高数C测试

高数c试题及答案一、选择题1.若函数f(x) = x^2 + bx + c在(-∞,3)上严格单调递增，那么b和c的符号关系是（）。

A. b < 0，c > 0B. b > 0，c < 0C. b > 0，c > 0D. b < 0，c < 0答案：C2.设函数f(x) = 2^x，g(x)=log2 (x+2)，则满足f(g(x))=x的x的范围是（）。

A. x > -2B. x > -1C. x < -2D. x < -1答案：A3.已知函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x + a，若f(1) = 1，f(-2) = -3，则a 的值为（）。

A. -6B. -5C. 4D. 5答案：D二、填空题1.已知函数f(x) = sin(πx)，x0为f(x)的一个最小正周期，则x0 = （）。

答案：2三、计算题1.求极限lim┬(x→2)⁡〖(2x^3-2x^2+x-3)〗。

解：将x = 2代入得到lim┬(x→2)⁡〖(2x^3-2x^2+x-3) = 2(2)^3 -2(2)^2 + 2 - 3 = 9〗。

2.求不定积分∫(x^2 - 2x + 1)dx。

解：∫(x^2 - 2x + 1)dx = (1/3)x^3 - x^2 + x + C。

四、证明题已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，求证：若a>0，则当b^2 - 4ac < 0时，f(x)无实数根。

证明：根据二次函数的判别式，b^2 - 4ac < 0表明二次函数的图像在x轴上没有交点，即无实数根。

总结：本文提供了高数C试题及答案，包括选择题、填空题、计算题和证明题。

通过解答这些题目，读者可以加深对高等数学C的理解，并夯实数学基础。

希望本文能够对广大学生有所帮助。

大学高数c试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)=2，则下列说法正确的是：A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处可微C. f(x)在点x=a处不可导D. f(x)在点x=a处的导数为0答案：A2. 函数y=x^2在区间[0,2]上的定积分为：A. 4B. 8C. 6D. 2答案：B3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B4. 微分方程y'' + y = 0的通解是：A. y = c1 * cos x + c2 * sin xB. y = c1 * e^x + c2 * e^(-x)C. y = c1 * x + c2D. y = c1 * x^2 + c2 * x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=________。

答案：3x^2-32. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为________。

答案：23. 函数y=ln(x)的不定积分为________。

答案：x * ln(x) - x + C4. 微分方程y' - 2y = e^(2x)的特解为________。

答案：(1/3) * e^(2x)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+15在x=2处的导数。

答案：将x=2代入导数f'(x)=3x^2-12x+9，得到f'(2)=3。

2. 计算定积分∫(0到1) (2x+1)dx。

答案：∫(0到1) (2x+1)dx = [x^2+x](0到1) = 1^2 + 1 - 0^2 - 0 = 2。

3. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。

答案：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。

4. 求微分方程y' + 2y = 6的通解。

高数c期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义中，ε-δ定义是指对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。

以下哪个选项正确描述了这个定义？A. 当x趋近于a时，f(x)趋近于LB. 当x趋近于a时，f(x)的值可以任意接近LC. 当x趋近于a时，f(x)的值与L的差值可以任意小D. 当x趋近于a时，f(x)的值与L的差值可以任意大答案：C2. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数为：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B4. 曲线y=x^2+1在点(1,2)处的切线斜率为：A. 2B. 1C. 0D. -1答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1+1/2+1/3+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1+1/4+1/9+...D. 1/2+1/4+1/8+...答案：C6. 函数f(x)=sin(x)的不定积分为：A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. -sin(x)+C答案：B7. 以下哪个选项是二重积分的计算公式？A. ∫∫f(x,y)dxdyB. ∫∫f(x,y)dydxC. ∫∫f(x,y)dxdy=∫(∫f(x,y)dy)dxD. ∫∫f(x,y)dxdy=∫(∫f(x,y)dx)dy答案：C8. 以下哪个选项是多元函数偏导数的定义？A. ∂f/∂x表示函数f对x的导数B. ∂f/∂x表示函数f对x的偏导数C. ∂f/∂x表示函数f对y的导数D. ∂f/∂x表示函数f对y的偏导数答案：B9. 以下哪个选项是多元函数全微分的定义？A. df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dyB. df = ∂f/∂y dx + ∂f/∂x dyC. df = ∂f/∂x dy + ∂f/∂y dxD. df = ∂f/∂x dx - ∂f/∂y dy答案：A10. 以下哪个选项是多元函数梯度的定义？A. ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)B. ∇f = (∂f/∂y, ∂f/∂x)C. ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)D. ∇f = (∂f/∂z, ∂f/∂x, ∂f/∂y)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x的导数为________。

