2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题(word版含答案)

2021年高二学业水平测试数学试题 含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1、已知集合，，则.2、下列函数中，与函数定义域相同的函数为.3、设是等差数列的前项和，已知，，则.4、某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是.5、将函数的图像向左平移个单位，得到函数 的图像，则下列说法正确的是. 的最小正周期为 是偶函数 的图像关于点对称 在区间上是减函数6、已知，则下列不等关系式中正确的是.7、在中，已知，，则. 8、设满足约束条件 则的最小值为 9、设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为10、小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11、过点且与直线平行的直线方程是12、如图，在半径为的圆内随机撒粒豆子，有粒落在阴影部分， 据此估计阴影部分的面积为13、执行如图所示的程序框图，则输出的的值是14、在中，已知，，，则的长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15、（本小题满分12分）实验室某一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：.43俯视图侧视图正视图（1）求实验室这一天上午10点的温度；（2）当为何值时，这一天中实验室的温度最低.16、（本小题满分12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（2）试估计生活垃圾投放错误．．的概率.17、（本小题满分14分）如图所示，四棱锥中，底面为矩形， ，，点为的中点. （1）求证：； （2）求证：. 18、（本小题满分14分）已知直线与圆相交于不同两点，.B（1）求实数的取值范围（2）是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19、（本小题满分14分）已知等差数列的公差为，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.20、（本小题满分14分）已知，函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）求函数的零点个数.数学参考答案一、选择题二、填空题11、12、13、14、三、解答题15、解：（1）依题意实验室这一天上午10点，即时，，所以上午10点时，温度为.（2）因为，所以，令，即，所以故当时，即时，取得最小值，故当时，这一天中实验室的温度最低。

2021年吉林普通高中会考数学模拟试题及答案注意事项：1．答题前将自己的姓名、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡和试卷规定的位置上。

考试结束时.将试卷和答题卡一并交回。

2．本试题分两卷.第1卷为选择题.第Ⅱ卷为书面表达题。

试卷满分为120分。

答题时间为100分钟。

3．第1卷选择题的答案都必须涂在答题卡上。

每小题选出答案后.用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号。

选择题答案写在试卷上无效。

4．第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上.注意字迹清楚.卷面整洁。

参考公式：标准差：锥体体积公式： V= 31S底·h其中．s 为底面面积.h 为高,柱体体积公式V=s.h球的表面积、体积公式S= 24R π V=343R π其中．s 为底面面积.h 为高, V 为体积 .R 为球的半径第1卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共15小题.每小题的四个选项中只有一项是正确的.第1-10小题每 小题3分.第11-15小题每小题4分.共50分）1.设集合M={－2.0.2}.N={0}.则( ). A ．N 为空集 B. N ∈M C. N M D. MN2．已知向量(3,1)=a .(2,5)=-b .那么2+a b 等于（ ） A (1,11)- B (4,7) C (1,6) D (5,4)-3．函数2log (1)y x =+的定义域是（ ）222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-A (0,)+∞B (1,)-+∞C (1,)+∞D [1,)-+∞4．函数sin y x ω=的图象可以看做是把函数sin y x =的图象上所有点的纵坐标保持不变.横坐标缩短到原来的12倍而得到的.那么ω的值为（ ） A 14 B 12C 4D 25．在函数3y x =.2xy =.2log y x =.y =.奇函数是（ ）A 3y x = B 2xy = C 2log y x =D y =6.一个几何体的三视图如图所示.该几何体的表面积是（ ） A 3π B 8π C 12π D 14π7．11sin 6π的值为（ ）A 12-B 2-C 12D 28．不等式2320x x -+<的解集为（ ）A {}2x x > B {}1x x > C {}12x x << D {}12x x x <>或9．在等差数列{}n a 中.已知12a =.24a =.那么5a 等于（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1610．函数45)(2+-=x x x f 的零点为()俯视图左（侧）视图主（正）视图22A ．(1,4)B ．(4,1)C ．(0,1),(0,4)D ．1,411．已知平面α∥平面β.直线m ⊂平面α.那么直线m 与平面β的关系是（ ） A 直线m 在平面β内 B 直线m 与平面β相交但不垂直 C 直线m 与平面β垂直 D 直线m 与平面β平行12. 在ABC ∆中.如果3a =2b =.1c =.那么A 的值是（ ）A 2πB 3πC 4πD 6π13.直线y= -12x+34的斜率等于 （ ） A ．-12 B ．34 C ．12 D ．- 3414．某城市有大型、中型与小型超市共1500个.它们的个数之比为1:5:9．为调查超市每日的零售额情况.需要通过分层抽样抽取30个超市进行调查.那么抽取的小型超市个数为（ ）A 5B 9C 18D 2015, ．设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩.则2z x y =+的最小值等于 ( )A. 2B. 3C.4D.52021年吉林省普通高中学业考试模拟试题（数学） 注意事项：1．第Ⅱ卷共4页.用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

吉林省2021年中考数学试卷一、单选题1.化简−(−1)的结果为（）A. －1B. 0C. 1D. 2【答案】C【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】解：−(−1)=1，故答案为：C．【分析】求出−(−1)=1即可作答。

2.据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为（）A. 7.006×103B. 7.006×104C. 70.06×103D. 0.7006×104【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：70060=7.0060×104，故答案为：B．【分析】将一个数表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。

根据科学记数法的定义计算求解即可。

3.不等式2x−1>3的解集是（）A. x>1B. x>2C. x<1D. x<2【答案】B【考点】解一元一次不等式【解析】【解答】解：2x−1>3，2x>3+1，2x>4，x>2．故答案为：B．【分析】根据不等式的性质解不等式即可。

4.如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．故答案为：A．【分析】根据所给图形粮仓和主视图的定义求解即可。

5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B=120°，则∠APC的度数可能为（）A. 30°B. 45°C. 50°D. 65°【答案】 D【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D=180°，∵∠B=120°，∴∠D=180°−∠B=60°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC>∠D，只有D满足题意．故答案为：D．【分析】先求出∠B+∠D=180°，再求出∠D=180°−∠B=60°，最后求解即可。

长春市普通高中2021届高三质量监测（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. D2. A3. B4. C5.C6. C7. D8. B9. D 10.C 11. C12. D简答与提示：1. 【试题解析】D 复数z 的虚部为2sin3π=D. 2. 【试题解析】A 易知阴影部分为集合()(1,2]U A B =-，故选A. 3. 【试题解析】B 若m 与n 不相交，则“直线l m ⊥且l n ⊥”不能推出“l α⊥”；反之，如果“l α⊥”，无论m 与n 是否相交，都能推出“直线l m ⊥且l n ⊥”，故“直线l m ⊥且l n ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件，故选B.4. 【试题解析】C 由图易知①②③正确，④中位数应为1289（万），④错，故选C.5. 【试题解析】C 设事件A =“第1次抽到代数题” ，事件B =“第2次抽到几何题”，则321(|)342P B A ⨯==⨯，故选C. 6. 【试题解析】C 由题意533565,13S a a ===，所以142328a a a a +=+=，故选C.7. 【试题解析】D 由题意知，直线l 过点1(,1)2-，斜率为2，所以直线:220l x y -+=，故选D.8. 【试题解析】B 由题意知||1,0DC DC BC =⋅=，所以()1AD DC AB BC CD DC AB DC CD DC ⋅=++⋅=⋅+⋅=，故选B9. 【试题解析】D由题意，设ABC △为36A =︒的黄金三角形，有,a b c b ==，所以222cos362b c a bc +-︒==所以sin126cos36︒=︒=另外36A B ==︒，108C =，也可获得此结果，故选D.10. 【试题解析】C 由2FA AM =知A 为线段FM 上靠近F 的三等分点，所以0(,0),(,3)22p p F M y -，有22(2)2,12,2422p pp y x -=+==，故选C. 11. 【试题解析】C 由图知，125,221212πππωω⋅=+=，2()2,0,126k k ππϕπϕ⨯-+===，故①正确，②错误；③中，12,26x x π+=而直线6x π=是函数()f x 的对称轴，故③正确，④错误，故选C.12. 【试题解析】D 由题意化简，()1x xx xe ef x e e --+=+-，可知()f x 的图象与()g x 的图象都关于点(0,1)对称，又2224()0(1)xx e f x e -'=<-，所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上单调递减，由2()3(4)g x x '=--可知，()g x 在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减，在(2,2)-上单调递增，由图象可知，()f x 与()g x 的图象有四个交点，且都关于点(0,1)对称，所以所求和为4，故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 614. 例如x -15.16. 三、解答题17. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由题意，521885020400ˆ90,4,859080ii x x b =-⨯====-∑，ˆ40085460a=-⨯=，所以ˆ8560y x =+. （6分） （2）由（1）知，22171125585805()24w x x x =-+-=--+，所以当8x =或9x =时能获得总利润最大. （12分）18. (本小题满分12分) 【试题解析】解：（1）证明：11111111111A A ABC A A AC AC A ABB AC ABC AC B M AC B M AB AC B M A ABB ⎫⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎪⎭⇒⊥⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭平面平面平面，即平面111111*********AC B M B M A BC A B B M B C M A BC B M B C M ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⊥⇒⊥⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面平面平面. （6分） （2）以A 为原点，AB 方向为x 轴，AC 方向为y 轴，1AA 方向为z 轴，建立空间直角坐标系.1(4,0,2)B ，1(0,4,2)C ，(3,0,0)M11(4,4,0)BC =- 1(1,0,2)B M =--平面11B C M 的法向量为1(2,2,1)n =- 平面11A ACC 的法向量为2(1,0,0)n =即平面11A ACC 与平面11B C M 所成锐二面角θ的余弦值为1212||2cos 3||||n n n n θ⋅==⋅，即平面11A ACC 与平面11B C M 所成锐二面角的余弦值为23. （12分）19. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由题意112112080a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩，可知4q =， 进一步解得14a =. 即{}n a 的通项公式为4n n a =. （6分）（2）22log log 42n n n b a n ===，212(1)22n S n n n n n =+-⋅=+，2221111111n n b n S n n n n==+++++，由*n ∈N ， 利用基本不等式以及对勾函数的性质可得11203n n +≥得61123n n b S +≤则λ的最小值为623. （12分）20. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）当1a =时，令2()()()ln F x f x g x x x =-=-，1()2F x x x'=-（0x >） 2121()2x F x x x x -'=-=，令()0F x '=且0x >可得22x =，min 21111((ln 2)ln 222222F F ==--=+. （4分）（2）方法一：由函数()f x 和()g x 的图象可知，当()()f x g x >时，曲线()y f x =与()y g x =有两条公切线.即2ln ax x >在(0,)+∞上恒成立，即2ln x a x>在(0,)+∞上恒成立，设2ln ()x h x x =，312ln ()xh x x -'=令312ln ()0xh x x -'==，x e =即max 1()2h h e e ==，因此，12a e >. （12分）法二： 取两个函数相切的临界条件：20000ln 12ax x ax x⎧=⎪⎨=⎪⎩解得0x =，12a e =， 由此可知，若两条曲线具有两条公切线时，12a e>. （12分） 21. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由12e =可设2a t =，c t =，则b =， 则方程化为2222143x y t t+=，又点3(1,)2P 在椭圆上，则22914143t t+=，解得1t =，因此椭圆C 的方程为22143x y +=. （4分） （2）当直线AB 的斜率存在时，设AB 直线的方程为y kx m =+， 联立直线AB 和椭圆C 的方程消去y 得，2234()120x kx m ++-=，化简得：222(34)84120k x kmx m +++-=，21111||||||||222AOB S m x x m m =⋅-==△222||2||3434m m k k =++==当221342m k =+时，S22234m k =+， 又122834km x x k -+=+，121226()234my y k x x m k +=++=+， 则1212(,)22x x y y M ++，即2243(,)3434km mM k k -++ 令22434334km x k my k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则221322x y +=， 因此平面内存在两点G 、H使得||||GM HM +=当直线AB的斜率不存在时，设(2cos )A θθ，则(2cos ,)B θθcos 2AOB S θθθ==△，即当4πθ=此时AB 中点M的坐标为，满足方程221322x y +=，即||||GM HM +=（12分）22. (本小题满分10分)【试题解析】（1）曲线1C 的普通方程为cos sin 0y x αα⋅-⋅=，即极坐标方程为θα=（ρ∈R ）.曲线2C 的直角坐标方程为2223x y x +-=，即22(1)4x y -+=. （5分）（2）曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρθρ-⋅-=，代入θα=，可得123ρρ⋅=-， 则12||||||3OA OB ρρ⋅==. （10分）23. (本小题满分10分) 【试题解析】（1）()(4)|1||3|8f x f x x x ++=-++≥，则(,5][3,)x ∈-∞-+∞. （5分）（2）要证()||()bf ab a f a>成立，即证|1|||ab b a ->-成立， 即证22221b a b a +>+成立，只需证222(1)(1)0a b b --->成立即证22(1)(1)0a b -->成立，由已知||1,||1a b <<得22(1)(1)0a b -->显然成立.（10分）。

