一次函数压轴题经典

专题11一次函数的定义、图象和性质压轴题九种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一判别是否一次函数】 (1)【考点二根据一次函数的定义求参数的值】 (2)【考点三画一次函数的图象】 (4)【考点四一次函数的图象和性质】 (9)【考点五根据一次函数经过的象限求参数问题】 (11)【考点六根据一次函数的增减性求参数问题】 (12)【考点七一次函数的图象与坐标轴的交点问题】 (13)【考点八两个一次函数图象共存问题】 (15)【考点九一次函数中的规律探究问题】 (16)【过关检测】 (20)【典型例题】【考点一判别是否一次函数】【变式训练】【考点二根据一次函数的定义求参数的值】【变式训练】故答案为：2-．【考点三画一次函数的图象】(1)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．(2)结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标：①横坐标是4-；②和x轴的距离是2个单位长度．【答案】(1)见解析(2)①横坐标是4-的点是()45-，；②和x轴的距离是；（2）解：①当4x =-时，()143232y =-⨯-+=+=∴横坐标是4-的点是()45-，；② 和x 轴的距离是2个单位长度，2y ∴=或=2y -，当2y =时，1322x -+=，解得：2x =，此时点的坐标为1【变式训练】1．（2023上·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考阶段练习）已知，一次函数24y x =-+的图像分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ．(1)请直接写出,A B 两点坐标：A ：__________，B ：__________；(2)在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）；（3）解：如图所示，当OP与一次函数此时，1122ABO S OA OB AB OP =⋅=⋅ 2,4OA OB == ，2225AB OA OB ∴=+=，11242522OP ∴⨯⨯=⨯，455OP ∴=，故答案为：45．(2)设直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，求出AOBy>．由图象可知：当2x<时，0故答案为：2x<；【考点四一次函数的图象和性质】例题：（2023上·广东深圳·八年级校考期中）下列关于函数32y x =+的结论中，错误的是（）A ．图象经过点()1,1--B ．点()11,A x y ，()22,B x y 在该函数图象上，若12x x >，则12y y >C ．将函数图象向下平移2个单位长度后，经过点()0,1D ．图象不经过第四象限【答案】C【分析】本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象的平移，根据一次函数图象上点的坐标特点可判断A ，根据一次函数的增减性可判断B ，根据一次函数图象的平移可判断C ，根据一次函数系数与经过的象限的关系可判断D ，熟记一次函数的性质是解本题的关键.【详解】解：A 、当=1x -时，32321y x =+=-+=-，故图象经过点(1,1)--，故本选项正确，不合题意；B 、 函数32y x =+中，30k =>，y ∴随x 的增大而增大，∵12x x >，12y y ∴>，故本选项正确，不合题意；C 、根据平移的规律，函数32y x =+的图象向下平移2个单位长度得解析式为3y x =，所以当0x =时，0y =，则图象经过点()0,0，故本选项错误，符合题意；D 、32y x =+，30k =>，20b =>，函数经过第一，二，三象限，不经过第四象限，故本选项正确，不符合题意．故选：C ．【变式训练】1．（2023下·广西南宁·八年级校考阶段练习）对于一次函数2y x =+，下列说法正确的是（）A ．图象不经过第三象限B ．当2x >时，4y <C ．图象由直线y x =向上平移2个单位长度得到D ．图象与x 轴交于点()2,0【答案】C【分析】根据一次函数的图象与性质即可解答．【详解】解：∵一次函数解析式为2y x =+，∴图象经过第一、二、三象限，故A 不符合题意；当2x >时，224y >+=，故B 不符合题意；直线y x =向上平移2个单位得到的新解析式为2y x =+，故C 符合题意；对于2y x =+，令0y =，则2x =-，∴图象与x 轴交于点()2,0-，故D 不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查一次函数的图象与性质．熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．2．（2023上·安徽六安·八年级校考阶段练习）一次函数24y x =-+，下列结论错误．．的是（）A ．若两点A (11,x y )，B (22,x y )在该函数图象上，且12x x <，则12y y >B ．函数的图象不经过第三象限C ．函数的图象向下平移4个单位长度得到2y x =-的图象D ．函数的图象与x 轴的交点坐标是()04，【答案】D【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．【详解】A 、因为一次函数24y x =-+中20k =-<，因此函数值随x 的增大而减小，故A 选项正确；B 、因为一次函数24y x =-+中20k =-<，40b =>，因此此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B 选项正确；C 、由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得2y x =-的图象，故C 选项正确；D 、令0y =，则2x =，因此函数的图象与x 轴的交点坐标是()2,0，故D 选项错误．故选：D ．【点睛】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键．【考点五根据一次函数经过的象限求参数问题】【变式训练】【考点六根据一次函数的增减性求参数问题】【变式训练】【考点七一次函数的图象与坐标轴的交点问题】【变式训练】【考点八两个一次函数图象共存问题】例题：（2023上·陕西西安·八年级统考期末）直线y kx k =-+与直线y kx =在同一坐标系中的大致图象可能是图中（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，对于一次函数y kx b =+，当0k >时，图象必过一、三象限；当0k <时，图象必过二、四象限；当0b >时，图象必过一、二象限；当0b <时，图象必过三、四象限；熟记相关结论即可求解．【详解】解：若0k >，则0k -<，此时直线y kx k =-+经过一、二、四象限；直线y kx =经过一、三象限；无此种情况的选项；若0k <，则0k ->，此时直线y kx k =-+经过一、三、四象限；直线y kx =经过二、四象限；选项B 符合题意；故选：B 【变式训练】．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查一次函数的图像，根据函数图像所在象限可判断出k ，b 的取值范围．一次函数y =图像的性质：当0k >，b >时，图像经过一、二、三象限；当0k >，0b <时，图像经过一、三、四象限；．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数的图象与性质；根据一次函数图象的升降及直线与轴交点的位置即可确定的符号，从而确定mn的符号，再与正比例函数的一次项系数mn的符号比较．【考点九一次函数中的规律探究问题】【答案】()1,1(20232【分析】本题考查了勾股定理，到点B 1的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点得到点Bn 的坐标．【详解】解：∵12OB =，点【变式训练】1．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC ，111A B C △，222A B C △，【答案】6527,44⎛⎫⎪⎝⎭1232n n --【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，规律型问题等知识．分别求出4C ，……，探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：当=1x -时，()141133y =⨯-+=，【答案】()202320222,2【分析】先根据一次函数方程式求出律便可求出点2023C 的坐标．【详解】解：直线y x =，点【过关检测】一、单选题1．（2024上·浙江宁波·八年级统考期末）下列各点在一次函数21y x =-的图象上的是（）A ．()2,3B ．()2,3-C ．()3,3D ．()4,3【答案】A【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．求得当3y =时，x 的值，进行判断即可．【详解】解：观察四个选项，四个点的纵坐标都是3，当3y =时，213x -=，解得2x =，∴点()2,3在一次函数21y x =-的图象上，故A 选项符合题意；故选：A ．2．（2023上·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考阶段练习）函数（1）y x π=（2）21y x =-（3）23y x =+（4）33y x =-（5）21y x =-中一次函数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】本题考查的是一次函数的定义，解决本题的关键是明确一次函数的定义，一般地，形如y kx b =+(0k ≠，k ，b 是常数)的函数，叫做一次函数．利用一次函数的定义分析得出即可．【详解】解：（1）y x π=是一次函数，符合题意；（2）21y x =-是一次函数，符合题意；（3）23y x =+中23x +不是整式，不是一次函数，不符合题意；（4）33y x =-是一次函数，符合题意；（5）21y x =-的自变量的次数是2，不是一次函数，不符合题意；故是一次函数的有3个．故选：B ．3．（2024上·河南平顶山·八年级统考期末）一次函数()12y m x =-+中，若y 随x 的增大而减小，则m 的值可能是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．根据题意，y 随x 的增大而减小，则10m -<，由此得到答案．【详解】解：根据题意得：一次函数()12y m x =-+中，若y 随x 的增大而减小，∴10m -<，∴1m <，故选：A ．4．（2023上·山东济南·八年级统考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数()0y mx m =-≠与2y x m =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象；分0m >和0m <，分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可．【详解】解：当0m >时，函数()0y mx m =-≠过二、四象限，函数2y x m =+过一、二、三象限，选项B 中函数图象符合；当0m <时，函数()0y mx m =-≠过一、三象限，函数2y x m =+过一、三、四象限，均不符合；故选：B ．5．（2023上·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）关于一次函数31y x m =+-的图像与性质，下列说法中不正．．确．的是（）A ．y 随x 的增大而增大B ．当1m ≠时，该图像与函数3y x =的图像是两条平行线C ．若图像不经过第四象限，则1m >D ．不论m 取何值，图像都经过第一、三象限【答案】C【分析】本题考查了一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系．两条直线的平行问题：若直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行，那么1212,k k b b =≠．根据一次函数的增减性判断A ；根据两条直线平行时，k 值相同而b 值不相同判断B ；根据一次函数图象与系数的关系判断C 、D ．【详解】解：A 、一次函数31y x m =+-中，∵30k =>，∴y 随x 的增大而增大，故本选项说法正确；B 、当1m ≠时，10m -≠，一次函数31y x m =+-与3y x =的图象是两条平行线，故本选项说法正确；C 、若图象不经过第四象限，则经过第一、三象限或第一、二、三象限，∴10m -≥，即m 1≥，故本选项说法错误；D 、一次函数31y x m =+-中，∵30k =>，∴不论m 取何值，图象都经过第一、三象限，故本选项说法正确．故选：C ．二、填空题【答案】202252⨯/202225⨯【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标规律的探索，先根据题意求出1231052A A ==⨯，2342052A A ==⨯，以此类推总结规律便可求出【详解】解：点()11,2A 在直线2y x =上，过点故答案为：202252⨯．三、解答题11．（2024上·安徽合肥·八年级校考期末）已知正比例函数图像经过点()1,2A -．(1)求此正比例函数的解析式：(2)点()2,2B -是否在此函数图像上？请说明理由；【答案】(1)2y x=-(2)点()2,2B -不在此函数图像上，理由见解析【分析】本题主要考查了求正比例函数图象的性质，求正比例函数值：（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出当2x =-时y 的值即可得到答案．【详解】（1）解：设此正比例函数的解析式为()0y kx k =≠，把()1,2A -代入()0y kx k =≠中得：2k =-，∴此正比例函数的解析式为2y x =-；（2）解：点()2,2B -不在此函数图像上，理由如下：在2y x =-中，当2x =-时，()224y =-⨯-=，∴点()2,2B -不在此函数图像上．12．（2023上·江苏扬州·八年级校联考期末）已知2y +与x 成正比例，且3x =时4y =．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当2y =时，求x 的值．【答案】(1) 22y x =-(2)2x =【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是灵活运用待定系数法建立函数解析式．（1）已知2y +与x 成正比例，可设()20y kx k +=≠，把3x =，4y =代入求出k 的值，从而可得函数解析(1)求图象与两条坐标轴的交点坐标，并在如图的直角坐标系中画出它的图象；(2)从图象看，y随着x的增大而增大，还是随（2）由图象可知，y 随着x 的增大而减小；（3）解：当0y >时，即320x ->，解得32x <．16．（2023上·山西太原·八年级统考阶段练习）如图，直线(1)点B的坐标为__________，点(2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点最小值．【答案】(1)(0,2)，(2,1)-()4,0⎛⎫设直线B C '的表达式为y kx b=+将点(2,1)C -和点(0,2)B '-分别代入上式，得解得322k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，(1)求m ，b 的值；(2)是否存在点P ，使得ACP ≌△(3)当CPQ 为直角三角形时，求点【答案】(1)22m b =-=，（3）解：当90PCQ ∠=︒时，点当90PQC ∠=︒时，由（2）知，45OBE OAC ∠=∠=∴BC AC ⊥，∵45CPQ BAC ∠=∠=︒，∴CPQ 为等腰直角三角形，∴PQ CQ =；∴点P 的坐标为(0,2)-．当90CPQ ∠=︒时，由于45CPQ BAC ∠=∠=︒，此种情况不存在．综上，点P 的坐标为(0,6)-或(0,2)-．【点睛】本题考查了一次函数图象点的坐标特征，全等三角形的性质，等腰直角三角形性质与判定，勾股定理等知识，注意分类讨论．。

