2021届贵州省遵义市高三上学期第一次联考(期中)数学(理)试题Word版含答案

2021届贵州省遵义市高三第一次统一考试（9月）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|110}A x x =-<，集合{|lg 1}B x x =，则A B =（ ） A.{|110}x x -≤< B.{|110}x x -≤≤ C.{|010}x x << D.{|010}x x <≤【答案】C【解析】对集合B 内的不等式进行计算，然后根据交集运算得到答案. 【详解】集合B 中，解不等式1lg x ≤，得010x <≤， 所以集合{}=010B x x <≤ 而集合{|110}A x x =-< 所以A B ={|010}x x <<， 故选C 项. 【点睛】本题考查对数不等式的计算，集合交集的运算，属于简单题.2．在复平面内，复数z 满足(1)4z i -=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】对条件中的式子进行计算化简，得到复数z ，从而得到其在复平面对应的点的坐标，得到答案. 【详解】由(1)4z i -=，得4221z i i==+- 所以z 在复平面对应的点为()2,2，所以对应的点在第一象限. 故选A 项. 【点睛】本题考查复数的计算，复平面的相关概念，属于简单题.3．已知两个单位向量a 和b 的夹角为120︒，k ∈R ，则||ka b +的最小值为（ ）A.34B.C.1D.32【答案】B【解析】对||ka b +平方，然后将单位向量a 和b 的模长和夹角带入，得到关于k 的函数，然后得到其最小值，从而得到答案. 【详解】()2222||=2ka b k a a b b ++⋅+因为a 和b 是单位向量，且夹角为120︒ 所以()2222||=2ka b k a ka b b ++⋅+2222cos ,a a b b a k k b =++21k k =-+21324k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭34≥，所以||ka b +32≥，所以||ka b +的最小值为. 【点睛】本题考查向量模长的表示，求模长的最小值，属于简单题,4．已知tan α=2παπ<<，则sin cos αα-=（ ）A B C D 【答案】A【解析】∵tan 2πααπ=<<∴23πα=∴31sin ,cos 2αα==- ∴13sin cos αα+-= 故选A5．已知：6log 5a =，0.3b π=，1ln 2c =，则下列结论正确的是（ ） A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.c a b <<【答案】D【解析】分别将,,a b c 与特殊值0,1进行比较，然后判断出其大小关系，得到答案. 【详解】因为()6log 501a =∈，，()0.31+b π=∈∞，，()1ln ,02c =∈-∞所以c a b <<， 故选D 项. 【点睛】本题考查比较指数值和对数值的大小，属于简单题.6．执行如图所示程序框图，若输入的4k =，则输出的s =（ ）A.34B.45C.56D.67【答案】C【解析】根据程序框图的要求，得到每次循环对应的,s n 的值，再根据判断语句，结束循环，输出s 的值，得到答案. 【详解】根据程序框图的循环语句可知第一次循环，4,0,0k n s ===，此时n k ≤，1n =，112s =⨯； 第二次循环，14,1,12k n s ===⨯，此时n k ≤，2n =，11+1223s =⨯⨯；第三次循环，114,2,+1223k n s ===⨯⨯，此时n k ≤，3n =，111++122334s =⨯⨯⨯； 第四次循环，1114,3,++122334k n s ===⨯⨯⨯，此时n k ≤，4n =，1111+++12233445s =⨯⨯⨯⨯；第五次循环，11114,3,+++12233445k n s ===⨯⨯⨯⨯，此时n k ≤，5n =，11111++++1223344556s =⨯⨯⨯⨯⨯； 第六次循环，4,5k n ==，不满足n k ≤，循环停止， 输出11111++++1223344556s =⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111111223344556=-+-+-+-+- 5=6故选C 项. 【点睛】本题考查根据输入值求程序框图的输出值，裂项相消求数列的和，属于简单题. 7．已知函数()sin f x x x =-，则不等式2(1)(33)0f x f x -++>的解集是 A ．(,4)(1,)-∞-+∞ B ．(,1)(4,)-∞-⋃+∞ C ．(1,4)- D ．(4,1)-【答案】C【解析】由题意，根据函数的解析式，求解函数()f x 是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为21(33)x x ->-+，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-≥，所以函数()f x 是定义域上的单调递增函数，又由()()sin()(sin )f x x x x x f x -=---=--=-，即函数()f x 定义域上的奇函数， 又由不等式2(1)(33)0f x f x -++>可转化为 2(1)(33)[(33)]f x f x f x ->-+=-+ 即21(33)x x ->-+，即2340x x --<，解得14x -<<， 即不等式的解集为(1,4)-，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式2340x x --<是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A 21B ．)2421π-C ．)2421πD ．16【答案】B【解析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可. 【详解】阴影部分的面积()()440cos sin sin cos 1S x x dx x x ππ=-=+=⎰，正方形面积为24π，所以所求概)2414π=.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.9．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数 【答案】C【解析】先求出()f x 的导数，结合解析式的特点来判断. 【详解】()sin g x cosx x =+，所以选项A 正确；由极值点定义可知选项B 正确；把()f x 的图像向右平移2π个单位，得到()sin()sin cos 22y cos x x x x ππ=-+-=-与()g x 不相等；故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质.三角函数的图像变换主要平移方向和系数的影响. 10．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

