下载文档原格式
北京科技大学2003年研究生入学考试《数学分析》试题一、讨论函数2()lim n nn nn x x f x x x +−−→∞−=+的间断点及类型。
二、设，010, 1sin(1) (1, 2, )n n x x x n −==+−=L （1） 证明：数列{}n x 收敛；（2） 求极限lim n n x →∞。
三、设函数()f x 在区间[,上可导，证明：至少存在 ]a b (, )a b ξ∈，使得233(()())()()f b f a b a f 3ξξ′−=−。
四、设()f x 在区间[0上连续，证明：, 1] 1 1()()0 01f x f y e dx e dy −≥∫∫ 。
五、设 1501()(1)()2f x x x f x d =−+∫x ，求()f x 。
六、设函数()f x 在区间[1内有定义，在开区间(1, 1]−, 1)−内有一阶连续导数，且()lim x f x a x→∞=，证明： （1） 11(1)n n f n ∞=⎛⎞−⎜⎟⎝⎠∑收敛； （2）11n f n ∞=⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑发散。
七、计算积分()(sin())S I x y z dydz y z x dzdx =+−++++()x y z edxd ∫∫y ++，其中为曲面||的外侧。
S |||x y z y z x z x y −++−++−+=|1八、证明：函数项级数 22311ln(1)n n x n ∞=+∑在区间[1, 1]−上一致收敛。
九、设(, )x y ϕϕ=连续，(, ) ||(, )f x y x y x y ϕ=−，研究(, )f x y 在原点的可微性。
十、从已知ABC Δ的内部的点向三边作三条垂线，求使此三条垂线长的乘积为最大的点的位置。
P P。
北京科技大学2011年硕士学位研究生入学考试试题=============================================================================================================试题编号： 814 试题名称：材料科学基础（共 3 页）适用专业：材料科学与工程说明：所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
=============================================================================================================一、名词解释(5分/题，共40分)1) 空间点阵2) 临界分切应力3) 滑移系4) 堆垛层错5) 调幅分解6) 脱溶7) 上坡扩散8) 再结晶温度二、分别给出下列离子晶体的布拉菲点阵类型和下面晶胞中正、负离子的个数。
(下图中的点阵参数均为a=b=c，α=β=γ=90º) (15分)NaCl CsCl ZnSCaF2CaTiO3三、写出面心立方结构和体心立方结构金属的密排面(或相对密排面)的晶面指数、画出密排面(或相四、组元A和组元B的熔点分别为1000℃和700℃，室温时B在A的固溶体α中的固溶度是x B=0.05，A在B的固溶体β中的固溶度是x A=0.10；在700℃时有一个三相平衡，在此温度α固溶体的成分是x B=0.1，一个成分为x B=0.30的合金在稍高于700℃时存在50%α相和50%液相，在稍低于700℃时则存在液相和化合物A3B两相；在500℃时存在另一个三相平衡，液相(x B=0.65)分解为化合物A3B和β固溶体(x B=0.85)两相。
试构造一个合理的A-B二元相图。
(15分)五、根据下面的Al-Cr-Si体系的局部液相面投影图，写出该图中的四相不变反应式。
北京科技大学2018年《数学分析》考研大纲一.课程教学基本要求1．课程重点：各章的重点依次为：实数集的性质，确界的概念、确界原理；数列极限的定义、性质及计算；函数极限的概念、性质及计算；函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质；导数与微分的概念及其计算；微分中值定理,泰劳公式,利用导数研究函数的单调性,极值与凸性；实数完备性基本定理的证明和应用；换元积分法和分部积分法；函数可积性条件；定积分的几何应用和物理应用；反常积分的收敛判别法；级数敛散性概念和正项级数收敛判别法；函数列一致收敛的概念，极限函数与和函数的分析性质；幂级数的收敛半径、收敛区间，函数展为幂级数；将函数展为傅里叶级数；平面点集的有关概念，多元函数极限与连续性概念，二重极限与累次极限的关系；偏导数、全微分的概念及它们之间的关系，多元函数的极值；隐函数微分法和多元函数的条件极值；含参量反常积分的一致收敛性判别，含参量反常积分的性质；两类曲线积分的概念与计算；二重积分的概念、性质，格林公式及应用，曲线积分与路线无关的几个重要条件，二重积分和三重积分的计算；第一型和第二型曲面积分的定义、计算，高斯公式及应用；常微分方程的基本概念，常微分方程的初等解法.2．