《合情推理》同步练习2(新人教B版选修1-2)

2.1.1 合情推理(二)一、基础过关 1．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin (x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把a (b ＋c )与a x ＋y 类比，则有a x ＋y ＝a x ＋a yD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 2．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④3．在等差数列{a n }中，若a n <0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 5＋b 7>b 4＋b 8C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 5>b 7＋b 84．已知扇形的弧长为l ，半径为的r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇＝________.5．类比平面直角坐标系中△ABC的重心G (x ，y )的坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＋x33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3))，猜想以A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)、C (x 3，y 3，z 3)、D (x 4，y 4，z 3)为顶点的四面体A —BCD 的重心G (x ，y ，z )的公式为________．6．公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有_____________________________________． 二、能力提升7．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________． ①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交； ②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直； ③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行； ④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是________．(填序号) ①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为(p k 2＋p ，pk)，请你写出弦MN 的中点坐标：________.10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．11．如图(1)，在平面内有面积关系S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′P A ·PB ′PB ，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．12. 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．三、探究与拓展13．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有1AD2＝1AB2＋1AC2成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及给出理由．答案1．D 2．C3．A 4.12lr5.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y 44z ＝z 1＋z 2＋z 3＋z 446.T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 100 7．② 8．①②③ 9．(pk 2＋p ，－pk ) 10.a 3811．解 类比S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′P A ·PB ′PB ，有V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝P A ′P A ·PB ′PB ·PC ′PC证明：如图(2)：设C ′，C 到平面P AB 的距离分别为h ′，h . 则h ′h ＝PC ′PC， 故V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝13·S △P A ′B ′·h ′13S P AB ·h＝P A ′·PB ′·h ′P A ·PB ·h＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC.12．解 如图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.13．解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.猜想正确． 如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2， 故猜想正确．。

一、选择题1．关于合情推理，下列说法正确的是( )A．归纳推理是一般到一般的推理B．类比推理是一般到特殊的推理C．类比推理的结论一定是正确的D．归纳推理的结论不一定成立[答案] D[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论不一定正确．2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( ) A．28 B．76C．123 D．199[答案] C[解析] 利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．3．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是( )A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案] C[解析] a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，3a＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1，故选C.44．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( ) A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形[答案] C[解析] 只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C.5．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( )A．a k＋a k＋1＋…＋a2k B．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2k D．a k－1＋a k＋…＋a2k－2[答案] D[解析] 利用归纳推理可知，第k项中第一个数为a k－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为a k－1＋a k＋…＋a2k－2，故选D.6．图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大[答案] A[解析] 由图知：三白二黑周而复始相继排列，∵36÷5＝7余1，∴第36颗珠子的颜色是白色．二、填空题7．观察下列式子：1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，由上可得出一般的结论为________．[答案] 1＋122＋132＋…＋1n＋12<2n＋1n＋1[解析] 因为3＝2×2－1,5＝2×3－1,7＝2×4－1，…，所以1＋122＋132＋…＋1n＋12<2n＋1n＋1.8．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第五个等式应为______________________．[答案] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析] 本题考查学生的推理能力．依据前4个等式的规律，第n个等式左侧是从n开始的2n－1个自然数的和，右侧是(2n－1)2，所以第五个等式是5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.三、解答题9．在平面内观察，凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，….由此猜想凸n边形有几条对角线？[解析] 由题意知，f(5)－f(4)＝3，f(6)－f(5)＝4，……f (n )－f (n －1)＝n －2， 将上面各式相加得：f (n )－f (4)＝3＋4＋…＋(n －2)， f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －2) ＝12n (n －3).一、选择题1．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边； (2)中位线长等于第三边的一半； (3)三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)中位面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积的14；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( )A．(1) B．(1)(2)C．(1)(2)(3) D．都不对[答案] C[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确，结论也不一定正确．2．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4 , |x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( ) A．76 B．80C．86 D．92[答案] B[解析] 本题考查了不完全归纳．由已知条件知|x|＋|y|＝n的不同整数解(x，y)个数为4n，所以|x|＋|y|＝20不同整数解(x，y)的个数为4×20＝80.归纳体现了由特殊到一般的思维过程．3．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)r，a、b、c为三边的边长，r为三角形内切圆半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为( )A．V＝13 abcB．V＝1 3 ShC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分别为4个面的面积，r为四面体内切球的半径)D．V＝13(ab＋bc＋ac)h[答案] C[解析] ∵三角形的面积S＝12(a＋b＋c)r，a，b，c为三边的边长，r为三角形内切圆半径，∴四面体的体积V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r.S1、S2、S3、S4分别为4个面的面积，r为四面体内切球的半径．4．定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形那么下列图形中，可以表示A*D、A*C的分别是( )A．(1)、(2) B．(2)、(3)C．(2)、(4) D．(1)、(4)[答案] C[解析] 由A*B、B*C、C*D、D*B的定义图形知A为，B为，C为——，D为.二、填空题5．(xx～xx学年度北京高二检测)观察下列不等式：①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112<3；…请写出第n个不等式________．[答案] 12＋16＋112＋…＋1n n＋1<n[解析] 由①12<1，即11×2<1，由②12＋16<2，即11×2＋12×3<2，由③12＋16＋112<3，即11×2＋12×3＋13×4<3，故第n个式子为12＋16＋112＋…＋1n n＋1<n.6．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．[答案] a3 8[解析] 两个正方形重叠部分的面积为(a2)2＝a24，类比到空间后，两个正方体重叠部分的体积为(a2)3＝a38.三、解答题7．(xx～xx学年度聊城高二检测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解析] (1)选择②式计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34.(2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝3 4 .证明：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.8．已知{a n}满足a1＝1,4a n＋1－a n·a n＋1＋2a n＝9，写出a1、a2、a3、a4，试猜想出这个数列的通项公式．[解析] 由4a n＋1－a n a n＋1＋2a n＝9得a n＋1＝2－1an－4，∴a2＝2－1a1－4＝2＋13，a3＝2－1a2－4＝2＋35，a4＝2－1a3－4＝2＋57，精品文档实用文档 猜想：a n ＝2＋2n －32n －1. 9．若a 1、a 2∈R ＋，则有不等式a 21＋a 222≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．[解析] 本例可以从a 1，a 2的个数以及指数上进行推广．第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33)2，a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44)2，…， a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2； 第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3，a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4，…，a n1＋a n 22≥(a 1＋a 22)n ；第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33)3，…，a m 1＋a m 2＋…＋a m n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)m . 上述a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，m 、n ∈N *.39332 99A4 馤 38439 9627 阧33166 818E 膎23258 5ADA 嫚w30040 7558 畘31380 7A94 窔22534 5806 堆37631 92FF 鋿/^ 34143 855F 蕟。

