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光学材料中的非线性光学特性分析光学材料是指能够对光进行控制、调节以及产生新的光学效应的材料。
非线性光学特性是光学材料中一种重要的现象，其研究在光通信、激光技术、光信息处理等领域具有广泛的应用价值。
本文将对光学材料中的非线性光学特性进行分析，探讨其机理以及应用前景。
1. 非线性光学特性简介非线性光学特性是指当光与光学材料相互作用时，产生的光学效应与入射光强度不呈线性关系的现象。
与线性光学特性不同，非线性光学特性由于其强度依赖关系的非线性性质，使得光学材料在应用中具有更加丰富的功能和效果。
常见的非线性光学效应包括二次谐波发生、和频与差频发生、自聚焦、自相位调制等。
2. 非线性光学效应的机理非线性光学效应的产生是由于光照射到光学材料中的原子或分子后，其能级结构发生变化并引发非线性相互作用。
比如，二次谐波发生是由于材料的非线性极化率产生了非线性响应，将入射的光分解为频率为二倍的新光。
自聚焦效应是由于材料的光折射率与光强度的关系非线性，使得光束在传播过程中自动聚焦。
3. 光学材料中的非线性光学特性研究方法为了研究和应用光学材料中的非线性光学特性，科学家们发展了多种实验方法。
其中，著名的方法包括Z-scan技术、功率扭曲、相位匹配等。
Z-scan技术可测量材料的非线性吸收和折射率，并通过测量传播动力学过程来分析非线性效应。
功率扭曲实验通过改变光束强度来研究材料的非线性响应。
相位匹配为材料中的非线性效应提供了最佳的相位条件，以增强非线性光学效应。
4. 非线性光学特性在光通信中的应用非线性光学特性在光通信中具有重要的应用价值。
比如，光纤通信中信号调制和光时钟的生成都离不开非线性光学效应。
非线性光学特性还可用于光通信中的光放大器、光开关和光限幅器等器件的设计和制造。
利用非线性光学特性，还可以实现光通信中的非线性光调制和光波混频等功能。
5. 非线性光学特性在激光技术中的应用非线性光学特性在激光技术中有着广泛的应用。
物理学中的非线性光学现象在我们日常所接触的物理世界中，线性光学现象占据了大部分的经验和认知。
然而，当我们深入探究光与物质相互作用的微观层面时，会发现一个充满奇妙和复杂性的领域——非线性光学。
线性光学遵循着一些简单而直观的规律，比如光的折射、反射和吸收等，在这些过程中，输入光的强度与输出光的强度成正比。
但非线性光学现象却打破了这种线性关系，展现出了更为丰富和奇特的特性。
让我们先来了解一下什么是非线性光学现象。
简单来说，当光与物质相互作用时，如果响应与光的电场强度不成正比，就出现了非线性光学效应。
这意味着，当光的强度足够大时，物质对光的响应不再是简单的线性叠加，而是会产生一些新的、独特的光学现象。
其中一个重要的非线性光学现象是二次谐波产生。
想象一下，当一束特定频率的激光照射到某些非线性晶体上时，会产生频率为入射光两倍的新的光波。
这就好像原本的“旋律”在与物质的“互动舞蹈”中，意外地创造出了一个“高音和声”。
这种现象在激光技术、生物医学成像等领域都有着重要的应用。
另一个有趣的非线性光学现象是和频与差频产生。
当两束不同频率的光同时照射到非线性介质上时，会产生它们频率之和或之差的新光波。
这就像是两种不同的“音符”在物质这个“舞台”上碰撞，产生了全新的“音律”。
这种现象在光学频率转换、光谱分析等方面发挥着关键作用。
自聚焦和自散焦现象也是非线性光学中的奇特表现。
当强光通过某些介质时，由于介质的折射率会随光强的变化而改变，可能导致光自己聚焦成更细的光束，或者相反地，变得更加发散。
这就好像光在介质中具有了“自我塑形”的能力。
还有一种常见的非线性光学现象是光限幅。
在一些特殊的材料中，当入射光的强度较低时，材料对光的透过率较高；但当光强超过一定阈值时，透过率会急剧下降，从而限制了强光的通过。
这就像是给光的传播设置了一个“安全阀”，保护了后续的光学系统免受强光的损害。
