高一数学复合函数课件

1、复合函数的概念时间：2021.03.07 创作：欧阳德如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f （a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x，函数值y。

例如：函数是由复合而成立。

函数是由复合而成立。

a是中间变量。

2、复合函数单调性由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。

对任意，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。

∵当a＞1时，∵y=f（u）是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地，当0＜a＜1时，是单调递增函数一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M 时，u∈N。

有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。

注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f （u）的定义域的子集。

例1、讨论函数的单调性（1）（2）又是减函数∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。

②x∈（-1，3）令∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u 是递减的。

∵是增函数∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。

注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间。

1、（1）减区间，增区间；（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数。

2、已知求g（x）的单调区间。

提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。

高一数学复习考点知识讲解课件5.2.3简单复合函数的导数考点知识1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导．导语同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数．一、复合函数概念的理解问题1函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？提示y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数．知识梳理复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．注意点：内、外层函数通常为基本初等函数．例1(多选)下列哪些函数是复合函数()A ．y ＝x ln xB ．y ＝(3x ＋6)2C ．y ＝e sin xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3 答案BCD解析A 不是复合函数；BCD 都是复合函数．反思感悟若f (x )与g (x )均为基本初等函数，则函数y ＝f (g (x ))或函数y ＝g (f (x ))均为复合函数，而f (x )，g (x )不是复合函数．跟踪训练1(多选)下列哪些函数是复合函数()A ．y ＝log 2(2x ＋1)B ．y ＝2x 2－1xC ．y ＝2ln xD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6 答案ACD二、求复合函数的导数问题2如何求函数y ＝sin2x 的导数？提示y ＝2sin x cos x ，由两个函数相乘的求导法则可知：y ′＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x ；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y ＝sin u ，它的导数y ′＝cos u ，内层函数是幂函数的线性组合u ＝2x ，它的导数是u ′＝2，发现y ′x ＝y ′u ·u ′x .知识梳理复合函数的求导法则一般地，我们有，若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 例2求下列函数的导数：(1)y ＝1(1－3x )4； (2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝log 2(2x ＋1)；(4)y ＝e 3x ＋2.解(1)令u ＝1－3x ，则y ＝1u 4＝u －4，所以y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3.所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u －5＝12(1－3x )5. (2)令u ＝2x ＋π3，则y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2u ln2＝2(2x ＋1)ln2. (4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2，则y ′x ＝(e u )′·(3x ＋2)′＝3e u ＝3e 3x ＋2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x； (2)y ＝5log 2(1－x )；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. 解(1)y ＝1212()x -－，设y ＝12u -，u ＝1－2x ，则y ′x ＝12(1))2(u x -'-'＝3221()·2u -⎛⎫- ⎪⎝⎭－ ＝3212()x -－.(2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln2＝5(x －1)ln2. (3) 设y ＝sin u ，u ＝4x ＋π6，则y ′x ＝(sin u )′⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6′＝cos u ·4＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.三、复合函数的导数的应用例3已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．解∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′ ＝2ax －22－x， ∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln1＝a ，∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)，即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，∴|2－a|4(a－1)2＋1＝12，解得a＝118.反思感悟正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3曲线y＝f(x)＝e2x·cos3x在点(0,1)处的切线与平行直线l的距离为5，求直线l的方程．解y＝e2x·cos 3x的导数为y′＝2e2x·cos 3x＋(－3sin 3x)·e2x＝e2x·(2cos 3x－3sin 3x)．曲线在点(0,1)处的切线斜率为e0·(2cos 0－3sin 0)＝2，则曲线在点(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1，设直线l：y＝2x＋t，由d＝|t－1|1＋4＝5，解得t＝6或－4.则直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.1.知识清单：(1)复合函数的概念．(2)复合函数的求导法则．(3)复合函数的导数的应用．2.方法归纳：转化法．3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A．y＝u n，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝t n，t＝(x2－1)n D.t＝x2－1, y＝t n答案AD2．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数是f′(x)，且f′(2)＝2，则实数a的值为()A.12B.23C.34D．1答案B解析求导得f′(x)＝aax－1，则f′(2)＝a2a－1＝2，解得a＝23.3．设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于()A．1B.32C．－1D．－2答案B解析f′(x)＝33x＋2－6x，故f′(0)＝32－0＝32.4．设曲线y＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________. 答案2解析易知y ′＝a e ax ，k ＝a e 0＝a ，故a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，则a ＝2. 