2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学试卷一､选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题每小题4分，共50分）1.设集合{}1,2A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2 C.{}2,3,4 D.{}22.若()()()1i 23i i ,a b a b ++-=+∈R ,其中i 是虚数单位,则,a b 的值分别等于（）A.3,2a b ==B.1,4a b =-= C.3,2a b ==- D.3,2a b =-=3.已知4sin 5α=，且α为第二象限角，则cos α的值为（）A.45 B.45-C.35D.35-4.不等式()20x x -<的解集是（）A.()(),02,-∞+∞B.()0,2C.()(),20,-∞-⋃+∞ D.()2,0-5.已知向量()1,a m = ，()1,2b =- ，若a b ⊥，则实数m 等于（）A.12B.12-C.-2D.26.设x ，R y ∈，则“1x >”是“0x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.在空间，下列命题正确的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两个平面平行8.下列函数中，与y x =是同一个函数的是（）A.2y = B.u =C.y =D.2n m n=9.有一组数据，将其从小到大排序如下：157，159，160，161，163，165，168，170，171，173.则这组数据的第75百分位数是（）A.165B.168C.170D.17110.已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.2B.52-C.54D.1-11.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.在ABC 中，π3A =，BC =，AC =，则角B 为（）A.π6 B.π4 C.π3 D.π213.若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（）A.3π2 B.3π4C.3πD.12π14.已知3log 2a =，4log 2b =，5log 2c =，则（）A.c b a>> B.c a b>> C.b a c>> D.a b c>>15.在ABC 中，点D 在BC 边上，2BD DC = ，则AD =（）A.2133AB AC +B.1233AB AC +C.1122AB AC +D.1344AB AC +二､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）16.若0x >，则4x x+的最小值为________________．17.某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取___________名.18.已知1sin 23α=-，则2πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为___________.19.根据某地不同身高的未成年男性的体重平均值，建立了能够近似地反映该地未成年男性平均体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的函数关系：2 1.02x y =⨯，如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175cm ，体重为78kg 的未成年男性的体重状况为___________.（填“偏胖”或“正常”或“偏瘦”，参考数据：351.022≈）三､解答题（本大题共4小题，第20､21小题每小题8分，第22､23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）20.已知函数()sin 2cos 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合.21.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为1A ，2A ，3A ），2支为二等品（记为1B ，2B ），从中随机抽取2支进行检测.（1）写出这个试验的样本空间Ω；（2）求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率.22.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB =3，AC =4，BC =5.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求三棱柱111ABC A B C -的体积.23.已知函数2()31xf x a =+-.（1）根据函数单调性的定义证明函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减；（2）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值.2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学试卷一､选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题每小题4分，共50分）1.设集合{}1,2A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2 C.{}2,3,4 D.{}2【答案】D【分析】利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为{}1,2A =，{}2,3,4B =，所以{2}A B = ，故选：D2.若()()()1i 23i i ,a b a b ++-=+∈R ,其中i 是虚数单位,则,a b 的值分别等于（）A.3,2a b ==B.1,4a b =-= C.3,2a b ==- D.3,2a b =-=【答案】C【分析】将等式合并计算结果,求出,a b 即可.【详解】解:由题知()()1i 23i 32i i a b ++-=-=+,,a b ∈R ,3,2a b ∴==-.故选:C 3.已知4sin 5α=，且α为第二象限角，则cos α的值为（）A.45 B.45-C.35D.35-【答案】D【分析】直接根据同角三角函数关系得到答案.【详解】α为第二象限角，则3cos 5α===-.故选：D4.不等式()20x x -<的解集是（）A.()(),02,-∞+∞B.()0,2C.()(),20,-∞-⋃+∞ D.()2,0-【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.【详解】解：由()20x x -<，解得02x <<，所以不等式的解集为()0,2.故选：B5.已知向量()1,a m = ，()1,2b =- ，若a b ⊥，则实数m 等于（）A.12B.12-C.-2D.2【答案】A【分析】根据向量垂直列方程，化简求得m 的值.【详解】由于a b ⊥，所以1120,2a b m m ⋅=-+== .故选：A6.设x ，R y ∈，则“1x >”是“0x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断，进而可得正确选项.【详解】若1x >可以得出0x >，但0x >得不出1x >，所以“1x >”是“0x >”的充分不必要条件，故选：A7.在空间，下列命题正确的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两个平面平行【答案】C【分析】A.利用两直线的位置关系判断；B.利用两平面的位置关系判断；C.利用线面垂直的性质定理判断；D.利用两平面的位置关系判断.【详解】A.平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故错误；B.平行于同一直线的两个平面平行或相交，故错误；C.由线面垂直的性质定理知：垂直于同一平面的两条直线平行，故正确；D.垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故错误；故选：C8.下列函数中，与y x =是同一个函数的是（）A.2y = B.u =C.y =D.2n m n=【答案】B【分析】根据函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析即得.【详解】对于A ，函数[)20,y x x ==∈+∞，，与函数R y x x =∈，的定义域不同，不是同一个函数；对于B ，函数R u v v ==∈，，与函数R y x x =∈，的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于C ，函数R s t t ==∈，，与函数R y x x =∈，的对应关系不同，不是同一个函数；对于D ，函数()()2,00,n m n n n==∈-∞⋃+∞，，与函数R y x x =∈，的定义域不同，不是同一个函数.故选：B.9.有一组数据，将其从小到大排序如下：157，159，160，161，163，165，168，170，171，173.则这组数据的第75百分位数是（）A.165B.168C.170D.171【答案】C【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为1075%7.5⨯=，所以这组数据的第75百分位数是第8个数170，故选：C.10.已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.2B.52-C.54D.1-【答案】A【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.【详解】()112121222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A11.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（）A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；【详解】解：因为lg y x =与3y x =-在定义域上单调递增，所以()lg 3f x x x =+-在定义域()0,∞+上单调递增，又()1lg11320f =+-=-<，()2lg 2231lg 20f =+-=-+<，()3lg 333lg 30f =+-=>，即()()230f f ⋅<，所以()f x 的零点位于()2,3内；故选：C12.在ABC 中，π3A =，BC =，AC =，则角B 为（）A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【答案】B【分析】利用正弦定理求得正确答案.【详解】由正弦定理得=sin sin BC AC A B，即sin 32B =，解得sin B =由于BC AC >，所以π3B <为锐角，所以π4B =.故选：B13.若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（） A.3π2B.3π4C.3πD.12π【答案】C【分析】先求得球的半径，进而求得球的表面积.，所以球的直径322R R ==，所以球的表面积为24π3πR =.故选：C14.已知3log 2a =，4log 2b =，5log 2c =，则（）A.c b a >>B.c a b >>C.b a c>> D.a b c>>【答案】D【分析】根据对数函数在同一坐标系中作函数245log ,log ,log y x y x y x ===的图象，结合图象即可比较函数值大小.【详解】解：如下图，作函数245log ,log ,log y x y x y x ===的图象由图可知，当2x =时，345log 2log 2log 2>>，即a b c >>.故选：D.15.在ABC 中，点D 在BC 边上，2BD DC = ，则AD =（）A.2133AB AC +B.1233AB AC +C.1122AB AC +D.1344AB AC +【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】23AD AB BD AB BC=+=+()212333AB AC AB AB AC =+-=+ .故选：B二､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）16.若0x >，则4x x+的最小值为________________．【答案】4【分析】利用基本不等式求得最小值.【详解】40,4x x x >+≥=，当且仅当4,2x x x==时等号成立.故答案为：417.某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取___________名.【答案】98【分析】根据分层抽样的定义，计算男女生比例，即可计算求解.【详解】由已知得，男生与女生的比例为：51:49，根据分层抽样的定义，女生应该抽取的人数为：4920098100⨯=（人）故答案为：9818.已知1sin 23α=-，则2πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为___________.【答案】13【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】由于2ππ22c cos os 124αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22π1π1sin 22cos 1cos 4343ααα⎛⎫⎛⎫=--=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1319.根据某地不同身高的未成年男性的体重平均值，建立了能够近似地反映该地未成年男性平均体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的函数关系：2 1.02x y =⨯，如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175cm ，体重为78kg 的未成年男性的体重状况为___________.（填“偏胖”或“正常”或“偏瘦”，参考数据：351.022≈）【答案】偏胖【分析】根据题意得到身高为175cm 的未成年男性平均体重，然后得到平均体重的1.2倍，最后比较大小即可.【详解】由题意得身高为175cm 的未成年男性平均体重为()51753521.022 1.0264⨯=⨯≈kg ，而641.276.878⨯=<，所以该男性体重偏胖.故答案为：偏胖.三､解答题（本大题共4小题，第20､21小题每小题8分，第22､23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）20.已知函数()sin 2cos 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合.【答案】（1）π（2）()f x ，此时自变量x 的集合为π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）利用辅助角公式化简()f x 的解析式，然后根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案.（2）根据三角函数最值的求法求得正确答案.【小问1详解】()πsin 2cos 224x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】由（1）得()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当()πππ22π,πZ 428x k x k k +=+=+∈时，()f x 取得最大值，此时自变量x 的集合为π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.21.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为1A ，2A ，3A ），2支为二等品（记为1B ，2B ），从中随机抽取2支进行检测.（1）写出这个试验的样本空间Ω；（2）求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率.【答案】（1）()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B .（2）310【分析】（1）直接写出样本空间即可；（2）计算2支圆珠笔都是一等品的样本数，得到概率.【小问1详解】试验的样本空间Ω为：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B .【小问2详解】抽取的2支圆珠笔都是一等品有()12,A A ，()13,A A ，()23,A A 3种情况，故概率310p =.22.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB =3，AC =4，BC =5.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求三棱柱111ABC AB C -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】(1)由1AA ⊥平面ABC 可得1AA AB ⊥，勾股定理可证AC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可证结论.(2)由异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求出1AA ，再由体积公式计算三棱柱111ABC AB C -的体积.【小问1详解】1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，有1AA AB ⊥.AB =3，AC =4，BC =5，有222AB AC BC +=，由勾股定理得AC AB ⊥.1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11ACC A ，∴AB ⊥平面11ACC A 【小问2详解】由11//BB AA ，异面直线1BB 与1AC 所成的角即为1∠AA C ，130AA C ∠= ，又1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴1AA AC ⊥，则1tan 30AC AA = ，得1AA =1134622ABC S AB AC =⋅=⨯⨯=△，所以三棱柱111ABC A B C -的体积16ABC V S AA =⋅=⨯= .23.已知函数2()31x f x a =+-.（1）根据函数单调性的定义证明函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减；（2）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值.【答案】（1）证明见解析（2）1【分析】（1）设任意12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，然后计算12()()f x f x -，通过化简变形从而确定符号，根据函数的单调性的定义可得结论；（2）先求函数的定义域，然后根据奇函数的定义建立等式关系，即可求出实数a 的值.【小问1详解】证明：设任意12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，则211212*********(33)()()31313131(31)(31)x x x x x x x x f x f x a a --=+--=-=------，因为12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，所以2121330,310,310x x x x -<-<-<，则21122(33)0(31)(31)x x x x -<--，也即12())0(f x f x -<，所以12()()f x f x <，又因为12x x >，所以函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，【小问2详解】要使函数2()31x f x a =+-有意义，则有310x -≠，所以函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称，若函数()f x 是奇函数，则()()0f x f x -+=，即22223031313113xx x x xa a a a -⋅+++=+++=----，解得：1a =，所以实数a 的值为1.。

吉林省2021年初中毕业生学业考试数学试卷一、单选题（每小题2分,共12分）1.计算－2+1的结果是（ ）A.1 B .－1 C.3 D .－32.不等式2－1＞3的解集是（ ）A. ＞1B. ＜1C. ＞2D. ＜23.用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形,它的主视图为（ ）4.如图所示,体育课上,小丽的铅球成绩为6.4m,她投出的铅球落在（ ）A.区域① B.区域② C.区域③ D.区域④5.端午节期间,某市一周每天最高气温（单位：℃）情况如图所示,则这组表示最高气温数据的中位数是（ ）A.22B.24C.25D.276.如图,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数解析式为,则下列结论正确的是（ ）A. ＞0,＞0B. ＜0,＞0C. ＜0,＜0D. ＞0,＜0二、填空题（每小题3分,共24分）7.计算： .8.若－2=3,则2－4－5= .9.若将方程化为,则m=.x x x x x ()k h x y +--=22h k h k h k h k =⨯62a b a b 762=+x x ()162=+mx日A B C D（第4题）（第5题）（第6题）10.分式方程的解为= .11.如图,把Rt ⊿ABC 绕点A 逆时针旋转40°,得到Rt ⊿AB ′C ′,点C ′恰好落在边AB 上,连接BB ′,则∠BB ′C ′= 度.12.如图,在平面直角坐标系中,点A,B 的坐标分别为（－6,0）、（0,8）.以点A 为圆心,以AB 长为半径画弧,交正半轴于点C,则点C 的坐标为 .13.如图,AB是⊙O 的弦,OC ⊥AB 于点C,连接OA 、OB.点P 是半径OB 上任意一点,连接AP.若OA=5cm,OC=3cm,则AP 的长度可能是 cm （写出一个符合条件的数值即可）14.如图,在矩形ABCD中,AB ,BC ＜＜.将此矩形纸片按下列顺序折叠,则C ′D ′的长度为 （用含、的代数式表示）.三、解答题（每小题5分,共20分）15.先化简,再求值：其中=3,=116.在一个不透明的箱子中装有3个小球,分别标有A,B,C.这3个小球除所标字母外,其它都相同.从箱子中随机地摸出一个小球,然后放回。