那么，非线性光学现象是如何产生的呢？这主要与物质的微观结构和电子的运动状态有关。
非线性光学非线性光学（NonlinearOptics）是光学中一个新兴的领域，它涉及到光与物质间相互作用的基础理论及其在实验室中的应用。
它是由20世纪50年代以来经过不断推进发展而来，逐渐成为光学研究中一个重要组成部分。
在光学研究中，随着大量研究，人们发现了下面几种形式的非线性光学现象：非线性折射、非线性屈折、非线性发射、非线性衍射、介质中的非线性共振及非线性干涉等。
首先，谈谈非线性折射。
非线性折射是指在介质中的光强度发生变化的情况下，光的折射率也会随之发生变化。
这种变化经常在激光器及光纤中出现。
非线性折射也能被用来实现光学元件的聚焦及散焦。
非线性折射可以利用介质中的离子链中空心光纤的实现。
其次，讨论非线性屈折。
这是一种可以改变介质中光的传播方向的现象，它能将光从原来的方向转向新的方向。
它可以用来调节光。
这种现象通常发生在非线性介质中，例如晶体、液体，及其他类型的介质中。
再次，探讨非线性发射。
非线性发射是指在介质中，由于光的强度发生改变，导致物质对光的反应也发生变化，也就是说物质会产生自发辐射。
当物质在强光场中受到激发，会产生一类新的光，该光被称为非线性发射。
非线性发射，例如荧光（fluorescence）、激发荧光（excitation fluorescence），它的发射品质可能比原始光的品质要高，也可能比原始光的品质要低。
此外，非线性衍射也是一种常见的非线性光学现象。
它指的是当物质在入射的光的波长或强度发生变化时，反射的光会发生变化。
这种变化可以使反射的光被分离成不同的波长，或者可以使反射的光变成多个光束。
再者，讨论一下介质中的非线性共振。
它是指在一定的条件下，当光入射到动态可变的介质中，会产生对光变化的反馈，以达到共振或稳定性的效果。
非线性共振也是实现光学元件的一种方法，如激光器、调制器等。
最后，介绍一下非线性干涉。
它是指当入射的光的强度与介质的参数相互作用时，可以通过相干、共振抑制等现象来调节光的传播过程，从而形成有特定的干涉图案。
非线性光学现象的基本描述导语：光学是一门研究光传播和光与物质相互作用的学科。
我们常常接触到的光学现象多数是线性光学，即光的传播和物质对光的响应遵循线性关系。
然而，当光强足够强大，或与物质相互作用时，我们就会观察到非线性光学现象。
本文将对非线性光学现象的基本描述进行探讨。
1. 非线性光学现象的起因光与物质相互作用时，通常可以用极化来描述物质对光的响应。
在线性光学中，物质的极化与光的电场强度存在线性关系。
然而，当光强足够强大时，光子与物质的相互作用变得显著，极化则不再遵循线性关系，从而引发非线性光学现象。
2. 折射率和非线性光学在介质中，光的传播速度受折射率的影响。
在非线性光学中，高光强下，光与物质的相互作用会引起折射率的变化。
这种折射率变化可导致光的自聚焦、自散焦等非线性光学现象的产生。
自聚焦是指在具有正非线性折射率的介质中，光束在传播过程中由于自身的非线性效应而逐渐凝聚，使光束变得更加集中。
而自散焦则是光束由于介质中的负非线性效应而扩散。
3. 光学非线性介质非线性光学现象广泛存在于各种介质中。
其中，某些晶体（如二硫化碳和锂酸铷）和气体（如氮气和二氧化碳）具有较强的非线性效应。
此外，光纤、液晶等也可作为非线性光学介质。
这些介质在非线性光学应用中具有重要意义。
4. 光学非线性效应的应用非线性光学现象不仅仅是一种有趣的现象，还具有广泛的应用价值。
例如，光学非线性效应可用于光通信、光储存、光计算等领域。
在光通信中，非线性光学现象可实现光脉冲的成型、调制和解调，提高通信速度和带宽。
而在光计算中，非线性光学器件可以进行光学逻辑运算和信息处理，实现光计算的高速性能。
5. 非线性光学研究的挑战尽管非线性光学现象具有丰富和多样的特性，但其研究仍然面临一些挑战。
首先，需要精确控制光强，以实现特定的非线性效应。
