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1-4-2-1周期函数一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )，存在无数个实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )( )A ．是周期为1的周期函数B ．是周期为2的周期函数C ．是周期为4的周期函数D ．不一定是周期函数 [答案] D2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π4的最小正周期为( )A ．πB ．2πC ．4π D.π2[答案] C [解析] T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝4π. 3．(2011～2012年宁德高一检测)下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos4x[答案] D [解析] T ＝2π4＝π24．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝|cos x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin|x |[答案] D [解析]5．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的最小正周期是4π，则ω等于( )A ．2 B.12 C ．±2 D ．±12[答案] D[解析] 4π＝2π|ω|，∴ω＝±12.6．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π5的周期是( )A ．2πB ．πC .π3 D.π6[答案] C[解析] T ＝12·2π3＝π3.7．函数y ＝cos(k 4＋π3)(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13[答案] D[解析] T ＝2πk 4＝8πk ≤2 ∴k ≥4π又k ∈N *∴k 最小为13，故选D8．定义在R 上的周期函数f (x )的一个周期为5，则f (2011)＝( ) A ．f (1) B ．f (2) C ．f (3) D ．f (4)[答案] A[解析] f (2011)＝f (402×5＋1)＝f (1)．9．定义在R 上周期为4的函数，则f (2)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2[答案] C[解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)又f (x )是4为周期的函数，∴f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)．∴f (2)＝－f (2)∴f (2)＝0，故选C.10．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3等于( ) A ．－12B ．1C ．－32D.32[答案] D[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 ＝sin π3＝32.二、填空题11．若函数y ＝4sin ωx (ω>0)的最小正周期是π，则ω＝________. [答案] 212．(2011～2012·宿州高一检测)已知函数f (x )是定义在R 上周期为6的奇函数，且f (－1)＝－1，则f (5)＝________.[答案] －113．若函数f (x )＝2cos(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．[答案] 6[解析] T ＝2πω，又1<T <3，∴1<2πω<3.∴12π<1ω<32π.∴2π3<ω<2π. 则正整数ω的最大值为6.14．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为________．[答案] ±45[解析] ∵f (x )的最小正周期为π2，ω>0，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95，∴cos α＝35.∴sin α＝±1－cos 2α＝±45.三、解答题15．求下列函数的周期．(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎫14x ＋π3(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R )．[分析] 解答本题(1)可结合周期函数的定义求解；(2)可通过画函数图象求周期．[解析] (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋π3，∴f (x ＋8π)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14(x ＋8π)＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋π3＋2π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋π3＝f (x )． ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋π3的周期为8π.(2)函数y ＝|sin x |的图象如图所示．由图象知T ＝π.[点评] 求三角函数的周期，通常有三种方法．(1)定义法．根据函数周期的定义求函数的周期．如本例(1)． (2)公式法．一般地，对于y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数且A ≠0，ω≠0)形式的函数，其周期为T ，则T ＝2π|ω|.本例(1)可用公式求解如下：T ＝2π14＝8π. (3)图象法，即大致画出函数的图象观察．如本例(2)．其中公式法是最常用而且简单的方法．16．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．[解析] ∵f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2) ＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期． 17．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图．(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． [解析] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z ). 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.18．已知函数y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6(其中k ∈N )，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，求k 值．[解析] 由5cos(2k ＋13πx －π6)＝54，得cos(2k ＋13πx －π6)＝14.∵函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值为14的有两次，而区间[a ，a ＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．即2×2π2k ＋13π≤3，且4×2π2k ＋13≥3.∴32≤k ≤72.又k ∈N ，故k ＝2,3.。
