2018年秋九年级数学上册第4章锐角三角函数测试题(新版)湘教版

3.计算sin30°·tan45°的结果是A. B. C. D.4.如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是么需要准备的水管的长为5.如图，AC是电杆的一根拉线，测得AC的长为( )6.在△ABC中，∠C=90°，A. B. C. D.7.如图，某水库堤坝横断面迎水坡长度是50 m，则堤坝高A.30 mB.40 mC.50 mD.60 m8.如图，在塔AB从C点向塔底B走的高为(D)A.50米B.100二、填空题(本大题共9.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果10.如图，△ABC12.在△ABC13.长为4 m如图所示14.如图，在高度是30°，底部米(结果可保留根号三、解答题(共15.(12分)计算下列各题：(1)tan45°(2)6sin230°+sin45°tan30°.16.(10分)如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC＝4，BC＝3，求cos∠BCD.17.(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanB=，点D在BC上，且BD=AD.求AC的长和cos∠ADC的值.1 218.(12分)如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40 cm，灯罩BC长为30 cm，底座厚度为2 cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？(结果精确到0.1 cm，参考数据：≈1.732)319.(12分)我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌AB，放置在教学楼的顶部(如图所示).小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高BM=17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB 的高度(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75).3参考答案1.A2.D3.A4.D5.D6.C7.A8.D9. 10. 11. 11.9 12. 13.2(-) 14.（7+21） 4555532315.(1)原式＝1-×＝1-＝.32323414 (2)原式＝+×＝.642233561216.在Rt △ABC 中，AB ＝＝5.222243AC BC +=+∵∠B+∠A ＝90°，∠B+∠BCD ＝90°，∴∠BCD ＝∠A ，∴cos ∠BCD ＝cos ∠A ＝ACAB ＝.4517.∵在Rt △ABC 中，BC=8，tanB=，∴AC=4.12设AD=x ，则BD=x ，CD=8-x ，由勾股定理，得 (8-x)2+42=x2.解得x=5.。

第4章 锐角三角函数检测题（时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.计算：A. B.232+ C.23 D.231+2.在△中，∠＝90°，如果，，那么sin 的值是( ).A.21 B.55C.33 D.233. （2015·兰州中考·4分）如图，△ABC 中，∠B＝90°，BC ＝2AB ，则cos A=（ ）A. B. C. D.4.下列说法中，正确的是（ ） A.B.若为锐角，则C.对于锐角，必有sin cos ββ<D.5.(2015·山西中考)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( ) A.2 B.C. D.6.已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A.43 B.45C.54D.347.如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( ) A.B.25mC.45mD.310m8.如图，在菱形ABCD 中，，3cos 5A =，BE=2，则tan ∠DBE 的值是( ) A ．12 B ．2 C ．52 D ．559.在△中，，，，则等于( )A.B.1C.2D.310.如图，已知：45°＜A ＜90°，则下列各式成立的是( ) A.sin A=cos AB. sin A ﹥cos AC. sin A ﹥tan AD.sin A ﹤cos A二、填空题（每小题3分，共24分）11.在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =，4BC =，则tan A =______. 12. （2015·广州中考）如图，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE，第10题图若BE=9，BC=12，则cos C=___________.13.如图，小兰想测量南塔的高度，她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为_________ m.（小兰身高忽略不计，732.13≈）14.等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ ．15.大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度，则两个坡角的和为．16.如图，△ABC 的顶点都在网格纸的格点上，则_ ．17.如图，在四边形中，，，，，则__________.18. 如图，在△中，已知，，，则________．三、解答题（共46分）19.（8分）计算下列各题：(1) ()42460sin45cos22+-；（2）2330tan3)2(0-+--.20.（6分）（2015•湖北襄阳中考）如图，AD是△ABC的中线，tan B=,cos C=,AC=.求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值.第20题图21.（6分）已知：如图，在山脚的处测得山顶的仰角为，沿着坡角为的斜坡前进m到达处（即∠， m），测得的仰角为，求山的高度．22.（6分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5 m，请你计算出该建筑物的高度．（3≈1.732，结果精确到1 m）23.（6分）如图，在梯形中，∥，，．（1）求sin ∠DBC 的值； （2）若长度为，求梯形的面积．24.（6分）如图，在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟30 m 的速度沿着仰角为60°的方向上升，20 min 后升到B 处，这时热气球上的人发现在A 的正西方向俯角为45°的C 处有一着火点，求热气球的升空点A 与着火点C 的距离（结果保留根号）.25.（8分）（2015·安徽中考）如图，平台AB 高为12 m ，在B 处测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°，底部点C 的俯角为30°，求楼房CD 的高度.( 1.7)第24题图BCA东西45°60°期末检测题参考答案1.B 解析：方法1：∵∴，∴∴ 这个直角三角形的斜边长是3，故选B.方法2：设1x 和2x 是方程22870x x -+=的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得∴ 22221212127()24292x x x x x x +=+-=-⨯=，∴ 这个直角三角形的斜边长是3，故选B.2.B 解析：∵ 22141411104b ac -=-⨯⨯=-=，∴一元二次方程+x+=0有两个相等的实数根.3.B 解析：设第一块木板的宽是，则第一块木板的长是，第二块木板的长是，第二块木板的宽是．根据题意，得3(22)2x x x x --⋅=.整理，得223540x x --=，因式分解，得(6)(29)0x x -+=，解得1296,2x x ==-. ∵ 292x =-不合题意，舍去．∴ 6x =. ∴ 第一块木板长，宽，第二块木板长，宽． 4.B 解析：过作的平行线交于，则△∽△. ∵是的中点，∴，，∴∴ AC=AF+FG+GC=4+8+8=20（cm ）．故选B ． 5.C 解析：∵AB AC =，∴ ABC ACB ∠=∠. 又∵ CBD A ∠=∠，∴ △ABC ∽△BCD . 同理可得△ABC ∽△BCD ∽△CDE ∽△DFE ， ∴,,AB BC CD DE EF DEBC CD BD CD DE CE===， 解得23423,,b b b CD DE EF a a a===．