习题课基础再现1.归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 ,再进行,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.答案:观察,分析,比较,联想归纳,类比2.在数学中,在得到一个新结论前,合情推理常常能够帮助我们.但作为一种猜想或假设是,还必须用证实(或实践驳倒).答案:猜测和发现结论不可靠的数学证明3.在证明一个数学结论之前,合情推理常常能够为我们提供,即合情推理的解题思路的定向作用及方法方式的移植作用.答案:证明的思路和方向4.合情推理(也称似真推理)通常是靠(包括直观想象)等心智活动串联起来的.这种心智活动形式能导致人们作出,能帮助发现,包括发现新的、及等等.但是,它毕竟是一种非逻辑的思维形式,属于现代心理学上“ ”的范畴,当然并不能用以精确地建立数学命题和理论,最后要证明命题或定理,还需运用严格的与,即“”.答案:猜想与联想新的判断和预见数学真理数学关系结构数学方法数学命题发散思维逻辑分析演绎推理收敛思维典例剖析一,利用合情推理探索新结论,拓展知识【例1】在△ABC中,射影定理可表示为a=BC os C+c co SB.其中a、b、c依次为角A、B、C的对边,类比以上定理,给出空间四面体性质的猜想.图2－1－6解:如图2－1－6,在四面体P—ABC中,S1、S2、S3、S分别表示△PAB、△PBC1、△PCA、△ABC 的面积,α、β、γ依次表示面PAB、面PBC、面PCA与底面ABC所成二面角的大小,我们猜想将射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为S=S1cosα+S2cosβ+S3cosγ.(其正确性同学们可自己证明)点评:运用类比推理的方法,可以帮助我们发现问题、探索规律,不少定理、公式就是运用这种方法提出,再经过严格的证明得到的.二,利用合情推理探求问题答案,找到可用的解题方向或借鉴移植方法【例2】一个平面用n条直线去划分,最多能被分成几块?解:只有当这些直线互不平行并且没有两条以上的直线交于同一点时,才能使分成的块数为最多.后面,我们假定这两个条件都满足,用a n表示由n条直线划分平面时所产生的块数. 我们从n=1、2、3、4情形入手,然后比较、分析其中的规律性,进而归纳出a n.用实验的方法可得a1=2,a2=4,a3=7,a4=11,观察这个数列,发现可用二次式表 达为a1=22112＋＋,a2=22222＋＋,a3=22332＋＋,a4=22442＋＋,由此猜想{a n }的通项为a n =222＋＋n n .上述的具体计算及归纳猜想都不是件容易的事,我们可以归纳出对n 条直线都适用的方法(递推法).设n -1条直线把平面分成a n -1块,现在我们再添加第n 条直线,它与前面n -1条直线相交可得到n -1个交点,这n -1个交点将第n 条直线分成n 段,每段将其穿过的平面块一分为二,这样就比原来多增加了n 块.于是得到递推公式:a n =a n -1+n . 在上式中分别令n =1,2,…,n ,得n 个等式 a 1=1+1, a 2=a 1+2, …a n =a n -1+n .把它们加起来,得到 a n =1+(1+2+…+n ) =1+2)1(+n n =222++n n .因此,一个平面用n 条直线去划分,最多被分成222++n n 块.点评:运用归纳推理需要考察部分对象的情形,从而归纳猜想出一般规律,这样往往有时计算量大,易出偏差,且内部潜在的规律性有时难于看出来,就用“递推法”取代“经验归纳法”,转向考查问题每递进一步所反映的规律,即探求递推关系,最后用初始值及递推关系来寻找一般规律.【例3】设a 1,a 2,a 3,…,a n ,…均为自然数,称a 1+...111432+++a a a 为无穷连分数.例如:2=(2-1)+1=1+121+=1+()1221-+=1+...212121+++,这里a 1=1,a n =2(n ∈N ,n ≥2).请你与上式类似地将3也写成无穷连分数,并写出a n . 解:3=1+(3-1)=1+132+=1+2131＋=1+21311－＋=1+13111＋＋=1+)13(2111-+＋=1+...2111211++++.同时有a 1=a 2n =1,a 2n +1=2(n ∈N ).点评:对有些提供范例的推理题,解答时可根据所给的信息与所求的问题的相似性,运用类比的方法,仿照范例,使问题得到解决.这种方法就是类比法.另外,在解这些信息题时,也可把新信息的问题类比于旧的问题的解决方法,依照它使新信息中的问题得到解决. 能力提高1.已知数列2,5,22,11,…,则25是这个数列的( ) A.第6项 B.第7项 C.第19项 D.第11项解析:数列各项化为2,5,22,11,…,而52=20,可见各项根号内是首项为2,公差为3的等差数列,由20=2+(n -1)·3得n =7. 答案:B2.已知数列1,a +a 2,a 2+a 3+a 4,a 3+a 4+a 5+a 6,…,则数列的第k 项是 ( ) A.a k +a k+1+…+a 2k B.a k-1+a k +…+a 2k-1 C.a k-1+a k +…+a 2kD.a k-1+a k +…+a 2k-2解析:观察每项中a 最高次幂与最低次幂的规律易知D 正确. 答案:D3.设f (x )(x ∈［a ,b ］)满足()())2(22121x x f x f x f +≤+(其中x 1,x 2为［a ,b ］中任意两点),那么对于［a ,b ］中任意n 个点x 1,x 2,x 3,…,x n ,n1［f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n )］与f (nx x x n +++...21)的关系的猜想是( )A. n 1［f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n )］≤f (nx x x n +++...21)B. n 1［f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n )］≥f (nx x x n +++...21)C. n 1［f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n )］<f (nx x x n +++...21)D.不能确定解析:作形式的类比.猜想应有A 的关系. 答案:A4.对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”,推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和 .”( )A.为定值B.为变数C.有时为定值、有时为变数D.为与正四面体无关的常数解析:类比猜想A对,再用特值验证.答案:A5.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适( )A.三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形解析:从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑平行四边形合适. 答案:C6.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列哪些性质?你认为比较恰当的是( )①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A.①B.①②C.①②③D.③解析:因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比,所以①②③都恰当.答案:C7.小正方形按照图2－1－7中的规律排列,每个图形中的小正方形的个数构成一个数列{a n},则下列结论正确的是( )图2－1－7①a5=15 ②数列{a n}是一个等差数列③数列{a n}是一个等比数列④数列{a n}的递推关系式是a n=a n-1+n(n∈N*)A.①②④B.①③④C.①②D.①④答案:D8.自然数按下表的规律排列则上起第2 004行,左起第2 005列的数为( )A.2 0042B.2 0052C.2 003×2 004D.2 004×2 005解析:经观察可得这个自然数表的排列特点:①第一列的每个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在行数的平方,即第n 行的第1个数为n 2;②第一行第n 个数为(n -1)2+1;③第n 行从第1个数至第n 个数依次递减1; ④第n 列从第1个数至第n 个数依次递增1.故上起第2 004行,左起第2 005列的数,应是第2 005列的第2 004个数,即为［(2 005-1)2+1］+2 003=2 0042+2 004=2 004×2 005. 答案:D9.类比平面直角坐标系中△ABC 的重心G (x ,y )的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x 〔其中A (x 1,Y 1)、B (x 2,Y 2)、C (x 3,Y 3)〕,猜想以A (x 1,Y 1,z 1)、B (x 2,Y 2,z 2)、C (x 3,Y 3,z 3)、D (x 4,Y 4,z 4)为顶点的四面体ABCD 的重心G (x ,y ,z )的公式为( )A.()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=222432143214321z z z z z y y y y y x x x x xB.()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=333432143214321z z z z z y y y y y x x x x x C. ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=444432143214321z z z z z y y y y y x x x x xD. ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=555432143214321z z z z z y y y y y x x x x x 解析:结构类比,推广猜想C. 答案:C10.对于任意给定的一个正整数n ,把0与1之间所有分母小于等于n 的不可约真分数按从小到大的顺序排列起来,并在最前面添上10,最末添上11,可得一个有限数列,叫做n 级法里数列,这是数学家法里(J.FareY)在一百多年前发现的,记为F n ,例如:F 2: 10,21,11; F 3:10,31, 21,32, 11;F 4: 10,41, 31, 21,32,43, 11; F 5:10,51,41, 31,52, 21,53, 32,43,54, 11. 试问它具备下列所述的哪些性质( ) ①每相邻两项11b a 和22b a ,都有a 2b 1-a 1b 2=1 ②每相邻三项11b a 、22b a 和33b a ,都有22b a =3131b b a a ++ ③它是递增的数列,且是有限数列A.①②B.②③C.①②③D.①③解析:考察可知具备①②③. 答案:C11.考察下列式子:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72;…得出的结论是 .解析:从数值特征看式左首数为n 时,共有连续2n -1个数,式右为(2n -1)2.答案:n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)212.设平面内有n 个圆两两相交,且没有三个或三个以上的圆相交于同点,它们把平面分成的区域数为P (n ),如果该平面内再增一个符合上述条件的圆,把平面分成的区域数为P (n +1),那么P (n )与P (n +1)的递推关系式为 .解析:第n +1个圆与前n 个圆有2n 个交点,这2n 个交点将第n +1个圆周分成2n 段弧,每段弧把所在的区域一分为二,就增加了2n 个区域. 答案:P (n +1)=P (n )+2n13.我们已经学过了等差数列,你是否想到过有没有等和数列呢? (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义.(2)探索等和数列{a n }的奇数项与偶数项各有什么特点,并加以说明.(3)在等和数列{a n }中,如果a 1=a ,a 2=b ,求它的前n 项和S n . 解:(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的和等于同一个常数,那么这个数列就叫做等和数列.(2)由(1)知a n +a n +1=a n +1+a n +2. ∴a n +2=a n .∴等和数列的奇数项相等,偶数项也相等.(3)当n 为奇数时,令n =2K -1,K ∈N *,则S n =S 2K -1 =S 2K -2+a 2K -1=222-k (a +b )+a =21-n (a +b )+a = 21+n a +21-n b , 当n 为偶数时,令n =2K ,K ∈N *,则S n =S 2K =K (a +b )=2n(a +b ).∴它的前n 项和S n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-++.),(2,2121为偶数为奇数，n b a n n b n a n点评:本题是一道浅显的定义类比应用问题,通过对等差数列定义及性质的理解,类比出等和数列的定义和性质,很好地考查同学们类比应用的能力.14.平面上有n (n ≥2)条抛物线,其中每两条都相交于两点,并且每三条都不相交于同一点,试求这n 条抛物线把平面分成多少个部分?解:当n =2时,两条相交抛物线把平面分成5部分,记f (2)=5=22+1;当n =3时,f (3)=10=32+1;当n =4时,f (4)=17=42+1;当n =5时,f (5)=26=52+1;归纳猜想:f (n )=n 2+1(n ≥2).设n 条抛物线将平面分成f (n )个部分;有(n +1)条抛物线时,由于第n +1条抛物线与前n 条抛物线共有2n 个交点,这2n 个交点将第n +1条抛物线共分成2n +1段,而每一段都把原来所在的部分分成了两部分,从而增加了2n +1个部分, ∴f (n +1)=f (n )+2n +1(n ≥2). ∴f (3)=f (2)+5, f (4)=f (3)+7, f (5)=f (4)+9, ……f (n )=f (n -1)+2n -1.∴f (n )=5+(5+7+9+…+2n -1)=n 2+1.故满足题意的n 条抛物线将平面分成n 2+1个部分. 施展才华1.有人要走上一个楼梯,每步可向上走一级台阶或两级台阶,我们用a n 表示该人走到第n 级台阶时所有可能不同走法的种数,试寻求a n 的递推关系式.解:试验可知a 1=1,a 2=2,第三级台阶可以从第二级台阶上一步走一级台阶走上来;或从第一级台阶上一步走两级台阶走上来.因此,a 3=a 2+a 1.类比这种走法,第n 级台阶可以从第n -1级台阶上一步走一级台阶走上来,或从第n -2级台阶上一步走两级台阶走上来,于是有递推关系式:a n =a n-1+a n-2(n ≥3).2.射击运动的枪靶是由10个同心圆组成的,其中每两个相邻同心圆的半径的差等于中间最小圆的半径.每相邻两个圆之间围成一个圆环.从外向内顺次叫做1环,2环,3环,…,8环,9环.最小圆内的区域叫做10环.(1)若规定10环的面积为1,分别求出10环到1环的面积.(2)如果像枪靶那样构造无数多个同心圆,并且从最内部的小圆区域依次到外面的各个圆环区域的面积分别记为S 1,S 2,S 3,…,S n ,…,试给出S n 与S n +1的递推关系式. 解:(1)设最小圆半径为R ,从小到大各同心圆的半径依次为2R ,3R ,…,9R ,10R ,于是10环的面积为πR 2=1,9环的面积为π(2R )2-πR 2=3πR 2=3;8环的面积为π(3R )2-π(2R )2=5πR 2=5. ……类似地可算出7环到1环的面积分别为7,9,11,13,15,17,19.(2)设最小圆半径为R ,则第n -1个、第n 个、第n +1个同心圆的半径分别为(n-1)R 、nR 、(n +1)R .∴S n =π(nR )2-π［(n -1)R ］2=(2n -1)πR 2, S n+1=π［(n+1)R ］2-π(n R )2=(2n+1)πR 2,()()12121212221-+=-+=+n n R n R n s s n n ππ. ∴递推关系式为S n+1=1212-+n n S n .。