高一数学必修4周期知识点高一数学必修4是学习高中数学的关键阶段，其中的周期知识点在学习中占据着重要的地位。
本文从周期函数的定义入手，分别讨论了正弦函数和余弦函数的基本特点，以及各种周期函数的图像和性质。
周期函数是指存在一个常数 T，使得对于函数 f(x) 来说，对于任意自变量 x，有 f(x+T)=f(x) 成立。
周期函数的研究主要集中在正弦函数和余弦函数上。
正弦函数的周期是2π，而余弦函数的周期也是2π。
这两个函数都属于三角函数的一种，其定义域是整个实数集，值域在[-1,1]之间。
首先讨论正弦函数。
正弦函数的图像呈现为波浪形状，它具有以下特点：1. 对称性：正弦函数是奇函数，即满足 f(-x)=-f(x)。
这意味着正弦函数关于原点对称，其中心对称轴为 y 轴。
2. 最值：正弦函数的最大值是 1，最小值是 -1。
3. 零点：正弦函数的零点是π 的整数倍，即 f(x)=0 当x=nπ，其中 n 为整数。
4. 增减性：正弦函数在[0,π/2] 上是单调递增的，在[π/2,π] 上是单调递减的。
接下来是余弦函数。
余弦函数的图像也呈现为波浪形状，它具有以下特点：1. 对称性：余弦函数是偶函数，即满足 f(-x)=f(x)。
这意味着余弦函数关于 y 轴对称，其中心对称轴为 y 轴。
2. 最值：余弦函数的最大值是 1，最小值是 -1。
3. 零点：余弦函数的零点是π/2 的整数倍，即 f(x)=0 当x=(2n+1)π/2，其中 n 为整数。
4. 增减性：余弦函数在[0,π/2] 上是单调递减的，在[π/2,π] 上是单调递增的。
除了正弦函数和余弦函数，还有其他的周期函数，如正切函数、余切函数、正割函数、余割函数等。
它们都属于三角函数的一种，有着各自的特点和性质。
例如，正切函数的定义域是整个实数集除去π/2 的整数倍，值域是整个实数集；余切函数和正切函数是互为倒数的，即tan(x)=1/cot(x)。
而正割函数和余割函数也是互为倒数的，即sec(x)=1/csc(x)。
三角函数的图象和性质三角函数的周期性.理解周期函数的定义.(难点).知道正弦函数、余弦函数的最小正周期.(重点).会求函数＝(ω＋φ)和＝(ω＋φ)的周期.(重点)[基础·初探]教材整理周期函数的定义阅读教材～例以上的部分内容，完成下列问题．.周期函数的定义：一般地，对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数()就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周(＋)＝()期．.最小正周期：对于一个周期函数()，如果在它所有的周期中存在一个，那么最小的正数这个最小的正数就叫做()的最小正周期．.正弦函数、余弦函数的周期：∈且正弦函数和余弦函数都是周期函数，π(最都是它们的周期，它们的)≠小正周期都是.π判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()周期函数都一定有最小正周期．( )()周期函数的周期只有唯一一个．( )()周期函数的周期可以有无数多个．( )【答案】()×()×()√教材整理正、余弦函数的周期阅读教材例及其后面的部分内容，完成下列问题．函数＝(ω＋φ)及＝(ω＋φ)的周期：一般地，函数＝(ω＋φ)及＝(ω＋φ)(其为常数，且φ中，≠ω，，.ω＝＞)的周期．函数＝的周期是．【解析】＝＝.【答案】.函数()＝－(＋°)的周期是．【解析】＝＝.【答案】[小组合作型]()()＝；()()＝；()()＝；()()＝－(≠)．【精彩点拨】直接利用周期公式求解．【自主解答】()＝＝π，∴最小正周期为π.()＝＝π，∴最小正周期为.()＝＝π，∴最小正周期为π.()＝＝，∴最小正周期为.利用公式求＝(ω＋φ)或＝(ω＋φ)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可。
正弦、余弦函数的周期性教案一、教材分析：《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．二、教学目标：学情分析：学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标：(一)知识与技能1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．2．会求一些简单三角函数的周期.(二)过程与方法从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x 的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．(三)情感、态度与价值观让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.五、教学准备：三角板、多媒体课件六、教学流程：求下列函数的周期： (1)3sin4x y =，x R ∈；(2)sin()10y x π=+，x R ∈；(3)cos(2)3y x π=+,x R ∈(4)1sin()24y x π=-，x R ∈ 课外思考：1. 求函数()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠>）的周期．2.求下列函数的周期：（1）|sin |x y =，x R ∈；（2）|2cos |x y =，x R ∈ 附：板书设计附：1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点，借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，为了突破这个难点，设计了三道判断题让学生分组讨论交流，通过学生思维碰撞来体会数学概念的严谨，通过学生互动建构自己对周期函数概念的认识．3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１第１问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由学生完成第２问和第３问，再由师生共同点评．教案设计说明 《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．本课的重点为周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性，难点为周期函数定义及运用定义求函数的周期.本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，目标分析（含学情分析），教学重难点，教学准备，教学流程，教学过程．设计反映了由学生熟悉的生活的周期现象出发，通过概括、抽象，并结合正弦函数的图象引导学生感受周期函数概念的形成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节．以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从九个环节进行具体的设计．教学过程设计自始至终贯穿数形结合思想．下面从如下几个方面进行详细说明．一、教学内容的数学本质及教学目标定位本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．通过对正弦函数图象“周而复始”的变化规律特征的感知，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础，然后再引导学生了解用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.