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同济大学数学系《高等数学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(重积分)【圣才出品】

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（2）若积分区域 D 关于 y 轴对称，则
三、三重积分 1．定义 设 f（x，y，z）是空间有界闭区域 Ω 上的有界函数．将 Ω 任意分成 n 个小闭区域
其中Δvi 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积．在每个 Δvi 上任取一点 积
图 10-1-1 计算步骤： ①求截面面积 过区间[a，b]上任一点 x 且平行于 yOz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
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②求立体体积
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应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为
该体积为所求二重积分的值，有等式
2．利用极坐标计算二重积分
设积分区域 D 可以用不等式
来表示（图
10-1-3），其中函数 φ1（θ）、φ2（θ）在区间[α，β]上连续，则极坐标系中的二重积分化为
二次积分的公式为
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图 10-1-3 3．利用换元法计算二重积分 设 f （ x ， y ） 在 xOy 平 面 上 的 闭 区 域 D 上 连 续 ， 若 变 换
．
②如果闭区域 则得到三重积分的计算公式
把这个二重积分化为二次积分，
（2）利用柱面坐标计算三重积分 设 M（x，y，z）为空间内一点，点 M 的直角坐标与柱面坐标的关系为
其中 ρ 为常数，表示以 z 轴为轴的圆柱面；θ 为常数，表示为过 z 轴的半平面；z 为常数， 表示为与 xOy 面平行的平面，其中
这就是把二重积分化为先对 y，后对 x 的二次积分的公式．上面公式也可以写成
（2）Y 型区域
f (x, y)d
b
dx
2x f x, y dy
a
1 x
D
设积分区域 D 用不等式
来表示（图 10-1-2），
其中函数
、
在区间[c，d]上连续，则
这就是把二重积分化为先对 x，后对 y 的二次积分的公式．上面公式也可以写成

（6）（二重积分的中值定理）设函数 f（x，y）在闭区域 D 上连续，σ是 D 的面积，则
在 D 上至少存在一点
，使得
．
二、二重积分的计算法
1．利用直角坐标计算二重积分
（1）X 型区域
设积分区域 D 用不等式
其中函数
在区间[a，b]上连续．
来表示（图 10-1-1），
将 uOv 平面上的闭区域 D′变为 xOy 平面上的 D，且满足： （1）x（u，v），y（u，v）在 D′上具有一阶连续偏导数；
（2）在 D′上雅可比式
；
（3）变换 T：D′ D 是一对一的，
则有
4．利用奇偶性性计算二重积分 设二重积分的积分区域为 D，则： （1）若积分区域 D 关于 x 轴对称，则
③当 f（x，y）在 D 上有正有负时，
等于 xOy 面上方的柱体体积减
去 xOy 面下方的柱体体积所得之差．
2．二重积分的性质
（1）设
α
与
β
为常数，则
；
（2）如果闭区域 D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在 D 上的二重积分等于 在各部分闭区域上的二重积分的和；
（3）如果在 D 上，f（x，y）＝1，σ 为 D 的面积，则
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第十章 重积分
10.1 复习笔记
一、二重积分的概念与性质 1．二重积分的概念 （1）定义 设 f（x，y）是有界闭区域 D 上的有界函数．将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域
其中 表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积．在每个 上任取一点
；
（4）如果在 D 上，（f x，y）≤g（x，y），则有
．
特殊地，由于 - f x，y f x，y f x，y ，则
f x，yd f x，yd
D
D
（5）设 M 和 m 分别是 f（x，y）在闭区域 D 上的最大值和最小值，σ是 D 的面积，
则有
；
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，作乘积
并作和
如果当各小闭区域的直径中的最大值 A→0 时，这和的极限总存在，且与闭区域 D 的分
法及点
的取法无关，则称此极限为函数 f（x，y）在闭区域 D 上的二重积分，记作
，即
其中ｆ（x，y）称为被积函数，f（x，y）dσ 称为被积表达式，dσ 称为面积元素，x 与 y
称为积分变量，D 称为积分区域，
，作乘
并作和
．如果当各小闭区域直径中的最大值 →0 时，这和的极
限总存在，且与闭区域 Ω 的分法及点
的取法无关，则称此极限为函数 f（x，
y，z）在闭区域 Ω 上的三重积分．记作
，即
其中 f（x，y，z）称为被积函数， 称为体积元素，Ω称为积分区域． 2．三重积分的计算 （1）利用直角坐标计算三重积分
f (x, y)d
d
dy
2 y
f
x, ydx
D
c
1 y
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图 10-1-2
注：积分区域 D 既不是 X 型区域，又不是 Y 型区域时，可以把 D 分成几部分，使每个
部分是 X 型区域或 Y 型区域．
则柱面坐标形式的三重积分为
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假设积分区域 Ω 可表示为 Ω＝{（x，y，z）|z1（x，y）≤z≤z2（x，y），（x，y）∈Dxy}． ①将 x、y 看做定值，将 f（x，y，z）只看做 z 的函数，在区间[z1（x，y），z2（x，y）] 上 对 z 积 分 的 结 果 是 x 、 y 的 函 数 ， 记 为 F （ x ， y ）， 即
称为积分和．
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（2）几何意义
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①当 f（x，y）≥0 时，
等于以 D 为底，以曲面 z＝f（x，y）为顶的
曲顶柱体的体积；
②当 f（x，y）＜0 时，
的绝对值等于以 D 为底，以曲面 z＝f（x，
y）为顶的曲顶柱体的体积；

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同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解(函数与极限 下)【圣才出品】

