2018届江西省师范大学附属中学高三上学期期中考试文科数学试题及答案 精品
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江西省师范大学附属中学2018届高三上学期期中考试数学（文）试题2018年11月一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}{}1,0,1,sin π,,A B y y x x A A B =-==∈=则( )A. {}1-B. {}0C. {}1D. Æ 2. 已知平面向量()2,1a =-，()1,3b =，那么a b +等于（ ） A.5 D. 13 3．已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为（ ）A ．2B ．3C ．2或-3D ．2或3 4．若函数()sin x f x e x =，则此函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角 5．“3=a ”是“直线022=++a y ax 和直线07)1(3=+--+a y a x 平行”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．已知两条不重合的直线,m n 和两个不重合的平面,,αβ有下列命题：①若,m n m α⊥⊥，则//n α； ②若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//;αβ ③若,m n 是两条异面直线，,,//,//,m n m n αββα⊂⊂则//;αβ④若,,,,m n n m αβαββ⊥=⊂⊥则n α⊥. 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．函数3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则( )A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <8. 若ABC ∆的三个内角A ,B ,C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==,则ABC ∆ ( )A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形9．在ABC ∆中,04,30,AB BC ABC AD ==∠=是边BC 上的高，则AD AC ⋅的值等于（ ）A ．0B ．4C ．8D ．4-10. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线mx a y +=121与圆()1222=+-y x 的两个交点关于直线0=-+d y x 对称，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前10项和=( )A ．109 B ． 1110 C ． 98D ．211．右图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为1V ，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记 为2V ,则12:V V =（ ）A ．B ．C ．D ．12．若xx x f a b ln )(,3=>>，则下列各结论中正确的是（ ）A ．()()2a bf a f f +<< B ．()()2a bf f f b +<<C ．)()2()(a f ba f ab f <+< D ．)()2()(ab f ba fb f <+<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若}{n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且32211π=S ，则6tan a 的值为14．把函数的图象sin()(0),||2y x πωϕωϕ=+><向左平移3π个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω+φ= 15．如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位. 依此规律,则第n 个几何体的表面积是___ ____个平方单位.第14题图 16．已知函数()y f x =是定义在R上的奇函数，对x R ∀∈都有(1)(1)f x f x -=+成立，当(0,1]x ∈且12x x ≠时，有2121()()0f x f x x x -<-。
给出下列命题(1) (1)0f = (2) ()f x 在[-2，2]上有5个零点 (3) 点(2018，0)是函数()y f x =的一个对称中心(4) 直线2014x =是函数()y f x =图象的一条对称轴．则正确的15题图是三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设函数()|1|||,f x x x a a R =-+-∈．（1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.18. （本小题12分） 已知向量a =（cos ,sin x x ωω），b =（cos x ω,3cos x ω）,0ω>,函数21)(-⋅=x f ，其最小正周期为π.（1）求函数()f x 的表达式及单调递增区间；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，S 为其面积，若()2A f =1，b =l ，S △ABC a 的值．19. （本小题12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ．现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2． （1）求证：AM ∥平面BEC ; （2）求证：BDE BC 平面⊥;E（3）求点D 到平面BEC 的距离.20. （本小题12分）已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．21．（本小题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1122(),2n n a S n N a ++=+∈=.（1）求数列{}n a 的通项公式；F E DCBA图1（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列．求证：1211115()16n n N d d d ++++<∈.22．（本小题12分）已知函数1()ln (1)f x x a x=--，R a ∈．