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常系数线性微分方程复习一、常系数线性微分方程的形式和名词解释1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为：)(1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L其中 a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数2. n 阶微分方程的含有n 个独立的任意常数的解，叫做一般解（通解）。
3. 微分方程不含任意常数的解，叫做特解。
4. 把微分方程与初始条件合在一起叫做微分方程的初值问题。
初值问题的解是即满足微分方程又满足初始条件的特解。
二、常系数线性齐次微分方程的解法01)1(1)(=+′+++−−y a y a y a y n n n n L其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，等号右端自由项为零1. 求齐次线性微分方程的特征方程（只要将齐次线性微分方程式中的 y (k )换写成 λk ，k = 0，1，L ，n ，即得其特征方程）。
0111=++++−−n n n n a a a λλλL2. 求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。
3. 求得了方程的 n 个特征根，就可得到微分方程的n 个线性无关的一般解（根的形式不同，解的形式也不同）。
(1) 特征方程有n 个互异的实根 λ1， λ2 ，L ，λn 。
方程的通解为 t n t tc c c y n 21e e e21λλλ+++=L例 求齐次微分方程032=−′−′′y y y 的通解特征方程0322=−−λλ 求出特征方程的根3121=−=λλ方程的通解 t tc c y −+=e e231(2) 特征方程有n 个实根，但存在重根（设λ0是方程的k 重根）。
方程的通解为t n t k t k k c c t c t c c y k n 10e e )e (1121λλλ++++++=++−L L例 求齐次微分方程043=−′′+′′′y y y 的通解特征方程04323=−+λλ 求出特征方程的根21321−===λλλ方程的通解为 t tt t c c c y 23221e ee −−++=(3) n 个特征根中存在复数根的情况（举例说明）a. 存在1对不重复的复数根 a ± j β ，n -2个互异的实根。
常微分方程高阶方程解法常微分方程是描述变量关系的数学方程。
常微分方程可以分为一阶方程和高阶方程两种形式。
一阶方程是指方程中最高阶导数的阶数为一阶，高阶方程则是指方程中最高阶导数的阶数高于一阶。
高阶常微分方程解法较为复杂，需要借助一些特定的方法和技巧。
下面将介绍几种常见的高阶常微分方程解法。
1.常系数线性齐次方程的解法：齐次方程是指方程中没有出现自变量的项，且系数是常数的方程。
对于常系数线性齐次方程：a_n*y^n + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_0*y = 0可以使用特征根法来求解。
假设y=e^(rx)是方程的解，代入方程可得：a_n*r^n*e^(rx) + a_(n-1)*r^(n-1)*e^(rx) + ... + a_0*e^(rx) = 0化简得到特征方程：a_n*r^n + a_(n-1)*r^(n-1) + ... + a_0 = 0解特征方程得到方程的特征根r1, r2, ..., rn，则方程的通解为：y = C1*e^(r1x) + C2*e^(r2x) + ... + Cn*e^(rnx)其中，C1, C2, ..., Cn为任意常数。
2.可降阶的高阶常微分方程的解法：可降阶的高阶常微分方程是指可以通过变量代换和符号分解等方法将高阶方程转化为一阶方程的形式。
例如，对于二阶常系数线性非齐次方程：a_2*y'' + a_1*y' + a_0*y = f(x)可以通过令z=y'代换变量，得到一阶常系数线性非齐次方程：a_2*z' + a_1*z + a_0*y = f(x)这样，高阶方程就转化为了一阶方程，可以采用一阶方程的解法来求解。
解出z后再求一次积分即可得到y的解。
3.常微分方程的级数解法：对于某些高阶常微分方程，可以采用级数展开的方法得到解的近似表达式。
假设方程的解可以表示为幂级数的形式：y = ∑(n=0 to ∞) a_n*x^n将该表达式代入方程，逐次求出各个系数a_n，即可得到解的级数表达式。
第二讲§4.2 n 阶常系数线性齐次方程的解法(2学时)教学目的: 本节主要讨论n 阶常系数线性齐次方程的解法。
教学要求: 掌握n 阶常系数线性齐次方程的一些解法，了解复值函数与复值解的有关结论。
教学重点: n 阶常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法 教学难点: 特征根法和待定系数法教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