课程难点：各章的难点依次为：确界的定义及应用；数列极限的“ε—N”定义及柯西准则；函数极限的“ε—δ”定义与“ε—X”定义，柯西准则和海涅定理的运用；一致连续性的概念；求复合函数导数；构造辅助函数，利用微分中值定理解决问题，函数的凸性；实数完备性基本定理的证明和应用；积分计算技巧；函数可积性条件的讨论；定积分的几何应用和物理应用；反常积分敛散性判别；一般级数敛散性的判别法；一致收敛概念、判别及应用；幂级数收敛区间端点处敛散性判别；傅里叶级数收敛性的判别和收敛定理的证明；平面点集的概念，二重极限与累次极限的关系；全微分、偏导数之间的关系，高阶复合函数的偏导数；隐函数定理；含参量广义积分的一致收敛性判别与性质；两类曲线积分的关系；重积分的变换，化重积分为累次积分；两类曲面积分的关系，高斯公式、斯托克斯公式及应用.二.课程教学内容与学时课堂教学1．实数集与函数1.1掌握实数的基本性质，熟练运用绝对值的有关性质和常用的不等式；1.2理解邻域、确界概念，掌握确界原理；1.3理解函数、复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法，掌握初等函数的性质和图象；1.4理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性.2．数列极限2.1准确理解数列极限的-N定义，会用定义证明极限；2.2理解并能证明收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法；2.3理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念，理解数列收敛的条件，收敛性的判别法；掌握用单调有界原理证明数列收敛，理解用Cauchy准则判断数列的敛散性.3．函数极限3.1准确理解函数极限的-定义，会用定义证明极限；3.2掌握函数极限的基本性质和求极限的常用方法；3.3理解数列收敛的条件，掌握海涅定理和柯西准则的实质和证明思路，并用其判定函数极限的存在性；3.4掌握两个重要极限的结论、证明及应用；3.5理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限.4．函数的连续性4.1理解函数在一点连续的定义及等价叙述；理解在一点间断的概念；掌握函数连续性和连续函数的概念；4.2熟悉连续函数的有界性、保号性和运算性质并灵活应用；掌握闭区间连续函数的主要性质，理解其几何意义并应用；理解闭区间一致连续的概念；4.3依据初等函数的连续性求函数极限.5．导数和微分5.1理解函数在一点导数存在的定义及物理、几何意义，计算函数的导数；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；熟练导数的物理、几何应用；5.2熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，计算反函数的导数；5.3熟练应用含参变量的求导法则进行导数运算；5.4了解高阶导数定义，理解和运用一阶微分的形式不变性，熟悉高阶导数的计算；5.5理解函数在一点的微分的定义、几何解释，求初等函数的微分；明确函数在一点可导与一点可微之间的一致性，并应用微分进行近似计算.6．微分中值定理及其应用6.1掌握三个微分中值定理的内容、证明方法、应用，理解其分析意义与几何意义，了解三者之间的包含关系；6.2熟练掌握L’Hospital法则求某些不定式的极限；理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式；6.3理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟记一些常用初等函数的Taylor展开公式；熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异及应用；6.4了解函数极值的概念，取得极值必要条件及充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；6.5理解函数凸性、曲线的拐点的概念，掌握讨论函数的凹凸性的方法，能应用函数的凸性证明某些有关的命题；6.6利用函数的单调性、极值、凹凸性、拐点等性质大致描绘函数图象.7．实数的完备性7.1掌握实数六个基本定理，理解其意义和重要性；了解定理间的等价性；7.2应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题；7.3了解上极限、下极限的概念以及与极限的关系.8．不定积分8.1理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式；8.2熟练地应用换元积分公式和分部积分公式；8.3掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分，学会求某些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法.9．定积分9.1理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；9.2理解微积分基本定理的意义，熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分9.3理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，证明可积性问题；9.4理解并熟练地应用定积分的性质；9.5掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.10．定积分的应用10.1理解微元法的思想，将实际问题化成定积分；计算平面区域的面积；10.2应用本章给出的公式，用截面面积计算体积；10.3计算平面曲线的弧长；10.4计算旋转曲面的面积；10.5计算变力作功等物理问题.11．