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幂函数的图像与性质一、根式与有理数指数幂1、根式（1（2①②2（1③0（2①②③二、幂函数1、幂函数的定形如()ay x a R =∈的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 为常数 已知函数()()2531m f x m m x--=--，当m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数； （2）是正比例函数； （3）是反比例函数； （4）是二次函数；练习：已知函数221()(2)m m f x m m x +-=+，m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数 （2）反比例函数（3）二次函数 （4）幂函数三、幂函数的图像幂函数ay x =的图象由于a 的值不同而不同． 1、幂函数ay x =的图象（部分图像）2、单调性：（只研究第一象限的单调性）当0a >时，图象过原点和()1,1，在第一象限的图象上升，故函数在第一象限单调递增；当0a <时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，故函数在第一象限单调递减； 3、幂函数的奇偶性 （1）当a 是整数如果a 是偶数，则幂函数的为偶函数 如果a 是奇数，则幂函数的为奇函数 （2）当a 是分数(,,,a q qy x a p q N p p*==∈为最简分式）的图象备注：当a 是分数时，幂函数的奇偶性没有统一性，由具体情况才能判断。
4、幂的大小与函数图像的关系 总结：在直线1x =右侧，图像越靠近x 轴，幂越小；练习、右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）()A a b c d>>>()B b a d c >>> ()C a b d c >>>()D a d c b >>>题型分析：一、求定义域 1、函数23-=x y 的定义域为 .2、函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域3、求函数25y x =的定义域练习：1、若a 21＜a21－，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1＞a ＞0D ．1≥a ≥0 2、若21)1(－＋a ＜21)23(－－a ，求则a 的取值范围二、单调性1、函数y ＝52x 的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，1）B ．（－∞，0）C ．［0，＋∞］D ．（－∞，＋∞） 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）A ．13y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．2y x -=三、判断下列函数的奇偶性 1、已知幂函数23-=xy ，那么函数为A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．减函数 2、已知幂函数25y x = ，那么函数为A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．减函数 3、已知幂函数f(x)=x 322--m m（m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数. （1）求函数f(x); （2）讨论F （x ）=a ）（）（x xf bx f -的奇偶性xOy ay x=by x = cy x=幂依次减小四、比较大小1、比较下列各组中两个数的大小： （1）535.1，537.1； （2）0.71.5，0.61.5； （3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．练习：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.52、已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =； （３）()()f x g x <．综合训练1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．32、幂函数的图象都经过点（ ）A ．（1，1）B ．（0，1）C ．（0，0）D ．（1，0）3、幂函数25-=x y 的定义域为（ ）A ．(0,+∞)B ．[0,+∞)C ．RD ．(-∞，0)U (0,+∞)4．若幂函数()af x x =在()0,+∞上是增函数，则（ ）A ．a >0B ．a <0C ．a =0D ．不能确定 6．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则( )A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不能确定 9、若四个幂函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝dx 在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A 、d ＞c ＞b ＞aB 、a ＞b ＞c ＞dC 、d ＞c ＞a ＞bD 、a ＞b ＞d ＞c10、当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝ax 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是 A 、a ＜1 B 、0＜a ＜1 C 、a ＞0 D 、a ＜0bx cx11、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系..6543212132323123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）指数函数、对数函数、幂函数综合小练习1、函数41lg)(--=x xx f 的定义域为（ ） A ．(1，4) B ．(－∞，1)∪(4，＋∞) C ．[1，4) D ．(－∞，1]∪(4，＋∞) 2、以下四个数中的最大者是（ ）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln23、设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为（ ）(A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞）(D)（1，2） 4、设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）A ．