其次，对于复杂的非线性系统，需要建立准确的模型和理论。
此外，非线性光学的实验装置和测试方法需要不断改进和创新。
非线性光学的原理和应用随着科学技术的不断进步，人们对于光的研究也越来越深入，光的波动性和粒子性使得光成为了一种非常有趣的研究对象。
而非线性光学则是光学研究中的重要分支之一。
本文将从什么是非线性光学、非线性光学的原理、非线性光学的应用等几方面来探讨该领域。
什么是非线性光学非线性光学简单来说就是当光场或光子流密度在光学介质中的强度很大时，介质的响应就不再遵循线性关系，而是会有类似于浸染效应、倍增效应等等非线性效应的表现。
这种效应的出现既可以是由于光场强度增加产生的光学非线性响应导致的，也可以是介质内部的非线性响应导致的。
在光场或光子流密度足够小的情况下，光场可以视为线性，则光的传输过程就可以视为微扰的线性系统，那么一旦光场强度超过一定阈值，光就不再遵循线性关系，就会产生非线性效应。
非线性光学的原理在非线性光学中，非线性效应主要分为三类：颠簸、三阶、四阶。
其中，三阶非线性效应（非线性折射率）是非常重要的，该效应来源于二阶非线性响应的积分积累效应，使光在介质中传输时光路及传播速度会产生改变。
保守系统中的非线性效应大多源自于材料的非线性折射率。
而行程或非行程中的非线性效应则是由于一些非线性折射率（由介质质量的快速变化引起的非线性折射率）或自制行的非线性材料性质。
生成二倍频和三倍频的原理光非线性效应的一个直接应用，是新型高效频率换能材料的开发，例如用于激光的谐频（2倍频）或三倍频（3倍频），甚至更高次倍频。
生成二倍频和三倍频的原理是将激光辐射进结构关紧的非线性晶体内，基频光与谐频光可以通过非线性光学效应相互耦合，形成新的谐频光。
当光强足够强时，非线性效应可以明显地改变光的相位，而且基频光本身对于部分介质也会表现出较强的非线性响应，因此如果光的强度足够高，基频光和谐频光相互作用的效应就会更加强烈。
通过多次倍频，我们就可以得到更高次的频率，如四倍频、五倍频等等。
非线性光学的应用非线性光学在实际应用方面也广泛存在。
非线性光学知识点总结1. 非线性光学基础知识1.1 非线性极化在非线性光学中，光在介质中的传播会引起介质极化现象。
通常情况下，介质的极化与光场的电场强度成正比。
在非线性光学中，介质的极化与光场的电场强度不再呈线性关系，而是存在非线性极化效应。
非线性极化效应包括二阶非线性极化、三阶非线性极化等。
1.2 介质的非线性光学特性介质的非线性光学特性通常由介质的非线性极化特性决定。
不同类型的介质具有不同的非线性极化特性，如各向同性介质、各向异性介质、非晶介质等。
介质的非线性光学特性对于光的强度、频率、极化方向等都有影响。
2. 非线性光学效应2.1 二次谐波产生二次谐波产生是一种光学非线性效应，它是指当一个介质中的光场具有足够强的非线性极化能力时，光会发生频率加倍的现象。
这种效应通常用于频率加倍和广谱显示等光学应用。
2.2 自聚焦效应自聚焦效应是一种非线性光学效应，它是指在介质中传播的光束因介质本身的非线性光学特性而产生自聚焦的现象。
自聚焦效应可用于激光聚焦、钻孔加工等应用。
2.3 自相位调制效应自相位调制效应是一种光学非线性效应，它是指光在介质中传播时，介质的非线性光学特性引起了光场相位的调制现象。
自相位调制效应对于光信息处理、光通信等领域具有重要意义。
3. 非线性光学器件3.1 光学双折射晶体光学双折射晶体是一种常用的非线性光学器件，它具有很强的非线性极化特性，可用于二次谐波发生、自聚焦等应用。
3.2 光学相位共轭镜光学相位共轭镜是一种利用光学非线性效应实现的器件，它可以实现光的自相位调制、波前修正等功能，可应用于激光稳频、激光通信系统等领域。
3.3 光学非线性晶体光学非线性晶体是一种常用的非线性光学器件，它具有很强的非线性极化特性，可用于二次谐波发生、频率加倍、光学调制等应用。
4. 非线性光学应用4.1 激光频率加倍激光频率加倍是一种常用的非线性光学应用，它可以实现激光的频率加倍，从而获得更高的激光频率。