一次函数压轴题(含答案)如图，已知直线 $y=2x+2$ 与 $y$ 轴。

$x$ 轴分别交于$A$。

$B$ 两点，以 $B$ 为直角顶点在第二象限作等腰直角三角形 $\triangle ABC$。

1）求点 $C$ 的坐标，并求出直线 $AC$ 的关系式。

2）如图，在直线 $CB$ 上取一点 $D$，连接 $AD$，若$AD=AC$，求证：$BE=DE$。

3）如图，在（1）的条件下，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于$M$，$P（，k）$ 是线段 $BC$ 上一点，在线段 $BM$ 上是否存在一点$N$，使直线$PN$ 平分$\triangle BCM$ 的面积？若存在，请求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

考点：一次函数综合题。

分析：（1）如图，作 $CQ\perp x$ 轴，垂足为 $Q$，利用等腰直角三角形的性质证明 $\triangle ABO\cong \triangle BCQ$，根据全等三角形的性质求 $OQ$，$CQ$ 的长，确定$C$ 点坐标；2）同（1）的方法证明 $\triangle BCH\cong \triangle BDF$，再根据线段的相等关系证明 $\triangle BOE\cong \triangle DGE$，得出结论；3）依题意确定 $P$ 点坐标，可知 $\triangle BPN$ 中$BN$ 变上的高，再由 $\frac{1}{2}S_{\trianglePBN}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCM}$，求 $BN$，进而得出$ON$。

解答：解：（1）如图，作$CQ\perp x$ 轴，垂足为$Q$。

因为 $\angle OBA+\angle OAB=90^\circ$，$\angleOBA+\angle QBC=90^\circ$，所以$\angle OAB=\angle QBC$。

又因为 $AB=BC$，$\angle AOB=\angle Q=90^\circ$，所以 $\triangle ABO\cong \triangle BCQ$。

一次函数压轴题精选一次函数压轴题精选一次函数是数学中的基础知识之一。

掌握了一次函数的基本概念和解题方法，可以为我们在学习数学的过程中打下坚实的基础。

下面是一些常见的一次函数压轴题，了解和掌握这些题目的解法，对于提高我们的数学水平有很大的帮助。

1、已知一次函数f(x)=4x-3，求当x=2时的函数值。

解法：将x=2代入函数f(x)中，即f(2)=4×2-3=5，所以当x=2时，函数值为5。

2、已知一次函数f(x)=3x+2，求其图像在坐标系中的截距。

解法：当x=0时，f(x)=3×0+2=2，所以函数图像在y轴上的截距为2。

3、已知一次函数kx+2y-4=0是直线L的解析式，求直线L在坐标系中的斜率。

解法：将kx+2y-4=0转化为y-intercept的形式为y=-(k/2)x+2，斜率即为-(k/2)。

4、已知一次函数f(x)=ax+b，若f(-3)=6，f(2)=7，则a和b的值分别为多少？解法：将x=-3代入函数f(x)中，得a(-3)+b=6，将x=2代入函数f(x)中，得a(2)+b=7。

将两式相加，得a=-1。

将a=-1代入其中一式，得-3-b=6，解得b=-9。

所以a=-1，b=-9。

5、已知一次函数y=kx，在坐标系中，直线y=kx与x轴的交点为(-3,0)，且这条直线过点(1,5)，则k的值为多少？解法：将直线y=kx化为截距式为y=k(x-(-3))=kx+3k，根据已知条件可以列出方程组：5=k(1)+3k，0=k(-3)+3k。

解得k=5/4。

所以k=5/4。

以上是一些常见的一次函数压轴题，希望大家都能够熟练掌握这些题目的解法，更好地掌握一次函数的基本知识。

1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。

分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C（﹣3，1），由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，∴P（﹣，），由y=x+2知M（﹣6，0），∴BM=5，则S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN?=×，∴BN=，ON=，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N（﹣，0）．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．3．如图直线?：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线?在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。