吉林省长春市2021年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.−(−2) 的值为（ ）A. −2B. 2C. −12 D. 12 【答案】 B【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】解：化简多重负号，就看负号的个数，此时有两个符号，偶数个则为正， 故答案为：B ．【分析】根据负号的个数判断即可作答。

2.据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860 000 000元人民币，比去年同期增长28.2%．其中52860000 000这个数用科学记数法表示为（ ）A. 0.5286×1011B. 5.286×1010C. 52.86×109D. 5286×107 【答案】 B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解：52860000000= 5.286×1010 ， 故答案为：B ．【分析】 将一个数表示成 a ×10的n 次幂的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，这种记数方法叫科学记数法。

根据科学记数法的定义计算求解即可。

3.如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）A. 圆锥B. 长方体C. 球D. 圆柱 【答案】 D【考点】由三视图判断几何体【解析】【解答】解：主视图和俯视图为矩形，则该几何体为柱体，根据左视图为圆，可知该几何体为：圆柱A 、B 、C 选项不符合题意，D 符合题意． 故答案为：D ．【分析】根据所给的三视图判断几何体即可。

4.关于x 的一元二次方程 x 2−6x +m =0 有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】 A【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(−6)2−4×1×m>0，解得：m＜9，m的值可能是：8．故答案为：A.【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。

2021年高中学业水平考试数学试卷 含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{}的前3项分别为2、4、6，则数列{}的第4项为A ．7B ．8C ．10D ．122．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A ．球 B ．圆柱 C ．圆台 D ．圆锥 3．函数的零点个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 4．已知集合，，若，则的值为 A ．3 B ．2 C ．0 D ．-1 5．已知直线：，：，则直线与的位置关系是 A ．重合 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．平行6．下列坐标对应的点中，落在不等式表示的平面区域内的是 A ．（0，0） B ．（2，4） C ．（-1，4） D ．（1，8）7．某班有50名同学，将其编为1、2、3、…、50号，并按编号从小到大平均分成5组．现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为3，第2组抽取的学生编号为13，则第4组抽取的学生编号为 A ．14 B ．23 C ．33 D ．43 8．如图，D 为等腰三角形ABC 底边AB 的中点，则下列等式恒成立的是A ．B ．C ．D ．9．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为A ．B ．C ．D ．10．如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．（第2题 俯视图（第10题图）（第8题图） C A B D11．比较大小： （填“＞”或“＜”）． 12．已知圆的圆心坐标为，则实数 ．13．某程序框图如图所示，若输入的值分别为3，4，5，则输出的值为 ． 14．已知角的终边与单位圆的交点坐标为（），则= ． 15．如图，A ，B 两点在河的两岸，为了测量A 、B 之间的距离，测量者在A 的同侧选定一点C ，测出A 、C 之间的距离是100米，∠BAC=105º，∠ACB=45º，则A 、B 两点之间的距离为 米．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分6分）已知函数（）的图象如图．根据图象写出： （1）函数的最大值； （2）使的值．17．（本小题满分8分） 一批食品，每袋的标准重量是50，为了了解这批食品的实际重量情况，从中随机抽取10袋食品，称出各袋的重量（单位：），并得到其茎叶图（如图）．（1）求这10袋食品重量的众数，并估计这批食品实际重量的平均数；（2）若某袋食品的实际重量小于或等于47，则视为不合格产品，试估计这批食品重量的合格率．4 5 6 6 95 0 0 0 1 1 2（第17题图）（第13题图） （第15题图）（第16题图）18．（本小题满分8分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D1D=．（1）求直线D1B与平面ABCD所成角的大小；（2）求证：AC⊥平面BB1D1D．19．（本小题满分8分）已知向量a =（，1），b =（，1），R．（1）当时，求向量a+ b的坐标；（2）若函数|a+ b|2为奇函数，求实数的值．20．（本小题满分10分）已知数列{}的前项和为(为常数，N*)．（1）求，，；（第18题图）A BCDA1B1C1 D1（2）若数列{}为等比数列，求常数的值及；（3）对于（2）中的，记，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．xx 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案二、填空题（每小题4分，满分20分）11．＞； 12． 3； 13．4； 14． ； 15． ． 三、解答题（满分40分） 16．解：（1）由图象可知，函数的最大值为2； …………………3分（2）由图象可知，使的值为-1或5． ……………6分 17．解：（1）这10袋食品重量的众数为50（）， ………………2分 因为这10袋食品重量的平均数为491052515150505049464645=+++++++++（）， 所以可以估计这批食品实际重量的平均数为49（）； ……………4分 （2）因为这10袋食品中实际重量小于或等于47的有3袋，所以可以估计这批食品重量的不合格率为，故可以估计这批食品重量的合格率为． 8分 18．（1）解：因为D 1D ⊥面ABCD ，所以BD 为直线B D 1在平面ABCD 内的射影，所以∠D 1BD 为直线D 1B 与平面ABCD 所成的角， …………………2分 又因为AB=1，所以BD=，在Rt △D 1DB 中，，所以∠D 1BD=45º，所以直线D 1B 与平面ABCD 所成的角为45º； 4分 （2）证明：因为D 1D ⊥面ABCD ，AC 在平面ABCD 内，所以D 1D ⊥AC ， 又底面ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ， …………………6分因为BD 与D 1D 是平面BB 1D 1D 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面BB 1D 1D ． …………………………8分 19．解：（1）因为a =（，1），b =（，1），，所以a + b ； …………………4分 （2）因为a + b ，所以m x m x x x f ++=+++=52sin 4)cos (sin )(2， ……………6分 因为为奇函数，所以，即，解得． ……………8分 注：由为奇函数，得，解得同样给分． 20．解：（1）， ……………………1分 由，得， ……………………2分 由，得； …………………3分 （2）因为，当时，，又{}为等比数列，所以，即，得， …………5分故； …………………………………6分 （3）因为，所以， ………………7分 令，则，34)2(34)(22---=-⋅-⋅=λλλλt t t n f ，设，当时，恒成立， …………………8分当时，对应的点在开口向上的抛物线上，所以不可能恒成立， ……………9分当时，在时有最大值，所以要使 对任意的正整数恒成立，只需，即，此时， 综上实数的取值范围为． …………………………10分 说明：解答题如有其它解法，酌情给分．29037 716D 煭28060 6D9C 涜38860 97CC 韌38414 960E 阎34395 865B 虛X365438EBF 躿 39753 9B49 魉>20554 504A 偊24210 5E92 庒37521 9291 銑L。