故选C.A BE F CD G6. C 解析：根据题意，得AB⊥PB，∠ABP=90°，在Rt△ABP中，∠PAB=55°，PA=2海里，cosABPABPA∠=,∴cosAB PA PAB=⋅∠=2cos 55°海里,故选项C正确.7.C 解析：平均成绩相同，方差反映数据的稳定性，方差越小成绩越稳定.8.A 解析：如图，过点Ａ作因为22，所以.由勾股定理,得.又53，所以所以第8题答图所以所以9.D 解析：如图，过点C作CD AB⊥于点D．设AC x=海里．在△ACD中，∠90ADC=︒，∠102030CAD=︒+︒=︒，AC x=海里，∴C D=12AC=12x海里，AD =3CD =32x海里．在△BCD中，∠90BDC=︒，∠802060CBD=︒-︒=︒，∴BD =33CD =36x海里．∵AD BD AB+=,∴32x +36x20=，解得103x=，所以救援船航行的速度为2010330360÷=（海里/时）.10.B 解析：因为，，所以，所以A=90°－A，所以A=45°.11.2560x x-+=12.0x=或3x=13.3tan 50°解析：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=40°，∴∠B=50°，∴tanB=tan 50°=BCAC，∴AC=BC tan 50°=3 tan 50°.第9题答图14. 3 4 解析：设方程的另一个根为a ，根据根与系数的关系得到a×1=3,a+1=m, 解得a=3,m= 4.15.3 解析：∵，∠为△和△的公共角，∴ △∽△，∴. 在Rt △中，由勾股定理得，得. 又∵，，，∴，∴．16. 变大 解析：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名后，14名员工的工资少了两个6000，多了一个7000和一个5000，调整前后工程队员工月平均工资不变，均是6 000元，但调整后各数据与平均数的差的平方和变大了，所以方差变大了. 17. 135 解析：在Rt△ABD 中，∠BAD=90°，=，∵∠ADB=30°，AB=45m ，∴=，∴AD=45m.在Rt△ADC 中，∠ADC=90°，=,∵∠CAD=60°，AD=45m ，∴=，∴DC=135 m.18.6 解析：如图，连接OA ，OB ，OC ，OD ，设DC ，AB 分别交y 轴于点F ，E ， 则S △AOB =12OE·AB=32OE=12a －12b ，S △COD =12OF·CD＝12×OF ×2=12a －12b ， ∴325,OE OF OE OF ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得2,3,OE OF =⎧⎨=⎩ ∴12a －12b=3，∴ a－b=6． 19.解：（1）55sin 35sin 12145sin 222+++-2222(21)sin 35cos 352⨯--++ 22.（2）12︒-30tan 3+121-⎪⎭⎫⎝⎛-2133332-+⨯-=13-=. 20.解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m,则矩形猪舍的另一边长为（26-2x ）m. 根据题意，得x(26-2x)=80. 化简，得-13x+40=0. 解这个方程，得=5,=8.当x=5时，26-2x=16＞12（舍去）；当x=8时，26-2x=10＜12. 答：所建矩形猪舍的长为10 m,宽为8 m 时，猪舍面积为80 m 2. 21.解：（1）过点C 作CE ∥OA 交BD 于点E ，则△BCE ∽△BOD . 又C 为OB 的中点，所以BC OC =,所以1122CE OD AD ==.再由CE ∥OA ，△ECP ∽△DAP ，所以2==CEAD PC AP . （2）过C 作CE ∥OA 交BD 于点E ，设AD x =，则4OA OB x ==，3OD x =， 由△BCE ∽△BOD ，得1322CE OD x ==.再由△ECP ∽△DAP ，得32==CE AD PE PD . 由勾股定理可知5BD x =，52DE x =，则32=-PD DE PD ，可得PD AD x ==，则∠BPC =∠DPA =∠A ，所以tan ∠BPC =tan ∠A =21=AO CO .22.（1）证明：AB ∥DC ，∴ ACF CAE =∠∠．在△CFO 和△AEO 中，∴ △≌△CFO AEO ，∴ OF OE =. 又OA OC =，∴ 四边形AECF 是平行四边形．EF AC ⊥，∴ 四边形AECF 是菱形．（2）解：四边形AECF 是菱形，4EF =，∴ 114222OE EF ==⨯=．在Rt AEO △中，2tan 5OE OAE OA ==∠，∴ 5OA =，∴ 22510AC AO ==⨯=．∴23.解：设B 处距离码头O x km. 在Rt △CAO 中，∠CAO=45°. ∵ tan ∠CAO=∴ CO=AO ·tan ∠CAO=(45×0.1+x)·tan 45°=4.5+x. 在Rt △DBO 中，∠DBO=58°.∵ tan ∠DBO=,∴ DO=BO ·tan ∠DBO=x ·tan 58°. ∵ DC=DO CO,∴ 36×0.1= x ·tan 58°(4.5+x), ∴ x=≈=13.5.因此，B 处距离码头O 大约13.5 km. 24.解：(1)10÷25%=40; (2)补全条形统计图如下：第24题答图40×30%＝12， 40－10－15－12＝3. (3)1 200×=90.答：估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多90人． 25.（１）证明：由题意可知 ∵∥∴∠∠，∠＝∠∴△≌△∴ .又∥∴ 四边形是平行四边形.∵，∴ 平行四边形是菱形.（2）解：∵四边形是菱形，∴.新课标---最新湘教版 设，∵△的面积为24，△的周长为. （３）解：存在，过点作的垂线，交于点，点就是符合条件的点. 证明如下：∵ ∠∠90°，∠∠ ∴ △∽△，∴AEAO AP AE ，∴. ∵四边形是菱形，∴∴∴。

湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数测试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．已知在R t △ABC 中，∠C = 90°，∠A =α，AB = 2，那么BC 的长等于 A ．2sin αB ．2cos αC ．2sin αD ．2cos α2．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC =3, AC =4，则sinA 的值为（ ）．A ．34B ．43C ．35D ．453．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,3，那么sin α的值是（ ）A ．34B ．43C ．45D ．354．△ABC 中，∠C=90°，BC=12，AB=13，那么sinA 的值等于（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．1255．在△ABC 中，若21cos (1tan )2A B -+-=0，则∠C 的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC BC=2，则sin∠ACD 的值为（）A B C D．2 37．小明沿着坡比为1600m，则他升高了（）A．B．C．300 m D．200m8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，cosA=35，BE=2，则tan∠DBE的值是（）A．2 B．12C D9．在△ABC中，若|sinA﹣12|+tanB）2=0，则∠C的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．已知α是锐角，且点A（12，a），B（sinα＋cosα，b），C（－m2＋2m－2，c）都在二次函数y＝－x2＋x＋3的图象上，那么a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜ b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 二、填空题11．ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=34，则BC的长_____．12．如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=____．13．某人沿着坡度为1:3的山坡向上走了200m，则他升高了________米．14．已知α、β是锐角，且cotα＜cotβ，则α、β中较小的角是________．15．