R Q P <<B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<5、已知c a b 212121log log log <<，则( )A ．c a b 222>>B ．cb a 222>> C ．abc222>> D ．bac222>> 6、函数12log (32)y x =-（ ） A.[1,)+∞ B. 23(,)+∞ C.23[,1] D. 23(,1]7、已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点 A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41C ．21-D ．218、若函数()1(01)xf x a b a a =+->≠且的图像经过二、三、四象限，则一定有（ ）A ．010><<b a 且B ．01>>b a 且C ．010<<<b a 且D ．01<>b a 且 9、已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ） （A ）34 （B ）8 （C ）18 （D ）21 10、函数y ＝lg|x| （ ）A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 11、函数3)4lg(--=x x y 的定义域是12、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________13、若函数f(x) = 1222--+aax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为___________.14、若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数，则a = ．。
课件6 幂函数图象及性质课件编号：AB Ⅰ-2-3-1.课件名称：幂函数图象及性质.课件运行环境：几何画板4.0以上版本.课件主要功能：配合教科书“2.3 幂函数”的教学.利用几何画板绘制函数图象的功能，绘制出幂函数的图象，再利用幂函数的图象研究函数的性质．课件制作过程：（1）新建画板窗口．单击【Graph 】（图表）菜单中的【Define CoordinateSystem 】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl ＋K ，给原点加注标签A ，并用【文本】工具把标签改为O ．（2）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出“New Function ”函数式编辑器，编辑函数f （x ）＝x ，单击【OK 】后画出函数f （x ）=x 的图象．同法编辑函数g （x ）＝x 2，h （x ）＝x 3，21)(x x q =和函数xx r 1)(=的图象．选中函数图象，单击【Display 】（显示）菜单中的【Line Width 】（线型）中的【Thick 】（粗线）．把上述图象设置成粗线，单击【Display 】（显示）菜单中的【Color 】（颜色）的选择各种不同的颜色给每一个函数图象着色，如图1．图1（3）再选中直线f （x ）＝x ，单击【Edit 】（编辑）菜单，选择【Action Buttons 】（操作类按钮），单击【Hide/Show 】（隐藏/显示），此时屏幕上出现【Hide FunctionPlot 】（隐藏对象）按钮，选择【文本工具】，双击【Hide Function Plot 】按钮，出现对话框，将其中的【Label 】（标签）改为“f （x ）＝x ”，再单击【确定】．此时，单击“f （x ）＝x ”按钮就会隐藏或显示直线f （x ）＝x ．用同样的方法制作【Hide Function Plot 】按钮g （x ）＝x 2，3)(x x h =，21)(x x q =和xx r 1)(=，如图2．图2（4） 单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项）对话框，将【Page Name 】（页面名称） 改为“画图象”，单击【OK 】．（5）单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项）对话框，单击【Add Page 】（增加页），单击【Blank Page 】（空白页），将页面名称改为“g（x ）＝x 2”．（6）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出“New Function ”函数式编辑器，在对话框内依次单击x ，^，2，单击【OK 】后画出函数g （x ）＝x 2的图象．选中函数g （x ）＝x 2的图象，单击【Construct 】（构造）菜单的【Point On Function Plot 】（对象上的点），用【文本工具】给点标签为A ，再用【选择工具】选中点A ，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现点A 的坐标．（7）双击y轴，即将y轴标记为镜面，选中点A，单击【Transform】（变换）菜单的【Reflect】（反射），屏幕上出现点A关于y轴的对称点，发现该点也落在曲线g（x）＝x2上．选择【文本工具】，将此点的标签记为“A'”，再用【选择工具】选中点A'，单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现点A'的坐标．（8）为了进一步验证g（x）＝x2的图象关于y轴对称，先同时选中点A、A'，然后按“Ctrl＋L”，画出线段AA'，单击【Construct】（构造）菜单中的【Midpoint】（线段的中点），用【文本工具】将中点的标签记为点M，单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现点M的坐标．（9）用【选择工具】选中点A，单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮）中的【Animation】（动画），在对话框（图3）中，单击【确定】．屏幕上出现操作类按钮【Animation Point】（运动点），用【文本工具】将按钮名称【Animation Point】改为【运动点A】．单击【运动点A】按钮，点A在函数g（x）＝x2的图象上运动或停止运动，发现点M始终在y轴上运动，如图4．图3 图4（10）单击【File】（文件）菜单的【Document Options】（文档选项）对话框，单击【Add Page】（增加页），单击【Blank Page】（空白页），将页面名称改为“3xh=”．