上一节我们已详细地讨论线性方程通解的结构问题,但是如何求通解的方法还没有具体给出,事实上,对一般的线性方程是没通用的解法.本节介绍求解常系数齐次线性方程通解的方法,是在线性方程基本理论上化为解一个相应的代数方程,而不必进行积分运算.进而介绍可化为常系数齐次线性方程的解法.讨论常系数线性方程的解法时,需要涉及到定变量的变值函数及复指数函数的问题.为此首先作一介绍. 一. 复值函数与复值解 1. 复值函数若)()(t t ψϕ和是区间b t a ≤≤上定义的实函数,我们称)1(),()()(2-=+=i t i t t z ψϕ为区间b t a ≤≤上的复值函数.若)(),(t t ψϕ在b t a ≤≤上连续，则称z(t)在b t a ≤≤上连续.若)(),(t t ψϕ在b t a ≤≤上可微，则称z(t)在b t a ≤≤上可微. 且z(t)的导数为:,dtd i dt d dt dz ψϕ+= 复函数求导法则与实函数相同.2．复指数函数 ()()(cos sin )i tt z t ee t i t αβαββ+==+， 欧拉公式:cos sin i e i θθθ=+3．复值解定义 定义在区间a t b ≤≤上的实变量复值函数)(t z x =称为方程(4.5)的复值解，如果()(1)11()()()()n n n n z p t z p t z p t z f t --'++++=对于a t b ≤≤恒成立。
对线性方程的复值解有下面的两个结论：定理1如果方程(4.11)的所有系数()(1,2,,)i p t i n = 都是实值函数，而)()()(t i t t z x ψϕ+==是方程的复值解，则z(t)的实部)(t ϕ和虚部)(t ψ及z(t)的共轭复数也都是方程(4.11)的解.定理 2 若方程()(1)11()()()()()n n n n y p t y p t y p t y u t iv x --'++++=+ 有复值解()()y u t iv t =+,这里()(1,2,,)i p t i n = 及)(),(t v t u 都只能是实函数，那么这个解的实部)(t u 和虚部)(t v 分别是方程()(1)11()()()()n n n n y p t y p t y p t y u t --'++++=和()(1)11()()()()n n n n y p t y p t y p t y v x --'++++=的解. 二. n 阶常系数线性齐次方程的解法 本节只讨论常驻系数线性齐次方程()(1)110n n n n y a y a y a y --'++++= (4.21)的求解问题，这里n a a a ,,,21 为常数. 由定理4.3，我们知道(4.21)的求解问题归结为求其基本解组即可。
虽然对于一般的线性齐次微分方程，人们至今没有找到一个求其基本解组的 一般方法，但是对于方程(4.21)，这一问题已彻底解决。
其中，一个自然的做法是把(4.21)化成与之等价的一阶线性常驻系数齐次微分方程组，然后按3.5节的有关解法及引理4.1和引理4.2，就可以求得(4.21)的基本解组，但是这样的推导过程并不简洁，因此我们这里将对方程(4.21)采用Euler 待定指数函数法求解。
我们知道，一阶常系数齐次线性方程0y ay '+=有通解axy ce-=，因此，对于方程(4.21)我们也尝试求指数函数形式的解xy e λ= 其中λ是待定常数，可以是实的，也可以是复的，把它代入方程(4.21)得:11[]()0x n n x n L e a a e λλλλ-=+++= 。
因此，xe λ为(4.21)的解的关系条件是:λ是代数方程11()0n n n P a a λλλ-≡+++= (4.22)的根，方程(4.22)称为方程(4.21)的特征方程，它的根为方程(4.21)的特征根.这样求方程(4.21)的解问题，便归结为求方程(4.21)的特征根问题了。
下面我们根据特征根的不同情况分别加以讨论.4.2.1特征根是单根的情形定理4.8 若特征方程(4.22)有n 个彼此不相等的根n λλλ,,,21 ，则1212,,,n x xxn y e y ey e λλλ=== (4.23)是方程(4.21)的一个基本解组。
由于1212111211()1211111112()111[,,]()0n n n n n n x xxxxxnxxxn n n xx x n n n n n xi j j i ne e e e e e w e e e e e e e λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ++-----++≤<≤===-≠∏故解组(4.23)线性无关，即为方程(4.21)的一个基本解组.若),,2,1(n i i =λ均为实数，则(4.23)是方程(4.21)的基本解组，从而(4.21)的通解为11()n x x n y x c e c e λλ=++其中n c c c ,,,21 为任常数.