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x0
x0
1 cos x2
lim
x0
sin2 x
lim x0
1 2
x2
2
x2
0
所以当 x→0 时，（1－cosx）2 是比 sin2x 高阶的无穷小。
3．当 x→1 时，无穷小 1－x 和（1）1－x3，（2）（1－x2）/2 是否同阶，是否等价？
x0 x
x0 x
（3）
lim
x0
sin sin
2x 5x
；（4）
lim
x0
x
cot
x
；
（5） lim 1 cos 2x x0 x sin x
；（6） lim 2n n
sin
x 2n
（x
为不等于零的常数）。
解：（1）当ω≠0
时， lim x0
sin x x
lim
x0
sin x
x
lim
x0
sin x x
2 5
lim
x0
sin 2x 2x
lim
x0
5x sin 5x
2 5
（4）
lim
x0
x
cot
x
lim
x0
x sin
x
cos
x
lim
x0
x sin
x
lim x0
cos
x
1
（5） lim 1 cos 2x lim 2sin 2 x 2 lim sin x 2
x0 x sin x x0 x sin x
（4） lim n 1 x 1 x0
（5）
lim
x0
x
1 x
1
证：（1）因1
同济大学数学系《高等数学》(第6版)上册笔记和课后习题(含考研真题)详解-微分中值定理与导数的应用(

同济大学数学系《高等数学》(第6版)上册笔记和课后习题(含考研真题)详解-微分中值定理与导数的应用(

。
在带有佩亚诺型余项的泰勒公式中，如果取 x0＝0，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林 公式：
。 如 果 存 在 正 实数 M 使得 区 间 （ -r， r ） 里 的任意 x 都 有
，如果当 n 趋向于无穷大时，
，则
，那么 。
可得近似公式：
。
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四、函数的单调性 微分中值定理，强调了函数值与导数之间的关系。这部分主要介绍如何通过函数的导数 来判定函数的单调性或凹凸性等性质。 1．单调性的判定 【定理】设函数 y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。 （1）如果在（a，b）内 f＇（x）＞0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调增加； （2）如果在（a，b）内 f＇（x）＜0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调减少； 如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立。 这是函数单调性判定的一个最基本也是最重要的法则。
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那么在（a，b）内至少有一点 ε，使等式
成立。
拉格朗日中值公式是柯西中值公式的特殊形式。
二、洛必达法则 洛必达法则在求函数极限过程中，有重要作用，在考研试题中也经常出现。一般，洛必 达法则针对 或 形式的极限公式。下面我们主要介绍相关定理及引入一些例题，方便读 者更进一步理解洛必达法则的应用。 1．x→a 【定理】设 （1）当 x→a 时，函数 f（x）及 F（x）都趋于零； （2）在点 a 的某去心邻域内，f＇（x）及 F＇（x）都存在且 F＇（x）≠0；
（3）Biblioteka 存在（或为无穷大），那么
。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 导数与微分(圣才出品

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区间 Ix＝{x|x＝f（y），y∈Iy}内也可导，且
f 1 x
f
1
y
或
dy dx
1 dx
dy
3．复合函数的求导法则
如果 u＝g（x）在点 x 可导，而 y＝f（u）在点 u＝g（x）可导，则复合函数 y＝f[g（x）]
在点 x 可导，且其导数为
dy f ug x或 dy dy du
dx
dx du dx
u nv
nu n1v
nn
1
u
n2 v
...
n
n
1... n
k
1
u
nk
v
k
... uv
n
2!
k!
或
uv n n Cnkunkvk k 0
四、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
1．隐函数的导数
（1）隐函数 F（x，y）＝0 导数的求法
把函数方程两边分别对 x 求导，然后化简得到 dy/dx 的结果。
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第 2 章 导数与微分
2.1 复习笔记
一、导数概念
1．导数
（1）导数与导函数
①导数的定义
f
x0
lim
x0
y x
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
（2）单侧导数
①左导数
f ( x0
)
lim
h0
f
x0 h
h
f
x0
②右导数

（1）参数方程的一阶导数公式
dy dx
dy dt dt dx
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(3-4章)(圣才出品)

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第3章微分中值定理与导数的应用3.1复习笔记一、微分中值定理1．罗尔定理（1）费马引理设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x ∈U（x0），有f（x）≤f（x0）或f（x）≥（x0），则f′（x0）＝0。

（2）罗尔定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导；③在区间端点处的函数值相等，即f（a）＝f（b）。

则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使得f′（ξ）＝0。

2．拉格朗日中值定理（1）拉格朗日中值定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），有f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）。

（2）拉格朗日中值定理的证明思路引进辅助函数φ（x）＝f（x）－f（a）－（f（b）－f（a））（x－a）/（b－a），再利用罗尔定理，即可证得。

（3）有限增量公式f（x＋Δx）－f（x）＝f′（x＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）或Δy＝f′（x ＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）。

（4）定理如果函数f（x）在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，则f（x）在区间I上是一个常数。

3．柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）对任一x∈（a，b），F′（x）≠0，则在（a，b）内至少有一点ξ，有[f（b）－f（a）]/[F（b）－F（a）]＝f′（ξ）/F′（ξ）。

二、洛必达法则1．洛必达法则（1）x→a时，0/0的洛必达法则①当x→a时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②在点a的某去心邻域内，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；③()()lim x a f x F x →''存在（或为无穷大），则()()()()lim lim x a x a f x f x F x F x →→'='（2）x→∞时，0/0的洛必达法则①当x→∞时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②当|x|＞N 时，f′（x）与F′（x）都存在，且F′（x）≠0；③()()limx f x F x →∞''存在（或为无穷大），则()()()()lim lim x x f x f x F x F x →∞→∞'='注：对于x→a 或x→∞时的未定式∞/∞，也有相应的洛必达法则。