上海市大同中学2020-2021学年高二上学期12月数学练习试卷 PDF版含答案

上海市高二上学期数学 12 月联考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 填空题 (共 14 题；共 14 分)1. （1 分） (2020 高二上·无锡期末) 命题 “，都有”的否定：________.2. （1 分） (2016 高三上·宝安模拟) 过点（3，2 垂直，则 k 的值为________．）的直线与圆 x2+y2﹣2x﹣3=0 相切，且与直线 kx+y+1=03. （1 分） (2013·江西理) 抛物线 x2=2py（p＞0）的焦点为 F，其准线与双曲线 两点，若△ABF 为等边三角形，则 p=________．=1 相交于 A，B4. （1 分） 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为 AD 的中点，射线 OP 从 OA 出发，绕着点 O 顺时针方向旋转至 OD，在旋转的过程中，记∠AOP 为 x（x∈[0，π]），OP 所经过正方形 ABCD 内的区域（阴影部分）的面积 S=f（x）， 那么对于函数 f（x）有以下三个结论：①f（ ） = ； ②任意 x∈[0， ]，都有 f（ ﹣x）+f（ +x）=4；③任意 x1 ， x2∈（ ， π），且 x1≠x2 ， 都有 其中所有正确结论的序号是________＜0．5. （1 分） (2017 高二下·河口期末) 下列命题正确的是________⑴若，则；⑵若，，则是的必要非充分条件；⑶函数的值域是；第 1 页 共 12 页⑷若奇函数满足，则函数图象关于直线对称.6. （1 分） 从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高 （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如 图）若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150）三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项 活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________ ．7. （1 分） (2017 高二上·宁城期末) 执行如图所示的程序框图，若输入 x=2，则输出 y 的值为________．8. （1 分） (2016 高一下·烟台期中) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y=x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 M、 N 两点，点 P 在圆（x﹣a）2+y2=2（a＞0）上运动，若∠MPN 恒为锐角，则实数 a 的取值范围是________．9. （1 分） (2017 高二上·西安期末) 已知双曲线的两个焦点 F1（﹣，0），F2（曲线上的一点，且•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是________．，0），P 是此双10. （1 分） 已知双曲线 程为________的离心率为 2，焦点与椭圆 + =1 的焦点相同，那么双曲线渐近线方11. （1 分） (2018·徐州模拟) 在平面直角坐标系中，曲线的距离的最小值为________第 2 页 共 12 页上任意一点 到直线12. （1 分） 双曲线关于两坐标对称，且与圆 x2+y2=10 相交于点 P（3，﹣1），若此圆过点 P 的切线与双曲线 的一条渐近线平行，此双曲线的方程为________13. （1 分） (2017 高二下·孝感期末) 函数 y=ax3﹣1 在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数 a 的取值范围为 ________．14. （1 分） 已知 f（x）是定义在 R 上的增函数，函数 y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，等式 f（y﹣3）+f（ ）=0 恒成立，则 的取值范围是________．二、 解答题 (共 6 题；共 60 分)15. （10 分） (2018 高二下·武威月考) 已知命题 p：“∀ x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题 q：关于 x 的方程 x2+2ax+a+2=0 有解．若命题“p 且 q”是真命题，求实数 a 的取值范围．16. （10 分） (2018·中原模拟) 已知椭圆一点 满足，且椭圆 过点，过点的左右焦点分别为， 若椭圆上的直线 与椭圆 交于两点．（1） 求椭圆 的方程；（2） 若点 是点 在 轴上的垂足，延长 交椭圆 于 ，求证：三点共线．17. （10 分） (2020·厦门模拟) 已知函数有两个零点.（1） 求 的取值范围；（2） 记的极值点为 ，求证：.18. （5 分） (2019·武汉模拟) 已知函数 两个极值点 ， （ ）（1） 求实数 的取值范围；（2） 求证：.（， 为常数）在内有19. （15 分） (2018 高二下·磁县期末) 如图，已知椭圆顶点是．的离心率是 ，一个第 3 页 共 12 页（Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）设 ， 是椭圆 上异于点 的任意两点，且 若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．．试问：直线是否恒过一定点？20. （10 分） (2016 高一上·苏州期中) 设函数 f（x）=（其中常数 a＞0，且 a≠1）．（1） 当 a=10 时，解关于 x 的方程 f（x）=m（其中常数 m＞2 ）； （2） 若函数 f（x）在（﹣∞，2]上的最小值是一个与 a 无关的常数，求实数 a 的取值范围．第 4 页 共 12 页一、 填空题 (共 14 题；共 14 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、参考答案14-1、二、 解答题 (共 6 题；共 60 分)第 5 页 共 12 页15-1、 16-1、16-2、第 6 页 共 12 页17-1、第 7 页 共 12 页17-2、18-1、第 8 页 共 12 页18-2、第 9 页 共 12 页第 10 页 共 12 页20-1、20-2、。

2020-2021学年上海市黄浦区大同中学高二（下）期末数学试卷试题数：19，总分：01.（填空题，3分）已知方程x 2-（2i-1）x+3m-i=0有实数根，则实数m 为___ ．2.（填空题，3分）f （n ）=i n +i -n （n∈N *），则{f （n ）}=___ ．3.（填空题，3分）一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为___ ．4.（填空题，3分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为___ ．5.（填空题，3分）若 C n+17−C n 7=C n 8，则n 等于___ ．6.（填空题，3分）已知复数z 和ω满足|z|- z = 41−i ，且ω2=z ，则复数ω=___ ．7.（填空题，3分）在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，∠ABC=90°，BA=BC ，球心O 到平面ABC 的距离是3√22，则B 、C 两点的球面距离是 ___ ．8.（填空题，3分）已知甲射击的命中率为72%，乙射击的命中率为78%，两人的射击互不影响，这目标被击中的概率是 ___ （精确到0.01）．9.（填空题，3分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中随机选取一个数，它是奇数或3的倍数的概率是 ___ ．10.（填空题，3分）设x ，y 满足约束条件 {3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0，y ≥0 ，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则 2a +3b 的最小值为 ___ ． 11.（单选题，4分）下列四个命题中真命题是（ ） A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个12.（单选题，4分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）A. 40003cm 3B.80003cm 3 C.2000cm 3 D.4000cm 313.（单选题，4分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（ ） A.甲地：总体均值为2，总体方差为3 B.乙地：总体均值为3，中位数为4 C.丙地：总体均值为1，总体方差大于0 D.丁地：中位数为2，总体方差为314.（单选题，4分）6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（ ） A.35 B.50 C.70 D.10015.（问答题，0分）已知（ √x +2•√x4）n 的展开式前三项中的系数成等差数列．（1）求n 的值和展开式系数的和； （2）求展开式中所有x 的有理项．16.（问答题，0分）（1）某外商计划在4个城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？（用数字作答）（2）某单位安排7位员工在10月1日至10月7日值班，每天1人，每人值班1天，求员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的概率．-3ati成立．17.（问答题，0分）已知复数z=a+bi（a，b∈R），若存在实数t，使z = 2+4it（1）求证：2a+b为定值；（2）若|z-2|＜a，求|z|的取值范围．18.（问答题，0分）如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O，OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点．，求圆锥的体积；（1）设圆锥的高为4，异面直线AD与BC所成角为arccos√26（2）当圆锥的高和底面半径是（1）中的值时，求直线AB与平面ACD的所成角大小．19.（问答题，0分）四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，PA=AB=AD=2，点E是棱PC上一点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面BDE；（Ⅱ）当E为PC中点时，求二面角A-BE-D的余弦值；（Ⅲ）若直线BE与平面PAC所成的角为45°时，求CE．2020-2021学年上海市黄浦区大同中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：19，总分：01.（填空题，3分）已知方程x 2-（2i-1）x+3m-i=0有实数根，则实数m 为___ ． 【正确答案】：[1] 112【解析】：首先分析题目关于x 的方程x 2-（2i-1）x+3m-i=0有实根，可把实根设出来，然后根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】：解：设方程的实根为x 0，则 x 02−(2i −1)x 0+3m −i =0 ， ∵x 0、m∈R ，∴方程变形为 (x 02+x 0+3m )−(2x 0+1)i =0 ， 由复数相等的充要条件得 {x 02+x 0+3m =0−2x 0−1=0 ，解得 {x 0=−12m =112．则实数m 为 112 ． 故答案为： 112 ．【点评】：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系问题的应用，考查了复数相等的充要条件，是基础题．2.（填空题，3分）f （n ）=i n +i -n （n∈N *），则{f （n ）}=___ ． 【正确答案】：[1]{-2，0，2}．【解析】：将n 按4的余数分为4类，分别求解即可．【解答】：解：因为f （n ）=i n +i -n （n∈N *）， 所以当n=4k 时，f （n ）=1+1=2； 当n=4k+1时，f （n ）= i +1i =0 ； 当n=4k+2时，f （n ）= −1+1−1=−2 ；当n=4k+3时，f （n ）=-i+i=0， 故{f （n ）}={-2，0，2}．故答案为：{-2，0，2}．【点评】：本题考查了复数的运算，考查了分类讨论思想，属于基础题．3.（填空题，3分）一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为___ ．【正确答案】：[1]18【解析】：画出满足题意的三棱锥P-ABC图形，根据题意，作出高，利用直角三角形，求出此三棱锥的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积．【解答】：解：由题意作出图形如图：因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，在三角PDF中，∵三角形PDF三边长PD=1，DF= √3，∴PF=2×6×1=18．则这个棱锥的侧面积S侧=3× 12故答案为：18．【点评】：本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，棱锥的结构特征，还考查计算能力，是基础题．4.（填空题，3分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：通过侧面展开图的面积，求出圆锥的母线长与底面圆的半径，即可求出圆锥的高．【解答】：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以母线长为l=2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr=2π， 所以底面圆半径为r=1，所以该圆锥的高为h= √l 2−r 2 = √22−12 = √3 ． 故答案为： √3 ．【点评】：本题考查了圆锥体的侧面展开图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．5.（填空题，3分）若 C n+17−C n 7=C n 8，则n 等于___ ．【正确答案】：[1]14【解析】：把已知的等式移向后利用组合数公式的性质化简，然后再由组合数公式的性质列式计算．【解答】：解：由 C n+17−C n 7=C n 8 ，得 C n+17=C n 7+C n 8=C n+18 ．所以n+1=7+8=15．所以n=14． 故答案为14．【点评】：本题考查了组合及组合数公式的性质，是基础的计算题．6.（填空题，3分）已知复数z 和ω满足|z|- z = 41−i ，且ω2=z ，则复数ω=___ ． 【正确答案】：[1]1+i 或-1-i【解析】：设z=a+bi （a ，b∈R ），由|z|- z = 41−i ，可得a=0，b=22，则z=2i ，令ω=m+ni （m ，n∈R ），代入ω2=z ，再由复数相等的条件求解．【解答】：解：设z=a+bi （a ，b∈R ），由|z|- z = 41−i ，得 √a 2+b 2−a +bi =41−i =4(1+i )(1−i )(1+i )=2+2i ，∴ {√a 2+b 2−a =2b =2，则a=0，b=2． ∴z=2i ．令ω=m+ni （m ，n∈R ），由ω2=z ，得（m+ni ）2=m 2-n 2+2mni=2i ，∴ {m 2−n 2=02mn =2，则m=n=1或m=n=-1． ∴ω=1+i 或-1-i ．故答案为：1+i或-1-i．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是中档题．7.（填空题，3分）在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是3√22，则B、C两点的球面距离是 ___ ．【正确答案】：[1]π【解析】：根据题意，由球的性质可得AC是小圆的直径，则过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点，求出|AC|的值，分析可得∠BOC的值，据此分析可得答案．【解答】：解：根据题意，∠ABC=90°，AC是小圆的直径．所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点，|O′C|= √32−(3√22)2= 3√22，AC=3 √2，则BC=OB=OC=3，则∠BOC= π3，故B、C两点的球面距离l= π3×3=π；故答案为：π．【点评】：本题考查球面距离的计算，解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系，属于基础题．8.（填空题，3分）已知甲射击的命中率为72%，乙射击的命中率为78%，两人的射击互不影响，这目标被击中的概率是 ___ （精确到0.01）．【正确答案】：[1]0.94【解析】：目标被击中的对立事件是2人都没有命中目标，由此利用对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式能求出目标被击中的概率．【解答】：解：∵目标被击中的对立事件是2人都没有命中目标，∴目标被击中的概率为：P=1-（1-0.72）（1-0.78）≈0.94．故答案为：0.94．【点评】：本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.