初等数论课后习题答案

初等数论练习题一

一、填空题

1、 d(2420)=12; 0(2420)=_880_

2、 设比n是大于1的整数，若是质数，则a=_2.

3、 模9的绝对最小完全剩余系是_卜4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4}.

4、 同余方程 9x+12=0(mod 37)的解是 x三 11 (mod 37)。

5、 不定方程 18x-23y=100 的通解是 x=900+23t, y=700+18t t Z。.

6、 分母是正整数m的既约真分数的个数为—(山)_。

7、 18100被172除的余数是_殛。

9、若p是素数，则同余方程L 1 l(modp)的解数为p-1 。

二、计算题

1、解同余方程：3 疋 11X 20 0 (mod lO5)o

解：因105 = 3 5 7,

同余方程3x2 11X 20 0 (mod 3)的解为x 1 (mod 3),

同余方程3x2 11X 38 0 (mod 5)的解为x 0, 3 (mod 5),

同余方程3x2 11X 20 0 (mod 7啲解为x 2, 6 (mod 7),

故原同余方程有4解。

作同余方程组：x (mod 3), x b2 (mod 5), x b3 (mod 7),

其中 ®=1, b2 = 0, 3, b3 = 2, 6,

由子定理得原同余方程的解为x 13, 55, 58, 100 (mod 105)o 2. 判断同余方程/三42(mod 107)是否有解?

*3x7 2 3 7

)=(二)(一)(―-)

107 107 107 107

2 3 I。， 2

v( —) = -1, ( — ) = (-1) 2 2 (ArL) = -<±) = L 107 107 3 3

.-.(—) = 1 107

故同余方程x2三42(mod 107)有解。

3、求(12715C+34) 23除以ill的最小非负余数。

解：易知 1271 = 50 (mod 111)0

附录1 习题参考答案

第一章 习 题 一

1. (ⅰ) 由ab知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及 b = (a)q，即ab，ab及ab。反之，由 ab，ab及 ab也可得ab； (ⅱ) 由ab，bc知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即ac； (ⅲ) 由bai知ai = bqi，于是a1x1 a2x2 akxk = b(q1x1

q2x2 qkxk)，即ba1x1 a2x2 akxk；(ⅳ) 由ba知a =

bq，于是ac = bcq，即bcac； (ⅴ) 由ba知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。

2. 由恒等式mq np = (mn pq) (m p)(n q)及条件m pmn

pq可知m pmq np。

3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s

10，其中必有一个能被11整除。

4. 设不然，n1 = n2n3，n2 p，n3 p，于是n = pn2n3 p3，即p 3n，矛盾。

5. 存在无穷多个正整数k，使得2k 1是合数，对于这样的k，(k 1)2不能表示为a2 p的形式，事实上，若(k 1)2 = a2 p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。

第一章 习 题 二

1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。

2. 写a = 3q1 r1，b = 3q2 r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2 b2 =

未知驱动探索，专注成就专业

1

初等数论闵嗣鹤第四版答案

介绍

《初等数论闵嗣鹤第四版答案》是对闵嗣鹤所著《初等数论》第四版的习题答案进行了整理和解析。《初等数论》是普通高校数学系本科生的一门基础课程，有助于培养学生的数学思维和推理能力。通过学习该答案，学生可以更好地理解和掌握《初等数论》中的知识点，并提高解题能力。

目录

1. 第一章 素数

2. 第二章 同余

3. 第三章 数论函数

4. 第四章 域上的多项式

5. 第五章 幂的剩余与解方程

6. 第六章 整数的几何性质 未知驱动探索，专注成就专业

2

第一章 素数

1.1 什么是素数？

简要解答：素数指的是只能被1和自身整除的正整数。

详细解答：一个大于1的正整数如果只能被1和它本身整除，则称之为素数，也叫质数。反之，如果大于1的正整数可以被其他正整数整除，则称之为合数。最小的素数是2。

1.2 素数的性质

简要解答：素数有无限多个，并且一个数是否是素数可以通过试除法判断。

详细解答：欧几里得证明了素数有无限多个的结论。对于给定的一个正整数n，如果在2到√n之间找不到小于n的因数，那么n就是素数。这就是试除法。试除法是素数判断的基础，但它的效率不高，因为需要逐个试除所有小于n的数。

1.3 素数的应用

简要解答：素数在密码学和随机数生成中经常被使用。

详细解答：由于素数具有唯一分解性质，使得许多密码学算法中的关键操作依赖于素数。比如RSA算法中，公钥和私未知驱动探索，专注成就专业

3

钥的生成需要使用两个大素数。此外，素数还在随机数生成和随机性检验中发挥重要作用。

第二章 同余

2.1 什么是同余？

简要解答：同余是数论中的一种等价关系。

详细解答：a和b对模m同余，记作a≡b(mod m)，当且仅当a和b的差是m的倍数。同余关系具有三个基本性质：反身性、对称性和传递性。同余关系的性质使得其在数论中有广泛的应用。

2.2 同余定理

简要解答：同余定理是一类用来计算同余的定理，包括欧拉定理、费马小定理等。

第一章 §1

1 证明：naaa,,21都是m的倍数。

存在n个整数nppp,,21使

nnnmpampampa,,,222111

又nqqq,,,21是任意n个整数

mpqpqqpaqaqaqnnnn)(22112211

即nnaqaqaq2211是m的整数

2 证： )12)(1()12)(1(nnnnnnn

)1()1()2)(1(nnnnnn

)1()1/(6),2)(1(/6nnnnnn

)1()1()2)(1(/6nnnnnn

从而可知 )12)(1(/6nnn

3 证： ba,不全为0

在整数集合ZyxbyaxS,|中存在正整数，因而

有形如byax的最小整数00byax

Zyx,，由带余除法有00000,)(byaxrrqbyaxbyax

则Sbqyyaqxxr)()(00，由00byax是S中的最小整数知0r

byaxbyax/00 下证8P第二题

byaxbyax/00 （yx,为任意整数） bbyaxabyax/,/0000

).,/(00babyax 又有bbaaba/),(,/),(

00/),(byaxba 故),(00babyax

4 证：作序列,23,,2,0,2,,23,bbbbbb则a必在此序列的某两项之间 即存在一个整数q，使bqabq212成立

)(i当q为偶数时，若.0b则令bqabsatqs2,2，则有

22220btbqbqabqatbsa

若0b 则令bqabsatqs2,2，则同样有2bt

)(ii当q为奇数时，若0b则令bqabsatqs21,21，则有