2021年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.化简()1--的结果为（）A.－1 B.0 C.1 D.22.据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为（）A.37.00610⨯B.47.00610⨯ C.370.0610⨯ D.40.700610⨯3.不等式213x ->的解集是（）A.1x >B.2x >C.1x < D.2x <4.如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（）A. B. C. D.5.如图，四边形ABCD 内接于O ，点P 为边AD 上任意一点（点P 不与点A ，D 重合）连接CP ．若120B ∠=︒，则APC ∠的度数可能为（）A.30°B.45︒C.50︒D.65︒6.古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是x ，则所列方程为（）A.213337x x x ++= B.21133327x x x ++=C.21133327x x x x +++=D.21133372x x x x ++-=二、填空题（每小题3分，共24分）7.计算：1＝_____．8.因式分解：22m m -=__________．9.计算：211x x x x -=--__________．10.若关于x 的一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值为__________．11.如图，已知线段2cm AB =，其垂直平分线CD 的作法如下：①分别以点A 和点B 为圆心，cm b 长为半径画弧，两弧相交于C ，D 两点；②作直线CD ．上述作法中b 满足的条作为b ___1.（填“>”，“<”或“=”）12.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,3，点B 的坐标为()4,0，连接AB ，若将ABO 绕点B 顺时针旋转90︒，得到''A BO △，则点'A 的坐标为__________．13.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出竿上AD 长为1m 时，它离地面的高度DE 为0.6m ，则坝高CF 为__________m ．14.如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点D ，E ，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）．三、解答题（每小题5分共20分）15.先化简，再求值：()()()221x x x x +---，其中12x =．16.第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．17.如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C .求证：AD ＝AE18.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km ．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km ．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．四、解答题（每小题27分，共28分）19.图①、图2均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A ，点B 均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．20.2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．2016﹣2017年快递业务量增长速度统计表年龄20162017201820192020增长速度51.4%28.0%26.6%25.3%31.2%说明：增长速度计算办法为：增长速度=（本年业务量-去年业务量）÷去年业务量×100%．根据图中信息，解答下列问题：（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是__________亿件．（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是__________．（3）下列推断合理的是__________（填序号）．①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在()833.6125%1042⨯+=亿件以上．21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数423y x=-的图象与y轴相交于点A，与反比例函数kyx=在第一象限内的图象相交于点(),2B m ，过点B 作BC y ⊥轴于点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）求ABC 的面积．22.数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44︒，求北纬44︒纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，O 是经过南、北极的圆，地球半径OA 约为6400km ．弦//BC OA ，过点O 作OK BC ⊥于点K ，连接OB ．若44AOB ∠=︒，则以BK 为半径的圆的周长是北纬44︒纬线的长度；（3）参考数据：π取3，sin 440.69︒=，cos440.72︒=．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为//BC OA ，44AOB ∠=︒，所以44B AOB ∠=∠=︒（）（填推理依据），因为OK BC ⊥，所以90BKO ∠=︒，在Rt BOK 中，6400OB OA ==．BK OB =⨯_______（填“sin B ”或“cos B ”）．所以北纬44︒的纬线长2C BKπ=⋅236400=⨯⨯⨯（填相应的三角形函数值）≈（km ）（结果取整数）．五、解答题（每小题8分，共16分）23.疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a 天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y （万人）与各自接种时间x （天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a 的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．24.如图①，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，点E 为射线BC 上一点，将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点F ．（1）若AB a =．直接写出CD 的长（用含a 的代数式表示）；（2）若DF BC ⊥，垂足为G ，点F 与点D 在直线CE 的异侧，连接CF ，如图②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；（3）若DF AB ⊥，直接写出BDE ∠的度数．六、解答题（每小题10分，共20分）25.如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，AD =．动点P 从点A 出发沿折线AB BC -向终点C 运动，在边AB 上以1cm/s 的速度运动；在边BC 的速度运动，过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为()s x ，DPQ V 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．（1）当点P 与点A 重合时，直接写出DQ 的长；（2）当点P 在边BC 上运动时，直接写出BP 的长（用含x 的代数式表示）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点70,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点11,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求此二次函数的解析式；（2）当22x -≤≤时，求二次函数2y x bx c =++的最大值和最小值；（3）点P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点P 作//PQ x 轴，点Q 的横坐标为21m -+．已知点P 与点Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而减小．①求m 的取值范围；②当7PQ ≤时，直接写出线段PQ 与二次函数2123y x bx c x ⎛⎫=++-≤<⎪⎝⎭的图象交点个数及对应的m 的取值范围．2021年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.化简()1--的结果为（）A.－1B.0C.1D.2【答案】C【分析】括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．【详解】解：()11--=，故选：C ．【点睛】本题考查去括号，解题关键是掌握去括号法则．2.据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为（）A.37.00610⨯ B.47.00610⨯ C.370.0610⨯ D.40.700610⨯【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数．【详解】解：4700607.006010=⨯，故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a 的值以及n 的值．3.不等式213x ->的解集是（）A.1x > B.2x > C.1x < D.2x <【答案】B【分析】按照解不等式步骤：移项，合并同类项，系数化为1求解．【详解】解：213x ->，231x >+，24x >，2x >．故选：B ．【点睛】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．4.如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．【详解】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．故选：A ．【点睛】本题考查简单组合几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形．5.如图，四边形ABCD 内接于O ，点P 为边AD 上任意一点（点P 不与点A ，D 重合）连接CP ．若120B ∠=︒，则APC ∠的度数可能为（）A.30°B.45︒C.50︒D.65︒【答案】D 【分析】由圆内接四边形的性质得D ∠度数为60︒，再由APC ∠为PCD 的外角求解．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180B D ∠+∠=︒，∵120B ∠=︒，∴18060D B ∠=︒-∠=︒，∵APC ∠为PCD 的外角，∴APC D ∠>∠，只有D 满足题意．故选：D ．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．6.古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是x ，则所列方程为（）A.213337x x x ++= B.21133327x x x ++=C.21133327x x x x +++= D.21133372x x x x ++-=【答案】C 【分析】根据题意列方程21133327x x x x +++=．【详解】解：由题意可得21133327x x x x +++=．故选C【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7.计算：1＝_____．【答案】2【分析】利用二次根式的性质化简，进而通过计算即可得出答案．【详解】1＝3-1＝2故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式、实数的运算；正确化简二次根式是解题的关键．8.因式分解：22m m -=__________．【答案】()2m m -【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式m 即可．【详解】22m m -=()2m m -故答案为：()2m m -【点睛】本题考查题公因式法因式分解．掌握提公因式法是关键．9.计算：211x x x x -=--__________．【答案】1x x -【分析】根据同分母分式的加减法则运算．【详解】解：221111x x x x x x x x x --==----．故答案为：1x x -．【点睛】本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键10.若关于x 的一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值为__________．【答案】94【分析】根据判别式0∆=求解即可．【详解】解：∵一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，∴2340c ∆=-=，解得94c =．故答案为：94．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11.如图，已知线段2cm AB =，其垂直平分线CD 的作法如下：①分别以点A 和点B 为圆心，cm b 长为半径画弧，两弧相交于C ，D 两点；②作直线CD ．上述作法中b 满足的条作为b ___1.（填“>”，“<”或“=”）【答案】＞【分析】作图方法为：以A ，B 为圆心，大于12AB 长度画弧交于C ，D 两点，由此得出答案．【详解】解：∵2cm AB =，∴半径b 长度12AB >，即1cm b >．故答案为：>．【点睛】本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．12.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,3，点B 的坐标为()4,0，连接AB ，若将ABO 绕点B 顺时针旋转90︒，得到''A BO △，则点'A 的坐标为__________．【答案】()7,4【分析】根据旋转的性质可求得O A ''和O B '的长度，进而可求得点'A 的坐标．【详解】解：作A C x '⊥轴于点C ，由旋转可得'90O ∠=︒，'O B x ⊥轴，∴四边形''O BCA 为矩形，∴''3BC A O OA ===，''4A C O B OB ===，∴点'A 坐标为()7,4．故答案为：()7,4．【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转找到题目中线段之间的关系．13.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出竿上AD 长为1m 时，它离地面的高度DE 为0.6m ，则坝高CF 为__________m ．【答案】2.7【分析】根据//DE CF ，可得AD DE AC CF=，进而得出CF 即可．【详解】解：如图，过C 作CF AB ⊥于F ，则//DE CF ，∴AD DE AC CF =，即10.64.5CF=，解得 2.7CF =，故答案为：2.7【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．14.如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．以点C 为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点D ，E ，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）．【答案】23π-【分析】连接CE ，由扇形CBE 面积﹣三角形CBE 面积求解．【详解】解：连接CE ，∵30A ∠=︒，∴9060B A ∠=︒-∠=︒，∵CE CB =，∴CBE △为等边三角形，∴60ECB ∠=︒，2BE BC ==，∴226023603CBE S ππ⨯==扇形，∵234BCE S BC ==△，∴阴影部分的面积为23π-．故答案为：23π-．【点睛】本题考查扇形的面积与等边三角形的性质与判定，解题关键是判断出三角形CBE 为等边三角形与扇形面积的计算．三、解答题（每小题5分共20分）15.先化简，再求值：()()()221x x x x +---，其中12x =．【答案】4x -，132-【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：()()()221x x x x +---224x x x=--+4x =-，当12x =时，原式114322=-=-．【点睛】本题考查了平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，运用平方差公式是解题的关键．16.第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．【答案】16【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可．【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：白黑白白、白黑、白黑1白、黑1黑1、黑黑2白、黑2黑、黑2共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，所以取出的2个球都是白球的概率为16．答：取出的2个球都是白球的概率为16．【点睛】本题考查简单事件的概率，正确列表或者画树状图是解题关键．17.如图，点D 在AB 上，点E 在AC上，BE 和CD 相交于点O ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C .求证：AD ＝AE【答案】见解析.【分析】根据ASA △ADC ≌△AEB ，即可得出结论．【详解】证明：在△ABE 和△ACD 中，A A AB AC B C ∠∠∠⎧⎪∠⎪⎨⎩＝＝＝∴△ABE ≌△ACD （ASA ）∴AE=AD【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．18.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km ．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km ．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．【答案】港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km 和5.9km【分析】设港珠澳大桥隧道长度为km x ，桥梁长度为km y ．由桥梁和隧道全长共55km ，得55x y +=．桥梁长度比隧道长度的9倍少4km ，得94y x =-，然后列出方程组，解方程组即可．【详解】解：设港珠澳大桥隧道长度为km x ，桥梁长度为km y ．由题意列方程组得：5594x y y x +=⎧⎨=-⎩．解得： 5.949.1x y =⎧⎨=⎩．答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km 和5.9km ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．四、解答题（每小题27分，共28分）19.图①、图2均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A ，点B 均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A ，B ，C 为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A ，B ，D ，E 为顶点画一个面积为3的平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以B 为顶点，AC 为底边，即可做出等腰三角形；（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．【详解】解：（1）如图①中，此时以B 为顶点，AC 为底边，该ABC 即为所求（答案不唯一）．（2）如图②中，此时底1AE =，高3h =，因此四边形ABDE 即为所求．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质．20.2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．2016﹣2017年快递业务量增长速度统计表年龄20162017201820192020增长速度51.4%28.0%26.6%25.3%31.2%说明：增长速度计算办法为：增长速度=（本年业务量-去年业务量）÷去年业务量×100%．根据图中信息，解答下列问题：（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是__________亿件．（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是__________．（3）下列推断合理的是__________（填序号）．①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在()⨯+=亿件以上．833.6125%1042【答案】（1）833.6；（2）28.0%；（3）②【分析】（1）根据2016﹣2020年快递业务量统计图可得答案；（2）根据中位数的意义，将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列找出中间位置的一个数即可；（3）利用业务量的增长速度率估计2021年的业务量即可．【详解】解：（1）由2016﹣2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件，故答案为：833.6；（2）将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是28.0%，因此中位数是28.0%，故答案为：28.0%；（3）①2016﹣2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只是增长的速度没有那么快，因此①不正确；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在()833.6125%1042⨯+=亿件以上，因此②正确；故答案为：②．【点睛】本题考查条形统计图，中位数，样本估计总体，理解“增长率”“增长速度”“增长量”的意义及相互关系是正确判断的前提．21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数423y x =-的图象与y 轴相交于点A ，与反比例函数k y x =在第一象限内的图象相交于点(),2B m ，过点B 作BC y ⊥轴于点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）6y x=；（2）6【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于B 点，将B 代入到一次函数解析式中，可以求得B 点坐标，从而求得k ，得到反比例函数解析式；（2）因为BC y ⊥轴，所以()0,2C ，利用一次函数解析式可以求得它与y 轴交点A 的坐标()0,2-，由A ，B ，C 三点坐标，可以求得AC 和BC 的长度，并且//BC x 轴，所以12ABC S AC BC =⋅V ，即可求解．【详解】解：（1）∵B 点是直线与反比例函数交点，∴B 点坐标满足一次函数解析式，∴4223m -=，∴3m =，∴()3,2B ，∴6k =，∴反比例函数的解析式为6y x =；（2）∵BC y ⊥轴，∴()0,2C ，//BC x 轴，∴3BC =，令0x =，则4223y x =-=-，∴()0,2A -，∴4AC =，∴162ABC S AC BC =⋅=△，∴ABC 的面积为6【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．22.数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44︒，求北纬44︒纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，O 是经过南、北极的圆，地球半径OA 约为6400km ．弦//BC OA ，过点O 作OK BC ⊥于点K ，连接OB ．若44AOB ∠=︒，则以BK 为半径的圆的周长是北纬44︒纬线的长度；（3）参考数据：π取3，sin 440.69︒=，cos440.72︒=．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为//BC OA ，44AOB ∠=︒，所以44B AOB ∠=∠=︒（）（填推理依据），因为OK BC ⊥，所以90BKO ∠=︒，在Rt BOK 中，6400OB OA ==．BK OB =⨯_______（填“sin B ”或“cos B ”）．所以北纬44︒的纬线长2C BKπ=⋅236400=⨯⨯⨯（填相应的三角形函数值）≈（km ）（结果取整数）．【答案】两直线平行，内错角相等；cos B ；0.72；27648【分析】由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．【详解】解：因为//BC OA ，44AOB ∠=︒，所以44B AOB ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为OK BC ⊥，所以90BKO ∠=︒，在Rt BOK 中，6400OB OA ==．cos BK OB B =⨯（填“sin B ”或“cos B ”）．所以北纬44︒的纬线长2C BK π=⋅．2364000.72=⨯⨯⨯（填相应的三角形函数值）()27648km ≈（结果取整数）．故答案为：两直线平行，内错角相等；cos B ；0.72；27648.【点睛】本题考查了解直角三角形和平行线的性质，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．五、解答题（每小题8分，共16分）23.疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a 天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y （万人）与各自接种时间x （天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a 的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．【答案】（1）40a =；（2）()115401004y x x =+≤≤；（3）5万人【分析】（1）由接种速度＝接种人数÷接种天数求解．（2）利用待定系数法求解．（3）将80x =代入（2）问中解析式得出34y =，然后由40346-=．【详解】解：（1）乙地接种速度为40800.5÷=（万人/天），0.5255a =-，解得40a =．（2）设y kx b =+，将()40,25，()100,40代入解析式得：2540k b 40100k b =+⎧⎨=+⎩，解得1k 4 b 15⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴()115401004y x x =+≤≤．（3）把80x =代入1154y x =+得18015354y =⨯+=，40355-=（万人）．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.如图①，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，点E 为射线BC上一点，将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点F ．（1）若AB a =．直接写出CD 的长（用含a 的代数式表示）；（2）若DF BC ⊥，垂足为G ，点F 与点D 在直线CE 的异侧，连接CF ，如图②，判断四边形ADFC 的形状，并说明理由；（3）若DF AB ⊥，直接写出BDE ∠的度数．【答案】（1）12a ；（2）菱形，见解析；（3）45BDE ∠=︒或135BDE ∠=︒【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得1122CD AB a ==；（2）由题意可得//DF AC ，12DF AB =，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得12AC AB =，得DF AC =，则四边形ADFC 是平行四边形，再由折叠得DF BD AD ==，于是判断四边形ADFC 是菱形；（3）题中条件是“点E 是射线BC 上一点”，因此DF AB ⊥又分两种情况，即点F 与点D 在直线CE 的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．【详解】解：（1）如图①，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，∵CD 是斜边AB 上的中线，AB a =，∴1122CD AB a ==．（2）四边形ADFC 是菱形．理由如下：如图②∵DF BC ⊥于点G ，∴90DGB ACB ∠=∠=︒，∴//DF AC ；由折叠得，DF DB =，∵12DB AB =，∴12DF AB =；∵90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，∴906030B ∠=︒-︒=︒，∴12AC AB =，∴DF AC =，∴四边形ADFC 是平行四边形；∵12AD AB =，∴AD DF =，∴四边形ADFC 是菱形．（3）如图③，点F 与点D 在直线CE 异侧，∵DF AB ⊥，∴90BDF ∠=︒；由折叠得，BDE FDE ∠=∠，∴11904522BDE FDE BDF ∠=∠=∠=⨯︒=︒；如图④，点F 与点D 在直线CE 同侧，∵DF AB ⊥，∴90BDF ∠=︒，∴36090270BDE FDE ∠+∠=︒-︒=︒，由折叠得，BDE FDE ∠=∠，∴270BDE BDE ∠+∠=︒，∴135BDE ∠=︒．综上所述，45BDE ∠=︒或135BDE ∠=︒．【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．六、解答题（每小题10分，共20分）25.如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，3cm AD =．动点P 从点A 出发沿折线AB BC -向终点C 运动，在边AB 上以1cm/s 的速度运动；在边BC 3cm/s 的速度运动，过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为()s x ，DPQ V 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．（1）当点P 与点A 重合时，直接写出DQ 的长；（2）当点P 在边BC 上运动时，直接写出BP 的长（用含x 的代数式表示）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】（1）1；（2）)33PB x =-；（3）22333(02)8483333(23)8483363(34)2x x x y x x x x x ++≤≤⎪⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩【分析】（1）在Rt PDQ 中，由tan 603AD DQ︒==（2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=，则点P 在BC 上时)33PB x =-．（3）分类讨论①：点P 在AB 上，点Q 在CD 上；②：点P 在AB 上，点Q 在DC 延长线上；③：点P 在BC 上．【详解】解：（1）如图，在Rt PDQ 中，3AD =，60PQD ∠=︒，∴tan 603AD DQ︒==∴313DQ AD ==．（2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=，∴点P 在BC 上时：)33PB x =-．（3）当03x ≤≤时，点P 在AB 上，作PM CD ⊥于点M ，PQ 交AB 于点E ，作EN CD ⊥于点N ，同（1）可得313MQ AD ==．∴1DQ DM MQ AP MQ x =+=+=+，当13x +=时2x =，①∴02x ≤≤时，点Q 在DC 上，∵3tan 3BC BDC CD ∠==，∴30DBC ∠=︒，∵60PQD ∠=︒，∴90DEQ ∠=°．∵1sin 302EQ DQ ︒==，∴1122x EQ DQ +==，∵3sin 602EN EQ ︒==，∴()33124EN EQ x ==+，∴()()()211331112248y DQ EN x x x =⋅=+⨯+=+()233302848x x x =++≤≤．②当23x <≤时，点Q 在DC 延长线上，PQ 交BC 于点F ，如图，∵132CQ DQ DC x x =-=+-=-，tan 60CF CQ︒=，∴)tan 6032CF CQ x =⋅︒=-，∴2113(2)3(2)33222CQF S CQ CF x x x =⋅=-⨯-=-+△，∴223333338482DEQ CQF y S S x x x ⎛=-=++--+ ⎝△△23333(23)848x x x =-+-<≤．③当34x <≤时，点P 在BC 上，如图，∵33(3)33CP CB BP x x =-=-=，∴11333(433)3(34)222y DC CP x x =⋅=⨯=<≤．综上所述：22333(02)8483333(23)8483363(34)2x x x y x x x x x ++≤≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩．【点睛】题目主要考察运用三角函数解三角形求出相应边的长度，然后利用三角形面积公式确定函数解析式，同时也对二次函数在几何动点问题进行考察，难点是在进行分类讨论时，作出对应图形并作出相应辅助线，同时确定相应的自变量范围．26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点70,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点11,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求此二次函数的解析式；（2）当22x -≤≤时，求二次函数2y x bx c =++的最大值和最小值；（3）点P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点P 作//PQ x 轴，点Q 的横坐标为21m -+．已知点P 与点Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而减小．①求m 的取值范围；②当7PQ ≤时，直接写出线段PQ 与二次函数2123y x bx c x ⎛⎫=++-≤< ⎪⎝⎭的图象交点个数及对应的m的取值范围．【答案】（1）274y x x =+-；（2）最大值为174；最小值为－2；（3）①13m <；②423m -≤≤-或123m -≤<时，PQ 与图象交点个数为1，4132m -<<-时，PQ 与图象有2个交点．【分析】（1）利用待定系数法求解．（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．（3）①由07PQ <≤求出m 取值范围，②通过数形结合求解．【详解】解：（1）将70,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点11,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2y x bx c =++得：74114c b c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，解得174b c =⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴274y x x =+-．（2）∵2271242y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，∵抛物线开口向上，对称轴为直线12x =-．∴当12x =-时，y 取最小值为－2，∵112(2)22⎛⎫-->--- ⎪⎝⎭，∴当2x =时，y 取最大值27172244+-=．（3）①2131PQ m m m =-+-=-+，当310m -+>时，31PQ m =-+，PQ 的长度随m 的增大而减小，当310m -+<时，31PQ m =-，PQ 的长度随m 增大而增大，∴310m -+>满足题意，解得13m <．②∵07PQ <≤，∴0317m <-+≤，解得123m -≤<，如图，当12x =-时，点P 在最低点，PQ 与图象有1交点，m 增大过程中，1123m -<<，点P 与点Q 在对称轴右侧，PQ 与图象只有1个交点，直线13x =关于抛物线对称轴直线12x =-对称后直线为43x =-，∴4132m -<<-时，PQ 与图象有2个交点，当423m-≤≤-时，PQ与图象有1个交点，综上所述，423m-≤≤-或123m-≤<时，PQ与图象交点个数为1，4132m-<<-时，PQ与图象有2个交点．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．。