（填空题，3分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中随机选取一个数，它是奇数或3的倍数的概率是 ___ ． 【正确答案】：[1] 35【解析】：找到这10个数中满足“是奇数或3的倍数”的个数即可利用古典概型的概率计算公式计算出结果．【解答】：解：这10个数中满足“是奇数或3的倍数”的有：1，3，5，6，7，9共6个， 所以从中随机抽取一个是奇数或3的倍数的概率是 610= 35． 故答案为： 35 ．【点评】：本题考查古典概型的概率计算公式，考查推理论证和运算求解的能力，属于基础题． 10.（填空题，3分）设x ，y 满足约束条件 {3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0，y ≥0 ，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则 2a +3b 的最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1] 256【解析】：先根据条件画出可行域，设z=ax+by ，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z=ax+by ，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a ，b 的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【解答】：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z （a ＞0，b ＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时， 目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）取得最大12， 即4a+6b=12，即2a+3b=6， 而 2a+3b= (2a+3b )2a+3b 6=136+(b a +a b )≥136+2=256． 故答案为： 256 ．【点评】：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．11.（单选题，4分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个【正确答案】：C【解析】：A，同垂直于一直线的两条直线的位置关系不定；B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；D，过球面上任意两点的大圆有无数个；【解答】：解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错；故选：C．【点评】：本题考查了命题真假的判定，属于基础题．12.（单选题，4分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A. 40003cm3B. 80003cm3C.2000cm3D.4000cm3【正确答案】：A【解析】：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【解答】：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由两个底面边长为20和10的直角三角形，高为20的两个三棱锥构成的几何体；如图所示：所以：V= 2×13×12×20×10×20 = 40003．故选：A．【点评】：本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.（单选题，4分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（）A.甲地：总体均值为2，总体方差为3B.乙地：总体均值为3，中位数为4C.丙地：总体均值为1，总体方差大于0D.丁地：中位数为2，总体方差为3【正确答案】：A【解析】：利用平均数、中位数、方差的计算公式以及含义，对四个选项逐一分析判断即可．【解答】：解：对于A，当总体平均数为2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，所以总计均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7，故选项A正确；对于B，因为平均数和中位数不能限制某一天的病例不超过7，故选项B错误；对于C，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不等确定数据波动的大小，故选项C错误；对于D，中位数为2，总体方差为3，则存在大于7的数，故选项D错误．故选：A．【点评】：本题考查了特征数的理解和应用，解题的关键是掌握平均数、中位数、方差的计算公式以及含义，考查了逻辑推理能力，属于基础题．14.（单选题，4分）6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）A.35B.50C.70D.100【正确答案】：B【解析】：假设两辆汽车为甲、乙，按甲车的坐车人数分3种情况讨论：分别求出每一步的乘车方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，假设两辆汽车为甲、乙，分3种情况讨论：① 、甲车里坐2人，则乙车坐4人，有C62种坐法，② 、甲车里坐3人，则乙车坐3人，有C 63种坐法， ③ 、甲车里坐4人，则乙车坐2人，有C 64种坐法， 则不同的乘车方法有C 62+C 63+C 64=50种； 故选：B ．【点评】：本题考查排列组合的实际应用，注意本题是一个带有约束条件的排列问题，注意约束条件是每一辆车不超过4个人，这样就有三种不同的选法． 15.（问答题，0分）已知（ √x +2•√x4 ）n 的展开式前三项中的系数成等差数列．（1）求n 的值和展开式系数的和； （2）求展开式中所有x 的有理项．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，求出该二项式的展开式，分析其前三项的系数，由等差数列的性质可得2× n 2 =1+ n (n−1)8，解可得n 的值；进而在（ √x +2•√x4 8中，令x=1，分析可得展开式系数的和；（2）由（1）的结论，分析可得该二项式的展开式，分析其中的有理项，即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，（ √x + 2•√x4 n 的展开式的通项为T r+1=C n r （ √x ）n-r（2•√x4）r ，其系数为 12r ×C n r ，其第一项的系数为C n 0=1，第二项的系数为 12 C n 1= n2 ，第三项的系数为 14 C n 2= n (n−1)8， 若其展开式前三项中的系数成等差数列，则2× n2=1+ n (n−1)8， 解可得：n=8或n=1， 又由n≥3，则n=8， 在（ √x +2•√x4 ）8中，令x=1可得：（ √x +2•√x4 8=（ 32 ）8=6561256； （2）由（1）的结论，n=8， 则（ √x +2•√x4 ）8的展开式的通项为T r+1=C 8r （ √x ）8-r2•√x4 ）r =12r×C 8r x 16−3r2 ， 当r=0时，有T 1=x 4，当r=4时，有T 5= 358x ， 当r=8时，有T 9= 1256 x -2；则展开式中所有x 的有理项为x 4， 358 x ， 1256 x -2．【点评】：本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题． 16.（问答题，0分）（1）某外商计划在4个城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？（用数字作答）（2）某单位安排7位员工在10月1日至10月7日值班，每天1人，每人值班1天，求员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的概率．【正确答案】：【解析】：（1）利用分类计数原理以及分步计数原理分析求解即可；（2）利用排列组合知识求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．【解答】：解：（1）有两类不同的投资方法：① 从4个候选城市中选择3个城市，各投资1个项目，则有4×3×2=24种投法；② 从4个候选城市中只选择2个城市分别投资1个项目、2个项目，再从3个项目中选一个项目投到1个城市， 则有3×4×3=36种投法．综上所述，该外商不同的投资方案有24+36=60种；（2）由题意，员工甲、乙排在相邻两天的排法共有 A 22A 62=1440种， 其中员工甲、乙排在相邻两天，丙排在10月1日的排法有 A 22A 55=240 种，故员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的排法共有1440-240=1200种， 总的排法有 A 77=5040 种，故员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的概率为 12005040 = 521 ．【点评】：本题考查了分步计数原理、排列组合知识以及古典概型概率公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．17.（问答题，0分）已知复数z=a+bi（a，b∈R），若存在实数t，使z = 2+4it-3ati成立．（1）求证：2a+b为定值；（2）若|z-2|＜a，求|z|的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由条件利用两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，求得2a+b=6，从而证得结论．（2）由|z-2|＜a，可得0＜a＜2，或a＞5；再根据|z|= √5a2−24a+36，利用二次函数的性质求得|z|的范围．【解答】：解：（1）证明：∵复数z=a+bi（a、b∈R），若存在实数t使a-bi= 2+4it-3ati成立，则ta-tbi=2+（4-3at2）i，可得ta=2，-tb=4-3at2，∴-b• 2a =4-3a• 4a2，即-2b=4a-12，化简可得2a+b=6，即2a+b为定值．（2）若|z-2|＜a，则√(a−2)2+b2＜a，∴a＞0，且√(a−2)2+(6−2a)2＜a．化简可得（a-2）（a-5）＜0，求得2＜a＜5．而|z|= √a2+b2 = √a2+(6−2a)2 = √5a2−24a+36，故当a= 125时，|z|取得最小值为6√55，当a趋于5时，|z|趋于最大值√41．综上可得，|z|的取值范围为[ 6√55，√41）．【点评】：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，二次函数的性质，属于中档题．18.（问答题，0分）如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O，OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点．（1）设圆锥的高为4，异面直线AD与BC所成角为arccos√26，求圆锥的体积；（2）当圆锥的高和底面半径是（1）中的值时，求直线AB与平面ACD的所成角大小．【正确答案】：【解析】：（1）建立合适的空间直角坐标系，表示出所需点的坐标，求出两条直线的方向向量的坐标，然后由向量的夹角公式建立等式关系，求出r ，然后由圆锥的体积公式求解即可； （2）求出所需点的坐标，求出直线AB 的方向向量和平面PCD 的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可．【解答】：解：（1）以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为高为4，则 D (r2，0，2)，B(0，r ，0)，C(r ，0，0)，A(0，−r ，0) ，S （0，0，4）， 所以 AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(r2，r ，2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(r ，−r ，0) ， 因为异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为 √26 ，则 |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2×√16+5r 2=√26，解得r=2，所以圆锥的体积 V =13πr 2ℎ =16π3； （2）由（1）可得，A （0，-2，0），B （0，2，0），D （1，0，2），C （2，0，0）， 所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，4，0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，2，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2，2) ， 设平面ACD 的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) ， 则 {n ⃗ •AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n ⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +2y +2z =0，取x=1，则 n ⃗ =(1，−1，12) ， 所以 |cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=4×√1+1+14= 23 ，．故直线AB与平面ACD的所成角大小为arcsin 23【点评】：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.（问答题，0分）四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，PA=AB=AD=2，点E是棱PC上一点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面BDE；（Ⅱ）当E为PC中点时，求二面角A-BE-D的余弦值；（Ⅲ）若直线BE与平面PAC所成的角为45°时，求CE．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）证明BD⊥平面PAC即可得出平面PAC⊥平面BDE；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面ABE和平面BDE的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小；（Ⅲ）由∠BEO=45°可知OE=1，在△OCE中利用余弦定理计算CE．【解答】：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD ，BD⊂平面ABCD ， ∴PA⊥BD ，又BD⊥AC ，PA∩AC=A ， ∴BD⊥平面PAC ，又BD⊂平面BDE ， ∴平面PAC⊥平面BDE ．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O ，以O 为原点，以OA 、OB 、平面ABCD 过点O 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz ，如图所示，则A （ √3 ，0，0），B （0，1，0），C （- √3 ，0，0），D （0，-1，0），P （ √3 ，0，2），∴E （0，0，1），∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √3 ，1，0）， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-1，1）， DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，0）， 设平面ABE 的法向量为 m ⃗⃗ =（x 1，y 1，z 1），则 {m ⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ •BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即 {−√3x 1+y 1=0−y 1+z 1=0 ，令x 1=1可得 m ⃗⃗ =（1， √3 ， √3 ），设平面BDE 的法向量为 n ⃗ =（x 2，y 2，z 2），则 {n ⃗ •DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即 {2y 2=0−y 2+z 2=0 ，令x 2=1可得 n ⃗ =（1，0，0）， ∴cos ＜ m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞= m⃗⃗⃗ •n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= 1√7×1= √77 ， ∴当E 为PC 中点时，二面角A-BE-D 的余弦值为 √77．（Ⅲ）解：由（I ）知BD⊥平面PAC ，∴∠BEO 为BE 与平面PAC 所成的角，即∠BEO=45°， ∴OE=OB=1，在△PAC 中，PA=2，AC=2 √3 ，故PC= √PA 2+AC 2 =4， ∴cos∠PCA= ACPC= √32，在△OCE 中，由余弦定理可得cos∠ECO= CE 2+OC 2−OE 22CE•OC = CE 2+3−12√3•CE = √32，解得CE=1或CE=2．【点评】：本题考查面面垂直的判定，考查空间向量与二面角的计算，考查直线与平面所成的角，属于中档题．。