一次函数压轴题精选1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=2x +2与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．直线l ⊥x 轴负半轴于点C ，点D 是直线l 上一点且位于x 轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A ，D 两点的直线的函数关系式和点B 的坐标；（2）在直线l 上是否存在点P 使得△BDP 为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，直线L ：y=﹣x +2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点N （0，4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度匀速沿x 轴向左移动．（1）点A 的坐标：；点B 的坐标：；（2）求△NOM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；（3）在y 轴右边，当t 为何值时，△NOM ≌△AOB ，求出此时点M 的坐标；（4）在（3）的条件下，若点G 是线段ON 上一点，连结MG ，△MGN 沿MG 折叠，点N 恰好落在x 轴上的点H 处，求点G的坐标．3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C 在y轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．（1）点C的坐标为，点B的坐标为；（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB=，BC=，AC=；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，一次函数y=x +6的图象交x 轴于点A 、交y 轴于点B ，∠ABO 的平分线交x 轴于点C ，过点C 作直线CD ⊥AB ，垂足为点D ，交y 轴于点E ．（1）求直线CE 的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P （不与点A ，B 重合），过点P 分别作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足为点M 、N ，是否存在点P ，使线段MN 的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，已知▱ABCD ，AB ∥x 轴，AB=6，点A 的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（﹣3，4），点B 在第四象限，点P 是▱ABCD 边上的一个动点．（1）若点P 在边BC 上，PD=CD ，求点P 的坐标．（2）若点P 在边AB ，AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y=x ﹣1上，求点P 的坐标．（3）若点P 在边AB ，AD ，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标．（直接写出答案）7．如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为6，BC长为10的矩形纸片ABCD，B点与坐标原点O重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F．（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；（2）求过D，F的直线解析式；（3）将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为（m，0），其中m＞0．如图2所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值．8．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用S△ABC=S△ABM+S△ACM，可以得出结论：h=h1+h2．类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论．拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y=x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 为正方形，A 点坐标为（0，2），点P 为x 轴负半轴上一动点，以AP 为直角作等腰直角三角形APD ，∠APD=90°（点D 落在第四象限）（1）当点P 的坐标为（﹣1，0）时，求点D 的坐标；（2）点P 在移动的过程中，点D 是否在直线y=x ﹣2上？请说明理由；（3）连接OB 交AD 于点G ，求证：AG=DG．10．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A （﹣，0）的两条直线分别交y 轴于B 、C 两点，且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根（Ⅰ）试问：直线AC 与直线AB 是否垂直？请说明理由；（Ⅱ）若点D 在直线AC 上，且DB=DC ，求点D 的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在直线BD 上寻找点P ，使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．11．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED 经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线y=x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．12．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A （，0），点B（0，3），点O（0，0）（1）过边OB上的动点D（点D不与点B，O重合）作DE丄OB交AB于点E，沿着DE折叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；②连接AF，当△AEF为直角三角形时，求E点坐标；（2）P是AB边上的动点（点P不与点B重合），将△AOP沿OP所在的直线折叠，得到△A′OP，连接BA′，当BA′取得最小值时，求P点坐标（直接写出结果即可）．13．如图1，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（﹣4，4），点B 的坐标为（4，0）．（1）求直线AB 的解析式；（2）点M 是坐标轴上的一个点，若AB 为直角边构造直角三角形△ABM ，请求出满足条件的所有点M 的坐标；（3）如图2，以点A 为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC 交x 轴的负半轴与点C ，射线AD 交y 轴的负半轴与点D ，当∠CAD 绕点A 旋转时，OC ﹣OD 的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．14．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，已知OA=6，OB=10．点D 为y 轴上一点，其坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿线段AC ﹣CB 的方向运动，当点P 与点B 重合时停止运动，运动时间为t 秒．（1）当点P 经过点C 时，求直线DP 的函数解析式；（2）①求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP 折叠，点B 的对应点B′恰好落在AC 边上，求点P 的坐标．（3）点P 在运动过程中是否存在使△BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．（1）直线AB：y=mx+n与直线OB：y=kx相交于点B，不解关于x，y的方程组，请你求出它的解；（2）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？（3）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．16．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：（1）求：直线CD的函数关系式；（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，①求证：∠OEF=45°；②求：点F的坐标；（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．17．已知，Rt △OAB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴和y 轴上，如图1，A ，B 坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB 绕O 点顺时针旋转90°得△OCD ，连接AC 、BD 交于点E ．（1）求证：△ABE ≌△DCE ．（2）M 为直线BD 上动点，N 为x 轴上的点，若以A ，C ，M ，N 四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M 点的坐标．（3）如图2，过E 点作y 轴的平行线交x 轴于点F ，在直线EF 上找一点P ，使△PAC 的周长最小，求P点坐标和周长的最小值．18．平面直角坐标系中，直线l 1：y=﹣x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线l 2：y=kx +2k 与x 轴交于点C ，与直线l 1交于点P ．（1）当k=1时，求点P 的坐标；（2）如图1，点D 为PA 的中点，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，交直线l 2于点F ，若DF=2DE ，求k 的值；（3）如图2，点P 在第二象限内，PM ⊥x 轴于M ，以PM 为边向左作正方形PMNQ ，NQ 的延长线交直线l 1于点R ，若PR=PC ，求点P的坐标．19．如图，直线y=kx +k 交x 轴，y 轴分别于A ，C ，直线BC 过点C 交x 轴于B ，OC=3OA ，∠CBA=45°．（1）求直线BC 的解析式；（2）动点P 从A 出发沿射线AB 匀速运动，速度为2个单位/秒，连接CP ，设△PBC 的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P 在AB 的延长线上运动时，过点O 作OD ⊥PC 于D ，交BC 于点E ，连接AE ，当∠EAB=∠CPA 时，在坐标轴上有点K ，且KC=KP ，求点K的坐标．20．如图，平面直角坐标系中，直线AB ：y=﹣x +b 交y 轴于点A （0，1），交x 轴于点B ，过点E （1，0）作x 轴的垂线EF 交AB 于点D ，点P 从D 出发，沿着射线ED 的方向向上运动，设PD=n ．（1）求直线AB 的表达式；（2）求△ABP 的面积（用含n 的代数式表示）；（3）若以P 为直角顶点，PB 为直角边在第一象限作等腰直角△BPC ，请问随着点P 的运动，点C 是否也在同一直线上运动？若在同一直线上运动，请求出直线解析式；若不在同一直线上运动，请说明理由．21．如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF=90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）如图1，若点E 是边BC 的中点，M 是边AB 的中点，连接EM ，求证：AE=EF ．（2）如图2，若点E 在射线BC 上滑动（不与点B ，C 重合）．①在点E 滑动过程中，AE=EF 是否一定成立？请说明理由；②在如图所示的直角坐标系中，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在直线y=﹣2x +6上，求此时点F的坐标．22．如图，将一个正方形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，其中A （1，0），C （0，1），P 为AB 边上一个动点，折叠该纸片，使O 点与P 点重合，折痕l 与OP 交于点M ，与对角线AC 交于Q 点（Ⅰ）若点P 的坐标为（1，），求点M 的坐标；（Ⅱ）若点P 的坐标为（1，t ）①求点M 的坐标（用含t 的式子表示）（直接写出答案）②求点Q 的坐标（用含t 的式子表示）（直接写出答案）（Ⅲ）当点P 在边AB 上移动时，∠QOP 的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．23．如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．（1）当t=时，求直线DE的函数表达式：（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当OD2+DE2取最小值时，求点E的坐标．24．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P （，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，直线OA的函数表达式为y=2x，直线AB的函数表达式为y=﹣3x+b，点B 的坐标为．点P沿折线OA﹣AB运动，且不与点O和点B重合．设点P的横坐标为m，△OPB的面积为S．（1）请直接写出b的值．（2）求点A的坐标．（3）求S与m之间函数关系，并直接写出对应的自变量m的取值范围．（4）过点P作OB边的高线把△OPB分成两个三角形，当其中一个是等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的m的值．26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0．（1）判断△AOB的形状；（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，b ）（b ＞0），点P 是直线AB 上位于第二象限内的一个动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，记点P 关于y 轴的对称点为Q ，设点P 的横坐标为a ．（1）当b=3时，①求直线AB 的解析式；②若QO=QA ，求P 点的坐标．（2）是否同时存在a 、b ，使得△QAC 是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a 、b的值；若不存在，请说明理由．28．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ；直线AB 与直线y=x 交于点A ，连接CD ，直线CD 与直线y=x 交于点Q ．（1）求证：OB=OC ；（2）当点C 坐标为（0，3）时，求点Q 的坐标；（3）当△OPC ≌△ADP 时，直接写出C点的坐标．29．如图1，直线AB ：y=﹣x ﹣b 分别与x ，y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴与C ，且OB ：OC=3：1．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）直线EF ：y=x ﹣k （k ≠0）交直线AB 于E ，交直线BC 于点F ，交x 轴于D ，是否存在这样的直线EF ，使得S △EBD =S △FBD ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．（3）如图2，P 为x 轴上A 点右侧的一动点，以P 为直角顶点，BP 为一腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA 并延长交y 轴于点K ．当P 点运动时，K 点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（﹣8，0），点B 的坐标是（0，n ）（n ＞0）．P 是直线AB 上的一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为C ．记点P 关于y 轴的对称点为P′（点P′不在y 轴上），连接PP′，P′A ，P′C ．设点P 的横坐标为m ．（1）若点P 在第一象限，记直线AB 与P′C 的交点为D ．当P′D ：DC=5：13时，求m 的值；（2）若∠ACP′=60°，试用m 的代数式表示n ；（3）若点P 在第一象限，是否同时存在m ，n ，使△P′CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的m ，n的值；若不存在，请说明理由．31．如图①所示，直线L ：y=m （x +10）与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．（1）当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=8，BN=6，求MN 的长；（3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③．问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．32．如图，一次函数的函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt △ABC ，且使∠ABC=30°；（1）如果点P （m ，）在第二象限内，试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB 与△ABC 面积相等时m 的值；（2）如果△QAB 是等腰三角形并且点Q 在坐标轴上，请求出点Q 所有可能的坐标；（3）是否存在实数a ，b 使一次函数和y=ax +b 的图象关于直线y=x 对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．。

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一次函数压轴题训练典型例题题型一、A卷压轴题一、A卷中涉及到的面积问题例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数122 3y x=-+与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线2 (0)y kx b k=+≠经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO 分成两部分．（1）求△ABO的面积；（2）若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式。

练习1、如图，直线1l 过点A （0，4），点D （4，0），直线2l ：121+=x y 与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B 。

（1）、求直线1l 的解析式和点B 的坐标； （2）、求△ABC 的面积。

二、A 卷中涉及到的平移问题例2、 正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）。

①直线y=43x-83经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积；②若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分求直线l 的解析式，③若直线1l 经过点F ⎪⎭⎫⎝⎛-0.23且与直线y=3x平行,将②中直线l 沿着y 轴向上平移32个单位交x 轴于点M ,交直线1l 于点N ,求NMF ∆的面积.练习1、如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：x y 34=与直线2l ：b kx y += 相交于点A ，点A 的横坐标为3，直线2l 交y 轴于点B ，且OB OA 21=。

（1）试求直线2l 函数表达式。

（6分）（2）若将直线1l 沿着x 轴向左平移3个单位，交 y 轴于点C ，交直线2l 于点D ；试求 △BCD 的面积。

一次函数压轴题11、如图1所示，直线2y x b =+与x 轴交于点E ，与y 轴交于点A ，△AOE 的面积为4，点D 是直线AE 在第一象限上的一点，以AD 为边，在第一象限内作等腰Rt △ADC.（1）求b 的值；（2）若AD ＝AE ，试求点C 坐标；（3）如图2，设直线AC 交x 轴于P 点，当D 点在第一象限内沿直线AE 运动时，其它条件不变，P 点位置是否发生改变？如果不变，请求出P 点坐标；如果改变，请指出P 点移动的范围.2、如图（1），在平面直角坐标系中，y=-x+2交y 轴于A ，交x 轴于B ，线段AB 中点M （－1，1）.（1）求直线AB 关于y 轴对称直线AC 的解析式；（2）图（1）中若P 为x 轴上的动点，要使PM PA +最小，求点P 的坐标；（3）如图（2），在（1）的条件下，若动点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，现有两个条件：①OE ＝OF ；②OE ⊥OF.请你选择一个条件作已知，使2AEOF S =四边形成立，请证明.3、如图①所示，直线1y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，OB ＝3OA ，M 在直线AC 上，AC ＝CM.（1）求直线BM 的解析式；（2）如图①所示，点N 在MB 的延长线上，BN ＝AC ，连CN 交x 轴于点P ，求点P 的坐标；（3）如图②所示，连OM ，在直线BM 上是否存在点K ，使得∠MOK＝45°，若存在，求点K 的坐标，若不存在，说明理由.4、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+，（1）求直线2l 的解析式；（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF ；（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。