课时对点练1．(多选)下列函数是复合函数的是()A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案BCD解析A 不是复合函数，B ，C ，D 均是复合函数，其中B 由y ＝cos u ，u ＝x ＋π4复合而成；C 由y ＝1u ，u ＝ln x 复合而成；D 由y ＝u 4，u ＝2x ＋3复合而成．2．设f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)等于()A ．ln3B ．－ln3C.1ln3D ．－1ln3答案C解析f ′(x )＝1(x －1)ln3，故f ′(2)＝1ln3.3．函数y＝x ln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－x2x＋5B．ln(2x＋5)＋2x2x＋5C．2x ln(2x＋5) D.x 2x＋5答案B解析∵y＝x ln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋2x2x＋5.4．函数y＝f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则a等于()A．1B．－1C．2D．－2答案A解析y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则f′(2)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(舍负)．5．曲线y＝2x e x－2在点(2,4)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．6D．2答案C解析∵y＝2x e x－2，∴y′＝2e x－2＋2x e x－2，∴k＝2e0＋4e0＝6，故选C.6．(多选)下列结论中不正确的是()A．若y＝cos 1x，则y′＝－1x sin1xB．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5xD．若y＝12x sin2x，则y′＝x sin2x答案ACD解析对于A，y＝cos 1x，则y′＝1x2sin1x，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故错误；对于D，y＝12x sin2x，则y′＝12sin2x＋x cos2x，故错误．7．已知f(x)＝x ln x，若f′(x0)＋f(x0)＝1，则x0的值为________．答案1解析因为f′(x)＝ln x＋1.所以由f′(x0)＋f(x0)＝1，得ln x0＋1＋x0ln x0＝1.解得x0＝1.8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．答案2解析设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又曲线的导数为y′＝1x＋a，∴k＝1x0＋a＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.9．求下列函数的导数：(1)y ＝ln(e x ＋x 2)；(2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝11－x 2； (4)y ＝sin2x cos3x .解(1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x ＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x2. (2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·ln10·(2x ＋3)′＝2ln10·102x ＋3.(3)设y ＝12u -，u ＝1－x 2，则y ′x ＝122(()1)u x -''－223321()·21().2u x x x --=-－＝－ (4)∵y ＝sin2x cos3x ，∴y ′＝(sin2x )′cos3x ＋sin2x (cos3x )′＝2cos2x cos3x －3sin2x sin3x .10．曲线y ＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．解因为y ＝e 2x ＋1，所以y ′＝2e 2x ＋1，所以k ＝2，故曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为2x －y ＋2＝0，设直线l 的方程为2x －y ＋m ＝0(m ≠2)，由||m －25＝5得，m ＝7或－3，所以直线l 的方程为2x －y ＋7＝0或2x －y －3＝0.11．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为() A.13B.12C.23D ．1答案A解析依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，k ＝－2e －2×0＝－2.所以曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在平面直角坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2，y ＝0与y ＝x 的图象，如图所示．因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， 直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为12×1×23＝13.12．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是() A.5B ．25C ．35D ．0答案A解析设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行．∵y ′＝22x －1， ∴k ＝22x 0－1＝2， 解得x 0＝1，∴y 0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.13．(多选)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值可以是()A.π4B.π2C.3π4D.7π8答案CD解析因为y ＝4e x ＋1， 所以y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)，所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 14．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案π6解析∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， ∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，令g (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，∵其为奇函数，∴g (0)＝0，即cos φ－3sin φ＝0， ∴tan φ＝33，又0<φ<π，∴φ＝π6.15．若曲线y ＝14sin2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为()A.π3B.π2C.2π3D ．π答案B解析∵y ＝14sin2x ＋32cos 2x ＝14sin2x ＋32×1＋cos2x 2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1. 不妨设在A 点处切线的斜率为1，则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，所以|x 1－x 2|min ＝π2.16．(1)已知f (x )＝e πx sinπx ，求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12； (2)在曲线y ＝11＋x 2上求一点，使在该点的切线平行于x 轴，并求切线方程． 解(1)∵f (x )＝e πx sinπx ，∴f ′(x )＝πe πx sinπx ＋πe πx cosπx＝πe πx (sinπx ＋cosπx )．∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝π2πe ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝π2πe . (2)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由题意可知k ＝0.又y ′＝－2x (1＋x 2)2，∴k＝－2x0(1＋x20)2＝0.解得x0＝0，此时y0＝1.即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.。

第六讲i一、 周期函数（a ）概念：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

（b ）函数周期性的几个重要结论：2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=二、函数对称性（一） 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。