2010-2011高等数学C （二）期中考试试卷（答案）姓名 学号 班级 成绩注：该试卷中含有微分方程的题目，不属于本次期中考试内容。

一、选择填空题（每空3分，共36分）1、300ln(1)lim sin x x t dt t x x→+-⎰= 2 ； 解：上式=22/lim cos 1)1ln(lim 22030==-+→→x x xx x x x 等价无穷小代换 2、曲线1y x =与直线,2y x y ==所围的平面图形的面积为2ln 23- 解：积分区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤y x y y D 121:，所以所求面积=-=⎰dy y y S )1(212ln 23- 3、121sin x xdx -⎰= 0 ；解：奇函数在对称区间上的定积分为零 4、已知函数()f x 可导，(1)2f =，10()5f x dx =⎰，则10()xf x dx '⎰=3- 解：根据分部积分：10()xf x dx '⎰352)()()(101010-=-=-==⎰⎰dx x f x xf x xdf 5、已知22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为 ， 该微分方程对应的二阶线性齐次微分方程为 。

6、方程2214y x +=所表示的曲面类型是 椭圆柱面 ； 7、设22(,)f u v u v v u +-=-，则(,)f x y =xy -8、二重极限22(,)(0,0)limx y xy x y →+ 不存在 ；解：由于2222001lim kk x k x kx x kx y x +=+⨯→=→，与k 有关，所以极限不存在 9、函数(,)z f x y =在点(,)P x y 偏导数存在是函数在该点连续的 D ；A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 无关条件10、二元函数sin ,0,R (,)20,0R xy x y f x y x x y ⎧≠∈⎪=⎨⎪=∈⎩，，则(0,3)x f = 不存在解：(0,3)x f =∞=∆-∆∆=∆-∆→∆→∆xx x x f x f x x 023sin lim )3,0()3,(lim 00 11、设函数2x z y =，则全微分dz =dy xy ydx yx x 1222ln 2-+ 解：dy xy ydx y dz x x 1222ln 2-+=二、计算题（共52分）1、(6分)计算0-⎰ 解：被积函数在积分区域上连续所以0-⎰2ln 32332124-=-=⎰=+dt t t t x 2、(6分)计算222||2x x dx x -++⎰解：利用定积分的奇偶性222||2x x dx x -++⎰3ln )2ln(222202202222=+=+=+=⎰⎰-x dx x x dx x x 3、(6分)计算401x dx x+∞+⎰ 解：401x dx x +∞+⎰4arctan 21)(121020222π==+=∞+∞+⎰x x dx 4、(6分)计算1sin(ln )e x dx ⎰ 解：1sin(ln )ex dx ⎰⎰⎰-===101010ln cos )sin (sin tdt e t e de t t t t t x ⎰⎰--=-=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t所以1sin(ln )e x dx ⎰)11cos 1sin (21+-=e e 5、(6分)求微分方程12sin ,()xy y x y ππ'+==的特解6、(6分)求微分方程ln 0dy x y y dx-=的通解。