常微分方程解法简介了解常微分方程与解的概念，熟练掌握方程类型的判别，熟练掌握五种基本初等积分法——变量分离方程解法，常数变易法，全微分方程解法，参数法，降阶法，二阶线性常系数微分方程解法.12．多元函数的极限与连续12.1理解平面点集的有关概念，掌握R2上的完备性定理，理解多元函数的概念；12.2掌握二元函数极限的定义，深刻理解累次极限与重极限的关系；12.3理解二元函数连续性的概念，掌握闭区域上连续函数的性质.13．多元函数微分学13.1理解二元函数可微和偏导数的定义，深刻理解可微与偏导数存在的关系，可微性条件、几何意义；13.2熟练复合函数的求导法则，理解多元函数一阶微分形式不变性；13.3理解掌握三元函数的方向导数与梯度的概念和计算；13.4理解并掌握二元函数微分中值定理和Taylor公式，解决多元函数极值问题.14．隐函数定理及其应用14.1了解隐函数存在性条件，掌握隐函数定理，熟练隐函数求导；14.2了解隐函数组、反函数组的概念，理解隐函数组、反函数组定理的内容14.3熟悉隐函数组定理的几何应用；14.4掌握求条件极值的拉格朗日乘数法.15．曲线积分15.1理解第一型曲线积分的定义，熟悉第一型曲线积分的计算；15.2理解第二型曲线积分的定义，熟悉第二型曲线积分的计算；16．重积分16.1理解二重积分的定义及存在性，熟悉二重积分的性质；16.2掌握直角坐标系下二重积分的计算16.3掌握格林公式计算曲线积分，理解曲线积分与路线的无关性；16.4熟悉二重积分的变量变换公式，掌握用极坐标计算二重积分；16.5理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算16.6熟练重积分在几何与力学方面的应用.17．曲面积分17.1理解第一型曲面积分的概念，熟练第一型曲面积分的计算；17.2理解第二型曲面积分的概念，熟练第二型曲面积分的计算；17.3利用高斯公式和斯托克斯公式求曲面积分.17.4场论初步18．反常积分18.1理解反常积分的概念，反常积分的含义与性质；18.2理解反常积分敛散性的含义，掌握反常积分敛散性的判别方法；18.3掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别方法.19．数项级数19.1理解级数与数列的关系，级数敛散性的概念；掌握级数收敛的Cauchy准则，收敛级数的性质；19.2掌握正项级数收敛的各种判别原则和方法；19.3掌握交错级数收敛性判别法，了解级数的绝对收敛的概念和性质；掌握一般项级数收敛的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.20．函数列与函数项级数20.1理解函数列收敛和一致收敛的定义、几何意义，函数列或函数项级数与极限函数的关系；掌握判别一致收敛的Cauchy准则、M–判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法；20.2掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质.21．幂级数21.1理解幂级数的收敛半径、收敛域的概念，并会计算收敛半径，分析收敛域；掌握幂级数的一致收敛性判别方法和幂级数的性质；21.2理解函数和Taylor展式间的关系，掌握函数的幂级数展开.22．傅里叶级数22.1了解三角级数的有关概念，掌握三角函数系的特性；理解2为周期的函数的Fourier级数的定义、收敛定理；22.2理解奇、偶函数的Fourier级数，掌握将一个函数展开成Fourier级数；22.3掌握Fourier级数收敛性定理证明.23．含参量积分23.1理解含参量积分的概念，掌握含参量积分的连续性、可微性与可积性定理及应用；23.2理解含参量反常积分的概念，一致收敛的定义，掌握一致收敛的判别方法，含参量反常积分的性质；23.3了解函数和函数的性质及二者关系.一、教材与参考书教材1.华东师范大学数学系编，《数学分析》（上、下），高等教育出版社，2010年，第四版.参考书1.斐礼文编，《数学分析中的典型问题与方法》，高等教育出版社，2008年，第二版.2.林源渠，方企勤编，《数学分析解题指南》，北京大学出版社，2003年，第一版.3．吴良森毛羽辉韩士安吴畏编，《数学分析学习指导》高等教育出版社，2004年第一版.4.谢惠民，恽自求编，《数学分析习题课讲义》，高等教育出版社，2003年，第一版.5.B.A.卓里奇，《数学分析（第四版）》，高等教育出版社，2006年.6.盖尔鲍姆，奥姆斯特德，《分析中的反例》，上海科学技术出版社，1980年.文章来源：文彦考研。
北 京 科 技 大 学2014年硕士学位研究生入学考试试题=============================================================================================================试题编号： 613 试题名称： 数学分析 （共 2 页）适用专业： 数学, 统计学 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
