§1.1 第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征【课标要求】1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算.【核心扫描】1．在观察认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征过程中培养抽象概括能力和空间想象能力．(重点)2．通过棱柱、棱锥、棱台结构特征的应用提高分析解决问题的能力，增强应用意识．(难点)【新知探究】新知导学1．空间几何体、多面体的概念(1)空间几何体如果只考虑物体的和，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体．(2)多面体一般地，由若干个围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个叫做多面体的面；相邻两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点．温馨提示：(1)按多面体是否在任一面的同侧关系分，可分为凸多面体(把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧)和凹多面体．我们所研究的多面体若不特别说明，都是指凸多面体．(2)多面体按围成它的面的个数分，可分为四面体、五面体、六面体……2．简单的多面体——棱柱、棱锥、棱台多面体结构特征图形表示法棱柱有两个面互相，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这如上、下底面分别是四边形A′B′C′D′、四边形ABCD的四棱些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱中，的面叫做棱柱的底面，简称底；叫做棱柱的侧面；相邻的侧面的叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的叫做棱柱的顶点柱，可记为棱柱ABCD－A′B′C′D′棱锥有一个面是，其余各面都是有一个公共顶点的，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个叫做棱锥的侧面；各侧面的叫做棱锥的顶点；相邻侧面的叫做棱锥的侧棱如图所示，该棱锥可表示为棱锥S－ABCD棱台用一个的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台．原棱锥的和分别叫做棱台的下底面和上底面如上、下底面分别是四边形A′B′C′D′、四边形ABCD的四棱台，可记为棱台ABCD－A′B′C′D′温馨提示：棱柱、棱锥、棱台的形状虽然不同，但它们可以互相转化：当台体的上、下底全等时，棱台转化为棱柱，当棱台的上底面收缩为一点时，棱台转化为棱锥，即：因此，棱柱与棱锥都是棱台的特例．互动探究探究点1 面数最少的多面体有几个面？探究点2 (1)有一个面是多边形，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？探究点3 (1)棱台的上下底面一定平行且相似吗？棱台的一个侧面可为平行四边形吗？(2)有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台吗？【题型探究】类型一棱柱、棱锥、棱台的结构特征【例1】下列三个命题中，正确的有()．①棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④五棱台的各侧棱的延长线可能无法交于一点．A．0个B．1个C．2个D．3个[思路探索]根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征判断．[规律方法]解决这类问题，关键在于准确把握简单多面体的结构特征，也就是以概念的本质内涵为依据，以具体实物和图形为模型来进行判定．【活学活用1】判断下列说法是否正确．(1)三棱柱有6个顶点，(2)三棱锥有4个顶点；(3)用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；(4)如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形．类型二空间几何体的平面展开图【例2】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[思路探索]可动手做一模型解决问题．[规律方法]立体图形的展开或平面图形的折叠是培养空间想象能力的好方法，解此类问题可以结合常见几何体的定义与结构特征，进行空间想象，或亲自动手制作平面展开图进行实践．【活学活用2】如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()．A．①③B．②④C．③④D．①②类型三多面体的有关计算【例3】若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高(过顶点向底面作垂线，顶点与垂足的距离)．[思路探索]求出底面正三角形的中心到三角形顶点的距离，再利用它与棱锥的高、侧棱构成的直角三角形解决．[规律方法](1)要把侧面的高与几何体的高分开，不能混为一谈．(2)注意结合条件，构造直角三角形来解决问题．而对于棱台的有关计算常恢复到棱锥并借助相似比来解决．【活学活用3】一个棱台的上、下底面积之比为4∶9，若棱台的高是4 cm，求截得这个棱台的棱锥的高．方法技巧多面体表面距离最短问题表面距离最短问题，一般方法是展成平面图形，利用两点间距离最短来解决．