《高等数学》试卷（C ）(2)参考答案及评分标准一、单项选择题（每题3分，共15分）1、B2、C3、C4、D5、 B 二、填空题（每空3分，共15分）1、922、1-3、44200(,)ydy f x y dx -⎰⎰ 4、12a a - 5、24cos xy x三、计算题（共63分） 1．解：21ln ex xdx ⎰311ln 3e xdx =⎰33111(ln )13e e x x x dx x =-⎰ （+4分） 32331111()((1))333e e x dx e e =-=--⎰32199e =+ (+3分)2．解：设2ln(1)z v u =+ ，,u xy v x y ==+，求2zx y∂∂∂z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222222()ln(1)1xy x y x y x y =++++ (+4分) 2z x y ∂=∂∂222222(()ln(1))1xy x y x y y x y∂+++∂+ 222222222222224(1)222()1(1)1xy xy x y xy x y x y x y x y x y x y +-=++++++ 22222(3)2()(1)x y xy x y x y +=++ （+3分）3．解：因 112()dxdx xx y ex e dx c ---⎰⎰=+⎰ ln 2ln ()x x e x e dx c -=+⎰21()2x x c =+ (+4分)11|1,2x y C ===由得 ， 故方程的特解为21(1)2y x x =+ （+3分）4. 解：21122221x Dx y dxdy x dx y dy -=⎰⎰⎰⎰12811()3x x dx -=-⎰ （+4分）39111114()33927x x -=-=(+3分)5. 解：方程的特征方程为：2420r r -+=，其特征根为1,22r = （+4分）故方程的通解为：(2(212xxy c e c e =+ (+3分)6．解：曲线()x f y =绕y 轴旋转所得体积为 2dcV x dy π=⎰，且曲线214x y y =-与y 轴上的交点为120,4y y == （+4分） 所以44222345400111132()()43816515V x dy y y dy y y y ππππ==-=-+=⨯⎰⎰ (+3分) 7．解：20x x →=34241sin 2limx x x x x +→ （+3分） 242021sin lim xx x x +=→21121sin lim 4220=+=→x x x x (+4分) 8．解：设长方体的长、宽、高分别为,x y ,z ，则长方体的体积为 V xyz =，而有条件 2()4xy yz zx ++=，即设(,,,)(2()4)F x y z xyz xy yz zx λλ=-++-， (+3分)则2()02()02()02()40x y z F yz y z F yz x z F xy x y F xy yz zx λλλλ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=++-=⎩，求解以上方程组得x y z ===V = (+4分)9、设 =)(x s 21121n n x n -∞=-∑，则 ∑∑∞=∞=-=='02122)()(n nn n x x x s 2211lim x x n n --=∞→ (+3分)当1x <时级数 ++++753753x x x x 收敛， 故=')(x s 211x- 所以两边积分得 ()s x =xx-+11ln 21 (+4分) 四、证明题（共7分） 证明：21()nn n ab ∞=+∑221112n n n n n n n a b a b ∞∞∞====++∑∑∑2222111()n n n n n n n a b a b ∞∞∞===≤+++∑∑∑22112()n n n n a b ∞∞===+∑∑， .(+3分)因级数正项级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都收敛，故存在N ，当n N >时有1,1n n a b <<，即当n N>时有22,n n n n a a b b <<，21()nn n ab ∞=+∑22221111112()2()2()NNn n n n n nn n n n n N n N a b a b a b ∞∞∞∞=====+=+≤+≤+++∑∑∑∑∑∑112()n n n n M a b ∞∞==≤++∑∑，其中112()NNn n n n M a b ===+∑∑可得级数21()nn n ab ∞=+∑也收敛 .(+4分)证法2：因级数正项级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都收敛，故有lim 0,lim 0n n n n a b →∞→∞==，且1()nn n ab ∞=+∑也收敛。

高数C（下）试题一、填空题：1．方程是 02)(/2/=+−x yy y x 阶微分方程。

2．若=10，则∑∞=1n nu=∞→nn ulim 。

3．若级数在处收敛，则在∑∞=0n nn xa 3=x 2−=x 处 。

4．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且∫−=++−Ldy y x dx y x 9)34()2(，则L 所围成的平面闭区域D 的面积等于 。

5．已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解是, ，则该微分方程为 x e −x xe −。

11≤≤−x D ：，20≤≤y ，则= ∫∫Dydxdy xe 2。

6．已知平面区域7．设，则322z y x u +−==du 。

8．dxdy y x D∫∫+22的值为 ，其中922≤+y x D ：.9．函数在点处取得值。

22)(4),(y x y x y x f −−−=____________________10．设Σ是球面的外侧，则积分2222a z y x =++∫∫∑=ydxdy 。

二、选择题：1．对于函数，下列命题正确的是：（ ）),(y x f z =)A y z x z ∂∂∂∂,都存在，则连续； ),(y x f )B y zx z ∂∂∂∂,都连续，则必可微； ),(y x f )C y z x z ∂∂∂∂,都存在，则的极限存在；),(y x f )D yz x z ∂∂∂∂,都存在，则可微。

),(y x f 2．下列极限不存在的是：（ ）)A 22)0,0(),(1sin lim y x x y x +→；)B xxy y x )sin(lim)2,0(),(→； )C 422)0,0(),(lim y x xy y x +→； )D 222)0,0(),(lim y x yx y x +→.3．设，其中与∫∫=Dxydxdy I x y D =2：2−=x y 所围成的区域，则（ ） )A ∫∫−+=2122y y xydxdy I ；)B ∫∫∫∫−−+=41210x x x xxydydx xydy dx I ；；.)C ∫∫+=422y y xydydx I )D ∫∫−+=2122y y xydy dx I 4．更换积分次序：（ ）=∫∫exdy y x f dx1ln 0),(；；；.)A ∫∫1),(y e edxy x f dy )B ∫∫ye e dxy x f dy 0),()C ∫∫10),(ee ydxy x f dy )D ∫∫ye edx y x f dy 01),(5．设L 是从点沿折线)0,0(O 11−−=x y 至点 的折线段，则曲线积分等于（ ）)0,2(A ∫+−=Lxdy ydx I 0； -1； -2； 2.)A )B )C )D 6．设L 为圆周：，则曲线积分222R y x =+∫=Lxyds I 的值为（ ）-1； 1； 0； 2.)A )B )C )D 7．下列级数中属于条件收敛的是：（ ）)A ∑∞=+−1)1()1(n n n n ； )B ∑∞=−−113)1(n n n ； )C ∑∞=−12)1(n nn ； )D ∑∞=−121sin)1(n n n . 8．设是以2л为周期的周期函数，且在一个周期内的表达式为：，则其付立叶级数在)(x f ⎩⎨⎧≤<≤<−−=ππx x x f 0101)(π2=x 处（ ）收敛于0 ； 收敛于1 ； 收敛于-1 ； 发散。