=============================================================================================================1.(15分) （1）计算极限 ；2020cos lim ln(1)x x xdx x →+⎰（2）设证明: 存在，并求该极限.112(1)0,,(1,2,3,),2n n n a a a n a ++>==+L lim n n a →∞2. (15分) (1)设，其中是由方程222z y x u ++=),(y x f z =所确定的隐函数, 求.xyz z y x 3333=++x u (2) 设，求. 2233x u v y u v z u v ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩z x ∂∂3. (15分)设在上连续，且＝，证明，使)(x f []0,2)0(f (2)f ∃0x ∈[]0,1＝)(0x f 0(1).f x +4.(15分) 设f (x ) 为偶函数, 试证明:20()d d 2(2)()d ,a D f x y x y a u f u u -=-⎰⎰⎰其中:||,|| (0).D x a y a a ≤≤>5. (15分)设在区间[0,1]上具有二阶连续导数，且对一切，均有)(x f [0,1]x ∈. 证明: 对一切，成立 .(),''()f x M f x M <<[0,1]x ∈'()3f x M <6. (15分) 设, 是定义在区间上的连续偶函数,0a >()f x [,]a a -(1)证明: ; 0()d ()d 1e a a xa f x x f x x -=+⎰⎰(2)计算积分3 2 2cos d .1e xx x ππ-+⎰7. (15分) (1)证明：级数在上一致收敛；4211n x n x +∞=+∑[0,)+∞(2)求级数的收敛域.3231(1)8ln()n n n n x n n n +∞-=-+∑8. (15分) 证明：若在矩形区域满足：(),f x y D 与12112|(,)(,)|||f x y f x y L x x -≤-12212|(,)(,)|||,f x y f x y L y y -≤-其中是正的常数，则函数在一致连续.12,L L (),f x y D 9.(15分) 设对于半空间内任意的分片光滑的有向封闭曲面, 都有0>x ∑2()d d d d d d 0,1xy f x y z z x x y x∑--=+⎰⎰Ò其中函数在上具有一阶连续导数, 且 求.()f x [0,)+∞(0)1,f =()f x 10. (15分) 设，证明: .()()(),0f x f x m a x b π'≤≥>≤≤()2sin ba f x dx m ≤⎰北 京 科 技 大 学2013年硕士学位研究生入学考试试题============================================================================================================= 试题编号： 613 试题名称： 数学分析 （共 2 页）适用专业： 数学，统计学 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
北 京 科 技 大 学 03 级 《高 等 数 学AI 》期 末 试 题120分钟 满分100 2004.1一．填空题 (每小题4分，共20分) 1．设 =⋅⨯-=-==c b a c b a)(}0,2,1{},3,1,1{},1,3,2{则 。
2．已知yx y x z ++=2)2(，则全微分=z d 。
3．设曲线n x y =在（1，1）点处的切线与x 轴的交点为)0,(n ξ，则=∞→n n ξlim 。
4．设)(x f 可导且x x f 2tan )(cos '=，则=)(x f 。
5．不定积分⎰dx x arctan= 。
二．单项选择题 (每小题4分，共20分)6． 若∞=→)(lim 0x f x x 且∞=→)(0lim x g x x ，下列结论正确的是 【 】(A) ∞=+→)]()([lim 0x g x f x x (B) 0)]()([lim 0=-→x g x f x x(C) 0)()(1lim 0=→x g x f x x (D) 0)()(1lim=+→x g x f x x7．设b a,是非零向量，且||||b a b a +=-，则下列结论正确的是【 】(A) b a b a+=- (B) 0=⋅b a(C) 0 =⨯b a (D) ||||b a=8．设2)(x e x f =，则)0()2003(f 下列结论正确的是 【 】( A ) 2002 ( B ) 2003 ( C ) 2003！ ( D ) 09．函数141232)(23+-+=x x x x f 在区间 [ -1 , 2 ] 上的最大值和最小值分别是【 】(A) 27和7 (B) 34 和 7 (C) 34和18 (D) 27 和 1810．设),(y x f 在点),(00y x 的某邻域中有定义，则下列结论正确的是 【 】(A) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 存在，则),(y x f 在点),(00y x 处连续 (B) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 存在，则),(y x f 在点),(00y x 处可微 (C) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 不存在，则),(y x f 在点),(00y x 处不连续 (D) 若),(y x f x ，),(y x f y 在点),(00y x 处连续，则),(y x f 在点),(00y x 处可微三．计算题 ( 每小题6分，共36分 ) 11．求不定积分⎰-dx xx 1arcsin12．求极限)1(lim 2x x x x -++∞→13．求极限 xex x x-+→1)1(0lim14．求极限 )(lim 22222941n n n n n n n n n +++++++∞→15．求定积分⎰22cos πxdx e x16．求通过两条直线 1L :21123-==-z y x 与 2L : 21121zy x =-=+ 的平面方程。
