高数第六章总习题答案

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高数第六章总习题答案(总14页)

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复习题A

一、判断正误:

1、若cbba且0b，则ca； (  )

解析 cbba=)(cab=0时，不能判定b0或ca．例如ia，jb，kc，有0abbc，但ca．

2、若cbba且0b，则ca； (  )

解析此结论不一定成立．例如ia，jb，)(jic，则

kjiba，kjijcb)]([，cbba，但ca．

3 、若0ca，则0a或0c； (  )

解析两个相互垂直的非零向量点积也为零．

4、 abba． ( √ )

解析这是叉积运算规律中的反交换律．

二、选择题:

1 、当a与b满足（ D ）时，有baba；

(A)ab； (B)ab(为常数)； (C)a∥b； (D)abab．

解析只有当a与b方向相同时，才有a+b=a+b．

(A)中a，b夹角不为0，(B)，(C)中a，b方向可以相同，也可以相反．

2、下列平面方程中，方程( C )过y轴； (A) 1zyx； (B) 0zyx； (C) 0zx； (D) 1zx．

解析平面方程0DCzByAx若过y轴，则0DB，故选C．

3 、在空间直角坐标系中，方程2221yxz所表示的曲面是( B )；

(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面．

解析对于曲面2221yxz，垂直于z轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x轴或y轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．

4、空间曲线5,222zyxz在xOy面上的投影方程为( C )；

(A)722yx； (B)5722zyx； (C)

0722zyx；(D)0222zyxz

解析曲线5722zyx与xOy平面平行，在xOy面上的投影方程为0722zyx．

5 、直线11121zyx与平面1zyx的位置关系是( B )．

(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π4．

解析直线的方向向量s={2，1，-1}，平面的法向量n={1，-1，1}，ns=2-1-1=0，所以，s⊥n，直线与平面平行．

三、填空题:

1、若2ba，π()2a,b，则ba 2 ，ba 0 ；

解 babasin()a,b=π2sin2=2，babacos()a,b=π2cos2=0．

2、与平面062zyx垂直的单位向量为 }2,1,1{66；

解平面的法向量 n={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0n=411=6，所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{66．

3、过点)2,1,3(和)5,0,3(且平行于x轴的平面方程为 057zy ；

解已知平面平行于x轴，则平面方程可设为 0DCzBy，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有20,50,BCDCD  7,51,5BDCD得

05157DDzDy，即 057zy．

4、过原点且垂直于平面022zy的直线为zyx20；

解直线与平面垂直，则与平面的法向量 n={0，2，-1}平行，取直线方向向量s=n={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为 zyx20 ．

5、曲线1,222zyxz在xOy平面上的投影曲线方程为

.0,1222zyx 解: 投影柱面为 1222yx，故

0,1222zyx为空间曲线在xOy平面上的投影曲线方程．

四、解答题:

1、已知}1,2,1{a，}2,1,1{b，计算(a) ba； (b) ()()2abab； (c)

2ba；

解: (a) ba=211121kji1,3}5,{.

(b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2ab，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,ba，

所以()()2abab7}3,1,2{}0,5,1{．

2、已知向量21PP的始点为)5,2,2(1P，终点为)7,4,1(2P，试求：(1)向量21PP的坐标表示； (2)向量21PP的模；(3)向量21PP的方向余弦； (4)与向量21PP方向一致的单位向量．

解: (1) }2,6,3{}57),2(4,21{21PP；(2)74926)3(22221PP；

(3) 21PP在zyx,,三个坐标轴上的方向余弦分别为362cos,cos,cos777；

(4)kjikji7276737263)(212121PPPPPP． 3、设向量1,1,1a，1,1,1b，求与a和b都垂直的单位向量.

解：令1110,2,2111ijkcab，01110,,22ccc，

故与a、b都垂直的单位向量为0110,,22c.

4、向量d垂直于向量]1,3,2[a和]3,2,1[b，且与]1,1,2[c的数量积为6，求向量d

解： d垂直于a与b，故d平行于ba，存在数使

bad]1,3,2[]3,2,1[]7,7,7[

因6cd，故6)7(1)7()1(72， 73]3,3,3[d.