高二数学人教选修1-2课后练习第2章推理与证明2.1.1 合情推理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{a n}的一个通项公式为a n= ( )A. B.C. D.【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想a n=.2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )A.空间中平行于同一直线的两条直线平行B.空间中平行于同一平面的两条直线平行C.空间中平行于同一直线的两个平面平行D.空间中平行于同一平面的两个平面平行【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色B.黑色C.白色的可能较大D.黑色的可能性较大【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( )A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.5.(2016·天津高二检测)在等差数列{a n}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{b n}中,若b9=1,则成立的等式是( )A.b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)B.b1b2…b n=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+b n=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①b7b8b9b10b11=1……②由①得b1b2......b7=b1b2 (10)由②得b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)观察下列等式:1-=1-+-=+1-+-+-=++…据此规律,第n个等式可为________.【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.答案:1-+-+…+-=++…+7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为_________________.【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为. 答案:1+++…+<8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC =r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A -BCD=________.【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得V A-BCD =R答案:R三、解答题(每小题10分,共20分)9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦↔截面圆,直径↔大圆,周长↔表面积,圆面积↔球体积,等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:V=10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则在表中的数字2016出现在( )A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列【解析】选D.第n行有2n-1个数,前n行共有n2个数.因为442=1936,452=2025,而1936<2016<2025,故2016在第45行.又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,所以2016在89-9=80列.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.答案:f(2n)≥4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).所以=(c,b),=(-a,b),因为⊥,所以·=b2-ac=0,即c2-a2-ac=0,两边同除a2得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去)答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想P n的坐标.【解析】(1)由方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.(2)由(1)可猜想P n.6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.++=++==1.请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H 点,则+++=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则===.同理有:=;=;=,所以+++==1.一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{a n}的一个通项公式为a n= ( )A. B.C. D.【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想a n=.2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )A.空间中平行于同一直线的两条直线平行B.空间中平行于同一平面的两条直线平行C.空间中平行于同一直线的两个平面平行D.空间中平行于同一平面的两个平面平行【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色B.黑色C.白色的可能较大D.黑色的可能性较大【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( )A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.5.(2016·天津高二检测)在等差数列{a n}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{b n}中,若b9=1,则成立的等式是( )A.b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)B.b1b2…b n=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+b n=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①b7b8b9b10b11=1……②由①得b1b2......b7=b1b2 (10)由②得b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)观察下列等式:1-=1-+-=+1-+-+-=++…据此规律,第n个等式可为________.【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.答案:1-+-+…+-=++…+7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为_________________.【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为. 答案:1+++…+<8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A -BCD=________.【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得V A-BCD =R答案:R三、解答题(每小题10分,共20分)9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦↔截面圆,直径↔大圆,周长↔表面积,圆面积↔球体积,等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:V=10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则在表中的数字2016出现在( )A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列【解析】选D.第n行有2n-1个数,前n行共有n2个数.因为442=1936,452=2025,而1936<2016<2025,故2016在第45行.又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,所以2016在89-9=80列.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.答案:f(2n)≥4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).所以=(c,b),=(-a,b),因为⊥,所以·=b2-ac=0,即c2-a2-ac=0,两边同除a2得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去)答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想P n的坐标.【解析】(1)由方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.(2)由(1)可猜想P n.6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.++=++==1.请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H 点,则+++=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则===.同理有:=;=;=,所以+++==1.(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·厦门高二检测)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的 (A)，(B)所对应的运算结果可能是( )A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】选B.由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故图(A)(B)表示B*D和A*C.2.给出下列三个类比结论：①类比a x·a y=a x+y，则有a x÷a y=a x-y；②类比log a(xy)=log a x+log a y，则有sin(α+β)=sinαsinβ；③类比(a+b)2=a2+2ab+b2，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据指数的运算法则知a x÷a y=a x-y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α+β)≠sinαsinβ，②不正确；根据向量的运算法则知：(a+b)2=a2+2a·b+b2，③正确.【补偿训练】若数列{a n}(n∈N*)是等差数列，则有数列b n=(n∈N*)也是等差数列.类比上述性质，相应地有，若数列{c n}(n∈N*)是等比数列，且c n>0，则数列d n= (n∈N*)也是等比数列.【解析】由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性.等差与等比类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比.由此猜想d n=.答案：3.设n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于( )A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【解析】选C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面，所以可得f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2=n-1，故f(n+1)=f(n)+n-1.4.(2015·北京高二检测)设0<θ<，已知a1=2cosθ，a n+1=，猜想a n=( )A.2cosB.2cosC.2cosD.2sin【解析】选B.因为a1=2cosθ，a2==2=2cos，a3==2=2cos，…，猜想a n=2cos.【一题多解】验n=1时，排除A，C，D.5.(2015·吉林高二检测)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r=( )A. B.C. D.【解析】选C.△ABC的三条边长a，b，c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.【补偿训练】在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC外接圆半径r=.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R= .【解题指南】解题时题设条件若是三条线两两互相垂直，就要考虑到构造正方体或长方体. 【解析】(构造法)通过类比可得R=.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径.答案：二、填空题(每小题5分，共15分)6.下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n个图中有个原子，有个化学键.【解析】第1，2，3个图中分别有原子：6个、6×2-2个、6×3-2×2个，所以第n个图中有6n-(n-1)×2=4n+2个原子；第1，2，3个图中分别有化学键：6个，6×2-1个，6×3-2个，所以第n个图中有6n-(n-1)=5n+1个化学键.答案：4n+2 5n+17.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18= ，这个数列的前n项和S n 的计算公式为.【解析】定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.由上述定义，得a n=故a18=3.从而S n=答案：3 S n=8.如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，再把正方形A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，正方形A n B n C n D n 的面积为.(用含有n的式子表示，n为正整数)【解题指南】根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答.【解析】如题干图1，已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5=25=52，…正方形A n B n C n D n的面积为5n.答案：5n三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，…根据以上等式的结构特点，请你归纳一般结论.【解析】注意到各等号左边为若干项奇数的和，且最后一项分别为1=2×1-1；3=2×2-1；5=2×3-1；7=2×4-1，…又等号右边相应结果分别为：12；22；32；42；…由此总结出一般结论：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.10.如图1，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD·BC；若类比该命题，如图2，三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否是真命题并加以证明.【解析】命题是：三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有=S△BCM·S△BCD，是一个真命题.证明如下：在图2中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2=EM·ED.于是==·=S△BCM·S△BCD.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是( )A.30B.31C.32D.34【解析】选B.第1个图形中有4根火柴棒；第2个图形中有4+3=7根火柴棒；第3个图形中有4+3×2=10根火柴棒；…第10个图形中有4+3×9=31根火柴棒.2.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个数对是( )A.(7，5)B.(5，7)C.(2，10)D.(10，1)【解析】选B.依题意，由和相同的“整数对”分为一组不难得知，第n组“整数对”的和为n+1，且有n个“整数对”.这样前n组一共有个“整数对”.注意到<60<.因此第60个“整数对”处于第11组的第5个位置，可得为(5，7).二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·西安高二检测)对于命题：如果O是线段AB上一点，则||·+||·=0；将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有.【解题指南】根据线性几何中的线段长度、平面几何中平面图形的面积中有关等式的共性，将这个共性引申到立体几何中得到相应的等式或结论.【解析】根据线性几何中的长度、平面几何中平面图形的面积以及立体几何中相应几何体体积的类比特点以及题中等式的特点，得到在立体几何中：若O是四面体ABCD内一点，则有V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0.答案：V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0【拓展延伸】类比推理的常见类型及解题思路类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.4.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于.1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111……【解析】由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.答案：1111111三、解答题(每小题10分，共20分)5.在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a，类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.【解题指南】利用类比推理时，正三角形可类比成正四面体，归纳出结论再给予证明. 【解析】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.证明：设M是正四面体P-ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P-ABC=V M-ABC+V M-PAB+V M-PAC+V M-PBC=·S△ABC·(d1+d2+d3+d4)，而S△ABC=a2，V P-ABC=a3，故d1+d2+d3+d4=a(定值).【拓展延伸】类比法的可靠性(1)类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想直到形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论的可靠程度，依赖于两个研究对象的共有属性.(2)一般说来，共有属性越多，结论的可靠程度就越大；共有属性越是本质的，结论的可靠程度就越高.尽管类比法结论的真实性不一定得到保证，但它在人们的认识活动中仍有着重要意义.6.设{a n}是集合{2t+2s|0≤s<t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，….将数列{a n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数.(2)求a100.【解析】(1)将前三行各数分别写成2t+2s的形式：第1行：3=21+20；第2行：5=22+20，6=22+21；第3行：9=23+20，10=23+21，12=23+22；由此归纳猜想：第4行：24+20，24+21，24+22，24+23；第5行：25+20，25+21，25+22，25+23，25+24.经计算可得第4行各数依次是：17，18，20，24；第5行各数依次是：33，34，36，40，48.(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1+2+3+…+13=91个数.因此，a100应当是第14行中的第9个数.所以a100=214+28=16640.。