若),,2,1(n i i =λ中有复数，则因方程的系数是实常数，复根将成对共轭出现，设βαλi +=1是特征根，则βαλi -=2也是特征根，相应地方程(4.21)有两个复值解:()(cos sin )i x x e e x i x αβαββ+=+, ()(cos sin )i x x e e x i x αβαββ-=-.由定理1知，它的实部和虚部也是方程的解，这样一来，对应于方程的一对共轭复根为βαλi ±=，由此求得(4.21)的两个实值解为cos ,sin xx ex e x ααββ.4.2.2 特征根有重根的情形设特征方程(4.22)有k 重根1λλ=，则有(1)1111()()()0,()0.k k P P P P λλλλ-'====≠ (4.24) 其次，易见[](),m x xx m xmL e P e e x e λλλλλλ∂==∂ 因此有()[][][]()m x m m m xxx mm m e L x e L L e P e λλλλλλλλ∂∂∂===∂∂∂ ()(1)(2)2(1)()()()()2!m m m m x m m P mP x P x P x e λλλλλ---⎧⎫=++++⎨⎬⎩⎭于是由(4.24)立刻得到1[]0,0,1,2,,1x m L x e m k λ≡=-即函数1111,,,x x xk e xe x e λλλ- 都是方程(4.21)的解。
一般地，当特征方程有多个重根时，如何确定该方程的基本解组，我们有下面的 定理 4.9 如果方程(4.21)有互异的特征根12,,,p λλλ ，它们的重数分别为12,,,,1,p i m m m m ≥ 且12p m m m n +++= ，则与它们对应的方程(4.21)的特解是11112222111,,,,,,,,,p p ppx x m x x x m x xx m xe x e x ee x e x e ex e x e λλλλλλλλλ---(4.25)且(4.25)构成(4.21)在区间(,)-∞+∞上的基本解组。
对于特征方程有复根的情况，例如有k 重根βαλi +=，则βαλi -=也是k 重复根， 如同单复根对那样，我们也可以把方程(4.21)的2k 个复值解换成2k 个实值解1cos ,cos ,,cos ,x x k x e x xe x x e x αααβββ- 1s i n ,s i n ,,s i n .x x k xe x x e x x e x αααβββ- 1．求方程(4.21)通解的步骤：第一步：求(4.21)的特征方程及特征根n λλλ,,,21 . 第二步：计算方程(4.21)相应的解（a ）对每一个实单根k λ，方程有解k xk y eλ=.（b ）对每一个m>1重实根k λ，方程有m 个解1,,,k k k xx x m exe x e λλλ- .（c ）对每一个重数是一的共轭复根βαi ±，方程有两个解cos ,sin xx e x e x ααββ.（d ）对每一个重数是m>1的共轭复根βαi ±，方程有2m 个为以下形式的解：1cos ,cos ,,cos ,x x m x e x xe x x e x αααβββ- 和1sin ,sin ,,sin .x x m x e x xe x x e x αααβββ-第三步： 根据第二步中的(a),(b),(c),(d)写出方程(4.21)的基本解组及通解.例1 求方程0432233=+-x dtxd dt x d 的通解.解：特征方程0)2)(1(43223=-+=+-λλλλ 有根.2,13,21=-=λλ 1λ是单根,3,2λ是二重根，因此有解,,,22t t t te e e -其通解为t t t te c e c e c x 23221++=-，这里的321,,c c c 是任常数.例2 求方程044=-x dtxd 的通解.解: 特征方程 014=-λ有根i i -==-==4321,,1,1λλλλ，有两个实根和两个虚根，均是单根。
故方程的通解为t c t c e c e c t x t t sin cos )(4321+++=-，这里的321,,c c c 是任常数。
例3 求方程033223344=-+-dtdxdt x d dt x d dt x d 的通解. 解: 特征方程 0)1(333234=-=-+-λλλλλλ有根,1,021==λλ 其中01=λ是单根,12=λ是三重根，故方程的通解为t e t c t c c c x )(24321+++=，这里的321,,c c c 是任常数. 例4 求方程 022244=++x dtxd dt x d 的通解. 解: 特征方程0)1(12224=+=++λλλ, 即特征根i ±=2,1λ是二重根，因此，方程有四个实值解，t t t t t t sin ,sin ,cos ,cos故方程的通解为t t c c t t c c x sin )(cos )(4321+++=，这里的321,,c c c 是任常数.注：本节所介绍的求解方程(4.21)的方法，不仅可以求出其通解和初值问题的解，而且还能求出边值问题的解，初值问题和边值问题都是常微分方程的定解问题。