(x)（11）单击【Graph】菜单的【Plot New Function】（绘制函数图象），弹出“New Function”函数式编辑器，在对话框内依次单击x，^，3，单击【OK】后画出函数3(xxh=的图象，单击【Construct】（构造）)h=的图象．选中函数3(xx)菜单的【Point On Function Plot】（对象上的点），用【文本工具】给点标签为A，再用【选择工具】选中点A，单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现点A的坐标．（12）双击原点O，即将原点O标记为对称中心，选中点A，单击【Transform】（变换）菜单的【Rotate】（旋转），屏幕上出现对话框（图5），将图5中的“90.0”改为“180.0”，再单击【Rotate】，此时，屏幕上出现点A关于原点O的对称点，发现该点也落在曲线3h=上．选择【文本工具】，将此点的标签记为“A'”，x)(x再用【选择工具】选中点A'，单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现点A'的坐标．（13）为了进一步验证3h=的图象关于原点O中心对称，先同时选中x(x)点A、A'，然后按Ctrl＋L，画出线段AA'，单击【Construct】（构造）菜单中的【Midpoint】（线段的中点），单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现线段AA'中点的坐标O（0，0）．（14）用【选择工具】选中点A，单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮）中的【Animation】（动画），在对话框（如图3所示）中，单击【确定】．屏幕上出现操作类按钮【Animation Point】（运动点），用【文本工具】将按钮名称【Animation Point】改为【运动点A】．单击【运动点A】按钮，点A在函数3xh=的图象上运动或停止运动，发现线段AA'中点始终与原点O重)(x合，如图6．图5 图6（15）单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项）对话框，单击【Add Page 】（增加页），单击【Blank Page 】（空白页），将页面名称改为“xx r 1)(=”． （16）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出“New Function ”函数式编辑器，在对话框内依次单击x ，^，－1，单击【OK 】后画出函数x x r 1)(=的图象．选中函数xx r 1)(=的图象，单击【Construct 】（构造）菜单的【Point On Function Plot 】（对象上的点），用【文本工具】给点标签为A ，再用【选择工具】选中点A ，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现点A 的坐标．（17）双击原点O ，即将原点O 标记为对称中心，选中点A ，单击【Transform 】（变换）菜单的【Rotate 】（旋转），屏幕上出现对话框（图5），将图5中的“90.0”改为“180.0”，再单击【Rotate 】，此时，屏幕上出现点A 关于原点O 的对称点，发现该点也落在曲线xx r 1)(=上．选择【文本工具】，将此点的标签记为“A '”，再用【选择工具】选中点A '，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现点A ' 的坐标．（18）为了进一步验证xx r 1)(=的图象关于原点O 中心对称，先同时选中点A 、A '，然后按“Ctrl ＋L ”，画出线段AA '，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Midpoint 】（线段的中点），屏幕上出现线段AA ' 中点的为原点O ．（19）用【选择工具】选中点A ，单击【Edit 】（编辑）菜单的【Action Buttons 】（操作类按钮）中的【Animation 】（动画），在对话框（如图3所示）中，单击【确定】．屏幕上出现操作类按钮【Animation Point 】（运动点），用【文本工具】将按钮名称【Animation Point 】改为【运动点A 】．单击【运动点A 】按钮，点A 在函数xx r 1)(=的图象上运动或停止运动，发现线段AA ' 中点始终与原点O 重合，如图7． （20） 单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项）对话框，单击【Add Page 】（增加页），单击【Blank Page 】（空白页），将页面名称改为“qpx x s =)(”．（21）单击【Graph 】菜单的【New Parameter 】（新建参数），出现对话框（图8），将图8中的【Name 】（名称） “t[1]”改为“p ”，【Value 】（值） “1.0”改为“7.0”，再单击【OK 】．屏幕上出现“p ＝1.00”，同法再新建参数“q ＝1.00”．图7 图8（22）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出“New Function ”函数式编辑器，在对话框内依次单击x ，^，（，p ，/，q ，），除p 、q 在屏幕上单击外，其余的都在函数编辑器上，单击【OK 】后屏幕上出现函数qp x x s )(的图象，如图9．图9课件使用说明：1．在页面“画图象”中单击“f （x ）=x ”，“g （x ）＝x 2”，“3)(x x h =”，“21)(x x q =”，和“xx r 1)(=” 按纽就会隐藏或显示相应函数的图象． 2．在页面“g （x ）＝x 2”，“3)(x x h =”和“x x r 1)(=”中，单击按纽【运动点A 】，点A 就会在相应的函数图象上运动或停止运动，同时点A 与点A / 的坐标也跟着发生变化，可以让学生观察点A 与点A '的坐标的关系，也可以让学生观察线段AA '中点的位置特征，通过观察上述函数的图象特征来探究函数的性质（定义域、值域、奇偶性、单调性等）．3．在页面“q p x x s =)(”中，选中函数qp x x s =)(的图象，单击【Display 】（显示）菜单中的【Trace Function Plot 】（追踪函数图象）．任意选中“p ＝1.00”或“q =1.00”，按“＋”或“－”号改变p 、q 的值，同时屏幕上会出现各种幂函数的图象，使学生对幂函数的图象与性质有比较全面的认识．。
幂函数图像及其性质幂函数是一种常见的数学函数形式，它的数学表达式为f(x)=ax^b，其中a和b是实数，且a不等于零。
幂函数的图像展示了函数的特性和行为，这对我们进一步了解和应用幂函数有着重要意义。