北 京 科 技 大 学2014年硕士学位研究生入学考试试题============================================================================================================= 试题编号： 613 试题名称： 数学分析 （共 2 页） 适用专业： 数学, 统计学 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
=============================================================================================================1.(15分) （1）计算极限 2020cos lim ln(1)x x xdx x →+⎰；（2）设112(1)0,,(1,2,3,),2n n na a a n a ++>==+证明: lim n n a →∞存在，并求该极限. 2. (15分) (1)设222z y x u ++=，其中),(y x f z =是由方程xyz z y x 3333=++所确定的隐函数, 求x u .(2) 设2233x u v y u v z u v ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩，求z x ∂∂. 3. (15分)设)(x f 在[]0,2上连续，且)0(f ＝(2)f ，证明∃0x ∈[]0,1，使)(0x f ＝0(1).f x +4.(15分) 设f (x ) 为偶函数, 试证明:20()d d 2(2)()d ,a D f x y x y a u f u u -=-⎰⎰⎰ 其中:||,|| (0).D x a y a a ≤≤>5. (15分)设)(x f 在区间[0,1]上具有二阶连续导数，且对一切[0,1]x ∈，均有(),''()f x M f x M <<. 证明: 对一切[0,1]x ∈，成立 '()3f x M <.6. (15分) 设0a >, ()f x 是定义在区间[,]a a -上的连续偶函数,(1) 证明: 0()d ()d 1e aa x a f x x f x x -=+⎰⎰; (2) 计算积分3 2 2cos d .1e xx x ππ-+⎰7. (15分) (1)证明：级数4211n x n x +∞=+∑在[0,)+∞上一致收敛； (2)求级数3231(1)8ln()n nn n x n n n +∞-=-+∑的收敛域.8. (15分) 证明：若(),f x y 在矩形区域D 满足：12112|(,)(,)|||f x y f x y L x x -≤- 与12212|(,)(,)|||,f x y f x y L y y -≤-其中12,L L 是正的常数，则函数(),f x y 在D 一致连续.9.(15分) 设对于半空间0>x 内任意的分片光滑的有向封闭曲面∑, 都有2()d d d d d d 0,1xy f x y z z x x y x∑--=+⎰⎰ 其中函数()f x 在[0,)+∞上具有一阶连续导数, 且(0)1,f = 求()f x .10. (15分) 设()()(),0f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明: ()2sin ba f x dx m≤⎰.北 京 科 技 大 学2013年硕士学位研究生入学考试试题============================================================================================================= 试题编号： 613 试题名称： 数学分析 （共 2 页）适用专业： 数学，统计学 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
=============================================================================================================1．（20分） （1）、设(),,()z f x y u xy xF u ==+，其中F 为可微函数，且y u x =，证明： z z x y z xy x y∂∂+=+∂∂. （2）、设z y u x =，求： 22,u u z z∂∂∂∂。