一次函数压轴题精选（含详细答案答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．（1）点A的坐标：；点B的坐标：；（2）求△NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）在y轴右边，当t为何值时，△NOM≌△AOB，求出此时点M的坐标；（4）在（3）的条件下，若点G是线段ON上一点，连结MG，△MGN沿MG 折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，求点G的坐标．3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．（1）点C的坐标为，点B的坐标为；（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB=，BC=，AC=；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P 作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM 沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）7．如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为6，BC长为10的矩形纸片ABCD，B点与坐标原点O重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F．（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；（2）求过D，F的直线解析式；（3）将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为（m，0），其中m ＞0．如图2所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值．8．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用S△ABC=S△ABM+S△ACM，可以得出结论：h=h1+h2．类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论．拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y=x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点坐标为（0，2），点P为x轴负半轴上一动点，以AP为直角作等腰直角三角形APD，∠APD=90°（点D落在第四象限）（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求点D的坐标；（2）点P在移动的过程中，点D是否在直线y=x﹣2上？请说明理由；（3）连接OB交AD于点G，求证：AG=DG．10．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y 轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（Ⅰ）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（Ⅱ）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在直线BD上寻找点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．11．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线y=x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．12．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，3），点O（0，0）（1）过边OB上的动点D（点D不与点B，O重合）作DE丄OB交AB于点E，沿着DE折叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；②连接AF，当△AEF为直角三角形时，求E点坐标；（2）P是AB边上的动点（点P不与点B重合），将△AOP沿OP所在的直线折叠，得到△A′OP，连接BA′，当BA′取得最小值时，求P点坐标（直接写出结果即可）．13．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（4，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）点M是坐标轴上的一个点，若AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；（3）如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．14．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B 分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P 的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．（1）直线AB：y=mx+n与直线OB：y=kx相交于点B，不解关于x，y的方程组，请你求出它的解；（2）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？（3）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．16．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：（1）求：直线CD的函数关系式；（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，①求证：∠OEF=45°；②求：点F的坐标；（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．17．已知，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，如图1，A，B 坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，连接AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE≌△DCE．（2）M为直线BD上动点，N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．（3）如图2，过E点作y轴的平行线交x轴于点F，在直线EF上找一点P，使△PAC的周长最小，求P点坐标和周长的最小值．18．平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l1交于点P．（1）当k=1时，求点P的坐标；（2）如图1，点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值；（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标．19．如图，直线y=kx+k交x轴，y轴分别于A，C，直线BC过点C交x轴于B，OC=3OA，∠CBA=45°．（1）求直线BC的解析式；（2）动点P从A出发沿射线AB匀速运动，速度为2个单位/秒，连接CP，设△PBC的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在AB的延长线上运动时，过点O作OD⊥PC 于D，交BC于点E，连接AE，当∠EAB=∠CPA时，在坐标轴上有点K，且KC=KP，求点K的坐标．20．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B，过点E（1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，点P从D出发，沿着射线ED的方向向上运动，设PD=n．（1）求直线AB的表达式；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）若以P为直角顶点，PB为直角边在第一象限作等腰直角△BPC，请问随着点P的运动，点C是否也在同一直线上运动？若在同一直线上运动，请求出直线解析式；若不在同一直线上运动，请说明理由．21．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，若点E是边BC的中点，M是边AB的中点，连接EM，求证：AE=EF．（2）如图2，若点E在射线BC上滑动（不与点B，C重合）．①在点E滑动过程中，AE=EF是否一定成立？请说明理由；②在如图所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在直线y=﹣2x+6上，求此时点F的坐标．22．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l 与OP交于点M，与对角线AC交于Q点（Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t）①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．23．如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．（1）当t=时，求直线DE的函数表达式：（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当OD2+DE2取最小值时，求点E的坐标．24．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC 上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，直线OA的函数表达式为y=2x，直线AB的函数表达式为y=﹣3x+b，点B的坐标为．点P沿折线OA﹣AB运动，且不与点O和点B重合．设点P的横坐标为m，△OPB的面积为S．（1）请直接写出b的值．（2）求点A的坐标．（3）求S与m之间函数关系，并直接写出对应的自变量m的取值范围．（4）过点P作OB边的高线把△OPB分成两个三角形，当其中一个是等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的m的值．26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0．（1）判断△AOB的形状；（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若QO=QA，求P点的坐标．（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．28．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ；直线AB 与直线y=x 交于点A ，连接CD ，直线CD 与直线y=x 交于点Q ．（1）求证：OB=OC ；（2）当点C 坐标为（0，3）时，求点Q 的坐标；（3）当△OPC ≌△ADP 时，直接写出C 点的坐标．29．如图1，直线AB ：y=﹣x ﹣b 分别与x ，y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴与C ，且OB ：OC=3：1．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）直线EF ：y=x ﹣k （k ≠0）交直线AB 于E ，交直线BC 于点F ，交x 轴于D ，是否存在这样的直线EF ，使得S △EBD =S △FBD ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．（3）如图2，P 为x 轴上A 点右侧的一动点，以P 为直角顶点，BP 为一腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA 并延长交y 轴于点K ．当P 点运动时，K 点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，n）（n＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为m．（1）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=5：13时，求m的值；（2）若∠ACP′=60°，试用m的代数式表示n；（3）若点P在第一象限，是否同时存在m，n，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的m，n的值；若不存在，请说明理由．31．如图①所示，直线L：y=m（x+10）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=8，BN=6，求MN 的长；（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．32．如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°；（1）如果点P（m，）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（2）如果△QAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，请求出点Q所有可能的坐标；（3）是否存在实数a，b使一次函数和y=ax+b的图象关于直线y=x 对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）对于y=2x+2，分别令x与y为0求出A与B坐标，根据CO=CD=4，求出D坐标，确定出直线AD解析式即可；（2）存在，如图所示，设出P（﹣4，p），分三种情况考虑：当BD=P1D时；当BP3=BD时；当BP4=DP4，分别求出P坐标即可．【解答】解：（1）对于直线y=2x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=﹣1，∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣1，0），又∵CO=CD=4，∴点D的坐标为（﹣4，4），设直线AD的函数表达式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线AD的函数表达式为y=﹣x+2；（2）存在，设P（﹣4，p），分三种情况考虑：当BD=P1D时，可得（﹣1+4）2+（0﹣4）2=（p﹣4）2，解得：p=9或p=﹣1，此时P1（﹣4，9），P2（﹣4，﹣1）；当BP3=BD时，则有（﹣1+4）2+（0﹣p）2=（﹣1+4）2+（0﹣4）2，解得：p=﹣4，此时P3（﹣4，﹣4）；当BP4=DP4时，（﹣1+4）2+（0﹣p）2=（p﹣4）2，解得：p=，此时P4（﹣4，），综上，共有四个点满足要求．分别是P1（﹣4，9），P2（﹣4，﹣4），P3（﹣4，﹣1），P4（﹣4，）．【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．2．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．（1）点A的坐标：（4，0）；点B的坐标：（0，2）；（2）求△NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）在y轴右边，当t为何值时，△NOM≌△AOB，求出此时点M的坐标；（4）在（3）的条件下，若点G是线段ON上一点，连结MG，△MGN沿MG 折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，求点G的坐标．【分析】（1）在y=﹣x+2中，令别令y=0和x=0，则可求得A、B的坐标；（2）利用t可表示出OM，则可表示出S，注意分M在y轴右侧和左侧两种情况；（3）由全等三角形的性质可得OM=OB=2，则可求得M点的坐标；（4）由折叠的性质可知MG平分∠OMN，利用角平分线的性质定理可得到=，则可求得OG的长，可求得G点坐标．【解答】解：（1）在y=﹣x+2中，令y=0可求得x=4，令x=0可求得y=2，∴A（4，0），B（0，2），故答案为：（4，0）；（0，2）；（2）由题题意可知AM=t，①当点M在y轴右边时，OM=OA﹣AM=4﹣t，∵N（0，4），∴ON=4，∴S=OM•ON=×4×（4﹣t）=8﹣2t；②当点M在y轴左边时，则OM=AM﹣OA=t﹣4，∴S=×4×（t﹣4）=2t﹣8；（3）∵△NOM≌△AOB，∴MO=OB=2，∴M（2，0）；（4）∵OM=2，ON=4，∴MN==2，∵△MGN沿MG折叠，∴∠NMG=∠OMG，∴=，且NG=ON﹣OG，∴=，解得OG=﹣1，∴G（0，﹣1）．【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、三角形的面积、全等三角形的性质、角平分线的性质定理及分类讨论思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴交点的方法，在（2）中注意分两种情况，在（3）中注意全等三角形的对应边相等，在（4）中利用角平分线的性质定理求得关于OG的等式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，但难度不大．3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．（1）点C的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣4，2）；（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．【分析】（1）设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3中得y=3，即可求出C点的坐标；设点B的坐标为（﹣4，y），把x=﹣4代入y=x+3中得y=2，即可求出B点的坐标；（2）①根据对称的性质和平行线的性质，推知∠CMD=∠MCD，故MD=CD，所以CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．利用勾股定理求得CP的长度，然后结合坐标与图形的性质求得点M的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式即可．【解答】解：（1）如图①，∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线y=x+3经过点B、C，设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3x+3中得y=3，∴C（0，3）；设点B的坐标为（﹣4，y），把x=4代入y=x+3中得y=2，∴B（﹣4，2）；故答案是：（0，3）；（﹣4，2）；（2）①证明：∵AB∥y轴，∴∠OCM=∠CMD．∵∠OCM=∠MCD，∴∠CMD=∠MCD，∴MD=CD，∴CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP==3，∴OP=AD=CO+CP=3+3=6，∴AB=AD﹣DM=6﹣5=1，∴点M的坐标是（﹣4，1）．设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）．把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得，解得，故直线l的解析式为y=x+3．【点评】此题考查了一次函数综合题，需要综合利用勾股定理，等腰三角形的判定与性质，对称的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识点，难度不是很大，但是需要学生对所学知识有一个系统的掌握．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB=8，BC=4，AC=4；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A题．A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先确定出OA=4，OC=8，进而得出AB=8，BC=4，利用勾股定理即可得出AC；（2）A、①利用折叠的性质得出BD=8﹣AD，最后用勾股定理即可得出结论；②分三种情况利用方程的思想即可得出结论；B、①利用折叠的性质得出AE，利用勾股定理即可得出结论；②先判断出∠APC=90°，再分情况讨论计算即可．【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，∴A（4，0），C（0，8），∴OA=4，OC=8，∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB=OC=8，BC=OA=4，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC==4，故答案为：8，4，4；（2）A、①由（1）知，BC=4，AB=8，由折叠知，CD=AD，在Rt△BCD中，BD=AB﹣AD=8﹣AD，根据勾股定理得，CD2=BC2+BD2，即：AD2=16+（8﹣AD）2，∴AD=5，②由①知，D（4，5），设P（0，y），∵A（4，0），∴AP2=16+y2，DP2=16+（y﹣5）2，∵△APD为等腰三角形，∴Ⅰ、AP=AD，∴16+y2=25，∴y=±3，∴P（0，3）或（0，﹣3）Ⅱ、AP=DP，∴16+y2=16+（y﹣5）2，∴y=，∴P（0，），Ⅲ、AD=DP，25=16+（y﹣5）2，∴y=2或8，∴P（0，2）或（0，8）．B、①、由A①知，AD=5，由折叠知，AE=AC=2，DE⊥AC于E，在Rt△ADE中，DE==，②、∵以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等，∴△APC≌△ABC，或△CPA≌△ABC，∴∠APC=∠ABC=90°，∵四边形OABC是矩形，∴△ACO≌△CAB，此时，符合条件，点P和点O重合，即：P（0，0），如图3，过点O作ON⊥AC于N，易证，△AON∽△ACO，∴，∴，∴AN=，过点N作NH⊥OA，∴NH∥OA，∴△ANH∽△ACO，∴，∴，∴NH=，AH=，∴OH=，∴N（，），而点P2与点O关于AC对称，∴P2（，），同理：点B关于AC的对称点P1，同上的方法得，P1（﹣，），即：满足条件的点P的坐标为：（0，0），（，），（﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，对称的性质，解（1）的关键是求出AC，解（2）的关键是利用分类讨论的思想解决问题．5．如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出AB=10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定出点C（﹣3，0），再判断出△EBD≌△ABO，求出OE=BE﹣OB=4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即可；（2）设P（﹣m，﹣m+6），∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN2=（m﹣）2+，即可得出点P横坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，∴B（0，6），A（﹣8，0），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴CD=CO，∵BC=BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO，∴BD=BO=6，∴AD=AB﹣BD=4，∵∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，∴，∴AC=5，∴OC=OA﹣AC=3，∴C（﹣3，0），∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO，∠EBD=∠ABO，∴△EBD≌△ABO，∴BE=AB=10，∴OE=BE﹣OB=4，∴E（0，﹣4），设直线CE的解析式为y=kx﹣4，∴﹣3k﹣4=0，∴k=﹣，∴直线CE的解析式为y=﹣x﹣4，（2）解：存在，（﹣，），如图，∵点P在直线y=x+6上，∴设P（﹣m，﹣m+6），∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN2=PN2+PM2=m2+（﹣m+6）2=（m﹣）2+，∴当m=时，MN2有最小值，则MN有最小值，当m=时，y=﹣x+6=﹣×+6=，∴P（﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出点C的坐标，解（2）的关键是得出MN2的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．6．如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P 作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM 沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）【分析】（1）由题意点P与点C重合，可得点P坐标为（3，4）；（2）分两种情形①当点P在边AD上时，②当点P在边AB上时，分别列出方程即可解决问题；（3）分三种情形①如图1中，当点P在线段CD上时．②如图2中，当点P在AB上时．③如图3中，当点P在线段AD上时．分别求解即可；【解答】解：（1）∵CD=6，∴点P与点C重合，∴点P坐标为（3，4）．（2）①当点P在边AD上时，∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2，设P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，若点P关于x轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x﹣1上，∴2a+2=a﹣1，解得a=﹣3，此时P（﹣3，4）．若点P关于y轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y=x﹣1上时，∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1，解得a=﹣1，此时P（﹣1，0）②当点P在边AB上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，若等P关于x轴的对称点Q2（a，4）在直线y=x﹣1上，∴4=a﹣1，解得a=5，此时P（5，﹣4），若点P关于y轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y=x﹣1上，∴﹣4=﹣a﹣1，解得a=3，此时P（3，﹣4），综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．（3）①如图1中，当点P在线段CD上时，设P（m，4）．在Rt△PNM′中，∵PM=PM′=6，PN=4，∴NM′==2，在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2=GM′2，∴22+（2+m）2=m2，解得m=﹣，∴P（﹣，4）根据对称性可知，P（，4）也满足条件．②如图2中，当点P在AB上时，易知四边形PMGM′是正方形，边长为2，此时P（2，﹣4）．③如图3中，当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R．易证∠M′RG=∠M′GR，推出M′R=M′G=GM，设M′R=M′G=GM=x．∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2，∴R（﹣1，0），在Rt△OGM′中，有x2=22+（x﹣1）2，解得x=，∴P（﹣，3）．点P坐标为（2，﹣4）或（﹣，3）或（﹣，4）或（，4）．【点评】本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．7．如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为6，BC长为10的矩形纸片ABCD，B点与坐标原点O重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x 轴上，记为F．（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；（2）求过D，F的直线解析式；（3）将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为（m，0），其中m ＞0．如图2所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值．【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=10，EF=DE，进而求出BF的长，即可得出E点的坐标，进而得出AE所在直线与x 轴交点的坐标；（2）由（1）中所求可得出F点坐标，进而得出过D，F的直线解析式；（3）分三种情况讨论：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=CB=10，AB=DC=6，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，由折叠对称性：AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，BF===8，∴CF=2，设EC=x，则EF=6﹣x，在Rt△ECF中，22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，∴E点坐标为：（10，），∴设AE所在直线解析式为：y=ax+b，则，解得：，∴AE所在直线解析式为：y=﹣x+6，当y=0时，x=18，故折痕AE所在直线与x轴交点的坐标为：（18，0）；（2）设D，F所在直线解析式为：y=kx+c，。