合情推理与演绎证明（选择题：较难）1、面积为的平面凸四边形的第条边的边长为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则，类比以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则等于（）A． B． C． D．2、已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则；21的因数有1,3,7,12，则，那么的值为（）A．2488 B．2495 C．2498 D．25003、已知数列：，即此数列第一项是，接下来两项是，再接下来三项是，依此类推，……，设是此数列的前项的和，则（）A． B． C． D．4、一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。

经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，说真话的人是 ( )A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丁 D．甲、丁5、如图所示：在杨辉三角中，斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前项和为，则等于( )A．128 B．144 C．155 D．1646、如图所示，面积为S的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则A． B． C． D．7、如图所示，面积为S的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则A． B． C． D．8、“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为，，（且），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙都有可能9、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为，其中，传输信息为，运算规则为：.例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．00011 D．1011110、在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”.则下列命题中：①若，，则有.②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆.③若点在线段上，则有.④到，两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线.真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411、如图，将正三角形分割成个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成个边长为1的小正三角形．若，则三角形的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．1312、下列说法正确的个数有①用刻画回归效果,当越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好；②可导函数在处取得极值，则；③归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13、（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1．以下结论正确的是（）A．与的假设都错误B．与的假设都正确C．的假设错误；的假设正确D．的假设正确；的假设错误14、如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则等于（）A． B． C． D．15、祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都为），其中：三棱锥的底面是正三角形（边长为），四棱锥的底面是有一个角为的菱形（边长为），圆锥的体积为，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的三个截面的面积相等，那么，下列关系式正确的是（）A． B．C． D．16、如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为（），此四边形内任一点到第条边的距离记为（），若，则．类比以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积记为（），此三棱锥内任一点到第个面的距离记为（），若，则等于A． B． C． D．17、如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为（），此四边形内任一点到第条边的距离记为（），若，则．类比以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积记为（），此三棱锥内任一点到第个面的距离记为（），若，则等于（）A． B． C． D．18、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：，，，依此类推可得：，其中，．设，则的最小值为（）A． B． C． D．19、设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R等于A． B．C． D．20、下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）A．由a n=2n﹣1，求出S1=12，S2=22，S3=32，…，推断：数列{a n}的前n项和S n=n2B．由f（x）=xcosx满足f（﹣x）=﹣f（x）对都成立，推断：f（x）=xcosx为奇函数C．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，推断：椭圆=1的面积S=πabD．由，…，推断：对一切，（n+1）2＞2n21、记，当时，观察下列等式：，，，可以推测A-B等于（）A． B． C． D．22、已知（），计算得，，，，，由此推算：当时，有（）A．（）B．（）C．（）D．（）23、将个正整数、、、、（）任意排成行列的数表．对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数、（）的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当时,数表的所有可能的“特征值”最大值为（）A． B． C． D．24、给出命题：若是正常数，且，，则(当且仅当时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数（）的最小值及取最小值时的值分别为（）A．， B．，C．25， D．，25、六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.1 合情推理与演绎推理（人教实验B版选修1-2）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题8分，共32分）1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大2.下列推理过程是类比推理的为（）A.人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C.通过检验溶液的pH值得出溶液的酸碱性D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数3.给出下列三个类比结论：① a b n=a n b n与 a b n类比,则有a b n=a n+b n；②loga（x y）=logax+logay与sin（α+β）类比,则有sin（α+β）=sinαsinβ；③ a b2=a2+2ab+b2与 a b2类比,则有 a b2=a2+2a·b+b2.其中结论正确的个数是（）A.0B.1C.2D.34. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表.设a（i，j∈）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a=8.若a=2 009，则i与j的和为12 43 5 76 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24A.105B.106C.107D.108 二、填空题（每小题8分，共32分） 5.某人按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为{a }，则数到2 010时对应的指头是 ，数列{a }的通项公式a = .（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）6.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a }是等和数列，且a =2，公和为5，那么a 的值为 .7.如果函数f （x ）在区间D 上是凹函数，那么对于区间D 内的任意x ，x ，…，x 都有≤f ().若y =sin x 在区间（0， ）上是凹函数，那么在△ABC 中，sin A +sin B +sin C 的最大值是 .8.在平面几何中,有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ,AC 互相垂直,则 + = ”.拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC ,ACD ,ADB 两两相互垂直,则 ” .三、解答题（每小题18分，共36分）9.在数列{a n }中，a ＝1，当n 2时，其前n 项和 满足 S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求1S 2，1S 3，1S 4及(不需证明)；(2)求数列{a }的通项公式.10.已知数列{a n}中，a4＝28，且满足a n＋1＋a n－1a n＋1－a n＋1＝n.(1)求a1，a2，a3；(2)猜想{a n}的通项公式并证明．2.1 合情推理与演绎推理（人教实验B版选修1-2）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.2.1 合情推理与演绎推理（人教实验B 版选修1-2）参考答案一、选择题1.A 解析：由图知3白2黑一组，即5个为一组，∴ 第36个为第8组的第一个，∴ 第36个圆的颜色是白色. 2. B 解析：依据类比推理的定义容易得出.3.B 解析：①令n =2,则是错误的；②中sin （α+β）的展开式是错误的；③是正确的.4. C 解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数数列，偶数行为偶数数列，2 009＝2×1 005-1，所以2 009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i =63.因为第63行的第一个数为2×962-1=1 923，2 009＝1 923+2（m -1），所以m =44，即j =44，所以i +j =107.所以选C .二、填空题5.食指 4n -1 解析：注意到数1，9，17，25，…，分别都对应着大拇指，且1+8×（252-1）=2 009， 因此数到2 010时对应的指头是食指. 对应中指的数依次是3，7，11，15，…， 因此数列{a }的通项公式是a =3+（n -1）×4=4n -1.6.3 解析：根据等和数列的概念，a +a =5 a =3，同理a =2，a =3，所以数列中的奇数项是2，偶数项是3，所以a =3.7.解析：sin A +sin B +sin C ≤3sin=3sin π=.8.2+D2+D2=D2 解析：将平面几何中线段长度问题类比到空间几何中的三角形面积关系. 三、解答题9.解： (1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1和S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， 得S 22＝(S 2－S 1)⎝⎛⎭⎫S 2－12，得1S 2＝1＋2S 1S 1=1S 12+＝2＋11＝3. 由S 23＝(S 3－S 2)⎝⎛⎭⎫S 3－12， 得1S 3＝2＋1S 2＝5. 由S 24＝(S 4－S 3)⎝⎛⎭⎫S 4－12， 得1S 4＝2＋1S 3＝7. 由S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12， 得1S n ＝2＋1S n －1＝2n －1. (2)由(1)知，S n ＝12n －1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12n －3＝－2(2n －1)(2n －3)， 显然，a 1＝1不符合上述表达式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2(2n －1)(2n －3)，n ≥2. 10.解：(1) a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n .当n ＝3时，a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3.∵ a 4＝28，∴ a 3＝15.当n ＝2时，a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2.∵ a 3＝15，∴ a 2＝6.当n ＝1时，a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1.∵ a 2＝6，∴ a 1＝1. (2)猜想a n ＝n (2n －1)． ①当n ＝1时，a 1＝1，而a 1＝1×(2×1－1)＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即a k ＝k (2k －1)．则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋a k －1a k ＋1－a k ＋1＝k ，a k ＋1＋k (2k －1)－1a k ＋1－k (2k －1)＋1＝k ，整理，得(1－k )a k ＋1＝－2k 3－k 2＋2k ＋1＝(2k ＋1)(1－k 2)， a k ＋1＝(1＋k )(2k ＋1)＝(k ＋1)[2(k ＋1)－1]， 等式也成立．综合①②可知，n ∈N *时，等式成立．。