非线性光学的基本原理与应用非线性光学是研究光与物质相互作用时引起的非线性效应的一门学科。
与线性光学不同，非线性光学研究的是强光场下，光与物质之间的非线性相互作用过程。
它涉及到光强、偏振、频率等多个方面的因素，包括一些重要的效应和现象，如倍频、和谐生成、光学全息、自聚焦等。
非线性光学不仅在基础研究方面有重要作用，同时在信息处理、光通信、激光技术等众多领域也有广泛应用。
一、基本原理：非线性光学的基本原理可以从哈密顿量的角度进行解释。
在经典电动力学中，电子受到电磁场的作用时，其运动方程为：m(d²r/dt²) = -e(E + v×B)其中，m为电子的质量，r为电子的位置矢量，t为时间，e为电子的电荷量，E为电磁场对电子的电场，B为电磁场对电子的磁场，v为电子的速度。
在非线性光学中，介质的极化强度与电场的关系不再是线性的，而具有非线性的电场-极化关系。
这是因为电子在强光场作用下，其运动方程中的二次项和更高次项不能忽略。
二、效应与应用：1.倍频现象：倍频效应是非线性光学中最常见的效应之一。
它利用非线性光学晶体的非线性光学性质，将输入光的频率倍增。
这种倍频现象被广泛应用于激光技术领域，可用于制造高功率激光器、红外光学器件等。
2.和谐生成：和谐生成是通过非线性光学晶体实现将输入光的频率与光学晶体本身的特征频率相结合的过程。
这种效应可以用于制造光学频率标准器、精密测量仪器等。
3.光学全息：光学全息是利用非线性光学效应来记录和再现物体的全息图像。
它具有高分辨率、大容量等优点，在图像存储、光学图像处理等方面有广泛应用。
4.自聚焦：自聚焦效应是在大光强场作用下，物质的折射率随光强变化而引起的对光的聚焦。
这种效应广泛应用于激光切割、光通信等领域。
5.光学非线性材料：非线性光学材料是利用非线性光学效应制备的材料，具有改变光学特性、电光效应、光致变色等特点。
这类材料在信息存储、光通信、光信息处理等方面有广泛应用。
非线性光学现象及其应用随着科学技术的发展，非线性光学领域逐渐成为研究的热点之一。
非线性光学现象在物理学、化学以及材料科学等领域有着广泛的应用价值。
本文将介绍非线性光学现象的基本原理，以及其在通信、光存储和生物医学等方面的应用。
非线性光学现象的基本原理非线性光学现象指的是材料在高强度激光照射下产生的不符合线性关系的光学效应。
这一非线性响应是由于电子在强激光场中发生二次谐波产生、自聚焦、自调制和自相位调制等过程引起的。
其中，二次谐波产生是最常见的非线性光学效应之一，其原理是激光通过非线性光学晶体时，频率加倍形成二次谐波。
这些非线性现象可以通过材料的非线性极化来解释，其具体机理涉及电子与光子之间的相互作用过程。
非线性光学现象在通信领域的应用在通信领域，非线性光学现象被广泛应用于光纤通信系统和激光器中。
其中，在光纤通信系统中，自相位调制和自聚焦效应通过改变光信号的相位和波长来实现信号调制和传输。
这不仅提高了系统的传输速率和容量，还减少了信号损耗和噪声干扰。
此外，非线性光纤还可用于频率转换、波长多路复用和超快速数据传输等技术中。
非线性光学现象在光存储领域的应用非线性光学现象在光存储领域也有重要应用。
通过利用材料在激光场中发生退火或形成空间电荷转移的机制，可以实现激光记录、激光打印和激光扫描等技术。
这些技术具有高容量、高密度和快速读写等优点，被广泛应用于数字储存、光盘储存和高清晰度视频存储等领域。
非线性光学现象在生物医学领域的应用非线性光学现象在生物医学领域也具有广泛的应用前景。
例如，通过二次谐波成像技术可以实现对生物样品内部结构和分子分布的无损显微观测。
这为细胞生物学、组织工程和药物研发等提供了重要手段。
此外，在荧光染料标记方面，也可以利用非线性激发过程来实现更高灵敏度和更好分辨率的图像获取。
结论随着对非线性光学现象研究的不断深入，其在通信、光存储和生物医学等领域的应用前景日益广阔。
未来，随着材料科学、器件技术和计算能力的进一步提升，我们有理由相信非线性光学将迎来更加美好而广阔的发展前景。