已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=34， 则sinA=________ ．16．小聪家对面新建了一幢图书大厦，他在A 处测得点D 的俯角α为30°，测得点C 的俯角β为60°（如图所示），量得两幢楼之间的水平距离BC 为30米，则图书大厦CD 的高度为________米．17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 是AB 的中点，点E 在边AC 上，将△ADE 沿DE 翻折，使点A 落在点A′处，当A′E ⊥AC 时，A′B ＝____．18．如图，过锐角△ABC 的顶点A 作DE ∥BC ，AB 恰好平分∠DAC ，AF 平分∠EAC 交BC 的延长线于点F ．在AF 上取点M ，使得AM=13AF ，连接CM 并延长交直线DE 于点H ．若AC=2，△AMH 的面积是112，则1tan ACH ∠的值是_______．三、解答题19．计算：0112sin 45()2π--︒++．20．如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A ，再在河的这边沿河边取两点B 、C ，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC 的长为40m ，求河的宽度（结果保留根号）．21．五一期间，小明随父母到某旅游胜地参观游览，他在游客中心O处测得景点A在其北偏东72°方向，测得景点B在其南偏东40°方向．小明从游客中心走了2千米到达景点A，已知景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84）22．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan∠B=cos∠DAC，（1）求证：AC=BD；（2）若sinC=1213，BC=36，求AD的长．23．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA方向为南偏东75°，已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？24．如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向B航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B 处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考≈1.41≈2.45）25．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1：512，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．26．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．27．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为3．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除．（参考≈1.414）参考答案1．A【分析】根据正弦的定义解答即可.【详解】∵在R t △ABC中，∠C = 90°，∴AB为斜边，BC为∠A所对直角边，∵∠A=α，∴sinα =BC AB，∴BC=AB sinα =2sinα，故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，正弦是锐角的对边与斜边的比；余弦是锐角的邻边与斜边的比；正切是锐角的对边与邻边的比；余切是锐角的邻边与对边的比；熟练掌握各三角函数的定义是解题关键.2．C【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA=BCAB求解即可.【详解】∵∠C=90°，BC=3,AC=4∴5 AB=∴3 sin5BCAAB==故选C.【点睛】本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可.3．D【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解.【详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B，∵A的坐标为(4,3) ∴OB=4，AB=3，在Rt△AOB中，∴AB3 sin==OA5α故选：D．【点睛】本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键．4．B【分析】根据正弦的定义：正弦=对边/斜边即可解答.【详解】由题意得sinA=BCAB=1213，故选B.【点睛】掌握正弦公式是解答本题的关键.5．C【分析】根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．【详解】由题意，得 cosA=12，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C．6．A在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sin B．【详解】在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB==3．∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sin∠BAC==．AB故选A．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．7．C【详解】试题分析：首先根据题意画出图形，由坡度为，可求得坡角∠A=30°，又由小明沿着坡度为600m，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，∵坡度：i=1∴tan∠∴∠A=30°，=1000m，∴BE=1AB=300（m）．2∴他升高了300m．故选C考点：解直角三角形的应用点评：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应8．A在直角三角形ADE 中，cosA=35=AE AB BEAD AD -= ,可以求得AB ，再利用勾股定理求得DE ，即可求得tan DEDBE BE∠= . 【详解】解：设菱形的边长为t2BE =2AE t ∴=-352AE AB BE t AD D tco A sA --==== 5t ∴=4DE ∴=4tan 22DE DBE BE ∴∠=== 故选A 【点睛】本题考查了菱形的性质和解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系． 9．D 【详解】试题解析：∵|sinA-12|+）2=0，∴|sinA-12|=0，-tanB ）2=0，∴sinA-12=0-tanB=0，sinA=12，∴∠A=30°，∠B=30°， ∴∠C=120°． 故选D ．考点：1.特殊角的三角函数值；2.非负数的性质：绝对值；3.非负数的性质：偶次方． 10．D 【分析】先计算对称轴为直线x=12，抛物线开口向下，可知A点为顶点（最高点)，a最大；再根据B、C两点与对称轴的远近，比较纵坐标的大小．【详解】抛物线y=-x2+x+3的对称轴是直线x=12，开口向下，点A（12，a)为顶点，即最高点，所以，a最大，A、B错误；又1＜sinα+cosα＜2，-m2+2m-2=-（m-1)2-1≤-1，可知，B点离对称轴近，C点离对称轴远，由于抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，c＜b，C错误；故选D．【点睛】比较抛物线上点的纵坐标大小，需要结合对称轴，开口方向，点与对称轴的远近，来比较大小.11．【详解】首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长：∵△ABC中，∠C=90°，AB=8，，∴3AC AB cosA864=⋅=⨯=．∴BC=故答案为12．1 3【详解】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，∵△CDE为等腰直角三角形，∴，∠DCE=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴，∠BCD=90°，∴∠ECF=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴，在Rt△BEF中，tan∠EBF=EFBF=13，即∠EBC=13．故答案为13．13．