第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理1．认识合情推理的含．2．能利用和比等行的推理，领会并合情推理在数学中的作用．基梳理1．推理．由某事物的部分象拥有某些特色，推出事物的所有象都拥有些特色的推理，或许由个事归纳出一般的推理称推理 (称 )．言之，推理是由部分到整体、由个到一般的推理．2．比推理．由两象拥有某些似特色和此中一象的某些已知特色，推出另一象也拥有些特色的推理称比推理 (称比 )．言之，比推理是由特别到特别的推理．3．合情推理．推理和比推理都是依据已有的事，察、剖析、比、想，再行、比，而后提出猜想的推理，我把它称合情推理．平常地，合情推理是指“符合情理”的推理．基自1．已知扇形的弧 l，半径 r，比三角形的面公式S＝底×高，可推知扇形面2公式 S 扇等于 (C)r2l 2A. 2B.2lrC.2D．不行比分析：由扇形的弧与半径比于三角形的底与高可得 C.故 C.2．从 1＝ 12， 2＋ 3＋4＝ 32， 3＋ 4＋ 5＋ 6＋7＝ 52，⋯，可得一般律___________________________________________________ ．分析：猜想：第 n 个等式的左是 2n－1 个整数的和，第 1 个数 n，等式的右是整数个数的平方，即一般律n＋ (n＋ 1) ＋(n＋ 2)＋⋯＋ (3n－2)＝ (2n－ 1)2.答案： n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)23 ．根据下列 5 个形及相点的个数的化律，猜想第 n个形中有______________个点．分析：第 n 个图有 n 个分支，每个分支上有(n－ 1)个点 (不含中心点 )，再加上中心 1 个点，则有 n(n－1)＋ 1＝ n2－ n＋1 个点．答案： n2－n＋ 1AE AC 4．在平面几何中，△ABC 的内角均分线CE 分 AB 所成线段的比为EB＝BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD 中 (以下图 )，平面 DEC 均分二面角 ACDB 且与 AB 相交于点 E，则获得的类比结论是 ________．分析：把线段比类比到面积比，得AE＝S△ACD. EB S△BCD答案： AE ＝ S△ACDEB S△BCD（一）解读合情推理数学研究中，获得一个新结论以前，合情推理经常能帮助我们猜想和发现结论；证明一个数学结论以前，合情推理经常能为我们供给证明的思路和方向．合情推理的一般过程为：（二）解读归纳推理(1)归纳推理的分类．①完整归纳推理：由某类事物的全体对象推出结论．②不完整归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．需要注意的是，由完整归纳推理获得的结论是正确的，由不完整归纳推理获得的结论不必定正确．(2)归纳推理的特色．因为归纳是依据部分已知的特别现象推测未知的一般现象，因此归纳推理拥有以下特点：①所得结论超越了前提所包括的范围；②所得结论拥有猜想性质，正确性需要证明；③归纳的基础在于察看、实验或经验．(3)归纳推理的一般步骤．①经过察看、剖析个别状况，发现某些同样特色；②将发现的同样特色进行归纳，推出一个明确表达的一般性命题(猜想 )．（三）解读类比推理(1)类比推理的特色．①类比是从一种事物的特别属性推测另一种事物的特别属性；②类比是以原有知识为基础，猜想新结论；③类比能发现新结论，但结论拥有猜想性，正确性需要证明．(2)类比推理的一般步骤．①明确两类对象；②找出两类对象之间的相像性或许一致性；③用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，获得一个明确的结论．1．归纳推理的一般步骤：(1)经过察看个别状况发现某些同样性质．(2)从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想 )．2．归纳推理的思想进度．实验、察看→ 归纳、推行→ 猜想一般性结论．即对有限的资料进行察看、剖析、归纳、整理，提出带有规律性的结论，而后对该猜想的正确性加以查验．3．一般地，归纳的个别状况越多，越拥有代表性，推行的一般性命题就越靠谱．4．运用类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相像性或一致性．(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．5．类比推理常有的几种题型．(1)类比定义：本类题型解决的重点在于弄清两个观点的相像性和相异性以及运用新观点的正确性．(2)类比性质 (定理 )：本类题型解决的重点在于要理解已知性质 ( 定理 ) 的内涵、应用环境及使用方法，经过研究已知性质 (定理 )，刻画新性质 (定理 )的“相貌”．(3)类比方法 (公式 ) ：本类题型解决的重点在于解题方法．1．下一串白黑相摆列的珠子，按种律往下摆列起来，那么第 36 珠子的色是 (A)○○○●●○○○●●○○○●●○○⋯⋯A ．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大2．数列 2， 5，11， 20， x， 47，⋯中的x 等于 (B)A．28 B．32C．33 D． 273．已知三角形的三分a， b， c，其内切的半径r ，三角形的面：S 1＝2(a＋ b＋ c)r，利用比推理，能够得出四周体的体(C)1A．V＝3abc1B．V＝3Sh1分是四周体四个面的面，r 四周C．V＝ (S1＋ S2＋ S3＋ S4) ·r(此中 S1， S2， S3， S43体内切球的半径)1D． V＝3(ab＋bc＋ ca)h(h 四周体的高)4．等差数列 { a n} 中，有2a n＝ a n－1＋ a n＋1(n≥2，且 n∈ N* )，比以上，在等比数列{ b n} 中似的是________．答案： b2n＝ b n－1· b n＋1( n≥2，且 n∈ N* )1．以下对于推理的法中的是(A)A．推理是由一般到一般的一种推理程B．推理是一种由特别到一般的推理程C．推理得出的拥有有时性，不必定正确D．推理拥有由详细到抽象的功能2．由数列1， 10， 100，1 000，⋯猜数列的第n 可能是 (B)A ． 10nB ．10n－1C． 10n＋1D． 11n3．依据出的数塔猜123 456 ×9＋ 7 等于 (B)1× 9＋ 2＝ 11 12× 9＋3＝ 111 123× 9＋ 4＝ 1 1111 234× 9＋ 5＝11 11112 345 ×9＋ 6＝ 111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113分析：由数塔体现的规律知，结果是各位都是1的 7位数．4．下边使用类比推理正确的选项是 (C)A ．“若 a ·3＝ b ·3，则 a ＝ b ”类推出 “a ·0＝ b ·0，则 a ＝ b ”B ．“(a ＋ b)c ＝ ac ＋ bc ”类推出 “(a ·b)c ＝ ac ·bc ”a ＋ba bC ．“(a ＋ b)c ＝ ac ＋ bc ”类推出 “c ＝ ＋ ( c ≠ 0) ”c cD ．“ (ab)n ＝ a n b n ”类推出 “(a ＋ b)n ＝ a n ＋ b n ” 5． n 个连续自然数按规律摆列以下：依据规律，从 2010 到 2012，箭头的方式挨次是 (C)A ．↓→B ．→↑C ．↑→D ．→↓4 为公差的等差数列，由分析：察看特例的规律知：地点同样的数字是以 11→ 12可知从 2010 到2012为 ↑→. ↑106．以下图，面积为 S 的凸四边形的第 i 条边的边长为 a i (i ＝ 1， 2， 3， 4)，此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 h i (i ＝1，2，3，4)，若a 1 a 2 a 3 a 4＝k ，则 4 2S＝ ＝ ＝ 4(a i h i )＝k .1 2 3i ＝1类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 S i (i ＝ 1，2，3，4)，此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离为H i (i ＝1， 2， 3，4)，若 S 1＝ S 2＝ S 3 ＝K ，则4(S i H i )＝(B)1 2 3i ＝14V 3V 2V VA. KB. KC. KD.K分析：从平面类比到空间，往常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，11 面积为 S ＝ ( a 1h 1＋ a 2h 2＋ a 3h 3＋ a 4h 4)，而在三棱锥中， 体积为 V ＝ (S 1H 1＋ S 2H 2＋S 3H 3＋ S 4H 4)，23即存在系数差别，因此，上述性质类比为B.7．察以下不等式：1 31＋22<2，1 1 51＋22＋32<3，1 1 1 71＋22＋32＋42 <4，⋯照此律，第五个不等式 _______________________________ ．n 个不等式的左＝1＋111分析：察不等式的左，第22＋32＋⋯＋（n＋1） 2，右＝ 2（ n＋1）－ 1，n＋ 1因此第五个不等式11111111＋22＋32＋42 ＋52＋62< 6.8．下是用同格的黑、白两色正方形瓷的若干案，按此律，第n 个案中需用黑色瓷________ (用含 n 的代数式表示 )．分析：第 (1) ，(2) ，(3) ，⋯个案黑色瓷数挨次：15－ 3＝ 12， 24－ 8＝ 16，35－ 15＝20，⋯由此可猜第n 个案黑色瓷数：12＋ (n－ 1) ×4＝ 4n＋ 8.答案： 4n＋ 89． 1 是一个 1 的正三角形，分接个三角形三中点，将原三角形剖分成 4个三角形 (如 2)，再分接 2 中一个小三角形三的中点，又可将原三角形剖分成 7个三角形 (如 3)，⋯，依此推，第 n 个中三角形被剖分红a n个三角形，第 4个中最小三角形的__________ ；a100＝ __________．1答案：29810．的面 S＝π r2，周 c＝ 2π r，二者足 c＝ S′(r)，比此关系写出球的公式的一个是：________．分析：的面、周分与的体和表面比可得，球的体 V＝43π R3，表面S＝ 4πR2，足 S＝V′(R)．432答案： V 球 ＝ π R ，S 球＝ 4π R ， 足 S ＝ V ′(R)．11．在等差数列 { a n } 中，若 a 10＝ 0， 有等式 a 1＋ a 2＋ ⋯＋ a n ＝ a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋a 19－n (n ＜ 19， n ∈ N * )建立． 比上述性 ，在等比数列 { b n } 中，若 b 9 ＝1， 有等式 __________________ 建立．分析： a 10 是等差数列 { a n } 的前 19 的中 ，而 b 9 是等比数列 { b n } 的前 17 的中*．因此答案 ：b 1 b 2 ⋯b n ＝ b 1b 2 ⋯b 17－ n ( n ＜ 17， n ∈ N )．答案： b 1b 2⋯b n ＝ b 1b 2⋯b 17－n (n ＜ 17， n ∈N * )．2212． a n 是首 1 的正 数列，且 (n ＋ 1)a n ＋ 1－ na n ＋ a n ＋ 1·a n ＝0(n ≥1， n ∈ N) ， 出 个数列的一个通 公式．分析：当 n ＝ 1 ， a 1＝ 1，且 2a 22－ a 21＋ a 2· a 1＝ 0，即 2a 22 ＋ a 2 － 1＝ 0 解得 a 2＝ 12；21 21当 n ＝2 ，由 3a 3－ 2 2 ＋2a 3＝ 0，即 6a 23 ＋ a 3 － 1＝ 0，解得 a 3＝ 13，⋯1由此猜想； a n ＝ n .13．在 x2＋ y 2＝ r 2 中， AB 直径， C 上异于 AB 的随意一点， 有 k AC · k BC ＝－ 1，你能用 比的方法得出 x 2 y 22＋ 2＝ 1(a ＞ b ＞0) 中有什么 的 ？a b分析： A(x 0 ，y 0 ) 上的随意一点， A 点对于中心的 称点 B 的坐 (－ x 0， －y 0)，点 P(x ， y) 上异于 A ， B 两点的随意一点，·k ＝ y － y 0 y ＋ y 0 y 2－ y 20k AP · ＝ x 2 2BP x － x 0 x ＋ x 0 － x 0.因为 A ， B ，P 三点都在 上．x 2 y 22＋ 2＝ 1，x 2－ x 02y 2－y 20∴a b两式相减有2 2 a 2 ＋b 2 ＝0，x 0y 0＝ 1，a 2 ＋b 22－ y 222.∴ y220＝－ b2，即 k AP · k BP ＝－ b 2x － x 0aa故 x 2 y 2a 2＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)中 中心的一条弦的两个端点 A ， B ，P 上异于A ， B2的随意一点， 有 k · k BP ＝－ b 2APa .?品尝高考1．(2014 ·西卷 )已知 f(x)＝x ，x ≥ 0，若 f 1(x)＝ f(x)，f n ＋ 1(x)＝ f( f n (x)) ，n ∈ N ＋， f 2 014(x)1＋ x的表达式 ________．xx分析：由 f 1(x)＝ x? f 2(x)＝ fx＝ 1＋ x ＝ x ；又可得 f 3 (x)＝ f(f 2(x)) ＝1＋ x1＋ x x x1＋ x1＋2x1＋1＋ x1＋1＋ 2x＝ x ，故可猜想1＋ 3xxf 2 014(x)＝ 1＋ 2 014x.答案：x1＋ 2 014x2． (2013 ·西卷 ) 察以下等式：(1＋ 1)＝ 2×12(2＋ 1)(2＋ 2)＝ 2 × 1×3(3＋ 1)(3＋ 2)(3＋ 3)＝ 23× 1×3× 5 ⋯照此 律，第 n 个等式可 _______________________________ ． 答案： (n ＋1)( n ＋ 2) ·⋯·(n ＋n)＝ 2n × 1× 3× 5×⋯× (2n － 1)3． (2013 湖·北卷 )在平面直角坐 系中，若点 P(x ，y)的坐 x ， y 格点． 若一个多 形的 点所有是格点， 称 多 形 格点多 形． S ，其内部的格点数 N ， 界上的格点数 L .比如 中 △ ABC的 S ＝ 1，N ＝ 0， L ＝ 4.均 整数， 称点 P 格点多 形的面 是格点三角形，(1) 中格点四 形 DEFG 的 S ， N ， L 分 是 ________； (2)已知格点多 形的面 可表示 S ＝ aN ＋ bL ＋ c ，此中 a ，b ， c 常数．若某格点多形 的 N ＝ 71， L ＝ 18， S ＝ ________(用数 作答 )．分析： (1)四 形 DEFG 是一个直角梯形， 察 形可知：S ＝( 2＋2 2)× 2× 1＝3，N2＝1，L ＝6.(2)由 (1) 知， S 四边形 DEFG ＝a ＋ 6b ＋ c ＝ 3.S △ ABC ＝ 4b ＋c ＝ 1.2 的正方形， 正方形中S ＝在平面直角坐 系中，取一“田 ”字型四 形，组成4， N ＝ 1， L ＝ 8.S ＝a ＋ 8b ＋ c ＝4.立解得 a ＝ 1， b ＝ 1， c ＝－ 1.2∴ S ＝N ＋ 1L － 1，2N ＝ 71， L ＝ 18， ∴若某格点多 形 的S ＝71＋ 1× 18－ 1＝79. 2答案： (1)3，1， 6 (2)794． 古希腊 达拉斯学派的数学家 常在沙 上画点或用小石子表示数．他 研究 下 所示的三角形数：将三角形数1， 3， 6， 10，⋯数列 { a n} ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的序成一个新数列{ b n} ，能够推：(1)b2 012是数列 { a n} 中的第 ________；(2)b2 k－1＝ ________(用 k 表示 )．分析：由以上律可知三角形数1， 3， 6，10，⋯的一个通公式a＝ n（ n＋1），n2写出其若干有：1， 3，6， 10， 15， 21， 28， 36，45， 55，66， 78， 91， 105， 120，此中能被 5 整除的 10， 15，45， 55， 105， 120 ，故 b1＝ a4， b2＝a5，b3＝ a9， b4＝ a10， b5＝ a14， b6＝ a15.进而由上述律可猜想：5k（ 5k－ 1）b2k＝ a5k＝(k 正整数 )，b2k－1＝a5k－1＝（ 5k－ 1）（ 5k－ 1＋1）＝5k（ 5k－ 1），22故 b2 012＝ b2×1 006＝ a5 030，即 b2 012是数列 { a n} 中的第 5 030 ．5k（ 5k－ 1）答案： (1)5 030(2)2点：本考推理，猜想的能力，推理型重在猜想，不必定要明，但猜想需要有必定的和能力，不可以凭空猜想．。

