2015年河南省洛阳市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
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2015年河南省洛阳市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个
选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U为实数集，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|y＝ln（1﹣
x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|1≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}
2．（5分）设i为虚数单位，复数 z
1＝3﹣ai，z
2＝1+2i
，若是纯虚数，则实数
a的值为（ ）
A
．﹣ B
． C．﹣6 D．6
3．（5分）过点P（2，3）的直线l与圆x2+y2＝25相交于A，B两点，当弦AB
最短时，直线l的方程式是（ ）
A．2x+3y﹣13＝0 B．2x﹣3y+5＝0 C．3x﹣2y＝0 D．3x+2y﹣12＝0
4．（5分）已知a∈R，若a+1，a+2，a+6依次构成等比数列，则此等比数列的公
比为（ ）
A．4 B．2 C．1 D
．﹣
5．（5分）设等边△ABC边长为6，若，，则等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣18 D．18
6．（5分）已知实数a，b满足a2+b2＝1，设函数f（x）＝x2﹣6x+5，则使f（a）
≥f（b）得概率为（ ）
A
．
+ B
．
+ C
． D
．
7．（5分）已知△ABC为锐角三角形，且A为最小角，则点P（sinA﹣cosB，3cosA
﹣1）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（5分）设f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，若f（x）在[﹣2，0]上单调递
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减，则使f（a2﹣a）＜0成立的实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣1，0）∪（1，2]
C．（0，1） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
9．（5分）设F
1，F
2分别是双曲线C
：
﹣＝1的左，右焦点，点P
（，
）在此双曲线上，且PF
1⊥PF
2，则双曲线C的离心率P等于（ ）
A
． B． C． D
．
10．（5分）若∀
x∈（0，），均有9x＜log
ax（a＞0，且a≠1），则实数a的取值
范围是（ ）
A．
[，1） B．（0
，] C．
（，3） D．（1
，）
11．（5分）边长为2的正三角形ABC中，D，E，M分别是AB，AC，BC的中
点，N为DE的中点，将△ADE沿DE折起至A′DE位置，使A′M
＝，
设MC的中点为Q，A′B的中点为P，则
①A′N⊥平面BCED
②NQ∥平面A′EC
③DE⊥平面A′MN
④平面PMN∥平面A′EC
以上结论正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
12．（5分）已知函数f（x
）＝，令g（n）＝f（0）+f
（）+f
（）+…+f
（）+f（1），则g（n）＝（ ）
A．0 B
． C
． D
．
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）执行如图的程序，则输出的结果等于 ．
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14．（5分）如图，某几何体的三视图均为腰长为1的等腰直角三角形，则此几
何体最长的棱长为 ．
15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a＝2c，
则sinC的最大值为 ．
16．（5分）已知数列{a
n}的通项公式为a
n＝n2+λn（n＝1，2，3，…），若数列{a
n}
是递增数列，则实数λ的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤，
17．（10分）已知F
1，F
2是椭圆
C
+＝1的左，右焦点，以线段F
1F
2为直
径的圆与圆C关于直线x+y﹣2＝0对称．
（l）求圆C的方程；
（2）过点P（m，0）作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标．
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18．（12分）已知数列{a
n}的前n项和公式为S
n
＝×3n+1
﹣．
（1）求数列{a
n}的通项公式；
（2）令b
n＝log
3，求数列 {|b
n|}的前n项和T
n（其中，n≥5）．
19．（12分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点D在BC边上，点E在AD上．
（l）若点D是CB的中点，∠CED＝30°，DE＝1，CE＝求△ACE的面积；
（2）若 AE＝2CD，∠CAE＝15°，∠CED＝45°，求∠DAB的余弦值．
20．（12分）三棱柱 ABC﹣A
1B
1C
1′中，∠ABC＝90°，AA
1＝AC＝BC＝2，A
1
在底面ABC内的射影为AC的中点D．
（1）求证：BA
1⊥AC
1；
（2）求三棱锥 B
1﹣A
1DB的体积．
21．（12分）已知过点 M
（，0）的直线 l与抛物线 y2＝2px（p＞0）交于A，
B两点，且 •＝﹣3，其中O为坐标原点．
（1）求p的值；
（2）若圆x2+y2﹣2x＝0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且
线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．
22．（12分）已知函数f（x）＝（k
+）lnx
+，其中常数 k＞0．
（1）讨论f（x）在（0，2）上的单调性；
（2）若k∈[4，+∞），曲线y＝f（x）上总存在相异两点M（x
1，y
1），N（x
2，y
2）
使得曲线y＝f（x）在M，N两点处切线互相平行，求x
1+x
2的取值范围．
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2015年河南省洛阳市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个
选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U为实数集，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|y＝ln（1﹣
x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|1≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}
【解答】解：A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}＝{x|1
﹣x＞0}＝{x|x＜1}，
则∁
UB＝{x|x≥1}，
由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁
UB），
∴A∩（∁
UB）＝{x|1≤x＜3}，
故选：A．
2．（5分）设i为虚数单位，复数 z
1＝3﹣ai，z
2＝1+2i
，若是纯虚数，则实数
a的值为（ ）
A
．﹣ B
． C．﹣6 D．6
【解答】解：∵z
1＝3﹣ai，z
2＝1+2i，
由
＝是纯虚数，得
，解得：a
＝．
故选：B．
3．（5分）过点P（2，3）的直线l与圆x2+y2＝25相交于A，B两点，当弦AB
最短时，直线l的方程式是（ ）
A．2x+3y﹣13＝0 B．2x﹣3y+5＝0 C．3x﹣2y＝0 D．3x+2y﹣12＝0
【解答】解：因为点P（2，3）到圆心（0，0）的距离等于，小于半径5，
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故此点在圆x2+y2＝25的内部，
故当弦AB和点P与圆心（0，0）的连线垂直时，弦AB最短．
弦AB的斜率为
＝﹣，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程为
y﹣3
＝﹣（x﹣2），即2x+3y﹣13＝0，
故选：A．
4．（5分）已知a∈R，若a+1，a+2，a+6依次构成等比数列，则此等比数列的公
比为（ ）
A．4 B．2 C．1 D
．﹣
【解答】解：∵a+1，a+2，a+6依次构成等比数列，
∴（a+2）2＝（a+1）（a+6），
解得a
＝﹣，
∴此等比数列的公比q
＝＝4．
故选：A．
5．（5分）设等边△ABC边长为6，若，，则等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣18 D．18
【解答】解：∵等边△ABC边长为6，若，， ∴
＝（），＝， ∴
＝
（22）
＝
（﹣
36×6
×）＝﹣18，
故选：C．
6．（5分）已知实数a，b满足a2+b2＝1，设函数f（x）＝x2﹣6x+5，则使f（a）
≥f（b）得概率为（ ）
A
．
+ B
．
+ C
． D
．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣6x+5，使f（a）≥f（b），则（a﹣b）（a+b﹣6）
