2015年河南省郑州市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

第1页（共21页） 2015年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（ ） A．∃x≤0，x3≤0 B．∀x＞0，x3≤0 C．∃x＞0，x3≤0 D．∀x＜0，x3≤0 2．（5分）已知集合M＝{x|x﹣2＜0}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（ ） A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0] 3．（5分）设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 4．（5分）已知点P（a，b）是抛物线x2＝20y上一点，焦点为F，|PF|＝25，则|ab|＝（ ） A．100 B．200 C．360 D．400 5．（5分）已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝10，且，则a2＝（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（5分）已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于（ ） A．1 B． C．2 D． 7．（5分）如图所示的程序框图中，若f（x）＝x2﹣x+1，g（x）＝x+4，且h（x）≥m恒成立，则m的最大值是（ ）

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A．0 B．1 C．3 D．4 8．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（ ） A．17 B．18 C．20 D．21 9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1）＝f（3）＝1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y＝f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（ ） A．（﹣1，0） B．（﹣1，3） C．（0，3） D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞） 10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（ ）

第3页（共21页） A．﹣1 B． C． D．2 11．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）＝（ ） A．0 B．2014 C．4028 D．4031 12．（5分）在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（ ） A． B．[2，4] C．[3，6] D．[4，6] 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 13．（5分）已知数列{an}是等比数列，若，则a10＝ ． 14．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 ． 15．（5分）已知，那么cos2α＝ ． 16．（5分）给定方程：（）x+sinx﹣1＝0，下列命题中： ①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解； ③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解； ④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．

第4页（共21页） 则正确命题是 ． 三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA＝a，BC边上中线AM的长为． （Ⅰ）求角A和角B的大小； （Ⅱ）求△ABC的面积． 18．（12分）在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球． （Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率； （Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？ 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD， ∠ADC＝90°，AD＝2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点． （Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ； （Ⅱ）已知PD＝DC＝AD＝2，求点P到平面BMQ的距离． 20．（12分）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合） （Ⅰ）求曲线E的方程；

第5页（共21页） （Ⅱ）当直线l与圆x2+y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由． 21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx． （1）当a＝1时，求函数f（x）的极值； （2）设定义在D上的函数y＝g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y＝h（x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y＝g（x）的“转点”．当a＝8时，问函数y＝f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由． 四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】 22．（10分）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F． （Ⅰ）求证：AB为圆的直径； （Ⅱ）若AC＝BD，AB＝5，求弦DE的长． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 【选修4-5：不等式选讲】 24．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．

第6页（共21页） （1）当m＝5时，求不等式f（x）＞2的解集； （2）若二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．

第7页（共21页） 2015年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（ ） A．∃x≤0，x3≤0 B．∀x＞0，x3≤0 C．∃x＞0，x3≤0 D．∀x＜0，x3≤0 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是∃x＞0，x3≤0． 故选：C． 2．（5分）已知集合M＝{x|x﹣2＜0}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（ ） A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0] 【解答】解：M＝{x|x＜2}； ∵M⊆N； ∴a≥2； ∴a的取值范围是[2，+∞）． 故选：A． 3．（5分）设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【解答】解：∵为纯虚数， ∴m+3＝0，即m＝﹣3． 故选：A． 4．（5分）已知点P（a，b）是抛物线x2＝20y上一点，焦点为F，|PF|＝25，则|ab|＝（ ） A．100 B．200 C．360 D．400 【解答】解：根据抛物线是定义，准线方程为：y＝﹣5， |PF|＝b+5＝25， ∴b＝20，

第8页（共21页） 又点P（a，b）是抛物线x2＝20y上一点， ∴a2＝20×20， ∴a＝±20， ∴|ab|＝400， 故选：D． 5．（5分）已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝10，且，则a2＝（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵数列{an}是等差数列， ∴S1＝a1，S5＝5a3， 又∵， ∴a1a3＝5 又∵a1a2a3＝10 ∴a2＝2 故选：A． 6．（5分）已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于（ ） A．1 B． C．2 D． 【解答】解：长方体的底面是边长为1的正方形，高为， 其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形， 说明侧视图是底面对角线为边，长方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图： 那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以侧视图的面积为：2． 故选：C．

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7．（5分）如图所示的程序框图中，若f（x）＝x2﹣x+1，g（x）＝x+4，且h（x）≥m恒成立，则m的最大值是（ ） A．0 B．1 C．3 D．4 【解答】解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是： 计算并输出分段函数：h（x）＝的值， 在同一坐标系，画出f（x）＝x2﹣x+1，g（x）＝x+4的图象如下图所示： 由图可知：当x＝﹣1时，h（x）取最小值3， 又∵h（x）≥m恒成立，

第10页（共21页） ∴m的最大值是3， 故选：C． 8．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（ ） A．17 B．18 C．20 D．21 【解答】解：设z＝x2+y2，则z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象可知， 则OC的距离最大， 由，解得，即C（3，3）， 则z＝x2+y2＝9+9＝18， 故选：B． 9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1）＝f（3）＝1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y＝f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（ ） A．（﹣1，0） B．（﹣1，3） C．（0，3） D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）

第11页（共21页） 【解答】解：由函数的图象可知，当x＞0时，函数f′（x）＞0，函数单调递增， 当x＜0时，函数f′（x）＜0，函数单调递减，且当x＝0时，函数取得极小值f（0）， ∵f（﹣1）＝f（3）＝1， ∴当0≤x＜3时，f（x）＜1，当﹣1＜x＜0时，f（x）＜1， 综上不等式f（x）＜1的解为当﹣1＜x＜3时， 即不等式的解集为（﹣1，3）， 故选：B． 10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（ ） A．﹣1 B． C． D．2 【解答】解：∵函数f（x）＝sin（πx+φ）的周期T＝＝2， 则BC＝＝1，则C点是一个对称中心， 则根据向量的平行四边形法则可知：＝2，＝ ∴＝2•＝2||2＝2×12＝2． 故选：D． 11．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）＝（ ） A．0 B．2014 C．4028 D．4031