§2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一 推理 1．推理的概念与分类(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理．(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．(3)推理一般分为合情推理与演绎推理． 2．合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理． 知识点二 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电． (2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体． 以上属于什么推理？答案 属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征． 梳理 归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程． (2)归纳推理的一般步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质．②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)． 知识点三 类比推理思考 由三角形的性质：①三角形的两边之和大于第三边，②三角形面积等于高与底乘积的12.可推测出四面体具有如下性质：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积， (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.该推理属于什么推理？ 答案 类比推理． 梳理 类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)． (2)类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．1．类比推理得到的结论可作为定理应用．( × ) 2．由个别到一般的推理为归纳推理．( √ )3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × )类型一 归纳推理命题角度1 数、式中的归纳推理 例1 (1)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n(n ∈N ＋)个等式可为_____________________________________________． (2)已知f(x)＝x 1－x，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n ∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n ∈N ＋)的表达式为________．答案 (1)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n(2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x1－2n －1x解析 (1)等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n(n ∈N ＋)个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n(n ∈N ＋)个等式右边有n 项，且由前几个等式的规律不难发现，第n(n ∈N ＋)个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .(2)∵f(x)＝x 1－x ，∴f 1(x)＝x1－x .又∵f n (x)＝f n －1(f n －1(x))，∴f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2×x 1－2x ＝x1－4x，f 4(x)＝f 3(f 3(x))＝x 1－4x 1－4×x 1－4x ＝x1－8x，f 5(x)＝f 4(f 4(x))＝x 1－8x 1－8×x 1－8x ＝x1－16x，∴根据前几项可以猜想f n (x)＝x1－2n －1x (n ∈N ＋)．引申探究在本例(2)中，若把“f n (x)＝f n －1(f n －1(x))”改为“f n (x)＝f(f n －1(x))”，其他条件不变，试猜想f n (x) (n ∈N ＋)的表达式．解 ∵f(x)＝x 1－x ，∴f 1(x)＝x 1－x .又∵f n (x)＝f(f n －1(x))，∴f 2(x)＝f(f 1(x))＝x1－x 1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x 1－2x 1－x 1－2x ＝x1－3x ，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x 1－3x 1－x 1－3x ＝x1－4x .因此，可以猜想f n (x)＝x1－nx(n ∈N ＋)．反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论． (2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和．①通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；②根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．跟踪训练1 (1)已知x>1，由不等式x ＋1x >2；x 2＋2x >3；x 3＋3x >4；…，可以推广为( )A ．x n＋n x >nB ．x n＋n x >n ＋1C ．x n＋n ＋1x >n ＋1D ．x n＋n ＋1x>n(2)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …，照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2nπ2n ＋1－2＝__________.答案 (1)B (2)43×n ×(n ＋1)解析 (1)不等式左边是两项的和，第一项是x ，x 2，x 3，…，右边的数是2,3,4，…，利用此规律观察所给不等式，都是写成x n ＋n x >n ＋1的形式，从而归纳出一般性结论：x n＋n x>n ＋1，故选B.(2)观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.命题角度2 几何中的归纳推理例2 如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点的个数为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n答案 B解析 由已知图形我们可以得到： 当n ＝1时，顶点共有12＝3×4(个)， 当n ＝2时，顶点共有20＝4×5(个)， 当n ＝3时，顶点共有30＝5×6(个)， 当n ＝4时，顶点共有42＝6×7(个)， …，则第n 个图形共有顶点(n ＋2)(n ＋3)个， 故选B.反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．跟踪训练2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．答案 5n ＋1解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n 个图案中黑色地面砖的块数为6＋(n －1)×5＝5n ＋1.类型二 类比推理例3 如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4等于多少？解 对平面凸四边形： S ＝12a 1h 1＋12a 2h 2＋12a 3h 3＋12a 4h 4 ＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4) ＝k2(h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4)， 所以h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk ；类比在三棱锥中，V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4 ＝13(KH 1＋2KH 2＋3KH 3＋4KH 4) ＝K3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)． 故H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3VK.反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论． (2)平面图形与空间图形的类比如下：跟踪训练3 (1)若数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有数列b n ＝12nn (n ∈N ＋)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列，且c n >0，则有数列d n ＝___(n ∈N ＋)也是等比数列． 答案nc 1c 2c 3…c n解析 数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn (n ∈N ＋)也是等差数列．类比猜想：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n ＝nc 1c 2c 3…c n 时，数列{d n }也是等比数列．(2)如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b·cosC＋c·cosB，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解 如图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cosα＋S 2·cosβ＋S 3·cosγ.1．有一串彩旗，?代表蓝色，?代表黄色．两种彩旗排成一行： ???????????????????????????…，那么在前200个彩旗中黄旗的个数为( ) A ．111B ．89C ．133D ．67 答案 D解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗．则200÷9＝22余2，则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.故选D.2．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形答案 C解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C. 3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得到的一般结论是( )A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n 2B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n 2D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2答案 B4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V 1，V 2， 则V 1∶V 2＝13S 1h 1∶13S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.5.在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误． 3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性 (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．一、选择题1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A ．若“a·3＝b·3，则a ＝b ”类比出“若a·0＝b·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b)c ＝ac ＋bc ”类比出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“若(a ＋b)c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比出“(a ＋b)n＝a n＋b n” 答案 C解析 显然A ，B ，D 不正确，只有C 正确．2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B. C.D.考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 A解析 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比可以得到( ) A ．空间中平行于同一直线的两直线平行 B ．空间中平行于同一平面的两直线平行 C ．空间中平行于同一直线的两平面平行 D ．空间中平行于同一平面的两平面平行 答案 D解析 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比． 4．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中所示的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2答案 C解析从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.6．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9答案 D7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体A－BCD的体积为V，则R等于( )A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4答案 C解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ， ∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 8．已知f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝4，f(4)＝7，f(5)＝11，…，则f(10)等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199答案 C解析 由题意可得f(3)＝f(1)＋f(2)，f(4)＝f(2)＋f(3)，f(5)＝f(3)＋f(4)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18，f(7)＝f(5)＋f(6)＝29，f(8)＝f(6)＋f(7)＝47，f(9)＝f(7)＋f(8)＝76，f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.二、填空题9．正整数按下表的规律排列，则上起第2017行，左起第2018列的数应为________________．考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用答案 2017×2018解析 由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2018列的第一个数为20172＋1，由连线规律可知，上起第2017行，左起第2018列的数应为20172＋2017＝2017×2018.10．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________________________________.答案 若a ＋b ＝20(a ≠b)，则a ＋b<210，a ，b 为正实数11．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cosx)′＝－sinx ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.考点 归纳推理题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 －g(x)解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．12．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n，…的长度构成数列{a n}，则此数列{a n}的通项公式为a n＝________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案n解析根据OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝OA21＋A1A22＝12＋12＝2，a3＝OA3＝OA22＋A2A23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n＝n.三、解答题13．设a>0，且a≠1，f(x)＝1a x＋a.(1)求值：f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明．解(1)f(0)＋f(1)＝11＋a ＋1a＋a＝1a＝aa，f(－1)＋f(2)＝1a－1＋a＋1a2＋a＝1a＝aa.(2)由(1)归纳得对一切实数x，有f(x)＋f(1－x)＝a a.证明：f(x)＋f(1－x)＝1a x＋a ＋1a1－x＋a＝1a x＋a＋a xa(a＋a x)＝a＋a xa(a＋a x)＝1a＝aa.四、探究与拓展14．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a,52的“分裂”中的最大数是b，则a＋b＝________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 30解析 观察题图易得∴a ＝21，b ＝9，∴a ＋b ＝30.15．如图(1)，在平面内有面积关系S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．解 类比S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB， 有V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC证明如下：如图(2)，设C ′，C 到平面PAB 的距离分别为h ′，h.则h ′h ＝PC ′PC， 故V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝13·S △PA ′B ′·h′13S △PAB ·h ＝PA ′·PB′·h′PA·PB·h ＝PA ′·PB′·PC′PA·PB·PC .。