【详解】【分析】根据坡度等于坡角的正切值，以及正切的定义可设升高了xm，则水平距离为3xm，再根据勾股定理求得答案．【详解】设升高了xm，根据坡比为1：3，则可得水平距离为3xm，∴由勾股定理得x2+（3x）2=2002，解得故答案为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，熟练掌握坡比等于坡角的正切是解题的关键.14．β【分析】锐角三角函数值都是正值，余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）．【详解】∵α、β是锐角，且cotα＜cotβ，∴α＞β，故α、β中较小的角是β．故答案为β．【点睛】考查了锐角三角函数的增减性．①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；④余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）．15．4 5 .【详解】试题分析：根据正切函数可设tanA=43=BCAC=43aa，根据勾股定理，可得AB=5a，再根据正弦函数可得sinA=BCAB=45aa=45.故答案为4 5 .考点：同角三角函数的关系．16．【分析】作DH⊥AB于H，根据正切的概念分别求出AB、AH，计算即可．【详解】作DH⊥AB于H，则DH=BC=30，在Rt△ADH中，AH=DH×tanα=10 ，在Rt △ABC 中，AB=BC tan30︒ =30 ，则CD=AB ﹣AH=20（米），故答案为20． 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17【分析】分两种情况:①如图1, 作辅助线, 构建矩形, 先由勾股定理求斜边AB=10, 由中点的定义求出AD 和BD 的长, 证明四边形HFGB 是矩形, 根据同角的三角函数列式可以求DG 和DF 的长,并由翻折的性质得: ∠DA' E=∠A,A' D=AD=5, 由矩形性质和勾股定理可以得出结论②如图2, 作辅助线, 构建矩形A' MNF,同理可以求出A' B 的长.【详解】解：分两种情况:如图1,过D 作DG ⊥BC 与G, 交A' E 与F, 过B 作BH ⊥A' E 与H,D 为AB 的中点,∴BD=12AB=AD,∠C=90o ,AC=8,BC=6,∴AB=10,∴BD=AD=5, sin ∠ABC=DG AC BD AB =,8510DG ∴= ∴DG=4, 由翻折得: ∠DA' E=∠A, A' D=AD=5,∴sin ∠DA' E=sin ∠A=BC DF AB A D='.∴6105DFA=∴DF=3,∴FG=4-3=1,A'E⊥AC,BC⊥AC,∴A'E//BC,∴∠HFG+∠DGB=180o,∠DGB=90o,∴∠HFG=90o,∴∠EHB=90o,∴四边形HFGB是矩形,∴BH=FG=1,同理得: A' E=AE=8 -1=7,∴A'H=A'E-EH=7-6=1,在Rt△AHB中, 由勾股定理得如图2,过D作MN//AC, 交BC与于N,过A' 作A' F//AC, 交BC的延长线于F,延长A' E交直线DN 于M, A'E⊥AC,∴A' M⊥MN, A' E⊥A'F,∴∠M=∠MA'F=90o,∠ACB=90o,∴∠F=∠ACB=90o,∴四边形MA' FN県矩形,∴MN=A'F,FN=A'M,由翻折得: A' D=AD=5,Rt△A'MD中,DM=3,A'M=4,∴FN=A'M=4,Rt△BDN中,BD=5,∴DN=4, BN=3,A' F=MN=DM+DN=3+4=7,BF=BN+FN=3+4=7,Rt△ABF中, 由勾股定理得=综上所述,A'B故答案为或【点睛】本题主要考查三角形翻转后的性质，注意不同的情况需分情况讨论.18．．【详解】试题分析：过点H作HG⊥AC于点G，∵AF平分∠CAE，DE∥BF，∴∠HAF=∠AFC=∠CAF，∴AC=CF=2，∵AM=AF，∴，∵DE∥CF，∴△AHM∽△FCM，∴，∴AH=1，设△AHM中，AH边上的高为m，△FCM中CF边上的高为n，∴=，∵△AMH的面积为：，∴=AH•m∴m=，∴n=，设△AHC的面积为S，∴=3，∴S=3S△AHM=，∴AC•HG=，∴HG=，∴由勾股定理可知：AG=，∴CG=AC﹣AG=2﹣，∴==.故答案为．考点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形；综合题．19．3．【详解】试题分析：根据二次根式、绝对值意义、特殊角的三角函数值、零指数幂法则、负整数指数幂法则计算即可得到结果．试题解析：原式=212-+=3．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．20．20)m ．【分析】如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，设AD =x m ，通过锐角三角函数可知：BD ＝x m ，DC m ；根据BC 的长为40m 即可建立方程，解之即可求出河宽.【详解】解：作AD ⊥BC,垂足为D .设AD = x m ，∵∠ABC =45°，∴BD ＝AD = x m ，∵∠ACB =30°，∴DC ＝tan 30AD︒m ，∵AD+DC=BC ,且BC ＝40m ，∴40x =，解得，20x =，答：则河的宽度为20)m.【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用. 通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键. 21．AB=2.88千米．【详解】试题分析：作OC ⊥AB ．在在Rt △AOC 中，求出AC 、OC 的长，从而求出BC 的长，于是将AC 、BC 相加即可．试题解析：作OC ⊥AB ．∵AB ∥OF ，∴∠A=72°，∠B=40°，∴在Rt△AOC中，AC=2×cos72°≈2×0.31=0.62（千米），OC=2×sin72°≈2×0.95=1.9（千米），在Rt△BOC中，=tan40°，即≈0.84，BC≈=2.26（千米），∴AB=0.62+2.26=2.88（千米）．点睛：本题考查了方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．22．（1）证明见解析（2）8【分析】（1）由于tan B=cos∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC=BD；（2）设AD=12k，AC=13k，然后利用题目已知条件解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tan B=ADBD，cos∠DAC=ADAC，tan B=cos∠DAC，∴ADBD=ADAC，∴AC=BD．（2）在Rt△ADC中，sin C=1213，故可设AD=12k，AC=13k，∴CD k，∵BC=BD+CD，AC=BD，∴BC=13k+5k=18k．由已知BC=12，∴18k=12，∴k=23，∴AD=12k=12×23=8．点睛：此题考查解直角三角形、直角三角形的性质等知识，也考查逻辑推理能力和运算能力．23．如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区【分析】问输水线路是否会穿过居民区，其实就是求A到MN的距离是否大于圆形居民区的半径，如果大于则不会穿过，反之则会．【详解】作AC⊥MN于点C，∵∠AMC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝75°－30°＝45°，∴设AC为xm，则AC＝BC＝x，在Rt△ACM中，MC＝400＋x，∴tan∠AMC＝，即＝，解得x ＝200＋200＞500，∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，当两个直角三角形有公共的直角边时，利用这条公共边来求解是解决此类题目的基本出发点．24．小岛A与小岛B之间的距离是100km．【分析】先过点C作CP⊥AB于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC的值，在Rt△PCB中，根据勾股定理求出BP=CP的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案．【详解】解：过点C作CP⊥AB于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵轮船的速度是45km/h ，轮船航行2小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴∵∠CAP=60°，∴tan60°=CP AP∴，∴（km ）．