第1页，共3页上海2020-2021学年高二上学期期中仿真密卷数学学科参考答案一、填空题（本大题共有 10 小题，每题4分，共 40 分）1．【答案】-1【解析】由题意得21,x =则1,1,x =-当1x =时，两向量方向相同，所以舍去 2.【答案】2332x x +-=- 3.【答案】1 【解析】4tan 45=1,12m m m -=∴=--。

4.【答案】14033y x =-+【解析】111,12(4)333k y x -==-∴-=--，所以14033y x =-+5.【答案】2【解析】由题意可得，将向量DE 分解成,CA CB ，化简后得出答案 6.【答案】45。

【解析】cos 455d nd nθθ⋅===∴=。

7.【答案】2【解析】由题意得1,2a R =-=== 8.【答案】(0,5]【解析】由题意知(0,0),(1,3)，A B 且两条直线垂直，P是交点，故222,.PA PB AB PA PB ⊥∴=+2210,AB PA PB ==∴+=2252PA PBPA PB +⋅≤=9.【答案】3π【解析】由于O 是重心，则0,OA OB OC ++=又2320,3a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=2,,(x 0);3a x b x x ∴===>2221cosC =22a b c ab +-∴= 所以3C π=10.【答案】22(1)1(3)x y m m ++-=>【解析】联立2(),(),-3,得fx g x mx mx =∴=当-1-.（）x A m=- 1-.）x B m =设动点(,),(2,222),P x y PA PB x m y +=---。

2024-2025学年上海市大同中学高二数学上学期10月调研试卷90分钟满分100分一、填空题（3共36）1.若两直线a 、b 与平面α所成的角相等，则a 与b 的位置关系是________．2.设{|A x x =为长方体}，{|B x x =为直平行六面体}，{|C x x =为正四棱柱}，{|D x x =为正六面体}，则集合A ，B ，C ，D 之间的包含关系为________．3.用斜二测画法画出的水平放置的ABC V 的直观图如图，其中1B O C O ''''==，若原ABC V 的面积为2，则A O ''=____________．4.在图中，,,,G H M N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有_________（填上所有正确答案的序号）．5.若两异面直线a ，b 所成的角为70°，过空间内一点P 作于直线a ，b 所成角均为70°的直线l ，则所作直线l 的条数为______.6.正四面体ABCD 的棱长为1，则点A 到平面BCD 的距离为_______7.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，6AB BC ==，点E 在线段11C D 上，且112,D E EC M =为线段BE 的中点，若BE =1AD 与CM 所成角的余弦值为______．8.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AC =，BD =，CD =则线段AB 的长为__________.9.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，:1:2AD AB =，PAB 为等边三角形，则直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为______________.10.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，11AD AA ==．动点P 从1A 出发，在棱11A B 上匀速运动；动点Q 同时从B 出发，在棱BC 上匀速运动，P 的运动速度是Q 的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ的取值范围是____________．12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点P ，Q 分别为面1111D C B A和线段1B C 上的动点，则PEQ 周长的最小值为__.二、选择（4共16）13.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“//αβ”是“//m β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件 D.既不充分也不必要条件14.下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（）A.若直线a 与平面α内的一条直线垂直，则直线a 与平面α垂直B.若直线a 与平面α内的两条平行直线垂直，则直线a 与平面α垂直C.若直线a 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线a 与平面α垂直D.若直线a 与平面α内的无数条直线垂直，则直线a 与平面α垂直15.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D.过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF16.设1111,,,A B C D 分别是四棱锥P ABCD -侧棱,,,PA PB PC PD 上的点.给出以下两个命题，则（）.①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111D C B A 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111D C B A 可能是平行四边形.A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假三、解答题（12分＋12分＋12分＋12分，共48分）17.已知正方体1111ABCD A B C D -．求证：（1）面11//AB D 面1BC D ．（2）1A C ⊥面1BC D ．18.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，A 为圆O 的直径，圆柱1OO 的表面积为20π，2,120OA AOP ︒=∠=.（1）由点A 拉一根细绳绕圆柱侧面到达1B ，求绳长的最小值.（2）求异面直线1A B 与AP AP 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，四边形BDEF 是正方形，平面BDEF 丄平面ABCD .（1）证明：平面ACE 丄平面BDEF ；（2）若点M 是线段BF 的一点，且满足DM 丄平面ACE ，求二面角A DM B --的大小20.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是对角面11BDD B （包含边界）内一点，且PA PC ⊥.（1）求PC 的长度；（2）是否存在点P ，使得平面PAD ⊥平面PCD ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由；（3）过点P 作平面α与直线PC 垂直，求平面α与平面ABCD 所成锐二面角的最小值，并求此时平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形的面2024-2025学年上海市大同中学高二数学上学期10月调研试卷90分钟满分100分一、填空题（3共36）1.若两直线a 、b 与平面α所成的角相等，则a 与b 的位置关系是________．【答案】平行、相交或异面【解析】【分析】根据线面角的定义可分析得出.【详解】若//a b ，显然a 、b 与平面α所成的角相等；若a 、b 为圆锥的两条母线所在的直线，显然a 、b 与平面α所成的角相等，此时a 、b 为相交直线；若a 、b 为异面直线，若满足//,//a b αα，此时a 、b 与平面α所成的角相等，均为0，故a 与b 的位置关系是平行、相交或异面.故答案为：平行、相交或异面.2.设{|A x x =为长方体}，{|B x x =为直平行六面体}，{|C x x =为正四棱柱}，{|D x x =为正六面体}，则集合A ，B ，C ，D 之间的包含关系为________．【答案】D C A B⊆⊆⊆【解析】【分析】先判断出四个集合中的元素关系，再根据集合包含关系定义判断即可.【详解】在这4种图形中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，再其次是正四棱柱（上下底面是正方形的长方体），最少元素的是正六面体.故答案为:D C A B⊆⊆⊆3.用斜二测画法画出的水平放置的ABC V 的直观图如图，其中1B O C O ''''==，若原ABC V 的面积为2，则A O ''=____________．【答案】1【解析】【分析】根据斜二测画法原则可还原ABC V ,利用面积公式计算即可求解.【详解】由直观图可还原ABC V ，如图：其中1,2OB O B OC O C BC B C ⅱⅱⅱ======，又,2OA BC AO A O ⅱ^=，因此12222ABC S BC A O A O ⅱⅱ=×==，所以1A O ⅱ=.故答案为：14.在图中，,,,G H M N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有_________（填上所有正确答案的序号）．【答案】②④【解析】【分析】根据异面直线的定义分别判断即可.【详解】对①，连接GM ，,G M 为中点，//GM AB ∴，又//AB HN ，//GM HN ∴，故直线GH ，MN 共面，故①错误；对②，G 、H 、N 三点共面，但M ∉面GHN ，因此直线GH 与MN 异面，故②正确；对③，如图，连接GM ，,G M 为中点，//GM AB ∴，又//AB HN ，//GM HN ∴，故直线GH ，MN 共面，故③错误；对④，G 、M 、N 共面，但H ∉面GMN ，GH ∴与MN 异面．故④正确.故答案为：②④.5.若两异面直线a ，b 所成的角为70°，过空间内一点P 作于直线a ，b 所成角均为70°的直线l ，则所作直线l 的条数为______.【答案】4【解析】【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解.【详解】在空间取一点P ，经过点P 分别作//,//a a b b ''，设直线,a b ''确定平面α，如图，当直线MP 满足它的射影PQ 在,a b ''所成角的平分线上时，MP 与a '所成的角等于MP 与b '所成的角，因为直线a ，b 所成的角为70 ，得,a b ''所成锐角等于70 ，当MP 射影PQ 在,a b ''所成锐角的平分线上时，MP 与,a b ''所成角的范围是)35,90⎡⎣ .这种情况下，过点P 有两条直线与,a b ''所成的角都是70 ，当MP 的射影PQ 在,a b ''所成钝角的平分线上时，MP 与,a b ''所成角的范围是)55,90⎡⎣ .这种情况下，过点P 有两条直线与,a b ''所成的角都是70 ，综上所述，过空间任意一点P 可作与a ，b 所成的角都是70 的直线有4条.故答案为：46.正四面体ABCD 的棱长为1，则点A 到平面BCD 的距离为_______【答案】63【解析】【分析】作出辅助线，得到AE 即为点A 到平面BCD 的距离，E 为等边三角形BCD 的中心，结合勾股定理求出答案.【详解】取BC 的中点H ，连接DH ，则DH ⊥BC ，过点A 作AH ⊥平面BCD ，垂足为E ，AE 即为点A 到平面BCD 的距离，则点E 在DH 上，且E 为等边三角形BCD 的中心，因为正四面体ABCD 的棱长为1，则12BH CH ==，由勾股定理得32DH ==，则2333DE DH ==，因为1AD =，由勾股定理得3AE ==，则点A 到平面BCD 的距离为63.故答案为：637.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，6AB BC ==，点E 在线段11C D 上，且112,D E EC M =为线段BE 的中点，若BE =1AD 与CM 所成角的余弦值为______．【答案】35【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出相关点及向量的坐标，求出必要参数，利用向量的夹角公式求解即可，或作合适辅助线，利用线线角定义求解也可.【详解】．解法一以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设()10CC a a =>，则()()()()()()116,0,0,6,6,0,0,0,0,6,0,0,6,,0,2,,3,4,2,a A B D a C C a E a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()6,4,BE a =-- ，则BE ==，解得2a =，所以()()13,4,1,0,0,2M D ，所以()()16,0,2,3,2,1AD CM =-=- ，设线线角为a则11cos 35⋅==-⋅ AD CM a AD CM，因此异面直线1AD 与CM 所成角的余弦值为35．故答案为：35解法二设()10DD x x =>，因为112,6D E EC AB BC===，所以BE ==2x =．如图，取线段AB 上靠近点A 的三等分点P ，靠近点B 的三等分点F ，连接,,EP MF CF ，易知11//,AD EP AD EP =，又//,2EP MF EP MF =，所以11//,2AD MF AD MF =，故CMF ∠为异面直线1AD 与CM 所成的角或其补角．2222116210,62210,1422MF CF CM BE =⨯+==+===，所以222435cos 235MF CM CF CMF MF CM +-∠==-⨯，因此异面直线1AD 与CM 所成角的余弦值为43535．故答案为：435358.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，2AC =，2BD =，32CD =则线段AB 的长为__________.【答案】2【解析】【分析】过点A 作//AF BD ，且2AF BD ==，在ACF △利用余弦定理可得14CF =，再在CDF V 中利用勾股定理求解.【详解】过点A 作//AF BD ，且22AF BD ==，则四边形ABDF 为平行四边形，DF AB ∴=，又BD AB ⊥ ，AF AB ∴⊥，AC AB ⊥ ，CAF ∴∠即为二面角的平面角，即120CAF ∠=︒，在ACF △中，(2222212cos 22142CF CA AF CA AF CAF ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭，即CF =，又AC AF A ⋂=，AC ，AF ⊂平面ACF ，AB ∴⊥平面ACF ，CF ⊂Q 平面ACF ,AB CF ∴⊥，FD CF ⊥，在CDF V 中，(222224DF CD CF =-=-=，即2AB DF ==，故答案为：2.9.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，:1:2AD AB =，PAB 为等边三角形，则直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为______________.【答案】5【解析】【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可求解.【详解】取AB 中点为O ，连接,PO DO ,由于PAB 是等边三角形，所以PO AB⊥因为平面PAB ⊥平面ABCD ，其交线为AB ,PO ⊂平面PAB ,所以⊥PO 平面ABCD ，PDO ∠是直线PD 与平面ABCD 所成角．不妨设1,2AD AB ==，在等边PAB 中，3PO =，2222211DO AD DO =+=+=，所以225DP DO OP =+=，故315sin 55OP PDO DP ∠===故直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为155．故答案为：15510.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.【答案】60︒##π3【解析】【分析】遮阴影面ABC '面积达到最大即是点C '到AB 的距离最大，根据正弦定理表示出点C '到AB 的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥交AB 于D ，连接C D '，由题可知C D AB'⊥因此C DC '∠就是遮阳篷ABC 与地面所成的角，因为C D AB '⊥，所以求遮阴影面ABC '面积最大，即是求C D '最大，其中已知30CC D '∠=︒，32CD =设DCC θ'∠=，()0,150θ∈︒︒，根据正弦定理2sin 30sin CD C D C D θθ''=⇒=︒当90θ=︒时遮阴影面ABC '面积最大，此时60C DC '∠=︒故答案为：60︒11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，11AD AA ==．动点P 从1A 出发，在棱11A B 上匀速运动；动点Q 同时从B 出发，在棱BC 上匀速运动，P 的运动速度是Q 的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ的取值范围是____________．【答案】15[,]22【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设BQ t =，并求出PQ 的坐标，再结合线面角的向量求法求解.