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2018考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
差分方程除了用于对离散变量建立离散数学模型外，也可用于将连续变量及其连续数学模型离散化，换句话说，就是将微分方程离散化为差分方程，这对于难以求出精确解的微分方程来说具有重要的作用，事实上微分方程的数值解法就是如此，它通过差分方程来求出微分方程的近似解。
下面本文对二阶常系数线性非齐次差分方程的求解方法做些分析总结，供有兴趣的2018考研的同学拓展思路参考。
一、二阶常系数线性非齐次差分方程的通解
从前面的分析我们看到，二阶常系数线性非齐次差分方程的通解与二阶常系数线性非齐次微分方程的通解有非常相似的结论，比如其通解都是其特解与对应齐次方程的通解之和，而齐次方程的通解可以通过特征根求出，对于几类常见的自由项blob.png类型，包括：多项式、指数函数及二者乘积，其相应差分方程的特解也与微分方程的情形很类似，当然，二者还是有有些差别的，这一点希望大家注意。
差分方程的解法及应用随着科学技术的不断进步，人类对于数学这一学科的探索和研究也越来越深入。
在数学的众多分支中，差分方程是一种重要的数学工具。
它具有广泛的应用领域，比如利用差分方程可以对物理、化学、生态学和经济学等领域中的一些现象进行建模和预测。
一、差分方程的定义与类型差分方程是一种描述序列之间关系的数学工具。
简单来说，差分方程就是一种具有递推性质的方程。
通过对序列中前一项和后一项之间的差值进行分析，差分方程可以对序列之间的关系进行确定。
根据差分方程的形式，我们可以将其分为线性差分方程和非线性差分方程两种类型。
线性差分方程通常可以表示为：$$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+···+c_ka_{n-k}+F(n)$$其中，$a_n$表示数列中第n项的值，$F(n)$为非齐次项，$c_1,c_2,...,c_k$为系数。
非线性差分方程则不具有这种明显的简洁形式，但是常常可以利用变量代换的方法将其转化为线性差分方程的形式求解。
二、差分方程的求解方法差分方程的解法依赖于方程的类型和系数，不同的差分方程往往需要使用不同的方法进行求解。
1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c·a_{n-1}+F(n)$$其中，$c$为常数，$F(n)$为非齐次项。
为求解这种类型的差分方程，我们可以采用欧拉定理，得到方程的通解为：$$a_n=A·c^n+\frac{F(n)}{1-c}$$其中$A$是待定系数。
2.二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c_1·a_{n-1}+c_2·a_{n-2}+f(n)$$其中$c_1,c_2$为常数，$f(n)$为非齐次项。
为了求解这种类型的差分方程，我们需要先找到其特征方程：$$\lambda^2-c_1\lambda-c_2=0$$然后，我们可以根据该特征方程的根以及非齐次项来计算该方程的通解。
第三节 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式为y t +2+a 1y t +1+a 2y t =f (t )，t =0,1,2,…， (11-3-1)其中f (t )为t 的已知函数，a 1,a 2为已知常数，且a 2≠0．特别地,当f (t )0≡时，方程(11-3-1)变为y t +2+a 1y t +1+a 2y t =0． (11-3-2)我们称(11-3-1)为二阶常系数非齐次线性差分方程．而方程(11-3-2)称为方程(11-3-1)对应的齐次差分方程．根据定理4，只需求方程(11-3-1)的一个特解及其对应的齐次方程(11-3-2)的通解，然后两者相加，即可求得方程(11-3-1)的通解．下面，我们分别讨论齐次方程(11-3-2)的通解和非齐次方程(11-3-1)的特解的求解方法．一、 齐次差分方程的通解根据定理3，为求方程(11-3-2)的通解，只需找出它的两个线性无关的特解，然后将它们线性组合，即得方程(11-3-2)的通解．与二阶常微分方程相类似，我们称λ2＋a 1λ+a 2=0 (11-3-3)为方程(11-3-1)或(11-3-2)的特征方程．它的解(或根)称为方程(11-3-1)或(11-3-2)的特征根(值)．