高等数学c考试题及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是函数f(x)=x^2在x=0处的导数？A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B解析：根据导数的定义，函数f(x)=x^2在x=0处的导数为f'(x)=2x，代入x=0得到f'(0)=0，因此正确答案为B。

2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B解析：根据极限的性质，我们知道lim(x→0) (sin(x)/x) = 1，因此正确答案为B。

3. 以下哪个选项是函数f(x)=e^x的不定积分？A. e^x + CB. e^x - CC. e^x * CD. e^x / C答案：A解析：根据积分的基本公式，函数f(x)=e^x的不定积分为∫e^x dx = e^x + C，因此正确答案为A。

4. 以下哪个选项是函数f(x)=ln(x)的二阶导数？A. 1/xB. 1/x^2C. -1/x^2D. -1/x^3答案：B解析：首先求出函数f(x)=ln(x)的一阶导数为f'(x)=1/x，再求二阶导数得到f''(x)=-1/x^2，因此正确答案为B。

5. 以下哪个选项是函数f(x)=x^3-3x+2的极值点？A. x=-1B. x=1C. x=2D. x=-2答案：B解析：首先求出函数f(x)=x^3-3x+2的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得到x=±1，再通过二阶导数测试或一阶导数的符号变化判断，x=1为极小值点，因此正确答案为B。

6. 以下哪个选项是函数f(x)=x^2+2x+1的最小值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B解析：函数f(x)=x^2+2x+1可以写成f(x)=(x+1)^2，这是一个开口向上的抛物线，其最小值出现在顶点处，即x=-1时，此时f(x)=0，因此正确答案为B。

)f f f x((()))极限n−−−x→∞)时是无穷小；)时是无穷大.时是无穷小；0x +→以及）既不是无穷小，又不是无穷大；）前者是无穷小，后者是无穷大n x b <<连续，由最值定理知，在和最小值m ，即有,,(M m f ≤()()2n x f x n++由介值定理可知，在1[,]n x x 上至少存在一点)()2n f x ++e 2xx -=-上连续，且()0(0)F f =40>，由零点定理可知，()10f =()2arctan x =整理变形即可. 证毕2.71(1)!n +-函数的单调性与曲线的凹凸性1当(,)x ∈-∞+∞时，()0f x '<. 故函数()f x 在区间(,)-∞+∞内单调减少 证毕 2、解：2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-令()0f x '=得：121,3x x =-=. 列表解析：3、22[,]33-单调增, 2(,]3-∞-,2[,)3+∞单调减. 4、证略5、凸区间(,1]-∞，凹区间[1,)+∞, 拐点11(1,)9-6、39,22a b =-=2.10 函数的极值与最值1、单调增区间为()(),1,3,-∞-+∞； 单调减区间为()1,3-极小值(3)47f =-；极大值(1)17f -=. 2、2,05x x == 3、最大值为2,最小值为 -2.4、最小值327x y =-=5、储油罐底半径325Vr π=，高为3254Vh π= 6、43R 2.11 函数图形的描绘1. 水平渐近线0y =.2. 水平渐近线0y =；垂直渐近线0x =.2.12 曲率1. 曲率2K =,曲率半径12ρ=. 2. 2x π=处曲率最大,为1.综合练习题二1. （1）)(sec 25sin 5123cos 322x x xxx y ⋅+-=' （2）3e (cos sin )s ec tan xy x x x x '=--（3）22222(1)sin 4cos (1)cos x x x xy x x +-'=+(4)2sec (12)x y x -'=- (5)211y x'=-+(6)()1ln ln ln y x x x '=(7)'=++-y x x x x xx x 3222212123ln ()ln cos(8)arcsin2xy '==y xe ''=+ y x( (4)(=+ y x。