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，以点1A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设(01)BQ t t =≤≤，由P 的运动速度是Q 的2倍，得12A P t =，即(,2,1),(0,2,0)Q t P t ，则(,22,1)PQ t t =- ，显然平面ABCD 的法向量(0,0,1)n = ，于是||sin |cos ,|||||PQ n PQ n PQ n θ⋅=〈〉==，cos θ==，因此tan θ==显然当45t =时，max (tan )2θ=，当0t =时，min 1(tan )2θ=，所以tan θ的取值范围是1[,22.故答案为：1[,]22【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦．12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点P ，Q 分别为面1111D C B A 和线段1B C 上的动点，则PEQ 周长的最小值为__.【解析】【分析】由题意，△PEQ 周长取得最小值时，P 在11B C 上，在平面11B C CB 上，设E 关于1B C 的对称点为N ，关于11B C 的对称点为M ，求出MN ，即可得出结论.【详解】由题意，△PEQ 周长取得最小值时，P 在11B C 上，在平面11B C CB 上，设E 关于1B C 的对称点为N ，关于11B C 的对称点为M ，连接MN ，交11B C 于点P ，交1B C 于点Q ，则MN 即为PEQ 周长的最小值，则3,1MC CN ==，由勾股定理得：MN ==.故答案为.二、选择（4共16）13.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“//αβ”是“//m β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断.【详解】因为m α⊂，若//αβ，则由线面平行的性质可知//m β，故“//αβ”是“//m β”的充分条件，设n αβ= ，,//m m n a Ì，显然n β⊂，从而有//m β成立，但此时,αβ不平行.故选：A.14.下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（）A.若直线a 与平面α内的一条直线垂直，则直线a 与平面α垂直B.若直线a 与平面α内的两条平行直线垂直，则直线a 与平面α垂直C.若直线a 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线a 与平面α垂直D.若直线a 与平面α内的无数条直线垂直，则直线a 与平面α垂直【答案】C【解析】【分析】由线面垂直的判定定理逐项判断即可.【详解】对于A ，直线a 与平面α内的一条直线垂直，则直线a 与平面α的位置关系无法确定，故A 错误；对于B ，若直线a 与平面α内的两条平行直线垂直，则直线a 与平面α的位置关系无法确定，故B 错误；对于C ，若直线a 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线a 与平面α垂直，故C 正确；对于D ，若直线a 与平面α内的无数条直线垂直，当这无数条直线平行时，直线a 与平面α的位置关系无法确定，故D 错误.故选：C.15.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D.过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF【答案】C【解析】【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A ，B 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意可证1A B ⊥平面AEF ，进而判断D 的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，A 选项，∴1AA BC ⊥，又AC BC ⊥，且1AA AC A = ，则⊥BC 平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，故A 正确；B 选项，由AC BC ⊥，即11A C BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，∴11A C ⊥平面11BB C C ，∴111A C BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形，又由⊥BC 平面11AAC C ，得1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形，∴四面体11AC CB 为“鳖膈”，故B 正确；C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC ==时取等号，1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，最大值为43，故C 错误；D 选项，因为1AE A B ⊥，1EF A B ⊥，AE EF E ⋂=，所以1A B ⊥平面AEF ，故D 正确；故选：C16.设1111,,,A B C D 分别是四棱锥P ABCD -侧棱,,,PA PB PC PD 上的点.给出以下两个命题，则（）.①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111D C B A 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111D C B A 可能是平行四边形.A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假【答案】C【解析】【分析】对于②，可以考虑构造一个正四棱锥来说明，对于①可以考虑利用反证法证伪.【详解】对于②，考虑一个正四棱锥，然后再他的侧棱的延长线上可以画出一个梯形，具体做法是：取1111PA PB PC PD ===，则四棱锥1111P A B C D -为正四棱锥，然后令11112,2,3,3PA PA PB PB PC PC PD PD ====，那么//,,AD BC AD BC ≠此时ABCD 是梯形，但不是平行四边形，对于①，如图，四边形ABCD 为平行四边形，1111D C B A 也为平行四边形，若平面ABCD 与平面1111D C B A 不平行，则四边形1111D C B A 中必有一边与底面ABCD 相交，不妨设直线11A D 与底面相交，则直线11B C 也与底面相交，在平面PAD 中过P 做11A D 的平行线，交AD 与T ，则11//PT B C ，因P ∈平面PBC ，11B C ⊂平面PBC ，故PT ⊂平面PBC ，即T ∈平面PBC ，而平面PBC ⋂平面ABCD BC =，故T BC ∈，而T AD ∈，故,BC AD 相交，这与ABCD 为平行四边形矛盾.故平面//ABCD 平面1111A B C D ，故11111A B PA A D AB PA AD==，若四边形1111A B C D 为菱形，则1111A B A D =，则AB AD =，故四边形ABCD 为菱形，故①错误.故选：C.【点睛】关键点睛：空间中满足条件的几何体的存在性，可以通过常见几何体来构造，或者通过反证法结合空间中点线面的判断与性质导出矛盾.三、解答题（12分＋12分＋12分＋12分，共48分）17.已知正方体1111ABCD A B C D -．求证：（1）面11//AB D 面1BC D ．（2）1A C ⊥面1BC D ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得：11//B D BD ，由线面平行的判定定理可得：11//B D 平面1BC D ，同理可得1//AD 平面1BC D ，从而根据面面平行的判定定理可得结论；（2）由三垂线定理得1A C BD ⊥，同理11A C BC ⊥，在根据线面垂直的判定定理可得结论.【详解】（1）由正方的性质可知：11BB DD ∥且11BB DD =可得：11BB D D 是平行四边形可得：11//B D BD又11B D ⊄平面1BC D ，BD ⊂平面1BC D可得：11//B D 平面1BC D同理可得：1//AD 平面1BC D故平面11//AB D 平面1BC D（2）1CC ABCD ⊥，且AC 为1AC 在面ABCD 内的射影，且AC BD ⊥由三垂线定理得：1A C BD⊥同理可得：11A C BC ⊥故1A C ⊥平面1BC D18.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，A 为圆O 的直径，圆柱1OO 的表面积为20π，OA AOP︒2,120=∠=.（1）由点A拉一根细绳绕圆柱侧面到达1B，求绳长的最小值.（2）求异面直线1A B与AP AP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）（2）arccos5【解析】【分析】（1）将圆柱展开，即可得到矩形，因此点A到达1B的最小值即为展开举行的对角线长度，直接求解即可.AP BC，（2）由已知，延长PO交圆于C，连接BC，从而得到四边形APBC为平行四边形，根据//将异面直线1A B与AP所成角转化为1A B与BC所成角，然后利用余弦定理可知接求解；【小问1详解】AA剪开，并展开在一个平面上，将圆柱的侧面沿母线1求得绳长的最小值为圆柱展开图所成矩形的对角线，AB=.即1【小问2详解】已知圆柱1OO 的表面积为20π，则圆柱的高为3，延长PO 交圆于C ，连接BC ，因为四边形APBC 的对角线互相平行，所以APBC 为平行四边形，则//AP BC ，异面直线1A B 与AP 所成角即1A B 与BC 所成角.在1A CB 中，113A C =，23CB =，15A B =；222111123cos 2A B CB A C A BC A B CB +-∠=⋅，所以13arccos 5A BC ∠=即异面直线1AB 与AP 所成角为3arccos5.19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，四边形BDEF 是正方形，平面BDEF 丄平面ABCD.（1）证明：平面ACE 丄平面BDEF ；（2）若点M 是线段BF 的一点，且满足DM 丄平面ACE ，求二面角A DM B --的大小【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）根据菱形、正方形的性质有AC BD ⊥、DE BD ⊥，结合面面垂直的性质可得DE ⊥面ABCD ，根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论；（2）O 是AC 、BD 的交点，连接OE 交DM 于G ，由线面垂直的性质及射影的性质可得OE DM ⊥，进而可确定二面角的平面角，根据已知求其正切值，即可得二面角A DM B --的大小.【小问1详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，由四边形BDEF 是正方形有DE BD ⊥，又面BDEF ⊥面ABCD ，面BDEF ⋂面ABCD BD =，DE ⊂面BDEF ，∴DE ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，即DE AC ⊥，又BD DE D = ，且,BD DE ⊂面BDEF ，∴AC ⊥面BDEF ，由AC ⊂面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BDEF ；【小问2详解】若O 是AC 、BD 的交点，连接OE 交DM 于G ，由DM ⊥面ACE ，AE ⊂面ACE ，即DM ⊥AE ，由（1）知：OE 是AE 在面BDEF 上的射影，故OE DM ⊥，连接AG ，∴AGO ∠是二面角A DM B --的平面角，由射影定理知：2OD OG OE =⋅，1OD =，2DE =，则OE =，55OG =.∴tan AO AGO OG∠==arctan AGO ∠=.∴二面角A DM B --的大小为20.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是对角面11BDD B （包含边界）内一点，且PA PC ⊥.（1）求PC 的长度；（2）是否存在点P ，使得平面PAD ⊥平面PCD ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由；（3）过点P 作平面α与直线PC 垂直，求平面α与平面ABCD 所成锐二面角的最小值，并求此时平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形的面积.【答案】（1）1（2）不存在，理由见解析（3）π4，4-【解析】【分析】（1）根据依题意利用线面垂直的判定定理可得，点P 的轨迹是在平面11BDD B 内以BD 为直径的半圆，即可求得1PC =；（2）利用空间向量求出当平面PAD ⊥平面PCD 时点P 的位置与点D 重合，显然不合题意，可知不存在满足题意的点P ；（3）利用线面角的定义可得当直线PC 与平面ABCD 所成的角θ取到最大值时，平面α与平面ABCD 所成锐二面角最小，即可求得结果，做出平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形为五边形，分别算的边长，然后即可求得面积.【小问1详解】连接,AC BD 交于点O ，连接,,OP PA PC ，如下图所示：易知AC BD ⊥，利用正方体性质可得1AC BB ⊥，又1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ；又P 是对角面11BDD B （包含边界）内一点，O BD ∈，即可得OP ⊂平面11BDD B ；所以AC OP ⊥，又因为AO CO =，所以可得PC PA =，又PA PC ⊥，利用勾股定理可得222PC PA AC +=，由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，因此2OP OC ==，因此P 点的轨迹是在平面11BDD B 内以BD 为直径的半圆；可得1PA PC ==.【小问2详解】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示：由（1）可知，假设存在点(),,P a a b ，使得平面PAD ⊥平面PCD ；易知()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0D A C ；则()()(),,,1,0,0,0,1,0DP a a b DA DC === ，设平面PAD 的一个法向量为()111,,m x y z = ，则111100DP m ax ay bz DA m x ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y b =，则1z a =-，可得()0,,m b a =- ；设平面PCD 的一个法向量为()222,,n x y z = ，则22220DP m ax ay bz DC m y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，令2x b =，则2z a =-，可得(),0,n b a =- ；由平面PAD ⊥平面PCD 可得2000m n b b a ⋅=⨯+⨯+= ，解得0a =，即可知()0,0,P b ；又P 点的轨迹是在平面11BDD B 内以BD 为直径的半圆，可知此时P 点与D 点重合，不合题意；因此可得不存在点P ，使得平面PAD ⊥平面PCD ；【小问3详解】过点P 作平面α与直线PC 垂直，设直线PC 与平面ABCD 所成的角为θ，易知θ和平面α与平面ABCD 所成锐二面角互余，所以当θ取到最大值时平面α与平面ABCD 所成锐二面角最小，由（2）可知sin bPC θ=，又22b ≤，因此当P 点竖坐标取到最大值时，即OP ⊥平面ABCD 时满足题意，此时sin 2θ=，所以π4θ=，因此平面α与平面ABCD 所成锐二面角的最小值为π4延长AP ，交1CC 的延长线与点E ，交11A C 于点F ，如下图所示：易知OP AOEC AC =，由2OP =可得EC =，所以11EC =-；由PA PC =可知145FEC ∠= ，可得11FC =-，过点F 作11//GH B D 分别交1111,B C C D 于点,G H ，则12GC =-显然由正方体性质可得11B D ⊥平面11ACC A ，所以GH ⊥平面11ACC A ，又PC ⊂平面11ACC A ，所以GH PC ⊥；由PA PC ⊥，GH AP F ⋂=，,GH AP ⊂平面AGH ，所以PC ⊥平面AGH ，即平面α即为平面AGH ，设平面α截正方体交1BB 于点J ，1DD 于点K ，连接,AJ AK ；所以平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形即为五边形AJGHK ；设()1,1,J z ，易知()()110,1,0,,,,2222C P G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则)11,,,1,0,1222PC GJ z ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭；由PC GJ ⊥可得)()1101022z -+--=，解得2z =；即1,1,2J ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2GJ =- ，而20,1,2AJ ⎛= ⎝⎭ ，所以62AJ = ；由对称性可知2AJ AK ==，2GJ HK ==，)21GH =-；分别做,,MH KJ GR KJ AM KJ ⊥⊥⊥，则122KM KJ ==，则1AM ==，所以1122AKJ S == ，且())112221222KN KJ HG -⎤=-==⎦，则1HN ==，则梯形HGJK的面积为()12142HGJK S =+=-所以截面的面积为442AKJ HGJK S S +=+--。