本节课要探究的周期函数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画“周而复始”的变化规律．学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识，已经掌握了三角函数图象的画法及五点法作图；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．另外，我还对我班学生的具体情况做了如下分析：我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题，但是部分学生处理抽象问题的能力还有待进一步提高．于是，结合以上的学情分析，我从“知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与价值观”设定目标.其中知识与技能目标为：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期．过程与方法则是：从学生实际中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念. 运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．并且在过程中渗透了本课的情感态度目标：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.以上是对教学目标定位的说明．二、教学流程入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．正弦函数、余弦函数的周期性，与后面高中物理研究的《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识有着密切相关的联系．在数学和其它领域（物理学、生物学、医学等）中具有重要的作用，所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁．四、教学诊断分析1．学习正弦、余弦函数的周期性时，用图象法求周期学生容易理解；建构周期函数概念时学生有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始的变化实际上是函数值的周而复始的变化”的本质学生感到有一定困难. 我首先让学生回顾如何利用正弦线画正弦函数y=sin x图象（动画演示）,通过动画演示，让学生感知正弦函数图象“周而复始”的变化规律，再引导学生用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律．2．部分学生对周期函数定义中的任意性理解容易出现错误，需要在教学中反复强调.3．本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去．五、教法特点及预期效果分析结合教学目标以及学生的实际情况，我采用了启发引导与小组合作交流相结合的教学方式，而在知识构建过程中，在教师引导下，使学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括等思维活动，提高数学思维能力；注重信息技术与数学课程的整合，提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用信息技术进行探索和发现．本节课遵循学生的认知规律，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，使学生理解周期概念的形成过程，体会蕴含在其中的数形结合的思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，教学内容利用生活中的问题和课本上已有的知识创设情境，使教学内容不仅贴近生活，并且来源于旧知识，设计内容一环扣一环，使学生对周期函数的概念理解和应用步步深入.在教学方法上运用多种方法，如观察、分析、归纳、讨论；在知识的学习过程中，重视知识的形成过程和概括过程.在解决问题中，引导学生分析、归纳方法，注意优化学生的思维品质；在教学手段上采用多媒体和黑板重点板书结合的教学方法．通过本节课学习，我力求达到：1 、形成学生主动参与，自主探究，合作交流的课堂气氛.2、学生进一步了解数学来源于生活，理解周期函数和周期的定义.3、让学生体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想，让学生领悟问题探究的学习方法.由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标.。
函数的周期性说课稿函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中“突然”出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性。
以下是函数的周期性说课稿，欢迎阅读。
各位评委、老师!大家好!我说课的内容是人教版高中数学必修四第一章1.4.2《正弦余弦函数的周期性》第一课时的内容。
下面我从教材分析、教法学法分析、教学过程分析、教学评价分析、教学板书设计五个方面向大家介绍我对本节课的理解和设计。
一、说教材分析1、教材的地位和作用：由教材的知识结构、功能特点可知：本节课是学生学习了诱导公式和三角函数图象之后，对三角函数的又一个深入探讨.是研究三角函数其它性质的基础，又是函数性质的重要补充.研究三角函数周期的过程中蕴含着数形结合、分析讨论、归纳推理等数学思想方法，在高中数学课程的学习中起到承上启下的作用.2、教学目标：根据本节课的教学内容和学生的认知规律，我制定以下教学目标：(1)知识目标：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期。
(2)能力目标：让学生经历研究三角函数从特殊到一般再到特殊的过程，领会并感悟数形结合、分类讨论、归纳推理的思想方法(3)情感目标：让学生体会数学生活，体会从感性到理性的思维过程，感受数学的魅力。
3、重点难点分析：由于学生对抽象函数图像缺乏感性认识。
为此，在教学过程中让学生自己去感受函数图象的周期性为这一堂课的突破口。
因此确定本节课的重点是重点：正弦、余弦函数的周期性;难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期二、说教法分析：依据本节课的特点，我主要运用了启发发现教学法，并充分利用多媒体、网络等现代教学媒体进行辅助教学，增强知识的直观性和趣味性。
通过创设情境，激发学习兴趣，引导学生去观察、思考、讨论，使得学生在动手动脑的过程中发现规律，减轻学生认知的难度。
三、说学法分析：学生已掌握了诱导公式、函数图象及五点作图的方法，但对知识的理解和方法的掌握不完善，反映在学生解题思维不严密、过程不完整，能力上具备了观察、类比、分析、归纳的能力，但知识的整合和主动迁移能力较弱。
能 力 提 升
一、选择题
1．定义在R 上的函数f (x )，存在无数个实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )( )
A ．是周期为1的周期函数
B ．是周期为2的周期函数
C ．是周期为4的周期函数
D ．不一定是周期函数 [答案] D
2．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3－ωx 的最小正周期是4π，则ω等于( )
A ．2 B.1
2 C ．±2 D ．±12
[答案] D
[解析] 4π＝2π|ω|，∴ω＝±1
2
.