■orER ZHANG合情推理与演绎推理2.12抽象问謹情境化 新知无师自通推理.归纳推理（乙）（乙）[对应学生用书P11]（3）推理一般分为合情推理与演绎推理图（甲 推理2.合情推理（1）根据一个或几个已知事实（或假设）得岀一个判断，这种思维方式就是推理1.推理的概念与分类合情推理提示：由图知：a i = OA i = 1前提为真时，结论可能为真的推理, 叫做合情推理.常用的合情推理有归纳推理和类比 问题1:图（甲）是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图 A 7A 8= 1,把图（乙）中的（2）推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实 （或假设），叫做前提；一部分是由已知判断推出的判断，叫做结 ______直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1, OA 2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA 1= A 1A 2= A 2A 3试计算 a 1, a 2, a 3, a 4的值 OA n 的长度构成数列{a n }a 2 = OA 2 = J OA 2 + A 1A 2= , 12+ 12= J 2, a 3 = OA 3 = \/OA 2 + A 2A 3 = ^（x/2 J + 12 = V 3a4 = OA4 = OA3 + A3A4 = ® 2 + 1 =申=2.问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{a.}的通项公式a n吗？提示：能猜想出a n= n.(n € N +)问题3:直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和都是180°你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是180°问题4：以上两个推理有什么共同特点？提示：都是由特殊推想出一般结论.归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程.⑵归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).mro 类比推理已知三角形的如下性质(1) 三角形的两边之和大于第三边；1(2) 三角形的面积等于高与底乘积的2.问题1:试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质.提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.1(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的3.问题2:以上两个推理有什么共同特点？提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征.问题3:以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是.归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从其中一类事物的性质去推测另一类事物的性质的推理.类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比).(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).［归纳-升华-领悟］----------------------------- 、1. 归纳推理的特点：(1) 归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围.(2) 归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验，即结论不一定可靠.2. 类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现.⑵类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能.3. 归纳推理和类比推理都属于合情推理.运駅/点巫也也：T-W总瑟［对应学生用书P12］数、式中的归纳推理［例1］根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式:(1) a i = 1, a n + 1 = 2a n+ 1(n€ N +);. a n(2) a1 = 1, a n+1 = ~(n€ N + ).1十a n［思路点拨］由a1求a 由a2求af由a3求af分析a2、a3、a4的结构特征猜想通项公式［精解详析］(1)由a n + 1 = 2a n+ 1 及a〔= =1 得a2= 2 x 1 + 1 = 3,a3= 2X 3 + 1 = 7, a4= 2X 7 + 1 = 15,a5= 2X 15+ 1 = 31.由a1= 1 = 21—1, a2= 3= 22—1,a3= 7= 23—1, a4= 15 = 24—1, a5= 31 = 25—1, 可归纳猜想a n= 2n—1(n€ N +).⑵当n = 1 时，a1= 1，由a n+1= an (n € N +)得1 + a nB A W01a i 1 a2=1 + a i = 2， a 22 1a3=右==3，1+ 2 1 a 331 a4=右=4. 1+ 31可归纳猜想：｛a n ｝的通项公式a n = n［一点通］归纳猜想数列通项公式的具体步骤是： (1) 通过条件求得数列中的前几项；(2) 观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式.1. 将全体正整数排成一个三角形数阵：4 5 6 7 89 1011 1213 1415根据以上排列规律，数阵中第 n 行(n 》3)的从左到右的第3个数是.解析：前1行共1个数； 前2行共1 + 2= 3个数； 前3行共1 + 2+ 3= 6个数；前4行共1 + 2+ 3+ 4= 10个数； 前5行共1 + 2+ 3+ 4+ 5= 15个数；前 n — 1 行共 1 + 2+ 3+ 4+ - + (n — 1)= 因此，第n 行第3个数是全体正整数中第答案： 2 n — n +62•在数列｛a n ｝中，a 1= 1且S n , 5+1,23成等差数列，计算 生，S 4并猜想S n 的表达式.解：依题意得 2S n + 1= S n + 2S 1, S 1 = a 1 = 1. 当 n = 1 时，2S 2= S| + 2S 1,个数.c 3 3…£ = 一 S*i = —；2 2 1 23 7当 n = 2 时，2S 3= S 2 + 2S i =㊁ + 2 =㊁；Ss =4；7 15当 n = 3 时，2S 4= S 3 + 2S i = 4 + 2 =才,B. 31D . 36［思路点拨］解答本题可有两种思路：第一种，直接数个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块 “公共”的有菱形纹正六边形.［精解详析］法一：有菱形纹的正六边形个数如下表:图案 1 2 3个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6 + 5X (6 — 1)= 31.法二：由图案的排列规律可知第一块无纹正六边形需 6个有纹正六边形围绕，每增加一块无纹正六边形，只需增加 5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块"公共”的菱形纹正六边形 )，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为： 6 + 5X (6 —1)= 31.答案：B［一点通］解决图形中归纳推理的方法(1) 从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系；(2) 从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较， 数值发生了怎样的变化.猜想S n =2n - 12“-1 (n € N +).几何中的归纳推理 [例2]有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼合成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(C . 32 第一牛图秦)第二个图案第三个图案- S A PBC + S A FAC + S ^PAB = S ^ABC ,3.如图，第n 个图形是由正（n + 2）边形“扩展”而来（n = 1,2,3，…），则第n 个图形中 的顶点个数为（）解析：第一个图形共有12= 3X 4个顶点，第二个图形共有20 = 4X 5个顶点，第三个图 形共有30= 5X 6个顶点，第四个图形共有 42= 6 X 7个顶点，故第n 个图形共有（n + 2）X （n+ 3）个顶点.答案：B 4.把1,3,6,10,15,21，…，这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形（如下图），则第七个三角形数是.解析：第七个三角形数为 1 + 2 + 3+ 4+ 5 + 6 + 7= 28. 答案：28类比推理的应用［例3］ （12分）如图所示，在平面上，设 h a , h b , %分别是△ ABC 三条边上的高，P 为证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.A . (n + 1)(n + 2) C . n△ ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为P a , P b ，P c ，可以得到结论瓷+瓷+穿1［精解详析］1?BC p a；BC h a& PBCS^ABC’ ,△ 1 3同理, P b= S^PAC P c = FAB h b SS BC ' h c S^ ABC(2分)-S A PBC+S A FAC+S^PAB = S^ABC,类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体 ABCD 中，设 h a , h b ,h e ，h d 分别是四面体的四个顶点到对面的距离， P 为四面体内 任意一点，P到相应四个面的距离分别为 P a ，P b ，P e ，P d ，可以得到结 论計壯計h d =1.(8分)•' V p -BCD + V p - ACD + V p -ABD + V p -ABC = V A -BCD ，• P a +P b + 囚+ Pd • h a h b h e h dVp -BCD+Vp - ACD+Vp -ABD+Vp - ABC=1.V A -BCD［一点通］(1) 类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元 素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论.(2) 平面图形与空间图形类比如下：平面图形 占八、、线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体""暑値臬制"和5•实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质： a b = b a ， a b = b a ，(a + b) e = a c + b e ， (a + b) e = a e + b e. 则由①(a b) e = a (b e)，②若 0， a e = a b ，贝U b = e ，猜想对于向量的数量积有什么样的结论，猜想是否正确？ 解：猜想：①(a b) e = a (b e)， ②若 a 工 0， a e = a b ，贝U b = e ，证明如下：1S ABCD P aP a 3 V P - BCD h a 1V A - BCD’BCD h aP b V P - ACD P e V P -ABD P d V p - ABCh b V A - BCD’h e V A -BCD 'h d V A -BCD’P »+ P e _ S A PBC + S A FAC + S A PABSx ABC1. （4分）同理,（10分） （12 分） h b h eA这两个结论都不正确.①式左边表示与e共线的向量，右边表示与a共线的向量，e与a不一定共线，就不一定相等.②a e= a b，|a||e| eos〈a，e>= |a| |b| eos〈a，b>，可得|e| eos〈a，e>= |b| eos〈a，b>，则c , b 在a 方向上的投影相等，b , c 不一定相等.6.如图所示，在△ ABC 中，a = b c os C + c c os B ,其中a , b , c 分别为角 A , B , C 的 对边•写出对空间四面体性质的猜想.解：如图所示，在四面体 P —ABC 中，S i ,色，S 3, S 分别表示△ PAB , △ PBC , △ PCA , △ ABC 的面积，a 3, 丫依次表示面FAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小.猜想 S = S i cos a+ S 2 cos 3+ S 3 cos 丫［方法-规律 —J 、结］ --------------------------1•用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事 例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.2•进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一 点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.3•多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些. ⑵这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性.(3) 这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.1. 观察下列各式： 1= 12,2+ 3+ 4 = 32,3 + 4 + 5 + 6+ 7= 52,4+ 5 + 6 + 7+ 8+ 9+ 10 =72,…，可以得出的一般结论是( )2A . n +(n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n - 2) = n2B. n + (n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n — 2) = (2n — 1)2C. n + (n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n — 1) = n2D. n +(n + 1) + (n + 2) + …+ (3n — 1) = (2n — 1)解析：观察很容易发现规律： n +(n + 1) + (n + 2)+…+ (3n — 2) = (2n — 1)2.应用阪YINGYQNG课下训练经典化，贵衽触类旁通［对应学生用书P15］答案：B2. 已知｛b n｝为等比数列，b5 = 2,贝V Sb2b3…b g= 29若｛a n｝为等差数列，a5= 2,则｛a n｝的类似结论为()9. a i + a2+•…+ a9= 29A . a i a2a3…a?= 2BC. a i a2…a9 = 2x 9D. a i + a2+…+ a9= 2 x 9答案：D3 •用火柴棒摆“金，如图所示：鱼”①②③按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A. 6n —2B. 8n—2C. 6n + 2D. 8n+2解析：由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，可以写成a1= 8= 6 + 2.又a2= 14= 6X 2 + 2, a3= 20 = 6x 3 + 2,…所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n + 2.答案：C4•平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A•空间中平行于同一直线的两直线平行B •空间中平行于同一平面的两直线平行C. 空间中平行于同一直线的两平面平行D. 空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比.答案：Dx5. (山东高考)设函数f(x)= ― (x>0)，观察：x I 2xfi(x)= f(x)= x + 2，xf2(x) = f(fl(x))= 3x+ 4，xf3(x) = f(f2(x))= 7x| 8，xf4(x)= f(f3(x))=亦x i品，根据以上事实，由归纳推理可得：当n € N +且n>2 时，f n(x)= f(f n-i(x))=.X —、 xf 2（x ） = 22— 1 x + 22，f3（x ）= 23- 1 X + 23， f4（x ） = 24— 1x + 24， X ____ f n （x ） = 2n — 1 x + 2n . 6. 给出下列推理: (1)三角形的内角和为(3 — 2) 180 °四边形的内角和为(4 — 2)180°五边形的内角和为(5 — 2) 180°所以凸n 边形的内角和为(n — 2) 180°;(2) 三角函数都是周期函数， y = tan x 是三角函数，所以y = tan x 是周期函数；(3) 狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的， 狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4) 在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空 间中如果两条直线同时垂直于某个平面，则这两条直线互相平行.其中属于合情推理的是.(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断.因为 (1)(3)都是归纳推理， ⑷是类比推理，而 ⑵不 符合合情推理的定义，所以⑴(3)(4)都是合情推理.答案：⑴⑶⑷17. 已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n , a 1= 1 且 S n - 1+ S + 2 = 0(n > 2)，计算 S 1，S 2, S 3 , S 4,并猜想S n 的表达式.解：当 n = 1 时，S 1= a 1= 1 ；1 1当 n = 2 时，&=一 2 一 S 1 = — 3，…S 2=—：； S 2 31 5 3当 n = 3 时，§ = — 2 — S 2= — 3，二 S 3=— 5；1 7 5当 n = 4 时，(=—2 — &=_?二 S 4=—刁.S 4 5 72n — 3解析：由已知可归纳如下:f l （x ） = 答案: X ___2n — 1 x + 2n x猜想：S n= —2n—1 (n€ N +).&已知椭圆具有以下性质：已知 M , N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭 圆上任意一点，若直线 点P 的位置无关的定值. PM , PN 的斜率都存在，并记为 k pM , k pN ,那么k pM 与k pN 之积是与 2 试对双曲线 x a 解：类似的性质为: 已知 M , N 是双曲线 2 y = 1(a > 0, b > 0)写出类似的性质，并加以证明. 2 x —2 a 2 -y2= 1(a > 0, b > 0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线 PM , PN 的斜率都存在，并记为 k pM ，k pN ,那么k pM 与k pN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点 M 、P 的坐标为(m , n), 2 2•••点M(m , n)在已知双曲线拿—y 2= 1上, 2 2 , 2 .m n 2 b 2 2•-孑-^= 1，得 n =尹-b ,(x . y),贝U N 点的坐标为(-m ,— n). 同理 y 2= O^x 2- b 2 2 2 二 y — n 2 —m 2). 2 2 y — n y +n y ― n 贝U k pM k PN = - = 2~x — m x + m x — m a x — m 2 2 2 b 2 x — m 2= -2 • ~2。