重难点01线线角、线面角、二面角问题（重难点突破解题技巧与方法）1.求异面直线所成的角的三步曲2.求直线和平面所成角的关键作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。

3.找二面角的平面角的常用方法 （1）由定义做出二面角的平面角 （2）用三垂线定理找二面角的平面角 （3）找公垂面（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角求异面直线所成的角一、填空题1．（2021·上海·复旦附中高二期中）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，异面直线11A C 与DB 所成角为3π，且11111,AC D B O ACDB O ==，1OA OB ==，则AB 的长为_________．【答案】1或3【分析】根据题意得出AOB ∠为异面直线11A C 与DB 所成角或所成角的补角，从而在AOB 中，应用余弦定理即可求出答案.【详解】因为11//AC AC ，所以AOB ∠为异面直线11A C 与DB 所成角或所成角的补角，即3AOB π∠=或23π， 当3AOB π∠=时，因为1OA OB ==，所以AOB 为等边三角形，所以1AB =；能力拓展技巧方法当23AOB π∠=时，因为1OA OB ==， 在AOB 中，由余弦定理，得22222cos33AB OA OB OA OB π,所以3AB =.故答案为：1或3.2．（2021·上海·格致中学高二期中）设E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 的中点，在棱1AA 上任取一点P ，在线段1A E 上任取一点Q ，则异面直线PQ 与BD 所成角的大小为______．【答案】2π【分析】连接BD ，利用线面垂直的判定定理证得BD ⊥平面1A ECA ，再利用线面垂直的性质定理可知BD PQ ⊥，即可得解.【详解】连接BD ，由底面ABCD 为正方形，可知BD AC ⊥，由正方体的性质，可知1AA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，则1AA ⊥BD 又1AA AC A =，则BD ⊥平面1A ECA ，由已知可知PQ ⊂平面1A ECA ，则BD PQ ⊥所以异面直线PQ 与BD 所成角的大小为2π 故答案为：2π3．（2021·上海中学高二期中）正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AB 与BD所成角大小为______ 【答案】3π【分析】连接1AD 、11B D ，，证明11//B D BD ，可得11AB D ∠即为异面直线1AB 与BD 所成角，在11AB D 求11AB D ∠即可求解.【详解】如图，连接1AD 、11B D ， 因为11//BB DD ，11BB DD =, 所以四边形11BB D D 是平行四边形， 所以11//B D BD ，所以11AB D ∠即为异面直线1AB 与BD 所成角， 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ， 在11AB D 中，11112AD AB B D a ===， 所以11AB D 是等边三角形， 所以113AB D π∠=，即异面直线1AB 与BD 所成角为3π， 故答案为：3π二、解答题4．（2022·上海浦东新·高二期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.(1)求异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值；(2)求证：直线1//A B 平面11DCC D . 【答案】(1)22(2)证明见解析 【分析】（1）根据已知11//CC BB ，可将异面直线1A B 和1CC 所成的角转化为直线1A B 和1BB 所成的角，再根据题目的边长关系，即可完成求解；（2）可通过连接1D C ，证明四边形11A BCD 为平行四边形，从而得到11//A B D C ，再利用线面平行的判定定理即可完成证明.(1)因为11//CC BB ，所以11A BB ∠就是异面直线1A B 和1CC 所成的角.又因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以异面直线1A B 和1CC 所成的角为45o ，所以异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值为22. (2)连接1D C ，因为11//A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 为平行四边形，所以11//A B D C ；1A B ⊄平面11DCC D ，1D C ⊂平面11DCC D ；所以直线1//A B 平面11DCC D .即得证.线面角一、单选题1．（2022·上海市控江中学高二期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b ．对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有两条直线l 与a 、b 都成75︒角．以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【答案】A【分析】①由正方形的性质，可以延伸正方形，再利用两条平行线确定一个平面即可；②一组邻边与对角面的夹角相等，在平面内绕P 转动，可以得到二条直线与a 、b 的夹角都等于75. 【详解】如下图所示，在侧面正方形11A B BA 和11A D DA 再延伸一个正方形11B E EB 和11D F FD ，则平面1E C 和1C F 在同一个平面内，所以过点P ，有且只有一条直线l ，即1EF 与a 、b 相交，故①为真命题；取1A A 中点N ，连PN ，由于a 、b 为异面直线，a 、b 的夹角等于11A B 与b 的夹角.由于11A C ⊂ 平面11A C ，NP ⊄平面11A C ，11NP AC ，所以NP 平面11A C ，所以NP 与11A B 与b 的夹角都为45 .又因为1C C ⊥平面11A C ，所以1C C 与11A B 与b 的夹角都为90，而457590<<，所以过点P ，在平面1A C 内存在一条直线，使得与11A B与b 的夹角都为75，同理可得，过点P ，在平面1A C 内存在一条直线，使得与a 与AD 的夹角都为75；故②为真命题. 故选：A二、填空题2．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的全面积等于_________． 【答案】10【分析】结合已知条件分别求出正四棱柱的底面边长和高即可求解. 【详解】由题意，正四棱柱1111ABCD A B C D -如下图：不妨设正四棱柱1111ABCD A B C D -底面边长为a ，1||AA h =，由已知条件可得，2222221||2(6)6BD a a h a h =++=+==，又因为1DD ⊥底面ABCD ，所以对角线1BD 与底面ABCD 所成角为1DBD ∠，因为对角线与底面所成角的余弦值为33，||2BD a =， 所以11||23cos ||36BD a DBD BD ∠===，解得1a =，从而2h =， 故该正四棱柱的表面积12411210S =⨯⨯+⨯⨯=. 故答案为：10. 三、解答题3．（2021·上海市大同中学高二阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，PA 垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB DM ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）6π.【分析】（1）由题设易得BC AB ⊥，由已知及线面垂直的性质有BC ⊥面PAB ，根据线面垂直的判定可证BC PB ⊥、PA AB ⊥，再由线面垂直的判定及平行的推论可得PB ⊥面ADMN ，最后由线面垂直的性质证结论.（2）若BD 与平面ADMN 所成角为θ，由线面垂直易知sin BNBDθ=，即可求线面角的大小. 【详解】（1）由90BAD ∠=︒即AD AB ⊥，又//AD BC ，有BC AB ⊥， ∵PA ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，∴PA BC ⊥，而PA AB A =，则有BC ⊥面PAB ， 又PB ⊂面PAB ，则BC PB ⊥， 由AB面ABCD ，有PA AB ⊥，且PA AB =，N 为PB 的中点，则AN PB ⊥，又M 为PC 的中点，有//BC MN ，即MN PB ⊥，而AN MN N =，又//AD BC ，则//AD MN ，即,,,A N D M 共面，∴PB ⊥面ADMN ，而DM ⊂面ADMN ，故PB DM ⊥.（2）由（1）知：PB ⊥面ADMN ，若BD 与平面ADMN 所成角为[0,]2πθ∈，且1BC =，∴2,22BN BD == ，则1sin 2BN BD θ==，故6πθ=.二面角一、单选题1．（2020·上海·曹杨二中高二期末）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则 A ．,βγαγ<< B ．,βαβγ<< C ．,βαγα<< D ．,αβγβ<<【答案】B【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B. 方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得 333222cos sin sin α=α=β=γ=B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法. 二、填空题2．（2021·上海·西外高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BC A --的大小是___________. 【答案】4π 【分析】根据二面角的定义判断二面角1A BC A --的大小. 【详解】画出图象如下图所示， 由于1,BC A B BC AB ⊥⊥，所以1A BA ∠是二面角1A BC A --的平面角， 根据正方体的性质可知14A BA π∠=.故答案为：4π三、解答题3．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA 、OB 、1OO 两两垂直（OA 、OB 、1OO 均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓．(1)若木板较长的一边紧贴地面，3问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？(2)应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值． 【答案】(1)6π和3π (2)体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45° 【分析】（1）利用设二面角为θ或三棱柱底面的一条直角边长为x 两种方法进行求解即可； （2）用（1）中的θ或x 表示谷仓容积，再利用三角函数和基本不等式，进行求最值即可得解. (1)法一：设其中一个锐二面角的大小为θ，则三棱柱底面的两条直角边长分别为2cos θ、2sin θ，高为1，体积132cos 2sin 1sin 22V Sh θθθ==⋅⋅⋅==6πθ=或3π，所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为6π和3π．法二：设三棱柱底面的一条直角边长为()02x x <<，则另一条直角边长为24-x ，高为1，体积2134122V Sh x x ==⋅⋅-⋅=，解得x ＝1或3，所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为6π和3π． （2）法一：同（1）中法一所设，若长边紧贴底面，体积12cos 2sin 1sin 212V Sh θθθ==⋅⋅⋅=≤，等号当且仅当4πθ=时成立；若短边紧贴底面，体积111cos sin 2sin 2222V Sh θθθ==⋅⋅⋅=≤，等号当且仅当4πθ=时成立；显然112>，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地， 与两个墙面所成锐二面角均为45°． 法二：同（1）中法二所设，若长边紧贴底面，体积2221441124x x V Sh x x +-==⋅⋅-⋅≤=， 等号当且仅当2x =时成立；若短边紧贴底面，体积22211112222x x V Sh x x +-==⋅⋅-⋅≤=，等号当且仅当22x =时成立； 显然112>，所以体积最大值为1立方米， 此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°（也可描述底面两条直角边长）．4．（2021·上海·格致中学高二期中）在四棱锥P ABCD -中，底面为梯形，AB CD ∕∕，PAD △为正三角形，且2PA AB ==，90BAP CDP ∠=∠=︒，四棱锥P ABCD -的体积为23．(1)求证：AB ⊥平面PAD ；(2)求PC 与平面ABCD 所成角的正弦值；(3)设平面PAB ⋂平面PCD l =，求证：l AB ∕∕，并求二面角B l C --的大小．【答案】(1)证明见解析；(2)1510；(3)3π 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合题意，即可得证.（2）根据面面垂直的判定、性质定理，结合正三角形的性质，可证PQ ⊥平面ABCD ，则PCQ ∠即为PC 与平面ABCD 所成角，据四棱锥的体积，可求得CD 长，在Rt PCQ 中，求得各个边长，即可得答案. （3）根据线面平行的判定和性质定理，可证AB l ∕∕，结合题意，可得PA l ⊥，同理PD l ⊥，则APD ∠即为二面角B l C --所成的平面角，根据三角形性质，即可得答案.(1)证明：因为90CDP ∠=︒，所以CD DP ⊥，因为AB CD ∕∕，所以AB DP ⊥，又因为90BAP ∠=︒，即AB AP ⊥，且,AP DP ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ；(2)因为AB ⊥平面PAD ，AB平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，取AD 中点Q ，连接PQ ，CQ ， 因为PAD △为正三角形，Q 为AD 中点，所以PQ AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD=AD ， 所以PQ ⊥平面ABCD ，所以PCQ ∠即为PC 与平面ABCD 所成角，在Rt PDQ 中，223PQ PD DQ -设CD 长为x ，则四棱锥P ABCD -的体积()1112+2323332ABCD V S PQ x =⨯=⨯⨯⨯= 求得CD 长4x =，在Rt CDQ △中，2217CQ CD DQ +=在Rt PCQ 中，2225PC CQ PQ =+所以315sin 1025PQ PCQ PC ∠===， 所以PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为1510 (3)证明：因为AB CD ∕∕，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以AB ∕∕平面PCD ，又AB 平面PAB ，且平PAB ⋂平面PCD l =，所以AB l ∕∕.因为PA AB ⊥，AB l ∕∕，所以PA l ⊥，同理PD l ⊥，所以APD ∠即为二面角B l C --所成的平面角，因为PAD △为正三角形，所以3APD π∠=，即二面角B l C --的大小为3π. 一、填空题1．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则异面直线AB 与11D B 之间的距离为___________.【答案】1【分析】作出正方体图像，观察即可得到答案﹒【详解】如图：巩固练习∵1BB 与AB 、11B D 均垂直，∴1BB 即为两异面直线的距离，故答案为：1二、解答题2．（2021·上海中学高二阶段练习）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点．(1)求证：直线1BD ∥平面P AC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)30°. 【分析】(1)AC 和BD 交于点O ，由1PO BD ∥即能证明直线1BD ∥平面PAC ．(2)由1PO BD ∥，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．(1)设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连结PO ，又∵P 是1DD 的中点，∴1PO BD ∥，又∵PO ⊂平面PAC ，1BD ⊂平面PAC ，∴直线1BD ∥平面PAC ； (2)由(1)知，1PO BD ∥，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角， ∵2PA PC ==122AO AC =PO AO ⊥，∴212sin 22AO APO AP ∠===．