2021-2022学年北京市西城区初二数学第一学期期末试卷及解析
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2021-2022学年北京市西城区初二数学第一学期期末试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1–8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）下列图案中，可以看成轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．（2分）下列运算中，结果正确的是( )
A．235()aa B．22(3)6aa C．623aaa D．235aaa
3．（2分）在ABC中，作出AC边上的高，正确的是( )
A． B．
C． D．
4．（2分）如图是一个平分角的仪器，其中ABAD，BCDC．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定ABC和ADC是全等三角形的依据是( )
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
5．（2分）下列分式中，从左到右变形错误的是( )
A．144cc B．111abab
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C．11abba
D．2242442aaaaa
6．（2分）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是( )
A．10 B．8 C．7 D．4
7．（2分）某校八年级一班班主任王老师打算到某文具店购买一些笔记本作为竞赛用的奖品．目前该文具店正在搞优惠酬宾活动：购买同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元．已知王老师花费24元比花费20元多买了2本笔记本，求他花费24元买了多少本笔记本．设他花费24元买了x本笔记本，根据题意可列方程( )
A．242012xx B．242012xx C．202412xx D．202412xx
8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点(0,2)A，(,0)Ba，(Cm，)(0)nn．若ABC是等腰直角三角形，且ABBC，当01a时，点C的横坐标m的取值范围是( )
A．02m B．23m C．3m D．3m
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）计算：（1）12 ；（2）0(1) ．
10．（2分）若分式12x有意义，则x的取值范围为 ．
11．（2分）若一个多边形的内角和是540，则这个多边形是 边形．
12．（2分）计算：22(35)abab ．
13．（2分）若29aka是一个完全平方式，则常数k ．
14．（2分）如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2)．设图2中的大正方形面积为1S，小正方形面积为2S，则12SS的结果是 （用含a，b的式子表示）．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点(2,0)A，(4,2)B，若点P在x轴下方，且以O，A，P为顶点的三角形与OAB全等，则满足条件的P点的坐标是 ．
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16．（2分）如图，RtABC中，90ACB，30B，2AC．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，则线段BF长的最大值是
．
三、解答题（本题共68分）
17．（8分）分解因式：
（1）22363aabb；
（2）22(2)(2)xmym．
18．（10分）（1）计算：(8)()xyxy；
（2）先化简，再求值：2234(1)121aaaaa，其中3a．
19．（8分）解方程：212111xxx．
20．（8分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，//AEDF，AEDF，ABCD．
（1）求证：AECDFB．
（2）若40oA，145ECD，求F的度数．
21．（6分）如图，812的长方形网格中，网格线的交点叫做格点，点A，B，C都是格点．请按要求
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解答下列问题：
平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(3,1)，(1,4)，
（1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；
②点C的坐标是
，点C关于x轴的对称点1C的坐标是 ．
（2）设l是过点C且平行于y轴的直线，
①点A关于直线l的对称点1A的坐标是 ；
②在直线l上找一点P，使PAPB最小，在图中标出此时点P的位置；
③若(,)Qmn为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点1Q的坐标（用含m，n的式子表示）．
22．（8分）已知：如图1，线段a，()bab．
（1）求作：等腰ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a．
作法：①作线段ABb．
②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．
③在MN上取一点C，使DCa．
④连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形．
用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；
（2）求作：等腰PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．
作法：①作直线l，在直线l上取一点G．
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②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG
．
④以P为圆心，以 的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．
⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．
请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．
23．（10分）（1）如果2(3)(2)xxxmxn，那么m的值是 ，n的值是 ；
（2）如果21()()22xaxbxx，
①求(2)(2)ab的值；
②求22111ab的值．
24．（10分）在ABC中，120BAC，ABAC，AD为ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作60CEM，射线EM与射线BA交于点F．
（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：2ABAF；
（2）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，
①依题意，补全图形；
②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．
（3）当点E在线段AD的延长线上，且EDAD时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．
四、选做题（满分0分）
25．观察下列等式：
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①1111212；
②111123434；
③111135656；
④111147878；
根据上述规律回答下列问题：
（1）第⑤个等式是 ；
（2）第n个等式是 （用含n的式子表示，n为正整数）．
26．对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为0S，定义00SSS为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的ABC沿直线l折叠，重合部分的图形为△CDE，将△CDE的面积记为0S，则称00SSS为ABC关于直线l的对称度．
在平面直角坐标系xOy中，点(0,3)A，(3,0)B，(3,0)C．
（1）过点(,0)Mm作垂直于x轴的直线1l，
①当1m时，ABC关于直线1l的对称度的值是 ；
②若ABC关于直线1l的对称度为1，则m的值是 ．
（2）过点(0,)Nn作垂直于y轴的直线2l，求ABC关于直线2l的对称度的最大值．
（3）点(4,0)P满足5AP，点Q的坐标为(,0)t，若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1–8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．【解答】解：选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
2．【解答】解：A．236()aa，故此选项不合题意；
B．22(3)9aa，故此选项不合题意；
C．624aaa，故此选项不合题意；
D．235aaa，故此选项符合题意；
故选：D．
3．【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，
纵观各图形，D选项符合高线的定义，
故选：D．
4．【解答】解：在ADC和ABC中，
ADABDCBCACAC，
()ADCABCSSS，
DACBAC，
AC就是DAB的平分线．
故选：A．
5．【解答】解：1.44cAc，故此选项不合题意；
11.baabBabababab，故此选项符合题意；
11.Cabba，故此选项不合题意；
2224(2)(2)2.44(2)2aaaaDaaaa，故此选项不合题意；
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故选：B．
6．【解答】解：根据三角形的三边关系，得
m的长大于0而小于8．
故选：C．
7．【解答】解：设他花费24元买了x本笔记本，
根据题意可列方程为202412xx，
故选：C．
8．【解答】解：如图，过点C作CDx轴于D，
点(0,2)A，
2AO，
ABC是等腰直角三角形，且ABBC，
90ABCAOBBDC，
90ABOCBDABOBAO，
BAOCBD，
在AOB和BDC中，
AOBBDCBAOCBDABBC，
()AOBBDCAAS，
2AOBD，BOCDna，
01a，
2ODOBBDam，
23m，
故选：B．