一、幂函数的图像及其特征通过观察幂函数的图像，我们可以得到以下几个基本特征：1. 幂函数的图像总是通过点(0,0)。
当x等于零时，幂函数的结果总是零。
2. 当b为正数时，幂函数的图像从左上方向右下方斜率逐渐减小，渐近于x轴。
这是因为幂函数中的x不断增大时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
3. 当b为负数时，幂函数的图像从右上方斜率逐渐减小，渐近于x 轴。
这是因为幂函数中的x不断减小时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
4. 当b为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且有一个最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的平方等于0或者正数。
5. 当b为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且没有最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的绝对值在整个定义域内都为正。
二、幂函数图像的变化规律1. 当a大于0时，幂函数的图像在整个定义域内为正。
随着b的增大，幂函数的图像变得平缓，斜率逐渐减小；随着b的减小，幂函数的图像变得陡峭，斜率逐渐增大。
2. 当a小于0时，幂函数的图像在整个定义域内交替在x轴上方和下方。
随着b的增大或减小，幂函数的图像也会随之变化。
3. 当a等于1时，幂函数的图像变成了恒等函数的图像y=x。
即幂函数退化为y=x的特例。
三、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域是实数集R，值域取决于a和b 的取值范围。
2. 奇偶性：当b为偶数时，幂函数是偶函数，关于y轴对称；当b 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称。
3. 单调性：当b大于0时，幂函数在整个定义域内是单调递增的；当b小于0时，幂函数在整个定义域内是单调递减的。
4. 渐近线和交叉点：当b大于0时，幂函数的图像会渐近于x轴；当b小于0时，幂函数的图像会与x轴交叉于一个点，并渐近于x 轴。
幂函数的图像与性质幂函数是一类常见的数学函数，它的表达形式为y = x^n，其中x是自变量，n是常数指数。
在本文中，我们将探讨幂函数的图像以及它的一些基本性质。
一、幂函数图像的特点幂函数的图像是由指数n的不同取值而呈现出多种形态。
下面我们将分别讨论指数为正偶数、正奇数、负偶数和负奇数时的情况。
1. 指数为正偶数时（n > 0且n为偶数）当指数为正偶数时，幂函数的图像呈现出关于y轴对称的特点。
以y = x^2为例，当x取正负值时，y值都为正，且当x取0时，y值为0。
图像在原点处有一个最小值点，随着x的逐渐增大或减小，y也逐渐增大，但增长速度逐渐减慢。
2. 指数为正奇数时（n > 0且n为奇数）当指数为正奇数时，幂函数的图像呈现出关于原点对称的特点。
以y = x^3为例，当x取正值时，y值为正；当x取负值时，y值为负。
图像在原点处有一个零点，当x逐渐增大或减小时，y也随之增大或减小，但增长速度较快。
3. 指数为负偶数时（n < 0且n为偶数）当指数为负偶数时，幂函数的图像呈现出关于x轴对称的特点。
以y = x^-2为例，当x取正值时，y值小于1；当x取0时，y值无定义；当x取负值时，y值同样小于1。
图像在x轴上有一个渐近线y=0，当x逐渐增大或减小时，y的绝对值逐渐减小。
4. 指数为负奇数时（n < 0且n为奇数）当指数为负奇数时，幂函数的图像呈现出关于原点对称的特点。
以y = x^-3为例，当x取正值时，y值大于1；当x取负值时，y值小于-1。
图像在原点处有一个零点，当x逐渐增大或减小时，y的绝对值逐渐增大。
二、幂函数的基本性质除了图像的特点，幂函数还有一些其他的基本性质。
下面我们将介绍其中的两个重要性质。
1. 幂函数的增减性根据幂函数的指数正负，我们可以判断幂函数的增减性。
当指数为正时，幂函数是递增函数，随着自变量的增大，函数值也随之增大；当指数为负时，幂函数是递减函数，随着自变量的增大，函数值却减小。
幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：m na =0a >，m 、n N ∈，且1n >）负分数指数幂的意义是：mn a-=（0a >，m 、n N ∈，且1n >）1、 幂函数的图像与性质幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．0n <幂函数基本性质（1）所有的幂函数在(0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1)；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0,+∞］上,是增函数（3)α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论;2．对于幂函数y ＝αx ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限,其次确定曲线的类型,即α＜0,0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双，大竖小横"，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．2、 幂函数的应用OxyOx yOxy例1、 幂函数n my x =（m 、n N ∈,且m 、n 互质）的图象在第一，二象限,且不经过原点，则有（ ) ()A m 、n 为奇数且1mn<()B m 为偶数，n 为奇数，且1m n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1mn <()D m 奇数，n 为偶数，且1mn>例2、 右图为幂函数y x α=,,,a b c d 的大小关系是 （ ）()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>>()D a d c b >>>解:取12x =, 由图像可知：11112222cdba⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b d c ⇒>>>，应选()C ．例3、 比较下列各组数的大小：（1）131.5，131.7，1；（2）()37,(37，()37;（3）23-⎛ ⎝⎭,23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1--．