又(0APO ∠∈︒，90]︒，∴30APO ∠=︒ 故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30．3．（2021·上海市进才中学高二期中）已知正四棱锥P ABCD -中，1AB =，2PA =；(1)求侧棱与底面所成角的正弦值；(2)求正四棱锥P ABCD -的体积【答案】(1)144(2)146【分析】（1）由于正四棱锥P ABCD -，故顶点在底面的投影在底面的中心O ，连结,PO AO 分析可得PAO ∠即为侧棱与底面所成角，利用题干长度关系求解即可（2）由于PO ⊥平面ABCD ，故13P ABCD ABCD V PO S -=⨯⨯，计算即可 (1)由于正四棱锥P ABCD -，故顶点在底面的投影在底面的中心O ，连结,PO AO故PO ⊥平面ABCD ，PAO ∠即为侧棱与底面所成角由1AB =，2PA =，故2222AO AB ==又PO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，故PO AO ⊥22114422PO PA AO ∴=-=-= 故14sin 4PO PAO PA ∠== 即侧棱与底面所成角的正弦值为144 (2)由（1）PO ⊥平面ABCD ，且142PO = 故11141413326P ABCD ABCD V PO S -=⨯⨯=⨯⨯= 即正四棱锥P ABCD -的体积为1464．（2021·上海中学高二期中）如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，2AD =，4AB =，将ADM △沿DM 翻折，在翻折过程中A 点记为P 点．(1)从ADM △翻折至NDM 的过程中，求点P 运动的轨迹长度；(2)翻折过程中，二面角P −BC −D 的平面角为θ，求tan θ的最大值.【答案】2π(2)12【分析】（1）取DM 的中点E ，则从ADM △翻折至NDM 的过程中，点P 运动的轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径的半圆，由此可求得点P 运动的轨迹长度.（2）由（1）得，连接AN ，并延长交BC 延长线于F ，过P 作PO EF ⊥，再过点O 作OG BC ⊥，则PGO ∠就是二面角P −BC −D 的平面角θ，设(),0PEO ααπ∠=≤≤，sin 2PO PE αα==，322,3cos OF OG αα==-，可得2sin tan PO PGO OG α∠==2sin k α=，运用辅助角公式和正弦函数的性质可求得最大值.(1)解：取DM 的中点E ，则从ADM △翻折至NDM 的过程中，点P 运动的轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径的半圆，因为2AD =，4AB =，所以2AE =，所以点P 运动的轨迹长度为2π.(2)解：由（1）得，连接AN ，并延长交BC 延长线于F ，AN DM ⊥，折起后，有DM ⊥面PEN ，过P 作PO EF ⊥，则PO ⊥面DMBC ，再过点O 作OG BC ⊥，则PGO ∠就是二面角P −BC −D 的平面角θ， 设(),0PEO ααπ∠=≤≤， sin 2sin PO PE αα==，4222cos 322cos ,3cos OF AF AE OE OG ααα=--=--=-=-，2sin tan 3cos PO PGO OG αα∠==-， 令2sin 2sin cos 33cos k k k αααα=⇒+=-，所以22sin()3k k αβ++=，所以23112k k -≤≤+，解得1122k -≤≤. 所以tan θ的最大值为12.。

2020-2021学年上海市黄浦区大同中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1﹣x＞3x+5}，则＝．2．设α：1≤x＜4，β：x＜10，则α是β的条件（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空）3．已知关于x的等式x2+x+a＝0的两根为x1、x2，则|x1﹣x2|＝．4．函数y＝a x﹣3﹣2（常数a＞0且a≠1）图象恒过定点P，则P的坐标为．5．不等式≤1的解集为．6．设a＞0，b＞0，且a+b＝1，则+的最小值为．7．函数y＝的严格增区间是．8．函数y＝的值域是．9．函数y＝|x﹣1|+|x|，x∈[a，2]的最大值为3，则a的取值范围为．10．已知四边形ABCD为边长为1的正方形，AC⊥x轴，某一直线与正方形ABCD相交，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，则将S表示为t的函数，其解析式为．11．已知函数若m＜n且f（m）＝f（n），则n﹣m的最小值为．12．设a∈R，A＝{（x，y）|y＝f（x），x∈R}，B＝{（x，y）||x|+|y|＝1或y＝x}，若A⊆B，且关于x的方程f（x）＝a无实数解，则实数a的取值范围为．二、选择题（共4小题）.13．如果a＜0＜b，那么下列不等式中正确的是（）A．﹣B．a2＜b2C．a3＜b3D．ab＞b214．函数f（x）＝x﹣3+e x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+∞）15．设f（x）是定义在（﹣1，1）上的偶函数，且f（x）在[0，1）上是严格减函数，，则f（x）＜1的解集为（）A．B．C．D．16．定义D（x）＝，及[x]表示不大于x的最大整数，存在函数f（x）满足，对任意的x∈R都有（）A．f（[x]）＝D（x）B．f（[x]）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1|D．f（x2+4x）＝|x+2|三、解答题17．判断函数y＝x﹣，x∈（0，+∞）的单调性并说明理由．18．已知a＜2，b∈R，f（x）＝x2﹣2bx+1，x∈[a，2]．（1）当b＝0时，求函数y＝f（x）的最小值；（2）当a＝0时，求函数y＝f（x）的最大值．19．设f（x）＝（a、b为实常数）．（1）当a＝b＝1时，证明：y＝f（x）不是奇函数；（2）当a＝﹣1，b＝﹣2时，判断并证明函数y＝f（x）的奇偶性．20．已知f（x）＝log2（x+1）．（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若关于x的方程f（4x）﹣x+m＝0有解，求实数m的取值范围．21．若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f （x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）＝log2x是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y＝f（x）（x∈R）是定义在[0，1]上的“1﹣利普希兹条件函数”，且f（0）＝f （1），求最小的实数m，使得对任意的x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m．参考答案一、填空题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1﹣x＞3x+5}，则＝{x|x≥﹣1}．解：集合A＝{x|1﹣x＞3x+5}＝{x|x＜﹣1}，又全集U＝R，所以＝{x|x≥﹣1}．故答案为：{x|x≥﹣1}．2．设α：1≤x＜4，β：x＜10，则α是β的充分非必要条件（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空）解：因为[1，4）⫋（﹣∞，10），所以α是β的充分非必要条件．故答案为：充分非必要．3．已知关于x的等式x2+x+a＝0的两根为x1、x2，则|x1﹣x2|＝．解：由韦达定理知，x1+x2＝﹣1，x1•x2＝a，∴|x1﹣x2|＝＝＝．故答案为：．4．函数y＝a x﹣3﹣2（常数a＞0且a≠1）图象恒过定点P，则P的坐标为（3，﹣1）．解：∵y＝a x﹣3﹣2，∴当x﹣3＝0时，x＝3，此时y＝1﹣2＝﹣1，即函数过定点（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．5．不等式≤1的解集为（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．解：由x2+2x+3＞0恒成立得，x+5≤x2+2x+3，整理得，x2+x﹣2≥0，解得，x≥1或x≤﹣2，故原不等式的解集（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．6．设a＞0，b＞0，且a+b＝1，则+的最小值为4．解：∵a+b＝1，∴+＝（a+b）（+）＝2+，当且仅当，即a＝b＝时，取等号．故答案为：4．7．函数y＝的严格增区间是[﹣2，2]．解：根据题意，设f（x）＝，其定义域为R，设x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，若f（x1）﹣f（x2）＜0，而x1＜x2，即x1﹣x2＜0必有4﹣x1x2＞0，故函数y＝的严格增区间是[﹣2，2]，故答案为：[﹣2，2]．8．函数y＝的值域是（﹣1，1）．解：y＝＝1﹣，∵x∈R，∴2x＞0，∴0＜＜2，∴﹣1＜1﹣＜1，∴函数的值域为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．9．函数y＝|x﹣1|+|x|，x∈[a，2]的最大值为3，则a的取值范围为[﹣1，2）．解：y＝|x﹣1|+|x|＝，作出分段函数的图象如图：由图可知，要使函数y＝|x﹣1|+|x|，x∈[a，2]的最大值为3，则a的取值范围为[﹣1，2）．故答案为：[﹣1，2）．10．已知四边形ABCD为边长为1的正方形，AC⊥x轴，某一直线与正方形ABCD相交，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，则将S表示为t的函数，其解析式为．解：正方形的面积为1，正方形的对角线BD＝，当0＜t≤时，DK＝t，则DE＝DF＝t，则三角形DEF的面积S＝＝t2，当＜t≤时，左边面积S＝1﹣S△BGH，此时BP＝﹣t，BH＝BG＝（﹣t），则S△BGH＝×（﹣t）×（﹣t）＝（﹣t）2，则此时S＝1﹣S△BGH＝1﹣（﹣t）2，即，故答案为：．11．已知函数若m＜n且f（m）＝f（n），则n﹣m的最小值为1．解：由已知可得：当x＞1时，f（x）是单调递增函数，当x≤1时，函数f（x）是单调递增函数，则f（m）＝f（n），m＜n，一定有，即m＝2，所以n﹣m＝n﹣2，令，所以n＝t2+1，则g（t）＝t2﹣2t+2＝（t﹣1）2+1，当t＝1时，g（t）min＝1，所以n﹣m的最小值为1，故答案为：1．12．设a∈R，A＝{（x，y）|y＝f（x），x∈R}，B＝{（x，y）||x|+|y|＝1或y＝x}，若A⊆B，且关于x的方程f（x）＝a无实数解，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．解：集合B的范围是如图所示的正方形ABCD，因为A⊆B且f（x）＝a无实数解，则a的取值范围为：a＞1或a＜﹣1，即为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．二、选择题13．如果a＜0＜b，那么下列不等式中正确的是（）A．﹣B．a2＜b2C．a3＜b3D．ab＞b2解：∵a＜0＜b，函数y＝x3在R上单调递增，∴a3＜b3．故选：C．14．函数f（x）＝x﹣3+e x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+∞）解：根据函数f（x）＝x﹣3+e x的解析式，所以f（0）＝0﹣3+1＝﹣2＜0，f（1）＝1﹣3+e＞0，f（3）＝3﹣3+e3＞0，f（4）＝4﹣3+e4＞0，所以f（0）•f（1）＜0，故函数的零点所在的区间为（0，1）．故选：A．15．设f（x）是定义在（﹣1，1）上的偶函数，且f（x）在[0，1）上是严格减函数，，则f（x）＜1的解集为（）A．B．C．D．解：根据题意，f（x）是定义在（﹣1，1）上的偶函数，且，则f（x）＜1⇔f（|x|）＜f（），又由f（x）在[0，1）上是严格减函数，则f（x）＜1⇔f（|x|）＜f（）⇔＜|x|＜1，解可得：﹣1＜x＜﹣或＜x＜1，即不等式的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），故选：C．16．定义D（x）＝，及[x]表示不大于x的最大整数，存在函数f（x）满足，对任意的x∈R都有（）A．f（[x]）＝D（x）B．f（[x]）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1|D．f（x2+4x）＝|x+2|解：A．当x＝1时，f（[1]）＝f（1）＝D（1）＝1，当x＝时，f（[]）＝f（1）＝D（）＝0，则与f（1）＝1矛盾，故A错误；B．当x＝1时，f（[1]）＝f（1）＝1+1＝2，当x＝时，f（[]）＝f（1）＝（）2+＝2+，则与f（1）＝2矛盾，故B错误；C．当x＝1时，f（2）＝2，当x＝﹣1时，f（2）＝0，则与f（2）＝2，矛盾，故C错误；D．设t＝|x+2|，则由f（x2+4x）＝|x+2|得f[（x+2）2﹣4]＝|x+2|，即f（t2﹣4）＝t，∴f（x）＝，故D正确．故选：D．三、解答题17．判断函数y＝x﹣，x∈（0，+∞）的单调性并说明理由．解：根据题意，函数y＝x﹣在（0，+∞）上递增，证明：设f（x）＝x﹣，设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣）﹣（x2﹣）＝（x1﹣x2）（1+），又由0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＜0，故函数y＝x﹣在（0，+∞）上递增．18．已知a＜2，b∈R，f（x）＝x2﹣2bx+1，x∈[a，2]．（1）当b＝0时，求函数y＝f（x）的最小值；（2）当a＝0时，求函数y＝f（x）的最大值．解：（1）当b＝0时，f（x）＝x2+1，x∈[a，2]，若a≤0，f（x）min＝1；若0＜a＜2，．（2）当a＝0时，f（x）＝x2﹣2bx+1，x∈[0，2]，其对称轴方程为x＝b，若b≤1，f（x）max＝f（2）＝5﹣4b；若b＞1时，f（x）max＝1．19．设f（x）＝（a、b为实常数）．（1）当a＝b＝1时，证明：y＝f（x）不是奇函数；（2）当a＝﹣1，b＝﹣2时，判断并证明函数y＝f（x）的奇偶性．【解答】（1）证明：当a＝b＝1时，f（x）＝，则f（﹣x）+f（x）＝+＝（2x﹣1）（），＝（2x﹣1）＝0不恒成立，故f（﹣x）＝﹣f（x）不恒成立，故f（x）＝不为奇函数，（2）当a＝﹣1，b＝﹣2时，f（x）＝为奇函数，证明如下：因为f（﹣x）+f（x）＝+＝+，＝+，＝0，故f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数．20．已知f（x）＝log2（x+1）．（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若关于x的方程f（4x）﹣x+m＝0有解，求实数m的取值范围．解：（1）函数f（x）＝log2（x+1），则f（1﹣2x）﹣f（x）＝log2（1﹣2x+1）﹣log2（x+1）＝，由0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，可得，解得，所以x的取值范围为；（2）方程f（4x）﹣x+m＝0有解等价于m＝x﹣f（4x）＝x﹣log2（4x+1）有解，令，则，令g'（x）＝0，解得x＝0，当x＜0时，g'（x）＞0，故g（x）单调递增，当x＞0时，g'（x）＜0，故g（x）单调递减，所以g（x）的最小值为g（0）＝0﹣log2（40+1）＝﹣1，故g（x）≤﹣1，所以实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．21．若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f （x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）＝log2x是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y＝f（x）（x∈R）是定义在[0，1]上的“1﹣利普希兹条件函数”，且f（0）＝f （1），求最小的实数m，使得对任意的x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m．解：（1）若函数f（x）＝（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥＝恒成立，因为1≤x2＜x1≤4，所以＜＜，所以k的最小值为．（2）f（x）＝log2x的定义域为（0，+∞），令x1＝，x2＝，则f（）﹣f（）＝log2﹣log2＝﹣1﹣（﹣2）＝1，而2|x1﹣x2|＝，所以f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，所以函数f（x）＝log2x不是“k﹣利普希兹条件函数“．（3）设f（x）的最大值为M，最小值为N，在[0，1]内f（α）＝M，f（b）＝N，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣N＝f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|，又|a﹣b|≤1，显然|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1，所以|f（x1）﹣f（x2）|≤1．。