（Ⅰ）求()x f 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的最小值为0，回答下列问题： （ⅰ）求实数a 的值；（ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y （21x x <）是函数()()g x xf x =图象上的两点，且曲线()g x 在点(),()T t g t 处的切线与直线AB 平行，求证：12x t x <<．江西师大附中高三数学（文科）期中考参考答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)．13．14． 23π-15． 3(1)n n + 16． (1) (2) (3)三、解答题（本大题共6小题，共75分） 17．（10分） 解：（1）{}|05x x x ≤≥或 （2）{}|35a a a ≤-≥或 18．(12分)解：(1)()sin(2)6f x x π=+增区间为(,)()36k k k Z ππππ-+∈ (2)a =19．（ 12分） 解：（1）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,． 在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点，所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =，所以MN ∥AB ，且MN AB =． 所以四边形ABNM 为平行四边形． 所以BN ∥AM ．又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ，所以AM ∥平面BEC ． （2）在正方形ADEF 中，ED AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以⊥ED 平面ABCD ． 所以ED BC ⊥． 在直角梯形ABCD 中，1==AD AB ，2=CD ，可得2=BC ． 在△BCD 中，2,2===CD BC BD ，所以222CD BC BD =+．所以BC BD ⊥． 所以BC ⊥平面BDE ． （3）：BE ⊂平面BDE ,所以BC BE ⊥ 所以,1222121=⋅⋅=⋅=∆BC BD S BCD.26322121=⋅⋅=⋅=∆BC BE S BCE又BCE D BCD E V V --=，设点D 到平面BEC 的距离为.h 则⋅=⋅∆3131DE S BCD h S BCE ⋅∆，所以36261==⋅=∆∆BCEBCD S DE S h所以点D 到平面BEC 的距离等于36.20．（ 12分）解：(1) 所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM |·|PA |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |，而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min－4＝232－4＝2 5. 21．（ 12分） 解：（1） 2S 2a n 1n +=+，2S 2a 1n n +=-（2n ≥） ∴ )S S (2a a 1n n n 1n -+-=-=n a 2即3a a n1n =+(2n ≥)∴ 当1n =,得2a 2a 12+==61n 1n 1n 32q a a --⋅=⋅= 即123n na -=⨯（2）①1(1)n n n a a n d +=++，则1431n n d n -⨯=+，11143n n n d -+=⨯=+⋅⋅⋅++n 21d 1d 1d 1)31n 343332(411n 20-++⋅⋅⋅++设=n T 1n 2031n 343332-++⋅⋅⋅++①则31=n T n22131n 343332++⋅⋅⋅++② ①-②得：32=n T 2+n1n 3231n 31313131+-+⋅⋅⋅++-=2+n1n 31n 311])31(1[31+----)31n 321(23415T n 1n n ++⋅-=-415<因此161541541d 1d 1d 1n 21=⋅<+⋅⋅⋅++ 22．（ 12分）解：（Ⅰ）函数()x f 的定义域为(0,)+∞，且221()a x af x xx x-'=-=． 当0a ≤时，()0f x '>，所以()x f 在区间(0,)+∞单调递增；当0a >时，由()0f x '>，解得x a >；由()0f x '<，解得0x a <<． 所以()x f 的单调递增区间为(,)a +∞，单调递减区间为(0,)a ． 综上述：0a ≤时，()x f 的单调递增区间是(0,)+∞；0a >时，()x f 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(,)a +∞ （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时，()x f 无最小值，不合题意； 当0a >时，min [()]()1ln 0.f x f a a a ==-+=令()1ln (0)h x x x x =-+>， 则11()1x h x xx-'=-+=，由()0h x '>，解得01x <<；由()0h x '<，解得1x >．所以()h x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞．故max [()](1)0h x h ==，即当且仅当1x =时，()h x =0．因此，1a =． （ⅱ）因为()()ln 1(0)g x xf x x x x x ==-+>，所以()ln g x x '= 直线AB 的斜率2122112121()()ln ln 1,AB g x g x x x x x k x x x x --==---()ln g t t '=． 依题意，可得()ABk g t '=，即221121ln ln 1ln x x x x t x x --=-．令211xx λ=>，于是22112221112121ln ln ln ln ln ln 1ln 1x x x x x x x x t x x x x x x ---=--=---=2112ln 11x xx x -- =1ln (1)11λλλ---．由（ⅰ）知，当1λ>时，1ln 1λλ>-，于是1ln ln 0t x ->，即1t x >成立．分22111112222121ln ln ln ln ln ln ln (1)1x x x x x x x x x t x x x x x ---=--=+--1221ln 11x x x x =+- =1ln 11λλλ+--=ln 11λλλ-+--．由（ⅰ）知，当1λ>时，ln 1λλ<-，即ln 10λλ-+->，于是2ln ln 0x t ->， 即2x t >成立．综上，12x t x <<成立．。