答：小岛A 与小岛B 之间的距离是100km ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题．25．（1）改造前坡顶与地面的距离BE 为24米；（2）BF 至少是8米【详解】整体分析：（1）Rt △ABE 中，根据斜坡AB 的坡比为i=1：512，且AB=26米解直角三角形；（2）过点F 作FG ⊥AD 于点G ，用∠FAG 的余切求出AG 即可.解：（1）在Rt △ABE 中，AB=26，i=BE AE =125， 设BE=12k ，AE=5k ，则AB=13k=26，k=2，∴AE=10（米），BE=24（米）；（2）过点F 作FG ⊥AD 于点G ，由题意可知：FG=BE=24，∠FAD=53°，在Rt △AFG 中，cot53°=24AG =0.75， ∴AG=18， ∴BF=GE=AG ﹣AE=8米，答：改造前坡顶与地面的距离BE 为24米；BF 至少是8米．26．拦截点D 处到公路的距离是(500＋)米．【详解】试题分析：过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E=∠F=90°，拦截点D 处到公路的距离DA=BE+CF ．解Rt △BCE ，求出BE=BC=×1000=500米；解Rt △CDF ，求出CF=CD=500米，则DA=BE+CF=（500+500）米．试题解析：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E=∠F=90°，拦截点D 处到公路的距离DA=BE+CF ．在Rt △BCE 中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，∴∠BCE=30°，∴BE=BC=×1000=500米；在Rt △CDF 中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=BC=1000米，∴CF=CD=500米，∴DA=BE+CF=（500+500）米，故拦截点D 处到公路的距离是（500+500）米．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．27．需要拆除．【分析】由题意得到△ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在Rt△BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC=30°，得到DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，再比较AD+3与10的大小即可．【详解】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，=∴AD=BD﹣AB=（10）米≈7.32米，∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题；属于应用题．。

湘教版九年级上册数学第4章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表。

如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为。

已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）作为（）A. B. C. D.2、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A. B. C. D.3、如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB=（）A. B. C. D.4、如图，某建筑物上挂着“巴山渝水，魅力重庆”的宣传条幅，王同学利用测倾器在斜坡的底部处测得条幅底部的仰角为60°，沿斜坡AB走到B处测得条幅顶部C的仰角为50°.已知斜坡的坡度米，米（点在同平面内，，测倾器的高度忽略不计），则条幅的长度约为（）（参考数据：）A.12.5米B.12.8米C.13.1米D.13.4米5、在正方形网格中，如图放置，则等于（）A. B. C. D.6、如图所示,CD是Rt△ABC斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos∠BCD的值是( )A. B. C. D.7、如图，击打台球时小球反弹前后的运动路线遵循对称原理，即小球反弹前后的运动路线与台球案边缘的夹角相等（α=β），在一次击打台球时，把位于点P处的小球沿所示方向击出，小球经过5次反弹后正好回到点P，若台球案的边AD的长度为4，则小球从P点被击出到回到点P，运动的总路程为（）A.16B.16C.20D.208、如图，直线y＝x＋3与x、y轴分别交于A、B两点，则cos∠BAO的值是( )A. B. C. D.9、若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（）A.小于30°B.大于30°C.大于60°D.大于60°10、在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）A. B. C. D.211、如图，的三个项点均在格点上，则的值为（）A. B. C.2 D.12、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.英国佩里加（H.Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理.该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）.若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（）A. B.18 C.16 D.13、下列选项错误的是（）A. B. C. D.14、如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C 处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A.20海里B.40海里C. 海里D. 海里15、在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（）A.都扩大到原来的3倍B.都缩小为原来的3倍C.都保持原来的数值都不变D.有的变大，有的缩小二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C 在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为________．17、△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长________18、如图，把两张宽度都是3cm的纸条交错的叠在一起，相交成角α．则重叠部分的面积为________．19、小颖家住在甲楼，她所居住的楼房前面有一座乙楼。

湘教版九年级上册数学第4章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是（）．A. B. C. D.2、如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点H，若∠AOC＝60°，OH＝1，则弦AB的长为（）A.2B.C.2D.43、如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=20m，则树的高度AB为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A.20mB.15mC.12mD.16m4、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（）A. B. C. D.5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan A等于（）A.2B.C.D.246、如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为．若在坡比为的山坡树，也要求株距为，那么相邻两棵树间的坡面距离（）A. B. C. D.7、在△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosA=，则BC的长为（）A.6B.7.5C.8D.12.58、如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）A. 米2B. 米2C. 米2 D. 