显然(11-3-3)的两个根为λ1,2=21(-a 1±2214a a -), 记Δ=a 12-4a 2．(1) 特征根为相异的两实根当Δ＞0时，λ1，λ2为两相异的实根，可以验证：y 1(t )=λ1t 与y 2(t )=λ2t 是方程(11-3-2)的两个线性无关的特解，故方程(11-3-2)的通解为y A (t )=A 1·λ1t +A 2·λ2t ， (11-3-4)这里λ1，λ2由方程(11-3-3)确定，A 1，A 2为两任意(独立)常数．例1 求差分方程y t +2-7y t +1+12y t =0的通解．解 特征方程为λ2-7λ+12=(λ-3)(λ-4)=0,故有两相异实特征根λ1=3,λ2=4．于是原方程的通解为y A (t )=A 1·３t +A 2·4t ，A 1,A 2为任意常数．(2) 特征根为两相等的实根当Δ=0时，λ=λ1＝λ2＝21a -为两相等的实根，这时只能求出方程(11-3-2)的一个特解： y t (t )=λt ．为求另一个特解，以y (t )=t λt 试之，代入方程(11-3-2)，可以验证t λt 也是(11-3-2)的一个特解，且与λt 线性无关，从而可求得方程(11-3-2)的通解为y A (t )=(A 1+A 2t )·λt ，或者写成y A (t )=(A 1+A 2t )·(21a -)t ， （11-3-5）其中A 1，A 2为任意常数．例2 求差分方程y t +2-4y t +1+4y t =0的通解．解 特征方程为λ2-4λ+4=(λ-2)2＝0，故方程有重特征根λ=λ1＝λ2＝2，于是由(11-3-5)式，原方程的通解为y A (t )=(A 1+A 2t )·2t , A 1,A 2为任意常数．(3) 特征根为一对共轭复根当Δ＜0时，λ1，λ2为一对共轭复根λ1，2=21(-a 1±i ∆), (i 2=-１）， 记为λ1,2=α±i β=r (cos ω±isin ω)，于是有：1cos ,sin 2πtan ,0,2a r r r αωβωβωωα⎧==-==⎪⎪⎨⎪===<<⎪⎩（11-3-6） 这里,r 为复特征根的模，ω为复特征根的辐角．可以直接验证，y 1(t )=r t cos ωt , y 2(t )=r t sin ωt是方程(11-3-2)的两个线性无关特解，故方程(11-3-2)的通解为y A (t )=r t (A 1cos ωt +A 2sin ωt )， (11-3-7)其中r ,ω由(11-3-6)式确定，A 1，A 2为任意常数．例3 求差分方程y t +2-2y t +1+2y t =0的通解．解 特征方程λ2-2λ+2=(λ-1)2＋１＝０，故特征根为一对共轭复根λ1,2=1±i ．由(11-3-6)式得r =2, tan ω=1, 于是ω=π4， 从而，所给方程的通解为y A (t )=22t(A 1cos π4t +A 2sin π4t )， 其中A 1，A 2为任意常数．二、 非齐次方程的特解与通解为了解得非齐次线性差分方程的通解，由定理4知，在解得对应齐次方程的通解后， 只需解得非齐次方程的一个特解．与二阶常系数线性微分方程相类似，求二阶常系数线性差分方程(11-3-1)的一个特解，常用的方法仍是待定系数法．当方程(11-3-1)的右端自由项函数f (t )为常数、多项式函数、指数函数、正弦余弦型三角函数以及这四类函数的线性组合型函数时，可采用与一阶常系数非齐次线性差分方程完全类似的待定系数法，通过适当的设定试解函数，求出非齐次方程(11-3-1)的特解，下面通过实例说明具体求特解过程．例4 求差分方程y t +2-7y t +1+12y t =6的通解． 解 由例1知，对应的齐次方程的通解为y A (t )=A 1·3t +A 2·4t ，由于1+a 1+a 2=1-7+12≠0，设特解y t =B ,B 为待定常数，将其代入原 方程，求得B =1,于是原方程的通解为y t =y A (t )+t y =A 1·3t +A 2·4t +1，这里A 1，A 2为任意常数．例5 求差分方程y t +2-3y t +1+2y t =4的通解． 解 特征方程为λ2-3λ+2=(λ-1)(λ-2)＝０，特征根λ1＝1，λ2＝2，故对应齐次方程的通解为y A (t )=A 1+A 2·2t ．因1+a 1+a 2=1-3+2=0,故应设非齐次方程的特解为t y =Bt ,B 为待定系数，将其代入原方程，求得B =-4．于是原方程的通解为y t =y A (t )+y t =A 1+A 2·2t -4t ，这里A 1，A 2为任意常数．