§10 非线性光学10.1非线性光学的物理基础10.2非线性介质中的电磁波传播方程10.3位相匹配10.4倍频和混频10.5光参量放大与振荡10.6受激散射10.1非线性光学的物理基础强相干光与物质相互作用过程与传统光学的弱光与物质的相互作用过程，物理本质上没有原理性不同，都是光波电场引起的介质极化过程，但它们在极化程度上又有区别，弱光只能使介质产生线性极化，而强光将导致介质产生非线性极化，非线性极化在光学上会引起一系列的新效应和新现象。
人们把这些效应称为“非线性光学效应”，而把这些效应的学科称为“非线性光学”。
在激光器出现后不满一年的1961年，Franken利用一束波长为694.3nm 的红宝石激光射入石英晶体，结果从出射光中除了观察到原来入射的红光外，还同时观察到了347.2nm的紫外光，其频率恰好为红宝石激光频率的两倍，这就是著名的倍频实验，它标志着非线性光学学科的诞生。
10.1.1非线性极化和非线性光学当E较小时E P χε0=的关系与实验符合得较好，但是E 比较大时，P 、E 间就偏离了线性关系，而呈现一种非线性关系)(E f P =...)(3)3(2)2()1(0E E E P χχχε++=该式是介质与强相干光作用条件下的物质方程，依照线性光学的作法，可推导出强光在介质中的波动方程为...)(3)3(2)2(220222++∂∂=∂∂-∇E E tt E E χχκεμε基于这个非线性波动方程就可以得出许多不同于的线性光学的新效应、新现象。
10.1.2非线性光学中光波的表示方法)(0),(kz t i e E t z E --=ω)(0)(02121),(kz t i kz t i e E e E t z E ---+=ωωzv i ikz e E e E E )/(002121)(ωω==第二章中我们介绍了用复数形式来表示单色平面波采用这种形式虽有其优点，但必须有两条约定：（a ）只能取实部；（b ）只能进行线性运算。
然而在非线性光学中，不可避免地要涉及到光波电场的非线性运算。
如果我们仍采用原来的表示法，必然导致错误的结果。
因此在非线性光学中如果采用复数表示单色平面波，必须同时引入它的复共轭及系数的1/2，即若采用复振幅ti t i e E e E t z E ωωωω--+=)()(),(*)()(*ωω-=E E 则虽然具有复数形式，但实质上它已是一个实数，在进行非线性运算时也不至于出现错误。
若某光波是由两种单色平面波组成，则应表示为ti t i t i t i e E e E e E e E t z E 2211)()()()(),(2*21*1ωωωωωωωω----+++=约定n n ωω-=-t i t i t i t i e E e E eE eE t z E 2211)()()()(),(2*21*1--------+++=ωωωωωωωω则简写成ti n n n e E t z E ωω-±±=∑=)(),(21若光波包含N 个单色平面波，则表示为ti n N n n e E t z E ωω-±±=∑=)(),(110.1.3非线性极化率的经典理论)2(χ)3(χ非线性极化率是描述光学介质与强光非线性相互作用过程本质的最重要物理量，与介质的原子和分子结构有关。
通常求解等与介质微观结构参量的关系有两条途径：1.经典力学方法将每一极化单元等效为一个振子，列出振子在光波电场E 作用下的运动方程)(E Ner P -=利用...)(3)3(2)2()1(0E E E P χχχε++=2.半经典理论方法将光波场E 看成由麦克斯韦方程组所描述的经典电磁波，将光学介质看成由量子力学公式描述的粒子体系，然后根据密度矩阵方程分别考虑一阶、二阶、三阶……微扰影响，即可求出)1(χ)2(χ)3(χ等第三章采用线性振子模型处理了非强光和物质作用问题，下面采用非线性振子的模型来处理强光和物质相互作用问题。