江西省横峰中学等四校xx 届高三第一次联考数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2021年高三上学期第一次联考数学（理）试题WORD 版含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．i 是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数k 的范围是（ ） A ． B ． C ． D ．2.若集合}5|{},0162|{52≤=≤--=xC x B x x x A ，则中元素个数为 （ ）A .6个 B.4个 C . 2个 D. 0个 3.“”是“”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.若a 、b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 5.根据如下样本数据：得到的回归方程为，则（ ） A. , B. , C. , D. ,6.使得的展开式中含有常数项的最小的是（ ）A.4B.5C.6D.77.将5名大学生分配到3个乡镇去任职,每个乡镇至少一名,不同的分配方案种数为( )A.150B.240C.60D.120 8.设函数在R 上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图像可能是（ ）9.在四棱锥，面，面中，PAB BC PAB AD ABCD P ⊥⊥-底面ABCD 为梯形， 满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A ．圆的一部分 B ．线段C ．抛物线的一部分D ．椭圆的一部分10.已知函数与图象上存在关于轴对称的点， 则的取值范围是（ ） A. B. C. D.第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 11.已知随机变量,若，则 . 12．给出下列等式：；；3322411214352132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，…… 由以上等式推出一个一般结论：对于n n n n N n 21)1(22132421213,2*⨯++++⨯⨯+⨯⨯∈ = . 13．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 _. 14．已知函数，当时，给出下列几个结论： ①；②； ③;④当时，.其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）．三、选做题（考生只能从中选一题，两题都做的，只记前一题的分.本小题5分）15.（1）（不等式选做题）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 . （2）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t 为参数）相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .四、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.） 16. （本小题满分12分）已知，求： （1）； （2）.17.（本小题满分12分）已知函数（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.18. （本小题满分12分）如图1,在直角梯形中,,,, 为线段 的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图所示. (1) 求证:平面； (2) 求二面角的 余弦值.19．（本小题满分12分）某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响. （1）求选手甲进入复赛的概率；（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望.20. （本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍,且经过点,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （），l 交椭圆于A 、B 两个不同点. （1）求椭圆的方程；（2）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.y ABCDACD.21. （本小题满分14分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时对于任意的，函数在区间上总存在极值；（3）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．xx 届高三年级第一次联考数学（理）参考答案一、选择题1-5: B B B D C 6-10: B A D A B 二、填空题11. 16 12． 13． 【解析】易知圆的圆心坐标为，则圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线在第一象限交于点， 作抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可知，则，当点位于圆与轴的交点时，取最大值，由于点在实线上运动，因此当点与点重合时，取最小值为，此时与重合，由于、、构成三角形，因此，所以，因此的周长的取值范围是.，又因为f （x ）在（，+∞）递增，所以时，即，所以时，，故为增函数，所以，所以2222111()()2()()x x f x x f x x f x ϕ=-+，故④正确.三、选做题 15.（1）；（2）C DyxOBAFxA BCDMyz O17. 【解析】 解：（1）， 因此在处的切线的斜率为， 又直线的斜率为， ∴（）＝－1，∴ ＝－1. …………6分 （2）∵当>0时，恒成立，则恒成立， 设＝，则＝， …………8分 当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减， …………10分 故当＝1时，取得极大值，，∴ 实数的取值范围为． …………12分 18. 【解析】（1）由已知可得,从而,故 …………3分 ∵面面,面面,面,从而平面 …………6分 （2）建立空间直角坐标系如图所示,则, ,, 设为面的法向量, 则即,解得令,可得 …………9分又为面的一个法向量 …………10分 ∴∴二面角的余弦值为. …………12分 19. 【解析】(1）设选手甲答对每个题的概率为，则，设“选手甲进入复赛”为事件，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：； …………2分 或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛， …………4分 或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛选手甲进入复赛的概率 …………6分(2)的可能取值为3,4,5，对应的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率2322324321128(X 5)()()()()333327P C C ==⋅+⋅=…………9分…………10分 …………12分20. 【解析】 解：（1）设椭圆方程为则…………4分∴椭圆方程为…………6分（2）设直线MA 、MB 的斜率分别为，只需证明即可 …………7分设 直线 则联立方程 得 …………9分 …………11分 而()()()()()()2221211111211*********----+--=--+--=+x x x y x y x y x y k k所以故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. …………13分 21. 【解析】 解：（1）由知：当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是； …………4分 （2）由,∴，. …………6分 故3232()'()(2)222m mg x x x f x x x x ⎡⎤=++=++-⎢⎥⎣⎦，∴,∵ 函数在区间上总存在极值，∴有两个不等实根且至少有一个在区间内 …………7分 又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴ …………8分由，∵在上单调递减，所以；∴，由，解得；综上得： 所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。

