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人教版九年级上册数学《圆周角》导学案及同步练习(含答案)

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课题：24.1.4 圆周角

【学习目标】了解圆周角的概念，熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用

【学习重、难点】圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题

【预习案】

一、自主探究

1．什么叫圆心角？

2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？

二、自学指导

自学课本Ｐ84---P86页思考下列问题：

1、圆周角定义？

2、问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，•设球员们只能在»EF所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．

1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？

2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？

3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？

3、圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

进一步，我们还可以得到下面的推导：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

4、圆内接多边形

三、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1．圆周角的概念；

2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；

3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．

【课后反思】

24.1.4圆周角

◆随堂检测

1、如图，点ABC，，都在Oe上，若34Co∠，则AOB∠的度数为（ ）

A、34o B、56o C、60o D、68o

2、如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°,则∠DCF等于（ ）

A、80° B、50° C、40° D、20°

3、如图，AB是Oe的直径，点CD，是圆上两点，100AOCo，则D_______.

4、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

O C

B

A

OCFGDEA O

B D

C

◆典例分析

A，B是圆O上的两点，60AOBo，C是圆O上不与A、B重合的任一点，求ACB的度数是多少？

分析：由于AOB的度数一定，所以我们常常会认为点C在圆O上任意一点时，ACB的度数都是相等的.其实,这是没有看透题目的本质，所以导致解题过程出现漏洞.本题中,60AOBo，所以对应的劣弧的度数为60o，对应的优弧的度数应为300o.所以应有两解才对.

解：分两种情况:

（1）当C点在劣弧AB上时，如图所示，A，B是圆O上两点，60AOBo，所以弧AB的度数为60o，优弧AOB的度数为300o，又因为ACB的度数是优弧AOB的度数的一半，所以150ACBo.

（2）当点C在优弧ADB上时，ACB=21AOB=30o.

综上所述ACB为30o或150o.

◆课下作业

●拓展提高

1、如图，Oe是ABC△的外接圆，已知50ABOo，则ACB的大小为（ ）

A、40o B、30o C、45o D、50o

2、如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD⌒上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）

A、45° B、60° C、75° D、90°

3、如图，ABC△内接于OADe，是Oe的直径，30ABCo，则CAD______.

OCDABA

B

C O

PODCBA

A D

B O C

4、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，求圆心O到弦AD的距离．

5、如图,∆ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AD=6,求BC的长.

●体验中考

1、(宁夏)如图，AB为O⊙的直径，ABACBC，交O⊙于点D，AC交O⊙于点45EBAC，°．（1）求EBC的度数；（2）求证：BDCD．

2、（荆门市）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．

（1）求证：A、E、C、F四点共圆；

（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND．

A D

F

C M

E B N O D

C B

A B A

C O D 参考答案

◆随堂检测

1、D．

2、D.

3、40°．

4、解：BD=CD.理由如下:

连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．

又∵AC=AB，∴△ABC是等腰三角形，∴BD=CD.

◆课下作业

●拓展提高

1、A．

2、A．

3、60°．

4、解：由已知条件易证Rt△AOB≌Rt△ODC，可得OB=CD=4cm,

∴在Rt△AOB中,AO=222425,

∴在Rt△AOD中,AD边上的高为10cm.

∴圆心O到弦AD的距离为10cm.

5、解：∵∠BAC=120,AB=AC，∴BCA=30，又∵BD为直径，∴∠BAD=90，∴∠DAC=30，∵∠BDA=∠BCA=30，∴∠BDA=∠DAC，∴BD//AC，∴ABDC是等腰梯形，∴BC=AD=6.

●体验中考

1、（1）解：ABQ是O⊙的直径，∴90AEB°．

又45BACQ°，∴45ABE°．

又ABACQ，∴67.5ABCC°．∴22.5EBC°．

（2）证明：连结AD．

ABQ是O⊙的直径，∴90ADB°．∴ADBC．

又ABACQ，∴BDCD．

2、（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°．

∴∠AEC＋∠AFC＝180°．∴A、E、C、F四点共圆.

（2）解：由（1）可知，圆的直径是AC，设AC、BD相交于点O，

∵ABCD是平行四边形，∴O为圆心．

∴OM＝ON．∴BM＝DN．

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人教版九年级数学上册24.1.4圆周角同步测试及答案【精选】

人教版九年级数学上册24.1.4圆周角同步测试及答案【精选】

圆周角

1．如图21－1－41，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于( D

)

图21－1－41

A．50° B．80° C．90° D．100°

2．如图21－1－42，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝100 °，则∠A的度数为( B )

图21－1－42

A．40° B．50° C．80° D．100°

3．如图24－1－43，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝100°，则∠DCE的度数为( C )

A．40° B．60° C．50° D．80°

【解析】 根据圆周角定理，可求得∠A的度数；由于四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，可得∠DCE＝∠A＝50°.

图24－1－43

4．如图21－4－44，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为( D )

图21－4－44

A．135° B. 122.5° C. 115.5° D．112.5°

【解析】 ∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBC＝22.5°，

∴∠AOB＝180°－22.5°－22.5°＝135°.