非线性振子模型就是假设介质和强光作用时，介质中质点由于极化形成的偶极子是一个非线性的振子。
非线性振子与线性振子的主要区别在于所受的恢复力不同。
非线性振子的恢复力与位移r 间的关系可由位能函数)(r V 求出1.具有对称中心结构的晶体电子位能应表示为)()(r V r V -=...42)(4220++=Br m r m r V ω...)(320---=∂∂-=mBr r m r r V f ω电子上的恢复力为2.非中心对称结构的晶体)()(r V r V -≠ (3)2)(3220++=Dr m r m r V ω...)(220--=∂∂-=mDr r m rr V f ω相应的恢复力为着重讨论二阶非线性极化系数，它只存在于非中心对称的晶体中，，可得非线性振子的运动方程∑--=+++n t i n n e E m e Dr r dtdr dt r d ωωωγ)(222022采用级数法求解近似解得：])()()()()([])()([,)(22)2()1(∑∑+--=+=+--m n m n m n ti m n n n t i n D D D e E E m De D e E m e r r r m n n ωωωωωωωωωωω如果把极化强度也相应表示成级数形式∑==ω1)(l l PP )(l P l 其中表示次极化强度∑+=-=+-m n m n m n ti m n D D D e E E m NDe Ner P m n ,)(23)2()2(])()()()()([ωωωωωωωω根据极化强度的定义得)2(P 又可表示为ti m mn n m n e E E P )(,)2(0)2()()(ωωωωχε+-∑=比较得)()()(1203)2(m n m n D D D m NDe ωωωωεχ+=)(102)1(n D m Ne ωεχ=因为)()()()()()()1()1()1()1()1()1(3230)2(m n m n m n m n e N mDωωχωχωδχωωχωχωχεχ+=+=所以得到它说明二次非线性极化率是各有关频率的线性极化率和各频率组合的线性极化率的乘积δCm /07.02≈对大多数晶体而言，这样就可根据有关频率的线性极化率大致估计相应的二次非线性极化率大小。
10.2非线性介质中的电磁波传播方程光波无论是在线性介质中的传播规律，还是在非线性介质中不同的能量耦合规律，都应受麦克斯韦方程组或由它导出的波动方程支配。
换句话说，只要具体知道了的函数关系和麦克斯韦方程组就能完整描述非线性光学现象。
)(E f P =实际问题无法具体写出)(E f P =即使将它们之间的具体关系写出来，其相应的波动方程一般是非线性非齐次的微分方程组，这类方程组一般都很难解，甚至不能求解。
为了简便起见，常引入一个有效非线性光学系数，即有效倍频极化率effd 20Ed E PP P eff NLL +=+=χε简化10.2.1非线性介质中的波动方程假设非线性介质为光学透明的非铁磁性绝缘体，即磁导率0μμ=0=σ电荷密度=ρtDH ∂∂=⨯∇tBE ∂∂=⨯∇0=∙∇D 0=∙∇B HB 0μ=NLNL L PE P P E P E P +=++=+=εεε)(00EP L)1(0χε=这类非线性介质的麦克斯韦方程组和物质方程为以及2E d P eff NL =NLPtE t E 2202202)(∂∂+∂∂=∇μεμ带入取旋度运算得即为非线性介质的波动方程该式进一步说明非线性极化反过来又将激起新的波场，从而得到一种新的场源。