2021年高三上学期期中联考数学（理）试题 Word版含答案命题校：北京市第二十二中学 xx年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则=(A) （B）（C）（D）2. 命题“若，则”的逆否命题是（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则3. “”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4. 已知数列为等差数列，且则等于（A）40（B）42（C）43（D）455. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（A）（B）（C）（D）6．曲线在x=1处切线的倾斜角为（A）1（B）（C）（D）7. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（A）向左平移单位（B）向右平移单位（C）向右平移单位（D）向左平移单位8．下列函数中，在内有零点且单调递增的是（A）（B）（C）(D)9．设，，，则（A）（B）（C）（D）10．如图，是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（A）在区间（－2,1）上是增函数（C）在（4,5）上是增函数（D）当时，取极大值11．已知数列为等比数列，，，则的值为（A）（B）（C）（D）12. 设函数，的零点分别为，则（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．13. 函数的定义域是______________.14.已知，且为第二象限角，则的值为.15.若曲线的某一切线与直线垂直，则切点坐标为.16. 在中，若，，则____.17．已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________．18．①命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”；②函数的零点有2个；③若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝0；④函数图象与轴围成的图形的面积是；⑤若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －5 (x >6)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋4 (x ≤6)，在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为（1，8）．其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的编号）． 三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数的最大值及相应的的值．20. （本小题满分14分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）当，且时，求.21.（本小题共14分）在公差不为的等差数列中，，且，，成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和公式.22.（本小题共18分）已知函数．（Ⅰ）求函数在上的最小值；（Ⅱ）若存在（为自然对数的底数，且）使不等式成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若的导函数为，试写出一个符合要求的（无需过程）.东城区普通校xx 学年第一学期联考试卷答题纸 高三 数学（理科） 命题校：北京市第二十二中学 xx 年11月 第Ⅰ卷 1_______2_______3_______4_______5_______6_______ 7_______8_______9______10______11_______12______ 第Ⅱ卷 13. 14. 15. 16 17. 18. 19解： 姓名 学号20. 解：21. 解：姓名学号22. 解：东城区普通校xx学年第一学期联考答案高三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）命题校：北京市第二十二中学 xx年11月一.选择题1 A2 C3 A4 B5 D6 C7 C 8 B 9 B 10C 11D 12A二.填空题13. {x | x >1 } 14. 15.（1，2）16. 17. 6 18. ①③（写对一个给2分，写错一个不得分）三．解答题19．解：（Ⅰ）因为，所以，故的最小正周期为. ……………………7分（Ⅱ）因为，所以．所以当，即时，有最大值. ………………14分20．解：（Ⅰ）由已知可得.所以.因为在中，，所以.……………………………………………7分（Ⅱ）因为，所以.因为是锐角三角形，所以，.所以.由正弦定理可得：，所以. …………………………14分21．解：（Ⅰ）设数列的公差为，又，可得，，．由，，成等比数列得，即，整理得，解得或．由,可得．，所以．…………………7分（Ⅱ）由，，可得.所以．因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以的前项和公式为．………14分22．解：（Ⅰ）由，可得，当时，单调递减；当时，单调递增．所以函数在上单调递增．又，所以函数在上的最小值为．…………………7分（Ⅱ）由题意知，则．若存在使不等式成立，只需小于或等于的最大值．设，则．当时，单调递减；当时，单调递增．由，，，可得．所以，当时，的最大值为．故．………………14分（Ⅲ）………………18分35379 8A33 訳40291 9D63 鵣27342 6ACE 櫎225918 653E 放37443 9243 鉃H29937 74F1 瓱O>!34764 87CC 蟌22346 574A 坊20645 50A5 傥。