∴∠C＝12(360°－135°)＝112.5°.

5．[2013·苏州]如图21－4－45，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( C ) 图21－4－45 第5题答图

A．55° B．60° C．65° D．70°

【解析】 连接BD，如图，

∵点D是弧AC的中点，即弧CD＝弧AD，

∴∠ABD＝∠CBD，

而∠ABC＝50°，

∴∠ABD＝12×50°＝25°，

∵AB是半圆的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB＝90°－25°＝65°.

6．[2012·湘潭]如图24－1－46，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝( D )

图24－1－46

人教版九年级数学上教案第24章第04课时 圆周角 含课堂练习+每课一测有答案

人教版九年级数学上教案第24章第04课时 圆周角 含课堂练习+每课一测有答案

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第4课时 圆周角

【教学目标】

1．了解圆周角的概念；

2．理解圆周角定理及其推论，并会初步运用这些知识进行有关的计算和证明.

【要点梳理】

1． 叫做圆周角．

2． 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于 ．

3． 半径（或多或少直径）所对的圆周角是 ，90的圆周角所对的弦是 ．

4． AB是O的直径，点C是O上任意一点（除A、B外），那么ACB是 角．

5． 已知AB是O的半圆弧，点C是O上任意一点（除A、B外），那么ACB是 角．

6． 在O中，弦AB所对的圆周角90ACB，那么AB与O的直径间有怎样的数量关系？

7． 半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90的圆周角所对的弦是 ．

8． 圆内接四边形的对角 ．

【问题探究】

例1．（圆周角）如图，关于圆周角的个数的说法正确的是（ ）

A．有3个 B．有两个 C．有3个 D．有0个

【练习1】如图，A、B、C三点在O上，∠AOC＝100°，则图中所有圆周角的读数之和等于 。

OCBA ODCBA 练习1图 例2图

例2．（圆周角定理）如图，BD为O的直径，∠A＝30°，则CBD的读数为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．80°

例3．（圆周角定理）如图，弦AB把圆周分成1:5的两部分，那么劣弧AB所对的圆周角的度数为 ．

PABO ABCDO ABCDO 例3图 练习2图 练习3图

【推荐】人教版九年级数学上册专题九圆周角定理的综合运用同步测试及答案

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圆周角定理的综合运用

一 巧作辅助线求角度

(教材P89习题24.1第7题)

求证：圆内接平行四边形是矩形．

已知：如图1，已知平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形．

求证：平行四边形ABCD是矩形．

图1

证明：∠A＋∠C＝180 °(圆内接四边形对角互补)

又∠A＝∠C(平行四边形对角相等)

∴∠A＝∠C＝90 °

所以圆内接平行四边形是矩形．

如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( A )

A．40° B．45° C．50° D．60°

图2

变形1答图

【解析】 如图，连接OB，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°.∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠OBC＝180°－∠BOC2＝40°.

如图3，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝__60°__．

图3

变形2答图

【解析】 如图，连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC.∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠B＝2∠ADC.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝120°.∵∠1＝∠OAD＋∠ADO，∠2＝∠OCD＋∠CDO，∴∠OAD＋∠OCD＝(∠1＋∠2)－(∠ADO＋∠CDO)＝∠AOC－∠ADC＝120°－60°＝60°. [2012·青岛]如图4，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是__150°__．

【解析】 在优弧ADC︵上取点D，连接AD，CD，

∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝12∠AOC＝30 °.

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝180°－30°＝150°.故答案为150°.

图4

图5

如图5，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为( A )

人教版九年级数学上册同步练习 24.1.4 圆周角(包含答案)

人教版九年级数学上册同步练习 24.1.4 圆周角(包含答案)

人教版九年级数学上册同步练习 24.1.4 圆周角（包含答案）

1 / 15 九年级上册同步练习

24.1.4 圆周角

一．选择题（共12小题）

1．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ABO=25°，∠ACO=30°，则∠BOC的度数为（ ）

A．100° B．110° C．125° D．130°

2．如图，一块三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是46°，则∠ACD的度数为（ ）

A．46° B．23° C．44° D．67°

3．如图，AB是圆O的弦，AB=20，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是（ ）

A．10 B．5 C．10 D．20

4．如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=36°，则∠C的度数为（ ） 人教版九年级数学上册同步练习 24.1.4 圆周角（包含答案）

2 / 15 A．44° B．54° C．62° D．72°

5．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠BAC=30°，弧BC等于弧CD，则∠DAC的度数是（ ）

A．30° B．35° C．45° D．70°

6．如图，⊙O中，若∠BOD=140°，∠CDA=30°，则∠AEC的度数是（ ）

A．80° B．100° C．110° D．125°

7．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（ ）

A． B． C． D．

8．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC=130°，则∠D的度数是（ ）

A．20° B．25° C．40° D．50° 人教版九年级数学上册同步练习 24.1.4 圆周角（包含答案）

3 / 15 9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2，则AE2+BE2的值为（ ）