5、求满足下列条件的平面方程：

(1)过三点)2,1,0(1P，)1,2,1(2P和)4,0,3(3P；(2)过x轴且与平面025zyx的夹角为π3．

解 (1)解1：用三点式．所求平面的方程为0241003211201210zyx，即01345zyx．

解2：用点法式．}1,1,1{21PP，}2,1,3{31PP，由题设知，所求平面的法向量为

kjikjin452131113121PPPP，又因为平面过点)2,1,0(1P，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(zyx，即

01345zyx．

解3：用下面的方法求出所求平面的法向量},,{CBAn，再根据点法式公式写出平面方程也可．

因为3121,PPPPnn，所以0,320,ABCABC解得ACAB4,5，于是所求平面方程为

0)2(4)1(5)0(zAyAxA，即 01345zyx．

（2）因所求平面过x轴，故该平面的法向量},,{CBAn垂直于x轴，n在x轴上的投影0A，又平面过原点，所以可设它的方程为0CzBy，由题设可知0B（因为0B时，所求平面方程为0Cz又0C，即0z．这样它与已知平面025zyx所夹锐角的余弦为

2222220502111π1cos3210001(5)21，所以0B），令CBC，则有0zCy，由题设得

22222212)5(10121503cosCC，

解得3C或13C，于是所求平面方程为03zy或03zy．

6、一平面过直线04,05zxzyx且与平面01284zyx垂直，求该平面方程；解法1：直线04,05zxzyx在平面上，令x=0，得 54y，z=4，则（0，-54，4）为平面上的点．

设所求平面的法向量为n=},,{CBA，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 1n={1，5，1}，2n={1，0，-1}，则直线的方向向量s=1n2n=101151kji={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即

ns={-5，2，-5}•},,{CBA=CBA525=0，

因为所求平面与平面01284zyx垂直，则}8,4,1{},,{CBA=CBA84=0，解方程组

5250,480,ABCABC  2,5,2ACBC

所求平面方程为 0)4()54(25)0(2zCyCxC，即012254zyx．

解法2：用平面束（略）

7、求既与两平面1:43xz和2:251xyz的交线平行，又过点(3,2,5)的直线方程.

解法1：11,0,4n，22,1,5n，124,3,1snn，从而根据点向式方程，所求直线方程为325431xyz，即325431xyz. 解法2：设,,smnp，因为1sn，所以40mp；又2sn，则250mnp，可解4,3mpnp，从而0p．根据点向式方程，所求直线方程为

32543xyzppp，即325431xyz.

解法3：设平面3过点(3,2,5)，且平行于平面1，则311,0,4nn为3的法向量，从而3的方程为1(3)0(2)4(5)0xyz，即4230xz．同理，过已知点且平行于平面2的平面4的方程为25330xyz．故所求直线的方程为423025330xzxyz．

8、一直线通过点)1,2,1(A，且垂直于直线11231:zyxL，又和直线zyx相交，求该直线方程；

解：设所求直线的方向向量为{,,}mnps，因垂直于L，所以320mnp；又因为直线过点)1,2,1(A，则所求直线方程为

pznymx121，联立121,①,②320,③xyzmnpxyzmnp

由①，令pznymx121，则有,1,2,1pznymx代入方程②有12,11,mnmp

大一高数1-9的习题答案

大一高数是大学数学的基础课程之一，对于理工科学生来说是非常重要的一门课程。在学习过程中，习题是帮助我们巩固知识、提高能力的重要工具。下面我将为大家提供大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。

第一章：极限与连续

1. 求以下极限：

a) lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)

答案：2

b) lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)

答案：2

c) lim(x→0) sinx / x

答案：1

2. 判断以下函数在给定点是否连续：

a) f(x) = x^2 + 3x - 2, x = 2

答案：连续

b) f(x) = 1 / x, x = 0

答案：不连续

第二章：导数与微分

1. 求以下函数的导数：

a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1

答案：f'(x) = 6x - 2 b) f(x) = sinx + cosx

答案：f'(x) = cosx - sinx

c) f(x) = e^x + ln(x)

答案：f'(x) = e^x + 1 / x

2. 求以下函数的微分：

a) f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1

答案：df(x) = (6x^2 - 10x + 3)dx

b) f(x) = √x + ln(x)

答案：df(x) = (1 / (2√x) + 1 / x)dx

第三章：定积分

1. 求以下定积分：

a) ∫(0 to 1) x^2 dx

答案：1 / 3

b) ∫(1 to 2) 2x dx

答案：3

c) ∫(0 to π) sinx dx

答案：2

2. 求以下定积分：

a) ∫(0 to 1) (x^3 + 2x^2 + x) dx

答案：7 / 12

b) ∫(1 to 2) (2x^2 + 3x + 1) dx

答案：19 / 3 第四章：不定积分

大一高数微积分下册答案

59 第六章定积分

§6.1~6.2 定积分的概念、性质

一、填空题

1、设()fx在[,]ab上连续，n等分011[,]:nnabaxxxxb，并取小区

间左端点1ix，作乘积1()ibafxn，则11lim()ninibafxn()dbafxx.