2020-2021学年贵州省遵义市高三（上）期中考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确的.（请把所选答案填涂在答题卡上的相应表格内）1．（5分）已知集合A={x|﹣3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则A∩（∁R B）=（）A．（2，6）B．（2，7）C．（﹣3，2] D．（﹣3，2）2．（5分）已知复数z=a+i，若z+=4，则复数z的共轭复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．（5分）某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A．0116 B．0927 C．0834 D．07264．（5分）下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（）A．y=﹣2x+1 B．y= C．y=lgx D．y=x35．（5分）已知倾斜角为α的直线l过x轴上一点A（非坐标原点O），直线l上有一点P（cos130°，sin50°），且∠APO=30°，则α等于（）A．100°B．160°C．100°或160°D．130°6．（5分）已知，给出下列四个结论：①a＜b②a+b＜ab③|a|＞|b|④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．8．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．6 B．7 C．8 D．7或89．（5分）如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数B．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数C．为a1，a2，…，a n的算术平均数D．A+B为a1，a2，…，a n的和10．（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=112．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x），其导函数为f'（x），对任意x∈[0，+∞），均满足：xf'（x）＞﹣2f（x）．若g（x）=x2f（x），则不等式g（2x）＜g（1﹣x）的解集是（）A．（﹣∞，﹣1） B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．（请把答案填在答题卡内的相应横线上）13．（5分）已知x，y满足，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为．14．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．15．（5分）某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10cm，则旗杆的高CD的长是m．16．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆M的圆心的平面β与平面α所成二面角的大小为60°，平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在公差不为零的等差数列{a n}中，已知a2=3，且a1、a3、a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）2016年巴西奥运会的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）．下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81（1）求乙厂生产的产品数量：（2）当产品中的微量元素x、y满足：x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量：（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），离心率为，两焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程和函数f（x）的极值：（2）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．请考生在第22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．2020-2021学年贵州省遵义市高三（上）期中考试数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确的.（请把所选答案填涂在答题卡上的相应表格内）1．（5分）已知集合A={x|﹣3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则A∩（∁R B）=（）A．（2，6）B．（2，7）C．（﹣3，2] D．（﹣3，2）【分析】求出B的补集，从而求出其和A的交集即可．【解答】解：∵B={x|2＜x＜7}，∴∁R B）={x|x≤2或x≥7}，∴A∩（∁R B）=（﹣3，2]，故选：C．【点评】本题考查了集合的运算，熟练掌握集合的运算性质是解题的关键，本题是一道基础题．2．（5分）已知复数z=a+i，若z+=4，则复数z的共轭复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【分析】利用复数的加法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=a+i，若z+=4，可得a+i+a﹣i=4，可得a=2．则复数z的共轭复数=2﹣i．故选：B．【点评】本题考查复数的加法以及复数的基本概念的应用，考查计算能力．3．（5分）某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A．0116 B．0927 C．0834 D．0726【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．【解答】解：样本间隔为1000÷200=5，因为122÷5=24余2，故抽取的余数应该是2的号码，116÷5=23余1，927÷5=185余2，834÷5=166余4，726÷5=145余1，故选：B．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．4．（5分）下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（）A．y=﹣2x+1 B．y= C．y=lgx D．y=x3【分析】分别判断给定四个函数的单调性，可得答案．【解答】解：函数y=﹣2x+1，则y′=﹣2，在定义域上单调递减；函数，则y′=﹣，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，但在定义域上不是单调函数；函数y=lgx，则y′=＞0恒成立，在定义域上单调递增；函数y=x3，则y′=3x2≥0恒成立，在定义域上单调递增；故选：B【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，难度不大，属于基础题．5．（5分）已知倾斜角为α的直线l过x轴上一点A（非坐标原点O），直线l上有一点P（cos130°，sin50°），且∠APO=30°，则α等于（）A．100°B．160°C．100°或160°D．130°【分析】设OP与x轴的负半轴的夹角为β，利用任意角的三角函数的定义可求β，分类讨论，利用三角形内角和定理即可得解．【解答】解：如图，设OP与x轴的负半轴的夹角为β，∵由已知可得：P（﹣cos50°，sin50°），∴tanβ=||=tan50°，可得：β=50°，∴当A点在x轴正半轴时，α=180°﹣（50°﹣30°）=160°，当A点在x轴负半轴时，α=180°﹣50°﹣30°=100°，故选：C．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，三角形的内角和定理的应用，考查了数形结合思想和分类讨论思想的应用，属于中档题．6．（5分）已知，给出下列四个结论：①a＜b②a+b＜ab③|a|＞|b|④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④【分析】由条件可b＜a＜0，然后根据不等式的性质分别进行判断即可．【解答】解：∵，∴b＜a＜0．①a＜b，错误．②∵b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，正确．