2021年吉林省中考数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．化简()1--的结果为（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．22．据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为（ ） A ．37.00610⨯B ．47.00610⨯C ．370.0610⨯D ．40.700610⨯3．不等式213x ->的解集是（ ） A ．1x >B ．2x >C ．1x <D ．2x <4．如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，四边形ABCD 内接于O ，点P 为边AD 上任意一点（点P 不与点A ，D 重合）连接CP ．若120B ∠=︒，则APC ∠的度数可能为（ ）A ．30B ．45︒C ．50︒D ．65︒6．古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是x ，则所列方程为（ ）A ．213337x x x ++= B ．21133327x x x ++= C ．21133327x x x x +++= D ．21133372x x x x ++-=二、填空题7＝_____．8．因式分解：22m m -=__________． 9．计算：211x xx x -=--__________． 10．若关于x 的一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值为__________．11．如图，已知线段2cm AB =，其垂直平分线CD 的作法如下：①分别以点A 和点B 为圆心，cm b 长为半径画弧，两弧相交于C ，D 两点；②作直线CD ．上述作法中b 满足的条作为b ___1.（填“>”，“<”或“=”）12．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,3，点B 的坐标为()4,0，连接AB ，若将ABO 绕点B 顺时针旋转90︒，得到''A BO △，则点'A 的坐标为__________．13．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出竿上AD 长为1m 时，它离地面的高度DE 为0.6m ，则坝高CF 为__________m ．14．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点D ，E ，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）．三、解答题15．先化简，再求值：()()()221x x x x +---，其中12x =． 16．第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．17．如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C .求证：AD ＝AE18．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km ．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km ．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．19．图①、图2均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A ，点B 均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A ，B ，C 为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A ，B ，D ，E 为顶点画一个面积为3的平行四边形． 20．2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．2016﹣2017年快递业务量增长速度统计表说明：增长速度计算办法为：增长速度=（本年业务量-去年业务量）÷去年业务量×100%． 根据图中信息，解答下列问题：（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是__________亿件． （2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是__________． （3）下列推断合理的是__________（填序号）．①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在()833.6125%1042⨯+=亿件以上．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数423y x =-的图象与y 轴相交于点A ，与反比例函数ky x=在第一象限内的图象相交于点(),2B m ，过点B 作BC y ⊥轴于点C ．（1）求反比例函数的解析式； （2）求ABC 的面积．22．数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44︒，求北纬44︒纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，O 是经过南、北极的圆，地球半径OA 约为6400km ．弦//BC OA ，过点O 作OK BC ⊥于点K ，连接OB ．若44AOB ∠=︒，则以BK 为半径的圆的周长是北纬44︒纬线的长度；（3）参考数据：π取3，sin440.69︒=，cos440.72︒=． 小组成员给出了如下解答，请你补充完整： 解：因为//BC OA ，44AOB ∠=︒，所以44B AOB ∠=∠=︒（ ）（填推理依据）， 因为OK BC ⊥，所以90BKO ∠=︒， 在Rt BOK 中，6400OB OA ==．BK OB =⨯_______（填“sin B ”或“cos B ”）． 所以北纬44︒的纬线长2C BK π=⋅236400=⨯⨯⨯ （填相应的三角形函数值）≈ （km ）（结果取整数）．23．疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a 天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y （万人）与各自接种时间x （天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a 的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．24．如图①，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，点E 为射线BC 上一点，将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点F ．（1）若AB a ．直接写出CD 的长（用含a 的代数式表示）；（2）若DF BC ⊥，垂足为G ，点F 与点D 在直线CE 的异侧，连接CF ，如图②，判断四边形ADFC 的形状，并说明理由；（3）若DF AB ⊥，直接写出BDE ∠的度数．25．如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，AD =．动点P 从点A 出发沿折线AB BC -向终点C 运动，在边AB 上以1cm/s 的速度运动；在边BC 的速度运动，过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为()s x，DPQ 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．（1）当点P 与点A 重合时，直接写出DQ 的长；（2）当点P 在边BC 上运动时，直接写出BP 的长（用含x 的代数式表示）； （3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点70,4A ⎛⎫-⎪⎝⎭，点11,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求此二次函数的解析式；（2）当22x -≤≤时，求二次函数2y x bx c =++的最大值和最小值；（3）点P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点P 作//PQ x 轴，点Q 的横坐标为21m -+．已知点P 与点Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而减小． ①求m 的取值范围；②当7PQ ≤时，直接写出线段PQ 与二次函数2123y x bx c x ⎛⎫=++-≤< ⎪⎝⎭的图象交点个数及对应的m 的取值范围．参考答案1．C 【分析】括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号． 【详解】 解：()11--=， 故选：C ． 【点睛】本题考查去括号，解题关键是掌握去括号法则． 2．B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数． 【详解】解：4700607.006010=⨯， 故选：B ． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a 的值以及n 的值． 3．B 【分析】按照解不等式步骤：移项，合并同类项，系数化为1求解． 【详解】 解：213x ->，231x >+， 24x >， 2x >．故选：B ． 【点睛】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 4．A 【分析】粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形． 【详解】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形． 故选：A ． 【点睛】本题考查简单组合几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形． 5．D 【分析】由圆内接四边形的性质得D ∠度数为60︒，再由APC ∠为PCD 的外角求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180B D ∠+∠=︒， ∵120B ∠=︒，∴18060D B ∠=︒-∠=︒， ∵APC ∠为PCD 的外角， ∴APC D ∠>∠，只有D 满足题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补． 6．C 【分析】 根据题意列方程21133327x x x x +++=． 【详解】 解：由题意可得21133327x x x x +++=． 故选C【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解题的关键．7．2【分析】利用二次根式的性质化简，进而通过计算即可得出答案．【详解】＝3-1＝2故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式、实数的运算；正确化简二次根式是解题的关键．8．()2m m -【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式m 即可．【详解】22m m -=()2m m -故答案为：()2m m -【点睛】本题考查题公因式法因式分解．掌握提公因式法是关键．9．1x x - 【分析】根据同分母分式的加减法则运算．【详解】 解：221111x x x x x x x x x --==----． 故答案为：1x x -． 【点睛】本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键10．94【分析】根据判别式0∆=求解即可．【详解】解：∵一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，∴2340c ∆=-=， 解得94c =． 故答案为：94． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 11．＞【分析】作图方法为：以A ，B 为圆心，大于12AB 长度画弧交于C ，D 两点，由此得出答案． 【详解】解：∵2cm AB =，∴半径b 长度12AB >， 即1cm b >．故答案为：>．【点睛】本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法． 12．()7,4【分析】根据旋转的性质可求得O A ''和O B '的长度，进而可求得点'A 的坐标．【详解】解：作A C x '⊥轴于点C ，由旋转可得'90O ∠=︒，'O B x ⊥轴，∴四边形''O BCA 为矩形，∴''3BC A O OA ===，''4A C O B OB ===，∴点'A 坐标为()7,4． 故答案为：()7,4．【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转找到题目中线段之间的关系．13．2.7【分析】根据//DE CF ，可得AD DE AC CF =，进而得出CF 即可． 【详解】解：如图，过C 作CF AB ⊥于F ，则//DE CF ， ∴AD DE AC CF =，即10.64.5CF=， 解得 2.7CF =，故答案为：2.7【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．14．23π【分析】连接CE ，由扇形CBE 面积﹣三角形CBE 面积求解．【详解】解：连接CE ，∵30A ∠=︒，∴9060B A ∠=︒-∠=︒，∵CE CB =，∴CBE △为等边三角形，∴60ECB ∠=︒，2BE BC ==， ∴226023603CBE S ππ⨯==扇形，∵2BCE S BC ==△∴阴影部分的面积为23π-故答案为：23π-【点睛】本题考查扇形的面积与等边三角形的性质与判定，解题关键是判断出三角形CBE 为等边三角形与扇形面积的计算．15．4x -，132-【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：()()()221x x x x +---224x x x =--+4x =-， 当12x =时，原式114322=-=-． 【点睛】本题考查了平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，运用平方差公式是解题的关键．16．16【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可．【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，所以取出的2个球都是白球的概率为16． 答：取出的2个球都是白球的概率为16． 【点睛】本题考查简单事件的概率，正确列表或者画树状图是解题关键．17．见解析.【分析】根据ASA △ADC ≌△AEB ，即可得出结论．【详解】证明：在△ABE 和△ACD 中，A A AB AC B C ∠∠∠⎧⎪∠⎪⎨⎩＝＝＝∴△ABE ≌△ACD （ASA ）∴AE=AD【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．18．港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km 和5.9km【分析】设港珠澳大桥隧道长度为km x ，桥梁长度为km y ．由桥梁和隧道全长共55km ，得55x y +=．桥梁长度比隧道长度的9倍少4km ，得94y x =-，然后列出方程组，解方程组即可．【详解】解：设港珠澳大桥隧道长度为km x ，桥梁长度为km y ．由题意列方程组得：5594x y y x +=⎧⎨=-⎩． 解得： 5.949.1x y =⎧⎨=⎩． 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km 和5.9km ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．19．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以B 为顶点，AC 为 底边，即可做出等腰三角形；（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．【详解】解：（1）如图①中，此时以B 为顶点，AC 为底边，该ABC 即为所求（答案不唯一）． （2）如图②中，此时底1AE =，高3h =，因此四边形ABDE 即为所求．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质．20．（1）833.6；（2）28.0%；（3）②【分析】（1）根据2016﹣2020年快递业务量统计图可得答案；（2）根据中位数的意义，将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列找出中间位置的一个数即可；（3）利用业务量的增长速度率估计2021年的业务量即可．【详解】解：（1）由2016﹣2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件， 故答案为：833.6；（2）将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是28.0%，因此中位数是28.0%，故答案为：28.0%；（3）①2016﹣2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只是增长的速度没有那么快，因此①不正确；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在()833.6125%1042⨯+=亿件以上，因此②正确；故答案为：②．【点睛】本题考查条形统计图，中位数，样本估计总体，理解“增长率”“增长速度”“增长量”的意义及相互关系是正确判断的前提．21．（1）6y x =；（2）6 【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于B 点，将B 代入到一次函数解析式中，可以求得B 点坐标，从而求得k ，得到反比例函数解析式；（2）因为BC y ⊥轴，所以()0,2C ，利用一次函数解析式可以求得它与y 轴交点A 的坐标()0,2-，由A ，B ，C 三点坐标，可以求得AC 和BC 的长度，并且//BC x 轴，所以12ABC S AC BC =⋅，即可求解． 【详解】解：（1）∵B 点是直线与反比例函数交点，∴B 点坐标满足一次函数解析式， ∴4223m -=， ∴3m =，∴()3,2B ，∴6k =， ∴反比例函数的解析式为6y x =； （2）∵BC y ⊥轴，∴()0,2C ，//BC x 轴，∴3BC =，令0x =，则4223y x =-=-， ∴()0,2A -，∴4AC =， ∴162ABC S AC BC =⋅=△， ∴ABC 的面积为6【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．22．两直线平行，内错角相等；cos B ；0.72；27648【分析】由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．【详解】解：因为//BC OA ，44AOB ∠=︒，所以44B AOB ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为OK BC ⊥，所以90BKO ∠=︒，在Rt BOK 中，6400OB OA ==．cos BK OB B =⨯（填“sin B ”或“cos B ”）． 所以北纬44︒的纬线长2C BK π=⋅．2364000.72=⨯⨯⨯（填相应的三角形函数值）()27648km ≈（结果取整数）．故答案为：两直线平行，内错角相等；cos B ；0.72；27648.【点睛】本题考查了解直角三角形和平行线的性质，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．23．（1）40a =；（2）()115401004y x x =+≤≤；（3）5万人 【分析】（1）由接种速度＝接种人数÷接种天数求解．（2）利用待定系数法求解．（3）将80x =代入（2）问中解析式得出34y =，然后由40346-=．【详解】解：（1）乙地接种速度为40800.5÷=（万人/天）， 0.5255a =-，解得40a =．（2）设y kx b =+，将()40,25，()100,40代入解析式得：2540k b 40100k b =+⎧⎨=+⎩， 解得1k 4b 15⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴()115401004y x x =+≤≤． （3）把80x =代入1154y x =+得18015354y =⨯+=， 40355-=（万人）． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（1）12a ；（2）菱形，见解析；（3）45BDE ∠=︒或135BDE ∠=︒ 【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得1122CD AB a ==； （2）由题意可得//DF AC ，12DF AB =，由“直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半”，得12AC AB =，得DF AC =，则四边形ADFC 是平行四边形，再由折叠得DF BD AD ==，于是判断四边形ADFC 是菱形；（3）题中条件是“点E 是射线BC 上一点”，因此DF AB ⊥又分两种情况，即点F 与点D 在直线CE 的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．【详解】解：（1）如图①，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，∵CD 是斜边AB 上的中线，AB a ， ∴1122CD AB a ==．（2）四边形ADFC 是菱形．理由如下：如图②∵DF BC ⊥于点G ，∴90DGB ACB ∠=∠=︒，∴//DF AC ；由折叠得，DF DB =， ∵12DB AB =， ∴12DF AB =；∵90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，∴906030B ∠=︒-︒=︒， ∴12AC AB =，∴DF AC =，∴四边形ADFC 是平行四边形；∵12AD AB =，∴AD DF =，∴四边形ADFC 是菱形．（3）如图③，点F 与点D 在直线CE 异侧，∵DF AB ⊥，∴90BDF ∠=︒；由折叠得，BDE FDE ∠=∠， ∴11904522BDE FDE BDF ∠=∠=∠=⨯︒=︒；如图④，点F 与点D 在直线CE 同侧，∵DF AB ⊥，∴90BDF ∠=︒，∴36090270BDE FDE ∠+∠=︒-︒=︒，由折叠得，BDE FDE ∠=∠，∴270BDE BDE ∠+∠=︒，∴135BDE ∠=︒．综上所述，45BDE ∠=︒或135BDE ∠=︒．【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．25．（1）1；（2）)3PB x =-；（3）22(02)8483)(34)2x x x y x x x x x ++≤≤⎪⎪⎪=+-<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩【分析】（1）在Rt PDQ中，由tan 60AD DQ︒== （2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=，则点P 在BC上时)3PB x =-． （3）分类讨论①：点P 在AB 上，点Q 在CD 上；②：点P 在AB 上，点Q 在DC 延长线上；③：点P 在BC 上．【详解】解：（1）如图，在Rt PDQ中，AD =，60PQD ∠=︒，∴tan 60AD DQ︒==∴13DQ AD ==．（2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=，∴点P 在BC 上时：)3PB x =-．（3）当03x ≤≤时，点P 在AB 上，作PM CD ⊥于点M ，PQ 交AB 于点E ，作EN CD ⊥于点N ，同（1）可得1MQ AD ==． ∴1DQ DM MQ AP MQ x =+=+=+，当13x +=时2x =，①∴02x ≤≤时，点Q 在DC 上，∵tan 3BC BDC CD ∠==， ∴30DBC ∠=︒，∵60PQD ∠=︒，∴90DEQ ∠=°． ∵1sin 302EQ DQ ︒==， ∴1122x EQ DQ +==，∵sin 60EN EQ ︒==，∴)1EN EQ x ==+，∴()))21111122y DQ EN x x x =⋅=++=+)202x x x =++≤≤．②当23x <≤时，点Q 在DC 延长线上，PQ 交BC 于点F ，如图，∵132CQ DQ DC x x =-=+-=-，tan 60CF CQ︒=，∴)tan 602CF CQ x =⋅︒=-，∴211(2)2)22CQF S CQ CF x x x =⋅=--=-+△，∴228482DEQ CQF y S S x x x ⎛=-=++--+ ⎝△△2(23)848x x x =-+-<≤．③当34x <≤时，点P 在BC 上，如图，∵3)CP CB BP x =-=-=，∴11(34)222y DC CP x x =⋅=⨯=<≤．综上所述：222)3)848(34)x xy x x xx x++≤≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩．【点睛】题目主要考察运用三角函数解三角形求出相应边的长度，然后利用三角形面积公式确定函数解析式，同时也对二次函数在几何动点问题进行考察，难点是在进行分类讨论时，作出对应图形并作出相应辅助线，同时确定相应的自变量范围．26．（1）274y x x=+-；（2）最大值为174；最小值为－2；（3）①13m<；②423m-≤≤-或123m-≤<时，PQ与图象交点个数为1，4132m-<<-时，PQ与图象有2个交点．【分析】（1）利用待定系数法求解．（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．（3）①由07PQ<≤求出m取值范围，②通过数形结合求解．【详解】解：（1）将70,4A⎛⎫-⎪⎝⎭，点11,4B⎛⎫⎪⎝⎭代入2y x bx c=++得：74114c b c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩， 解得174b c =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴274y x x =+-． （2）∵2271242y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线12x =-． ∴当12x =-时，y 取最小值为－2， ∵112(2)22⎛⎫-->--- ⎪⎝⎭， ∴当2x =时，y 取最大值27172244+-=． （3）①2131PQ m m m =-+-=-+，当310m -+>时，31PQ m =-+，PQ 的长度随m 的增大而减小，当310m -+<时，31PQ m =-，PQ 的长度随m 增大而增大，∴310m -+>满足题意， 解得13m <． ②∵07PQ <≤，∴0317m <-+≤， 解得123m -≤<， 如图，当12x =-时，点P 在最低点，PQ 与图象有1交点，m 增大过程中，1123m -<<，点P 与点Q 在对称轴右侧，PQ 与图象只有1个交点，直线13x =关于抛物线对称轴直线12x =-对称后直线为43x =-， ∴4132m -<<-时，PQ 与图象有2个交点，当423m -≤≤-时，PQ 与图象有1个交点，综上所述，423m-≤≤-或123m-≤<时，PQ与图象交点个数为1，4132m-<<-时，PQ与图象有2个交点．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．。

