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北 京 科 技 大 学
2014年硕士学位研究生入学考试试题
============================================================================================================= 试题编号： 613 试题名称： 数学分析 （共 2 页） 适用专业： 数学, 统计学 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
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1.(15分) （1）计算极限 2020cos lim ln(1)x x xdx x →+⎰；
（2）设112(1)0,,(1,2,3,),2n n n
a a a n a ++>==+证明: lim n n a →∞存在，并求该极限. 2. (15分) (1)设222z y x u ++=，其中),(y x f z =是由方程xyz z y x 3333=++所确定的隐函数, 求x u .
(2) 设2233x u v y u v z u v ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩，求z x ∂∂. 3. (15分)设)(x f 在[]0,2上连续，且)0(f ＝(2)f ，证明∃0x ∈[]0,1，使
)(0x f ＝0(1).f x +
4.(15分) 设f (x ) 为偶函数, 试证明:
20()d d 2(2)()d ,a D f x y x y a u f u u -=-⎰⎰⎰ 其中:||,|| (0).D x a y a a ≤≤>
5. (15分)设)(x f 在区间[0,1]上具有二阶连续导数，且对一切[0,1]x ∈，均有(),''()f x M f x M <<. 证明: 对一切[0,1]x ∈，成立 '()3f x M <.
6. (15分) 设0a >, ()f x 是定义在区间[,]a a -上的连续偶函数,
(1) 证明: 0()d ()d 1e a
a x a f x x f x x -=+⎰⎰; (2) 计算积分3 2 2cos d .1e x
x x π
π-+⎰
7. (15分) (1)证明：级数4211n x n x +∞
=+∑在[0,)+∞上一致收敛； (2)求级数3231(1)8ln()n n
n n x n n n +∞
-=-+∑的收敛域.
8. (15分) 证明：若(),f x y 在矩形区域D 满足：
12112|(,)(,)|||f x y f x y L x x -≤- 与
12212|(,)(,)|||,f x y f x y L y y -≤-
其中12,L L 是正的常数，则函数(),f x y 在D 一致连续.
9.(15分) 设对于半空间0>x 内任意的分片光滑的有向封闭曲面∑, 都有
2()d d d d d d 0,1xy f x y z z x x y x
∑--=+⎰⎰ 其中函数
()f x 在[0,)+∞上具有一阶连续导数, 且(0)1,f = 求()f x .
10. (15分) 设()()(),0f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明: ()2sin b
a f x dx m
≤⎰.
北 京 科 技 大 学
2013年硕士学位研究生入学考试试题
============================================================================================================= 试题编号： 613 试题名称： 数学分析 （共 2 页）
适用专业： 数学，统计学 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
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1．（20分） （1）、设(),,()z f x y u xy xF u ==+，其中F 为可微函数，且y u x =，证明： z z x y z xy x y
∂∂+=+∂∂. （2）、设z y u x =，求： 22,u u z z
∂∂∂∂。 2．（20分）（1）设()f x 在[],a b 上连续, 21()(),4b
b
a a f x dx f x dx =+⎰⎰ 则存在(,),a
b ξ∈使得 21()().4()
f f b a ξξ-=- （2）求极限()1 0lim e d x x t x t →∞⎰
3. (20分) 设()e , 0()0, 0x
g x x f x x x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩
，其中()g x 有二阶连续的导数，且(0)1g =，(0)1g '=-，求()f x ', 并讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性.
4．（15分）设()f x 在[]0,1上连续可微, 且(0)0,(1)1,f f ==求证：
（1） ()[0,1],|()()|().x x f x f x e f x -''∀∈-≥
（2）
11 0|()()|d .f x f x x e -'-≥⎰
5. (15分) 若{[,]}n n a b 是一个闭区间套, 即11[,][,],1,2,++⊂=n n n n a b a b n , 且lim()0,→∞-=n n n b a 证明: 存在唯一点ξ, 使得[,],1,2,ξ∈=n n a b n .
6. (15分) 计算二重积分 sin d d D y x y y
⎰⎰, 其中D 是由曲线y x =以及2x y =所围成的闭区域．
7. (15分) 计算22
1d d d 1x y z x y Ω++⎰⎰⎰, 其中Ω是由抛物面224x y z +=与平面0z h =>围成的空间区域.
8．(10分) 设()0f x 在[0,1]上连续，定义函数序列，
10()(),0,1,2,x n n f x f x dt n +==⎰. 证明：函数项级数1()n n f x ∞
=∑在[0,1]上一致收敛.
9. (10分) 设函数()=y f x 的二阶可导, 且()0,(0)0,(0)0,'''>==f x f f 求
330()lim ,()sin →x x f u f x u
其中u 是曲线()=y f x 在点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距.
10. (10分) 计算曲面积分2()d d d d I x z y z z x y ∑=+-⎰⎰, 其中∑是旋转抛物面221()
2
z x y =+介于平面0z =和2z =之间的部分的下侧.