米29、如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为（）A. B. C. D.10、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值是（）A. B. C. D.11、在中，，，若，则的长为（）．A. B. C. D.12、如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越小，梯子越陡B.cosA的值越小，梯子越陡C.tanA 的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关13、在平面直角坐标系xOy中，点A在直线上l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线1上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B.C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线的“理想矩形.例如，图中的矩形ABCD为直线1的“理想矩形”，若点A（3，4），则直线y＝kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面积为（）A.12B.3C.4D.314、如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）A.tan55°＝B.tan55°＝C.s in55°＝D.cos55°＝15、如图⊙O的半径为5，弦AB＝，C是圆上一点，则∠ACB的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是________．17、一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向，若灯塔P正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为________海里（结果保留根号）．18、我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为________．19、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的张方形，每个小正方形的顶点叫各点△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA=________.20、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,E为AD的中点，OE=3,∠ABC=60°，则BD=________．21、一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为________海里/小时．22、如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan （α+β）________ tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）23、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 5，AC= 4，则cosA=________．24、已知均为锐角，且满足I sina- I+ =0，则=________．25、如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，E为⊙O上一点，连结CE，过C作CD⊥CE，交BE于点D，已知tanA＝，AB＝2 ，DE＝5，则tan∠ACE＝________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：÷ +8×2﹣1﹣（+1）0+2•sin60°.27、第十一届全国少数民族传统体育运动会于9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行.如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚.小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度.（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）28、已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜边AB的长为4，过点C作射线CP//AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE=45°，AC与DE交于点O．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）设CD=x，tan BAE = y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△COD与△BEA相似，求CD的值．29、如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,∠1=∠C,（1）求证：CB//PD；（2）若AB=5,sin∠P=,求BC的长．30、如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i= ：3．若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角（A点处）6米的一棵树是否需要移栽？（参考数据：≈1.414，≈1.732）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A4、A5、A6、C7、A8、C9、B10、B11、A12、B13、B14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、。

湘教版九年级上册数学第4章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A. B. C. D.2、如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（）A. B. C. D.3、如图，在中，，沿的中线，将折叠，使点A落在点D处，若恰好与垂直，则的值为( )A. B. C. D.4、已知AB和CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC的夹角为ａ，则S△CDE: S△ABE等于（）A.Sin 2ａB.cos 2ａC.tan 2ａD.sinａ5、如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A. B.1 C. D.6、若，则的值为（）A.1B.C.D.27、在中，，若，则的值为（）A. B. C. D.8、如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米9、在Rt△ABC中,如果各边的长度同时扩大2倍，那么锐角A的正弦值和余弦值（）A.都扩大2倍B.都缩小2倍C.都不变D.不能确定10、三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（）A. B. C. D.11、如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A.100mB.120mC.50 mD.100 m12、如图，在菱形中，，，，则的值是（）A. B.2 C.10 D.13、如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos ACB值为（）A. B. C. D.14、如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）A.AB：AD=3：4B.当△BPQ是等边三角形时，t=5秒C.当△ABE∽△QBP时，t=7秒D.当△BPQ的面积为4cm 2时，t的值是或秒15、如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCO的边长为3,点O为坐标原点,点A、C分别在x轴、y轴上,点B在第一象限内直线y=kx+1分别与x轴、y轴、线段BC交于点F、D、G,AE⊥FG,下列结论:①△GCD和△FOD的面积比为3:1:②AE的最大长度为:③tan∠FEO= ④当DA平分∠EAO时,CG= ，其中正确的结论有（）A.①②③B.②③C.②③④D.③④二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝6cm，则BC＝________．