2021年普通高中学业水平考试 科合格性考试数学仿真模拟卷07（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知234x -=，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8C ．344D ．±232 1．【解析】由题意，可知234x-=，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A ．【答案】A2．若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{0} C ．{1} D ．{－1，1} 2.【解析】M ∩N ＝{1}，故选C ． 【答案】C3．已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．33.【解析】本题考查函数的奇偶性．令x ＝－1可得f (－1)－g (－1)＝1⇒f (1)＋g (1)＝1，故选C ． 【答案】C4．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3C ． 3D ．14.【解析】利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋（3）2＝1，半径r ＝2，∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3.【答案】B5．函数f (x )＝2x ＋1的定义域是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．(－∞，＋∞) 5.【解析】由2x ＋1≥0，解得x ≥－12，故选B ． 【答案】B6．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．46.【解析】(2a －b )·b ＝(3，x )·(－1，x )＝x 2－3＝0， ∴x ＝±3，∴|a |＝2. 【答案】C7．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b7.【解析】∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0.∴－a <0，b >－A ． ∴－a <b <0<－b <A ． 【答案】C8．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数8.【解析】因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，故选A ．【答案】A9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．149.【解析】由不等式组，作出可行域如下： 在点A (2，3)处，z ＝3x ＋y 取最大值为9. 【答案】C10．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－710.【解析】利用等比数列的通项公式求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 【答案】D11．当x ＞0时，下列不等式正确的是( ) A ．x ＋4x ≥4 B ．x ＋4x ≤4 C ．x ＋4x ≥8 D ．x ＋4x ≤8 11.【解析】由均值不等式可知，当x ＞0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时取“＝”，故选A ．【答案】A12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、C ．已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．312.【解析】由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋22－524b ＝23，∴b ＝3，答案选D ． 【答案】D13．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A ．15 B ．25 C ．825 D ．92513.【解析】从5人中选2人共有10种选法，其中有甲的有4种选法，所以概率为410＝25. 【答案】B14．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（ ） A ．七尺五寸B ．六尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸14．【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解． 从冬至日起，日影长构成数列{a n }，则数列{a n }是等差数列，则a 5+a 6+a 7+a 8＝32，S 7所以解可得，a 1＝，d ＝﹣1．故a 10＝【答案】D ．15．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．415.【解析】在平面直角坐标系中，作出变量x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当z ＝2x ＋y 过点B (2，0)时，z 最大，所以z max ＝4，所以z ＝2x ＋y 的最大值4.故选D ． 【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上) 16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________． 16.【解析】f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 【答案】－217．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． 17.【解析】设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求． 【答案】2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝018．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．18.【解析】由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x 人．则x ×2002 000＝97，解得x ＝970. 【答案】97019．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．19.【解析】由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T2＝（22）2－22，∴T ＝4，∴ω＝α2.【答案】α2三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .20．解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2，所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)S n ＝2(12)12n --＋n ×1＋(1)2n n -×2＝2n ＋1＋n 2－2. 21．(12分)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ， (1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为AD 的中点，求证：CE ∥平面PAB ． 21.证明：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又CD ⊥PC ，PA ∩PC ＝P ， ∴CD ⊥平面PAC ．(2)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1， ∴∠BAC ＝45°，∠CAD ＝45°，AC ＝ 2.∵CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥CA ，∴AD ＝2.又E 为AD 的中点，∴AE ＝BC ＝1，∴四边形ABCE 是正方形， ∴CE ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴CE ∥平面PAB ． 22．(12分)如图是半径为1m 的水车截面图,在它的边缘(圆周)上有一定点P ,按逆时针方向以角速度rad /s π(每秒绕圆心转动rad 3π)作圆周运动,已知点P 的初始位置为0P ,且06xOP π∠=,设点P 的纵坐标y 是转动时间t (单位:s )的函数,记为()y f t =.(1) 求()30,2f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,并写出函数()y f t =的解析式； (2) 选用恰当的方法作出函数()f t ,06t ≤≤的简图； (3) 试比较13131,,345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小(直接给出大小关系,不用说明理由). 22．解：(1)()10sin62f π==,()32sin cos 23662f πππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭, ()sin 36y f t t ππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,0t ≥.(2)用“五点法”作图,列表得：描点画图:说明:的变化过程也可给满分.(3) 13131345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

2021年吉林省中考数学试卷(附答案详解)1.化简-(-1)的结果为()答案：B。

12.据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度XXX销售整车辆，数据用科学记数法表示为()答案：B。

7.006×1043.不等式2x−1>3的解集是()答案：B。

x>24.如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是()答案：B.5.如图，四边形ABCD内接于⊙x，D重合)连接xx.点P为边AD上任意一点(点P不与点A，若∠x=120°，则∠xxx的度数可能为()答案：D。

65°6.古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.若设这个数是x，则所列方程为()答案：C。

3x+2x+7x+x=337.√9-1=______．答案：B。

28.因式分解：x2−2x=______．答案：x(x-2)9.计算：x−1/x−1=______．答案：110.若关于x的一元二次方程x2+3x+x=有两个相等的实数根，则c的值为______．答案：3/411.如图，已知线段xx=2xx，其垂直平分线CD的作法如下：(1)分别以点A和点B为圆心，xxx长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD．上述作法中b满足的条作为b______1.(填“>”，“<”或“=”)答案：=12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(4,0)，点P在直线y=x上，且AP=BP，过点P作直线CD交x轴于点E.若PE=2，则PE的坐标为______．答案：(2,2)增长量÷去年业务量×100%。

根据以上数据，回答以下问题：1)2016年快递业务量为______亿件；2)2018年快递业务量比2017年增长了______亿件；3)2019年快递业务量为______亿件；4)2020年快递业务量比2019年增长了______亿件；5)2016年至2017年，快递业务量的增长速度______；6)2018年至2020年，快递业务量的增长速度______．过25天完成全部接种，而乙地需要30天完成全部接种.已知甲地每天接种人数比乙地多200人，求甲地前5天平均每天接种人数.解：设甲地每天接种人数为x，乙地每天接种人数为x，则40万=5万+25x+(30−25)x40万=30x+5万解得：x=x+200则甲地前5天接种人数为5x=5(x+200)=5x+1000，平均每天接种人数为(5x+1000)/5=x+200，代入第二个式子得40万=30x+5万解得：x=所以甲地前5天平均每天接种人数为+200=人.解析】去括号与添括号是一种基本的代数运算，常用于化简和变形式子。

