华理高数答案第6章

__________________________________________________

__________________________________________________

复习题A

一 、判断正误:

1、 若cbba且0b，则ca； (  )

解析 cbba=)(cab=0时，不能判定b0或ca．例如ia，jb，kc，有0abbc，但ca．

2、 若cbba且0b，则ca； (  )

解析 此结论不一定成立．例如ia，jb，)(jic，则

kjiba，kjijcb)]([，cbba，但ca．

3、若0ca，则0a或0c； (  )

解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零．

4、abba． ( √ )

解析 这是叉积运算规律中的反交换律．

二、选择题:

1、 当a与b满足（ D ）时，有baba；

(A)ab； (B)ab(为常数)； (C)a∥b； (D)abab．

解析 只有当a与b方向相同时，才有a+b=a+b．

(A)中a，b夹角不为0，(B)，(C)中a，b方向可以相同，也可以相反．

2、下列平面方程中，方程( C )过y轴；

(A) 1zyx； (B) 0zyx； (C) 0zx； (D) 1zx．

解析 平面方程0DCzByAx若过y轴，则0DB，故选C．

第6章定积分的应用

1.求由两抛物线)'二兀与y2 = -x+4所用成的面积

解:先求出两抛物线的交点，(2,V2),(2,-V2),由对称性，只要求位于第一彖限的而积的两倍即可，关于

>/2

2f (4-2y2)dy = 4(2y-y3/3)

0

2.求由双曲线y = x + \!兀与两肓线x = 2^y = 2所围图形的而积

解：双曲线在x=l处达到极小值2,边界线的交点为(1,2), (2,5/2) , (2,2)关于x积分较简单

解：由对称也 只需求!110<^<^/3的一叶的面积，乘以3则得所求面积,

□広/3 q 2 兀/3 $ 2 兀/3

A = - f rd3 = — [ sin2(3^)d^ = — f (1-cos(60))d& = 2 J 2 J 4 J

厶0 厶 0 " o

4•求山双曲线y = l/x,三直线y = 4x. x = 2. y = 0所围成平面图形绕兀轴旋转所成的旋转体的体积

解：该曲线是由三段抛物线组成的，y = 4-x2 , 丁 = 2 +兀2 , )=4 - 区间分别是

[-2,-1],[-1,1],1,2],边界点(・2,0),(・1,3),(1,3),(2,0),旋转体可看成半径为3高为4的体积为3x3x4〃的

圆柱体挖去抛物线绕直线y = 3旋转成的部分，再考虑到曲线关于y轴的对称性，所以

/-I 0

V = 367i-27T j(x2-l)2d.r+j(l-x2)2dx

\-2 -1

解：该题即教材习题6.3第6题，图形的顶点是©0),(1」)，体积等于圆弧x=xl(y)绕x=2旋转的体积减V=7T <1/2 2 ] 、 f 16x2dr+

[ —dx =7T

1/2 __1 2、

J J x

儿 <3 o x 1/2丿 解：先求出图形的顶点(0,0),(1/ 2,2),(2」/ 2), (2,0)

=碍冷+ 2)十/6

5.求由曲线y = 3-|x2-l|与X轴所围封闭图形绕岂线y = 3旋转所成旋转体的体积 = 16A/2/3 y积分较方便,

习 题 6—4

1、一动点移动时，与)0,0,4(A及xOy面等距离，求该动点的轨迹方程.

解：设在给定的坐标系下，动点),,(zyxM，所求的轨迹为C，则

(,,)MxyzCMAz 亦即 zzyx222)4(

0)4(22yx从而所求的轨迹方程为0)4(22yx.

2、 求下列各球面的方程：

（1）圆心)3,1,2(，半径为6R； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(；

（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(

解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222zyx

（2）由已知，半径73)2(6222R，所以球面方程为49222zyx

（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242cba，

球的半径21)35()31()24(21222R，所以球面方程为：

21)1()1()3(222zyx

（4）设所求的球面方程为：0222222lkzhygxzyx

因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(，所以08160621008160khggl 解之得2210kghl

所求的球面方程为0424222zyxzyx.

3、求下列旋转曲面的方程：

（1）将yOz坐标面上的抛物线22yz绕z旋转一周所生成的旋转曲面；

解：222xyz(旋转抛物面) .

（2）将zOx坐标面上的双曲线12222czax分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面．

解： 绕x轴旋转得122222czyax 绕z轴旋转得122222czayx.

4、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？

——————————————————————————————————————————————— 高等数学第六章答案 第六章 定积分的应用 第二节 定积分在几何上的应用 1? 求图中各阴影部分的面积? （1） (2) 1 1. 6 32? 3 32 (4)? 3 (3) 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 6?? (2)4? 33?ln2? 2 1 (3)e??2? e (4)b?a 93? ? 4 14? （1）?21（2）?4 3 5? (1) ?a2? (2) 32?a? 8 2 (3)18?a? ? 6? （1 ）2? （2）?4? ?35? 4

——————————————————————————————————————————————— （3 ）及?2?cos2? ? 6?12 7．求下列已知曲线所围成的图形? 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）y?x和x轴、向所围图形，绕x轴及y轴。 2 1 （2）y?x2和y2?8x,绕x及y轴。 2（3）x??y?5??16,绕x轴。 2 （4）xy=1和y=4x、x=2、y=0，绕。 （5）摆线x=a?t-sint?,y?a?1?cost?的一拱,y?0，绕x轴。 ??482413（1,;(2)?,?;(3)160?2;(4)?;(5)5?2a3. 52556 8．由y?x3? x?2? y?0所围成的图形? 分别绕x轴及y轴旋转? 计算所得两个旋转体的体积? 128?? 7 64? Vy?5 Vx? 9．把星形线x2/3?y2/3?a2/3所围成的图形? 绕x轴旋转? 计算所得旋转体的体积? 10．（1）证明 由平面图形0?a?x?b? 0?y?f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 V?2?32?a3 105?xf(x)dx? 证明略。 a 2b （2）利用题（1）结论? 计算曲线y?sin x(0?x??)和x轴所