一次函数压轴题精选30题专项练习1．小明家新房装修时选定了某种品牌同一花色的壁纸，这种壁纸有大卷和小卷两种型号，已知购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元．其中一大卷壁纸可贴10平方米的墙壁，一小卷壁纸可贴5平方米的墙纸．（1）求大卷和小卷壁纸的单价；（2）小明的爸爸共购买了40卷壁纸．若设购买大卷壁纸x卷．①设购买壁纸总费用为y元，写出y与x的函数关系式；②小明的爸爸决定，买壁纸的预算不能超过15000元，求可贴墙壁的最大面积．2．为响应国家扶贫攻坚的号召，A市先后向B市捐赠两批物资，甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B 市．甲车出发1h后，乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市．甲、乙两车距离A市的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的关系如图所示（1）A，B两市相距km，m＝，n＝；（2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，直接写出x的值．3．如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，sin∠OAB＝．（1）求k的值；（2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，它们都停止运动设运动时间为t秒．①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；②若设△OED的面积为S，求s关于t的函数关系式，并求出t为多少时，s的值最大？4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数y＝x的图象交于点A，点A的横坐标为4．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若动点M在线段OA和射线AC上运动，当三角形OMC的面积是三角形OAC的面积的时，求点M的坐标；（3）若点P（m，1）在三角形AOB的内部（包括边界），则m的取值范围是．5．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB斜边OB在x轴正半轴上，B（6，0），A在第一象限，直线y＝x与AB相交于点C．动点P（m，0）从原点出发，沿线段OB向右运动（0≤m＜6）．过点P 作OB的垂线与直线OC相交于点F，与△AOB的边OA或AB相交于点E．以EF为直角边、点E为直角顶点，在EF的左侧作等腰直角△EFG，连接AP．（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；（2）当以点P、E、A为顶点的三角形为等腰三角形时，求m的值；（3）当△EFG与△AOB的重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出m的取值或取值范围．6．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为射线AO上的一点（点P不与点A 重合），BC是△ABP的中线，点C，C′关于BP对称，设点P的横坐标为m．（1）求点A，B的坐标，若∠APB＝45°，求PB所在直线的解析式；（2）若BC＝BA，求m的值；（3）若点C′在x轴下方，直接写出m的取值范围．7．已知直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（b﹣4）2＝0．（1）求∠ABO的度数；（2）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由；（3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，且AC＝CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于点Q，求的值．8．如图，直线y＝﹣3x+12分别交x轴、y轴于点A，B，以AB为斜边向左侧作等腰Rt△ABD，延长BD 交x轴于点C，连接DO，过点D作DE⊥DO交y轴于点E．（1）求证：∠1＝∠2．（2）求OE的长．（3）点P在线段AB上，当PE与∠COD的一边平行时，求出所有符合条件的点P的坐标．9．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，3），C（﹣3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且S△BCE＝2S△AOB．（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；（4）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E．（1）求点C的坐标；（2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）．11．如图，直角坐标系xOy中，过点A（6，0）的直线l1与直线l2：y＝kx﹣1相交于点C（4，2），直线l2与x轴交于点B．（1）k的值为；（2）求l1的函数表达式和S△ABC的值；（3）直线y＝a与直线l1和直线l2分别交于点M，N，（M，N不同）①直接写出M，N都在y轴右侧时a的取值范围；②在①的条件下，以MN为边作正方形MNDE，边DE恰好在x轴上，直接写出此时a的值．12．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，点A向上平移5个单位长度得到点B．（1）求点B的坐标；（2）在直线y＝﹣x﹣2上是否存在一点C，使得△ABC是直角三角形，若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由；（3）若一次函数y＝kx﹣2图象与线段AB存在公共点D，直接写出k的取值范围．13．如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b分别交x轴，y轴于点A、B，OA＝4，∠OBA的外角平分线交x轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P是线段BD上一点（不与B、D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C，设点P的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，当PC＝PB时，将射线EP绕点E旋转45°交直线AB于点F，求F点坐标．14．如图，直线l1：y＝kx﹣2k+1经过定点C，分别交x轴，y轴于A，B两点，直线l2经过O，C两点，点Dl2上．（1）①直接写出点C的坐标为；②求直线l2的解析式；（2）如图1，若S△BOC＝2S△BCD，求点D的坐标；（3）如图2，直线l3经过D，E（0，﹣）两点，分别交x轴的正半轴、l1于点P，F，若PE＝PF，∠EDO＝45°，求k的值．15．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A（6，0）、B（0，2）两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D 作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）求经过A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标．（不用写过程）16．如图，直线y＝﹣x+4，与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C与点B关于原点对称．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）在线段OA的延长线上任取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q．求证：PQ＝PB；（3）在（2）的条件下，过点P作PM⊥AC于点M，直接写出的值．17．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，OA在x轴负半轴，OC在y轴正半轴，点D在边OC上，连接BD，将△BCD沿BD折叠，得到△BDE，使点E落在矩形OABC内部，过点E作EF⊥AB于F，直线CF交x轴于点M，若点E（﹣3，9），F恰为AB中点．（1）如图1，直线CM的解析式；（2）如图2，点P为x轴上的动点，过P作x轴的垂线，分别交直线CM、BD于点N、Q，若NQ＝2CD，求点P坐标；（3）点H为直线BD上动点，若△AEH以AE为直角边的直角三角形，是否存在点H？如果存在，直接写出点H坐标；不存在，请说明理由！18．如图1，直线y＝x和直线y＝﹣x+5相交于点A，直线y＝﹣x+5与x轴交于点C，点P在线段AC上，PD⊥x轴于点D，交直线y＝x于点Q．（1）点A的坐标为；（2）当QP＝OA时，求Q点的坐标及△APQ的面积；（3）如图2，在（2）的条件下，∠OQP平分线交x轴于点M．①直接写出点M的坐标；②点N在直线y＝x的上方，当△OQN和△OQM全等时直接写出N点坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，与直线y＝﹣x交于点C，点P的坐标是（t，0），过点P作x轴的垂线l，与射线CO，CB分别交于点D，E，以DE为边向右作正方形DEFG．（1）点C的坐标是；（2）当点F在y轴上时，求t的值；（3）设正方形DEFG与△BOC重合部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围．20．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时点P的坐标；若不存在，说明理由．21．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x 轴上，点C在y轴上，OC＝5，点E在边BC上，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为OE．（1）求点G的坐标，并求直线OG的解析式；（2）若直线l：y＝mx+n平行于直线OG，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．（3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与坐标轴交于A，B两点，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．点C为直角顶点，连接OC．（1）A点坐标为，B点坐标为．（2）请你过点C作CE⊥y轴于E点，试探究并证明OB+OA与CE的数量关系．（3）如图2，将线段AB绕点B沿顺时针方向旋转至BD，且OD⊥AD，延长DO交直线y＝x+5于点P，求点P的坐标．23．直线AB：y＝﹣x+6分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC ＝3：1．（1）求直线BC的解析式；（2）在直线BC上是否存在点D（点D不与点C重合），使得S△ABD＝S△ABC？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．24．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）求直线l1的解析式和点A的坐标．（2）直线l1与y轴交于点D，将l1向上平移9个单位得l3，l3与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为l3上一动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，求△ABP的周长和点P的坐标．（3）将l1绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l4过点G（﹣2，0），过点C作l5平行于x轴，点M、N分别为直线l4、l5上两个动点，是否存在点M、点N，使△BMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，直线y＝﹣2x+3与x轴交于点B，与y 轴交于点C，与直线y＝2x+6交于点D．（1）求点D的坐标；（2）将△BOC沿x轴向左平移，平移后点B的对应点为点E．点O的对应点为点F，点C的对应点为点G，当点F到达点A时，停止平移，设平移的距离为t．①当点G在直线y＝2x+6上时，求△DCG的面积；②当△EFG与四边形AOCD重合部分的面积为2时，请直接写出t的值．26．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别交y轴，x轴于A、B两点，点C在线段AB上，连接OC，且OC＝BC．（1）求线段AC的长度；（2）如图2，点D的坐标为（﹣，0），过D作DE⊥BO交直线y＝﹣x+3于点E．动点N在x 轴上从点D向终点O匀速运动，同时动点M在直线y＝﹣x+3上从某一点向终点G（2，1）匀速运动，当点N运动到线段DO中点时，点M恰好与点A重合，且它们同时到达终点．