2020年吉林省普通高中学业考试数学试卷学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、单项选择（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1、设集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2、点到直线的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．3、采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知且则的终边落在( )A B ={}1,2,4,5,7{}3,4,5{}5{}2,5()1,1-10x y -+=15122325sin 0α<A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、已知，，且，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．6、已知,则os 等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．B ．C ．D ．8、中，若，则的面积为（ ）A ．B ．C ．1 D9、已知数列满足，且，那么（ ）A ．B ．C ．D ．10、在中,内角所对的边分别为,已知,,则（ ）A ．BCD ．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）()1,2a =-(),3b x =a b ⊥x 32-326-61y x =+2y x =-1y x =-y x x =ABC ∆︒===30,2,1B c a ABC ∆21233{}n a 1n n a a n +=+12a =3a =4567ABC ∆,,A B C ,,a b c o 105A =o45C =2c =b =123211、已知sinα=，则cos2α=______．12、已知向量，，，若，则__________．13、若圆锥底面半径为1，侧面积为,则该圆锥的体积是________．14、为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为______．15、已知，，，是以2为公比的等比数列，则______.三、解答题（本大题共5小题，16题6分，17题18题19题每题8分，20题10分，满分40分，解答须写出文字说明、证明过程和验算步骤）16、求满足下列条件的m 的值：(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行；(),1a x =()1,2b =()1,5c =-()2//a b c +a =[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100a b c d 22a bc d +=+(2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直．17、如图是函数的图像，求、、的值，并确定其函数解析式．18、如图，正方体中(1)求证：(2)求证：平面19、已知等差数列满足，且是的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求.()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭A ωϕ1111ABCD A B C D-1AC DB ⊥1DB ⊥1ACD {}n a 636a a =+31a -241,a a -{}n a ()11n n n b n a a *+=∈N {}n b nTn T20、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且. （1）求C ；（2）若△ABC 的面积为8，a ＝4，求b 的值.cos sin a C A参考答案1、【答案】A2、【答案】D3、【答案】D4、【答案】D5、【答案】D6、【答案】A7、【答案】D8、【答案】A9、【答案】B 10、【答案】A11、【答案】12、13、【答案】14、【答案】40 15、【答案】16、【答案】(1)∵l 1∥l 2，∴两直线斜率相等． ∴m 2－2＝－1．∴m ＝±1． (2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝.∴m ＝.14123417、【答案】，，，. 试题分析：本题首先可以根据周期计算出，然后根据最大值为以及最小值为得出，最后将点代入函数中即可求出并得出函数解析式.详解：因为周期，所以，，因为最大值为，最小值为，所以，，将点代入中， 得，解得， 因为，所以，. 【点睛】本题考查根据三角函数图像求函数解析式，可根据函数的周期、最值以及点的坐标来求解，考查数形结合思想，考查计算能力，是简单题.18、【答案】试题分析：（1）利用线面垂直的结论，进而可得线线垂直结论； （2）利用线面垂直的判定定理，进而可得结论. 详解：证明：(1)连结、3A =2ω=3πϕ=3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭T π=2ω=33-3A =,312π⎛⎫⎪⎝⎭3πϕ=566T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭222T ππωπ===sin 2φy A x 33-3A =()3sin 2y x ϕ=+,312π⎛⎫⎪⎝⎭()3sin 2y x ϕ=+π33sinφ6()23k k Z πϕπ=+∈2πϕ<3πϕ=3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭BD 11B D平面，平面又，，平面平面，又平面(2)由，即同理可得， 又，平面平面【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的证明方法，属于基础题.19、【答案】（1）；（2）.试题分析：（1）由先求出公差，再由等比中项的性质可得，进而求出，得出通项公式；1DD ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1DD ∴⊥AC AC BD ⊥1BDDD D =1BD DD ⊂、11DBB D AC ∴⊥11DBB D 1DB ⊂11DBB D 1AC DB ∴⊥1AC DB ⊥1DB AC ⊥11DB AD ⊥1AD AC A =1,AD AC ⊂1ACD 1DB ∴⊥1ACD 21n a n =+()323nn +636a a =+()()232411a a a -=-⋅1a（2）由（1）再结合裂项公式得，采用迭加法即可求得数列的前项和详解：（1）设等差数列的公差为，所以，即，，，，又是，的等比中项，，即，解得. 数列的通项公式为.（2）由（1）得.. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法，裂项法与迭加法求解数列前项和，属于中档题 20、【答案】（1）；（2） 试题分析：（1）根据正弦定理得到，故，得到答案. （2），，得到答案. 详解：（1），根据正弦定理得到：，11122123n b n n ⎛⎫=-⎪++⎝⎭{}n b n T {}n a d 6336a a d -==2d =3113a a ∴-=+2111a a -=+416a a =+31a -21a -4a ()()232411a a a ∴-=-⋅()()()2111+3=16a a a ++13a =∴{}n a 21n a n =+()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭1212n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭n 6π8sin cos sin A C C A =3tan C1sin 824ab S ab C ===32ab =cos sin a C A =sin cos sin A C C A =故，，故.（2），故，. 【点睛】本题考查了正弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力.3tan 3C()0,C π∈6C π=1sin 824abS ab C ===32ab =8b =。

2021年普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷（03）第一部分 选择题（每小题3分，共81分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（ ） A. 4 B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】解：∵{}{}221,0,1A x x =∈-<<=-Z ，∴集合A 的子集个数为328=个， 故选：D.2. 函数()11f x x =-的定义域是（ ） A. ()(),11,-∞+∞B. [)2,-+∞C. [)()2,11,-⋃+∞D. ()1+∞， 【答案】C【解析】要使函数有意义，则2010x x +≥⎧⎨-≠⎩，即21x x ≥-⎧⎨≠⎩，即x ≥﹣2且x ≠1，即函数的定义域为[﹣2，1）∪（1，+∞）， 故选C ．3. cos24cos36sin 24cos54︒︒-︒︒的值等于( )A. 0B.12C.D. －12【答案】B【解析】原式1cos 24cos36sin 24sin 36cos602︒︒-︒︒=︒==． 故选：B.4. 已知()1,0a =，()2,1b =，向量ka b -与3a b +平行，则实数k 的值为（ ）A.117B. 117-C. 13-D.13【答案】C【解析】()()()1,02,12,1ka b k k -=-=--，即()()2,17,3k λ--=，∴1273,1313k k λλλ⎧=-⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎪⎩. 故选：C.5. 在△ABC 中，2AB =，6C π=，则AC +的最大值为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】在△ABC 中，2AB =，6C π=，则4sin sin sin ===AB BC ACC A B， 所以4sin =BC A ，4sin =AC B .则54sin 4sin 6π⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭AC B A A A()2cos ϕ=+=+A A A ，（其中tan 9ϕ=） 因为506π<<A ， 所以当()sin 1A ϕ+=时，AC +取得最大值故答案为：6. 已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若△ABC 的面积为2，则k 的值为( ) A. 3或13B. 0C.13D. 3【答案】B【解析】设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立，解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3yx，且||AB =点C 到直线AB的距离231|3|k k d +--+==所以12|1||1|02k k k ⋅=⇒-=+⇒=.故选：B.7. 设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+=B. 22(3)8x y -+=C. 22(3)2x y ++=D. 22(3)8x y ++=【答案】A【解析】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===， 圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .8. 下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ） A. 三棱柱的底面为三角形 B. 一个棱柱至少有五个面C. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形D. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 【答案】D【解析】三棱柱的底面为三角形，所以A 正确； 因为三棱柱有五个面，所以棱柱至少有五个面，B 正确；五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形，所以C 正确；若棱柱的底面边长相等，它的各个侧面为平行四边形，即边长对应相等，但夹角不一定相等，所以D 错误； 故选：D9. 圆心为(1,－1)且过原点的圆的一般方程是 A. 222210x y x y ++-+=B. 222210x y x y +-++=C. 22220x y x y ++-=D. 22220x y x y +-+=【答案】D【解析】根据题意，要求圆的圆心为(1,1)-，且过原点，且其半径r ==，则其标准方程为22(1)(1)2x y -++=，变形可得其一般方程是22220x y x y +-+=， 故选D ．10. 与直线3450x y -+=关于坐标原点对称的直线方程为（ ）A. 3450x y +-=B. 3450x y ++=C. 3450x y -+=D. 3450x y --=【答案】D【解析】设所求对称直线上任意一点的坐标为(),x y ，则关于原点对称点的坐标为(),x y --，该点在已知的直线上，则3450x y -++=，即3450x y --=.故选：D.11. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，3122OA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，若OA 绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB ，则OB =（ ） A. (0,1)B. (1,0)C. ,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】3122OA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭OA ∴与x 轴夹角为30 OB ∴与x 轴夹角为90又1OB OA == ()0,1OB ∴= 故选：A12. 已知直线l 过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程不可以是下列（ ）选项. A. 2x -y =0 B. x +y =3C. x -2y =0D. x -y +1=0【答案】C【解析】解：由题意设所求直线的横截距为a ，（1）当0a =时，由题意可设直线的方程为y kx =，将()1,2代入可得2k =，∴直线的方程为20x y -=；（2）当0a ≠时，由截距式方程可得直线的方程为1x ya a +=（截距相等）或1x y a a+=-（截距相反），将()1,2代入可得3a =或1a =-，∴直线的方程为3x y +=或10x y -+=；故选：C ．13. 已知倾斜角为α的直线l 过定点(0,2)-，且与圆22(1)1y x +-=相切，则1cos 2cos 2απα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A. 3-B.C. 23-D.3或3-【答案】A【解析】由题意知0180α︒<︒且90α≠︒,则直线斜率tan k α=, 直线l 方程为2y kx +=,即20kx y --=,圆心坐标(0,1),则圆心到直线l的距离1d ===,即291k =+,解得28k =,即2tan 8α=,由sin 0α>,可得sin α=, 所以()2112sin 1cos 22sin sin 3cos 2αααπαα---==-=--⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 故选:A .14. 函数f （x ）=（x 2+2x ）e 2x 的图象大致是( )A. B.C. D.【解析】由于()()'22231x fx x x e =++⋅，而231y x x =++的判别式9450∆=-=>，所以231y x x =++开口向上且有两个根12,x x ，不妨设12x x <，所以()f x 在()()12,,,x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减.所以C ,D 选项不正确.当2x <-时，()0f x >，所以B 选项不正确.由此得出A 选项正确. 故选：A15. 在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则sin α等于（ ）A.B. 5-C.D.【答案】D【解析】将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点()1,2B -，根据三角函数的定义可知sin 5α===.故选：D16. 下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数的是（ ） A. ln 1y x =+ B. ln y x =C. 2y x x =-D. 3y x =【答案】A【解析】A 选项是偶函数且在(0,)+∞为增；B 选项不是偶函数； C 选项是偶函数，但是在(0,)+∞不恒为增函数； D 选项不是偶函数，17. 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足(2)()f x f x +=，当[)0,1x ∈时，()41=-xf x ，则( 5.5)-f 的值为（ ）A. 2B. －1C. 12-D. 1【答案】D【解析】】(2)()2f x f x T +=∴=故选：D18. 已知1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 3α⎛⎫⎝π-⎪⎭=（ ） A.49B.13C.59D. 59-【答案】B【解析】令6πθα=-，则6παθ=-，∴21sin sin cos 323ππαθθ⎛⎫⎛⎫-=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B.19. 在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若222sin sin sin sin sin A B C B C -=-，a =△ABC 的外接圆面积为（ ）A. πB. 2πC. 4πD. 8π【答案】A 【解析】222sin sin sin sin sin A B C B C -=-，由正弦定理得222a b c bc-=-，222b c a bc ∴+-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==， ()0,A π∈，3A π∴=，设△ABC 的外接圆半径为r，则22sin a r A===，1r ∴=， 因此，△ABC 的外接圆面积为2S r ππ==. 故选：A.20. 已知△ABC 中，满足02,60b B == 的三角形有两解，则边长a 的取值范围是（ ）A2a << B.122a <<C. 23a <<D. 2a <<【答案】C【解析】由三角形有两解，则满足sin a B b a b <⎧⎨>⎩，即 sin 6022o a a ⎧<⎨>⎩，解得：2＜a＜，所以边长a 的取值范围（2）， 故选C ．21. 已知向量(,3)a m =，(3,)b n =-，若2(7,1)a b +=，则mn =（ ） A. －1 B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】因为()27,1a b +=，所以67321m n +=⎧⎨-=⎩，得1m n ==，所以1mn =.故选C22. 已知直线l ，m 与平面α，β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中正确的是（ ） A. 若l ∥m ，则必有α∥β B. 若l ⊥m ，则必有α⊥β C. 若l ⊥β，则必有α⊥β D. 若α⊥β，则必有m ⊥α【答案】C【解析】解：对于选项A ，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A 错误； 对于选项B ，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B 错误；对于选项C ，因为l ⊂α，l ⊥β，符合面面垂直的判定定理，所以α⊥β，所以选项C 正确； 对于选项D ，直线m 可能和平面α不垂直，所以选项D 错误． 故选：C ．23. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥B. 若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥C. 若,//m n αβ⊥且n β⊥，则//m αD. 若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ 【答案】B【解析】A 中直线m,n 可能平行，可能相交，可能异面；B 中由平面法向量的知识可知结论正确；C 中直线a 可能与面平行，可能在平面内；D 中两平面可能平行可能相交 故选：B24. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（ ） A.15B.25C.35D.110【答案】B【解析】皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务， 基本事件总数23253220n C C A ==，大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数23221222322322 8m C C A C C C A =+=，所以大夫、不更恰好在同一组的概率为82 205m p n ===． 故选：B ．25. 如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是1x 、2x ，则下列判断正确的是（ ） A. 12x x >，甲比乙成绩稳定 B. 12x x <，乙比甲成绩稳定 C. 12x x =，甲比乙成绩稳定 D. 12x x =，乙比甲成绩稳定 【答案】A【解析】由茎叶图知： 所以12x x =由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中所以乙比甲成绩稳定 故选：D26.在△ABC 中，90A ∠=，()2,2AB k →=-，()2,3AC →=，则k 的值是（ ） A. 5 B. 5- C.32 D. 32-【答案】A 【解析】90A ∠=，即AB AC ⊥，4260AB AC k →→∴⋅=-+=，解得：5k =.故选：A .27. 在一组样本数据中，1，4，m ，n m n +=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】A【解析】由题意得样本平均值为10.140.10.40.4 2.55m n m n ⨯+⨯+⨯+⨯=∴+= 故选：A第二部分 解答题（共19分）28.（本小题满分5分）设常数R a ∈，函数2()asin2x 2cos x f x =+． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求方程()1f x =[]ππ-，上的解． 【答案】(1)0a =;(2)5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-.【解析】（1）∵()2sin22cos f x a x x =+，∴()2sin22cos f x a x x -=-+，∵()f x 为偶函数， ∴()()f x f x -=，∴22sin22cos sin22cos a x x a x x -+=+， ∴2sin20a x =， ∴0a =；（2）∵π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴2ππsin2cos 1124a a ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴a =∴()2π2cos cos212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，∵()1f x =∴π2sin 2116x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭∴πsin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴ππ22π64x k +=-+，或π52π2πZ 64x k k +=+∈，，∴5ππ24x k =-+，或13ππZ 24x k k =+∈，， ∵[]ππx ∈-，， ∴5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-29.（本小题满分5分）在三棱锥A ﹣BCD 中，E ，F 分别为,AD DC 的中点，且BA BD =，平面ABD ⊥平面ADC . （1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：CD BE ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）在ADC 中，,E F 分别为,AD DC 的中点， ∴//EF AC ，∵EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以//EF 平面ABC .（2）在ABD △中，BA BD =，E 为AD 的中点， ∴BE AD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面ADC ，BE ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面ADC AD =，∴BE ⊥平面ADC ，因为DC ⊂平面ADC ，所以BE DC ⊥，即CD BE ⊥. 30.（本小题满分5分）已知直线l 过定点()2,1A -，圆C ：2286210x y x y +--+=．（1）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若l 与圆C 交于M ，N 两点，求CMN ∆面积的最大值，并求此时l 的直线方程． 【答案】（1）2x =或34100x y --=；（2）2，30x y --=或7150x y --=.【解析】（1）由题，得圆C 的标准方程为22(4)(3)4x y -+-=，则圆心坐标为(4,3)，半径2r．①当直线l 的斜率不存在时，直线2x =，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：()12y k x +=-，即210kx y k ---=． 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心(4,3)到直线l 的距离等于半径22=，解得34k =，所以直线的方程为331042x y ---=，化为一般式为34100x y --=． 综上，l 的方程为2x =或34100x y --=；（2）由第1问知直线与圆交于两点，则斜率必定存在，则直线l 的方程为210kx y k ---=，所以圆心到直线l的距离d =所以ΔCMN面积1··2S d ===所以当d =S 取得最大值2，由d ==解得1k =或7k =，所以直线l 的方程为30x y --=或7150x y --=． 31.（本小题满分4分）设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax xg x x R =-∈．（1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围．【答案】（（1）()24x xg x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 【解析】解：（1）∵()3xf x =，且(2)18f a +=∴⇒∵∴（2）法一：方程为令，则144t ≤≤- 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+，y b =两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点 由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解． 法二： 方程，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭。