17、△ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°，则△ABC的面积是________．18、如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部A处的仰角为，则教学楼的高度是________ .19、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF 的长为________.20、如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是________cm．21、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是________.22、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是________.23、如图所示的网格是正方形网格，∠BAC________∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）24、如图，测量河宽AB（河的两岸平行），在C点测得∠ACB=32°，BC=60m，则河宽AB约为________m．（用科学计算器计算，结果精确到0.1）25、如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan A的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、先化简，再求代数式÷（x﹣）的值，其中x=2sin60°+tan45°．27、如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）28、某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直.某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得，，求出点D到AB的距离.（参考数据，，）29、某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0.lm.温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）30、如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、B4、B5、B6、C7、D8、B9、C10、A11、A12、B13、C14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、30、。

第4章 锐角三角函数 时间：40分钟 分值：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)1．如图4－Z －1，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sin B 的值是( )图4－Z －1A.23B.32C.34D.432．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当∠A 的度数不断增大时，cos A 的值的变化情况是( )A ．不断变大B ．不断减小C ．不变D ．不能确定3．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则tan B 的值为( ) A.43 B.45 C.54 D.344．若角α，β是直角三角形的两个锐角，则sin αcos β－tan α＋β2的值为( ) A ．0 B ．1 C ．1－ 2 D.22－1 5．如图4－Z －2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为线段AB 上一点，且AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于点F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值为( )图4－Z －2 A.33 B.2 33 C.5 33 D ．5 3 6．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图4－Z －3①所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图②所示的位置，其示意图如图③所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF ＝143°，AB ＝AE ＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)( )图4－Z －3图4－Z －4二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)7．已知α是锐角，且sin α＝513，那么cos(90°－α)＝________，tan α＝________． 8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝34，则cos B ＝________． 9．计算：sin 230°＋tan44°tan46°＋sin 260°＝________．10．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点P 是第二象限内一点，连接OP .若OP 与x 轴的负半轴之间的夹角α＝50°，OP ＝13.5，则点P 到x 轴的距离约为________．(用科学计算器计算，结果精确到0.01)11．如图4－Z －5，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是__________．图4－Z －512．河堤横断面如图4－Z －6所示，堤高BC ＝6米，迎水坡AB 的坡度为1∶3，则AB 的长为________．图4－Z －613．如图4－Z －7，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB ＝2 km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向上，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向上，则船C 离海岸线l 的距离(即CD 的长)为________km.图4－Z －714．因为cos30°＝32，cos210°＝－32， 所以cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－32. 因为cos45°＝22，cos225°＝－22， 所以cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－22. 猜想：一般地，当α为锐角时，有cos(180°＋α)＝－cos α，由此可知cos240°的值等于________．三、解答题(本大题共4小题，共48分)15．(10分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形：(1)c＝8 3，∠A＝60°；(2)a＝2 6，b＝6 2.16. (12分)如图4－Z－8所示，已知∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝8.求△ABC的面积．(结果保留根号)图4－Z－817．(12分)如图4－Z－9，湿地景区岸边有三个观景台A，B，C.已知AB＝1400米，AC ＝1000米，点B位于点A的南偏西60.7°方向上，点C位于点A的南偏东66.1°方向上．(1)求△ABC的面积；(2)景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD.试求A，D间的距离(结果精确到0.1米)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，2≈1.414)．图4－Z－918．(14分)在一次课外实践活动中，同学们要测湘江河的宽度．如图4－Z－10①所示，小明先在河西岸选定建筑物A，并在河东岸的B处观察，此时，视线BA与河岸线BE所成的夹角∠ABE＝32°，小明沿河岸走了400米到C处，再观察A，此时视线CA与河岸线所成的夹角∠ACE＝64°.(1)请你根据以上数据，帮助小明计算出湘江河的宽度；(2)求出湘江河宽之后，小明突发奇想，欲求B的正对岸建筑物的高度MN(如图②所示)，现测得小明的眼睛与地面的距离(FB)是1.6米，看建筑物顶部M的仰角(∠MFG)是8°，BN 为湘江河的宽度，求建筑物的高度MN.