2、根据定积分的几何意义，20dxx2，1211dxx2，

sindxx0.

3、设()fx在闭区间[,]ab上连续，则()d()dbbaafxxftt0.

二、单项选择题

1、定积分()dbafxx (C) .

(A) 与()fx无关 (B) 与区间[,]ab无关

2、下列不等式成立的是 (C) .

(A) 222311ddxxxx (B) 22211lnd(ln)dxxxx

3、设()fx在[,]ab上连续，且()d0bafxx，则 (C) .

(A) 在[,]ab的某小区间上()0fx (B) [,]ab上的一切x均使()0fx

4、积分中值公式()d()()bafxxfba中的是 (B) .

(A) [,]ab上的任一点 (B) [,]ab上必存在的某一点 60 (C) [,]ab上唯一的某一点 (D) [,]ab的中点

5、darctanddbaxxx (D) .

析：arctandbaxx是常数

高数第七版习题答案

高等数学第七版的习题答案涵盖了微积分、线性代数、常微分方程等多个数学领域，下面是一些常见习题的解答示例，以供参考：

# 第一章：极限与连续性

习题1：求函数 \( f(x) = x^2 - 1 \) 在 \( x = 1 \) 处的左极限和右极限。

解答：

左极限 \( \lim_{x \to 1^-} (x^2 - 1) = 0 \)

右极限 \( \lim_{x \to 1^+} (x^2 - 1) = 0 \)

由于左极限和右极限相等，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的极限存在，且等于0。

# 第二章：导数与微分

习题3：求函数 \( g(x) = \sin(x) + x^3 \) 的导数。

解答：

\( g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x) + x^3) = \cos(x) + 3x^2 \)

# 第三章：积分学

习题5：计算定积分 \( \int_{0}^{1} 2x \, dx \)。

解答：

\( \int_{0}^{1} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} = 1^2 - 0^2 = 1 \)

# 第四章：级数

习题7：判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。

解答：

该级数是交错级数，可以使用比较判别法。由于 \( \frac{1}{n^2} \)

随着 \( n \) 的增大而减小，且 \( \frac{1}{n^2} \leq

\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \)，而

\( \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}

\right) \) 是收敛的，因此原级数也收敛。

# 第五章：多元函数微分学

高数答案合肥工业大学中国电力出版社朱士信

《高等数学》练习册参考答案

第一章函数

练习11−

1．（1）；（2）．(,0)(0,)

22ππ

−U[1,0)(0,3]−U

2．3

(4)4(4)1,3,

(4)

6,3.xxx

xx⎧++++≥−

⎨

+<−

⎩

3．（1）；（2）；（3）．(2,3)23(,)ee1

(2,3)(0)

2aaa+−<<

4．．11

,,,

11x

xxx−

+−

5．1,0,

[()]0,0,

1,0;x

fgxx

x<⎧

⎪

⎨

⎪

−>

⎩1,1,

[()]1,1,

,1.ex

gfxx

ex−⎧<

⎪

⎨

⎪

⎩

6．（1）；（2）；（3）；2cosraθ=2cosraθ=−2sinraθ=

（4）；（5）．2sinraθ=−ra=

7．

，cos2raθ

=coscos2cos,

sincos2sin.xra

yraθθθ

θθθ⎧

⎨

⎩

练习12−

1．奇函数．

2．3．（1）；（2）；（3）非周期函数；（4）．11,1,

()0,0,

1,1.xx

fxx

xx−⎧

−>

⎪

⎨

⎪

−−−<−

⎩2π2π

．2

,0,

()

0,0.aax

x⎧−

≠⎪

⎨

⎪

⎩

6．

lg,100,

[()]

(lg),10,

10xxx

fgx

xx⎧

≥<≤

⎪

⎨

⎪

⎩或2lg,1,

[()]

lg,001.xx

gfx

xxx≥⎧

⎨

<<<<

⎩-1或

练习13−

1．（1）；（2）；2,sinyuux==25,21yuux==+

（3）

；（4）．,ln

,yuuvvx===31

arctan,,

yuuvv−

===

2．（1）是；（2）不是；（3）是；（4）不是．

第二章极限与连续

练习21−

1．（1）正确；（2）错；（3）正确．练习22−

4．．397X≥

练习23−

1．．0,0

2．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．01

3303

()

401

3．．1

1x−

练习24−

1．（1）；（2）．.C.D

2．（1）正确；（2）错；（3）错；（4）正确；（5）错；(6)正确；(7)错；（8）错．

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