2021年吉林省普通高中学业考试数学试卷学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、单项选择〔本大题共10小题，每题4分，总分值40分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的〕1、假设集合，，那么图中阴影局部表示〔〕A ．B ．C ．D ．2、定义在R 上的函数满足，当时，，那么〔〕A ．B ．2C ．D ．83、设和是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，那么以下说法正确的选项是〔〕A ．假设，，，那么B ．假设，，，那么C ．假设，，，那么D ．假设，，，那么 4、假设，那么实数之间的大小关系为〔〕A ．B ．C ．D ．5、某班级共有50人，把某次数学测试成绩制作成直方图如图，假设分数在内为优秀，那么任取两人成绩均为优秀的概率为〔〕A ．B ．C ．D ．6、函数图象上相邻两条对称轴的距离为，把图象上{|(4)0}B x x x =->{1,2,3,4}{5}{1,2,3}{4,5}()f x ()()2f x f x +=01x ≤≤()13f x x=17()8f =1218αβ//m αβn////m n //αβm α⊥n β⊂//αβm n ⊥m α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥m α⊥n β⊥//αβ//mn 2log 2a b c ===,,a b c a c b >>a b c >>c a b >>b a c >>[]80,100217541751356175()()sin 06f x x ωωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞2π()f x各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，那么〔〕 A ．B ．C ．D ．7、为锐角，，那么〔〕 A ． B ． C ．2D ．38、假设直线与圆没有公共点，那么实数的取值范围是〔〕A ．B ．或C ．或D ．9、函数的最小正周期是〔〕 A ． B ． C ． D ．10、〔 〕 A ． B ． C ．D ．二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，总分值20分〕11、假设，那么______.12、过点的直线l 与圆相切，那么直线l 在y 轴上的截距为_____.13、设非零向量满足，且，那么向量与的夹角为________． 14、，，，那么的最小值为______．15、一个底面半径为r ，高为h 的圆柱内接于半径为R 的球O 中，假设h=R ，那么__________．53π()g x ()cos4g x x =-()cos4g x x=()cos g x x=-()cos g x x =α3cos 5α=tan 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭1312340x y m ++=222410x y x y +-++=m 515m -<<5m <-15m >4m <13m >413m <<22()cos sin f x x x =-π2π2π4π5sin cos ,sin 24ααα-=-=则4932916-932-tan 2θ=-sin 2θ=(224x y +=,a b ()a ab ⊥-2b a=a b 0x >0y >23x y +=23x yxy +r R=三、解答题〔本大题共5小题，16题6分，17题18题19题每题8分，20题10分，总分值40分，解答须写出文字说明、证明过程和验算步骤〕16、三角形的三个顶点是，，． 〔1〕求边上的中线所在直线的方程； 〔2〕求边上的高所在直线的方程．17、今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济〞，地摊在全国遍地开花.某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收入(单位：千元)将摊主分成六个组，，，，，，得到下边收入频率分布直方图.〔1〕求频率分布直方图中t 的值，并估计每月每名地摊摊主收入的中位数和平均数(单位：千元)； 〔2〕从收入在的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自的概率.18、的内角的对边分别为.〔Ⅰ〕求B ； 〔Ⅱ〕假设的面积，求a.19、在四棱锥中，底面为直角梯形，，，是正三角形，，〔1〕证明：；〔2〕求与平面所成线面角的正弦值.(4,0)A (6,7)B -(0,3)C -BC BC [)5,10[)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)10,20[)15,20ABC ,,A B C ,,a b c cos sin A b A =+ABC ABCSb ==P ABCD -ABCD //AD BC AD CD ⊥PAB △22BC AD ==CD =PC =PC AB ⊥CD PAB20、等差数列中，，，等比数列的各项均为正数，且，．〔1〕求数列，的通项公式；〔2〕假设，求数列的前项和．参考答案一、单项选择 1、【答案】A 2、【答案】A 3、【答案】BCD 4、【答案】A 5、【答案】B 6、【答案】D 7、【答案】D 8、【答案】B 9、【答案】B 10、【答案】C 二、填空题11、【答案】 12、【答案】4.13、【答案】14、【答案】 15、三、解答题16、【答案】〔1〕；〔2〕．试题分析：〔1〕先求出BC 的中点坐标，再利用两点式求出直线的方程； 〔2〕先求出BC 边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程. 详解：〔1〕设线段的中点为． 因为，， 所以的中点，所以边上的中线所在直线的方程为， {}n a 136a a +=4516a a +={}n b 11b =1237b b b ++={}n a {}n b 2log n n nc a b =+{}n c n n S 45-3π15200x y --=32120x y --=BC D (6,7)B -(0,3)C -BC (3,5)D -BC 045034y x --=---即．〔2〕因为，， 所以边所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为， 即．【点睛】此题主要考查直线方程的求法，属于根底题. 17、【答案】〔1〕，中位数为(千元)，平均数为：(千元)；〔2〕. 试题分析：〔1〕由频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，列方程可求出t 的值，利用中位数两边的频率相同可求出中位数，平均数等于各组中点值乘以对应的频率，再把所有的积加起来可得平均数；〔2〕利用分层抽样的比例求出和的人数，然后利用列举法把所有情况列出来，再利用古典概型的概率公式求解即可.详解：〔1〕由，那么， 由，由， 那么中位数为(千元)， 平均数为(千元)〔2〕由分层抽样可知应抽取2人记为1，2，应抽取3人记为a ，b ，c ，那么从这5人中抽取2人的所有情况有：，共10种情况，记其中2人收入都来自为事件A ，情况有3种，5200x y --=(6,7)B -(0,3)C -BC 23BC k =-BC 23BC 3(4)2y x =⋅-32120x y --=0.04t =21.87520.75310[)10,15[)15,20()0.020.020.030.080.0151t +++++⨯=0.04t =()0.020.020.0350.35++⨯=0.50.355 1.8750.4-⨯=20 1.87521.875+=()7.50.0212.50.0217.50.0322.50.0827.50.0432.50.015⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯20.75=[)10,15[)15,20()()()()()()()()()()1,2,1,,1,,1,,2,,2,,2,,,,,,,a b c a b c a b a c b c [)15,20()()(),,,,,a b a c b c那么. 【点睛】此题考查了由频率分布直方图求中位数，平均数，考查了分层抽样，古典概型，考查了分析问题的能力，属于根底题.18、【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕或4.试题分析：，利用正弦定理将边转化为角，结合两，再根据求解. 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕的结论得到，再由利用余弦定理解得即可. 详解：〔Ⅰ〕，.，.，， ，又， 〔Ⅱ〕， .由余弦定理得，， .由，解得或 ()310P A =3π1cos sin A b A =+sin B B =0B π<<ABCS =acb =22ac +33cos sin c A b A =+cos sin sin C B A B A =+sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos sin sin A B B A =sin 0A >sin B B =tan B ∴=0B π<<1sin 2ABCSac B ===4ac ∴=2222cos b a c ac B =+-22124132a c ∴+-⨯⨯=2217a c ∴+=22174a c ac ⎧+=⎨=⎩14a c =⎧⎨=⎩41a c =⎧⎨=⎩所以或4. 【点睛】此题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19、【答案】〔1〕证明见解析；〔2试题分析：〔1〕取中点，连接，，利用条件得到，在中得到，，推出是正三角形，进而得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，即可得出结论.〔2〕延长，交于点，连接，作中点，连接，，利用线面垂直得到面面垂直，在中，，那么平面，找到与平面所成角，代入数值即可得出结论. 详解：〔1〕证明：取中点，连接，， ∵是正三角形， ∴，∵，， ∴，， ∴是正三角形， ∴，又∵， ∴平面， ∵平面， ∴.〔2〕解：延长，交于点，连接，作中点，连接，， ∵平面， 平面，∴平面平面，且平面平面， 易知为中点， ∴，∴平面，又∵直线，直线平面， ∴平面，∴直线平面，∴是与平面所成线面角， 易知，∴. 1a=AB E PE CE PE AB ⊥ACD△2AC =π3DAC ∠=ABC CE AB ⊥AB ⊥PEC BA CD F PF PE G CG FG PEC CG PE ⊥CG ⊥PAB CD PAB AB E PE CE PAB △PE AB ⊥1AD =CD =AD CD ⊥2AC =π3DAC ∠=ABC CE AB ⊥CE PE E ⋂=AB ⊥PEC PC ⊂PEC AB PC ⊥BA CD F PF PE G CG FG AB ⊥PEC AB PAB PAB ⊥PCE PAB ⋂PCE PE =PE PC CE ===G CG PE ⊥CG ⊥PAB F ∈AB AB PAB F ∈PAB F =CD ⋂PAB CFG ∠CD PAB 32CG =CF =sin 4CFG ∠=【点睛】此题主要考查了利用线面垂直的判定定理得出线线垂直以及求线面角的正弦值.属于中档题.20、【答案】〔1〕，；〔2〕. 试题分析：〔1〕等差数列公差为，等比数列公比为，根据，得到关于和的方程组，通过解方程组求得和，进而求得的通项公式；通过，求得，进而求得的通项公式. 〔2〕通过条件和〔1〕中的结论求得，进而求得的前项和. 详解：〔1〕设等差数列公差为，等比数列公比为，那么由得，∴，由得或〔舍去〕，∴；〔2〕所以是首项为，公差为的等差数列. ∴．【点睛】此题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式，考查学生公式的掌握程度与计算能力，属于根底题.21n a n =-12n b -=(31)2n n n S -={}n a d {}n b q 136a a +=4516a a +=1a d 1a d {}n a 11b =1237b b b ++=q {}n b n C {}n c n n S {}n a d {}n b q 1314512262716a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩121d a =⎧⎨=⎩()11221n a n n =+-⨯=-212317b b b q q ++=++=2q 3q =-11122n n n b --=⨯=122log 21log 221132n n n n c a b n n n n -=+=-+=-+-=-{}n c 13(132)(31)22n n n n n S +--==n。