推理与证明知识回顾对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力。

通过本章的复习，培养推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力。

一、推理部分1.知识结构框图：2.合情推理：＿＿＿＿与＿＿＿＿统称为合情推理。

①归纳推理:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.②类比推理:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理;而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知,从而推出结论。

但是结论的可靠性有待证明.③推理过程：从具体问题出发→＿＿＿＿＿＿→归纳类比→＿＿＿＿＿＿.3.演绎推理:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

①定义特点:演绎推理是由一般到特殊的推理;②学习要点:演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式:“三段论”：ⅰ大前提:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;ⅱ小前提:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；ⅲ结论:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.集合简述：ⅰ大前提:x M∈且x具有性质P；ⅱ小前提：y S⊆;∈且S Mⅲ结论:y也具有性质P;４。

合情推理与演绎推理的关系：①合情推理中的归纳推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性；二、证明部分１。

知识结构框图２.综合法与分析法①综合法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.②分析法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

学习要点：在解决问题时,经常把综合法与分析法合起来使用；使用分析法寻找成立的条件,再用综合法写出证明过程。

③反证法:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.学习要点:反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿＿等矛盾。

3。

数学归纳法一般地,证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下:(1）(归纳奠基）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；(2）(归纳递推)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.其证明的方法叫做数学归纳法. 学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可.特别地，在证明第二步1n k =+时命题成立，一定要用上归纳假设n k =时命题成立;另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向；数学归纳法常和合情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提.三、考查要求“合情推理”是一种重要的归纳、猜想的推理，它是发现问题和继续推理的基础。