【示例】如图(1)所示，在侧棱长为23的正棱锥VABC中(底面为正三角形，过顶点与底面垂直的直线过底面的中心)，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值．[思路分析]把正三棱锥的侧面展开成平面图形，当△AEF的各边在同一直线上时，其周长最小．[题后反思] 有关几何体的距离的最值问题有两类基本方法：(1)函数思想：设出变量，把所求距离写出关于变量的函数表达式，再利用函数方法求最值．(2)转化思想：通过表面展开，转化为平面问题变曲为直，利用几何性质求解.【课堂小结】1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的含义，能够根据定义判断几何体的形状．2．对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力．【课堂达标】1．三棱锥的四个面中可以作为底面的有()．A．1个B．2个C．3个D．4个2．棱台不具备的性质是()．A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点3．不在棱柱同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的体对角线，则长方体共有________条体对角线．4．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右图的平面图形，则标“△”的面的方位是________．5．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点(3)每个面的三角形面积为多少？【参考答案】【新知探究】新知导学1．(1) 形状大小(2)平面多边形多边形公共边公共点2．多面体结构特征图形表示法棱柱平行四边形平行两个互相平行其余各面公共边公共顶点棱锥多边形三角形多边形三角形面公共顶点公共边棱台平行于棱锥底面底面截面互动探究探究点1提示面数最少的多面体是四面体(三棱锥)，有4个面．探究点2提示(1)不一定．如图所示(1)的几何体就不是棱柱．图(1)图(2)(2)不一定．如图(2)所示的几何体就不是棱锥．探究点3提示(1)棱台的上下底面一定平行且相似；棱台的一个侧面不能为平行四边形，否则侧棱延长后不能相交于一点．(2)不一定．当两个面平行且相似，对应边成比例；其余各面都是梯形才是棱台如图(1)；当两个面平行且相似，对应边不成比例，其余各面都是梯形，也不是棱台如图(2)．【题型探究】类型一棱柱、棱锥、棱台的结构特征【例1】解析①错误．底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行，但不能作为底面．②错误．如图所示的几何体各面均为三角形，但不是棱锥．③错误．因为不能保证侧棱相交于同一点(如探究3中的图形)．④错误．棱台的侧棱延长后一定相交于同一点．答案A【活学活用1】解(1)正确．符合棱柱顶点的定义．(2)不正确．对于一个三棱锥，只能一个顶点，一个底面．(3)不正确．因为截面不一定与底面平行．(4)不正确．如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证侧棱垂直于该侧面的底边，其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧面不一定是矩形．类型二空间几何体的平面展开图【例2】解①五棱柱；②五棱锥；③三棱台．如图所示．【活学活用2】解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体． 答案 C类型三 多面体的有关计算 【例3】解 底面正三角形中，边长为3，高为3×sin 60°＝332，中心到顶点距离为332×23＝3，则棱锥的高为22－32＝1.【活学活用3】解 如图所示，将棱台还原为棱锥，设PO 是原棱锥的高，O 1O 是棱台的高， ∵棱台的上、下底面积之比为4∶9，∴它们的底面对应边之比A 1B 1∶AB ＝2∶3，∴P A 1∶P A ＝2∶3. 由于A 1O 1∥AO ，∴P A 1P A ＝PO 1PO ，即PO －O 1O PO ＝PO －4PO ＝23.∴PO ＝12 (cm)，即原棱锥的高是12 cm. 【示例】解 将三棱锥沿侧棱VA 剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图(2)所示， 线段 AA 1的长为所求△AEF 周长的最小值，取AA 1的中点D ，则VD ⊥AA 1，∠AVD ＝60°，可求AD ＝3，则AA 1＝6. 【课堂达标】1．解析 由于三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D. 答案 D2．解析 用棱台的定义去判断． 答案 C3．解析 通过观察实物(如粉笔盒)可知长方体有4条对角线． 答案 44． 解析 如图所示的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，沿棱DD 1，D 1C 1，C 1C 剪开，使正方形DCC 1D 1向北方向展开；沿棱AA 1，A 1B 1，B 1D 剪开，使正方形ABB 1A 1向南方向展开，然后将正方体沿BC剪开并展开，则标“△”的面的方位是北．答案北5．解(1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．(3)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝3 2a2.。