③∵b＜a＜0，∴|a|＞|b|不成立．④ab﹣b2=b（a﹣b），∵b＜a＜0，∴a﹣b＞0，即ab﹣b2=b（a﹣b）＜0，∴ab＜b2成立．∴正确的是②④．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的性质，利用条件先判断b＜a＜0是解决本题的关键，要求熟练掌握不等式的性质及应用．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【分析】由已知可得：几何体为三棱柱，求出底面面积，周长及高，代入棱柱表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得：几何体为三棱柱，底面是斜边长为4，斜边上的高为的直角三角形，底面面积为：2，底面周长为：6+2，棱柱的高为4，故棱柱的表面积S=2×2+4×（6+2）=24+12，故选：A．【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积，空间几何体的三视图，根据已知判断几何体的形状是解答的关键．8．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．6 B．7 C．8 D．7或8【分析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．【解答】解：设该设备第n年的营运费为a n万元，则数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，则a n=3n ﹣1，则该设备使用了n年的营运费用总和为T n==n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n=21n﹣（n2+n）﹣9=﹣n2+n﹣9，∴由二次函数的性质可知：n=时，S n取得最大值，∵n∈N*，故当n=7时，S n取得最大值，故选：B．【点评】本题主要考查与数列有关的应用问题，考查等差数列通项公式及前n项和公式的应用，二次函数函数的最值，考查计算能力，属于中档题．9．（5分）如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数B．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数C．为a1，a2，…，a n的算术平均数D．A+B为a1，a2，…，a n的和【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选B．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．10．（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（）A．B．C．D．【分析】设直角三角形的边长为a，a+1，a2+（a+1）2=25，a＞0．解出利用倍角公式即可得出．【解答】解：设直角三角形的边长为a，a+1，则a2+（a+1）2=25，a＞0．解得a=3．∴sinθ=，cos．∴sin2θ==．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，建立方程组，求出a，b，即可求出该双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，，解的b=2，a=2，∴双曲线的标准方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，属于中档题．12．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x），其导函数为f'（x），对任意x∈[0，+∞），均满足：xf'（x）＞﹣2f（x）．若g（x）=x2f（x），则不等式g（2x）＜g（1﹣x）的解集是（）A．（﹣∞，﹣1） B．C．D．【分析】由题意和乘积的导数可得偶函数g（x）=x2f（x）在R上单调递增，可化原不等式为|2x|＜|1﹣x，解之可得．【解答】解：由题意可得函数g（x）=x2f（x）为R上的偶函数，∵xf'（x）＞﹣2f（x），x2f′（x）+2xf（x）＞0，∴g′（x）=（x2f（x））′=2xf（x）+x2f′（x）＞0，∴g（x）=x2f（x）在[0，+∞）R上单调递增，∵不等式g（2x）＜g（1﹣x），∴|2x|＜|1﹣x|，即（x+1）（3x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜故选：C【点评】本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及函数的奇偶性，属基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．（请把答案填在答题卡内的相应横线上）13．（5分）已知x，y满足，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为﹣3 ．【分析】首先画出可行域，利用目标函数等于直线在y轴的截距最大值求z 的最大值．【解答】解：x，y满足的平面区域如图：当直线y=2x+z经过图中的A时，z最大，由得到A（3，3），所以z=﹣2×3+3=﹣3；故答案为：﹣3．【点评】本题考查了简单线性规划问题；关键是正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．考查数形结合的思想．14．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40 ．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项【解答】解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为40【点评】本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要．15．（5分）某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10cm，则旗杆的高CD的长是m．【分析】由题意作图可得已知数据，由正弦定理可得AD，进而可得CD．【解答】解：如图所示，依题意可知∠AED=45°，∠EAD=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠EDA=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知AD==米∴在Rt△ADC中，CD=ACDsin∠DAC=×=m，故答案为．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决．16．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆M的圆心的平面β与平面α所成二面角的大小为60°，平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为．【分析】先求出圆M的半径，球面的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径．【解答】解：球的表面积为64π，可得球面的半径为4．∵圆M的面积为4π，∴圆M的半径为2．根据勾股定理可知OM=2，∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=，∴圆N的半径为．故答案为．