例6 求差分方程y t +2-4y t +1+4y t =3+2t 的通解． 解 由例2知，对应齐次方程的通解为y A (t )=(A 1+A 2t )·2t ．现在设非齐次方程有特解y t =B 0+B 1t ,B 0,B 1为待定系数．将其代入原方程中，得(B 0-2B 1)+B 1t =3+2t ,此式对t =0,1,2,…恒成立的充要条件是B 0-2B 1=3, B 1=2.由此解得：B 0=7，B 1=2．因此所求非齐次方程的特解为t y =7+2t ．从而，原方程的通解为y (t )=y A (t )+ t y =(A 1+A 2t )·2t +7+2t ，这里A 1，A 2为任意常数．例7 求差分方程y t +2-4y t +1+4y t =5t 的通解． 解 由例2知，对应齐次方程的通解为y A (t )=(A 1+A 2t )·2t ． 现设所给非齐次方程的特特为t y =B ·5t ,B 为待定系数．将其代入所给方程，可得B ·5t +2-4B ·5t +1+4B ·5t =5t ．由此求得B =91．故非齐次方程的特解为 t y =91·5t , 从而，所给方程的通解为y (t )=y A (t )+t y =(A 1+A 2t )·2t +91·5t ， 其中A 1，A 2为任意常数．例8 求差分方程y t +2-4y t +1+4y t =25sin π2t 的通解．解 由例2知，对应齐次方程的通解为y A (t )=(A 1+A 2t )·2t ,现设所给非齐次方程的特解为t y =B 1cos π2t +B 2sin π2t ，其中B 1，B 2为待定系数．将其代入所给方程并利用三角函数有关公式，得(4B 1+2B 2)sin π2t +(3B 1-4B 2)cos π2t =25sin π2t,即有 ⎩⎨⎧=-=+.043,25342121B B B B由此求得B 1=4,B 2=3,即非齐次方程特解为t y =4cos π2t +3sin π2t ．于是，所求非齐次方程的通解为y (t )=y A (t )+t y =(A 1+A 2t )·2t +4cos π2t +3sin π2t ，其中A 1，A 2为任意常数．例9 求差分方程y t +2-4y t +1+4y t =3+2t +5t +25sin π2t 的通解．解 由例2知，对应齐次方程的通解为y A (t )=(A 1+A 2t )·2t ．又由例6，例7，例8分别求出方程y t +2-4y t +1+4y t =3+2t ,y t +2-4y t +1+4y t =5t ,y t +2-4y t +1+4y t =25sin π2t的特解)(1t y =7+2t ,)(2t y =19·５t ,)(3t y =4cos π2t +3sin π2t ，从而，所求非齐次差分方程的通解为y (t )=y A (t )+y (t )=(A 1+A 2t )·2t +7+2t +91·5t +4cos π2t +3sin π2t ，这里A 1，A 2为任意常数．习题11-31． 求下列二阶齐次线性差分方程的通解：(1) y t +2+21y t +1-21y t =0;(2) y t +2+2y t +1+3y t =0;(3) y t +2-4y t +1+16y t =0;(4) y t +2=y t +1-y t ;(5) y t +2-3.9y t +1+3.78y t =0;(6) y t +2-4(a +1)y t +1+4a 2y t =0,a 为常数，1+2a ＞0．2． 求下列二阶非齐次线性差分方程的通解：(1) y t +2-5y t +1+2y t =2;(2) y t +2-2y t +1+4y t =a +bt , a ,b 为常数；(3) y t +2-3y t +1+2y t =3×5t ;(4) 3y t +2-2y t +1-y t =10sin π2t ;(5) y t +2+3y t +1+2y t =20+4t +6t 2;(6) y t +2-y t +1-6y t =3t ·(2t +1)．3． 求下列差分方程满足初始条件的解：(1) y t +1+4y t =2t 2+t +3, y 0=2;(2) y t +2+y t +1-2y t =12, y 0=0,y 1=0;(3) y t +2+3y t +1-4y t =(31)t , y 0=1,y 1=2;(4) y t +2+3y t ＋1-47y t =9, y 0=6,y 1=3．。