在非线性介质中不同频率的光波间的能量交换正是通过非线性介质极化强度来实现的NL P10.2.2耦合波振幅方程简化成一维的标量方程且NLPtE tE 2202202)(∂∂+∂∂=∇μεμ2Ed Peff NL=这就意味着和E 的方向是一致的，下面考虑偏振方向固定，传播方向沿z 平面偏振光的情况NL P 所以其解不可能是单一频率的光波，在典型的二阶非线性过程中，其频率分别为1ω2ω3ω312ωωω=+].)([21),()(1111c c e z E t z E z k t i +=--ω].)([21),()(2222c c e z E t z E z k t i +=--ω].)([21),()(3333c c e z E t z E z k t i +=--ω下标1，2，3不同于以往含义它表示频率为的光波123ωωω三波相互作用过程中总的瞬时光波电场),(),(),(),(321t z E t z E t z E t z E ++=代入NLP tE t E 2202202)(∂∂+∂∂=∇μεμ右边第一项可展成)],(),(),([321220220t z E t z E t z E t E t++∂∂=∂∂εμεμ右边第二项23212202220220)],(),(),([t z E t z E t z E d tE d t P t effeff NL++∂∂=∂∂=∂∂μμεμ由于存在项，所以将会导致很多新频率的出现，例如2E }....)()()()({...])()[(3*2])()[(2122022*********c c ez E z E e z E z E td P t z k k t i z k k t i eff NL++++∂∂=∂∂----+-+-ωωωωμμ如果写全，应包括如下频率分量12ω22ω32ω21ωω±32ωω±31ωω±及直流项(3项直流项)，共12项具体写出的第一项])()[(212202121)()(z k k t i effe z E z E td +-+-∂∂ωωμ就是以频率振动的极化波，它就可被视为光波之振源。
从物理意义上理解，就是频率为和光波向频率为的光波传递能量。
由于和光波可以通过非线性极化波同的光波交换能量，这样就造成了三波之间的能量耦合。
213ωωω+=3ω1ω2ω2ω1ω3ω])()[(2132121)()()(z k k t i eff eff ez E z E d P +-+-=ωω同理])()[(*2312323)()()(z k k t i eff eff ez E z E d P ----=ωω])()[(*1321313)()()(z k k t i eff eff e z E z E d P ----=ωω对每一个频率都可得到一个分量1220122012)(),(),(eff P tt z E t t z E ∂∂+∂∂=∇μεμ因为三光波均沿z 传播，所以该式左端)(121)(11)(12212212111111)()(2)(),(),(z k t i z k t i z k t i e z E k e z E zik e z E zt z E z t z E -------∂∂+∂∂=∂∂=∇ωωω假设光场振幅随距离变化很小|)(2|)(1122z E zk z E z ∂∂<<∂∂可以略去),(1t z E 代入上右端第一项后可得1220122012)(),(),(eff P tt z E t t z E ∂∂+∂∂=∇μεμ)(1210122011)(),(z k t i ez E t z E t---=∂∂ωεωμεμ同上代入右端的第二项得])()[(*2321012202323)()()(z k k t i eff eff e z E z E d P t----=∂∂ωωωμμ综上代入并利用可得εμω02121=k zk k k i eff zk k k i eff zk k k i eff e z E z E d i z z E e z E z E d i z z E e z E z E d i z z E )(*213033)(*13222)(*231011123123123)()(2)()()(2)()()(2)(----------=∂∂-=∂∂-=∂∂εμωεμωεμω上式说明三波相互作用过程中，任何一种频率的光波振幅随距离的变化都不是孤立的，它必定要通过而受到其它两种频率光波的制约，式就是我们所要求的耦合波振幅方程。