i）当点M在线段EG上时，设EM＝s、DN＝t，求s与t之间满足的一次函数关系式；ii）在i）的基础上，连接MN，过点O作OF⊥AB于点F，当MN与△OFC的一边平行时，求所有满足条件的s的值．28．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点M的坐标；②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．29．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+＝0．（1）求A点的坐标为（，），B点的坐标为（，）；（2）若点M为直线y＝mx在第一象限上一点，且△ABM是以AB为腰的等腰直角三角形，求m的值；（3）如图过点A的直线y＝nx﹣2n交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为﹣1，过N点的直线y＝x+c 交AP于点M（3，n），（i）试用含n的式子表示c；（ii）给出两个结论：①的值是不变；②的值是不变，只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．30．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点A（6，m），过点A作x轴的垂线，垂足为点B，过点A作y轴的垂线，垂足为点C．∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发．以每秒个单位长度的速度向点B运动．点P，Q 同时开始运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t（s），且t＞0．（1）求m与k的值；（2）当点P运动到点D时，求t的值；（3）连接DQ，点E为DQ的中点，连接PE，当PE⊥DQ时，请直接写出点P的坐标．参考答案与试题解析1．小明家新房装修时选定了某种品牌同一花色的壁纸，这种壁纸有大卷和小卷两种型号，已知购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元．其中一大卷壁纸可贴10平方米的墙壁，一小卷壁纸可贴5平方米的墙纸．（1）求大卷和小卷壁纸的单价；（2）小明的爸爸共购买了40卷壁纸．若设购买大卷壁纸x卷．①设购买壁纸总费用为y元，写出y与x的函数关系式；②小明的爸爸决定，买壁纸的预算不能超过15000元，求可贴墙壁的最大面积．【解答】解：（1）设大卷壁纸单价为m元/卷，小卷壁纸单价为n元/卷，由题意得：，解得：，答：大卷壁纸单价为400元/卷，小卷壁纸单价为250元/卷；（2）①购买大卷壁纸x卷，购买小卷壁纸（40﹣x）卷，则y＝400x+250（40﹣x）＝150x+10000，∴y与x的函数关系式为y＝150x+10000；②∵y≤15000，∴150x+10000≤15000，解得：x≤，x为整数，设贴墙壁的面积为S，则S＝10x+5（40﹣x）＝5x+200，∵5＞0，∴S随x的增大而增大，∵x最大值为33，∴S max＝5×33+200＝365，答：可贴墙壁的最大面积为365平方米．2．为响应国家扶贫攻坚的号召，A市先后向B市捐赠两批物资，甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B 市．甲车出发1h后，乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市．甲、乙两车距离A市的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的关系如图所示（1）A，B两市相距360km，m＝5，n＝6；（2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，直接写出x的值．【解答】解：（1）由函数图象可知，AB两市相距360km，则m＝+1＝5（h），n＝＝6（h），故答案为：360，5，6；（2）设乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝k+b，将点（1，0）和点（5，360）代入得：，解得：，则乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝90x﹣90，由（1）可知，m＝5，则1≤x≤5；（3）设甲车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝cx，将点（6，360）代入得：6c＝360，解得：c＝60，则甲车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝60x，联立，解得：，即当甲车行驶3h时，两车相遇，由题意，分以下两种情况：①当甲、乙两车未相遇前，即1≤x＜3时，则60x﹣（90x﹣90）＝30，解得：x＝2，符合题设；②当甲、乙两车相遇后，即3≤x＜5时，则90x﹣90﹣60x＝30，解得：x＝4，符合题设；综上，在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，x的值为2或4．3．如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，sin∠OAB＝．（1）求k的值；（2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，它们都停止运动设运动时间为t秒．①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；②若设△OED的面积为S，求s关于t的函数关系式，并求出t为多少时，s的值最大？【解答】解：（1）直线y＝kx+3，当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，∵∠AOB＝90°，且sin∠OAB＝，∴＝，∵AB＝OB＝×3＝5，∴OA＝＝4，∴A（4，0），把A（4，0）代入y＝kx+3得0＝4k+3，解得k＝．（2）①不存在，理由如下：在OA上取一点F（，0），连接BF，当0＜t＜时，如图1，OD＝t，OE＝2t，∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠DOE＝∠FOB，∴△ODE∽△OFB，∴∠ODE＝∠OFB，∴DE∥BF，当t＝时，DE与BF重合，∴当0＜t≤时，不存在DE∥OB；当＜t＜4时，如图2，AF＝4＝，AD＝4﹣t，AE＝8﹣2t，∵＝＝，＝，∴＝，同理可证DE∥BF，∴此时不存在DE∥OB，综上所述，不存在DE∥OB．②当0＜t≤时，如图1，S△OED＝OD•OE＝t×2t＝t2，∴S＝t2，∵a＝1＞0，∴S随t的增大而增大，∴当t＝时，S最大＝（）2＝；当＜t＜4时，如图2，作EG⊥x轴，则EG∥BO，∴△AGE∽△AOB，∴＝，∴GE＝•AE＝（8﹣2t），∴S△OED＝OD•GE＝×t（8﹣2t）＝t2+t，∴S＝t2+t，∵S＝t2+t＝（t﹣2）2+，且＜0，＜2＜4，∴当t＝2时，S最大＝，∵＞，∴当t＝2时，S的最大值为，综上所述，S＝，当t＝2时，S的最大值为．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数y＝x的图象交于点A，点A的横坐标为4．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若动点M在线段OA和射线AC上运动，当三角形OMC的面积是三角形OAC的面积的时，求点M的坐标；（3）若点P（m，1）在三角形AOB的内部（包括边界），则m的取值范围是2＜m＜5．【解答】解：（1）∵点A在正比例函数y＝x的图象上，且点A的横坐标为4．∴点A（4，2），∴2＝﹣4+b，∴b＝6，∴一次函数解析式为y＝﹣x+6，∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，∴点B（6，0），点C（0，6）；（2）由（1）可知：OC＝6，x A＝4，∴S△OAC＝×OC×x A＝×6×4＝12，∵S△OMC＝S△OAC＝4，∴S△OMC＝×OC×|x M|＝4，∴|x M|＝，∴x M＝±，分情况讨论：①当动点M在线段OA上时，x＞0，则当x＝时，y＝，∴此时M点的坐标为（，），②动点M射线AC上运动时：a．若x＞0，则当x＝时，y＝﹣+6＝，故此时M点的坐标为（，），b．若x＜0，则当x＝﹣时，y＝+6＝，故此时M点的坐标为（﹣，），综上，M点的坐标为（，）或（，）或（﹣，）；故答案为：（，）或（，）或（﹣，）；（3）∵点P（m，1）在△AOB的内部（不包括边界），∴当y＝1时，代入正比例函数中得：1＝x，解得：x＝2，当y＝1时，代入一次函数中得：1＝﹣x+6，解得：x＝5，∴2＜m＜5．故答案为：2＜m＜5．5．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB斜边OB在x轴正半轴上，B（6，0），A在第一象限，直线y＝x与AB相交于点C．动点P（m，0）从原点出发，沿线段OB向右运动（0≤m＜6）．过点P 作OB的垂线与直线OC相交于点F，与△AOB的边OA或AB相交于点E．以EF为直角边、点E为直角顶点，在EF的左侧作等腰直角△EFG，连接AP．（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；（2）当以点P、E、A为顶点的三角形为等腰三角形时，求m的值；（3）当△EFG与△AOB的重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出m的取值或取值范围．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，如图1，作AH⊥OB于点H，∵AB＝AO，∴OH＝BH＝OB＝×6＝3，∴H（3，0），∵∠OAB＝90°，∴AH＝OB＝3，∴A（3，3），把A（3，3）、B（6，0）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；由得，∴C（5，1）．（2）如图1，点E在OA上，AE＝PE，∵PE⊥OB，∴∠OPE＝90°，∵∠AOB＝∠ABO＝45°，∴∠POE＝∠PEO＝45°，∵P（m，0），∴PE＝OP＝AE＝m，∴OE＝＝＝m，∵AB＝AO＝＝＝3，∴m+m＝3，解得m＝6；如图2，点E在AB上，AE＝PE，∵∠BPE＝90°，∠PBE＝45°，∴∠PEB＝∠PBE＝45°，∴AE＝PE＝PB＝6﹣m，∵BE＝＝＝PB＝（6﹣m），∴6﹣m+（6﹣m）＝3，解得m＝3，综上所述，m的值为6或3．（3）当点E在OA边上，如图1，设FG交OA于点M，∵EF＝EG，∠FEG＝90°，∴∠MFE＝∠G＝45°，∴∠MEF＝∠MFE＝45°，∴ME＝MF，∴△MEF是轴对称图形，此时0＜m≤3；如图3，点E在AC上，EG交OA于点N，FG交OA于点M，EN＝MN，连接FN，∵∠FEG＝∠EPB＝90°，∴EG∥OB，∴∠MNG＝∠AOB＝∠G＝45°，∴∠GMN＝90°，∴FG⊥OA，∵∠FEN＝∠FMN＝90°，FN＝FN，EN＝MN，∴Rt△EFN≌Rt△MFN（HL），∴四边形MFEN是轴对称图形，MF＝EF，作CQ⊥OB于点Q，则Q（5，0），∴BQ＝CQ＝1，∵∠BQC＝90°，∴BC＝＝＝，∴AC＝3﹣＝2，∵P（m，0），∴F（m，m），∵PE＝PB＝6﹣m，∴EF＝6﹣m﹣m＝6﹣m，∵∠GMN＝∠A＝90°，∴MF∥AC，∴△OMF∽△OAC，∴＝，∴＝＝＝，设MF＝2n，则OM＝3n，∴OF＝＝＝n，∴＝＝，∵∠OPF＝90°，OP＝m，PF＝m，∴OF＝＝m，∴MF＝OF＝×m＝m，∴m＝6﹣m，解得m＝；当点G与点M重合时，则MF＝GF＝＝＝EF，∴m＝（6﹣m），解得m＝，如图4，当≤m＜5时，△EFG与△AOB的重叠部分为等腰直角△EFG，是轴对称图形；如图5，点E在BC上，FG交AB于点I，∵∠GEF＝∠OPF＝90°，∴GE∥OB，∴∠IEG＝∠ABO＝45°，∴∠IEG＝∠G＝45°，∴IG＝IE，∴△IGE是轴对称图形，此时5＜m＜6，综上所述，m的取值范围是0＜m≤3或m＝或≤m＜5或5＜m＜6．6．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为射线AO上的一点（点P不与点A 重合），BC是△ABP的中线，点C，C′关于BP对称，设点P的横坐标为m．（1）求点A，B的坐标，若∠APB＝45°，求PB所在直线的解析式；（2）若BC＝BA，求m的值；（3）若点C′在x轴下方，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+4，得到y＝4．把y＝0代人y＝﹣2x+4，得x＝2．∴A（2，0），B（0，4），若∠APB＝45°，则点P在轴的负半轴上，且OP＝OB＝4．∴P（﹣4，0），设PB所在直线的解析式y＝kx+b，∴，解得．∴PB所在直线的解析式为y＝x+4；（2）若BC＝BA，∵BO⊥CA，∴CO＝OA，∵A（2，0），∴C（﹣2，0），∴AC＝4，CO＝OA＝2，∵BC是△ABP的中线，∴PC＝AC＝4，∴OP＝OC+PC＝2+4＝6，∴点P（﹣6，0），∴m＝﹣6；（3）0＜m＜2．