑球的概率是多少？
• 对峙事件：A、B事件不能同时产生且必产生其一：
P(A) P(B) 1
• 相互独立事件：A事件是否产生对B事件无影响：
若A与B相互独立，则 A与B，A与 B ，A 与 B 都相互独立。
互斥事件、对峙事件、相互独立事件
证明：若A与B相ห้องสมุดไป่ตู้独立，则A与 B 相互独立。
P( AB) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A) P(B) P( A)(1 P(B))

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由题意，这两各种射情击况一在次时不可能同时发生，即 B与事 A件 B互 A 斥.
故所求概率为P（ BAAB）
P （ B ） A P A （ B ） P （ PAB （）） P A （） P （B） 0 .6 ( 1 0 . 6()1 0 . 60).60 . 204.2 04.4 8 .
(1) 2人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率．
解：(1)记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射
击1次，击中目标”为事件B．由于甲(或乙)是否击中，对
乙(或甲)击中的概率是没有影响的，因此A与B是相互独立
又“两人各射击1次事，件都．击中目标”就是事件
从甲坛子里摸出1个球，有 5 种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有 4 种等可能的结果．于是从两个坛子里各摸出1个球，共有 5 × 4种等可能的结果.
(白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑)
答：……
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是 0.6，计算：(3)至少有1人击中目标的概率．
解法 P （ B 1 P ）： A （ B A B P A 0 ） .0 3 .0 6 4.
解法2:两人都未击中目标的概率是
P A （ B ） P A ）（ P B ）（（ 0 ( .1 6 1 0 ).0 6 0 .) 4 0 . 4 . 16
即
P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
如果A、B是两个相互独立的事件，那么1-P（A）•P（B）表示什么？
想一想？
表示相互独立事件A、B中至少有一个不发生的概率
即 1P (A )P (B )P (AB )
三.例题分析：
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：
Α与ΒΑ ，与Β是否也相互独立？
2.独立事件同时发生的概率
天马行空官方博客：
“从两h个ttp坛://子t.里qq.分com别/tm摸xk_出do1ci个n 球；，都是白球”是QQ一:13个182事411件89，；Q它Q群的：1发755生69，632就是事件
A，B同时发生，我们将它记作 A·B．想一想，上面两个相互独立事件 A，B同时发生的概率P(A·B)是多少？
同时摸出白球的结果有3×2种．
P(AB)5342
甲
乙
又 P(A) 3 ， 5
P(B) 2 . 4
P (A B ) P (A )P (B )
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的一般地，如果事件A积1，．A2，…，An相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
⑴P（A·B）=P（A）·P（B）=0．9×0．95=0．855
⑵P（A· B）+P（A· B)=P(A) ·P(B)+P(A) ·P(B) =0．9×(1- 0．95)+(ห้องสมุดไป่ตู้ - 0．9) ×0．95 =0．14
另解：1 - P（A·B） -P（A·B）=1 - 0．855 - （1 - 0．95）· （1 - 0．9）=0．14
答：两件都是正品的概率是0．855恰有一件是正品概率是0．14
三.例题分析：
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
分析：根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指3个开关中至少有1个能够闭合，这可以包括恰有其中某1个开关闭合、恰有其中某2个开关闭合、恰好3个开关都闭合等几种互斥的情况，逐一求其概率较为麻烦，为此，我们转而先求3个开关都不能闭合的概率，从而求得其对立事件——3个开关中至少有1个能够闭合的概率．解：分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C(如图)．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得
到： P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36．
答：……
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：(2)其中恰有1人击中目标的概率；（ 2 ） “ 两人次各，射恰击有1 1 人” 击包中括目两标种情况一种是甲击中中、（乙事未件 B击发A生），另一种是未击中、乙击A中 B（发事生件）
把“从甲坛子里摸出1个
球，得到白球”叫做事件
A
P( A)

3
5
把“从乙坛子里摸出 1个
球，得到白球”叫做事件B
没有影响
P(B) 2 4
甲
乙
二.新课 1.独立事件的定义
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率
没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事想一想件：．如果事件Α
与Β相互独立，那么与Α Β，
10.7相互独立事件同时发生的概率
天马行空官方博客： /tmxk_docin ； QQ:1318241189；QQ群：175569632
一.新课引人
问题：
甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，
从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？
因此,至少有1人击中目标的概率
P1PA (B)10. 106. 84.
答：……
例2：制造一种零件，甲机床的正品率是0．9，乙机床的正品率是0．95，从它们制造的产品中各任抽一件，（1）两件都是正品的概率是多少？（2）恰有一件是正品的概率是多少？解：设A=从甲机床制造的产品中任意抽出一件是正品；B=从乙机床制造的产品中任意抽出一件是正品，则A与B是独立事件