解：（1）底数不同，指数相同的数比大小， 可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题． ∵13y x =在()0,+∞上单调递增，且1.7 1.51>>，∴11331.7 1.51>>．（2）底数均为负数,可以将其转化为()3377=-,()3377=-,()3377=-．∵37y x =在()0,+∞上单调递增，且>b c∴)333777>>，即))333777-<-<-，∴(()()333777<<．（3）先将指数统一,底数化成正数．2233--⎛= ⎝⎭⎝⎭，2233101077--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()42331.1 1.21---=． ∵23y x -=在()0,+∞上单调递减,且7 1.21102<<，∴()2232337 1.21102---⎛⎛⎫>> ⎪ ⎝⎭⎝⎭,即：()2234337 1.1102---⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．点评:比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数,则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性;（3）若既不能化为同指数,也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例4、 若()()1133132a a --+<-，求实数a 的取值范围．分析：若1133x y --<，则有三种情况0x y <<，0y x <<或0y x <<． 解：根据幂函数的性质,有三种可能:10320a a +<⎧⎨->⎩或10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩,解得：()23,1,32a ⎛⎫-∞- ⎪⎝∈⎭．例3．已知幂函数223m m y x --=(m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值．解：∵幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2230m m --≤，∴13m -≤≤;∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数；（2）分别求出f －1（x ）＝f (x ），f －1(x ）＞f （x ），f －1（x ）＜f (x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f －1（x ）＝x 31． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1(x ）＝x 31的图象都经过点(0，0）和（1,1）． ∴f －1（x )＝f （x ）时,x ＝±1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象,由图可知 f －1(x ）＞f (x )时，x ＜－1或0＜x ＜1； f －1（x ）＜f (x ）时，x ＞1或－1＜x ＜0．点评：本题在确定x 的范围时，采用了数形结合的方法,若采用解不等式或方程则较为麻烦．y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32,∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1)2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法． 【同步练习】1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）Ａ．y = Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -= 答案:Ｃ2. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是( )Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 答案:Ｂ3. 下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（ ）Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x -= 答案：Ｄ4．函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域是( ）A ．{x ｜x ≠0或x ≠2｝B ．（－∞，0） （2，＋∞）C ．(－∞，0）] [2，＋∞］D ．（0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域． 答案:B5．函数y ＝（1－x 2）21的值域是( ）A ．［0，＋∞］B ．（0,1）C ．（0,1）D ．［0,1］ 解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t ＝1－x 2,则y ＝t ． ∵－1≤x ≤1，∴0≤t ≤1，∴0≤y ≤1． 答案：D6．函数y ＝52x 的单调递减区间为（ ）A ．（－∞,1）B ．(－∞，0)C ．［0，＋∞］D ．（－∞，＋∞） 解析：函数y ＝52x 是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B ． 答案：B 7．若a 21＜a21－,则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1＞a ＞0D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质,选C ．答案:C8．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是 。
学习幂函数，图像是关键。
y=xa（a≠0、1）在第一象限的图像可以分为三类：
只要掌握了这三种情况，然后根据幂函数的奇偶性，就可作出y=xa（a≠0、1）在其定义域内的完整图像，这时它的一切属性将是直观、显然的。
幂函数的图像一定经过第一象限，且一定不经过第四象限。
幂函数y=xa。
α只能从（±3，±2，±1，±1/2，±1/3）中取值。
幂函数y=x的图像表（见右表）：
在记忆这个表时要记住两点：
其一，图像的形态：
当n/m<1时，y=x在第一象限的图像下凹，呈上升趋势。
当0<n/m时，y=x在第一象限的图像下凸，呈上升趋势。
当n/m<0时，y=x在第一象限的图像下凹，呈下降趋势。
其二，图像所在的象限。
用一句话可以简单概括为：奇偶图在第一象限，偶奇图在第一、二象限，奇奇图在第一、三象限。