理由：当点P在x轴负半轴上时．点C′在x轴上方；点P与原点O重合时．点C′在x轴上，点P 在点O，A之间时，点C在x轴下方．∴0＜m＜2．7．已知直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（b﹣4）2＝0．（1）求∠ABO的度数；（2）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由；（3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，且AC＝CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于点Q，求的值．【解答】解：（1）∵|a+b|+（b﹣4）2＝0，∴a＝﹣4，b＝4，∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），∴AO＝BO＝4，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO的度数为45°；（2）△COD是等腰直角三角形．证明：如图1：∵BE⊥AC，OA⊥OB，∴∠EFB+∠EBF＝∠OF A+∠OAF，又∵∠OF A＝∠EFB，∴∠EBF＝∠OAF，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠DOC，∴∠DOC＝∠AOB＝90°，∴△COD为等腰直角三角形；（3）过点C作CK⊥OB交AB于K，∵∠ACP＝90°，∴∠BCP＝∠OAC，∵OA＝OB，∴∠OAC+∠CAF＝∠OAB＝45°，∴∠OBA＝∠F+∠BCF＝45°，∵AC＝CF，∴∠CAF＝∠F，∴∠BCF＝∠OAC＝∠BCP，即OB平分∠PCF，∵△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，∴CA＝CP，∵AC＝CF，∴CP＝CF，∵CB＝CB，∴△BCF≌△BCP（SAS），∴BF＝BP，∵∠OBA＝45°，CK⊥OB，∴△BCK为等腰直角三角形，∴△ACF和△BCK均为等腰三角形，∵CQ⊥AF，∴FQ＝AQ，BQ＝QK，∴BF＝AK，∵△BCK为等腰直角三角形，∴BQ＝QK＝CQ，∴＝＝＝2．8．如图，直线y＝﹣3x+12分别交x轴、y轴于点A，B，以AB为斜边向左侧作等腰Rt△ABD，延长BD 交x轴于点C，连接DO，过点D作DE⊥DO交y轴于点E．（1）求证：∠1＝∠2．（2）求OE的长．（3）点P在线段AB上，当PE与∠COD的一边平行时，求出所有符合条件的点P的坐标．【解答】（1）证明∵△ABD是以AB为斜边向左侧作等腰直角三角形，∠BDA＝∠CDA＝∠BOC＝90°，∴∠1＝90°﹣∠BCO，∠2＝90°﹣∠BCO，∴∠1＝∠2；（2）解：如图：∵DB⊥DA，DE⊥DO，∴∠3+∠4＝90°，∠5+∠4＝90°，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠2，且DB＝DA，∴△BDE≌△ADO（ASA），∴BE＝OA，又∵直线y＝﹣3x+12分别交x轴、y轴于点A，B，∴OB＝12，OA＝4，∴BE＝OA＝4，∴OE＝OB﹣BE＝12﹣4＝8；（3）解：∵点P在直线y＝﹣3x+12上，∴设点P的坐标为（x，﹣3x+12）．∵直线PE与∠COD的一边平行，∴分两种情况．①若PE∥OC，如图，∴点P的纵坐标等于点E的纵坐标＝8，∴﹣3x+12＝8，解得x＝，∴点P的坐标为（，8）；②若PE∥OD（如图），延长EP交x轴于点Q，由（2）知：△BDE≌△ADO，∴DO＝DE，∵∠ODE＝90°，∴∠DOE＝45°＝∠DOC＝∠EQO，∴OQ＝OE＝8，∴Q（8.0）．设直线EP为：y＝kx+8，则0＝8k+8，解得k＝﹣1，∴直线EP为y＝﹣x+8，联立直线AB，得，解得：，∴点P的坐标为（2.6），综上所述：符合条件的点P的坐标为（，8）或（2，6）．9．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，3），C（﹣3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且S△BCE＝2S△AOB．（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；（4）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的函数解析式为：y＝kx+b，则，∴，∴直线AB的函数解析式为：y＝﹣3x+3；（2）设E（0，t），∵A（1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∴S△AOB＝，∵S△BCE＝2S△AOB，∴S△BCE＝3，∴，解得t＝1，∴E（0，1），设直线CE的函数解析式为：y＝mx+n，将C、E的坐标代入得：，∴，∴直线CE的函数解析式为：y＝x+1，当x+1＝﹣3x+3时，∴x＝，则y＝，∴D（），（3）猜想：CE＝AB，CE⊥AB，理由如下：∵OE＝OA＝1，OC＝OB＝3，∠COE＝∠BOA＝90°，∴△COE≌△BOA（SAS），∴CE＝AB，∠OCE＝∠OBA，∵∠OBA+∠BAO＝90°，∴∠OCE+∠BAO＝90°，∴∠CDA＝90°，∴CE⊥AB；（4）在射线CD上存在两个F点，使∠DBF＝45°，如图，当点F在线段CD上时，过点D作GH∥y轴，过点B、F分别作GH的垂线，垂足分别为G、H点，∵CD⊥AB，∠DBF＝45°，∴∠DBF＝∠DFB＝45°，∴BD＝DF，∵∠BDG+∠FDH＝90°，∠BDG+∠DBG＝90°，∴∠FDH＝∠DBG，又∵∠G＝∠H∴△BDG≌△DFH（AAS），∴FH＝DG＝3﹣＝，DH＝BG＝，∴点F（﹣，），当点F在CD的延长线上时，由对称性可知F（，），综上点F的坐标为：（﹣，）或（，），10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E．（1）求点C的坐标；（2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标（﹣2，0）或（2，3）或（﹣）（不包括这两个三角形重合的情况）．【解答】解：（1）由得，A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵∠AOB＝90°，由勾股定理得，AB＝5，∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，∴AD＝AB＝5，∴OD＝2，设OD＝x，则BC＝4﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴C（0，）；（2）由（1）得直线CD的解析式为y＝x+，∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，∴∠ABO＝∠CDO，∵∠BCE＝∠DCO，∴∠BEC＝∠COD＝90°，①当点D与P重合时，OP＝2，OC＝，CP＝，则△CPQ与△CBE全等，∴P（﹣2，0）；②当CQ＝BC＝时，则点Q的纵坐标为﹣1时，点Q与直线CD之间的距离为2，则△CPQ与△CBE全等，∴P（﹣）；③当PC＝BE＝2时，得点P（2，3），综上，点P的坐标为（﹣2，0）或（2，3）或（﹣）．故答案为：（﹣2，0）或（2，3）或（﹣）．11．如图，直角坐标系xOy中，过点A（6，0）的直线l1与直线l2：y＝kx﹣1相交于点C（4，2），直线l2与x轴交于点B．（1）k的值为；（2）求l1的函数表达式和S△ABC的值；（3）直线y＝a与直线l1和直线l2分别交于点M，N，（M，N不同）①直接写出M，N都在y轴右侧时a的取值范围；②在①的条件下，以MN为边作正方形MNDE，边DE恰好在x轴上，直接写出此时a的值．【解答】解：（1）将点C（4，2）代入y＝kx﹣1得，2＝4k﹣1，解得，故答案为：；（2）设直线l1的表达式为y＝k1x+b将点A（6，0），C（4，2）代入得，，解得，∴直线l1的表达式为y＝﹣x+6，当y＝0时，，解得x＝，∴点B的坐标为（，0），∴AB＝6﹣＝，∴S△ABC＝；（3）①当x＝0时，y＝x﹣1＝﹣1，y＝﹣x+6＝6，∴M，N都在y轴右侧时a的取值范围是：﹣1＜a＜6且a≠2．②当y＝a时，x﹣1＝a，则x＝，∴点N的坐标为（，a），当y＝a时，﹣x+6＝a，则x＝6﹣a，∴点M的坐标为（6﹣a，a）∴MN＝|6﹣a﹣|＝||，∵四边形MNDE为正方形，∴||＝|a|，解得：或，∴或．12．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，点A向上平移5个单位长度得到点B．（1）求点B的坐标；（2）在直线y＝﹣x﹣2上是否存在一点C，使得△ABC是直角三角形，若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由；（3）若一次函数y＝kx﹣2图象与线段AB存在公共点D，直接写出k的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，∴m＝﹣1﹣2＝﹣3．∴点A的坐标为（1，﹣3），∴点A向上平移5个单位长度得到点B的坐标为（1，2）；（2）存在，①当∠B＝90°时，如图，∵B（1，2），C点在y＝﹣x﹣2上，∴2＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣4，∴C（﹣4，2），∴BC＝5，∵点A向上平移5个单位长度得到点B，∴AB＝BC＝5，∴∠CAB＝45°，②当∠ACB＝90°时，作CG⊥AB于G，∵∠CAB＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴G为AB中点，∵点A的坐标为（1，﹣3），点B的坐标为（1，2），∴G（1，﹣0.5）∵点C在y＝﹣x﹣2上，∴﹣0.5＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣1.5，∴C（﹣1.5，﹣0.5）．综上，存在一点C，使得△ABC是直角三角形，C点坐标为（﹣4，2）或（﹣1.5，﹣0.5）；（3）当直线y＝kx﹣2过点A（1，﹣3）时，得﹣3＝k﹣2，解得k＝﹣1．当直线y＝kx﹣2过点B（1，2）时，得2＝k﹣2，解得k＝4．如图，若一次函数y＝kx﹣2与线段AB有公共点，则k的取值范围是﹣1≤k≤4且k≠0．13．如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b分别交x轴，y轴于点A、B，OA＝4，∠OBA的外角平分线交x轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P是线段BD上一点（不与B、D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C，设点P的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，当PC＝PB时，将射线EP绕点E旋转45°交直线AB于点F，求F点坐标．【解答】解：（1 ）∵OA＝4，∴A（4，0），把A（4，0）代入，得：b＝﹣3，过点D作DH⊥AB于点H，则DH＝DO，BH＝BO，∵当x＝0时，y＝3，∴B（0，﹣3），∴OA＝4，BO＝BH＝3，∴，AD＝DO+OA＝DH+4，∵，∴，解得：DH＝6，∴OD＝6，∴点D的坐标为（﹣6，0），（2）过点P作PE⊥OD于点E，则△DPE∽△DBO，∵点P在直线BD上，且点P的横坐标为t，∴DE＝t+6，∵OD＝6，OB＝3，∴，∵△DPE∽△DBO，∴，∴，解得：，∵PC⊥BD，∴△PDC∽△ODB，∴，∴，∴，∴；（3）作PH垂直于x轴于点H，设射线EP绕点E逆时针旋转45°交x轴于点K，顺时针旋转45°交x轴于点G．∵∠BPC＝90°，∠BOC＝90°∴B，P，C，O四点共圆，∴∠POC＝∠PBC＝45°，∴PH＝HO，∴DH＝6﹣HO＝6﹣PH，∴，得PH＝2，∴HC＝CG＝1，∴OE＝2，∵∠KEP＝∠DBC，∠PEB＝∠BDC，∴∠KEP+∠PEB＝∠DBC+∠BDC，即∠KEO＝∠BCO，∴OE：GK＝CO：BO＝1：3，∴GK＝6，∴K（﹣6，0），∴直线KE为：y＝﹣x﹣2，联立方程组：，解得x＝12，y＝﹣6，∴F1（12，﹣6），∵∠KEP+∠PEG＝90°，∴∠DEG＝90°，∴∠OEG＝∠ODE，∴OG：OE＝OE：OD＝1：3，∴OG＝；∴G（，0），∴直线EG的解析式为：y＝3x﹣2，联立方程组：，解得x＝，y＝2，∴F2（，2），综上所述：F的坐标为（12，﹣6）或（，2）．14．如图，直线l1：y＝kx﹣2k+1经过定点C，分别交x轴，y轴于A，B两点，直线l2经过O，C两点，点Dl2上．（1）①直接写出点C的坐标为（2，1）；②求直线l2的解析式；（2）如图1，若S△BOC＝2S△BCD，求点D的坐标；（3）如图2，直线l3经过D，E（0，﹣）两点，分别交x轴的正半轴、l1于点P，F，若PE＝PF，∠EDO＝45°，求k的值．【解答】解（1）①∵y＝kx﹣2k+1经过定点C，∴点C的坐标与k的取值无关，∴x＝2时，y＝1，∴C（2，1），故答案为：（2，1）；②设l2的解析式为：y＝ax，把C（2，1）代入y＝ax得：a＝，∴l2的解析式为y＝，（2）如图，取OB的中点H，连接CH，。