上海海洋⼤学⾼数C答案上海海洋⼤学试卷标准答案姓名：学号：专业班名：⼀、[/30103=?'] 选择：将您认为正确的答案代号填⼊下列表格内。

1、设5)2(,3)2(,1)0(/===f f f ，则dx x xf ?2//)(的值为（）A ）12B ）8C ）7D ）6 2、设定积分?=exdx I 11ln ，?=exdx I 122ln ，则（）A ）12I I <B ）122I I <C ）122I I >D ）12I I > 3、定积分A ）eB ）21C ）21e D ）24、由1,,===-x e y e y xx所围成的平⾯图形的⾯积是（） A ）e e 1+B ）e e 1-C ）21-+e eD ）21+-ee 5、曲边梯形b y a yf x ≤≤≤≤≤0),(0绕y 轴旋转所形成的旋转体的体积为（） A ）dy y f ba)(2π B ）dy y f b a)(π C ）dy y yf b a)(π D ）dy y yf ba)(2π6、函数)1ln(y x z --=的定义域为（）A ）{}1,1),(<B ）{}1),(≤+y x y x ；C ）{}1),(<+y x y x ； D ）在xOy 平⾯上处处⽆定义。

7、⼆元函数 ),(y x f z = 在点),(00y x 处可导与可微的关系为（）A ）可导必可微；B ）可导⼀定不可微；C ）可微必可导；D ）可微不⼀定可导 8、22:a y x D ≤+ A ）2a B ）π C ）2a π D ）不能求9、级数∑∞=--11)1(n pn n 当（） A ）1>p 时条件收敛 B ）10≤10、求⽅程0)(2//=-y yy 的通解时，可令（）A ）p y =/，则///p y = B ）p y =/，则dydp py =//C ）p y =/，则dxdp py =//D ）p y =/，则dy dp p y ///=⼆、[8163'=?'] 填空： 1、函数22),(yx xy y x f +=，则=),1(y x f 22xyx y + ； 2、=++→→221)ln(limyx e x y y x ln 2 ；3、设)23ln(z y x u +-=，则=du 3232dx dy dz4、交换积分秩序：dy y x f dx xe),(ln 01=1(,)y eedy f x y dx ?? ；5、若级数∑∞=1n nu收敛，则)(1n n nu u+∑∞=绝对收敛（填绝对收敛、条件收敛或发散）6、02///=+-y y y 的通解为xe x C C y )(21+= ；三、[//4058=?]计算：1、设v u z ln 2=，⽽y x v y x u 23,-==，求yz x z ,；解：22221232ln 3ln(32)(32)z z u z v u x x u v x y x u x v x y v y y x y =+=+?=-+- （4分） 222232222ln ()(2)ln(32)(32) z z u z v x u x x u v x y y u y v y y v y y x y =+=-+?-=---- （8分） 2、),(2f z -=,其中f 具有连续⼆阶偏导数,求 22xz ??；解：设22u x y =-，xyv e =，(,)z f u v =122xy z z u z v xf ye f x u x v x''=+=+ （3分）因此2122()(2)xy z z xf ye f x x x x''==+ 2121222xy xy f f f xy e f ye x x''''=+++ （4分）⽽11111122xy f f f u vxf ye f x u x v x'''''''=+=+22221222xy f f f u vxf ye f x u x v x'''''''=+=+ （7分）所以221212222xy xy f f z f x y e f ye x x x''''==+++2111122212222(2)(2)xy xy xy xy f x xf ye f y e f ye xf ye f ''''''''''=+++++ 2 22211112222244xy xy xy f x f xye f y e f y e f ''''''''=++++ （8分） 3、+Ddxdy y x )( ，D 是由2y x = ，2-=x y 所围成的闭区域；解：2221121()()2y yDy x y dxdy dy x y dx x xy dy y+--+??+=+=+（5分）2243131(42)22y y y y dy -=++--? 9.45= （8分）4、+Ddxdy y x 222)( ，D 是由x y 33= ，x y =，122=+y x 及422=+y x （0,0≥≥y x ）所围成的闭区域；解：令θθsin ,cos r y r x ==，则积分区域D 可表⽰为<<<<2146r πθπ（2分）所以，22224416()Dxy dxdy d r rdr ππθ+= （6分）466r ππ??=- 637728ππ== （8分） 5、求微分⽅程 y y x '''=+的通解；解：令,/p y =则,///p y =原⽅程化为：x p p +=/（2分）因为 )(111?+??=---C dx xe e p dxdx )(1+=-C dx xe e xxxe C x 11+--= （6分）从⽽ 21212)1(C e C x x dx e C x y x x++--=+--=?，即为所求通解。