上海2020-2021学年高二上学期期中仿真密卷数学学科（满分100分，考试时间100分钟）一、 填空题（本大题共有10题，每题4分，共40分） 1、 已知(1,),(,1),ax b x ==若这两个向量平行且方向相反，则实数x =________2、 过点 (2,3)P =-且与(3,2)d =-平行的直线l 的点方向式方程是__________3、 过(2,),4、（）P m Q m -两点的直线的倾斜角为45。

，那么m =__________4、 过点(4,12)P 且垂直于直线310x y -+=的直线的一般方程为__________5、 如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，E 是AB 延长线上一点，且满足2AE BE =，若DE CA CB λμλμ=+∈（、R ），则=λμ⋅__________6、 直线1l 的方向向量(1,3),d =直线1l 的方向向量(1,2),n =则1l 与1l 的夹角大小为__________7、 若,a R ∈则圆2222(2)20a x a y ax a ++++=的半径为__________8、 设,m R ∈过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点P ，则PA PB ⋅的取值范围是__________9、 点O 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对边长分别为a ,b ，c 且2320,a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则角C 的大小为_________10、已知函数2()1x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像交于A 、B 两点，若动点P 满足2,PA PB +=则P 的轨迹方程为__________二、 选择题（本大题共有4题，每题4分，共16分）11、正六边形ABCDEF ，下列错误的是（ ） 【A 】0AE FC ⋅= 【B 】 FD FB FC += 【C 】 0FD FB ⋅> 【D 】 AB AC AB AD ⋅>⋅ 12、下列四个命题中正确的是（）【A 】 过点00(,)P x y 的直线都可用方程00()y y k x x -=-表示【B 】 过点(0,)A b 的直线都可用方程x y k b =+表示【C 】不过原点的直线都可用方程1x ya b +=表示【D 】过任意两个不同点111222(,),(,)P x y P x y 的直线都可用方程211211()()()()y y x x x x y y --=--表示13、(,1)2)(4,5)、（，、Aa Bb C 为坐标平面上的三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 上的投影相同，则a与b 满足的关系式为（） 【A 】543a b -= 【B 】453a b -=【C 】4514a b +=【D 】5414a b +=14、直线l 经过点(1,2),P 且与两坐标轴围成三角形面积为4，满足条件的直线有几条（） 【A 】1 【B 】2 【C 】3 【D 】4三、 解答题（共44分） 15、（本题满分8分）已知O 为原点， (3,1),(1,2),OA OB ==-OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，（1） 求：OA 与OB 夹角大小（2） 求：点C 的坐标16、（本题满分8分）已知ABC ∆两边AB 、AC 所在直线方程是7230,3290,x y x y BC --=-+=边中点(1,1),M -（1）求：边BC 所在直线方程（2）若直线l 过顶点A ，与边BC 交于点P ，:S 2:1,ABP ACP S ∆∆=求直线l 的方程17、（本题满分8分）已知(1,1)(2,0)、A B 两点，动点M 满足2,MA MB ⋅= （1）求:点M 的轨迹C 的方程（2）若过原点的直线l 被曲线C 截得的弦长为1，求：直线l 的方程18、（本题满分10分）将一张纸沿直线l 对折一次后，点(0,4)A 与点(8,0)B 重合，点(6,8)C 与点(m,n),D 重合 （1）求：直线l 的方程 （2）求：m n +的值（3）直线l 上是否存在一点P ，使得PB PC -存在最大值？如果存在，求出最大值，以及此时点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。

上海市黄浦区大同中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1.函数的定义域是___________.2.已知，则的值等于___________.3.平面向量（-2，3）在（3，4）上的投影为___________.4.已知复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部是___________.5.如果已知极限，那么极限=________.6.在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）.7.已知双曲线，则以C的右焦点为圆心，且与双曲线C的渐近线相切的圆的方程是____________.8.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____.9.直线的倾斜角范围为___________.10.己知函数f(x)=，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则a+4b的取值范围是____________.11.某中学的汪老师遇见一道解三角形的问题时，因纸张破损缺少一个条件，具体如下：“中，已知，___________，求角A的大小.”经同办公室彭老师推断缺少的条件为三角形一边的长度，且答案提示，试帮助汪老师将所缺的条件补充完整.12.已知数列是首项为a，公差为1的等差数列，数列满足.若对于任意的，都有成立，则实数a的取值范围是___________.二、单选题13.若，则的值为（）A. B. C. D.14.已知两条直线“”是“直线与直线的夹角为”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（）A.有且仅有一条B.有且仅有三条C.有无穷多条D.不存在的16.已知数列满足，且数列是单调递增的，则首项的取值范围是（）A. B.C. D.三、解答题17.如图，在四棱锥的底面梯形中，，，又已知平面.（1）异面直线PB与CD所成角的大小；（2）四棱锥的体积.18.已知，函数. （1）若，用列举法表示；（2）求函数的单调递增区间以及当函数取得最大值时，和的夹角.19.有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.（1）证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为，，.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.20.已知椭圆的左.右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形的边长为的正方形.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，分别是椭圆长轴的左，右端点，动点满足，连结，交椭圆于点.证明:的定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问轴上是否存在异于点，的定点，使得以为直径的圆恒过直线，的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.21.设是数列的前项和，对任意都有成立（其中是常数）.（1）当时，求：（2）当时，①若，求数列的通项公式：②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”，如果，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值构成的集合；若不存在.说明理由.参考答案1.（0，1）【解析】【分析】函数式有意义，二次根式下被开方数不为负，分母不为0，对数的真数大于0。

2020-2021上海大同中学高二数学上期中第一次模拟试卷(附答案)一、选择题1．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( )A．11347250C CCB．20347250C CCC．1233250C CC+D．1120347347250C C C CC+2．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（）A．115B．112C．111D．143．一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以()0a a>得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A．这组新数据的平均数为m B．这组新数据的平均数为a m+C．这组新数据的方差为an D．这组新数据的标准差为a n4．从区间[]0,2随机抽取4n个数1232,,,...,nx x x x，1232,,,...,ny y y y构成2n个数对()11,x y，()22,x y，…，()22,n nx y，其中两数的平方和小于4的数对有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（）A．2mnB．2mnC．4mnD．16mn5．某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是A．14，9.5B．9，9C．9，10D．14，96．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是()A．336B．510C．1326D．36037．运行该程序框图，若输出的x的值为16，则判断框中不可能填（）A ．5k ≥B ．4k >C ．9k ≥D ．7k >8．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．71010．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξC ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<11．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥12．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题13．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.14．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.15．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______． 16．有一批产品，其中有2件次品和4件正品，从中任取2件，至少有1件次品的概率为______．17．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．18．一盒中有6个乒乓球，其中4个新的，2个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒子中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则(4)P X =的值为___________. 19．下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，A，B为互斥事件，但不是对立事件；③某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m，n，若一模考试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为na mbm n+；④如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交．其中真命题的序号是__________．20．某班全体学生参加英语成绩的频率分布直方图如图，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是__________．三、解答题21．中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，引起全国轰动．开学后，某校高二年级班主任对该班进行了一次调查，发现全班60名同学中，对此事关注的占13，他们在本学期期末考试中的物理成绩如下面的频率分布直方图：（1）求“对此事关注”的同学的物理期末平均分（以各区间的中点代表该区间的均值）．（2）若物理成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量，①补充下面的22⨯列联表：物理成绩优秀物理成绩不优秀合计对此事关注对此事不关注合计②是否有95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：22．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．14.5≈，若()2,X Nμσ:，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.23．(1)从区间[1，10]内任意选取一个实数x ，求26160x x --≤的概率； (2)从区间[1，12]内任意选取一个整数x ，求()ln 22x -<的概率.24．为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.25．2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会简称党的“十九大”在北京召开一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在内，按成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．求这100人的平均得分同一组数据用该区间的中点值作代表；求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．26．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由； (3)甲同学发现，其物理考试成绩y (分)与班级平均分x (分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.参考数据: 72134840ii x ==∑，72150767ii y ==∑，7141964i i i x y ==∑，71()()314iii x x y y =--=∑.参考公式：y bx a =+$$$，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y n x yb x x xn x====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑$，$a y bx =-⋅$(计算$a b$，时精确到0.01).【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由题意，恰好两件都是次品，共有23C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C 种不同的取法，即可求解． 【详解】由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有250C 种不同的取法， 恰好两件都是次品，共有20347C C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C 种不同的取法，所以至少取到1件次品的概率为1120347347250C C C C C +，故选D ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.3．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n ，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n . 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.4．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.5．A解析：A 【解析】2班共有8个数据，中间两个是9和10，因此中位数为9.5，只有A 符合，故选A ．（1班10个数据最大为22，最小为8，极差为14）．6．B解析：B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.7．D解析：D 【解析】运行该程序，第一次，1,k 2x ==, 第二次，2,k 3x ==， 第三次，4,k 4x ==， 第四次，16,k 5x ==， 第五次，4,k 6x ==， 第六次，16,k 7x ==， 第七次，4,k 8x ==， 第八次，16,k 9x ==， 观察可知，若判断框中为5k ≥．，则第四次结束，输出x 的值为16，满足； 若判断框中为4k >．，则第四次结束，输出x 的值为16，满足； 若判断框中为9k ≥．，则第八次结束，输出x 的值为16，满足； 若判断框中为7k >．，则第七次结束，输出x 的值为4，不满足； 故选D.