一次函数压轴题训练典型例题题型一、 A 卷压轴题一、 A 卷中涉及到的面积问题例 1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数 y 12x 2 与 x 轴、 y 轴分别相交于点3A 和点B ，直线 y 2 kx b (k0) 经过点 C （ 1，0）且与线段 AB 交于点 P ，并把△ ABO 分成两部分．（ 1）求△ ABO 的面积；（ 2）若△ ABO 被直线 CP 分成的两部分的面积相等，求点 P 的坐标及直线CP 的函数表达式。

yy 1B PO CAxy 2练习 1、如图，直线 l 1 过点 A （ 0， 4），点 D （ 4， 0），直线 l 2 ： y1x 1与 x 轴交于点 C ，2两直线 l 1 ， l 2 相交于点 B 。

l 1y（1）、求直线 l 1 的解析式和点 AB 的坐标；l 2（2）、求△ ABC 的面积。

BCODx二、 A 卷中涉及到的平移问题例 2、正方形 ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且 A 点的坐标是（1， 0）。

4 8①直线 y=3x- 3经过点 C，且与 x 轴交与点E，求四边形AECD的面积；②若直线 l 经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分求直线l 的解析式，③若直线 l1经过点F3 .0 且与直线y=3x平行,将②中直线l沿着y轴向上平移2个单位23交 x 轴于点M , 交直线l1于点N , 求NMF 的面积.练习 1、如图，在平面直角坐标系中，直线l1： y4x 与直线 l2： y kx b 相交于3点 A，点 A 的横坐标为 3，直线l2交y轴于点 B，且OA 1OB 。

2（1）试求直线l 2函数表达式。

（6分）（2）若将直线l 1沿着x轴向左平移3个单位，交y 轴y 于点 C，交直线l2于点 D；试求△ BCD的面积。

（4分）。

L 2l 1A1x题型二、 B 卷压轴题一、一次函数与特殊四边形例 1、如图，在平面直角坐标系中，点A、B 分别在 x 轴、y 轴上，线段OA、 OB的长 (0A<OB)2x y2x 与直线是方程组的解，点 C是直线y3x y6AB的交点，点 D 在线段 OC上， OD=25(1)求点 C 的坐标；(2)求直线 AD的解析式；(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以 0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习 1、. 如图 , 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线PA是一次函数y=x+m( m>0)的图象,直线 PB是一次函数y3x n(n > m )的图象,点P是两直线的交点, 点 A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点。