【点评】本题考查二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在公差不为零的等差数列{a n}中，已知a2=3，且a1、a3、a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，即可得到数列{a n}的通项公式．（2）利用等差数列的求和公式求得S3n，然后利用裂项相消法求和即可．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，依题意得，解得，所以a n=2+（n﹣1）×1=n+1；（2）由（1）知，等差数列{a n}的首项是2，公差是1，则S3n=3n×2+=，∴，∴，故．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的通项公式，用裂项相消法进行求和，属于中档题．18．（12分）2016年巴西奥运会的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）．下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81（1）求乙厂生产的产品数量：（2）当产品中的微量元素x、y满足：x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量：（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望．【分析】（1）由分层抽样性质能求出乙厂生产的产品总数．（2）样品中优等品的频率为，由此能求出乙厂生产的优等品的数量．（3）由题意ξ=0，1，2，，由此能求出ξ的分布列和均值．【解答】解：（1）乙厂生产的产品总数为：；…（3分）（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；…（6分）（3）ξ=0，1，2.，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，…（8分）ξ的分布列为：ξ0 1 2P…（11分）均值…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．【分析】（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．【解答】（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…（1分）因AA1=AB，则AD⊥A1B…（2分）由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…（3分）得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…（4分）因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…（8分）在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…（9分）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…（10分）且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…（14分）【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），离心率为，两焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|的最大值．【分析】（1）利用已知条件求出椭圆方程中的几何量，即可求椭圆C的方程；（2）利用直线的斜率存在与不存在，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理，以及弦长公式表示弦长|AB|通过基本不等式求解弦长的最大值．【解答】解：（1）由题得：，4a=8，所以a=2，．…（3分）又b2=a2﹣c2，所以b=1即椭圆C的方程为．…（4分）（2）由题意知，|m|≥1．当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为，此时；当m=﹣1时，同理可得…（5分）当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x﹣m），（k≠0）由设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则△=64k4m2﹣16（1+4k2）（4k2m2﹣4）=48k2＞0又由l与圆．得所以==…（9分）因为|m|≥1所以，且当时，|AB|=2，由于当m=±1时，，所以|AB|的最大值为2．…（12分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．21．（12分）已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程和函数f（x）的极值：（2）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程；求得单调区间，可得极值；（2）对a讨论，若a＜1，若a≥1，讨论f（x1）﹣f（x2）的最值或范围，即可得到所求a的最小值．【解答】解：（1）因为，所以f'（0）=﹣2，因为f（0）=1，所以曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程为2x+y﹣1=0…（3分）由解得x=2，则f'（x）及f（x）的变化情况如下：x （﹣∞，2） 2 （2，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）递减极小值递增（2）由题设知：当x＞1时，，当x＜1时，，若a＜1，令x1=2，x2∈[a，1），则x1，x2∈[a，+∞），由于，显然不符合题设要求…（9分）若a≥1，对∀x1，x2∈[a，+∞），f（x1）≤0，f（x2）≤0，由于，显然，当a≥1，对∀x1，x2∈[a，+∞），不等式恒成立，综上可知，a的最小值为1…（12分）【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查不等式的恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算化简能力，属于中档题．请考生在第22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．【分析】（1）直接写出直线l的直角坐标方程，将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2的方程，然后写出曲线C2的参数方程；（2）设出曲线C2上一点P的坐标，利用点P到直线l的距离公式，求出距离表达式，利用三角变换求出最大值．【解答】解：（1）由题意可知：直线l的直角坐标方程为：2x﹣y﹣6=0，因为曲线C2的直角坐标方程为：．∴曲线C2的参数方程为：（θ为参数）．（2）设P的坐标（），则点P到直线l的距离为：=，∴当sin（60°﹣θ）=﹣1时，点P（），此时．【点评】本题是中档题，考查直线的参数方程，直线与圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离的应用，考查计算能力，转化思想．[选修4-5：不等式选讲]23．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．【点评】本题考查了绝对值的几何意义，考查对数函数以及级别不等式的性质，是一道中档题．。