(结果精确到0.1米，提示：河的两岸互相平行，参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625；sin64°≈0.899，cos64°≈0.438，tan64°≈2.050；sin8°≈0.139，cos8°≈0.990，tan8°≈0.141)图4－Z－10详解详析1．[解析] C 在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，CD ＝2，∴AB ＝2CD ＝4，∴sin B ＝34.故选C. 2．[答案] B3．[解析] A ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴sin A ＝a c ，tan B ＝b a，a 2＋b 2＝c 2. ∵sin A ＝35，故设a ＝3x ，则c ＝5x ， 结合a 2＋b 2＝c 2得b ＝4x ，∴tan B ＝b a ＝4x 3x ＝43. 4．[解析] A 由题意，得sin αcos β－tan α＋β2＝cos βcos β－tan45°＝1－1＝0.故选A. 5．[解析] C 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，设BC ＝x ，则AB ＝2x ，AC ＝3x .又AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于点F ，∴AF ∶FC ＝AE ∶EB ＝4∶1，∴FC ＝15AC ＝35x ， ∴tan ∠CFB ＝BC FC ＝x 35x ＝5 33.故选C. 6．[解析] A 如图，过点A 作BC 的平行线AG ，过点E 作EH ⊥AG 于点H ，则∠EHG ＝∠HEF ＝90°.∵∠AEF ＝143°，∴∠AEH ＝∠AEF －∠HEF ＝53°，∴∠EAH ＝37°.在Rt △EAH 中，∠EHA ＝90°，∠EAH ＝37°，AE ＝1.2米，∴EH ＝AE ·sin ∠EAH ≈1.2×0.60＝0.72(米)．∵AB ＝1.2米，∴AB ＋EH ≈1.2＋0.72＝1.92≈1.9(米)．故选A.7．[答案] 513 51249．[答案] 2[解析] 原式＝14＋1＋34＝2. 10．[答案] 10.34[解析] 过点P 作P A ⊥x 轴于点A ，如图所示．∵sin α＝P A OP，∴P A ＝OP ·sin50°≈13.5×0.766≈10.34.故答案为10.34.11．[答案] 34[解析] 在Rt △ABC 与Rt △BCD 中，∠A ＋∠B ＝90°，∠BCD ＋∠B ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，∴tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝68＝34. 12．[答案] 12米13．[答案] (2＋2)[解析] 在CD 上取一点E ，使BD ＝DE .又∵CD ⊥AB ，∴∠EBD ＝∠BED ＝45°，∵∠ACD ＝45°，∠ADC ＝90°，∴AD ＝DC .∵AB ＝AD －BD ，CE ＝CD －DE ，∴CE ＝AB ＝2 km.∵从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向上，∴∠BCE ＝∠CBE ＝22.5°，∴BE ＝CE ＝2 km ，∴BD ＝DE ＝ 2 km ，∴CD ＝(2＋2)km.故答案为(2＋2)km.14．[答案] －12[解析] ∵当α为锐角时，有cos(180°＋α)＝－cos α，∴cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－12. 15．解：(1)∵∠C ＝90°，∠A ＝60°，∴∠B ＝30°.∵c ＝8 3，∴b ＝4 3，∴a ＝c 2－b 2＝12.(2)∵a 2＋b 2＝c 2，a ＝2 6，b ＝6 2，∴c ＝a 2＋b 2＝4 6.b 3∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°.16．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D .设AD ＝x ，则CD ＝3x ，BD ＝3x .又∵AB ＝8，∴(3＋1)x ＝8，解得x ＝4(3－1)，∴CD ＝12－4 3，∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝48－16 3. 答：△ABC 的面积为48－16 3.17．解：(1)过点C 作CE ⊥AB 交BA 的延长线于点E .在Rt △AEC 中，∠CAE ＝180°－60.7°－66.1°＝53.2°，∴CE ＝AC ·sin53.2°≈1000×0.80＝800(米)，∴S △ABC ＝12·AB ·CE ＝12×1400×800＝560000(米)2. (2)连接AD ，过点D 作DF ⊥AB 于点F .又∵CE ⊥AB ，∴DF ∥CE .∵BD ＝CD ，DF ∥CE ，∴BF ＝EF ，∴DF ＝12CE ≈400米．∵AE ＝AC ·cos53.2°≈600米，∴BE ＝AB ＋AE ≈2019米，∴AF ＝12BE －AE ≈400米．在Rt △ADF 中，AD ＝AF 2＋DF 2＝400 2≈565.6(米)． 答：A ，D 间的距离约为565.6米．18．解：(1)如图，过点A 作AF ⊥BE 于点F .∵∠ABE ＝32°，∠ACE ＝64°，∴∠CAB ＝32°，∴AC ＝BC ＝400，∴AF ＝AC ·sin64°＝400×sin64°≈359.6(米)．答：湘江河的宽度约为359.6米．(2)MN ＝BF ＋BN ·tan8°≈1.6＋359.6×tan8°≈52.3(米)．答：建筑物的高度MN约为52.3米．。

4.3 解直角三角形一、选择题1．在下列直角三角形中不能求解的是（)A．已知一直角边和一锐角B．已知一斜边和一锐角C．已知两边D．已知两角2．如图K－34－1是教学用的三角尺，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝错误!，则边BC的长为（）图K－34－1A．30 错误! cm B．20 错误! cmC．10 错误! cm D．5 错误! cm3．2016·牡丹江如图K－34－2，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D.若AC＝6 错误!,∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD的长为( ）图K－34－2A．2 B．3 C．3 错误! D．2 错误!4．如图K－34－3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm,AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD,若cos∠BDC＝错误!，则BC的长是（）图K－34－3A．4 cm B．6 cmC．8 cm D．10 cm5．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝错误!,△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为( ）A．60 B．30 C．240 D．1206．如图K－34－4，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝10,tan B＝错误!,则BC的长为（）图K－34－4A．6 B．8 C．12 D．16二、填空题7．在△ABC中,∠C＝90°,cos A＝错误!，BC＝12，那么AC＝________．8．如图K－34－5，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE＝6，sin A＝错误!，则菱形ABCD的周长是 ________ .图K－34－59．已知△ABC，O为AC的中点，点P在AC上，若OP＝错误!，tan A＝错误!，∠B＝120°，BC＝2 错误!,则AP的长为________．三、解答题10．根据下列条件解直角三角形ABC，其中∠C＝90°,∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b,c.（1)已知c＝8 错误!，∠A＝60°；（2）已知b＝2 错误!,c＝4;(3)已知c＝4，a＝b.11．在△ABC中,∠C＝90°,cos A＝错误!，AB＝8 cm.求△ABC的面积．12．如图K－34－6,在△ABC中，已知BC＝1＋错误!，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长。