2．（20分）（1）设()f x 在[],a b 上连续, 21()(),4bba a f x dx f x dx =+⎰⎰ 则存在(,),ab ξ∈使得 21()().4()f f b a ξξ-=- （2）求极限()1 0lim e d x x t x t →∞⎰3. (20分) 设()e , 0()0, 0xg x x f x x x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，其中()g x 有二阶连续的导数，且(0)1g =，(0)1g '=-，求()f x ', 并讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性.4．（15分）设()f x 在[]0,1上连续可微, 且(0)0,(1)1,f f ==求证：（1） ()[0,1],|()()|().x x f x f x e f x -''∀∈-≥（2）11 0|()()|d .f x f x x e -'-≥⎰5. (15分) 若{[,]}n n a b 是一个闭区间套, 即11[,][,],1,2,++⊂=n n n n a b a b n , 且lim()0,→∞-=n n n b a 证明: 存在唯一点ξ, 使得[,],1,2,ξ∈=n n a b n .6. (15分) 计算二重积分 sin d d D y x y y⎰⎰, 其中D 是由曲线y x =以及2x y =所围成的闭区域．7. (15分) 计算221d d d 1x y z x y Ω++⎰⎰⎰, 其中Ω是由抛物面224x y z +=与平面0z h =>围成的空间区域.8．(10分) 设()0f x 在[0,1]上连续，定义函数序列，10()(),0,1,2,x n n f x f x dt n +==⎰. 证明：函数项级数1()n n f x ∞=∑在[0,1]上一致收敛.9. (10分) 设函数()=y f x 的二阶可导, 且()0,(0)0,(0)0,'''>==f x f f 求330()lim ,()sin →x x f u f x u其中u 是曲线()=y f x 在点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距.10. (10分) 计算曲面积分2()d d d d I x z y z z x y ∑=+-⎰⎰, 其中∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =和2z =之间的部分的下侧.北 京 科 技 大 学2012年硕士学位研究生入学考试试题============================================================================================================= 试题编号： 613 试题名称： 数学分析 （共2 页） 适用专业： 数学，统计学 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
=============================================================================================================1．（20分）（1）求极限2)(2)n n 。
（2）证明积分20ln(sin )x dx π⎰收敛且求其值。
2．（20分）（1）证明：对于0>λ，级数 ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-12 tan )1(n n n πλ 都收敛。
（2）设()f x 连续，求极限lim ()x a x a x f t dt x a→-⎰。
3．（15分）已知给定函数1()sin , ()0, m x a x a f x x a x a⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩(m 为正整数), 试讨论()f x 在x a =的连续性与可导性以及导函数()f x '在x a =的连续性。
4．（15分）设函数()f x 在[0,]b 上连续，且()()0,[0,]xf t dt bf x x b ≥≥∀∈⎰，证明：()0f x ≡。
5．（15分）设()f x 在[],a b 连续，[]12,,,,n x x x a b ∈。
证明：存在[],a b ξ∈，使 ()11()ni i f f x n ξ==∑。
6．（15分）已知曲线22220:35⎧+-=⎨++=⎩x y z C x y z ，求曲线C 距离XOY 面最远的点和最近的点。
7．（15分）设()f x 在[],a b 连续，在(),a b 可导，且()0f x '≠。
试证明：存在(),,a b ξη∈，使 ()()b af e e e f b aηξη-'-=⋅'-。
8．（15分）设()f x 在区间[1,1]-上连续且为奇函数, 区域D 由曲线24=-y x 与3=-y x 、1=x 所围成,求()1()ln(d d =++⎰⎰D I f x y x y 。
9．（10分）试利用闭区间套定理证明数列 {}n a 收敛的充要条件是: 对任意的0ε>，存在0N >，使得当,m n N >时，m n a a ε-<。
10．（10分）（1）设a 为不是整数的实参数，计算函数cos ax 在[],ππ-的三角级数展开式；（2）证明：()111111sin n n t t t n t n ππ+∞=⎛⎫=+-+ ⎪-+⎝⎭∑，t 不是π的整数倍；（3）利用上面结果计算广义积分：0sin x dx x+∞⎰。
