人教版九年级数学上册《圆周角》题组训练(含答案解析)
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提技能·题组训练
圆周角定理及其推论
1.( 滨州中考 ) 如图 , 在☉ O中, 圆心角∠ BOC=78°, 则圆周角∠ BAC的大小为 ( )
A.156° B.78 ° C.39° 【解 析】选
C.∠BOC是 所对的圆心角
D.12°
, ∠ BAC是 所对的圆周角 , ∴∠ BAC=∠ BOC=39°.
2.( 海南中考 ) 如图 , 在☉ O中 , 弦 BC=1,点 A 是圆上一点 , 且∠ BAC=30°, 则☉ O的半径是 ( )
A.1
B.2
C.
D.
【解析】 选
A. 方法一 : 连接
OB,OC.
∵∠ BAC=30°, ∴∠ BOC=2∠ BAC=60° ,
∵OB=OC,∴△ OBC是等边三角形 ,
∴OB=OC=BC =1.
方法二 : 作直径 CD,连接 BD.
则∠ CBD=90°, ∵∠ BDC=∠ BAC
=30°, ∴CD=2BC=2,
∴OC=CD=1.
3.( 长春中考 ) 如图 , △ABC内接于☉ O,∠ABC=71° , ∠ CAB=53° , 点 D 在 上 , 则∠ ADB的大小
为( )
A.45° B.53 ° C.56 ° D.71 °
【解析】 选 C.在△ ABC中, ∵∠ ABC=71° , ∠ CAB=53°,
∴∠ C=180°-71 °-53 °=56° , ∴∠ ADB=∠C=56°.
4.( 佛山中考 ) 图中圆心角∠ AOB=30° , 弦 CA∥ OB,延长
CO与圆交于点
D,则∠ BOD=
.
【解析】 因为圆心角∠ AOB=30°, 弦 CA∥OB,所以∠ AOB=∠CAO=30°,
又 OA=OC,所以∠ CAO=∠ ACO=30° , 所以∠ AOD=∠ CAO+∠ ACO=60° =∠ AOB+∠ BOD,所以∠
BOD=30°.
答案 : 30°
5.( 贵阳中考 ) 如图 ,AD,AC 分别为☉ O的直径和弦 , ∠CAD=30°,B 是 AC上一点 ,BO⊥AD,垂足为
O,BO=5cm,则 CD等于 cm.
【解析】 在
Rt△AOB中 , ∠
A=30° ,BO=5cm,∴AO=5
cm,
∵AD是直径 ,
∴AD=10
cm,∠C=90°, 在 Rt△ ADC中,
∠A=30°,AD=10
cm,∴CD=5
cm.
答案: 5
6. 如图 , 正方形
ABCD的顶点都在☉
O上 ,P
是弧
DC上的一点 , 则∠ BPC=
.
【解析】 连接 BD,则 BD是直径 ,
∴△ BCD是等腰直角三角形 ,
∴∠ BDC=45°, ∴∠ BPC=∠ BDC=45°.
答案 : 45°
【知识归纳】 圆周角与直径
1. 当题目中出现了直径时 , 常作辅助线 , 利用直径所对的圆周角是直角解决问题 .
2. 当出现 90°的圆周角时 , 常连接该圆周角所对的弦 , 则该弦为直径 .
7. 如图 , 在☉ O中, 直径 AB与弦 CD相交于点 P, ∠CAB=40°, ∠APD=65° .
(1) 求∠B 的大小 .
(2) 已知 AD=6,求圆心 O到 BD的距离 .
【解析】 (1) ∵∠ APD=∠C+∠CAB,
∴∠ C=65°-40 °=25° .
∴∠ B=∠C=25° .
(2) 过点 O作 OE⊥ BD于 E, 则 DE=BE.
又∵ AO=BO,
∴OE= AD= ×6=3.
∴圆心 O到 BD的距离为 3.
圆内接四边形
1. 如图 , 四边形 ABCD内接于☉ O,如果∠ BOD=130°, 则∠ BCD的度数是 ( )
A.115° B.130° C.65 ° D.50°
【解析】 选 A. ∵∠ BOD=130°, ∴∠ A= ∠BOD=65°, ∵∠
BCD+∠A=180°, ∴∠ BCD=115°.
2.( 莱芜中考 ) 如图 , 在☉ O中 , 已知∠ OAB=22.5°, 则 ∠C 的度数为 ( )
A. 135 ° B.122.5 °C.115.5° D.112.5 °
【解析】 选 D.如图, 作 所对的圆周角 .
∵ OA=OB,∴∠ OBA=∠ OAB=22.5° . ∴∠ AOB=180 ° - ∠ OAB-∠ OBA =180° -22.5 ° -22.5 °
=135° .
∴∠ D= ∠ AOB=×135°=67.5 °.
∵四边形 ACBD是圆内接四边形 ,
∴∠ C+∠D=180° .
∴∠ C=112.5 °.
【方 法技巧】1. 在圆中 , 求角的度数时 , 常利用圆周角定理和圆内接四边形的对角互补来完成 .
2. 有时需要自己作出与已知角互补的圆周角 , 才能运用圆内接四边形的性质 .
3. 四边形 ABCD内接于☉ O,AD∥BC,∠ B=75° , 则∠ C= .
【解析】 ∵AD∥ BC,∴∠ A+∠B=180° ,
∴∠ A=180°-75 °=105°,
又∵∠ A+∠C=180° , ∴∠ C=75°.
答案 : 75°
【变式训 练】已知 , 四边形 ABCD内接于☉ O, 且∠ A∶∠ C=1∶2, 则∠ BOD= ° .
【解析】 ∵四边形 ABCD内接于☉ O,
∴∠ A+∠C=180°.
又∠ A∶∠ C=1∶ 2, 得∠ A=60° .
∴∠ BOD=2∠A=120°.
答案 : 120
4. 如图 , △ ABC内接于☉ O,AD为△ ABC的外角平分线 , 交☉ O 于点 D, 连接 BD,CD,判断△
DBC的形状 , 并说明理由 .
【解析】 △DBC为等腰三角形 . 理由如下 :
∵四边形 ABCD为☉ O的内接四边形 ,
∴∠ DCB+∠DAB=180°,
又∠ EAD+∠DAB=180°,
∴∠ EAD=∠DCB.
又∠ DAC=∠DBC,∠EAD=∠DAC,
∴∠ DBC=∠DCB,
∴DB=DC,即△ DBC为等腰三角形 .
【错在哪？】 作业错例 课堂实拍
A,B 为☉ O上的两点 , ∠ AOB=100° , 若点 C 也在☉ O上, 且点 C不与 A,B 重合 , 求∠ACB的度数 .
(1) 错因 :____________________________________.
(2) 纠错 :____________________________________________________________
_________________________________.
答案： (1) 点 C也可能在劣弧 AB 上，需要分情况讨论
(2) 当 C在优弧 AB 上时，∠ ACB=1 ∠AOB=50°，当 C 在劣弧 AB 上时，∠ ACB=
2
180°-50 °=130°