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案． 【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-= ()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.10．A解析：A 【解析】()11222m n m np m n m n m n +=+⨯=+++， ()()()()()()()()2112111313m m n n mn p m n m n m n m n m n m n --=+⨯+⨯++-++-++-()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，()()()()()()()()2222123212332233223161m n m n m m mn n nm n m m mn n n p p m n m n m n m n m n ++---++-+-++--=-=+++-++-()()()51061mn n n m n m n +-=>++-，故12p p >，()()()112201222nm n m n E m n m n m n ξ++⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪+++⎝⎭，()()()()()()()()22212133201131331n n mn m m mn n n E m n m n m n m n m n m n ξ⎛⎫⎛⎫--++-=⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎪ ⎪ ⎪++-++-++-⎝⎭⎝⎭()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，由上面比较可知()()12E E ξξ>，故选A考点：独立事件的概率,数学期望.11．A解析：A 【解析】试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是2362222++++L ，所以判断框中应该填i>6?.考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程二、填空题13．【解析】【分析】首先计算出五位数的总的个数然后根据可被或整除的五位数的末尾是偶数或计算出满足的五位数的个数根据古典概型的概率计算公式求出概率即可【详解】因为五位数的总个数为：能被或整除的五位数的个数5【解析】 【分析】首先计算出五位数的总的个数，然后根据可被2或5整除的五位数的末尾是偶数或5计算出满足的五位数的个数，根据古典概型的概率计算公式求出概率即可. 【详解】因为五位数的总个数为：55A =120，能被2或5整除的五位数的个数为：443A =72⨯， 所以7231205P ==. 故答案为：35. 【点睛】本题考查排列组合在数字个数问题方面的应用，难度一般.涉及到不同数字组成的几位数个数问题时，若要求数字不重复，可以通过排列数去计算相应几位数的个数.14．【解析】【分析】【详解】已知六个点任取三个不同取法总数为：；可构成三角形的个数为：所以所求概率为：解析：34【解析】 【分析】 【详解】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个点任取三个不同取法总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=. 15．【解析】数据4849525556的平均数为×（48+49+52+55+56）=52∴该组数据的方差为：s2=×（48–52）2+（49–52）2+（52–52）2+（55–52）2+（56–52）2 解析：0.1【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为15x =×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2， ∴该组数据的方差为：s 2=15×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为0.1．16．【解析】【分析】利用古典概型概率公式求出事件至少有件次品的对立事件全都是次品的概率再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率【详解】记事件至少有件次品则其对立事件为全都是次品由古典概型的概率公式6【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求出事件“至少有1件次品”的对立事件“全都是次品”的概率，再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】记事件:A 至少有1件次品，则其对立事件为:A 全都是次品，由古典概型的概率公式可得()222416C P A C ==，()()151166P A P A ∴=-=-=.因此，至少有1件次品的概率为56，故答案为56. 【点睛】本题考查古典概型概率公式以及对立事件概率的计算，在求事件的概率时，若问题中涉及“至少”，可利用对立事件的概率进行计算，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题.17．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间， 则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间， 满足条件的P 点对应的线段长为2cm ， 而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15. 18．【解析】【分析】要使盒子中恰好有4个是用过的球要求开始取的3个球1个是用过的2个没有用过的结合组合知识根据古典概型公式可得到结果【详解】从盒子中任取的3个球使用用完全后装回盒子中要使盒子中恰好有4个解析：35【解析】 【分析】要使盒子中恰好有4个是用过的球，要求开始取的3个球1个是用过的，2个没有用过的，结合组合知识根据古典概型公式可得到结果. 【详解】从盒子中任取的3个球使用，用完全后装回盒子中， 要使盒子中恰好有4个是用过的球，则要求开始取的3个球1个是用过的，2个没有用过的，共有214212C C =种方法，从装有6个乒乓球的盒子任取3个球使用有3620C =种方法，∴盒子中恰好有4个是用过的球的概率为123205P ==，故答案为35.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，所以中档题.要应用古典概型概率公式，分清在一个概型中某随机事件包含的基本事件个数和试验中基本事件的总数是解题的关键.19．①④【解析】分析：根据方差定义互斥与对立概念平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对因为基本事件空间是Ω＝{123456}若事解析：①④. 【解析】分析：根据方差定义、互斥与对立概念、平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假. 详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对 因为基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A ＝{1，3}，B ＝{3，5，6}，A ，B 不为互斥事件，所以②错；因为某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m ，n ，若一模考试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为ma nbm n++，所以③错； 因为如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行（同侧时）或相交（异侧时），所以④对. 因此真命题的序号是①④.点睛：对命题真假的判断，主要要明确概念或公式.20．【解析】由图可知低于分的频率为故该班人数为故答案为 解析：50【解析】由图可知，低于60分的频率为(0.0050.01)200.3+⨯=，故该班人数为15500.3=，故答案为50．三、解答题21．（1）75.5；（2）列联表见解析，没有. 【解析】试题分析：（1）各小矩形中点横坐标与纵坐标的乘积的和即是对此事关注的同学的物理期末平均分；（2）根据直方图求出列联表所需数据，即可完成22⨯列联表，利用公式()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++求得2K ，与邻界值比较，即可得到结论.试题解析：（1）对此事关注的同学的物理期末平均分为(450.005550.005650.020⨯+⨯+⨯ 750.030850.030+⨯+⨯ 950.010)1075.5+⨯⨯=（分）．（2）①补充的22⨯列联表如下：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++ ()26083281216442040⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 302.733.84111=≈<， 所以没有95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系． 【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.） 22．（1）0.8186；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数μ的值，再利用数据之间的关系将36、79.5表示为362μσ=-，79.5μσ=+，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为12，再结合得20元、40元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望. 【详解】 （1）由题意可得352545150552006525075225851009550651000μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，易知14.5σ=≈，36652965214.52μσ∴=-=-⨯=-，79.56514.5μσ=+=+，()()()()3679.522P Z P Z P Z P Z μσμσμσμμμσ∴<≤=-<≤+=-<≤+<≤+()()0.95450.6827022.818622P X P X μσμσμσμσ+===-<≤++-<≤+；（2）根据题意，可得出随机变量X 的可能取值有20、40、60、80元，()13320248P X ==⨯=，()1113313402424432P X ==⨯+⨯⨯=，()113360224416P X ==⨯⨯⨯=，()11118024432P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为2040608083216322EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.23．(1)79；（2）712. 【解析】 【分析】（1）求解不等式26160x x --≤可得x 的范围，由测度比为长度比求得26160x x --≤的概率；（2）求解对数不等式可得满足()ln 22x -<的x 的范围，得到整数个数，再由古典概型概率公式求得答案． 【详解】解：（1）26160x x --≤Q ，∴28x -剟，又[]1,10x ∈Q []1,8x ∴∈故由几何概型可知，所求概率为8110971-=-． （2）()ln 22x -<Q ，222x e ∴<<+，则在区间[]1,12内满足()ln 22x -<的整数为3,4,5,6,7,8,9共有7个，故由古典概型可知，所求概率为712． 【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题． 24．(1) 0.040a =；中位数为82.5. (2) 35【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判中位数所在组距应在80到90之间，设综合评分的中位数为x ，结合频率计算公式求解即可；（2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采用列举法表示出所有基本事件，结合古典概率公式求解即可 【详解】（1）由频率和为1，得(0.0050.0100.0250.020)101a ++++⨯=，0.040a =； 设综合评分的中位数为x ，则(0.0050.0100.025)100.040(80)0.5x ++⨯+⨯-=，解得82.5x =，所以综合评分的中位数为82.5.（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为(0.0400.020)100.6+⨯=，即概率为0.6； 所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为a 、b 、c ，非一等品2个，记为D 、E ； 从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：ab 、ac 、aD 、aE 、bc 、bD 、bE 、cD 、cE 、DE 共10种；抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：aD 、aE 、bD 、bE 、cD 、cE 共6种，所以所求的概率为63105P ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图中具体数值的求解，中位数的计算，求解具体事件对应的概率，属于中档题25．（1）87.25；（2）3，2，；（3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这100人的平均得分（2）第3组的人数为30，第4组的人数为20，第5组的人数为10，用分层抽样能求出在这三个组选取的人数（3）记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，从这6人随机选取2人，利用列举法能写出甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.【详解】这100人的平均得分为：.第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为，故共有60人， 用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2， 记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，则所有选取的结果为甲、乙、甲、丙、甲、丁、甲、戊、甲、己、 乙、丙、乙、丁、乙、戊、乙、己 、丙、丁、丙、戊、丙、己、 丁、戊、丁、己 、戊、己共15种情况， 其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况， 故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概率，属于中档题. 26．（1）14；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】(1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得到答案.(2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科；（3）先计算x 和y ，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值50即可得到答案. 【详解】(1)记物理、历史分别为12,A A ，思想政治、地理、化学、生物分别为1234,,,B B B B ， 由题意可知考生选择的情形有{}112,,A B B ，{}113,,A B B ，{}114,,A B B ，{}123,,A B B ，{}124,,A B B ，{}134,,A B B ，{}212,,A B B ，{}213,,A B B ，{}214,,A B B ，{}223,,A B B ，{}224,,A B B ，{}234,,A B B ，共12种 他选到物理、地理两门功课的满情形有{}{}{}112123124,,,,,,A B B A B B A B B ，共3种∴甲同学选到物理、地理两门功课的概率为31124P == (2)物理成绩的平均分为76828285879093857x ++++++==物理历史成绩的平均分为69768082949698857x ++++++==历史由茎叶图可知物理成绩的方差2s<物理历史成绩的方差2s 物理故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可) (3)57+61+65+72+74+77+84707x ==，85y =,7172221741964770853140.5834840770540ˆ7i i i i i x y x y b x x ==-⋅⋅-⨯⨯∴===≈-⨯-⋅∑∑ 850.587044.ˆ0ˆ4ay b x =-⋅=-⨯≈ y ∴关于x 的回归方程为0.58+44.40y x =当50x =时，0.5850+44.4073y =⨯≈,当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分 【点睛】本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读理解能力，计算能力和分析能力，难度不大.。