高一数学必修4： 周期函数

1-4-2-1周期函数一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )，存在无数个实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )( )A ．是周期为1的周期函数B ．是周期为2的周期函数C ．是周期为4的周期函数D ．不一定是周期函数 [答案] D2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π4的最小正周期为( )A ．πB ．2πC ．4π D.π2[答案] C [解析] T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝4π. 3．(2011～2012年宁德高一检测)下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos4x[答案] D [解析] T ＝2π4＝π24．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝|cos x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin|x |[答案] D [解析]5．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的最小正周期是4π，则ω等于( )A ．2 B.12 C ．±2 D ．±12[答案] D[解析] 4π＝2π|ω|，∴ω＝±12.6．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π5的周期是( )A ．2πB ．πC .π3 D.π6[答案] C[解析] T ＝12·2π3＝π3.7．函数y ＝cos(k 4＋π3)(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13[答案] D[解析] T ＝2πk 4＝8πk ≤2 ∴k ≥4π又k ∈N *∴k 最小为13，故选D8．定义在R 上的周期函数f (x )的一个周期为5，则f (2011)＝( ) A ．f (1) B ．f (2) C ．f (3) D ．f (4)[答案] A[解析] f (2011)＝f (402×5＋1)＝f (1)．9．定义在R 上周期为4的函数，则f (2)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2[答案] C[解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)又f (x )是4为周期的函数，∴f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)．∴f (2)＝－f (2)∴f (2)＝0，故选C.10．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3等于( ) A ．－12B ．1C ．－32D.32[答案] D[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 ＝sin π3＝32.二、填空题11．若函数y ＝4sin ωx (ω>0)的最小正周期是π，则ω＝________. [答案] 212．(2011～2012·宿州高一检测)已知函数f (x )是定义在R 上周期为6的奇函数，且f (－1)＝－1，则f (5)＝________.[答案] －113．若函数f (x )＝2cos(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．[答案] 6[解析] T ＝2πω，又1<T <3，∴1<2πω<3.∴12π<1ω<32π.∴2π3<ω<2π. 则正整数ω的最大值为6.14．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为________．[答案] ±45[解析] ∵f (x )的最小正周期为π2，ω>0，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95，∴cos α＝35.∴sin α＝±1－cos 2α＝±45.三、解答题15．求下列函数的周期．(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎫14x ＋π3(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R )．[分析] 解答本题(1)可结合周期函数的定义求解；(2)可通过画函数图象求周期．[解析] (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋π3，∴f (x ＋8π)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14(x ＋8π)＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋π3＋2π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋π3＝f (x )． ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋π3的周期为8π.(2)函数y ＝|sin x |的图象如图所示．由图象知T ＝π.[点评] 求三角函数的周期，通常有三种方法．(1)定义法．根据函数周期的定义求函数的周期．如本例(1)． (2)公式法．一般地，对于y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数且A ≠0，ω≠0)形式的函数，其周期为T ，则T ＝2π|ω|.本例(1)可用公式求解如下：T ＝2π14＝8π. (3)图象法，即大致画出函数的图象观察．如本例(2)．其中公式法是最常用而且简单的方法．16．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．[解析] ∵f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2) ＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期． 17．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图．(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． [解析] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z ). 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.18．已知函数y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6(其中k ∈N )，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，求k 值．[解析] 由5cos(2k ＋13πx －π6)＝54，得cos(2k ＋13πx －π6)＝14.∵函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值为14的有两次，而区间[a ，a ＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．即2×2π2k ＋13π≤3，且4×2π2k ＋13≥3.∴32≤k ≤72.又k ∈N ，故k ＝2,3.。

高一数学必修4周期知识点高一数学必修4是学习高中数学的关键阶段，其中的周期知识点在学习中占据着重要的地位。

本文从周期函数的定义入手，分别讨论了正弦函数和余弦函数的基本特点，以及各种周期函数的图像和性质。

周期函数是指存在一个常数 T，使得对于函数 f(x) 来说，对于任意自变量 x，有 f(x+T)=f(x) 成立。

周期函数的研究主要集中在正弦函数和余弦函数上。

正弦函数的周期是2π，而余弦函数的周期也是2π。

这两个函数都属于三角函数的一种，其定义域是整个实数集，值域在[-1,1]之间。

首先讨论正弦函数。

正弦函数的图像呈现为波浪形状，它具有以下特点：1. 对称性：正弦函数是奇函数，即满足 f(-x)=-f(x)。

这意味着正弦函数关于原点对称，其中心对称轴为 y 轴。

2. 最值：正弦函数的最大值是 1，最小值是 -1。

3. 零点：正弦函数的零点是π 的整数倍，即 f(x)=0 当x=nπ，其中 n 为整数。

4. 增减性：正弦函数在[0,π/2] 上是单调递增的，在[π/2,π] 上是单调递减的。

接下来是余弦函数。

余弦函数的图像也呈现为波浪形状，它具有以下特点：1. 对称性：余弦函数是偶函数，即满足 f(-x)=f(x)。

这意味着余弦函数关于 y 轴对称，其中心对称轴为 y 轴。

2. 最值：余弦函数的最大值是 1，最小值是 -1。

3. 零点：余弦函数的零点是π/2 的整数倍，即 f(x)=0 当x=(2n+1)π/2，其中 n 为整数。

4. 增减性：余弦函数在[0,π/2] 上是单调递减的，在[π/2,π] 上是单调递增的。

除了正弦函数和余弦函数，还有其他的周期函数，如正切函数、余切函数、正割函数、余割函数等。

它们都属于三角函数的一种，有着各自的特点和性质。

例如，正切函数的定义域是整个实数集除去π/2 的整数倍，值域是整个实数集；余切函数和正切函数是互为倒数的，即tan(x)=1/cot(x)。

而正割函数和余割函数也是互为倒数的，即sec(x)=1/csc(x)。