3．(2013山师附中期中)函数y ＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为( )
A.π2 B ．π C ．2π D ．4π
[答案] A
[解析] ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin (x ＋π2)＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
cos (x ＋π2)＝|sin x |＋|cos x |.∴原函数的
最小正周期为π
2
.
4．函数y ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π5的周期是( )
A ．2π
B ．π C.π
3 D.π6
[答案] C
[解析] T ＝12·2π3＝π
3
.
5．函数y ＝cos(k 4x ＋π
3)(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k
的最小值应是( )
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
[答案] D
[解析] T ＝2πk 4
＝8π
k ≤2 ∴k ≥4π又k ∈N *
∴k 最小为13，故选D.
6．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )
的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π3等于( )
A ．－1
2
B ．1
C ．－
32
D.32
[答案] D
[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3 ＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫23π－π＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3
＝sin π3＝32.
二、填空题
7．(2013·江苏)函数y ＝3sin(2x ＋π
4)的最小正周期为________．
[答案] π
[解析] 本题考查三角函数的周期．T ＝2π
2
＝π.
8．若函数f (x )＝2cos(ωx ＋π
3)(ω>0)的最小正周期为T ，且T ∈
(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
[答案] 6
[解析] T ＝2πω，又1<T <3，∴1<2π
ω<3. ∴12π<1ω<32π.∴2π
3<ω<2π. 则正整数ω的最大值为6.
9．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2
为
最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝9
5
，则sin α的值为________．
[答案] ±4
5
[解析] ∵f (x )的最小正周期为π
2
，ω>0，
∴ω＝2π
π2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95，
∴cos α＝3
5
.
∴sin α＝±1－cos 2
α＝±4
5
.
三、解答题
10．求下列函数的周期． (1)y ＝sin2x ； (2)y ＝－cos(x ＋π
4)；
(3)y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)． [解析] 由周期函数的定义求． (1)令f (x )＝sin2x ，
∵f (x ＋π)＝sin2(x ＋π)＝sin2x ＝f (x )． ∴函数y ＝sin2x 的周期为π. (2)令f (x )＝－cos(x ＋π
4
)，
∵f (x ＋2π)＝－cos[(x ＋2π)＋π4]＝－cos(x ＋π
4)＝f (x )．
∴函数y ＝－cos(x ＋π
4)的周期为2π.
(3)令f (x )＝sin(ωx ＋φ)，
∵f (x ＋2πω)＝sin[ω(x ＋2π
ω)＋φ]＝sin(ωx ＋φ＋2π)＝sin(ωx ＋φ)＝f (x )，
∴函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2π
ω. 11．已知函数y ＝12sin x ＋1
2|sin x |.
(1)画出函数的简图．
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
[解析] (1)y ＝12sin x ＋1
2
|sin x |
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，
0，x ∈[2k π－π，2k π)(k ∈Z ). 函数图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.
12．已知函数y ＝5cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6(其中k ∈N )，对任意实数a ，
在区间[a ，a ＋3]上要使函数值5
4出现的次数不少于4次且不多于8次，
求k 值．
[解析] 由5cos(2k ＋13πx －π6)＝5
4，
得cos(2k ＋13πx －π6)＝1
4
.
∵函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值为1
4的有两次，而区间
[a ，a ＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值1
4
不少于4
次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．
即2×
2π
2k＋1
3
π
≤3，且4×
2π
2k＋1
3
π
≥3.
∴3
2≤k≤7
2.又k∈N，故k＝2,
3.。
